therese biedl et al- unfolding some classes of orthogonal polyhedra

8/3/2019 Therese Biedl et al- Unfolding Some Classes of Orthogonal Polyhedra

1/10

U n f o l d i n g S o m e C l a s s e s o f O r t h o g o n a l P o l y h e d r a

T h e r e s e B i e d l

y

E r i k D e m a i n e

z x

M a r t i n D e m a i n e

z

A n n a L u b i w

z x

M a r k O v e r m a r s

{

J o s e p h O ' R o u r k e

k

S t e v e R o b b i n s

y y y

S u e W h i t e s i d e s

y x y y

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r , w e s t u d y u n f o l d i n g s o f o r t h o g o n a l p o l y h e d r a . M o r e p r e c i s e l y , w e d e n e

t w o s p e c i a l c l a s s e s o f o r t h o g o n a l p o l y h e d r a , o r t h o s t a c k s a n d o r t h o t u b e s , a n d s h o w h o w t o

g e n e r a t e u n f o l d i n g s b y c u t t i n g f a c e s , s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g s u r f a c e s c a n b e a t t e n e d i n t o a

s i n g l e c o n n e c t e d p o l y g o n .

1 I n t r o d u c t i o n

A n u n f o l d i n g o f a p o l y h e d r o n i s a c u t t i n g o f t h e p o l y h e d r o n ' s s u r f a c e s o t h a t t h e s u r f a c e c a n b e

a t t e n e d i n t o a s i n g l e s i m p l e p o l y g o n t h a t d o e s n o t o v e r l a p i t s e l f . F i n d i n g u n f o l d i n g s i s a c l a s s i c

p r o b l e m . N o t o n l y d o e s i t h a v e c o n n e c t i o n s w i t h o r i g a m i , b u t i t a l s o h a s p o t e n t i a l i n d u s t r i a l

a p p l i c a t i o n s , b e c a u s e a n u n f o l d i n g a l l o w s o n e t o c o n s t r u c t a d e s i r e d p h y s i c a l s h a p e b y f o l d i n g

a n d g l u i n g a p o l y g o n a l c u t - o u t o f a s t i s h e e t o f m a t e r i a l .

U n f o l d i n g s c a n b e c l a s s i e d b y w h e t h e r a l l c u t s a r e a l o n g e d g e s o f t h e p o l y h e d r o n ( e d g e c u t s ) ,

o r w h e t h e r c u t s a c r o s s f a c e s a r e a l l o w e d a s w e l l . I t i s a n o p e n p r o b l e m t o d e t e r m i n e w h e t h e r

e v e r y c o n v e x p o l y h e d r o n h a s a n u n f o l d i n g w i t h o n l y e d g e c u t s C F G 9 3 , p p . 7 3 { 7 5 ] F u k 9 7 ] S h e 7 5 ] .

W i t h o u t t h i s r e s t r i c t i o n t h e r e a r e a t l e a s t t w o d i e r e n t m e t h o d s f o r n d i n g a n u n f o l d i n g o f a

g i v e n c o n v e x p o l y h e d r o n A O 9 2 ] .

U n f o l d i n g n o n c o n v e x p o l y h e d r a s e e m s r e l a t i v e l y u n e x p l o r e d . F o r e x a m p l e , i t i s o p e n w h e t h e r

t h e r e i s a n o n c o n v e x p o l y h e d r o n w i t h c o n v e x f a c e s t h a t h a s n o u n f o l d i n g , e v e n i f o n l y e d g e

c u t s a r e a l l o w e d . H e r e w e e x a m i n e t h e c a s e o f a n o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n , i . e . , a s i m p l e t h r e e -

d i m e n s i o n a l p o l y h e d r o n e a c h f a c e o f w h i c h i s p e r p e n d i c u l a r t o o n e o f t h e c o o r d i n a t e a x e s .

W e w i l l l o o k a t t w o c l a s s e s o f o r t h o g o n a l p o l y h e d r a , \ o r t h o s t a c k s " a n d \ o r t h o t u b e s " , d e n e d

f o r m a l l y i n S e c t i o n s 2 a n d 3 . I n t u i t i v e l y , t h e y c a n b e v i e w e d a s w h a t a r e c a l l e d g e n e r a l i z e d

c y l i n d e r s i n t h e c o m p u t e r g r a p h i c s c o m m u n i t y : a c u r v e a l o n g w h i c h a c r o s s - s e c t i o n i s s w e p t .

T h e r e s e a r c h r e p o r t e d h e r e w a s i n i t i a t e d a t t h e I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n W r a p p i n g a n d F o l d i n g , c o - o r g a n i z e d

b y A n n a L u b i w a n d S u e W h i t e s i d e s , a t t h e B e l l a i r s R e s e a r c h I n s t i t u t e o f M c G i l l U n i v e r s i t y , J a n u a r y 3 1 - F e b r u a r y

6 , 1 9 9 8 . W e w o u l d l i k e t o t h a n k H a z e l E v e r e t t , S y l v a i n L a z a r d , I l e a n a S t r e i n u , a n d G o d f r i e d T o u s s a i n t f o r u s e f u l

d i s c u s s i o n s .

y

S c h o o l o f C o m p u t e r S c i e n c e , M c G i l l U n i v e r s i t y , 3 4 8 0 U n i v e r s i t y S t r e e t # 3 1 8 , M o n t r e a l , Q u e b e c H 3 A 2 A 7 ,

C a n a d a . f t h e r e s e , s t e v e r , s u e g @ c s . m c g i l l . c a

z

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o , W a t e r l o o , O n t a r i o N 2 L 3 G 1 , C a n a d a . f e d d e m a i n e ,

m l d e m a i n e , a l u b i w g @ w a t e r l o o . c a .

x

S u p p o r t e d b y N S E R C .

{

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U t r e c h t U n i v e r s i t y , 3 5 0 8 U t r e c h t , T h e N e t h e r l a n d s . m a r k o v @ c s . r u u . n l .

k

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , S m i t h C o l l e g e , N o r t h a m p t o n , M A 0 1 0 6 3 , U S A . o r o u r k e @ c s . s m i t h . e d u .

S u p p o r t e d b y N S F .

y y

S u p p o r t e d b y F C A R .

1


2/10

T h i s c u r v e g i v e s t h e s e p o l y h e d r a a s o m e w h a t \ l i n e a r " n a t u r e , w h i c h i s w h a t w e e x p l o i t i n o u r

u n f o l d i n g s .

I n t h e c a s e o f o r t h o t u b e s , t h e c u r v e o f t h e g e n e r a l i z e d c y l i n d e r i s a n a r b i t r a r y n o n - s e l f -

i n t e r s e c t i n g o r t h o g o n a l c u r v e , a n d t h e c r o s s - s e c t i o n i s a r e c t a n g l e t h a t c h a n g e s o n l y n e a r b e n d s

o f t h e c u r v e . O r t h o t u b e s c a n \ c o r k s c r e w " t h r o u g h s p a c e , a n d , b e c a u s e w e a l l o w t h e c u r v e t o b e

c l o s e d , t h e y c a n e v e n f o r m c y c l e s a n d k n o t s . S e e F i g u r e 8 .

O r t h o s t a c k s , o n t h e o t h e r h a n d , a r e m u c h m o r e r e s t r i c t e d i n t h e c h o i c e o f t h e c u r v e , b u t

m u c h m o r e g e n e r a l i n t h e c h o i c e o f t h e c r o s s - s e c t i o n . F o r a n o r t h o s t a c k , t h e c u r v e i s p a r a l l e l

t o t h e x - a x i s . T h e c r o s s - s e c t i o n c o n s i s t s o f s i m p l e c o n n e c t e d o r t h o g o n a l p o l y g o n t h a t c h a n g e

o n l y a t n i t e l y m a n y v a l u e s , t h o u g h n o t s o a s t o d i s c o n n e c t t h e o r t h o s t a c k s . I n o t h e r w o r d s ,

o r t h o s t a c k s a r e f o r m e d b y \ s t a c k i n g u p " e x t r u s i o n s o f s i m p l e c o n n e c t e d o r t h o g o n a l p o l y g o n s .

I n p a r t i c u l a r , t h e y c o n t a i n t h e c l a s s o f a l l o r t h o g o n a l l y c o n v e x p o l y h e d r a .

W e p r o v e t h a t a l l o r t h o s t a c k s a n d o r t h o t u b e s c a n b e u n f o l d e d . T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e

c o n s i d e r o n l y u n f o l d i n g s w i t h o u t o v e r l a p . O u r c u t s a r e n o t a l w a y s a l o n g e d g e s ; i n d e e d , w e w i l l

p r o v i d e e x a m p l e s w h e r e t h i s i s n o t p o s s i b l e .

2 U n f o l d i n g O r t h o s t a c k s

2 . 1 D e n i t i o n s

W e n e e d t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : A n x - p l a n e i s a p l a n e t h a t i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e x - a x i s ;

y - p l a n e s a n d z - p l a n e s a r e d e n e d s i m i l a r l y . A n x - f a c e i s a f a c e o f t h e o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n

t h a t i s p a r t o f a n x - p l a n e ; y - f a c e s a n d z - f a c e s a r e d e n e d s i m i l a r l y . A n x - e d g e i s a n e d g e o f t h e

o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n t h a t i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s ; y - e d g e s a n d z - e d g e s a r e d e n e d s i m i l a r l y .

A n x - c r o s s - s e c t i o n C

x

o f a p o l y h e d r o n i s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e p o l y h e d r o n w i t h a n x - p l a n e .

W e d e n e a n o r t h o s t a c k a s a n o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n e v e r y x - c r o s s - s e c t i o n o f w h i c h i s a

s i m p l e c o n n e c t e d p o l y g o n .

F i g u r e 1 : T h e t w o o r t h o g o n a l p o l y h e d r a t o t h e l e f t a r e o r t h o s t a c k s . T h e o n e t o t h e r i g h t i s n o t

b e c a u s e t h e c r o s s - s e c t i o n a t t h e i n d i c a t e d p l a n e h a s t w o c o n n e c t e d c o m p o n e n t s .

A s a n x - p l a n e i s s w e p t f r o m s m a l l e r t o l a r g e r v a l u e s o f i t s x - c o o r d i n a t e , t h e c r o s s - s e c t i o n o f

a n o r t h o s t a c k c h a n g e s a t o n l y n i t e l y m a n y x - v a l u e s . D e n o t e t h e s e v a l u e s x

0

< x

1

< : : : < x

k

.

T h u s , f o r a l l v a l u e s x

i ? 1

< x

< x

i

t h e c r o s s - s e c t i o n w i t h x - c o o r d i n a t e x

i s t h e s a m e ; w e w i l l

c a l l t h i s c r o s s - s e c t i o n C

i

. B y d e n i t i o n o f a n o r t h o s t a c k , C

i

i s a s i m p l e c o n n e c t e d p o l y g o n . F o r

l a t e r e a s e o f n o t a t i o n , d e n e C

0

= C

k + 1

= ; . T h e i t h b a n d i s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s u r f a c e o f

t h e o r t h o s t a c k w i t h t h e r e g i o n f ( x

; y ; z ) : x

i ? 1

< x

< x

i

g . S e e F i g u r e 2 .

2 . 2 O u t l i n e o f t h e U n f o l d i n g

T h e b a s i c i d e a f o r u n f o l d i n g a n o r t h o s t a c k i s t o c u t i t i n t o t h e b a n d s d e n e d a b o v e , c u t e a c h b a n d

t o m a k e a s t r i p , a n d t o s p r e a d t h e s e s t r i p s o u t i n t h e p l a n e i n o r d e r o f i n c r e a s i n g x - c o o r d i n a t e .

2


3/10

x

0

x

1

x

3

x

2

x

y

z

F i g u r e 2 : A n o r t h o s t a c k a n d i t s c r o s s - s e c t i o n x

i

v a l u e s . T h e v i s i b l e p a r t o f t h e s e c o n d b a n d i s

s h o w n s h a d e d .

E a c h b a n d c o n s i s t s o f p a r t s o f y - f a c e s a n d z - f a c e s , a n d a l l b a n d s t o g e t h e r c o v e r a l l y - f a c e s a n d

a l l z - f a c e s . T h u s , o n l y t h e x - f a c e s a r e m i s s i n g , a n d w e a t t a c h t h e s e f a c e s b e t w e e n t h e s t r i p s i n

s u c h a w a y t h a t e v e r y t h i n g r e m a i n s o v e r l a p - f r e e a n d c o n n e c t e d .

A s w e w i l l s e e , t h e p l a c e t o c u t t h e i t h b a n d t o f o r m a s t r i p d e p e n d s o n t h e p r e v i o u s a n d t h e

n e x t b a n d . B e c a u s e w e c a n n o t n e c e s s a r i l y m e e t t h e r e q u i r e m e n t s i m p o s e d b y t h e p r e v i o u s a n d

t h e n e x t b a n d s i m u l t a n e o u s l y , w e w i l l r s t c u t e a c h b a n d i n t w o w i t h a n x - p l a n e . M o r e p r e c i s e l y ,

f o r 1 i n , l e t t h e l e f t i t h b a n d L

i

b e t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s u r f a c e o f t h e o r t h o s t a c k w i t h t h e

r e g i o n f ( x

; y ; z ) : x

i ? 1

< x

0 , a n d t h u s i t i s t h e s h a d o w i n x - d i r e c t i o n o f t h e b a n d R

i

. S i m i l a r l y , C

i + 1

i s t h e

s h a d o w o f t h e b a n d L

i + 1

. F o r 0 i k , d e n e D

i

= C

i

C

i + 1

, t h e s y m m e t r i c d i e r e n c e o f

p o l y g o n s C

i

a n d C

i + 1

. N o t e t h a t D

i

i s n o n e m p t y b e c a u s e w e o n l y t a k e c r o s s - s e c t i o n s a t c h a n g e s .

T h e c o n n e c t e d p i e c e s o f D

i

c o r r e s p o n d t o t h e x - f a c e s w i t h x - c o o r d i n a t e x

i

. S u c h a n x - f a c e l o o k s

\ t o t h e r i g h t " ( i . e . , t o w a r d + x ) i f t h e c o r r e s p o n d i n g p i e c e o f D

i

i s i n s i d e C

i

a n d o u t s i d e C

i + 1

,

a n d \ t o t h e l e f t " ( t o w a r d ? x ) i f i t i s o u t s i d e C

i

a n d i n s i d e C

i + 1

. S e e F i g u r e 3 .

L

3

x

y

z

R

2

z

y

C

3

C

2

F i g u r e 3 : T h e t r a n s i t i o n b e t w e e n R

2

a n d L

3

o f t h e a b o v e e x a m p l e , s h o w n o n c e f r o m t h e f r o n t

a n d o n c e f r o m r i g h t . T h e s h a d e d a r e a i s D

2

.

3


4/10

N o t e t h a t

S

k

i = 0

( R

i

D

i

L

i + 1

) c o v e r s a l l f a c e s o f t h e o r t h o s t a c k . T h u s , t o u n f o l d a n

o r t h o s t a c k , i t s u c e s t o s h o w : ( 1 ) h o w t o f o r m o n e c o n n e c t e d c o m p o n e n t o f R

i

D

i

L

i + 1

b y

c u t t i n g e a c h b a n d i n t o a r e c t a n g u l a r s t r i p , c u t t i n g D

i

i n t o p i e c e s , a n d a t t a c h i n g t h e m w i t h o u t

o v e r l a p a t a p p r o p r i a t e p l a c e s o n t h e s t r i p s w i t h o n e o f t h e p i e c e s c o n n e c t i n g t h e t w o s t r i p s ; a n d

( 2 ) h o w t o c o n n e c t t h e s e k + 1 c o m p o n e n t s w i t h o u t o v e r l a p .

2 . 3 A t t a c h i n g D

i

t o R

i

a n d L

i + 1

I n t h e f o l l o w i n g , x a n i n d e x i 6= 0 ; k . W e c u t t h e s y m m e t r i c d i e r e n c e D

i

i n t o a c o l l e c t i o n o f

r e c t a n g l e s P

1

; : : : ; P

l

, b y e x t e n d i n g e v e r y y - e d g e o f D

i

i n b o t h d i r e c t i o n s u n t i l i t h i t s a z - e d g e .

S e e F i g u r e 4 .

10

11

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

4

P

5

z

y

P

3

P

2

P

1

C

2

C

3

P

8

P

7

P

6

F i g u r e 4 : D

i

i s p a r t i t i o n e d i n t o r e c t a n g l e s P

1

; : : : ; P

l

b y c u t t i n g a l o n g e x t e n s i o n s o f y - e d g e s .

I = C

i

\ C

i + 1

i s s h o w n s h a d e d .

T o c o n n e c t t h e b a n d s R

i

a n d L

i + 1

, w e p r o c e e d a s f o l l o w s . L e t I b e t h e i n t e r s e c t i o n o f C

i

a n d

C

i + 1

; t h i s i n t e r s e c t i o n i s n o n - e m p t y b e c a u s e t h e o r t h o s t a c k i s c o n n e c t e d . L e t e b e a z - e d g e o f I

w i t h t h e l a r g e s t y - c o o r d i n a t e . I n F i g u r e 4 , e i s t h e e d g e b e t w e e n e n d p o i n t s ( 4 ; 1 0 ) a n d ( 6 ; 1 0 ) .

E d g e e b e l o n g s t o t h e b o u n d a r y o f C

i

o r C

i + 1

o r b o t h . W e a p p l y o n e o f t w o m e t h o d s t o

c o n n e c t t h e b a n d s , d e p e n d i n g o n w h e t h e r e b e l o n g s t o b o t h b o u n d a r i e s o r o n l y o n e . I f , a s i n

F i g u r e 4 , p a r t o f e b e l o n g s t o b o t h b o u n d a r i e s , a n d p a r t o f e b e l o n g s t o o n l y o n e b o u n d a r y , t h e n

e i t h e r o f t h e f o l l o w i n g m e t h o d s c a n b e e m p l o y e d .

M e t h o d ( 1 ) : I f p a r t o f e b e l o n g s t o b o t h C

i

a n d C

i + 1

, t h e n l e t z

m i n

; z

m a x

] b e a m a x i m a l

i n t e r v a l o f o v e r l a p b e t w e e n C

i

a n d C

i + 1

. S i n c e C

i

a n d C

i + 1

a r e t h e s h a d o w s o f R

i

a n d L

i + 1

,

r e s p e c t i v e l y , i t f o l l o w s t h a t i n t h i s i n t e r v a l , t h e t w o b a n d s R

i

a n d L

i + 1

r u n i n p a r a l l e l a n d a t t a c h

t o e a c h o t h e r . I n F i g u r e 4 , w e h a v e z

m i n

= 5 a n d z

m a x

= 6 .

M e t h o d ( 2 ) : I f n o t a l l o f e b e l o n g s t o b o t h C

i

a n d C

i + 1

, t h e n e i s i n c i d e n t t o t h e s y m m e t r i c

d i e r e n c e D

i

, a n d t h e r e f o r e t o a t l e a s t o n e o f t h e r e c t a n g l e s , s a y t o P

j

. T h i s r e c t a n g l e w i l l b e

c a l l e d t h e c o n n e c t i n g b r i d g e . T h e t o p a n d b o t t o m o f P

j

a r e p a r t s o f e d g e s o f C

i

a n d / o r C

i + 1

.

B e c a u s e e i s t h e t o p m o s t e d g e o f I , t h e b o t t o m o f P

j

i s i n c i d e n t t o I , a n d t h e t o p o f P

j

i s n o t

i n c i d e n t t o I ; t h e r e f o r e t h e t o p a n d t h e b o t t o m o f P

j

c a n n o t b e e d g e s o f t h e s a m e p o l y g o n . S i n c e

C

i

a n d C

i + 1

a r e t h e s h a d o w s o f R

i

a n d L

i + 1

, r e s p e c t i v e l y , i t f o l l o w s t h a t e i t h e r t h e b o t t o m o f

P

j

a t t a c h e s t o R

i

a n d t h e t o p o f P

j

a t t a c h e s t o L

i + 1

, o r , v i c e v e r s a , t h e b o t t o m o f P

j

a t t a c h e s

t o L

i + 1

, a n d t h e t o p o f P

j

a t t a c h e s t o R

i

. L e t z

m i n

a n d z

m a x

b e t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m

z - c o o r d i n a t e o f P

j

, r e s p e c t i v e l y . I n F i g u r e 4 , w e h a v e P

j

= P

3

, z

m i n

= 4 a n d z

m a x

= 5 .

W e w i l l t r e a t t h e r s t m e t h o d a s a s p e c i a l c a s e o f t h e s e c o n d m e t h o d , b y c o n s i d e r i n g t h e

i n t e r v a l z

m i n

; z

m a x

] a s a z e r o - h e i g h t r e c t a n g l e P

j

. C u t R

i

b y e x t e n d i n g t h e y - e d g e t h a t f o r m s

4


5/10

t h e z

m a x

- b o u n d a r y o f P

j

a c r o s s R

i

. C u t L

i + 1

b y e x t e n d i n g t h e y - e d g e t h a t f o r m s t h e z

m i n

-

b o u n d a r y o f P

j

a c r o s s L

i + 1

. E a c h c u t b a n d n o w u n f o l d s i n t o a r e c t a n g u l a r s t r i p ; p l a c e t h i s s t r i p

i n t h e x y - p l a n e w i t h u n c h a n g e d x - c o o r d i n a t e s s u c h t h a t t h e i n s i d e o f t h e s t r i p p o i n t s t o w a r d s

t h e + z - d i r e c t i o n . A b u s i n g n o t a t i o n , w e c a l l t h e s e a t t e n e d s t r i p s R

i

a n d L

i + 1

a s w e l l . R e c t a n g l e

P

j

a t t a c h e s t o t h e a t t e n e d s t r i p R

i

a t t h e t o p ( y

m a x

) e n d , a n d t o t h e a t t e n e d s t r i p L

i + 1

a t

t h e b o t t o m ( y

m i n

) e n d . T h u s , a f t e r s h i f t i n g o n e o f t h e s t r i p s i n y - d i r e c t i o n , w e c a n g l u e P

j

t o

b o t h s t r i p s , c o n n e c t i n g t h e m .

T h e h a l f - i n n i t e r e c t a n g l e t o t h e r i g h t ( + x ) o f R

i

a n d t h e h a l f - i n n i t e r e c t a n g l e t o t h e l e f t

( ? x ) o f L

i + 1

w i l l b e u s e d t o p l a c e a l l o t h e r p i e c e s o f D

i

. M o r e p r e c i s e l y , e a c h r e c t a n g l e P

1

; : : : ; P

l

( e x c e p t t h e c o n n e c t i n g b r i d g e P

j

) i s g l u e d t o t h e b a n d a t i t s y

m a x

e n d . T h e h a l f - i n n i t e r e c t a n g l e

f r o m b o t h b a n d s i s e m p t y a n d e a c h p i e c e i s a r e c t a n g l e , t h e r e f o r e n o i n t e r s e c t i o n s a r e p o s s i b l e .

S e e F i g u r e 5 .

L

3

x

y

z

R e s e r v e d f o r r e c t a n g l e s o f D

i

P

8

P

5

P

4


i

P

1

P

2

P

3

P

6

P

7

R

2

x

y

z

P

7


i


i

P

1

P

2

P

3

L

3

R

2

P

8

P

5

P

4

P

6

F i g u r e 5 : S p l i t t i n g t h e s y m m e t r i c d i e r e n c e , a n d a t t a c h i n g i t t o t h e s t r i p s . W e s h o w t h i s u s i n g

M e t h o d ( 1 ) o n t h e l e f t , a n d M e t h o d ( 2 ) o n t h e r i g h t .

T h u s , w e h a v e s h o w n h o w t o u n f o l d R

i

D

i

L

i + 1

, 1 i k ? 1 . W e c a n h a n d l e D

0

L

1

a n d R

k

D

k

s i m i l a r l y . W e c u t L

1

a t t h e s a m e p l a c e w h e r e w e c u t R

1

, c u t D

0

i n t o r e c t a n g l e s ,

a n d a t t a c h t h e s e r e c t a n g l e s i n t h e h a l f - i n n i t e r e c t a n g l e t o t h e l e f t o f L

1

. W e c u t R

k

a t t h e s a m e

5


6/10

p l a c e w h e r e w e c u t L

k

, c u t D

k

i n t o r e c t a n g l e s , a n d a t t a c h t h e s e r e c t a n g l e s i n t h e h a l f - i n n i t e

r e c t a n g l e t o t h e r i g h t o f R

k

.

2 . 4 C o n n e c t i n g t h e l a y o u t s o f R

i

D

i

L

i + 1

A l l t h a t r e m a i n s t o s h o w i s h o w t o a t t a c h b a n d L

i

t o b a n d R

i

, i = 0 ; : : : ; k . T h e b a n d s L

i

a n d R

i

h a v e b e e n c u t a t p o s s i b l y d i e r e n t p l a c e s t o f o r m s t r i p s . I f t h e c u t s a r e a c t u a l l y a t t h e

s a m e p l a c e , t h e n t h e s t r i p s c a n s i m p l y b e r e j o i n e d . I f t h e c u t s a r e a t d i e r e n t p l a c e s , t h e r e a r e

t w o w a y s t o r e j o i n t h e s t r i p s , w i t h R

i

s t a g g e r e d a b o v e o r b e l o w L

i

, r e s p e c t i v e l y . W e c h o o s e t h e

f o r m e r f o r a l l i = 1 ; : : : ; k , l i n i n g u p t h e t o p o f t h e s t r i p L

i

w i t h t h e a p p r o p r i a t e p l a c e i n s t r i p

R

i

. S e e F i g u r e 6 , p a r t i c u l a r l y t h e m i d d l e p a i r o f s t r i p s .

R

3

R

1

L

1

L

2

R

2

f o r D

0

f o r D

1

f o r D

2

x

0

x

1

f o r D

2

f o r D

3

f o r D

1

x

1

x

2

x

2

x

3

L

3

F i g u r e 6 : W e g l u e t h e p i e c e s t o g e t h e r s u c h t h a t t h e L

i

i s n o t a b o v e R

i

f o r 1 i k . T h e b l a c k

r e c t a n g l e i s a c o n n e c t i n g b r i d g e . ( T h e g u r e i s n o t t o s c a l e w i t h t h e p r e v i o u s e x a m p l e . )

T h u s w e h a v e a c h i e v e d a n u n f o l d i n g o f t h e o r t h o s t a c k . T o e s t i m a t e t h e c o m p l e x i t y o f t h i s

u n f o l d i n g , w e w o u l d l i k e t o o b t a i n a b o u n d o n t h e n u m b e r o f v e r t i c e s i n t h e r e s u l t i n g p o l y g o n .

E v e r y s y m m e t r i c d i e r e n c e D

i

c o n t a i n s a t l e a s t o n e r e c t a n g l e , s o w e c a n c h a r g e t h e u p t o 8

v e r t i c e s o f R

i

L

i + 1

t o t h i s r e c t a n g l e . T h u s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e u n f o l d e d p o l y g o n i s

O ( r ) , w h e r e r i s t h e t o t a l n u m b e r o f r e c t a n g l e s . A l l t h e r e c t a n g l e s o b t a i n e d b y p a r t i t i o n i n g D

i

l i e i n t h e x - p l a n e w i t h x - c o o r d i n a t e x

i

, a n d e a c h r e c t a n g l e P

k

i s i n c i d e n t t o a t l e a s t o n e v e r t e x

v o f t h e o r t h o s t a c k i n t h a t p l a n e ( b e c a u s e P

k

' s b o r d e r c o n t a i n s a n e d g e e x t e n s i o n c u t , a n d e a c h

e d g e i n c l u d e s t w o v e r t i c e s ) . C h a r g e e a c h r e c t a n g l e P

k

t o o n e o f t h e v e r t i c e s v o n i t s b o u n d a r y .

N o v e r t e x v c a n b e i n c i d e n t t o m o r e t h a n t w o r e c t a n g l e s ( c f . F i g u r e 4 ) , a n d s o n o v e r t e x r e c e i v e s

m o r e t h a n t w o c h a r g e s . T h u s t h e n u m b e r o f r e c t a n g l e s f r o m D

i

i s O ( n

i

) , w h e r e n

i

i s t h e n u m b e r

o f v e r t i c e s o f t h e o r t h o s t a c k i n t h e x - p l a n e w i t h x - c o o r d i n a t e x

i

. T h e t o t a l n u m b e r o f v e r t i c e s

o f t h e p o l y g o n t h e r e f o r e i s O ( r ) =

P

i

O ( n

i

) = O ( n ) .

T h u s , w e h a v e p r o v e d t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :

T h e o r e m 1 T h e s u r f a c e o f a n y o r t h o s t a c k m a y b e c u t a n d u n f o l d e d a t t o a p l a n a r o r t h o g o n a l

s i m p l e p o l y g o n . E a c h c u t i s p e r p e n d i c u l a r t o o n e o f t h e c o o r d i n a t e a x e s . F o r a n o r t h o s t a c k o f n

v e r t i c e s , t h e p o l y g o n h a s O ( n ) v e r t i c e s .

I t w o u l d b e a r e a s o n a b l e r e s t r i c t i o n t o r e q u i r e t h a t a l l c u t s l i e i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o a

c o o r d i n a t e a x i s a n d c o n t a i n i n g a t l e a s t o n e v e r t e x o f t h e p o l y h e d r o n . H o w e v e r , o u r c o n s t r u c t i o n

s p l i t s t h e i t h b a n d i n t o L

i

a n d R

i

w i t h a c u t t h a t v i o l a t e s t h i s r e s t r i c t i o n . W e l e a v e a s a n o p e n

p r o b l e m n d i n g a n u n f o l d i n g u n d e r t h i s m o r e s t r i n g e n t c o n d i t i o n .

6


7/10

2 . 5 U n f o l d i n g w i t h e d g e c u t s i s i m p o s s i b l e

I n o u r c o n s t r u c t i o n , w e u s e d c u t s t h a t a r e n o t e d g e c u t s . W e n o w s h o w t h a t t h i s i s n e c e s s a r y f o r

t h e o r t h o s t a c k s i n F i g u r e 7 , w h i c h b y T h e o r e m 1 c a n b e u n f o l d e d i f w e a l l o w c u t s a c r o s s f a c e s .

F i g u r e 7 : T w o o r t h o s t a c k s t h a t c a n n o t b e u n f o l d e d w i t h e d g e c u t s .

F i r s t , c o n s i d e r t h e l e f t p o l y h e d r o n o f F i g u r e 7 . I n a n u n f o l d i n g w i t h o n l y e d g e c u t s , a l l f a c e s

a r e l e f t i n t a c t . T h e r e f o r e , t h e u n f o l d i n g o f t h e l i t t l e c u b e m u s t l i e i n s i d e t h e h o l e o f t h e a n n u l u s

t h a t i s t h e t o p f a c e o f t h e b i g b o x . T h i s i s i m p o s s i b l e , b e c a u s e t h e h o l e d o e s n o t h a v e e n o u g h

a r e a f o r t h e s u r f a c e o f t h e s m a l l c u b e . H e n c e , t h e r e i s n o u n f o l d i n g w i t h e d g e c u t s o n l y .

A m o r e i n t r i g u i n g e x a m p l e i s t h e r i g h t p o l y h e d r o n o f F i g u r e 7 , w h i c h i s a c u b e w i t h s m a l l

\ b i t e s " t a k e n o u t o f e v e r y e d g e . H e r e , e v e r y f a c e i s a s i m p l e o r t h o g o n a l p o l y g o n w i t h o u t h o l e s .

N e v e r t h e l e s s , t h i s p o l y h e d r o n h a s n o u n f o l d i n g w i t h e d g e c u t s o n l y . A n u n f o l d i n g u s i n g o n l y

e d g e c u t s p r o v i d e s a t r e e o f t h e f a c e s . C o n s i d e r t w o o f t h e l a r g e f a c e s t h a t a r e c l o s e s t i n t h i s

t r e e . T h e y m u s t e i t h e r b e j o i n e d d i r e c t l y , o r v i a t h e f a c e s o f t h e b i t e b e t w e e n t h e m . T h e r s t

p o s s i b i l i t y l e a v e s n o a r e a f o r t h e f a c e s o f t h e b i t e , a n d t h e s e c o n d o n e e i t h e r l e a d s t o o v e r l a p

b e t w e e n f a c e s o r a g a i n l e a v e s n o a r e a f o r t h e b i t e . S o b o t h p o s s i b i l i t i e s a r e r u l e d o u t , o r i n o t h e r

w o r d s , t h e r e i s n o u n f o l d i n g w i t h e d g e c u t s .

A n e v e n m o r e i n t e r e s t i n g e x a m p l e w o u l d b e a n o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n w h e r e a l l f a c e s a r e

o r t h o g o n a l l y c o n v e x , a n d n e v e r t h e l e s s t h e r e i s n o u n f o l d i n g w i t h o n l y e d g e c u t s . W e l e a v e t h i s

a s a n o p e n p r o b l e m .

3 U n f o l d i n g O r t h o t u b e s

A n o r t h o t u b e i s d e n e d a s a ( p o s s i b l y c y c l i c ) s e q u e n c e o f a x i s - p a r a l l e l b l o c k s ( i . e . , r e c t a n g u l a r

b o x e s ) B

0

; : : : ; B

k ? 1

s u c h t h a t f o r i = 0 ; : : : ; k ? 1 , B

i

\ B

i + 1

i s a 2 - d i m e n s i o n a l f a c e o f b o t h

B

i

a n d B

i + 1

, a n d s u c h t h a t B

i

\ B

j

, j 6= i ? 1 ; i + 1 , i s e i t h e r e m p t y , o r a 1 - d i m e n s i o n a l o r

0 - d i m e n s i o n a l f a c e c o n t a i n e d i n B

i

\ B

i ? 1

o r B

i

\ B

i + 1

. H e r e , w e d e n e B

? 1

= B

k

= ; i f t h e

o r t h o t u b e i s n o t c y c l i c , a n d B

? 1

= B

k ? 1

, B

k

= B

0

o t h e r w i s e . S e e F i g u r e 8 f o r s o m e e x a m p l e s

o f o r t h o t u b e s . N o t i c e t h a t n e i t h e r t h e l e f t h a n d n o r t h e m i d d l e o r t h o t u b e , a n \ o r t h o g o n a l i z e d

t r e f o i l k n o t " , i s a n o r t h o s t a c k .

A s w e w i l l s h o w n o w , a n y o r t h o t u b e h a s a n u n f o l d i n g . A s o p p o s e d t o o r t h o s t a c k s , w e w i l l

o n l y u s e c u t s t h a t l i e i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o a c o o r d i n a t e a x i s a n d c o n t a i n i n g a t l e a s t o n e

v e r t e x o f t h e p o l y h e d r o n .

C o n s i d e r a n o r t h o t u b e c o n s i s t i n g o f t h e b l o c k s B

0

; : : : ; B

k ? 1

. W e w i l l a s s u m e t h a t t h e

o r t h o t u b e i s c y c l i c ; t h e o t h e r c a s e w i l l b e t r e a t e d l a t e r . L e t t h e s u r f a c e o f a b l o c k B

i

b e t h e

u n i o n o f a l l 2 - d i m e n s i o n a l f a c e s t h a t a r e c o m m o n t o B

i

a n d t h e o r t h o t u b e . W i t h t h i s d e n i t i o n ,

t h e s u r f a c e o f b l o c k B

i

i s t h e s u r f a c e o f a b l o c k w i t h t w o f a c e s m i s s i n g ; w e c a l l t h e s e m i s s i n g

f a c e s h o l e s . T h e r e a r e t w o c l a s s e s o f b l o c k s : t h e t u b e b l o c k s , w h e r e t h e t w o h o l e s a r e o n o p p o s i t e

s i d e s , a n d t h e c o r n e r b l o c k s , w h e r e t h i s i s n o t t h e c a s e .

7


8/10

tube block

corner block

F i g u r e 8 : E x a m p l e s o f o r t h o t u b e s .

E a c h t u b e b l o c k B

i

i s u n f o l d e d b y c u t t i n g i t s s u r f a c e a l o n g o n e o f t h e f o u r e d g e s t h a t i s n o t

i n c i d e n t t o a h o l e , t h e b l o c k t h e n u n f o l d s i n t o a r e c t a n g l e . S e e F i g u r e 9 .

a

b

c

d

e

f

g

h o l e t o B

i + 1

h o l e t o B

i ? 1

a

b

c

d

a

e

f

g

e

t o B

i ? 1

t o B

i + 1

F i g u r e 9 : T h e u n f o l d i n g o f a t u b e b l o c k B

i

. E d g e s t h a t a r e s h a r e d w i t h B

i ? 1

o r B

i + 1

a r e s h o w n

w i t h u n d e r l y i n g d o t s . T h e r i g h t g u r e s h o w s t h e o u t s i d e o f t h e t u b e b l o c k . A l l f o l d s o f t h e

u n f o l d i n g a r e m o u n t a i n f o l d s .

W e u s e t w o o f t h e p o s s i b l e u n f o l d i n g s o f a c o r n e r b l o c k B

i

( t h e c h o i c e b e t w e e n t h e s e t w o

w i l l b e m a d e a c c o r d i n g t o t h e u n f o l d i n g o f B

i ? 1

, d e t a i l e d b e l o w ) . T o u n f o l d a c o r n e r b l o c k B

i

,

w e c u t a l o n g t w o e d g e s o f i t s s u r f a c e a s s h o w n i n F i g u r e 1 0 ; t h e s u r f a c e o f B

i

t h e n f o l d s a t .

a

b c

d

e

f

h o l e t o B

i ? 1

h o l e t o B

i + 1

!

f e

a

b

b c

d

et o B

i ? 1

t o B

i + 1

t o B

i + 1

t o B

i ? 1

o r

a f

e

d

dc

b

a

t o B

i ? 1

t o B

i + 1

t o B

i ? 1

t o B

i + 1

F i g u r e 1 0 : T w o u n f o l d i n g s o f a c o r n e r b l o c k . E d g e s t h a t a r e s h a r e d w i t h B

i ? 1

o r B

i + 1

a r e s h o w n

w i t h u n d e r l y i n g d o t s . T h e s e c o n d a n d t h i r d g u r e s h o w t h e o u t s i d e o f t h e c o r n e r b l o c k . A l l

f o l d s o f t h e u n f o l d i n g a r e m o u n t a i n f o l d s .

8


9/10

R o t a t e t h e u n f o l d i n g s o f e a c h b l o c k B

i

s u c h t h a t a t l e a s t t w o e d g e s t h a t i t h a s i n c o m m o n

w i t h B

i ? 1

a r e o n t h e l e f t s i d e , a n d s u c h t h a t a t l e a s t t w o e d g e s t h a t i t h a s i n c o m m o n w i t h B

i + 1

a r e o n t h e r i g h t s i d e , s e e F i g u r e s 9 a n d 1 0 .

N o w w e s h o w b y i n d u c t i o n o n i h o w t h e u n f o l d i n g o f B

i

c a n b e c o n n e c t e d t o t h e u n f o l d i n g o f

B

0

: : : B

i ? 1

. W e m a i n t a i n t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s t h a t i n t h e u n f o l d i n g o f B

0

: : : B

i ? 1

,

t h e r e a r e a t l e a s t t w o e d g e s b e t w e e n B

i ? 1

a n d B

i

t h a t a r e o n t h e r i g h t m o s t b o u n d a r y o f t h e

c u r r e n t p o l y g o n . W e s t a r t w i t h a n u n f o l d i n g o f B

0

( c h o o s e a n a r b i t r a r y o n e i f B

0

i s a c o r n e r

b l o c k ) ; t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s i s t h e n s a t i s e d r e g a r d l e s s o f w h e t h e r B

0

i s a t u b e b l o c k o r a

c o r n e r b l o c k .

N o w a s s u m e t h a t t h e u n f o l d i n g s o f B

0

; : : : ; B

i ? 1

h a v e b e e n c o m b i n e d t o a p o l y g o n P . T w o

e d g e s t h a t a r e c o m m o n t o B

i ? 1

a n d B

i

a r e o n t h e r i g h t m o s t b o u n d a r y o f P . H o w e v e r , o n e o f

t h e s e e d g e s m a y n o t b e p a r t o f t h e s u r f a c e o f B

i

d e s p i t e b e i n g a n e d g e o f B

i

; n a m e l y , i t m a y

b e p a r t o f b o t h h o l e s o f t h e s u r f a c e o f B

i

. ( S e e f o r e x a m p l e t h e e d g e b e t w e e n f a c e 7 a n d 8 i n

F i g u r e 1 1 , w h i c h d o e s n o t b e l o n g t o t h e s u r f a c e o f t h e b l o c k w i t h f a c e 6 . ) B u t t h e r e e x i s t s a t

m o s t o n e s u c h e d g e , w h i c h l e a v e s a t l e a s t o n e e d g e e t h a t b e l o n g s t o t h e s u r f a c e o f B

i

a n d t h a t

i s o n t h e r i g h t m o s t b o u n d a r y o f P ( i f t h e r e i s m o r e t h a n o n e , t h e n w e c h o o s e e a m o n g t h e m

a r b i t r a r i l y ) .

I f B

i

i s a t u b e b l o c k , t h e n t h e u n f o l d i n g o f B

i

w i l l c o n t a i n e o n t h e l e f t s i d e . I f B

i

i s a c o r n e r

b l o c k , t h e n a t l e a s t o n e o f t h e u n f o l d i n g s o f B

i

d e p i c t e d i n F i g u r e 1 0 w i l l c o n t a i n e o n t h e l e f t

s i d e ; c h o o s e a n u n f o l d i n g o f B

i

s u c h t h a t t h i s i s t h e c a s e . N o w a t t a c h t h i s u n f o l d i n g o f B

i

, u s i n g

e d g e e , o n t h e r i g h t m o s t b o u n d a r y o f P . T h i s w i l l n o t r e s u l t i n o v e r l a p , b e c a u s e e i s o n t h e

l e f t m o s t b o u n d a r y o f t h e u n f o l d i n g o f B

i

. A t l e a s t t w o e d g e s b e t w e e n B

i

a n d B

i + 1

a r e n o w o n

t h e r i g h t m o s t b o u n d a r y o f t h e p o l y g o n , s o t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s i s s a t i s e d .

A l l t h a t r e m a i n s t o s h o w i s h o w t o h a n d l e a n a c y c l i c o r t h o t u b e . I n t h i s c a s e , t h e r s t a n d

l a s t b l o c k h a v e o n l y o n e h o l e . T e m p o r a r i l y r e m o v e t h e f a c e o p p o s i t e t o t h i s h o l e , a n d u n f o l d B

0

a n d B

k ? 1

a s i f t h e y w e r e t u b e b l o c k s . T h e n a t t a c h t h e m i s s i n g f a c e a t a n a r b i t r a r y e d g e o f B

0

o r B

k ? 1

, r e s p e c t i v e l y .

I n F i g u r e 1 1 , w e s h o w t h e c o m p l e t e e x a m p l e o f a n o r t h o t u b e a n d i t s u n f o l d i n g .

0

1 2

3

4

5

67

8

9

1 0

0

1

5 6

10

3

82 4 7

9

B

1

B

2

B

3

B

4

B

5

F i g u r e 1 1 : A n o r t h o t u b e a n d i t s u n f o l d i n g . T h e e d g e s u s e d t o c o n n e c t b l o c k s a r e s h o w n w i t h

u n d e r l y i n g d o t s . T h e s p a c e f o r e a c h b l o c k i s i n d i c a t e d w i t h t h i n d o t t e d l i n e s . T h e r i g h t g u r e

s h o w s t h e o u t s i d e o f t h e o r t h o t u b e b l o c k . A l l f o l d s o f t h e u n f o l d i n g a r e m o u n t a i n f o l d s .

B e c a u s e e v e r y c u t h a s b e e n a p p l i e d i n a p l a n e t h a t c o n t a i n s a v e r t e x , i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y

t h a t t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e r e s u l t i n g u n f o l d i n g i s p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f v e r t i c e s

o f t h e o r t h o t u b e .

A s m e n t i o n e d , t h e u n f o l d i n g o f e a c h b l o c k h a s o n l y m o u n t a i n - f o l d s . T h e e d g e s u s e d t o g l u e

t o g e t h e r t w o b l o c k s a r e n o t f o l d s ; h e n c e t h e r e s u l t i n g u n f o l d i n g h a s o n l y m o u n t a i n - f o l d s .

9


10/10

T h e o r e m 2 T h e s u r f a c e o f a n y o r t h o t u b e m a y b e c u t a n d u n f o l d e d a t t o a p l a n a r o r t h o g o n a l

s i m p l e p o l y g o n . E a c h c u t i s p e r p e n d i c u l a r t o o n e o f t h e c o o r d i n a t e a x e s a n d i n a p l a n e t h a t

c o n t a i n s a t l e a s t o n e v e r t e x o f t h e o r t h o t u b e . F o r a n o r t h o t u b e o f n v e r t i c e s , t h e p o l y g o n h a s

O ( n ) v e r t i c e s . T h e u n f o l d i n g u s e s o n l y m o u n t a i n - f o l d s .

4 C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r , w e s t u d i e d t h e p r o b l e m o f n d i n g u n f o l d i n g s o f s o m e n o n c o n v e x p o l y h e d r a . I n

p a r t i c u l a r , w e s t u d i e d t w o c l a s s e s o f o r t h o g o n a l p o l y h e d r a , c a l l e d o r t h o s t a c k s a n d o r t h o t u b e s ,

a n d s h o w e d t h a t f o r t h e s e c l a s s e s a n u n f o l d i n g i s a l w a y s p o s s i b l e , p r o v i d e d c u t s a c r o s s f a c e s a r e

a l l o w e d .

S e v e r a l o p e n p r o b l e m s h a v e b e e n p o i n t e d o u t t h r o u g h o u t t h e p a p e r . T h e m o s t i m p o r t a n t

o n e s a r e t h e f o l l o w i n g :

1 . C a n a n o r t h o s t a c k b e u n f o l d e d u s i n g o n l y c u t s t h a t l i e i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o a

c o o r d i n a t e a x i s a n d c o n t a i n i n g a t l e a s t o n e v e r t e x o f t h e o r t h o s t a c k ?

2 . A n a t u r a l e x t e n s i o n t o o r t h o t u b e s , w h i c h f o r m a p a t h o r c y c l e o f b l o c k s , i s t h e c l a s s o f

o r t h o t r e e s , i . e . , t r e e s o f b l o c k s . C a n a l l o r t h o t r e e s b e u n f o l d e d ?

3 . C a n a n a r b i t r a r y o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n b e u n f o l d e d ?

4 . C a n a n o r t h o g o n a l p o l y h e d r o n , a l l f a c e s o f w h i c h a r e o r t h o g o n a l l y c o n v e x p o l y g o n s , b e

u n f o l d e d u s i n g o n l y e d g e c u t s ?

F i n a l l y , u n f o l d i n g s o f o t h e r c l a s s e s o f n o n c o n v e x p o l y h e d r a r e m a i n t o b e i n v e s t i g a t e d .

R e f e r e n c e s

A O 9 2 ] B . A r o n o v a n d J . O ' R o u r k e . N o n o v e r l a p o f t h e s t a r u n f o l d i n g . D i s c r e t e C o m p u t .

G e o m . , 8 : 2 1 9 { 2 5 0 , 1 9 9 2 .

C F G 9 3 ] H . T . C r o f t , K . J . F a l c o n e r , a n d R . K . G u y . U n s o l v e d P r o b l e m s i n G e o m e t r y . S p r i n g e r -

V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 3 .

F u k 9 7 ] K o m e i F u k u d a . S t r a n g e u n f o l d i n g s o f c o n v e x p o l y t o p e s , W e b - p a g e , 1 9 9 7 . S e e h t t p : / /

w w w . i f o r . m a t h . e t h z . c h / s t a / f u k u d a / u n f o l d h o m e / u n f o l d o p e n . h t m l .

S h e 7 5 ] G . C . S h e p h a r d . C o n v e x p o l y t o p e s w i t h c o n v e x n e t s . M a t h . P r o c . C a m b . P h i l . S o c . ,

7 8 : 3 8 9 { 4 0 3 , 1 9 7 5 .

1 0

therese biedl et al- unfolding some classes of orthogonal polyhedra

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