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Analyse et optimisation de lignes de transmission a`

variation continue dimpedance : application au filtrage

Marc Le Roy

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Marc Le Roy. Analyse et optimisation de lignes de transmission a` variation continuedimpedance : application au filtrage. Engineering Sciences. Universite de Bretagne occidentale- Brest, 1999. French.

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Submitted on 31 Mar 2010

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THESEprsente

lUniversit de Bretagne Occidentalepour lobtention du

DOCTORAT EN ELECTRONIQUEpar

Marc LE ROY

Analyse et optimisation de lignes de transmission variation

continue dimpdance : application au filtrage

Analyse et optimisation de lignes de transmission variation

continue dimpdance :application au filtrage

PrsidentV. FOUAD HANNA Professeur L.I.S., Universit P. et M. Curie, ParisRapporteursA. PAPIERNIK Professeur L.E.A.T., Universit de Nice-Sophia AntipolisB. JARRY Matre de Confrences I.R.C.O.M., Universit de LimogesExaminateursS. TOUTAIN Professeur S.E.I., IRESTE, Universit de NantesA. PERENNEC Matre de Confrences L.E.S.T., Universit de Bretagne OccidentaleDirecteur de thseL.C. CALVEZ Professeur L.E.S.T., Universit de Bretagne Occidentale

LEST UMR CNRS 6616

Numro dordre : 633 Anne 1999

Soutenue le 19 Janvier 1999 devant la Commission dExamen compose de :

Recherches effectues au Laboratoire dlectronique et des Systmes de Tlcommunications (L.E.S.T.)

UMR CNRS 6616 - UBO - ENSTBr

U.B.O. : 6, avenue Le Gorgeu - BP 809 - 29285 BREST Cedex

ENSTBr : Z.I. de Kernevent - Plouzan - BP 832 -29285 BREST Cedex

Remerciements

REMERCIEMENTS

Le travail prsent dans ce mmoire a t ralis au sein du Laboratoire dElectronique

et Systmes de Tlcommunications (L.E.S.T., UMR CNRS 6616) commun lUniversit de Bretagne Occidentale (UBO) et Tlcom Bretagne (E.N.S.T. Br.).

Je remercie vivement Monsieur V. FOUAD HANNA, Professeur lUniversit de

Pierre et Marie Curie (Paris), qui ma fait lhonneur daccepter la prsidence de ce jury. Jadresse mes plus sincres remerciements Monsieur A. PAPIERNIK, Professeur de

lUniversit de Nice-Sophia-Antipolis, et Monsieur B. JARRY, Matre de Confrences de lUniversit de Limoges, pour lhonneur quils me font en acceptant de juger ce travail.

Je suis trs reconnaissant envers Monsieur L.C. CALVEZ, Professeur lUBO et

Responsable de la Formation Doctorale en Electronique, davoir accepter dtre mon directeur de thse et je le remercie pour ses conseils aviss et sa disponibilit.

Jexprime galement ma profonde gratitude Monsieur S. TOUTAIN, Directeur du

LEST pendant cette thse et maintenant Professeur au S.E.I. lIRESTE, pour mavoir accueilli dans son laboratoire et surtout de stre investi sans compter et efficacement pour mener bien cette tude. Sans son enthousiasme communicatif, sa bonne humeur, et sa volont constante de faire mieux , cette thse ne prsenterait pas laspect quelle a aujourdhui.

Je ne saurais oublier de remercier Andr PERENNEC pour mavoir aiguill, soutenu

et motiv tout au long de ces trois annes. Par son abngation, sa patience et son esprit objectif ainsi que pour lapproche physique des problmes, il est lorigine de bien des ides et des rsultats prsents dans cet ouvrage.

Le travail prsent est galement un travail dquipe. De tels rsultats nauraient pu

tre obtenus sans plusieurs membres du laboratoire qui mont aid leur manire, soit directement, soit simplement en me manifestant de la sympathie, tels, Denis Le Berre, Rgis Na, Eric Rius, Franoise Mah, Grard Tann, Thierry Le Gouguec, Pierre-Marie Martin et bien dautres encore : doctorants et matres de confrences ( lUBO et Tlcom), sans oublier les secrtaires du LEST. Ils ont contribu ce que ces annes de thse se droulent sous le signe de la bonne humeur.

Merci galement aux techniciens de lENST de Bretagne, Bernard Della, Guy

Chuiton, Raymond Jezequel et Pierre Legaud du CNET de Lannion qui ont men bien les ralisations et les mesures des diffrents circuits avec soin.

A Claire

A mes parents et mes frres

La thorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons runi thorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !

(Albert Einstein)

War raok

Sommaire

SOMMAIRE

Introduction gnrale 1 Chapitre I

Domaines dapplication et caractrisation des Lignes de Transmission Non-Uniformes (LTNU) 9

I-1. Introduction 11 I-2. Adaptation dimpdance dans le domaine frquentiel 14 I-3. Adaptation dimpdance et transformation dimpulsion

dans le domaine temporel 18

I-4. Coupleurs directifs, filtres adapts et lignes non-uniformes couples 19 I-5. Filtrage 22 I-6. Analyse de LTNU par sections de ligne cascades 25 I-7. Compensation des discontinuits par des lignes non-uniformes 27 I-8. Conclusion 30 Rfrences du chapitre I 31 Chapitre II

Analyse dans le domaine frquentiel de lignes de transmission variation continue dimpdance et de forme arbitraire 35

II-1. Introduction 37 II-2. Variation dimpdance caractristique de la ligne II-2-a. Interpolation cubique de la ligne complte 38 II-2-b. Section unitaire dfinie par un polynme dordre 3 39 II-3. Equation de propagation dun tronon unitaire II-3-a. Mise en quation 40 II-3-b. Rsolution des quations de propagation 42

Sommaire

II-4. Dtermination des paramtres de rpartition dans le domaine frquentiel

II-4-a Paramtres de rpartition dune section unitaire 44 II-4-b Paramtres [S] de la ligne complte 47 II-5. Conclusion 48

Rfrences du chapitre II 49 Chapitre III

Optimisation et synthse de lignes de transmission variation continue dimpdance 51

III-1. Introduction 53

III-2. Prise en compte de contraintes en vue de la conception de filtres micro-ondes partir de LTNU

III-2-a. Problmes de convergence 54 III-2-b. Conditions supplmentaires sur linterpolation et

les extrmits de la ligne 55 III-3. Algorithme doptimisation III-3-a. Prsentation de lalgorithme 56 III-3-b. Adaptation de lalgorithme la conception de filtres 58 III-4. Synthses de lignes non-uniformes III-4-a. Synthse microruban 59 III-4-b. Synthse coplanaire 61 III-4-c. Gnration du masque 62

III-5. Prsentation du logiciel NTL (Non-Uniform Transmission Line) ralis 63

III-6. Conclusion 65 Rfrences du chapitre III 66

Chapitre IV

Application de la mthode la conception de filtres coupe-bande et passe-bas variation continue dimpdance 67

IV-1. Introduction 69

Sommaire

IV-2. Gnralits sur les filtres passifs coupe-bande et passe-bas en technologie plaque

IV-2-a. Prsentation gnrale des filtres passe-bas et coupe-bande et de leurs gabarits 70

IV-2-b. Modlisation et conception classique de filtres passe-bas et coupe-bande en ligne T.E.M. ou quasi-T.E.M. 71

IV-3. Validation de la mthode par lanalyse et la conception dun filtre coupe-bande IV-3-a. Exemple danalyse dun filtre coupe bande 75 IV-3-b. Conception et mesures dun filtre coupe bande 77 IV-4. Ralisation de filtres passe-bas partir de LTNU en technologie coplanaire IV-4-a. Prises en compte des contraintes de dpart 81 IV-4-b. Conception et ralisation de filtres passe-bas 82 IV-4-c. Comparaison des rponses dun filtre classique et dun filtre variation continue dimpdance 85 IV-4-d. Filtres passe-bas larges bandes attnues 88 IV-5. Conclusion 91

Rfrences du chapitre IV 92 Chapitre V

Extension de la mthode la conception et la ralisation de filtres passe-bande 93

V-1. Introduction 95 V-2. Gnralits sur les lignes couples (Filtres et coupleurs) 96 V-2-a. Thorie gnrale des lignes couples 97 V-2-b. Lignes couples symtriques : approche des modes pair et impair 100 V-2-c. Mthodes classiques de synthses de filtres passe-bande lignes couples 102 V-2-d. Coupleurs directifs et filtres lignes couples non-uniformes par la

mthode de S.Uysal 106 V-2-e. Synthses microruban de lignes couples 110 V-3. Adaptation de la mthode des lignes variation continue dimpdance lanalyse de lignes couples non-uniformes 118

V-3-a. Superposition des modes pair et impair applique aux lignes symtriques couples non-uniformes 119

V-3-b. Prise en compte de la dispersion et de la variation des vitesses de phase en fonction de la variation des impdances 122

V-3-c. Prise en compte de la modification de la longueur lectrique relle due la courbure des lignes couples 124 V-3-d. Contraintes lies au filtrage 127

V-4. Compensation de la diffrence des vitesses des modes propags sur des lignes

Sommaire

couples en milieu non-homogne 133 V-4-a. Compensation par lignes en dents de scie 135 V-4-b. Compensation par variation continue des impdances paires

et impaires des lignes microruban couples 140

V-5. Filtres passe-bande lignes couples variation continue dimpdances et bandes attnues largies

V-5-a. Description de la procdure utilise pour un filtre dordre 1 144 V-5-b. Analyse, optimisation et ralisation de filtres

bandes attnues largies 147

V-6. Conclusion 151 Rfrences du chapitre V 152

Conclusion gnrale et perspectives 155 Publications et communications 159 Annexes

A- Filtre supraconducteur en ondes millimtriques dispos dans un canal pour la ralisation dun mlangeur 200 GHz 163 B- Exemple dapplication de la mthode ladaptation dimpdance (adaptation dune antenne plaque) 169

INTRODUCTIONINTRODUCTIONINTRODUCTION

Analyse et optimisation de lignes de transmission variation continue dimpdance : application au filtrage Introduction gnrale

INTRODUCTION GENERALE

Depuis de nombreuses annes, le domaine des hyperfrquences connat une volution constante. Lune des tendances les plus importantes est le passage, amorc au dbut des annes 60, des technologies classiques (type guide donde) aux technologies plaques (microruban coplanaire, ...). Ces dernires prsentent lavantage de pouvoir tre fabriques suivant les techniques trs prcises et bon march des circuits imprims. De plus, ces technologies planaires se prtent particulirement bien la ralisation et la miniaturisation des circuits passifs et actifs micro-ondes pour de faibles puissances. Le dveloppement de ces techniques a dbouch sur la production industrielle de dispositifs en technologie hybride et de composants MIC (Microwave Integrated Circuits) ou MMIC (Monolithic MIC), dans lesquels les circuits passifs (type lignes de transmission) et les lments semi-conducteurs (transistors et diodes) sont intgrs sur le mme substrat semi-conducteur (Silicium ou Arsniure de Gallium principalement).

Grce ces avances technologiques, lutilisation des micro-ondes, jusque l cantonne des applications militaires (radars, contre-mesures, ) a pu tre tendue diffrents domaines, traditionnels dabord (tlvision par satellite, radars de mesure de vitesse, systmes dalarme, ), volus ensuite (communications et navigations par satellites, mesures industrielles, contrle du trafic arien, radiomtrie, contrle des processus industriels, mdecine), voire embarqus (radar anti-collision, ).

Actuellement, les communications avec les mobiles (tlphonie, ) reprsentent le

secteur dactivit le plus important pour les micro-ondes. Cette extension des rseaux terrestres et satellitaires (constellation de satellites basse altitude) est oriente la fois vers des applications professionnelles mais aussi vers les particuliers. De plus, lutilisation de circuits numriques haute vitesse pour les communications large-bande et les ordinateurs vitesse dhorloge trs leve orientent les micro-ondes vers le domaine des technologies numriques. Dune manire gnrale, le dveloppement croissant des micro-ondes vers des applications grand public gnre trois contraintes quasi-indissociables : - les bandes de frquence disponibles demandent tre utilises de manire optimale et les applications doivent tre spares de manire slective pour viter toute interfrence, - la miniaturisation de la plupart de ces dispositifs grand public impose la conception de systmes compacts, lgers et de petite taille, ce qui gnre des problmes de compatibilit lectromagntique, - ces produits sont destins une large diffusion, ce qui fait de la limitation des cots de production la contrainte principale. La combinaison de ces trois contraintes oriente les concepteurs vers une intgration du plus grand nombre de fonctions. La plupart des dispositifs actifs (amplificateurs, mlangeurs,

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multiplicateurs de frquence, oscillateurs, etc.) se plient dailleurs assez bien cette contrainte dintgration en technologie MIC ou MMIC. Mais du fait de leur encombrement important, les dispositifs passifs (filtres, multiplexeurs, circulateurs, dphaseurs, combineurs de puissance, coupleurs, etc.) prsentent une intgration plus difficile. De ce fait, et notamment pour les filtres, les concepteurs se dirigent vers lutilisation de structures plus complexes, permettant datteindre plusieurs objectifs, tout en essayant de respecter le mme encombrement que les structures classiques.

Concernant ces dispositifs, deux orientations complmentaires ont dj fait lobjet dtudes au L.E.S.T. (Laboratoire dElectronique et Systmes de Tlcommunications) : - Une premire approche vise repousser les limites technologiques. Cette filire technologique fait appel de nouveaux types de matriaux et de structures. Les tudes menes au LEST [IG-1-2] ont notamment permis de montrer lintrt des technologies couches paisses en multicouches pour des applications dans diffrentes gammes de frquences micro-ondes. - La deuxime orientation est axe sur une approche complmentaire de type thorie des circuits construite partir de modles gnralement bass sur une approximation de propagation quasi-TEM. Plusieurs contraintes initiales peuvent tre imposes (pour les filtres : bande initiale et rjection de bandes parasites, temps de propagation de groupe, duplexeurs, etc.). Ces dispositifs structure complexe (fonctions passe-bas dans des filtres passe-bande [IG-3], filtres SIR [IG-4]) associent effectivement plusieurs proprits intressantes, tout en conservant une taille correspondant celle du dispositif initial. Cette partie conception se situant en amont de la premire approche, il est souvent possible dutiliser des technologies multicouches, ceci pour amliorer performances et rduction de taille.

Cette deuxime approche va gnralement de pair avec une augmentation des principaux phnomnes parasites, dj prsents dans des filtres simples, mais qui, dans le cas de structures complexes, peuvent pnaliser fortement les performances du systme, ou tout au moins en compliquer la conception. Les pertes et les perturbations, associes aux discontinuits, sont effectivement dterminantes lors de la conception de filtres structure complexe, et tout particulirement dans le cadre dune monte en frquence des dispositifs micro-ondes. En parallle, on peut galement sattendre une augmentation de la sensibilit, lie aux donnes technologiques. Concernant le problme des discontinuits, deux approches existent pour en diminuer les effets. La premire est axe sur le dveloppement et la mise au point de modles permettant de tenir compte des discontinuits en simulation lors de la conception du dispositif final. La deuxime approche consiste utiliser des lignes de transmission non-uniformes, gnralement intgres en fin de conception, pour minimiser les discontinuits.

Nous proposons ici une solution alternative, permettant de concevoir des filtres structure complexe avec une rduction des phnomnes parasites. Pour cela, nous intgrons, ds la conception du dispositif, des lignes de transmission non-uniformes simples ou couples, qui minimisent, particulirement des frquences leves du domaine micro-ondes,

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linfluence des discontinuits, sans augmenter pour autant la sensibilit aux contraintes technologiques. Bien que les quations liant la forme de la ligne et les paramtres de rpartition ne puissent pas tre rsolues analytiquement, except pour quelques cas particuliers (variation exponentielle, parabolique, cosinus-carr principalement), nous voulons cependant analyser et construire des lignes de transmission pouvant avoir une variation quelconque dimpdance caractristique. De plus, il nexiste pas actuellement de modle thorique ou de logiciel de CAO pour lanalyse et la synthse de filtre simple ou complexe utilisant ce type de variations.

La mthode propose ici est suffisamment gnrale pour permettre la conception de plusieurs types de dispositifs micro-ondes : filtres, coupleurs, quadriple dadaptation, ... . Cette mthode a dbouch sur la mise au point dun logiciel pour la conception de plusieurs types de filtres partir de lignes simples ou couples variation continue dimpdance. Pour cela, la mthode gnrale danalyse de lignes non-uniformes a t couple un algorithme doptimisation. Lexprience et le savoir-faire dvelopps au LEST dans le domaine des processus doptimisation [IG-5] ont permis la mise au point dune mthode de conception qui possde les proprits suivantes :

- une mthode danalyse dfinissant des formes complexes de variation dimpdance caractristique quelconque, - et un formalisme danalyse sassociant parfaitement un algorithme doptimisation pour traiter tous types de lignes de transmission variation continue.

Le deuxime chapitre de notre tude a port sur la recherche dun formalisme

mathmatique adapt la dfinition dune variation continue dimpdance. Nous avons abouti une solution simple et suffisamment gnrale pour tre adaptable diffrents problmes. La formulation des quations de propagation de structures variation continue (interpolation cubique) permet une rsolution prcise par dveloppement en srie entire. La structure variation continue est dfinie par un ensemble de points discrets, permettant ainsi loptimisation de la variation dimpdance. Cette technique est dcrite au troisime chapitre.

Lapproche a t valide par la conception et la mesure de circuits simples (filtres

coupe-bande et passe-bas). Ces filtres ont t raliss en technologie microruban et coplanaire. Le bon comportement et la trs bonne prcision de la mthodologie mise en uvre ont permis de dfinir ensuite des objectifs plus contraignants.

En effet, la deuxime partie du chapitre IV met en valeur la puissance de la mthode pour atteindre des objectifs plus difficiles. Les filtres passe-bas rpondant ces contraintes (rjection de plusieurs bandes parasites) possdent effectivement des formes plus complexes. Les rponses mesures de ces filtres se sont montres galement proches des rponses thoriques, et ceci jusqu 50 GHz. Les objectifs atteints permettent dadapter cette approche des filtres passe-bande.

Au chapitre V, la mthode a t tendue lanalyse et loptimisation de lignes couples variation continue dimpdance. Les impdances paires et impaires reprsentent les donnes initiales pour lanalyse et loptimisation. Grce aux degrs de libert offerts par cette mthode, les performances des filtres lignes couples parallles sont rapproches de leurs performances idales. Deux types de phnomnes parasites loignent en effet les

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performances relles des performances idales : les pertes et la diffrence des vitesses de phase des modes pair et impair propags dans le cas des lignes couples symtriques en technologie microruban par exemple. Nous attendons une minimisation des pertes et des perturbations lies aux discontinuits. La libert sur la forme de ces variations (optimisation conjointe des impdances paires et impaires des lignes couples symtriques et de la distance entre chaque point discret optimis) permet une compensation de la diffrence des vitesses de phase.

Les proprits spcifiques apportes par cette technique permettent de gnrer des

proprits de filtrage originales. Nous proposons, par exemple, une approche systmatique pour obtenir une rjection sur de larges bandes de frquence ou de bandes de frquence particulires.

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Rfrences de lintroduction gnrale [IG-1] C. Person

Caractrisation thorique et exprimentale de la technologie couches paisses multi-couches. Application la conception de dispositifs en vue de lintgration dans les systmes.

Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale 1994. [IG-2] P. Le Menn

Etude de structures intgres multi-couches hyperfrquences utilisant une technologie couches paisses Application au filtrage et au couplage.

Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale 1990. [IG-3] C. Quendo

Intgration de structures de type passe-bas dans des filtres passe-bandes pour la matrise de la bande attnue. Application en technologie coplanaire multicouches

Rapport de stage de DEA, Universit de Bretagne Occidentale 1998. [IG-4] S. Denis

Caractrisation thorique et exprimentale de structures de propagation multicouches Application aux filtres plaqus micro-ondes hautes performances.

Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale 1997. [IG-5] A. Prennec Synthse et ralisation damplificateurs micro-ondes par la mthode des frquences relles . Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale 1988.

CHAPITRE ICHAPITRE ICHAPITRE I

Chapitre I : Domaines dapplication et caractrisation des lignes de transmission non-uniformes

11

Chapitre I Domaines dapplication et caractrisation des lignes de transmission non-uniformes I-1. Introduction La proprit des Lignes de Transmission Non-Uniformes (L.T.N.U) la plus directe est la compensation ou la minimisation des discontinuits. En effet, la plupart des circuits plaqus intgrent des discontinuits de types diffrents (circuit-ouvert, court-circuit, fente, sauts dimpdance, coude 90, jonction en T et en croix...). Les sauts dimpdance existent la jonction de deux lignes, microruban ou coplanaire par exemple, ayant des impdances caractristiques diffrentes. Cette discontinuit consiste en un changement abrupt de la gomtrie du ruban conducteur en microruban et du ruban et/ou des fentes en technologie coplanaire. Ce changement abrupt implique que les dimensions de la discontinuit sont faibles par rapport la longueur donde. De ce fait, il est gnralement possible de les modliser par des lments localiss. Les sauts dimpdance interviennent lors de la conception de systmes dadaptation, de coupleurs, de filtres et de transitions. Plusieurs phnomnes apparaissent dans le plan de la discontinuit. Il est possible de les classer en trois groupes : - A la discontinuit, les modes suprieurs de la ligne sont excits. Sils sont sans coupure, les champs sont perturbs localement. Dans ce cas, lnergie associe ces modes est purement ractive. Pour tenir compte de cet effet, les discontinuits sont gnralement modlises aux basses frquences par un quadriple ractifs quivalent compos dlments localiss capacitifs et inductifs suivant la nature des modes engendrs (Fig. I-1). - Les lignes utilises tant des guides ouverts , une partie de lnergie est rayonne au niveau de la discontinuit (Fig. I-1). Ce phnomne peut tre reprsent par ladjonction dune rsistance dans le schma quivalent (rsistance de rayonnement de la discontinuit). Il est noter que lnergie rayonne est plus importante dans le cas prsent sur la figure I-1-(a) que lorsque la puissance dentre est fournie par la ligne ayant limpdance la plus forte (ruban plus troit) [I-1]. - La ligne tant pose sur un substrat, la discontinuit, un couplage peut apparatre avec les modes du guide plan dilectrique que constitue ce substrat. Ceci est particulirement


12

vrai pour le mode TM0 (mode de surface en microruban) qui est un mode sans frquence de coupure [I-2].

(b)

w1w2

(a)

T

L2L1

C

T

Substrat : r

h

T

Lignes de courant

Energie rayonne

Figure I-1 - (a) Structure microruban dune discontinuit symtrique - (b) Son schma

quivalent. Dune manire gnrale, les modles quivalents ne prennent en compte que le premier de ces phnomnes. Ces modles intgrs dans des logiciels de CAO ont dj permis damliorer de manire significative les correspondances entre simulation et comportement rel aux frquences basses micro-ondes. En effet, la caractrisation complte dun circuit implique une comprhension et une prise en compte de toutes les discontinuits lors de la conception ou de la simulation. Dautant plus quen technologie plaque et notamment pour les circuits monolithiques (MMIC) , aucun ajustement ne peut tre fait a posteriori. Lanalyse des discontinuits implique donc une valuation prcise des capacits et inductances du schma quivalent. Suivant la bande de frquence considre, deux approches peuvent tre utilises : en basse frquence, une approche quasi-statique est souvent suffisante. En plus haute frquence, une approche dynamique multimodale savre en gnral ncessaire.

Les lments de ce circuit quivalent sont tous dpendants de la frquence. Une approche quasi-statique fournit la valeur de ces lments, dont la validit est limite aux frquences relativement basses (< 10 GHz). Cette approche est dsormais valide avec une prcision suffisante pour la technologie microruban. Par contre pour la technologie coplanaire, le nombre important de configurations diffrentes (Fig. I-2) pour un mme saut dimpdance complique le calcul des valeurs des lments des schmas quivalents [I-3].

Fentes

Ruban et plans de masse mtalliss

Substrat : r

g1

g1ww g2

g2

Figure I-2 - Quelques exemples de sauts dimpdance en technologie coplanaire


13

Les mthodes dynamiques mettent gnralement en uvre des outils numriques assez lourds manier dun point de vue mathmatique et informatique. Pour palier ce problme de modlisation, plusieurs techniques de compensation utilisant des Lignes de Transmission Non-Uniformes (LTNU) sont apparues (I-7). Lobjectif de ces LTNU est de rduire le rayonnement (effet dantenne) au niveau de la discontinuit et lapparition de modes de surface. Dans le domaine du filtrage, il existe galement des mthodes plus gnrales intgrant ds le dbut de la conception des formes continues pour rduire les effets lis aux discontinuits (I-5). Ces formes continues apportent, de plus, une souplesse et une libert de conception supplmentaires vis vis des formes classiques. Dans le domaine frquentiel, les lignes non-uniformes couples sont galement utilises pour la conception de coupleurs trs large bande et plus marginalement pour la conception de filtres passe-bas ou passe-bande. Il existe plusieurs mthodes permettant de simuler des LTNU de forme arbitraire (I-6). Celles-ci peuvent tre, par exemple, appliques la rtrosimulation de discontinuits prsentant quelques dfauts se traduisant par un arrondissement des angles (Fig. I-3).

Figure I-3 - Dfaut de ralisation en coplanaire (arrondissement des angles).

Les LTNU ont dabord fait leur apparition pour ladaptation dimpdance dans le

domaine frquentiel, pour minimiser les discontinuits, mais aussi parce que les lignes non-uniformes possdent un caractre dadaptation sur de larges bandes de frquence lorsque les impdances adapter sont diffrentes. Certains types de LTNU prsentent dailleurs des caractristiques intressantes. Les lignes exponentielles et variation linaire dimpdance possdent une rponse frquentielle non-priodique. Ces LTNU, longtemps caractrises par une cascade de sections uniformes en approximation quasi-TEM, sont maintenant parfois modlises en utilisant des mthodes numriques.

Les tudes de LTNU effectues dans le domaine frquentiel ont ouvert la voie partir des annes 70 leur utilisation dans le domaine temporel. De plus en plus dapplications dans ce domaine font en effet appel des LTNU bien connues (exponentielle, parabolique, ...). Beaucoup de circuits numriques haute vitesse utilisent notamment des LTNU simples ou couples cause dune contrainte de densit dintgration ou pour conserver ou modifier la forme dun signal (I-3).


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I-2. Adaptation dimpdance dans le domaine frquentiel Les circuits utiliss pour ladaptation dimpdance sont des composants cls pour les systmes et sous-systmes micro-ondes. Le problme classique dadaptation dimpdance a dabord t abord pour des charges complexes de type RC ou RL et tendu une impdance de charge quelconque. Youla [I-4] a ensuite pos la base dune nouvelle thorie dadaptation large bande. Beaucoup dautres auteurs ont galement contribu lamlioration des dispositifs dadaptation. Rcemment, Carlin a dvelopp les mthodes de CAO dites des frquences relles et des frquences relles simplifies [I-5], qui ont t dveloppes au LEST et appliques la conception de nombreux dispositifs. La synthse de dispositifs dadaptation peut reprsenter un dfi ayant diffrents niveaux de difficult et de complexit. Lutilisation des dispositifs dadaptation est lie plusieurs objectifs, eux mmes diviss en trois groupes :

- le transfert maximum de puissance ou adaptation conjugue . Limpdance de sortie du circuit dadaptation doit tre gale la valeur complexe conjugue de limpdance de charge (cas des transistors), - ladaptation aux lignes daccs dimpdance caractristique relle Z0. Ceci dbouche sur un coefficient de rflexion aussi faible que possible ou un taux donde stationnaire proche de lunit,

- ladaptation en bruit. Une premire technique est base sur lutilisation dlments localiss. Cependant, sur des bandes de frquences relativement larges, ces lments ne conservent pas leurs caractristiques. De ce fait, plusieurs mthodes mieux adaptes au domaine des frquences micro-ondes prennent appui sur lutilisation dlments distribus tels que des lignes quart donde, des lignes non-commensures, les lignes non-uniformes, ... . Deux approches existent pour ladaptation dimpdance partir dlments distribus : les rseaux en lments discontinus et les Lignes de Transmission Non-Uniformes (LTNU). Les transformateurs dimpdance en rseaux discontinus sont gnralement constitus dune cascade de sections uniformes de lignes quart donde. Les discontinuits proviennent des diffrents sauts dimpdances (par exemple : un changement de largeur de ligne en microruban). Malgr les avantages que prsentent a priori les LTNU, leur utilisation pour la conception de dispositifs dadaptation est actuellement limite. Ceci est d en majeure partie aux difficults danalyse des circuits dadaptation bass sur ce type de structures. En particulier, le choix des lignes est limit des profils bien connus qui conduisent une restriction sur la diversit des applications. Pourtant il a t montr [I-6] quune amlioration significative du niveau dadaptation dans la bande de travail, ainsi quun largissement de la bande adapte peuvent tre obtenus avec des LTNU. La ligne non-uniforme prend gnralement le nom correspondant la fonction de variation, soit du coefficient de rflexion, soit de limpdance caractristique, le long de cette ligne. Celle-ci peut tre exponentielle, parabolique, trigonomtrique, hyperbolique, ... .


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Le profil dpend essentiellement de lapplication pour laquelle la ligne est utilise. La difficult majeure est la rsolution de lquation de propagation, dite des tlgraphistes dans le cas dune propagation TEM ou quasi-TEM. Ces quations peuvent tre rassembles en une seule de type Riccati si lon sintresse au coefficient de rflexion vu de lentre de la ligne. Considrons une LTNU, supportant une propagation quasi-TEM, utilise pour adapter une ligne dimpdance Z1 une charge Z2 (fig. I-4) :

Z1(,0) Z2(,L)

L

x

Z(,x), (,x)

Figure I-4 - Ligne de transmission non-uniforme pour une double adaptation dimpdance. Le coefficient de rflexion le long de cette ligne est rgi par lquation de Riccati suivante : 0)(ln1

212 2

dxxZd

dxd (1.1)

o est le coefficient de rflexion en tout point le long de la LTNU, est la constante de propagation, et Z(x) est limpdance caractristique normalise en un point dabscisse x. Des mthodes numriques ont t appliques la rsolution de cette quation pour certains types de LTNU. Notamment dans [I-7] o les rflexions lentre de la ligne sont minimises pour adapter deux impdances quelconques sur une certaine bande de frquence, ou encore dans [I-8] pour tre utilis dans des circuits MMIC ou dans des circuits intgrs ayant une frquence de travail leve. Dans le cas o 2


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Z0 est limpdance caractristique dentre de la ligne (x = 0), K1 une constante positive et la longueur de la ligne parabolique, v est la vitesse de propagation de londe.

x = 0

Z (x)

x =

Zp0

1 : k

kC0 -kC0

Figure I-5 - Exemple de schma quivalent pour une ligne dont limpdance caractristique

varie paraboliquement. Modle quivalent constitu dun transformateur idal, de deux capacits localises et dune ligne de transmission uniforme de longueur

avec 1

11K

k 00 2 ZkpZ vZkKC 0210 1 .

Le deuxime type de circuit (RC parallle) peut tre adapt par une ligne parabolique rciproque. Des variations hyperboliques et trigonomtriques (cosinus carr, ...) de la ligne sont galement caractrisables par schmas quivalents en utilisant le mme principe de transformation. Lanalyse prcise de la rponse de lignes de transmission non-uniformes peut galement permettre de rsoudre le problme des transitions en technologie plaque (microruban, uniplanaire). Ces transitions sont gnralement constitues dune variation continue des caractristiques gomtriques dune ligne pour conserver plan par plan une impdance caractristique constante et adapter ainsi les dimensions de la ligne aux interfaces de mesure. Ce problme de transition apparat notamment en technologie coplanaire pour raliser des mesures sous pointes et en microruban lorsque lon veut connecter deux lignes ayant les mmes impdances, mais des largeurs diffrentes (conditions technologiques diffrentes). Habituellement en technologie coplanaire, une cascade de lignes coplanaires uniformes permet de conserver approximativement la mme valeur dimpdance le long de la ligne. Cette approche est relativement gourmande en temps de calcul si lon veut rduire lapproximation. F. Ghannouchi [I-10] et ses collgues proposent le dveloppement dune ligne de transition parfaitement uniforme en impdance (50 Ohms) qui peut tre utilise dans le cas dapplication MMIC en coplanaire. Cette mthode peut tre applique nimporte quelle structure de propagation dont le mode fondamental est considr comme quasi-TEM.

Les relations de conception (en coplanaire) liant les fentes et le ruban ne sont pas linaires. Une conservation plus prcise de la mme valeur dimpdance peut tre obtenue avec une variation linaire pour les fentes (s) et une variation quadratique pour le ruban (w). On rduit de ce fait les perturbations dues aux lignes de transition sur la rponse globale du systme. Dans cette publication [I-10], une comparaison entre les paramtres de rpartition


17

dune transition linaire en s et w et une transition linaire en s et quadratique en w est prsente. Une diffrence de prs de 20 dB peut tre observe entre le paramtre S11 de la ligne profil linaire (-25,5 dB) et celui de la ligne profil quadratique (-44 dB) 10 GHz.

Ces transitions coplanaires ( taper ) seront effectivement utilises au paragraphe IV-4 pour raliser des mesures sous pointes. De plus la parfaite adaptation 50 tout au long de la ligne permet de les insrer dans un kit de calibration (TRL par exemple).

ruban W

fente S

fente S

Wtmm

mm Figure I-6 - Exemple de transition coplanaire 50 de Wt = 0,1 mm Wt = 1.5 mm sur

substrat r=9,6 et h = 0,635 mm. Variations linaires des fentes S et quadratique du ruban W.

Cette mme mthode danalyse base sur une rsolution de lquation des tlgraphistes par la mthode des moments a galement t valide sur un petit nombre de structures utilisant des variations simples (variation linaire et sinusodale priodique en microruban). Une mthode moins utilise permet de construire des transitions adaptes en impdance sur microruban. Cette mthode [I-11], galement prsente par Ghannouchi et ses coauteurs, est base sur lanalyse de lignes de transmission non-uniformes ayant une variation la fois de la largeur du ruban et de la hauteur du substrat. Une transition adapte en impdance est ainsi obtenue par une variation continue de la largeur du ruban et de lpaisseur du substrat, de telle faon que le rapport de ces variables reste fixe (impdance constante).

W1

W2

h1

h2

r


18

Figure I-7 - Reprsentation de la ligne de transition microruban avec variations de la largeur du ruban et de lpaisseur du substrat.

Une amlioration sensible des pertes dinsertion est obtenue. Cependant, cette mthode est peu utilise car elle est trs difficile appliquer technologiquement. Il nexiste pas actuellement de technique standard simple de conception de substrat variation contrle de hauteur. I-3. Adaptation dimpdance et transformation dimpulsion dans le domaine temporel Les techniques de transmission dimpulsions courtes frquences trs leves (impulsion de largeur infrieure la nanoseconde) sont devenues courantes dans les systmes numriques modernes. Une analyse frquentielle montre que la puissance transmise par ces impulsions courtes est localise dans la bande de frquence des micro-ondes. Pour la conception de circuits micro-ondes conventionnels, laccent est gnralement mis sur la transmission lors du rgime permanent tabli entre lmission et la rception.

Mais dans le cas des circuits numriques, les interactions entre rflexions et transmissions multiples produisent une dformation de la forme du signal. De plus, le comportement fortement non-linaire de certains circuits actifs gnre galement des dformations du signal. La conservation de la forme du signal est donc dun grand intrt pour maintenir les diffrentes fonctionnalits du composant. Une forme donde prsentant une distorsion importante peut ainsi causer des dclenchements logiques errons ou rduire la vitesse de fonctionnement du circuit. Il est donc intressant dutiliser des lignes de transmission non-uniformes comme transformateur dimpulsion pour ladaptation dimpdance afin de respecter la forme du signal transmettre ou pour corriger dventuelles dformations.

Pour caractriser les LTNU dans le domaine temporel, certains auteurs prfrent dabord dterminer les paramtres de rpartition frquentiels [I-12] (II-4-1). Cest pourquoi dans le cadre de cette tude, nous nous intressons galement certaines LTNU dans le domaine temporel.

Un formalisme intressant danalyse de la propagation dans des lignes de transmission termines par des charges non-linaires est bas sur les paramtres de rpartition de cette ligne dfinis dans le domaine temporel :

)()()()()()()()()()(

2221212

2121111

tatstatstbtatstatstb

(1.3)

Linteraction entre les lignes de transmission et les charges non-linaires est alors

exprime par un produit de convolution dans le domaine temporel.


19

x = 0

Z (x)

x =

Z2(t) Z1(t)

+

- g1(t) v1(t) v2(t)

a1(t)

b1(t)

a2(t)

b2(t)

i1(t) i2(t)

Figure I-8 - Reprsentation de la ligne de transmission non-uniforme avec des terminaisons non-linaires et les ondes de tension associes (dfinissant les paramtres [S]) au temps t.

Toutefois, comme dans le domaine frquentiel, lanalyse du comportement de la ligne

nest pas vident. La technique la plus rpandue est effectivement de cascader des lignes de transmission uniformes. Cette mthode a dailleurs dj t utilise au LEST comme quadriple dadaptation entre une diode LASER et le dernier tage dun circuit de commande pour raliser une modulation interne de la diode [I-13].

Pour certaines formes de ligne, une analyse exacte existe. La ligne exponentielle notamment, qui est la plus utilise, provoque une dformation de limpulsion la fois sur sa forme et sur son amplitude. Cette dformation est utilise pour compenser les effets de dsadaptation gnralement associs aux charges non-linaires (diodes, transistors jonction, MOSFETS, ...) [I-14]. Dun point de vue transfert dnergie, la ligne exponentielle est un transformateur dimpulsion beaucoup plus performant quune ligne uniforme. I-4. Coupleurs directifs, filtres adapts et lignes non-uniformes couples Les coupleurs directionnels sont utiliss dans une grande varit de circuits micro-ondes, mlangeurs, amplificateurs, dphaseurs, etc. Les spcifications dfinies dans lintroduction gnrale sur les volutions des composants et les besoins en dispositifs complexes et multifonctions hautes performances sappliquent galement aux coupleurs et aux dispositifs lignes couples. Une spcification importante pour les coupleurs est la largeur de bande.

Mais plusieurs problmes interviennent lors de la ralisation de coupleurs directionnels large-bande (plusieurs octaves) en microruban, dus notamment linhomognit du milieu de propagation. Lutilisation de lignes non-uniformes couples pour la conception de coupleurs permet daccrotre la largeur de bande de fonctionnement. La thorie et la conception de coupleurs non-uniformes symtriques en mode TEM pour de larges bandes sont dj bien tablies.

S. Uysal [I-15] et ses coauteurs ont accompli un travail important sur des coupleurs symtriques non-uniformes en milieu non-homogne, et majoritairement en microruban. La mthode danalyse et de conception de coupleurs et de filtres adapts, dveloppe par


20

S. Uysal, est tudie plus en dtail au paragraphe V-2-d, dans un chapitre rserv lanalyse de LTNU couples. Au travers de nombreux articles, S. Uysal et ses collgues ont appliqu leur technique un grand nombre de dispositifs parmi lesquels on peut citer : - Coupleurs co-directionnels -3 et 0 dB. - Coupleurs -3 dB ultra large bande (coupleurs en tandem et coupleurs de Lange). - Filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande adapts. - Circuits sommateur-diffrenciateur T-magique ( partir de coupleurs non-uniformes 0 et -3 dB) pour des applications micro-ondes hybrides ou MMIC ainsi quaux supraconducteurs.

Les autres publications sur les LTNU couples prsentent pour la plupart des mthodes permettant danalyser et de simuler les rponses de certains types de lignes couples mais les travaux dvelopps ne dbouchent pas sur des techniques de synthse ou de conception de dispositifs LTNU couples. Partant des travaux empiriques de F.C. De Ronde [I-16], F.J. Glandorf et I. Wolf [I-17] analysent dans le domaine frquentiel les permittivits effectives paires et impaires de LTNU non-symtriques couples, par une mthode numrique. Les lignes possdent des variations priodiques de la fente. Deux cas sont traits : une variation sinusodale serpentine et une variation en dents de scie zig-zag .

f e n t e r u b a n f e n t e r u b a n

Figure I-9 - Exemple de lignes couples en dents de scie et serpentine .

Toutefois, les auteurs ont constat que leur mthode tait trop lourde numriquement pour tre utilise dans la conception de circuits ou pour une implantation dans un logiciel de CAO. Ces lignes variation de la fente entre lignes couples sont gnralement utilises pour compenser la diffrence entre les vitesses de propagation des deux modes prsents sur des lignes symtriques dans un milieu non-homogne. Un modle quivalent de lignes couples paraboliques a t tabli par les auteurs dj cits au paragraphe I-2. Obtenu par la mme mthode de transformation, ce schma quivalent est bas sur des lments localiss et des lignes de transmission uniformes non-couples. Diffrents schmas quivalents sont fournis suivant la configuration des accs aux lignes paraboliques (adapts, Court-Circuit (CC) et Circuit-Ouvert (CO)) et pour diffrents stubs paraboliques (CC, CO, srie ou parallle) [I-18-19]. Un exemple original de filtre passe-bas est construit partir dune ligne mandres compose de lignes paraboliques couples entre elles deux deux. Le filtre simul semble prsenter une meilleure rjection que celui simul partir de lignes uniformes, tout en conservant la mme attnuation dans la bande.


21

Les lignes couples non-uniformes sont galement prsentes dans les circuits numriques haute vitesse grande densit dintgration (VLSI). Les LTNU servent dinterconnexions dans de nombreuses de puces base de Silicium ou dArsniure de Gallium. Les frquences auxquelles travaillent ces circuits sont dsormais proches des hyperfrquences. Il est donc important de modliser la propagation dondes au travers dun ensemble de lignes non-uniformes couples. De ce fait le nombre de publications proposant des solutions aux problmes liant LTNU, montes en frquence et densit dintgration (couplage) est en constante augmentation depuis une dizaine dannes. Une mthode propose par G.W. Pan [I-20], dabord situe dans le domaine frquentiel, permet de caractriser la rponse temporelle de lignes de transmission non-uniformes couples. Une autre technique prsente par J.F. Mao et Z.F. Li [I-21-22] permet de dterminer la rponse temporelle de LTNU couples charges par des terminaisons quelconques. Cette mthode repose sur une transforme inverse des quations de propagation dans le domaine frquentiel pour obtenir un ensemble dquations temporelles rsolues numriquement par la mthode dite des caractristiques . Les lignes non-uniformes couples sont en fait construites sur la base de section de lignes couples uniformes. Un exemple permet de visualiser la rponse temporelle de lignes de transmission non-uniformes couples (100 sections de lignes uniformes cascades) charges par une diode (non-linaire).

- +

g1(t)

50

50

50

10

10

10

[An][A2]

[Vn][V2][V1]

[A1]

Figure I-10 - Rseaux de lignes couples cascades, en utilisant des matrices chanes [Aj] (approximation de lignes non-uniformes couples) charges par des terminaisons non-

linaires.

Cette mthode a t construite autour de premiers rsultats dvelopps dans [I-23-25] pour des LTNU couples symtriques ou pas. Dautres techniques existent, bases sur une approche complte dans le domaine temporel (mme modle de base que Fig. I-8 mais pour des lignes couples), mais les lignes non-uniformes couples sont essentiellement dfinies sur une cascade de sections uniformes [I26]. Cette dernire publication de K.S. Oh et J.S. Schutt-Aine [I-26] utilise une reprsentation par graphe de fluence dans le domaine temporel pour prendre en compte des terminaisons non-linaires. Avec cette approche, les auteurs affirment gagner en efficacit (temps de calcul) et en prcision, car elle vite un produit de convolution dans le domaine temporel.


22

I-5. Filtrage Lutilisation de la technologie plaque sest galement largement tendue dans le domaine du filtrage. Les lignes de transmission uniformes et non-uniformes sont prsentes dans un grand nombre de dispositifs plaqus. Cependant, on relve assez peu de publications associant filtrage et lignes non-uniformes. Lune des raisons qui peut tre invoque est que les mthodes danalyse et de synthse qui utilisent gnralement les lignes non-uniformes concernent des formes de lignes bien caractristiques (exponentielle, etc.). Ces lignes ne trouvent pas dapplications directes dans le domaine du filtrage. Dautres approches ont tout de mme t proposes, et notamment des mthodes classiques de cascades de lignes uniformes. Une possibilit [I-27] prsente en 1997 vite de procder par itrations. En effet E.J. Park prsente une thorie gnralise pour la construction dune ligne non-uniforme arbitraire sans perte mais tenant compte des phnomnes de dispersion. Le formalisme de dpart pour calculer le profil variation continue dimpdance est bas sur lexpression du coefficient de rflexion vu de lentre de la ligne rgi par lquation de Riccati. Une paire de transformes de Fourier (impdance caractristique et distances dpendantes de la frquence) est utilise pour relier la rponse de la ligne aux donnes initiales (impdance, etc.). Un algorithme doptimisation permet de se rapprocher de lobjectif fix. Dans cette publication, lobjectif est de construire un filtre passe-bande initialement dfini par sa bande passante et londulation dans la bande. Les rponses mesure et simule dun filtre ralis sur substrat durod 6010 (r = 10.8, h = 0.635 mm) sont compares (Fig. I-11-c). Le profil microruban calcul par la transforme de Fourier est reprsent sur la figure I-11-a, ainsi que le profil de la variation dimpdance caractristique correspondante (Fig. I-11-b).

(b) (c)

(a)

Frquence (GHz)Z(x/L)

Figure I-11 - (a) Profil microruban. (b) Variation dimpdance caractristique en fonction de x/L (L : longueur totale de la ligne). (c) Rponses mesure (trait plein) et simule (pointills)

du filtre [S11].

La rponse frquentielle montre un assez bon accord jusqu 16 GHz. La diffrence entre mesures et simulations aprs 20 GHz est apparemment due au formalisme de Bolinder qui gnre une approximation lors de la transforme de Fourier [I-28].


23

Par ailleurs, une ligne microruban a t construite par N.V. Nair et A.K. Mallick [I-29] en modulant priodiquement la largeur du ruban (Fig. I-12-a). Cette ligne peut tre caractrise par une variation priodique sinusodale de sa largeur ou de son impdance caractristique. Lanalyse frquentielle de cette ligne est base sur une relation entre une priode de la variation de limpdance de la ligne et un schma quivalent approxim partir de 3 lignes uniformes, de deux susceptances et de deux transformateurs idaux. Les deux susceptances reprsentent les charges accumules au niveau de la variation de largeur de la ligne. Toutes les variations de la ligne sont de mme priode p et de mme amplitude (de w1 w2) (Fig I-12-b). Lanalyse de la rponse de ce type de ligne rvle que cette structure peut tre utilise comme filtre coupe-bande. Comme aucune relation directe ne lie les variables dorigine (p, w1 et w2) aux caractristiques frquentielles du filtre, les auteurs ont dvelopp une mthode graphique. Une construction dabaques relie largeur de bande et frquence centrale aux dimensions physiques.

(b)(a) Figure I-12 - (a) Variation sinusodale de la largeur du ruban (priode p, largeur moyenne w0). (b) Approximation par discrtisation (4 sections uniformes pour une priode). Les rponses mesures suivent les rponses simules, except pour les frquences leves. Les auteurs nont pas pris en compte les effets de la dispersion ni les diffrentes pertes (dilectrique, mtallique, rayonnement). La principale observation est laugmentation de la largeur de la bande attnue et du niveau dattnuation dans la bande lorsque la diffrence minima et maxima (w2-w1) saccrot. Il est galement relev par les auteurs que la sensibilit vis vis des tolrances de fabrication diminue pour ce type de filtre.

La publication la plus intressante associant filtrage et lignes non-uniformes est sans conteste celle propose par P. Roberts et G.E. Town [I-30]. Elle prsente une mthode de conception pour filtres plaqus micro-ondes partir de la thorie de rpartition inverse. Le filtre prsente un profil variation continue. Ce qui en microruban correspond une ligne non-uniforme variation continue de largeur (fig. I-13-a). La mthode de conception fait appel un algorithme de calcul numrique pour rsoudre les quations de propagation. Cette publication est la premire proposer une conception de filtre partir de la mthode de rpartition inverse.


24

Le problme inverse pos ici implique la reconstruction des proprits physiques lies la forme de la ligne partir des paramtres de rpartition. La thorie de base de conception de filtres prsente repose sur le problme inverse pour lquation de Schrdinger une dimension liant lamplitude normalise de londe fonction de x (position le long de la ligne) et de la frquence. Le modle dorigine est une ligne de longueur lmentaire constitue dlments localiss (dfinis par unit de longueur) : une inductance et une rsistance srie, une capacit et une conductance parallle. Ces paramtres sont fonction de la position le long de la ligne. En donnes physiques, cela correspond une largeur variable de manire continue en microruban par exemple. Dans cette tude, seule la capacit parallle et linductance srie sont considres, ce qui revient tudier une ligne sans perte. Dans ce cas, le paramtre de transmission ou celui de rflexion suffit caractriser la fonction de filtrage.

Lexemple propos dans cette publication est un filtre coupe-bande ralis sur microruban. Le filtre conu est de type Chebyshev 4 ples avec 0,5 dB dondulation dans la bande. Une bande passante de 40 % a t spcifie autour dune frquence centrale de 2,2 GHz. Le profil microruban expos sur la figure I-13-a a t ralis sur un substrat RT Durod ayant une permittivit effective de 2,33 0,02 et une paisseur de 1,5875 mm. La variation dimpdance caractristique obtenue par cette mthode est prsente sur la figure I-13-b.

(a)

frquence (GHz)

|S11| (dB)

longueur (mm)

impdance

()

(c)(b)

Figure I-13 - (a) Profil microruban du filtre. (b) Variation correspondante de limpdance. (c) Paramtre |S11| (dB) du filtre. ----: thorie ; : mesure.

La correspondance entre rponses thoriques et simules (Fig I-13-c) est correcte dans la bande coupe. La principale diffrence porte sur les ondulations en dehors de la bande coupe qui nexistent pas sur la rponse simule. Lerreur de troncature sur la rponse du filtre provient principalement de la mthode numrique utilise.


25

I-6. Analyse de LTNU par sections de ligne cascades Beaucoup de techniques ont t dveloppes pour lanalyse de LTNU dans le domaine frquentiel et dans le domaine temporel depuis prs de 50 ans. Un certain nombre de mthodes fait appel lquation diffrentielle de Riccati (paragraphe I-2) qui dfinit le coefficient de rflexion le long de la ligne, ou aux quations des tlgraphistes. Lquation de Riccati est non-linaire. Il nexiste pas de solution gnrale analytique pour cette quation comme pour les quations de propagation, except pour quelques cas particuliers (exponentielle, parabolique, ...). Dans le cas dune variation faible le long de la ligne, il est possible de faire une approximation qui rend cette quation linaire. Pour palier ce manque de solutions analytiques, les mthodes numriques sont galement utilises pour lanalyse de LTNU. La plupart de ces techniques considrent les LTNU comme une combinaison de petites lignes uniformes cascades. Tous les logiciels de simulation commerciaux permettent de simuler une cascade de lignes uniformes et il est gnralement possible de prendre en compte les paramtres de chaque section y compris la dispersion et les diffrentes pertes. Il est galement souhaitable de prendre en compte les effets lis aux discontinuits (selon la technologie utilise, ex : microruban) entre les diffrents tronons uniformes car le masque est galement directement gnr partir de ce type de tronons. La prcision ainsi que lefficacit (notamment le temps de calcul), de ces mthodes se dgradent lorsque le nombre de petites sections augmente. Dans la publication [I-31], les auteurs ont souhait rduire lapparition de ce type de problmes pour lanalyse dune LTNU quelconque. Les auteurs proposent une nouvelle technique base sur la mise en cascade de lignes variation linaire pour remplacer les mthodes classiques qui utilisent des sections uniformes. Le profil ainsi tabli prsente moins de discontinuits (sauts dimpdance) (figure I-14-a et b). La solution analytique dune ligne idale variation linaire dimpdance a t tablie et mise sous la forme dune matrice chane ABCD en vue dune mise en cascade.

Port 1 Port 2

(b)(a)

Zc(x)Zc(x)

x = 0 x = L

Port 1 Port 2

x = 0 x = L

Figure I-14 - Approximation dune LTNU arbitraire (a) par cascade de sections uniformes et

(b) par un ensemble de sections de lignes variation linaire dimpdance.

Cette technique semble prsenter a priori de meilleurs rsultats en termes defficacit et de prcision. Dans larticle cit ci-dessus, la ligne est considre comme tant sans perte.


26

Limpdance caractristique dune ligne variation linaire est simplement dfinie par : )1()0()( xkZxZ cc Lx 0 (1.4) o x est la position le long de la ligne, k est une constante reprsentant la pente de la variation et L est la longueur de la ligne ou de la section considre.

x = 0

Zc(x)=Zc(0) (1+kx)Port 1 Port 2

x = L Figure I-15 - LTNU variation linaire dimpdance.

Pour une ligne sans perte variation linaire dimpdance, la solution des quations de

propagation exprime par lintermdiaire de sa matrice chane peut tre dfinie de manire exacte en utilisant les fonctions de Bessel [I-31].

Pour analyser une LTNU quelconque, une procdure dtaille est prsente. Pour valuer la matrice ABCD totale [Atotal], une cascade de matrices chane [Ai] est effectue. Ces matrices correspondent n petites sections de lignes variation linaire :

n

i

itotal AA1

(1.5)

Une fois [Atotal] calcule, les paramtres [S], [Z] ou [Y] peuvent tre dtermins en utilisant les formules de conversion usuelles. Pour prendre en compte la dispersion, cette technique doit tre applique rptitivement pour chaque point de frquence de lanalyse. Cette procdure est galement suivie lorsque la ligne non-uniforme est approxime par des sections simples.

Pour valider la mthode vis vis des techniques de cascade de sections uniformes, deux exemples sont proposs. Le premier prsente une ligne variation exponentielle de limpdance. La solution exacte des quations de propagation dune telle ligne est connue. Trois propositions pour approximer cette ligne sont compares : a) en utilisant 10 sections variation linaire, b) avec 10 sections uniformes et c) avec 20 tronons uniformes. Les rsultats provenant de lapproximation a) prsentent la meilleure concordance avec la simulation exacte et ceci jusqu 50 GHz. Par contre, le comportement des 10 sections uniformes se dgrade partir de 3 GHz et celui de 20 sections partir de 10 GHz. Le deuxime exemple qui prsente une ligne variation linaire de la largeur du ruban (en technologie microruban) ne fait que confirmer lanalyse effectue partir des rsultats du premier exemple. Il faut toutefois noter que pour ce deuxime exemple, il faudrait utiliser au


27

moins 70 250 (selon la pente) petites sections uniformes [I-32] pour approximer de manire suffisamment prcise cette LTNU.

Cette publication a le mrite de mettre en vidence lerreur qui peut tre introduite lors dune approximation dune LTNU par sections uniformes et ceci partir de quelques GHz. En effet, pour obtenir une bonne approximation, il faut multiplier le nombre de sections uniformes, ce qui alourdit considrablement la procdure de simulation. I-7. Compensation des discontinuits par des lignes non-uniformes Dans la conception de circuit plaqu, il est essentiel de tenir compte des lments parasites introduits par une discontinuit. La prsence de discontinuits parasites complique la procdure de conception. Et plus particulirement dans le cas de circuit large-bande, ces discontinuits affectent leurs performances. Sauts dimpdance, coudes 90 et jonction en T ou en croix sont les discontinuits les plus couramment rencontres. Les sauts dimpdance sont prsents principalement dans les transformateurs dimpdance, les filtres et les rseaux dadaptation des circuits actifs. R. Chadha et K.C. Gupta [I-33] ont utilis une analyse en deux dimensions pour caractriser prcisment les discontinuits avec et sans compensation. Dans cette publication,

une compensation de sauts dimpdance (ayant un rapport 21

2

1 ZZ et

21

2

1 ZZ ) est faite en

remplaant langle abrupt par une variation linaire dimpdance (figure I-16).

w1w2

35,35 70,71

T

Figure I-16 - Saut dimpdance de rapport compens : et non-compens : .

Plusieurs pentes de variation de la ligne entre les deux impdances sont testes. Les coefficients de rflexion simuls correspondant aux diffrents angles de la pente = 30, 45 et 60 sont compars. Les performances correspondant un angle de 60 semblent se

rapprocher le plus du comportement idal dans le cas du rapport ZZ

12

12

. Pour un rapport

21

2

1 ZZ , cest de nouveau un angle de 60 qui permet dobtenir le meilleur compromis.


28

Hoefer [I-34] a galement dcrit une mthode pour compenser une discontinuit dimpdance. Cette publication prsente une technique qui permet au concepteur de minimiser linfluence des sauts parasites au stade de la fabrication et non celui de la conception. Cette formulation permet de dcrire le contour microruban compens dun saut dimpdance. La mthode, utilisable pour une gnration systmatique du masque, gnre une transition exponentielle qui minimise la capacit parallle et linductance srie parasites dune variation discontinue dimpdance en microruban. La figure I-17 montre une discontinuit microruban compense.

w2w1

xx yB

A

C DD

C

A B

x

y

0

Figure I-17 - Saut dimpdance symtrique compense par la mthode de Hoefer.

La forme y(x) doit tre telle que la capacit totale de chaque segment (AB, AB par exemple) soit la mme pour x suprieur zro. La capacit totale de chaque section peut tre divise en deux parties : la capacit parallle avec le plan de masse Cp et la capacit de bord Cf qui est proportionnelle la longueur de larc AB.

tfpfpt CCCCCC (1.6) tt CC , est la capacit totale des segments qui est relie limpdance caractristique Z0 et

la permittivit effective e dun ruban de largeur w2 par la relation suivante :

)()(

200

2

wZcwx

CC ett (1.7)

o c0 est la vitesse de la lumire dans le vide. Les valeurs des capacits parallle et de bord pour la section ABCD sont :

hxwC rp

20 ptf CCC (1.8) et de la mme faon, pour la section ABCD :


29

hyxxyC rp)2(0 022 )()( ff CyxC (1.9)

o Cf0 est la capacit de bord par unit de longueur dune ligne microruban de largeur 2y :

hy

yZcy

C ref2

)2()2( 0

000

(1.10) En tendant vers les limites x dx et y dy et aprs quelques manipulations des

quations prcdentes, lquation suivante permet de dcrire le contour dun saut symtrique microruban compens :

11

)2()2(

2

1)()(

2

2

01

0

201

20

yZy

yhZ

wZw

yhZ

dxdy

e

r

v

e

r

v

(1.11) o Z0v = 376,73 est l'impdance caractristique du vide, h est la hauteur et r la permittivit relative du substrat. e(w2), e(2y) et (w2), (2y) sont les permittivits effectives et les impdances caractristiques dans lair de ligne uniforme de largeur w2 et 2y respectivement. Cette quation est difficile intgrer analytiquement. Hoefer propose de discrtiser cette variation en pas successifs en commenant x = 0 au ruban le plus troit.

Cette mthode a t utilise par D. Mangiavacchi [I-35] pour la conception de filtres passe-bas pour des applications millimtriques. Pour simuler la rponse du filtre sous un logiciel commercial (HP-MDS), une approximation du profil compens a t effectue par une cascade de sections uniformes. Un dcalage en frquence important (4 GHz) sur la frquence de coupure a tout de mme t observ entre simulations et mesures pour un filtre passe-bas ayant une frquence de coupure de 24 GHz. Nanmoins, une diminution des pertes dans la bande pour le filtre compens peut tre constate. Le masque correspondant au profil non-uniforme de la discontinuit compense ne peut pas tre directement gnr sous les logiciels de CAO habituels (ex : HP-MDS). Dans ce cas galement, la mthode utilise consiste cascader des tronons uniformes pour gnrer le masque [I-35].

La publication [I-36] est galement intressante. Elle prsente des rsultats sensiblement quivalents ceux obtenus par Hoefer mais avec une mthode plus difficile exploiter.

Les mthodes prsentes dans ce sous-chapitre sont essentiellement utilises en technologie micro ruban, mais elles peuvent tre gnralises dautres structures supportant un mode de propagation TEM ou quasi-TEM. Cependant, les logiciels de simulation commerciaux prsentent rarement de procdures de compensation de sauts dimpdance.


30

I-8. Conclusion Lensemble des applications et des mthodes danalyse prsentes dans ce chapitre met en avant lintrt que reprsente lutilisation de lignes non-uniformes dans tous les dispositifs o des discontinuits viennent perturber les rsultats esprs. Les mthodes danalyse de LTNU ayant des variations bien connues (exponentielles, linaires...), prsentes ici permettent une analyse suffisamment prcise pour les besoins des concepteurs de dispositifs micro-ondes. Pour les lignes variations quelconques, lanalyse est gnralement dgrade par diverses approximations (cascades dlments uniformes ou linaires, schmas quivalents localiss...). Les mthodes de synthse et de conception de filtres partir de LTNU sont galement trs intressantes : elles mettent en avant les aptitudes des LTNU au filtrage, et en particulier la bonne correspondance entre rponses simules et mesures au niveau frquence centrale ou frquence de coupure. Dans le cas des filtres classiques, le recours aux schmas quivalents localiss pour modliser les discontinuits ne garantit pas un positionnement en frquence de la rponse aussi prcis, dautant plus que les artes dcrites par ces schmas quivalents sont souvent arrondies sur le circuit (Fig. I-3). De ce fait, une rtrosimulation est souvent indispensable. De plus, ces mthodes utilisent les LTNU ds le dbut de la conception, loppos des mthodes de compensation de discontinuit o les LTNU interviennent uniquement lors de la ralisation du masque. Nanmoins, aucune des techniques de synthse de filtres prsentes partir de LTNU ne gnre une simulation qui ne soit entache derreur ou dimprcision. La prcision de deux des mthodes est limite par les mthodes numriques complexes utilises (erreurs de troncature par exemple). Dans ce cas prcis, ces mthodes relativement lourdes ne peuvent pas tre gnralises dautres types de filtres ou dautres applications. La troisime mthode de synthse de filtre LTNU ne permet de construire que des filtres priodiques formes toutes identiques.

Le manque de mthode la fois gnrale et prcise parat vident. De ce fait, il est pertinent de proposer, dans le contexte dcrit ci-dessus une approche diffrente. Cette approche doit dabord tre suffisamment gnrale pour tre transpose aux diverses applications o les LTNU ont un intrt. Notre tude portant essentiellement sur le filtrage, la mthode dfinie doit tre aussi prcise que pour lanalyse dune ligne exponentielle par exemple, tout en conservant un caractre continu lensemble du filtre. La plus grande libert en terme de forme de la ligne est galement requise.

La dfinition et le dveloppement dune mthode de conception gnrale prenant en compte des LTNU et pouvant tre applique lensemble des problmes poss est donc lobjectif de cette thse. Le chapitre suivant est consacr au dveloppement dune telle mthode.


31

Rfrences du chapitre I [I-1] K. C. Gupta, R. Garg, I. Bahl & P. Bhartia Microstrip lines and slotlines 2me dition, ARTECH House, Norwood MA, 1996. [I-2] R. K. Hoffman Handbook of Microwave Integrated Circuits ARTECH House, Norwood MA, 1987. [I-3] E. Rius Modlisation de la technologie uniplanaire par la mthode des diffrences finies. Application au couplage et au filtrage Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale, 1994. [I-4] D. C. Youla A new theory of broad-band matching IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-11, pp. 30-50, Mars 1964. [I-5] A. Prennec Synthse et ralisation damplificateurs micro-ondes par la mthode des frquences relles . Thse de doctorat en lectronique, Universit de Bretagne Occidentale, 1988. [I-6] A. H. Hamade, A. B. Kouki & F. M. Ghannouchi Synthesis of Impedance Matching Circuits Using Arbitrary Nonuniform Transmission Lines IEEE MTT-S, vol. 3, pp. 1619-1622, Juin 1997. [I-7] H. Oraizi Design of Impedance Transformers by the Method of Least Squares IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 44, pp. 389-399, Mars 1996. [I-8] E. J. Park An efficient Synthesis Technique of Tapered Transmission Line with Loss and Dispersion IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 44, pp. 463-465, Mars 1996. [I-9] I. Endo, Y. Nemoto & R. Sato Design of Transformerless Quasi-Broad-Band Matching Networks for Lumped Complex Loads Using Nonuniform Transmission Lines IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 36, pp. 629-634, Avril 1988. [I-10] A. H. Hammade, A. B. Kouki & F. M. Ghannouchi A CAD-Suitable Approach for the Analysis of Nonuniform MMIC and MHMIC Transmission Lines IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 44, pp. 1614-1617, Sept. 1996. [I-11] A.B. Kouki, A. Khebir, R.G. Bosisio, & F.M. Ghannouchi


32

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Wide-band high directivity in MIC proximity couplers by planar means IEEE MTT-S, pp. 480-482, 1980. [I-17] F. J. Glandorf & I. Wolff A Spectral-Domain Analysis of Periodically Nonuniform Coupled Microstrip Lines IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 36, pp. 522-528, Mars 1998. [I-18] A. Endo, K. Kobayashi, Y. Nemoto & R. Sato Two-Port Equivalent Circuits of Two-Wire Parabolic Tapered Coupled Transmission Lines IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 32, pp. 177-182, Fvrier 1984. [I-19] Y. Nemoto, K. Kobayashi & R. Sato

Graph Transformations of Nonuniform Coupled Transmission Line Networks and Their Application

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33

Analysis of the Time Response of Multiconductor Transmission Lines with Frequency-Dependant Losses by the Method of Convolution-Characteristics

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 40, pp. 637-644, Avril 1992. [I-22] J. F. Mao & Z. F. Li

Analysis of the Time Response of Nonuniform Multiconductor Transmission Lines with a Method of Equivalent Cascaded Network Chain

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 40, pp. 949-954, Mai 1992. [I-23] L. A. Hayden & V. K. Tripathi Nonuniformly Coupled Microstrip Transversal Filters for Analog Signal Processing IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 39, pp. 47-53, Jan. 1991. [I-24] O. A. Palusinski & A. Lee

Analysis of Transients in Nonuniform and Uniform Multiconductor Coupled Transmission Lines

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 37, pp. 127-38, Jan. 1989. [I-25] N. Orhanovic & V. K. Tripathi

Time Domain simulation of uniform and nonuniform multiconductor lossy lines by the methods of characteristics

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Transient Analysis of Coupled, Tapered Transmission Lines with Arbitrary Nonlinear Terminations

IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 41, pp. 268-273, Fvrier 1993. [I-27] E. J. Park Design of nonuniform transmission lines with arbitrary reflection properties Electronics Letters, vol. 33, No. 2,3 pp 1963-1964, 6 Nov. 1997. [I-28] R. Finkler & R. Unbehauen Error bound for the approximate Fourier transformation relationship for nonuniform transmission lines IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 44, pp. 482-484, Mars 1996. [I-29] N. V. Nair & A.K. Mallick An analysis of a width-modulated microstrip periodic structure IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 32, pp. 200-204, Fvrier. 1984. [I-30] P. P. Roberts & G. E. Town Design of microwave filters by inverse scattering IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 43, pp 739-743, Avril 1995. [I-31] K. Lu


34

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CHAPITRE IICHAPITRE IICHAPITRE II

Chapitre II : Analyse dans le domaine frquentiel de lignes de transmission variation continue dimpdance et de forme arbitraire

37

Chapitre II

Analyse dans le domaine frquentiel de lignes de transmission variation continue dimpdance et de forme arbitraire

II-1. Introduction Le premier des objectifs dcrits prcdemment nous a contraint examiner tout dabord les diffrents formalismes permettant de dfinir des formes continues complexes. Ce formalisme doit aboutir une variation de limpdance caractristique (ou du coefficient de rflexion le long de la ligne) dont les quations de propagation (ou de Ricatti) puissent tre rsolues sans approximation. Cela implique lutilisation dun formalisme relativement simple et bien adapt ce que nous cherchons. Une mthode formule autour de la variation dimpdance caractristique plutt que sur la forme physique de la ligne (variation du ruban et/ou des fentes) pourra tre applique toutes les technologies o la notion dimpdance caractristique existe (gnralement TEM ou quasi-TEM). Aprs une tude bibliographique et la recherche dun formalisme adapt au problme traiter (et aprs plusieurs essais infructueux), lide que nous avons retenue peut sarticuler autour de trois points :

- dcrire la variation continue dimpdance caractristique de la ligne par un ensemble de points discrets, - partir de ces points, utiliser une interpolation cubique qui assure la continuit de la loi de variation. Entre chaque point discret, la variation dimpdance caractristique est donc dfinie par une expression simple, - calculer les paramtres de rpartition de cette section de ligne (entre deux points discrets conscutifs) afin de caractriser le comportement frquentiel de lensemble de la ligne.

Nous verrons par la suite les avantages dune structure continue dfinie partir de plusieurs points discrets. La premire tape consiste donc poser les bases de la mthode (interpolation cubique) qui dfinit la variation dimpdance caractristique de la ligne dans son ensemble et entre deux points discrets.


38

II-2. Variation d'impdance caractristique de la ligne

II-2-a. Interpolation cubique de la ligne complte L'interpolation cubique permet de crer une courbe qui passe par un ensemble de points discrets, tout en minimisant les ondulations entre ces points. Il convient toutefois de la distinguer d'une courbe de lissage. Le vecteur d'entre f(xj) connu pour un certain nombre de points discrets, pour x = x1, ..., xn, va nous permettre de dterminer Z(x), fonction continue, qui va passer exactement par ces valeurs discrtes.

x0 x1 x2 x3 xj xn x

f(xj)

Z(x)

f(x3)f(x4)

f(xj)

f(xn)

Figure II-1 - Exemple de courbe interpole. Nous utilisons une interpolation dont lexpression est suffisamment gnrale pour modliser une large classe de fonctions ou de formes de variation [II-1]. L'interpolation est donc ralise l'aide d'un polynme d'ordre 3 : pour x variant de x33

2210)( xZxZxZZxZ

jjjj j xj+1. (2.1) Cette interpolation conduit une variation beaucoup plus "douce" qu'avec une interpolation de Tchebyshev ou de Lagrange, ce qui revient, en quelque sorte, faire "passer une rgle flexible" entre les points. La mthode d'interpolation cubique utilise fait partie des courbes osculatoires, car on impose Z(x) de concider avec f(x), mais aussi d'assurer la continuit des drives 1re et 2nde aux points xi. Linterpolation cubique permet dinterpoler sur des intervalles entre les points discrets qui peuvent tre rguliers ou irrguliers.


39

A partir des conditions prcdentes, nous obtenons, tous calculs faits [II-1-2], la fonction Z(x) pour xj


40

II-3. Equation de propagation d'un tronon unitaire II-3-a. Mise en quation Modle de base dune ligne uniforme Dans le cas le plus simple, une ligne de transmission uniforme de longueur et dimpdance caractristique Zc est reprsente schmatiquement de la manire suivante :

Figure II-2 - Reprsentation schmatique dune ligne de transmission uniforme.

Considrons un lment de ligne de longueur lmentaire dx, V et V+dV dsignent les tensions lentre et la sortie de cet lment et de la mme faon I et I+dI pour le courant. Les grandeurs V et I dpendent des variables x et t le long de la ligne. Le modle quivalent localis utilis est le suivant :

V V

I I

+dV

+dIRdx

L

dx

dx

L

G dxC

Figure II-3 - Schma quivalent dun tronon de ligne de longueur dx. Le modle utilis est un rseau constitu des quatre lments suivants : R rsistance linique m. G conductance linique S/m. C capacit linique F/m. L inductance linique H/m. Le domaine de validit de ce modle est limit aux lignes pour lesquelles on peut dfinir limpdance caractristique, cest dire les lignes T.E.M. (coaxiale, triplaque) et quasi-T.E.M. (microruban, coplanaire). Nous considrons ici la ligne sans perte ; nous pouvons donc crire le systme suivant :

tVC

xI

tIL

xV

=>

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

tILC

xI

tVLC

xV

(2.4)


41

Cette quation est une quation aux drives partielles classiques qui admet des solutions gnrales simples. Ce systme va tre adapt par la suite pour dterminer les quations des tlgraphistes pour une ligne non-uniforme dont limpdance caractristique est dfinie par un polynme cubique. Equations de propagation dune ligne cubique Nous considrons maintenant une ligne non-uniforme de longueur , termine par 2 lignes uniformes de rfrence, dimpdances Zref1 et Zref2, qui supportent les ondes incidentes a1(), a2() et rflchies b1() et b2() dfinissant les paramtres de rpartition (Fig. II-4) :

(2.5)

2221212

2121111

)()()()(

aSaSbaSaSb

Les lignes de rfrence ont pour impdance caractristique l'impdance de la ligne non-uniforme respectivement son dbut et sa fin.

Figure II-4 - Reprsentation des paramtres de rpartition dune ligne de transmission

cubique. Z(x) est l'impdance caractristique de cette ligne, considre sans perte, qui varie selon un polynme d'ordre 3 (de x = 0 x = ) dfini de la manire suivante : (2.6) 33

2210)( xZxZxZZxZ

Les 4 composantes Z0, ...,Z3.x3 ont la dimension d'une impdance. Par dfinition, on a :

xCxLxZ (2.7)

avec vxZxZxZxZZCLxL )()()( 33

221000 (2.8)

et )(

1)( 33

2210

00

xZvxZxZxZZCL

xC (2.9)


42

L0 et C0 reprsentent l'inductance et la capacit par unit de longueur au dbut (x = 0) de la ligne non-uniforme et v est la vitesse de propagation sur la ligne

0

00 C

LZ Des quations (2.4) et (2.6) (2.9) nous dduisons le systme suivant :

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

tICL

xI

CxC

xI

tVCL

xV

LxL

xv

(2.10) Le systme (2.11) dfinit les quations des tlgraphistes en rgime sinusodal pour une ligne cubique :

0)()('

0)()('

22

2

22

2

ICLdxdI

xZxZ

dxId

VCLdxdV

xZxZ

dxVd

(2.11) Rsoudre ce systme permet de dfinir la propagation des ondes le long de la ligne. II-3-b. Rsolution des quations de propagation Le systme (2.11) scrit sous la forme dveloppe suivante :

032

032

23

32

210

2321

2

2

23

32

210

2321

2

2

ICLdxdI

xZxZxZZxZxZZ

dxId

VCLdxdV

xZxZxZZxZxZZ

dxVd

(2.12) Pour rsoudre ce systme, nous avons expriment plusieurs mthodes, notamment en utilisant une approche par lquation de Ricatti. La plus prcise et la plus simple est prsente ci-dessous. La solution gnrale est une combinaison linaire de deux solutions que nous allons chercher pour V. Ces solutions se prsentent sous la forme de 2 dveloppements en srie entire [II-3-4] suivant les puissances croissantes de x.


43

Les dveloppements prennent la forme suivante :

)( kjj xaxy avec 00 a 0j

Sagissant dune identit, les coefficients d hae c que puissance de x doivent sannuler individuellement. En suivant ce principe, le dveloppement y(x) est intgr dans lquation

.12) pour annuler le coefficient de la puissance la plus faible . Nous obtenons (2 2kjxlquation indicielle suivante : 0)1(0 kka o les deux solutions possibles sont k = 0 et k = 1. La solution de lquation en tension peut donc sexprimer sous la forme ante : V

suiv

(2.13)

p et q sont 2 constantes et les deux dveloppements a(x) et b(x) issus de y(x) scrivent :

(2.14)

x) s'exprime alors d

qxbpxax )()()( o

)( jj xaxa 0j

(2.15)

0

1)(j

jj xbxb

I( aprs (2.4) sous la forme :

))()(()(

)( xbpqxappxZxL

xI vjVj

(2.16)

ap(x) et bp(x) sont les drives premires de

La convergence des dveloppements en srie a(

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