Thermodynamique et modèles thermiques

Guy GauthierÉté 2013

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Niveau microscopique

Notions d’énergie

Énergie totale

Énergie cinétique

Énergie potentielle

Niveau macroscopique

Énergie interne

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L’énergie totale

L’énergie totale d’un système est définie comme étant la somme de: L’énergie interne; L’énergie cinétique; L’énergie potentielle.

TE U KE PE

4

Énergie cinétique

L’énergie cinétique est associée au mouvement.

Elle s’exprime par l’équation suivante:

KE mv 12

2

5

Énergie potentielle

L’énergie potentielle est associée à de l’énergie stockée et qui peut être utilisée.

Elle s’exprime par l’équation suivante:

PE mgh

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Niveau microscopique

L’énergie interne

Énergie interne

Agitation thermique

Énergie de liaison

Énergie nucléaire

Température

Chimie

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Ainsi…

Mécanique des fluides: Énergie au niveau macroscopique;

Réactions chimiques: Énergie au niveau microscopique;

Transfert de chaleur: Agitation thermique.

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Énergie par unité de masse

Dans certains modèles il peut être plus facile de représenter l’énergie par unité de masse. Ainsi:

Énergie totale:

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

TE U KE PE 21

2KE v

PE gh

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Hypothèse simplificatrice

Pour la majorité des procédés chimiques, les termes d’énergie cinétique et d’énergie potentielle sont négligés. Leur contribution est de 2 ordres de

grandeur inférieure à l’énergie interne.

Un réacteur chimique n’est pas en mouvement et ne change pas de

position dans le champ gravitationnel.

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Vers la définition de l’enthalpie

Transformation isobare (P=cte): Échange de chaleur et travail Qp; Force de pression Wf,p.

Premier principe de la thermodynamique: Variation d’énergie interne:

,B A p f pU U U Q W Gain

d’énerg

ie

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A pression constante

Travail des forces de pression:

Ainsi:

p B B A AQ U pV U pV

,f p B AW p V p V V

Enthalpie

Perte d’énergie

12

Enthalpie

Dans le cas des fluides, on utilise l’enthalpie pour représenter l’énergie.

Elle se définit par:

Par abus de langage: Chaleur enthalpie.

H U pV

13

Enthalpie

Par mole:

Par unité de masse:

ˆ ˆ ˆH U pV

H U pVpU

14

EXEMPLE – CHAUFFE D’UN LIQUIDE

Comment utiliser ces informations en modélisation ?

15

Exemple

Soit un réservoir isolé thermiquement pour éviter les pertes. Ce réservoir est traversé par un liquide qui sera chauffé par un élément chauffant.

Ce liquide sera mélangé pour assurer que la température soit uniforme dans le réservoir.

16

Bilan matière

Masse dans le réservoir = masse entrante – masse sortante :

Si changement de densité négligeable et changement de volume nul :

d Vdt

F Fi i o

F F Fi o

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Bilan énergétique

Accumulation d’énergie :dTEdt

F TE F TE Q Wi i i o T

Énergie totale

- Liquide entrant

Énergie totale

- Liquide sortant

Énergie injectée

par l’élément

chauffantTra

vail fait s

ur le

système

Variation de

l’énergie totale

dans le

réservoir

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Bilan énergétique

Accumulation d’énergie :

L’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont négligées:

dTEdt

F TE F TE Q Wi i i o T

dUdt

F U F U Q Wi i i o T Énergie interne

TE U KE PE

19

Le travail fait sur le système

Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:

W W F p F pT S i i o

20

Le travail fait sur le système

Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:

Donc :

W W F p F pT S i i o

dUdt

F Up

F Up

Q Wi i ii

io S

Enthalpie

21

Enthalpie totale

Équation de l’enthalpie totale :

Donc, en isolant l’énergie interne et en dérivant :

H U pV

dUdt

dHdt

dpVd t

F H F H Q Wi i i o S

22

Simplification

Or :

Si le volume est constant et que la variation de la pression moyenne peut être négligée, alors :

( )d pV dV dpp Vdt dt dt

( ) 0d pVdt

23

Simplification (suite)

Ce qui mène à :

i i i o SdU dH F H F H Q Wdt dt

24

Simplification (suite)

Comme la densité est supposée constante et les débits sont les mêmes (car volume constant), alors :

dHdt

F H H Q Wi S

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Enthalpie totale revisitée

Le terme d’enthalpie totale est :

S’il n’y a pas de changement de phase :

H VH

H T c dT c T TpT

T

p( )*

* Température de référence

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Retour sur le bilan énergétique

Le terme d’enthalpie totale est :

Puisque la densité et le volume sont constants :

d Vc T T

dtFc T T T T Q W

pp i S

** *

Vcd T T

dtF c T T Q Wp p i S

*

27

Retour sur le bilan énergétique (suite)

Puis :

Négligeant l’effet du mélangeur :

dTdt

FV

T TQVc

WVci

p

S

p

dTdt

FV

T TQVci

p

1

28

En régime permanent

Température de sortie en régime permanent :

On bâtira le modèle sur l’écart entre le système et son régime permanent.

Note: Ti est assumé constant.

0 FV

T TQVci ss

ss

p2

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Modèle basé sur les variations

Combinant et la température de sortie en régime permanent est:

En posant :

dTdt

FV

T TQ Q

Vcssss

p

x T Tu Q Q

ss

ss

1

y T Tss

1 2

30

Passage aux équations d’état

Alors: xFV

xVc

up

1 1

1

1y x

31

Transformation de Laplace

Cela donne :

Système de 1er ordre (normal car il n’y avait qu’un seul état).

1( ) ( )

( )pVcY s G s

U s s F V

32

Et, si Ti n’était pas constant (perturbation)

On aurait alors eu en régime permanent:

Ce qui aurait mené à :

0 FV

T TQVciss ss

ss

p

dTdt

FV

T TQ Q

VcFV

T Ti issss

pss

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Modèle amélioré

Posant:

Les équations du modèle deviennent :

x T T d T Tu Q Q

ss iss

ss

1

xFV

xVc

uFV

dp

1 1

1

1y x

34

Transformation de Laplace

Cela donne :

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( )p

Y s G s U s G s D sVc F VU s D s

s F V s F V

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Exemple numérique

Si F = 10 pi3/min, V = 20 pi3, ρ = 62.5 lbs/pi3, cp = 1 BTU/lb/°F, alors on fait face à ce système :

. . .x x u dy x1 1

1

0 5 0 0008 0 5

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Simulation

Résultats:

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

Temps (minutes)

Éca

rt de

tem

péra

ture

(°F)

Réponse du système

Échelon sur u(t) de 1000 BTU

Échelon sur d(t) de +5 °F

37

ÉCHANGE D’ÉNERGIE ENTRE UN RÉSERVOIR ET SA CHEMISE DE REFROIDISSEMENT

38

Du point de vue du réservoir

La modélisation est faite de la même façon et on trouve:

Mais, Q est l’échange de chaleur entre le réservoir et la chemise de refroidissement.

dTdt

FV

T TQVci

p

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Bilan matière de la chemise de refroidissement

La masse dans la chemise de refroidissement est:

On assume que le volume dans la chemise est constant et la densité ne change pas.

Ce qui mène à:

( )JJin Jin J J

d VF F

dt

J JinF F

40

Bilan thermique de la chemise de refroidissement

En s’inspirant que l’analyse faite avec le réservoir:

Notez les indices « J » pour Jacket (chemise de …).

Notez la présence de la variable Q.

J JJi J

J J J pJ

dT F QT Tdt V V c

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Échanges entre le réservoir et la chemise

L’échange d’énergie entre deux liquides de deux cotés d’une paroi est:

U : Coefficient de transfert de chaleur (W/m2K)

A : surface de la paroi

( )JQ U A T T

42

Bilan thermique global

Réservoir:

Chemise:

( )Ji

p

UA T TdT F T Tdt V Vc

( )J J JJi J

J J J pJ

dT F UA T TT T

dt V V c

43

Bilan thermique global

Réservoir:

Chemise:

( )Ji

p

UA T TdT FT T

dt V Vc

( )J J JJi J

J J J pJ

dT F UA T TT T

dt V V c

T TJ

Si T>TJ

Si T<TJ

44

ON REVERRA CES ÉQUATIONS THERMIQUES BIENTÔT !!!

Qu’en sera-t-il des réactions chimiques endothermiques ou exothermiques ?