theorie der unscharfen mengen wintersemester 2005/2006
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Theorie der unscharfen Mengen
Wintersemester 2005/2006
Vorlesung
Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107
Übung
Freitags (ungerade Woche), 09.15–11.00h, MIB-1107
VeranstalterDr. Tatiana Starostina
E-mail: [email protected] Tel. 3786
Sprechstunde nach Vereinbarung
Theorie der unscharfen Mengen
Literatur1). Dirk H. Träger
Einführung in die Fuzzy-Logik Teubner, Stuttgart, 1994.
2). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald Einführung in die Fuzzy Methoden4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1993
3). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with ApplicationsJohn Wiley & Sons, Chichester 1995.
4). George J. Klir and Bo YuanFuzzy Sets and Fuzzy Logic – Theory and ApplicationsPrentice Hall, 1995.
5). Hans-Jürgen ZimmermannFuzzy set theory and its applications2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.
Theorie der unscharfen Mengen
Geschichte
Platon (427-347a.d.)
Vermutung: es gibt eine dritte Region
zwischen „wahr“ und „falsch“
Aristoteles (384-322a.d.)
Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten (bestimmt die Entwicklung mathematischer und
logischer Systeme in den nächsten zwei Jahrtausenden)
Theorie der unscharfen Mengen
Geschichte
Georg Hegel (1770-1831)
Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russel nahmen Platons Vermutung wieder auf.
B. Russell (1872-1970)
Russel: „The law of the excluded middle is true, when precise symbols are employed, but it is not true, when symbols are vague, as, in fact, all symbols are.“
Theorie der unscharfen Mengen
GeschichteJ. Lukasiewicz (1878-1956)
● systematische Alternative zur zweiwertigen Logik● „wahr (1)“, „possible (1/2)“, „falsch(0)“● später vier und fünfwertige Logik● schließlich unendlichwertige Logik „alle Zahlen im Intervall [0,1]“
M. Black (1909-1988) ● Verfahren zur numerischen Darstellung von Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel)● Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements:es gibt mindestens ein Element, das weder vollständig zum Symbol noch vollständig zum Komplement gehört● Menge der Elemente, die nicht eindeutig zugeordnet werden können: „frings“ = Fransen
Theorie der unscharfen Mengen
Geschichte
Lotfi Zadeh (geb. 1921)
• grundlegender Artikel „Fuzzy-Sets“ (1965)• Theorie der unscharfen Mengen• verbindet darin Blacks Idee der „frings“ mit Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik
Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen anscheinend in Kategorien denken und kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre und Logik verwendeten (dualen) Strukturen unterscheiden.
Dies war zwar schon früher erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen Theorie veranlasste.
Theorie der unscharfen Mengen
Geschichte
80-iger Jahre:● Entdeckung des praktischen Nutzens in Japan: erste fuzzy-geregelte Waschmaschinen, Staubsauger → höherer Bedienkomfort, Aufsehen als denkende Konsumgüter● erster Fuzzy-Regler in großtechnischer Anwendung → Vermutung als neues Universalwerkzeug der Regelungstechnik● Skepsis in Europa, besonders in Deutschland → Qualitätsverbesserung bei Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik erreicht
70-iger Jahre: einige europäische Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen Logik und entwickelten erste erfolgreiche Anwendungen für industrielle Prozesse und Regelungen
90-iger Jahre:Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Hochschulen aufgegriffen→ Fuzzy-Technologie keine vorübergehende Mode, sondern Revolution, die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch vorzeigbar Vorteile bringt→ neuer Zweig der Regelungstechnik ist entstanden→ Querschnittswissenschaft, die auch in nichttechnischen Bereichen Vorteile verspricht
Theorie der unscharfen Mengen
Ziele der Theorie der unscharfen Mengen
1) Modellverbesserung (Relaxierung);
2) Komplexitätsreduktion;
3) Modellierung von Unsicherheit;
4) bedeutungserhaltendes Schließen.
Theorie der unscharfen Mengen
Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen
(methodische Sicht)
Theoretische Anwendungen:•Mathematik (Algebra, Logik usw.);•Ökonomie;•Psychologie.
Modellbasierte und algorithmische Anwendungen:•Unscharfe Optimierung;•Unscharfes Clustern;•Unscharfe Petri-Netze;•Unscharfe mehrkriterielle Analyse;•Unscharfe Netzplantechnik.
Theorie der unscharfen Mengen
Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen
Informationsverarbeitung:•Unscharfe Datenbanken;•Fuzzy-Programmiersprachen.
Wissensbasierte Anwendungen:•Fuzzy Control;•Unscharfe Datenanalyse;•Fuzzy-Expertensysteme.
Theorie der unscharfen Mengen
Anwendungsgebiete • Wirtschaftswissenschaften;• Entscheidungstheorie;• Finanzdienstleistungen;• Mathematik: - Topologie;
- Algebra;
- Graphen und Netze;
- Optimierung usw.
• Naturwissenschaften:- Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik);
- Chemie (Wirkstrukturanalyse);
- Medizin;
- Geologie, Ökologie usw.
• Ingenieurwissenschaften:- Regelung und Steuerung (Elektrotechnik, Maschinenbau);
- Automatisierung;
- Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse).
Theorie der unscharfen Mengen
Typen der Unsicherheit
Theorie der unscharfen Mengen
Unsicherheit
Physikalische Unsicherheit
Linguistische Unsicherheit
Unexaktheit ZufälligkeitUnsicherheit
bei der Interpretation der Bedeutung
der Wörter
Unsicherheit bei der Interpretation
des Sinnes der Sätze
MesstheorieWahrscheinlichkeits-
theorie
Homonymie Unschärfe Theorie der formalen
Grammatiken
Theorie der unscharfen Mengen
Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Es sei X die Grundmenge und A eine Teilmenge von X: XA .
Ein Element gehört in der klassischen Mengenlehre entweder zu einer Menge A, oder aber es gehört nicht zu dieser Menge.
Wenn ein Element x von X zu A gehört, schreibt man: Ax .
Definition. Es sei X eine Grundmenge und A eine Teilmenge von X. Dann heißt die Funktion χA: X →{0,1} mit
Ax
AxA ,0
,1
Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Menge A.
Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Beispiel Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge gegeben:
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug -Wagen
ca. 2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h
Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Beispiel
2 km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h Langsam Schnell
0
1
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug
Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={Flugzeug}
Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Beispiel
2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h Langsam Schnell
0
1
Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={VW Golf, Porsche, Formel1, Flugzeug}
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
A~
ist eine unscharfe Teilmenge von X, wenn die Zugehörigkeit der Elemente x von X
zu A~
durch eine Zugehörigkeitsfunktion )(~ xA charakterisiert wird.
Die Werte der Zugehörigkeitsfunktion liegen im Intervall [0,1]. Beispiel:
)(~ xA =0 wenn Ax
~ ,
)(~ xA =1 wenn Ax
~ vollständig,
)(~ xA =0,6 wenn Ax
~ mit einem der Zahl 0,6 entsprechenden Zugehörigkeitsgrad.
Mathematische Notation nach ZADEH:
• für endliche unscharfe Mengen:
}...,,,{ 21 nxxxX
n
i i
iA
n
nAAA
x
x
x
x
x
x
x
xA
1
~~
2
2~
1
1~ )()(...
)()(~
• für „stetige“ unscharfe Mengen: X
A
x
xA
)(~ ~
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Definition. Es sei X eine Grundmenge. Eine unscharfe Menge oder Fuzzy-Menge à in X ist eine Menge von geordneten Paaren
XxxxAA
:)(,:~
~ .
Hierbei ist XA
:~ eine reellwertige Funktion. Sie wird als Zugehörigkeitsfunktion (membership function) bezeichnet.
Ist 1)(sup ~ xA ,
so heißt A~
eine normalisierte unscharfe Menge.
Ist der Wertebereich von A~ die zweielementige Menge {0,1}, erkennt man, dass
das klassische Konzept von Mengen eine Spezialisierung der Theorie unscharfer
Mengen ist: }|))(,{(~
~ XxxxAA
ist in diesem Fall durch folgende Abbildung in eine klassische (scharfe) Menge überführbar:
}1)(|{)~
( ~ xXxAAEA .
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Beispiel
Dreirad
Traktor
Trabant
VW Golf
Porsche
Formel1
Flugzeug
Abb. Darstellung der unscharfen Menge
„Schnell“ = {(Dreirad; 0), (Traktor; 0,1), (Trabant; 0,2), (VW Golf; 0,4), (Porsche; 0,6), (Formel1; 0,7), (Flugzeug; 1)}.
Unscharfe Menge „Schnell“
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug
0
1
)(~ xA
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert.Die Art der Darstellung ist von der Grundmenge X abhängig.
X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder X ist ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen
diskrete Darstellung von ZGF parametrische Darstellung von ZGF
1 3 4 7 9 12 x
1 0,9
0,7 0,6 0,4 0,3
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen
Theorie der unscharfen Mengen
1) Trapezförmige
a b d x
1
0
2) Dreieckförmige (Trianguläre)
mit a < b < c < d .
dxccd
xdcxb
bxaab
axdxax
xA
,
,1
,
,,0
)(~
dxbbd
xd
bxaab
axdxax
xA
,
,
,,0
)(~
Theorie der unscharfen Mengen
3) Monoton fallende Funktion • lineare Funktion: (L-Funktion)
• geglättete Funktionen:
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen
a b x
1
0
;1,1
1)(
2~
k
kxx
A
.0,)(2
~ kex kx
A
.,0
,,
,,1
)(~
bx
bxaab
xbax
xA
Theorie der unscharfen Mengen
4) Monoton steigende Funktion • lineare Funktion: (-Funktion)
a b x
1
0
bx
bxaab
axax
xA
,1
,
,,0
)(~
• geglättete Funktion: (geglättete -Funktion)
.0,,1
,,0)( 2)(~
kaxe
axox axkA
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen
Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen
Theorie der unscharfen Mengen
Zadeh‘s S-Funktion Die Funktion des Exponentialtyps
,,1
,,21
,,2
,,0
)( 2
2
~
cx
cxbac
cx
bxaac
ax
ax
xA
.2
cabmit
.0,)(2)(
~ kx e
cxk
A
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Definitionen
Stützende Menge: Die stützende Menge )
~(AS einer unscharfen Menge A
~ ist definiert durch:
0)(~ xSxA .
)~
(AS heißt Träger oder Einflussbereich (Support) der unscharfen Menge à in X.
Beispiel [Zimmermann, 1991]: X ist eine Menge aller möglichen Autobahn-Reisegeschwindigkeiten.
X={80; 100; 120; 140; 160; 180}.
Unscharfe Menge A~
=„sichere Autobahngeschwindigkeit“.
A~
={(80; 0,5), (100; 0,7), (120; 1,0), (140; 0,9), (160; 0,6), (180; 0,0)}.
= {80, 100, 120, 140, 160} )~
(ASTräger:
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Definitionen
Normalisierte unscharfe Menge: Ist
1)(sup ~
xA
Xx ,
so heißt die unscharfe Menge A~
normalisiert.
Falls 1)(sup ~
xA
Xx , aber > 0 (die Menge ist subnormal) ist, so kann eine
unscharfe Menge A~
immer dadurch normalisiert werden, dass man ihre
Zugehörigkeitsfunktion )(~ xA durch )(sup ~ x
AXx
dividiert.
Eine unscharfe Menge à in X heißt leer, wenn )(~ x
A =0 für alle Xx .
Eine unscharfe Menge à in X heißt universell, wenn
)(~ xA =1 für alle Xx .
-Niveaumengen Theorie der unscharfen Mengen
Sei A~ eine unscharfe Menge über die Grundmenge X und ]1,0[ .
Dann heißt die klassische Menge
)(: xXxA A
eine -Niveaumenge ( -level set, -Schnitt, -cut) von A~ .
Die Verschärfung auf „>“ gemäß
)(:* xXxA A
nennen wir eine strenge -Niveaumenge von A~ .
(1) 1221 AA für alle ]1;0[, 21
(2) )))(,(min(max)( ~~ xxAA
.
x
(x)1
0
A
Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Operationen Grundmenge X: 1)( xX
Enthaltensein AX: )()( xx XA
Komplement: )(1)( xx AA
Schnittmenge: ))(),((min)( xxx BABA Vereinigung: ))(),((max)( xxx BABA Boolesches Produkt: )()()( xxx BABA Boolesche Summe: )()()()()( xxxxx BABABA
Differenz: )()(\ xx BABA
Disjunkte Summe: )()()()(
xxBABABA ,
Xx .
Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Operationen A~ und B
~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B
~ X. Grundmenge X : 1)( xX Enthaltensein A
~ X: )()(~ xx XA
Komplement: )(1)( ~~ xxAA
Schnittmenge: ))(),((min)( ~~~~ xxxBABA
Vereinigung: ))(),((max)( ~~~~ xxxBABA
Algebraisches Produkt: )()()( ~~~~ xxxBABA
Algebraische Summe: )()()()()( ~~~~~ˆ~ xxxxxBABABA
Differenz: )()( ~~~\
~ xxBABA
Disjunkte Summe: )()()
~~()
~~(
~~ xxBABABA
Xx .
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
A~ und B
~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B
~ X.
Enthaltensein: Eine unscharfe Menge A
~ ist genau dann in B~ enthalten, wenn gilt:
BA~~
)()( ~~ xxBA , Xx .
Gleichheit: Ist A
~ in B~ enthalten und B
~ in A~ enthalten, dann sind beide unscharfe
Menge gleich, oder
A~
= B~ )()( ~~ xx
BA , Xx .
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
A~ und B
~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B
~ X.
Schnittmenge: }|))(,{(:
~~~~ XxxxBABA
. Die Zugehörigkeitsfunktion der Schnittmenge zweier unscharfer Mengen A
~ und B~ ist punktweise
definiert durch:
))(),((min)( ~~~~ xxxBABA , Xx .
Vereinigung:
}|))(,{(:~~
~~ XxxxBABA
. Die Zugehörigkeitsfunktion der Vereinigung zweier unscharfer Mengen A
~ und B~ ist definiert als:
))(),((max)( ~~~~ xxxBABA , Xx .
x
1
)(x A
~ B
~
x
1
)(x A~
B~
0
0
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
A~ und B
~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B
~ X.
Das Komplement:
}|))(,{(:~
~ XxxxAA
.
Die Zugehörigkeitsfunktion des Komplements einer unscharfen Menge A~
wird definiert wie folgt:
)(1)( ~~ xxAA , Xx .
x
1
)(x
A~
1
A~
x
)(x
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Bemerkung 1. Ist die unscharfe leere Menge
~={ Xxx :)0,( } und die unscharfe
Grundmenge }:)1,{(~
XxxX , so bildet die Menge aller unscharfen Teilmengen auf X mit
~ und X
~ einen distributiven Verband.
Bemerkung 2. Die Definitionen über Minimums- oder Maximumsbildung der Zugehörigkeitsfunktionen und die Komplementbildung über )(1 ~ x
A ,
Xx ist eine natürliche Erweiterung der klassischen mengentheoretischen Operationen.
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Produkt:
}|))(,{(:~~
~~ XxxxBABA
. Die Zugehörigkeitsfunktion des algebraischen Produktes zweier unscharfer
Mengen A~
und B~
ist definiert als: )()()( ~~~~ xxx
BABA , Xx .
Algebraische Summe:
}|))(,{(:~~
~~ XxxxBABA
.
Die Zugehörigkeitsfunktion der algebraischen Summe von A~
und B~
ist definiert als:
)()()()()( ~~~~~~ xxxxxBABABA , Xx .
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Beschränkte Summe: }|))(,{(:~ˆ~
~ˆ~ XxxxBABA
, )}()(,1min{)( ~~~ˆ~ xxx
BABA , Xx .
Beschränktes Produkt: }|))(,{(:~
ˆ~
~ˆ
~ XxxxBABA
, }1)()(,0{max)( ~~~
ˆ~ xxx
BABA , Xx .
Drastische Summe: }|))(,{(:~~
~~ XxxxBABA
,
sonst
Xxxoderxwennxxx BABA
BA ,1
,0)(0)()},(),({max)(
~~~~~~
Drastisches Produkt: }|))(,{(:~
*~
~*
~ XxxxBABA
,
.,1
1)(1)()},(),({min)(
~~~~~
ˆ~
sonst
xoderxwennxxx BABA
BA
Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen
Differenz: }|))(,{(:~
\~
~\
~ XxxxBABA
,
)()( ~~~\
~ xxBABA
.
Disjunkte Summe: }|))(,{(:~~
~~ XxxxBABA
,
)()()
~~()
~~(
~~ xxBABABA .
Unscharfes kartesisches Produkt
)(~~
XXBA , A~ , B
~ X :
},|)),(),,{((:~~
~~ XbababaBABA
,
)}(),({min),( ~~~~ babaBABA , Xba , ,
wobei ),( ba repräsentieren das geordnete Paar von Xa und Xb .
Folgerung Theorie der unscharfen Mengen
Satz über Dekomposition Für jede unscharfe Menge A
~ über einer Grundmenge X gilt die Formel
AA~
.
Darin ist das Produkt aus dem Skalar ]1;0[ und dem -Schnitt A als folgende unscharfe Menge A erklärt:
)()( xx AA ,
wobei
.:)(,0
,:)(,1)(
~
~
Axxfür
Axxfürx
A
AA
Satz Für die unscharfe Mengen A
~ und B
~ über einer Grundmenge X gilt für jedes
]1;0[
BABA )~~
( ,
BABA )~~
( .
Eigenschaften von klassischen Mengen
Theorie der unscharfen Mengen
},,{ 321 xxxX . Die Potenzmenge P hat 23=8 Elemente.
1x 2x 3x 0 0 0 1 0 0 { 1x } 0 1 0 { 2x } 0 0 1 { 3x } 1 1 0 { 1x , 2x } 1 0 1 { 1x , 3x } 0 1 1 { 2x , 3x } 1 1 1 { 1x , 2x , 3x }
{ 32 , xx }
{ 31, xx }
{ 21 , xx }
{ 3x }
{ 2x }
{ 1x }
{ 321 ,, xxx }
Eigenschaften von unscharfen Mengen
Theorie der unscharfen Mengen
ccc acc
aaa
bcc
ccb
cca
cba
caa baa
abcvccc
aacvccc
aabvccc
abbvccc
abavccc
acavccc
acbvccc
bab
bac bba
bbb
bbc cbc
cbb
cab
cac
bca
bcb },,{ 321 xxxX
M = {a, b, c}
1x 2x 3x 1x 2x 3x 1x 2x 3x
a a a b a a c a a a a b b a b c a b a a c b a c c a c a b a b b a c b a a b b b b b c b b a b c b b c c b c a c a b c a c c a a c b b c b c c b a c c b c c c c c
Eigenschaften von klassischen Mengen
Theorie der unscharfen Mengen
Gegeben sei XCXBXA ,, .
kommutativABBA
ABBA
)2
)1
assoziativCBACBA
CBACBA
)()()4
)()()3
idempotentAAA
AAA
)6
)5
vdistributiCABACBA
CABACBA
)()()()8
)()()()7
AA)9 = A)12 =A XAA )10 AXA )13
A)11 = XXA )14
AA )()15 Involution
MorgandevonTheoremBABA
BABA
)17
)16
Eigenschaften von unscharfen Mengen
Theorie der unscharfen Mengen
itätKommutativABBA
ABBA
~~~~)2
~~~~)1
itätAssoziativCBACBA
CBACBA
)~~
(~~
)~~
()4
)~~
(~~
)~~
()3
IdempotenzAAA
AAA
~~~)6
~~~)5
vitätDistributiCABACBA
CABACBA
)~~
()~~
()~~
(~
)8
)~~
()~~
()~~
(~
)7
AA~~
)9 = - gilt nicht mehr
XAA ~~
)10 - gilt nicht mehr A
~)11 = AXA )13 A
~)12 = A
~ XXA
~)14
AA~
)~
()15 Involution
BABA
BABA~~~~
)17
~~~~)16 Theorem von de Morgan