theorie neu

8/18/2019 Theorie Neu

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Lehrstuhl für Hydrologie und Wasserwirtschaft BTU Cottbus

Statistische Analyse hydrologischer Daten

(HW Berechnung)

Gliederung

1 Symbole und Abkürzungen

2 Einführung

3 Analyse hydrologischer Ganglinien

4 Prüfung der Daten für die Ermittlung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten

5 Wahrscheinlichkeitsanalyse

5.1 Empirische Unterschreitungswahrscheinlichkeit5.2 Extrapolation durch freie Anpassung

5.3 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion5.4 Anpassung theoretischer Funktionen an die Stichprobe5.4.1 Schätzverfahren für die Parameter der Funktionsgleichungen

6 Anpassungstests

7 Konfidenzgrenzen für Wahrscheinlichkeitsfunktionen

8 Literaturverzeichnis


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1 Formelzeichen und Abkürzungen

Tab. 1: Im Text verwendete Symbole und Formelzeichen

xi Messwert (Q)

x Mittelwert

s Standardabweichung

s² Varianz

x

sCv = Variationskoeffizient

3s

S Cs = Schiefekoeffizient

∑=

−=n

i

i x xn

S 1

3)(*1 Schiefe

α, Si (α+Si=1) Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveau

Pi Eintrittswahrscheinlichkeit, Unterschreitungswahrscheinlichkeit

i Rangplatz

n Stichprobenumfang

T Jährlichkeit

HQa Größter Hochwasserscheitelabfluss eines Jahres

AE Allgemeine Extremwertverteilung

E1 Extremwertverteilung Typ 1

ME Gemischte Extremwertverteilung Typ 1

P3 Pearson Typ 3-Verteilung

WB3 Weibull-Verteilung mit 3 Parametern

LN3 Log Normal-Verteilung mit 3 Parametern

LP3 Log Pearson Typ 3-Verteilung

Tab. 2: Übersicht zu den Einzelbegriffen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen (Quelle: Institut fürHydrologie u. Wasserbau Uni Karlsruhe (1990), S. 2)

f(x) ∫+∞

∞−= dx x f xF )()(

Grundgesamt-heit

Dichtefunktion (Dichte)

Wahrscheinlichkeitsverteilung„probability density function“ - pdf

Verteilungsfunktion

„cumulative distribution function“ - cdf

Stichprobe Häufigkeitsverteilung Summenhäufigkeit


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2 Einführung

Ausgangspunkt für die Untersuchungen von hydrologisch, wasserwirtschaftlichen Daten ist eine

gemessene Zeitreihe x(t). Solche gemessenen Zeitreihen sind immer unvollständig, da endlich,

und entsprechen damit nur einer Stichprobe aus der Grundgesamtheit. Parameter, die aus der

Stichprobe und aus der Grundgesamtheit ermittelt werden, unterscheiden sich zwangsläufig, die-ser Unterschied wird mit Stichprobenungenauigkeit ("sample uncertainity") bezeichnet.

Oft wird versucht, aus den in einer begrenzten Zeitreihe vorhandenen Daten durch Extrapolation

Extremwerte zu ermitteln, die eine größere Jährlichkeit besitzen, als der Länge der gemessenen

Zeitreihe entspricht. Ein Beispiel hierfür ist die Ermittlung von Jährlichkeiten von Hochwasser-

scheitelabflüssen durch Anpassung einer statistischen Wahrscheinlichkeitsverteilung an die ge-

messenen Daten. Aus der „zufälligen“ Wahl der anzupassenden Wahrscheinlichkeitsfunktion

resultiert eine Schätzungenauigkeit für die extrapolierten Werte, die Modellungenauigkeit ("mo-del uncertainity") genannt wird. Darum sollte am Ende die Angabe von Vertrauensintervallen für

die extrapolierten Werte immer angestrebt werden.

Im Abschnitt 3 werden verschiedene Fragestellungen bei der Analyse hydrologischer Ganglinien

vorgestellt. Ab Abschnitt 4 wird die Anpassung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen an Hoch-

wasserscheitelabflüsse genauer erläutert.

3 Analyse hydrologischer Ganglinien

In der Hydrologie/Wasserwirtschaft unterscheidet man drei Arten von Ganglinienuntersuchun-

gen:

- Einzelwerte der Funktionen x(t)

- Zeitreihenabschnitte

- das ganze Kontinuum der Zeitreihe.

Untersuchung von Einzelwerten der Ganglinien

Diese Aufgabe wird für Hochwasser- (HW) und Niedrigwasser- (NW) Untersuchungen ange-

wendet. Sie geht davon aus, dass die Einzelwerte statistisch unabhängige Größen sind und daher

auf der Basis von rein probabilistischen Konzepten analysiert werden können. Typisch hierfür ist

die Extremwertstatistik. Auf die statistischen Methoden hierfür wird im Weiteren genauer einge-

gangen.

Untersuchung von Zeitreihenabschnitten

Diese Aufgabe erfolgt meistens mit dem Ziel, über das dynamische Verhalten der beobachteten

Größe eine Aussage zu machen. Hierzu gehört z. B. die statistische Analyse von Füllen oder


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Defiziten. Dabei werden die über oder unter einen Schwellenwert xS liegenden Teile der Zeitrei-

he integriert oder aufsummiert, und anschließend als neue Einzelwerte betrachtet. Bei den Letz-

ten können anschließend die Methoden der Einzelwertstatistik angewendet werden.

Untersuchung von Zeitreihen

Diese Aufgabe umfasst das ganze Kontinuum der Zeitreihe. Es ist meistens sehr aufwendig, sol-

che Kontinua vollständig zu analysieren. Daher werden, auf der Grundlage von Voruntersuchun-

gen, Vereinfachungen getroffen, die die Analyse erleichtern. Die erste Vereinfachung ist die

Reduktion der Zeitreihe auf eine Folge von Mittelwerten (z. B. Tages-, Wochen-, Monats- oder

Jahreswerte). Der zweckmäßige Zeitschritt für die Diskretisierung ist von der zu untersuchenden

Aufgabe abhängig. Solche Aufgaben sind z. B. die Bemessung von: Versorgungsspeichern wie

Trinkwassertalsperren, HW-Rückhaltebecken, Bewässerungsspeichern usw. Das Werkzeug für

solche Untersuchungen der Daten ist die Zeitreihenanalyse. Dadurch werden zunächst die ver-

schiedenen Komponenten und Charakteristika einer Ganglinie analysiert und deren statistische

Kennwerte ermittelt. Anschließend können, je nach Planungsaufgabe, künstliche Zeitreihen ge-

neriert werden, die die statistischen Kennwerte der ursprünglichen Ganglinien erhalten. Hierzu

gehören die Methoden der stochastischen Zeitreihenanalyse.

4 Prüfung der Daten für die Ermittlung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten

Der Datensatz für statistische Analysen von Hochwasserkennwerten besteht häufig aus jährli-

chen Maximalabflüssen (Hochwasserscheitelabflüssen) HQa. Voraussetzung hierfür ist das Vor-

liegen von lang beobachteten und zuverlässigen Abflussganglinien, aus denen der höchste Schei-

telabfluss jedes Jahres entnommen werden kann.

Im Gegensatz zu dieser, so genannten „ jährlichen Serie“ , besteht die Möglichkeit, eine „ partiel-

le Serie“ zu bilden. Eine solche Reihe enthält alle Scheitelabflüsse des vorhandenen Zeitraums,

die über einem Grenzwert liegen, z.B. dem kleinsten Wert aller jährlichen Hochwasser. Aller-

dings verkompliziert sich mit den Werten einer partiellen Serie die Ermittlung der Unterschrei-

tungswahrscheinlichkeiten ( siehe Dyck u.a. (1976)).

Bevor man mit der hydrologischen Analyse der Abflussdaten beginnen kann, muss geprüft wer-

den, ob der zu bearbeitende Datensatz folgende Grundannahmen erfüllt:

- ausreichender Umfang der Stichprobe (mind. 30 Werte),

- frei von echten Fehlern (Ablesefehler, Datenerfassungsfehler),

- auf richtigen Wasserstands-Durchfluss-Beziehungen basieren,

- Unabhängigkeit,


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- Repräsentanz,

- Homogenität und

- frei von Ausreißern.

Unabhängigkeit der Daten ist bei jährlichen Serien meist gewährleistet, lediglich wenn zwei auf-

einander folgende Hochwasser nur durch den Jahreswechsel voneinander getrennt sind, ist einegenauere Prüfung erforderlich. Repräsentanz liegt vor, wenn die Stichprobe das langjährige Ab-

flussverhalten wiedergibt. Zur Beurteilung sind Vergleiche mit Nachbarpegeln mit langen Beo-

bachtungsreihen sinnvoll.

Eine erste Hilfe zur Prüfung der Zeitreihe ist ihre grafische Darstellung. Bereits hieraus sind e-

ventuelle Ausreißer sowie sprunghafte oder kontinuierliche Veränderungen (Inhomogenitäten)

erkennbar. Die Messwerte sind auf diese Eigenschaften mit statistischen Tests zu prüfen (siehe

z.B. Schönwiese (2000)). Als Beispiel für solche Tests soll im Folgenden die Prüfung auf Aus-reißer näher erläutert werden.

Ein einfach durchzuführender Test, zur Abschätzung ob einzelne Werte der Datenreihe als Aus-

reißer zu betrachten sind, ist die Prüfung, ob sich Werte außerhalb des Intervalls der zweifachen

positiven und negativen Standardabweichung um den Mittelwert befinden. Wenn ja handelt es

sich mit hoher Wahrscheinlichkeit um Ausreißer.

Ein weiterer, in DVWK (1999) für Hochwasserscheitelabflüsse empfohlener Test, besteht darin,

einen kritischen Grenzwert (xkrit) zu ermitteln. Dieser wird dann mit den Höchstwerten der Da-tenreihe verglichen. Liegen diese über dem Grenzwert, sind sie als Ausreißer zu betrachten.

Zur Ermittlung des Grenzwertes xkrit werden die HQ-Werte logarithmiert und dann aus den lnHQ

der Mittelwert und die Standardabweichung ermittelt. Der Grenzwert ergibt sich dann zu:

sw x x nkrit ∗+= α ,

wobei wn,α ein Faktor ist, der vom Stichprobenumfang und vom Signifikanzniveau abhängt (s.

Tab. 3).

Tab. 3: Kritische Werte wn,α für den Ausreißertest (Quelle: DVWK(1999), S. 20)IrrtumswahrscheinlichkeitUmfang

n α = 0,01 α = 0,05 α = 0,1010 2,540 2,294 2,14615 2,800 2,494 2,32720 2,959 2,623 2,44725 3,071 2,718 2,53730 3,156 2,792 2,60935 3,224 2,853 2,66840 3,281 2,904 2,71850 3,370 2,987 2,80060 3,440 3,052 2,86580 3,543 3,152 2,965100 3,618 3,226 3,039


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Liegen Logarithmen der Extremwerte der Reihe (ln HQ) über dem berechneten Grenzwert xkrit,

so handelt es sich bei den Werten um Ausreißer im Sinne der Statistik. Die Ausreißer sollten

noch mal auf Plausibilität geprüft werden. Hierfür ist die Wasserstands-Durchfluss-Beziehung

kritisch zu prüfen. Auch sind Vergleiche mit Nachbarpegeln, über die Abflussspende, sowie mit

historischen Aufzeichnungen hilfreich. Bei den Ausreißern kann es sich durchaus um richtigeMesswerte handeln, wenn z.B. ihr Wiederkehrintervall weit über dem Stichprobenumfang liegt.

Solche Werte sollte man möglichst nicht entfernen, sondern ihnen eine höhere Jährlichkeit zu-

ordnen. Dies kann durch Vergleiche mit Nachbarpegeln, an denen längere Beobachtungsreihen

vorliegen, oder durch Auswertung historischer Hochwasser geschehen (s. DVWK (1999), S. 21).

5 Wahrscheinlichkeitsanalyse

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsanalyse werden beobachteten Hochwasserscheitelabflüsseneines bestimmten Zeitraums Überschreitungswahrscheinlichkeiten zugeordnet und eine Extrapo-

lation über den Beobachtungszeitraum hinaus ermöglicht (DVWK (1999), S. 6). Mittels der ge-

schätzten Parameterwerte der empirischen Häufigkeitsverteilung werden theoretische Wahr-

scheinlichkeitsverteilungen (Funktionen) an die Kennwerte der Stichproben angepasst. Bevor

eine Extrapolation/Aussage über die Über- oder Unterschreitungswahrscheinlichkeit eines Er-

eignisses vorgenommen wird, sollte die Güte der Anpassung zwischen der empirischen und der

jeweiligen theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung quantifiziert werden. Dies geschieht mitHilfe von Anpassungstests. Zusätzlich sollte in jedem Fall eine optische Kontrolle der Anpas-

sung durchgeführt werden. Dazu werden sowohl die Stichprobenwerte über den empirischen

Unterschreitungswahrscheinlichkeiten als auch die rechnerisch ermittelte Verteilungsfunktion

graphisch dargestellt.

5.1 Empirische Unterschreitungswahrscheinlichkeit

Für die Ermittlung der Verteilung der Einzelwerte wird zunächst die empirische Unterschrei-

tungswahrscheinlichkeit Pu = Pi(x) ermittelt, aus der sich die Überschreitungswahrscheinlichkeit

Pü = (1-Pi(x)) bestimmen lässt. Dazu werden die Hochwasserscheitelabflüsse in aufsteigender

Reihenfolge der Größe nach sortiert und die Unterschreitungswahrscheinlichkeiten, auch als

plotting positions bezeichnet, mit einer der in Tab. 4 aufgeführten Formeln berechnet. “Es gibt

keinen mathematischen Grund eine Formel zu bevorzugen.” (Inst. f. Hydrologie u. Wasserbau

Uni Karlsruhe (1990), S. 18). Einige dieser Formeln werden jedoch für bestimmte Wahrschein-

lichkeitsfunktionen empfohlen bzw. als Quasistandard verwendet.


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Tab. 4: Zusammenstellung der Formeln für die plotting positions in Wahrscheinlichkeitsnetzen(i = 1…n, n = Werteanzahl bzw. Stichprobenumfang; HQ- Hochwasserabfluss, NQ-

Niedrigwasserabfluss; Abk. für Verteilungsfunktionen s. Tab. 1)

plotting position Anwendung Entwickler

Pi=i(/n+1) HQ WeibullP

i=(i-0,5)/n HQ; WB3 Hazen

Pi=(i-0,3)/(n-0,4) HQ; unbek.Verteilung

Chegodayev

Pi=(i-0,44)/(n+0,12) HQ; E1, WB3, ME GringortonPi=(i-0,35)/n AEPi =(i-0,375)/(n+0,25) HQ; NQ, LN3 BlomPi=(i-0,4)/(n+0,2) HQ, NQ ; P3, LP3 Cunnane, Young

5.2 Extrapolation durch freie Anpassung

Die Unterschreitungswahrscheinlichkeiten, können in Wahrscheinlichkeitspapier eingetragen

werden.

Wahrscheinlichkeitspapier oder -netzdruck ist ein Diagrammpapier, bei dem die Abszisse in Ab-

hängigkeit der Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion dargestellt ist. Oft wird der Wahr-

scheinlichkeitsnetzdruck der EI verwendet. Kann man die im Diagrammpapier eingetragenen

Werte zu einer Geraden verbinden, ist für die Daten die Annahme der Verteilung nach dieser

Funktion gerechtfertigt. Diese Gerade lässt sich leichter extrapolieren als eine Kurve.

Mittels der Unterschreitungswahrscheinlichkeit ist man in der Lage, die Wiederkehrintervalle

oder Jährlichkeiten der gemessenen Hochwasser über die Gleichung( )iP

T −

=1

1 zu berechnen.

Nach einer erfolgreichen Anpassung lassen sich aus der graphischen Darstellung die Wahr-

scheinlichkeiten für bestimmte Abflussmengen direkt ablesen. Umgekehrt kann man auch die

Wahrscheinlichkeit für ein Wiederkehrintervall über Pi=1-(1/T) berechnen und den dazugehöri-

gen Abfluss in dem Diagramm abgreifen. Die Extrapolationszeitspanne sollte jedoch nicht mehr

als das Zwei- bis Dreifache der Messreihenlänge betragen. Außerdem ist zu beachten, dass die

Stichprobe auch für den extrapolierten Bereich repräsentativ sein muss. Bei diesem einfachen,

grafischen Verfahren wird die Frage nach der theoretischen Verteilungsfunktion der HQ-Werte

nicht gestellt. Wie man eine theoretische Verteilungsfunktion rechnerisch an die HQ-Werte an-

passt, wird in den nächsten Kapiteln beschrieben.

Beispiel: In der Abb. 1 erfolgte im Wahrscheinlichkeitsnetzdruck der Extremwertverteilung

Typ 1 eine gute Anpassung für das Dorf C. Ein Ereignis mit einer Jährlichkeit von 100 (Unter-

schreitungswahrscheinlichkeit Pi=0,99) hat im Dorf C einen Spitzenabfluss von ca. 14 m³/s. Ein


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Spitzenabfluss von ca. 10 m³/s entspricht einem Hochwasser mit einem 20 jährigen Wiederkehr-

intervall (Pi=0,95).

Die plotting positions von A-Dorf lassen sich durch 2 Geraden gut anpassen, hier würde man

also eine gemischte Extremwertverteilung, bestehen aus zwei E1-Verteilungen wählen. Die Ur-

sachen können in unterschiedlichen Hochwassergenesen begründet sein. Für die grafische An-

passung von B-Dorf und D-Dorf müssen Wahrscheinlichkeitsnetzdrucke anderer Verteilungs-

funktionen gewählt werden.

5.3 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Dichtefunktion: ),(lim)( n x f x f n ∞→

=

Verteilungsfunktion: ∫∞−= x

x dx x f xF )()(

Eigenschaften: 0)( ≥ x f für alle x und 1)(0 ≤≤ xF

Alle theoretischen Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen, können als Wahrscheinlichkeits-

funktionen verwendet werden. Für diese gelten die Axiome zur Wahrscheinlichkeit (siehe Inst. f.

Hydrologie u. Wasserbau Uni Karlsruhe (1990), S. 2). Für die Zwecke der hydrologischen An-

wendungen sind die folgenden Eigenschaften besonders wichtig:

- Die Dichte f(x) ist bekannt, wenn alle ihre Momente bekannt sind.

- Wenn y eine eindeutige Funktion g(x) ist, dann kann die (bekannte) Dichte f(x) in die ent-

sprechende Dichte f(y) umgewandelt werden über die Beziehung:

Abb. 1: Beispiele von Verteilungen im Netzdruck der E1, die plotting positions von C-Dorflassen sich durch eine Gerade ausgleichen, hier kann die E1 als Verteilungsfunkti-on gewählt werden (Quelle: DVWK (1999), S. 24)


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y

x

d

d x f y f ⋅= )()(

- Insbesondere folgt aus diesem Satz auch:

F[g(x)]=F(x)

Unter Anwendung der zweiten Eigenschaft kann mit Hilfe einer linearen Transformation jedeDichtefunktion umgewandelt werden, um damit eine proportionale Funktion f(y) mit dem Mit-

telwert 0 und der Streuung 1 zu erreichen.

Die in der Hydrologie am häufigsten angewendeten Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind:

a) - die Gleichverteilung (GV), 1 Parameter,

b) - die Normalverteilung (NV), 2 Parameter,

- die logarithmische Normalverteilung (log-NV), 2 Parameter,- die verallgemeinerte log-Normalverteilung (LN3), 3 Parameter,

c) - die allgemeine Extremwertverteilung (AE), 3 Parameter,

- die Weibullverteilung (Extremwertverteilung Typ III), 2 Parameter, in erweiterter Form 3

Parameter (WB3),

- die Gumbelverteilung (Extremwertverteilung Typ I, E1), 2 Parameter,

- die gemischte Extremwertverteilung (Rossi-Verteilung, ME), 4 Parameter,

d) - die Exponentialverteilung (EP), 2 Parameter,

e) - die Pearson-Typ3-Verteilung (P3, Gammaverteilung), 3 Parameter,

- die logarithmische Pearson-Typ3-Verteilung LP3, 3 Parameter.

Die möglichen Parameter der Funktionen sind:

- der Formparameter,

- der Lageparameter und

- der Maßstabsparameter.

Die Parameter der Wahrscheinlichkeitsfunktionen müssen aus den Kennwerten der empirischen

Verteilung geschätzt werden, dabei ist auf

- Erwartungstreue,

- Effizienz und

- Robustheit zu achten.

Bei der Wahl einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsfunktion sollte:

- ihre Form mit der empirischen Wahrscheinlichkeitsfunktion übereinstimmen,


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- sie sollte physikalisch plausibel sein (einseitige Begrenzungen) und

- die Parameter sollten leicht zu berechnen sein.

Unter Beachtung der physikalischen Plausibilität ist es nicht richtig, die Normalverteilung als

Verteilung für Hochwasser zu nutzen, da sie linksseitig nicht begrenzt ist, es aber keine negati-ven Hochwasser gibt. Die Normalverteilung kann für die Untersuchung der Verteilung des jähr-

lichen Abflussvolumen verwendet werden. Das „Central limit theorem“ besagt, dass die Sum-

men von vielen unabhängigen Ereignissen eine Normalverteilung annehmen, unabhängig von

der Verteilung der Einzelereignisse (S. A. Thompson (1999), S.35)

5.4 Anpassung theoretischer Funktionen an die Stichproben

Die grundsätzliche Vorgehensweise einer Anpassung von theoretischen Funktionen an die Ver-

teilung der Messwerte (empirische Verteilungsfunktion) ist in Abbildung 2 graphisch dokumen-

tiert. Als erstes werden die empirischen Daten hinsichtlich der Fragestellung sortiert und ausge-

wertet (Abb. a, b und c). Als nächstes werden die absoluten Daten in relative Werte umgewan-

delt (Abb. d, e) und im Anschluss in eine allgemeine Verteilung übertragen (Abb. f, g). Der letz-

te Schritt ist die Angleichung einer Verteilung basierend auf einer analytischen Funktion an die

Messergebnisse.

Ein gutes Resultat erzielt man, indem die Ergebnisse der Anpassung von mehreren Verteilungs-

funktionen auf ihre Güte vergleichen werden. „Die beste Anpassung liegt vor, wenn die Sum-

menhäufigkeit und die analytische Verteilungsfunktion möglichst gut über der ganzen x-Achse,

besonders aber in den Extrembereichen, [...], gut übereinstimmen“ (Quelle: Inst. f. Hydrologie u.

Wasserbau Uni Karlsruhe (1990), S. 22). Es ist zu beachten, dass Transformationen, durch un-

gleichmäßige Wichtung, die hohen Extremwerte gegenüber den kleinen Werten benachteiligen

können.

Tab. 5 enthält beispielhaft die Gleichungen der Dichte- und Verteilungsfunktion der Allgemei-nen Extremwertverteilung AE, der Extremwertverteilung Typ 1 E1 und der PearsonTyp 3-

Verteilung P3.


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Abb. 2: Schrittfolge zur Anpassung einer theoretischen Verteilung an die Messreihe (Quelle:nach Plate in DVWK (1985))


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Tab. 5: Dichte- und Verteilungsfunktion der AE, E1 und P3 mit a-Formparameter, c-Lagepara-meter und d-Maßstabsparameter (Quelle: DVWK (1999))

Funk-

tionDichtefunktion Verteilungsfunktion Gültigkeitsbereich

AE⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

−aa

d

cxa

d

cxa

dxf

11

1

1exp11

)(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−= a

d

cxaxF

1

1exp)( ad

cx +< für a

für a >0; a >-1, d >0

E1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

d

cx

d

cx

dxf expexpexp

1)( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−=

d

cxxF expexp)( ∞0, x < c bei d < 0, x > c

bei d > 0

5.4.1 Schätzverfahren für die Parameter der Funktionsgleichungen

Maximum Likelihood Methode

Mit dieser Methode werden häufig die besten Ergebnisse erzielt, aber auf Grund des hohen Re-

chenaufwandes kommt sie selten zur Anwendung, wenn man die Berechnungen „zu Fuß“ durch-

führen muss (genauere Erklärung siehe Inst. f. Hydrologie u. Wasserbau Uni Karlsruhe (1990) S.

13). In der Praxis wird jedoch auf die Ergebnisse nicht verzichtet, da es Programme gibt, z.B.

HQ-EX von WASY, in denen der Algorithmus integriert ist. Es muss jedoch erst die Vertei-

lungsfunktion gewählt werden und dann können die Momente berechnet werden.

Momentenmethode

Bei der Momentenmethode können die Momente der Stichprobe unabhängig von der dann ge-

wählten Verteilungsfunktion berechnet werden. Dieser Methode liegt zugrunde, dass die Para-

meter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch deren Momente ausgedrückt werden können.

Bei der Schätzung werden diese Momente der Grundgesamtheit den entsprechenden Momenten

der Stichprobe gleichgesetzt. Man drückt also die theoretischen Momente mx der Dichte f(x)

durch die für diese Momente zu gewinnenden Schätzwerte Mx aus den Daten aus.

∫+∞

∞−

= xk

xk d x f xm )(

Hierbei ist mxk das k-te Moment der Dichte f(x) bezogen auf x = 0. Für den Fall k=0 ist

∫∞

∞−

== 1)(0 dx x f m x ,


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da die Fläche unter der Dichte f x(x) definitionsgemäß eins sein muss.

Der Schätzwert für Mx1 aus den Daten ist das arithmetische Mittel.

Mn

x xx ii

n

11

1= ∑ =

= ,

Wichtige Momente höherer Ordnung werden nicht auf x=0, sondern auf den Mittelwert µx bzw.x bezogen. Diese Momente um den Schwerpunkt heißen Zentralmomente (z.B. die Varianz mx2

und die Schiefe mx3).

Beispiel: Ermittlung der Momente und der Verteilungsfunktion für die Extremwertverteilung

Typ 1 E1:

Die E1 hat als Sonderfall der AE zwei Parameter (vgl. Tab. 5), Lageparameter c (bei anderen

Autoren, z.B. Dyck auch mit mod(x) bezeichnet) und Maßstabsparameter d (bei anderen Auto-

ren, z. B. Dyck auch mit 1/a bezeichnet), der Formparameter a (vgl. Tab. 5) ist definitionsgemäß

Null. Die Bestimmungsgleichungen lauten:

2

1

2

6md ⋅=

π dmc ⋅−= γ 1 γ = 0,5772 (Eulersche Konstante)

Für das erste Moment m1 wird der Mittelwert x der Stichprobe gesetzt, für das zweite Moment

m2 wird die Varianz s² der Stichprobe eingesetzt. Damit lassen sich die Parameter d und c wie

folgt errechnen:

sd ⋅=π

6 dxc ⋅−= 5772,0

Die Verteilungsfunktion der E1 lautet: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−=

d

cxxF expexp)(

Setzt man yd

cx=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − und löst nach x auf, so erhält man cdyx +⋅= und

yeeyxF

−−=−−= ))exp(exp()( .

Umgestellt nach y ergibt sich: ( ))(lnln xFy −−= .

Zwischen der Verteilungsfunktion F(x) und dem Wiederkehrintervall T besteht die Beziehung:

)(1

1

xFT

−= , damit erhält man:

1lnln

−−=

T

Ty

Mit x = HQ ergibt sich damit die Verteilungsfunktion zu:

cdT

TcdyTHQ +⋅

−−=+⋅=

1lnln)(

HQT

THQsTHQ +⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ +⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

−⋅⋅−= 5772,0

1lnln)(

6)(

π


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frequency factor Methode

Auf der zuletzt angegebenen Gleichung beruht auch die frequency factor Methode (k-Faktor-

Methode), sie entspricht einer versteckten Momentenmethode. In den k Faktor fließen je nach

Verteilungsfunktion Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe, der Stichprobenumfang und die

Jährlichkeit bzw. Eintrittswahrscheinlichkeit ein. Die frequency factor Methode beruht auf derGleichung:

)()()( xsTkxTx ⋅+= und mit x = HQ )()()( HQsTkHQTHQ ⋅+=

Für die E1 ergibt sich k(T) zu: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅−= 5772,01

lnln6

)(T

TTk

π

Der Faktor k(T) ist für verschiedene Verteilungsfunktionen tabelliert. Solche Tabellen findet

man zum Beispiel in Thompson (1999) für die Standardnormalverteilung auf S. 36, Lognormal-

verteilung S. 246, Gumbelverteilung S. 249 und die Pearson Typ 3 Verteilung S. 250. Es werdendie Hochwasserscheitelabflüsse x = HQ für die ausgewählten Wahrscheinlichkeiten berechnet.

Die auf diesem Wege ermittelten Wertepaare von Abfluss und Eintrittswahrscheinlichkeit wer-

den anhand der gemessenen Abflüsse und ihrer plotting position auf ihre Qualität überprüft.

Auch bei dieser Methode sollte die Verteilung verwendet werden, die die kleinsten Abweichun-

gen hervorruft. Die Gleichung kann auch nach k umgestellt werden, um das Wiederkehrintervall

eines gemessenen Abflusses aus der Tabelle ablesen zu können.

Tab. 6: Frequency factor für Pearson Typ-3 Verteilung [Cs=s] (Quelle: Thompson (1999), S.250)


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Wahrscheinlichkeitsgewichtete Momentenmethode

Es besteht auch die Möglichkeit, anstelle der Momente die wahrscheinlichkeitsgewichteten k-ten

Momente der empirischen Verteilung für die Berechnung der Parameter der theoretischen Funk-

tion zu ermitteln. ( )∑=

⋅⋅=n

i

i

k

ik xPn

w1

1

Die Parametergleichungen für die einzelnen Funktionen sind z.B. DVWK (1999) zu entnehmen.

Wahrscheinlichkeitsgewichtete Momente wichten größere Hochwasser stärker als kleine, ihr

Vorteil besteht darin, dass die Berechnung der zweiten und dritten Momente ohne Exponenten

auskommt. Sie sind daher unabhängiger von einzelnen Extremereignissen als herkömmliche

Momente.

Nach der Berechnung der spezifischen Parameter der Stichprobe werden die Wahrscheinlich-

keitsverteilungen F(x) für die Abflüsse HQa = x über die entsprechenden Gleichungen ermittelt.

Die Anpassung der theoretischen Verteilungen an die Stichprobe wird auf ihre Güte getestet. Bei

positivem Prüfergebnis kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Ermittlung von Abflüssen

bestimmter Jährlichkeit bis zur 2-3 fachen Länge der Beobachtungsreihe und für die Zuordnung

von Jährlichkeiten für bestimmte Abflüsse genutzt werden.

Für die Bestimmung von Hochwasserabflüssen T


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- χ2-Test (Chi-Quadrat-Test)

- Kolmogorow-Smirnow-Test (K-S-Test)

- nω² Anpassungstest (siehe DVWK (1999))

- Quantil-Korrelationstest (siehe DVWK (1999))

Der χ 2-Test eignet sich für alle Verteilungen, setzt aber eine Klasseneinteilung voraus, ist also

nur bei verhältnismäßig großen Datenkollektiven (n > 30) anwendbar. Die Zuverlässigkeit eines

Tests wächst mit zunehmendem Stichprobenumfang. Beim χ 2-Test wird die Summe der Abwei-

chungsquadrate zwischen Unterschreitungswahrscheinlichkeit Pi und Verteilungsfunktion, bezo-

gen auf die Verteilungsfunktion berechnet.

Der ermittelte Wert für χ ² muss anschließend mit dem aus einer Tabelle entnommenen Grenz-

wert bei gewähltem Signifikanzniveau (siehe Schönwiese (2000), S. 130-132) verglichen werden

und kleiner sein.

Der Anpassungstest nach Kolmogorow-Smirnow erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie der χ2-

Test, nur wird anstelle aller Differenzen zwischen empirischer und theoretischer Wahrschein-

lichkeit die maximale Abweichung der empirischen von der theoretischen Verteilungsfunktion

an einem Punkt, bezogen auf den Stichprobenumfang betrachtet. Dieses maximale Abwei-

chungsmaß wird als Prüfgröße verwendet.

7 Konfidenzgrenzen für Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Bei der Anwendung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen sollte beachtet werden, dass die berech-

nete Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der Stichprobe nur eine Schätzung der wahren Wahr-

scheinlichkeitsfunktion der Grundgesamtheit ist. Die Güte, mit welcher das Verhalten der

Grundgesamtheit repräsentiert wird, hängt in erster Linie von dem Umfang der Stichprobe ab.

Der Vertrauensbereich (Konfidenzbereich), in dem der wahre Wert liegen kann, wird mit zu-

nehmendem Abstand zum Mittelwert immer größer. Unter der Annahme, dass die Abweichun-

gen um den berechneten Wert normalverteilt sind (vgl. Abb. 4), können die Grenzen dieses Be-

reiches mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit bestimmt werden = Konfidenzgrenzen. Mit

den Konfidenzgrenzen kann ein Maß der Unbestimmtheit der geschätzten Unterschreitungs-

wahrscheinlichkeit, eines vorgegebenen Abflusses, angegeben werden. Ebenso kann das Maß

der Unbestimmtheit eines Abflusses bei einer vorgegebenen Unterschreitungswahrscheinlichkeit


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damit beschrieben werden. Die Anwendung von Konfidenzgrenzen als Entscheidungshilfen kann

bei Planungsarbeiten von Bedeutung sein.

Abb. 3: Konfidenzintervall um eine Verteilungsfunktion (Quelle: DVWK (1999); S.10)

Beispiel: Die Konfidenzgrenzen xk (y) der E1 können wie folgt berechnet werden (Dyck u.a.

(1976)):

für y < 5: ( )2423,0609,011

)mod(1

)( yna

xya

yxk +⋅+±+=

für y ≥ 5:na

xyna

yxk 333,0)mod(781,011)( ±+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ±=

Dabei gilt da

=1

und mod(x) = c gemäß Parameterdefinition im Beispiel im Abschnitt 5.4.1.

Der Zusammenhang zwischen y und T ist gegeben durch die Gleichung: ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−=1

lnlnT

Ty .

Damit können für verschiedene y oder für verschiedene T die oberen und unteren Kontrollkur-

veneintragstellen HQk (y) bzw. die HQk (T) berechnet werden.

8 Literaturverzeichnis (für die inhaltliche Zusammenstellung verwendete Literatur)

- Dyck u.a. (1976): Angewandte Hydrologie, Teil 1, Berechnung und Regelung des Durchflus-

ses der Flüsse. Berlin.

- Dyck, S.; G. Peschke (1995). Grundlagen der Hydrologie. Berlin.

- DVWK (1999). Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen. DVWK-Merkblätter zur

Wasserwirtschaft Nr. 251. Bonn.

- Inst. f. Hydrologie u. Wasserbau Uni Karlsruhe (1990). Hydrologische Planungsgrundlagen.

Karlsruhe.


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- Lehstuhl für Hydrologie und Wasserwirtschaft, BTU Cottbus (2001). Statistische Analyse

hy-drologischer Daten – Script zur Vorlesung.

- Linsley, R. K. et al. (1985). Hydrology for Engineers. Third Edition. McGraw Hill Book

Company, Auckland.

- Schönwiese, C.-D. (2000). Praktische Statistik für Meteorologen und Geowissenschaftler.Berlin-Stuttgart.

- Thompson, S. A. (1999). Hydrology for water management. Balkema, Rotterdam.

weitere empfohlene Literatur

- Bretschneider, H. et al. (Herausgeber) (1993). Taschenbuch der Wasserwirtschaft. 7. Auflage. Paul

Parey Verlag, Hamburg.

- Dahmen, E. R.; M. J. Hall (1990). Screening of Hydrological Data: Test for Stationarity and Relative

Consistency. ILRI Publication No. 49., P. O. Box 45, Wageningen, The Netherlands.

- Dingman, S. L. (1994): Physical Hydrology. Macmillan Publishing Company, New York.

- DVWK (1988). Statistische Methoden zu Niedrigwasserdauern und Starkregen. DVWK-Schriften Nr.

82. Verlag Paul Parey, Hamburg.

- Dyck, S. et al. (1977). Angewandte Hydrologie. Teil 1. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. Berlin -

München.

- Haan, C. T. (1977). Statistical Methods in Hydrology. Iowa State University Press, Ames, Iowa.

- Kotegada, N. T. (1980). Stochastic Water Resources Technology. Macmillan Press Ltd., London.- Langguth, H.-R.; R. Voigt (1980). Hydrogeologische Methoden. Springer Verlag. Berlin.

- Linsley, R. K. et al. (1992). Water Resources Engineering. Fourth Edition. Chapter 5. McGraw Hill

Inc., New York.

- Maidment, D. R. (Ed.) (1993). Handbook of Hydrology. McGraw Hill Inc., New York.

- Sachs, L. (1984). Angewandte Statistik. Sechste Auflage. Springer-Verlag, Berlin.

- Schneide, K. (1983). Modell zur gleichzeitigen Erzeugung von Tagesabflußdaten an mehreren Stellen

in einem Einzugsgebiet. Schriftenreihe Hydrologie/Wasserwirtschaft Nr. 2., Ruhr-Universität Bo-

chum.- Ven Te Chow et al. (1988). Applied Hydrology. McGraw Hill International Editions, New York.

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