1

Theoretische Elektrodynamik

Literatur:Nolting: Grundkurs Theoretische Physik

Keine SI-Einheiten:Fließbach: ElektrodynamikRömer/Forger: Elementare Feldtheorie

zusätzlich:Jackson: Klassische ElektrodynamikSommerfeld: Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische PhysikLandau/Lifschitz: Elektrodynamik der KontinuaFeynman: Vorlesungen über Physik

Version 29.03.18

2

Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständigzu überprüfen.

Hinweise und Anregungen bitte an: Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de

Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen dieBilder von http://de.wikipedia.org/ , Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt.

Viele Visualisierungen stammen von http://ocw.mit.edu/ MIT's OpenCourseWare:8.02T Electricity and Magnetism.

mailto:Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de?subject=Vorlesung%20QM-Ihttp://de.wikipedia.org/http://ocw.mit.edu/

3

Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit der Bestimmungelektrischer und magnetischer Felder und Potenziale aus gegebenen Ladungs- und Stromverteilungen beschäftigt. Die ED beschreibt elektromagnetischen Wellen und die Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Kraftwirkungen von Strömen.

Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die die Bestimmungs-gleichungen für elektrische und magnetische Felder darstellen. Sie wird 'klassisch' genannt, da sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt.

1. Einleitung

4

Vektorfelder:

Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden.

F=qE r , t q v×B r , t

Feldgleichungen:

Feldgleichungen sind partielle Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen. Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen, diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder.

5

Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist, verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum Vektor der Oberfläche des Volumens dA ist.

Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche (hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n·rot V ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche ist.

1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen

Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const. Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist proportional zu diesem Anstieg.

entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage

6

Kartesische Koordinaten:

In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr:

d r = dx e xdy e ydz e z = dx ,dy , dz

Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor:

grad = ∇=∂∂ x ,∂∂ y ,∂∂ z Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe:

div A = ∇⋅A=∂ Ax∂ x

∂ Ay∂ y

∂ Az∂ z

Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe:

rot A= ∇×A=∂A z∂ y −∂ Ay∂ z ,∂ Ax∂ z −∂ Az∂ x ,∂ Ay∂ x −∂Ax∂ y Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor:

∇=∂∂ x ,∂∂ y ,∂∂ z

7

Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinaten-system. Sein Betrag sei r = |r| und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt:

∇⋅r = div r = ∂ x∂ x∂ y∂ y∂ z∂ z= 3

∇ × r = rot r = 0

∇⋅[n f r ] = 2rf ∂ f

∂ r∇ × [n f r ] = 0

a⋅∇n f r = f r r[a − n a⋅n ] n a⋅n ∂ f

∂ r∇r⋅a = a r ∇ ⋅a i L× a

wobeiL= 1

ir ×∇

den Drehimpulsoperator darstellt.

Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung

8

Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung

∇ × ∇= rot grad = 0∇⋅∇ × a = div rot a = 0∇ ×∇ × a = rot rota = ∇∇⋅a − ∇ 2a = grad diva−a

∇⋅a = a⋅∇ ∇⋅a∇ × a = ∇ × a ∇ × a∇a⋅b = a⋅∇b b⋅∇ a a ×∇ × b b ×∇ × a

∇⋅a × b = b⋅∇ × a − a⋅∇ × b∇ ×a × b = a ∇⋅b − b ∇⋅a b⋅∇a − a⋅∇ b

a⋅b × c = b⋅c × a = c⋅a × b a × b × c = a⋅c b − a⋅b c

a × b ⋅c ×d = a⋅c b⋅d − a⋅d b⋅c

9

1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis

V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dV=d3r und S eine Fläche die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen.

∫V

div A d 3 r =∫S

A⋅d fGauß'scher Satz:

Stokes'scher Satz:∫S

rot A⋅d f =∮∂ S

A⋅d r

S sei eine Fläche die von einem Rand ∂S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des Rands.

Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeitdes Linienintegrals:

rot A= 0 ∫1

2

A⋅d r = wegunabhängig

10

1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum mit Quellen

div E⃗ ( r⃗ , t) = ρ( r⃗ , t )/ε0 div B⃗( r⃗ , t ) = 0

rot E⃗ ( r⃗ , t) =−∂ B⃗ ( r⃗ , t)∂ t

rot B⃗( r⃗ , t) = μ0 j⃗( r⃗ , t)+ε0μ0∂ E⃗ ( r⃗ , t )∂ t

Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeitim Vakuum.

c = 100

Die Maxwellschen Gleichungen bestimmen das räumliche und zeitliche Verhalten der elektrischen und magnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) bei gegebenen Ladungsdichten ρ(r,t) und Stromdichten j(r,t).

0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums

0= 8,854⋅10−12 As

Vm µo= 4π⋅10−7 Vs

Am

μ0: Permeabilität des Vakuums

11

1) Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man alsQ > 0: positive LadungQ < 0: negative Ladungbezeichnet.Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0).

2) Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung: Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch)

In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ.

e = 1.602⋅10−19 AsQuarks

± 13e ,± 2

3e

2. Elektrostatik2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme

Robert Andrews Millikan 22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA † 19. Dezember 1953 in San Marino USA Nobelpreis für Physik 1923

12

Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den Briten Joseph John Thomson.

Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein.

Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung. In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben Elektron-Elektron-Streuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10-19 m. Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die Positronen (e+), mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen.

Sir Joseph John Thomson 18. Dezember 1856 in Cheetham Hall† 30. August 1940 in CambridgeNobelpreis für Physik 1906

13

3) Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen.

Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As.

4) SI-Maßsystem Länge in m Zeit in s Masse in kg Ladung in C = As

Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele, ∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom elektrodyna-misch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2*10-7 N beträgt.

14

Verwendete Bezeichnungen:Ladung Q = n e (ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e)Ladungsdichte ρ(r) Ladung pro Volumeneinheit-> Gesamtladung

Flächenladungsdichte σ: Ladung pro FlächeneinheitLinienladungsdichte η: Ladung pro Linienelement

Q =∫Vr dV

15

2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum

Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen ruhenden Ladungen.Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an.

● Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q).● Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet.

Q ' im Ursprung P 0,0 ,0F = Q ' Q

40rr3

r = ∣r∣ = x2 y2z 2

Charles Augustin Coulomb 14. Juni 1736 in Angoulême † 23. August 1806 in Paris

0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums

0= 8,854⋅10−12 As

Vm

16

F r = Q' Q4 0

r−r '∣r−r '∣3

1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q',

2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen,

3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet. anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen

4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.).

∣F r ∣= Q' Q4 0

1∣r−r '∣3

∣r−r '∣ ~ 1∣r−r∣2

Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r':

17

2.3 Konzept des elektrischen Feldes E(r)

Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des elektrischen Feldes einzuführen.Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt und ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt. Für die Kraftwirkung spielt es keine Rolle, wie das elektrische Feld erzeugt wird.

E r = limq0

fq

- Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m.- Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung.

Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q am Ort r.

E⃗ ( r⃗ ) = Q'4πε0

r⃗− r⃗ '|r⃗− r⃗ '|3

f⃗ ( r⃗ ) = Q E⃗ ( r⃗ )

Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte:1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld

(unabhängig von der anderen Ladung)2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung

18

Feldlinien

Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien:Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund der Coulomb-Kraft fortbewegen würde.

- 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court

Feldlinien von Punktladungen sind radial.Def.: In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie!

+

19

Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie besitzen ein skalares Potenzial. Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U.

rot E = 0 E r = Q '40

r−r '∣r−r '∣3

E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V].

E r =−∇U r =−gradU r

2.4 Elektrostatisches Potenzial U

Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden.

Achtung für zeitabhängige Felder gilt:

E⃗ ( r⃗ ) =−∇⃗U ( r⃗ )−∂ A⃗( r⃗ , t)∂ t

20

Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden -> messbar sind nur Potenzialdifferenzen

U r2 − U r1 =∫r1

r2

dU =∫r1

r2

∂U∂ x dx ∂U∂ y dy ∂U∂ z dz =∫r1r2

gradU⋅d r =−∫r1

r2E⋅r

gradU = ∂U∂ x , ∂U∂ y , ∂U∂ z d r = dx , dy , dz

U r2 − U r1 =−∫r1

r2E⋅d r

wegen: Stokes'scher Satz (siehe Übung)

∫F

rot a⋅d f =∮∂ Fa⋅d r ∫

Frot E

da rot E=0

⋅d f =∮E⋅d r = 0

Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz

Dieses Linienintegral ist wegunabhängig.

21

Potenzial des elektrischen Feldes für eine Punktladung

U r ' −U ∞=−∫∞

r '

E⋅d r

übliche Wahl der Konstanten U ∞ = 0 ,und Q ' im Nullpunkt ,

U r ' =−∫∞

r '

E r ⋅d r =−Q '

4 0∫∞

r 'r ⋅d rr3

r⋅d r=x dx ydyzdz=∣r∣∣d r∣a⋅b=a bcos

=− Q '4 0

∫∞

r ' drr2= Q'

40 r '

Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir

U = Q'40∣r−r '∣

Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, dieaus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen

22

2.4 Superpositionsprinzip

● Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri

● Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r● Gesamtfeld E (r)

E r =∑i

E i r U r =∑iU i r

mitE i r =Q i

40

r−r i∣r−r i∣

3 U i r =Q i

4 01

∣r−ri∣

Ursache ist die Linearität der Maxwell'schen Gleichungen. Die Summe von Lösungen ist wieder Lösung der Maxwell'schen Gleichungen.Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt dasSuperpositionsprinzip dann nicht!

23

ρ( r⃗ ) =d Q i ( r⃗ )dV Q i =∫V i

ρ(r )dV

Ladung dQ im Volumen dV

r = dQdV

U ( r⃗ ) =∑i

Q i4πε0|r⃗−r⃗ i|

⇒ 14πε0∫ ρ( r⃗ ' )d

3r '|r−r '|

d 3 r ' = dx ' dy ' dz '

U x , y , z = 14 0

∫∫∫ dx ' dy ' dz ' x ' , y ' , z ' x−x ' 2 y− y ' 2 z−z ' 2

2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke

Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen:

Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen:

24

∮ E⋅d f

Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel

Ladung im Mittelpunkt einer Kugeldf: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche

E r = Q40

rr3

∣E r ∣= Q40

∣r∣r3= Q

401r 2

konstant auf Kugeloberfläche

E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df

∮F

E⋅d f =∮FE df = E∫

Fdf = E 4 r2

Kugel !

∮E⋅d f = Q0

2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche

25

Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel.Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r.

∮E⋅d f = Q40 ∮r⋅d fr 3

= Q40

∮ r⋅r2 dr3

= Q40

∮d4

= Q0

cos d f = r 2 d er

r⋅d f = r cos∣d f ∣= r3 d

∫0

∫0

2

sin d d = 4

Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E

E ∥ d f

Raumwinkeld = sin d d

26

● Viele Ladungen in geschlossener Fläche

Superposition E =∑i

E i Q=∑iQ i

0 ∮∂V

E⋅d f = Q

2.7 Physikalischer Gauß'scher Satz

Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist gleich der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0).

Gauß'scher Satz aus der Mathematik gilt für jedes Vektorfeld:

∫V

div E r d 3 r = ∮S V

E⋅d f

27

Zum Gauß'schen SatzKann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem stabilen mechanischen Gleichgewicht befinden?

Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q (stabil -> E = 0)

Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgend-einem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle einer anderen Ladung.

(-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen)

+

28

1. ∞ langer, homogen geladener Stabλ = Ladung pro Längeneinheit● Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0● wegen Symmetrie nur radiale Komponente E

∮E⋅d f = E∫d f = E 2 r⋅l = Q0=⋅l0

Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand vom geladenen Stab.

2. homogen geladene Kugel

E = 140

Qr2

rR

E = 140

1r2

Q r3

R3rR

E =

2 0 r

l

r

RR

Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gauß'schen Satz lösen.

29

3. homogen geladene dünne KugelschaleP sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale.

kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberflächedf = r2 sinθ dθ dφ

d f 1d f 2

=r1

2

r22

Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem Flächenelement proportional zum Flächeninhalt

dq2dq1=df 2df 1

dq= df

r1

r2

Nach dem Coulomb'schen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis

E 2E1= q2 / r 2

2

q1 / r12= 1.

Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten verschwindet das elektrische Feld nicht.

30

B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen Körpers E = 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeitdes Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.)Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen.

Maxwell ermittelte: δ < 10-5Plimpton + Laughton 1939: δ < 10-9

1r2

Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert, darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?).

Benjamin Franklin 17. Januar 1706 in Boston † 17. April 1790 in Philadelphia

31

2.8 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum

1. rot E⃗ ( r⃗ ) = 0 elektrische Felder sind wirbelfrei

2. div E⃗ ( r⃗ ) = 1ε0 ρ( r⃗ ) Ladungen sind Quellen der elektrischen Felder

Integrale Darstellung:

1.∮E⋅d r = 0

2.∫F

E⋅d f = 10Q

32

div -gradU = 10r

U = −0

lineare, inhomogene, partielle

∂2∂ x2 ∂2

∂ y2 ∂

2

∂ z2 U r = −0 DifferenzialgleichungLösung:

U r = 140

∫ r ' d3r '

∣r−r '∣

falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im Endlichen vorliegen, d.h. für lokalisierte Ladungsverteilungen soll das Potenzial im Unendlichen verschwinden.

2. Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben:

1. ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0 E = - grad U

33

Randwertproblem der Elektrodynamik

Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die Werte für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben.Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem.

34

Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32

rU r =1

4 0∫d 3r ' r ' r 1∣r−r '∣

=− 10∫d 3r ' r ' r−r ' =− 10

r

Beweis: a) r−r0 = 0 r ≠ r0

b) ∫Vd 3r r−r0 = {1 falls r0∈V0 sonst

r−r ' =− 14

1∣r−r '∣

Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung:

35

b) ∫Vd 3 r r '

1∣r−r '∣

=∫Vd 3 r ' ' r ' '

1r ' '

Zu a) r ≠ r ' , r−r ' = 0

1∣r−r ' ∣

= div grad 1∣r−r ∣

= div r−r '∣r−r '∣3

= div r−r ' ∣r−r '∣3

r−r ' ⋅grad 1∣r−r '∣3

= 3∣r−r '∣3

− 3 r−r ' ⋅ r−r ' ∣r−r '∣

1∣r−r '∣4

= 0

Wegen a) ist der Integrand für r''≠0 Null. -->Enthält V den Nullpunkt, so kann man das Integral über eine Kugel im Ursprung durchführen.

∫ d 3 r ' ' 1r = 0fallsr = 0 ∈V

∫Vd 3 r r

1r=∫

V K

d 3rdiv grad 1r =∫

Fd f⋅- 1r 2 er

=∫0

2

d∫0

sind∫0

r0

r2 e r⋅-1r 2er =−4

r ' ' = r−r '

36

2.9 Elektrisches Feld zweier Punktladungen Eine positive Ladung q sei bei r

1 und eine negative gleichgroße Ladung (-q) bei r

2.

r = q r−r1−qr−r 2

Das Potenzial ergibt sich aus der Lösung der Poissongleichung.

U r = 14 0

∫ r ' d3r '

∣r−r '∣= 1

40∫ qr '−r1−qr '−r 2 d

3r '∣r−r '∣

=

= 14 0 [ q∣r−r1∣− q∣r−r 2∣]

Das elektrische Feld lautet

E r =−gradU r = q4 0 [ r−r1∣r−r1∣3− r−r 2∣r−r 2∣3 ]

Das Dipolmoment ist ein Vektor mit der Einheit Coulomb mal Meter:p⃗ = q( r⃗1− r⃗ 2)

Eine noch häufig genutzte Einheit ist das Debye: 1 Debye = 3.33564 10-30 C m.Für Moleküle liegt das Dipolmoment meist im Bereich von 0 - 12 Debye (H

2O: 1.84).

Ein reiner Dipol ergibt sich durch Grenzübergang: Abstand der Ladungen gegen Null bei konstantem Dipolmoment bzw. aus der Ladungsdichte:

ρ( r⃗ ) =− p⃗⋅∇δ( r⃗− r⃗0)

37

Potenzial

Feldlinien

38

Das Zusammenführen zweier gleicher Ladungen kostet Arbeit. Das Zusammenführen zweier ungleicher Ladungen bringt Energie.

Vereinbarung- Energie hat das Symbol W (wegen |E| = E)- Energiedichte ω(r): W = ∫d3r ω(r)Im elektrischen Feld E(r) am Ort r wird auf die Punktladung q die Kraft F(r) = q E(r) ausgeübt.Um die Punktladung q im Feld E(r) vom Punkt B nach A zu verschieben, muss also Arbeit geleistet werden.

W = −∫B

A

F r ⋅d r

= −q∫B

A

E r ⋅d r = q∫B

A

dU

= q [U A −U B ]

F · dr sei negativ, falls beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben.

2.10 Die Energie eines elektrostatischen Feldes

dU=∂U∂ x dx ∂U∂dy dy∂U∂ z dz=gradU⋅d r

39

1. Situation- eine Punktladung sei bei r1, Q1 (Energie Q1 nach r1 zu schaffen ist Null, da F(r) = 0)- eine zweite Punktladung Q2 aus dem Unendlichen nach r2 schaffen- elektrisches Feld wird durch Q1 erzeugt

W =−∫∞

r⃗2

F⃗ ( r⃗ )⋅d r⃗ =−Q2∫∞

r⃗2 Q14 πε0

( r⃗− r⃗1)⋅d r⃗∣⃗r− r⃗1∣

3 =−Q1Q24 πε0

∫∞

r⃗2 ( r⃗− r⃗1)⋅d ( r⃗− r⃗1)∣r⃗− r⃗1∣

3

=−Q1Q24πε0

∫∞

r⃗2 dxx2=Q1Q24πε

1∣r⃗− r⃗1∣∣∞

r⃗2

=Q1Q24πε0

1∣r⃗2− r⃗1∣

x =∣r−r1∣

r2 r1

Q2 Q1r1−r2

d r−r2

E⃗ ( r⃗ ) =Q1

4πε0r⃗− r⃗1|⃗r− r⃗1|

3

40

2. Situation: 3. Ladung aus dem Unendlichen nach r3 führen Energie von Q1 und Q2 ist bekannt. Q1 und Q2 erzeugen ein elektrisches Feld, das mit Q3 wechselwirkt. Superposition der elektrischen Felder E(r) = E1 + E2

W =Q1Q 2

4π ε0|r⃗1− r⃗ 2|+

Q1Q34πε0|r⃗1−r⃗ 3|

+Q2Q3

4π ε0|r⃗ 2− r⃗3|

3. Situation: viele Punktladungen (N)

W =∑i< j

N Q iQ j4πε0|r⃗ i− r⃗ j|

andere Schreibweise (z.B. Nolting)

W = 18πε0

∑i,j=1i≠ j

N Q iQ i|r⃗ i− r⃗ j|

wegen Doppelsummationi≠ j ⇔ j≠i1,2 ⇔ 2,1

41

4. eine Raumladungswolke ρ(r), ∑ -> ∫, Q -> dQ = ρdV

W = 18π ε0

∫d 3 r⃗ ∫ d3 r⃗ ' ρ( r⃗ )ρ( r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '| =12 ∫d

3 r⃗ ρ( r⃗ )U ( r⃗ )

U ( r⃗ ) = 14π ε0

∫d 3 r⃗ ' ρ( r⃗ ' )|⃗r− r⃗ '|

Sechsfaches Integral (Die Singularität r = r' ist integrierbar und stört nicht)

5. Zwei Raumladungswolken ρ1(r), ρ2(r)

W = 18π ε0∫d 3 r⃗ [∫d 3 r⃗ ' ρ1( r⃗ )ρ1( r⃗ ' )|⃗r− r⃗ '| + ρ2( r⃗ )ρ2( r⃗ ' )|⃗r− r⃗ '| + 2ρ1( r⃗ )ρ2( r⃗ ' )|⃗r− r⃗ '| ]

W 1 +W 2 + W 12

Energie der ersten Wolke + Energie der zweiten Ladungswolke +Wechselwirkung zwischen Wolken

42

Es gilt für eine Ladungswolke ρi

W i =12 ∫d

3r i r U i r

außerdem gilt die Poissongleichung (für homogenes ε)

ΔU i =−ρiε0 ρi =−εΔU i

W i =−ε0

2 ∫d3 r⃗ (ΔU i( r⃗ )) U i ( r⃗ )

Weiterhin folgt aus der Vektoranalysis die folgende Beziehung:

div U gradU = gradU 2 U U

W i =−ε02∫V

d 3 r⃗ div (U i gradU i) +ε02∫V

d 3r (gradU i)2

Anwendung des mathematischen Gauß'schen Satzes ∫V

div A dV =∮∂V

A⋅d f

W i =−ε02 ∮∂V

d f⃗ ⋅U i (gradU i) +ε02 ∫V

d 3r E⃗ i⋅ E⃗ i

43

∂∂ x U ∂U∂ x ∂∂ y U ∂U∂ y ∂∂ z U ∂U∂ z =∂U∂ x

2

∂U∂ y 2

∂U∂ z 2

U ∂2U∂ x2 ∂2U∂ y2

∂2U∂ z2

div U ∂U∂ x ,U ∂U∂ y ,U ∂U∂ z = ∂U∂ x , ∂U∂ y , ∂U∂ z ⋅ ∂U∂ x , ∂U∂ y , ∂U∂ z +U ∂2U∂ x2

∂2U∂ y2

∂2U∂ z2

Beweis der folgenden Beziehung aus der Vektoranalysis:

div U gradU = gradU 2 U U

Die linke Seite gibt:

44

Wir fordern: Alle Ladungen befinden sich in einem endlichen Volumen V

Es ist dann möglich, über eine Kugel mit R -> ∞ zu integrieren, da ρ nur im Endlichen ≠ 0

∮ d f ... ~ R2

U ~ 1R

∣gradU∣ ~ 1R2

∮ d f ⋅U gradU R∞ 1R 0

W =ε02 ∫d

3 r⃗ E⃗ ( r⃗ )⋅ E⃗ ( r⃗ )

U = 14 ∫d

3 r 'r ' ∣r−r '∣

Für den ersten Term erhalten wir damit als Grenzwert für R -> ∞

Nur der zweite Term überlebt und gibt einen Beitrag

W i =−ε02 ∮∂V

d f⃗ ⋅U i (gradU i) +ε02 ∫V

d 3r E⃗ i⋅ E⃗ i

45

W =ε02 ∫d

3 r⃗ E⃗ ( r⃗ )⋅ E⃗ ( r⃗ )

w =ε02E⃗ ( r⃗ )⋅ E⃗ ( r⃗ )

Das elektrische Feld ist der Träger der elektrostatischen Energie.

46

In der Natur existieren magnetische Felder. Es gibt allerdings keine Punktquellen des magnetischen Feldes, d. h. es wurden noch nie magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gefunden.

Magnetostatische Felder entstehen durch stationäre elektrische Ströme.

● Der Ursprung des Magnetfeldes ist nicht mit klassischer Physik erklärbar -> Quantenmechanik (van Vleck)

● Ströme (nicht klassisch berechnet)

● Spin (z.B. e- besitzt magnetisches Moment, liefert Beitrag zur Stromdichte)

3. Magnetostatik3.1. Grundbegriffe

Haben Multipole ihre Ursachen in atomaren Strömen? (Elektronen in Atomen?)

Magnetische Felder werden erzeugt durch Ströme. Magnetische Multipole (Dipole, Quadrupole usw.) haben ihre Ursache im Charakter der Stromverteilungen.

Eisenspäne auf Papier, aus Practical Physics (1914)

47

Definition: Magnetfeld H (magnetische Feldstärke)

[H ] = Am

Definition: magnetische Induktion B (magnetische Flussdichte)

B⃗ = µ0 H⃗

µo= 4π⋅10−7 VsAm

3.2. Grundlagen

Die magnetische Permeabilität μ beschreibt die Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder. In Materialien ist die Permeabilität eines Materials frequenzabhängig, Temperatur- und Druckabhängig und muss als komplexe Größe definiert werden.

μ0: Permeabilität des Vakuums

48

Stärkstes und schwächstes Magnetfeld

Das mit 0,000000001 Tesla (1 nT) derzeit schwächste genutzte Magnetfeld findet man in einem speziell abgeschirmten kubischen Gebäude der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Berlin. Zweck des Kubus ist die Messung der schwachen Hirnströme von Menschen.

Das Magnetfeld der Erde beträgt 20 bis 30 Mikrotesla an der Erdober-fläche. Als Ursache des Erdmagnetfeldes gelten Konvektionsströme im äußeren flüssigen Erdkern, die durch den Temperaturunterschied zwischen dem festen inneren Erdkern und dem Erdmantel aufrechterhalten werden (Geodynamo).

In Dresden (Rossendorf) werden gepulste Magnetfelder von über 90 Tesla in einer Bohrung von 16 Millimetern erzeugt – das ist weltweit einmalig. Damit werden Eigenschaften neuer Materialien und Phänomene wie Supraleitung und Magnetismus untersucht, um innovative Materialien für die Zukunft zu entwickeln.

Um eine Feldstärke von 100 Tesla zu erreichen, wird eine elektromagnetische Energie von 50 MJ und ein Spitzenstrom von 100 kA benötigt.

Auf der Oberfläche von Neutronensternen, wie z. B. Pulsaren, herrschen laut unseren theoretischen Vorstellungen typischerweise Flussdichten von 100 Tesla, bei Magnetaren, einer speziellen Sorte von Neutronensternen, sogar 1000 Tesla.

49

rot B⃗ = 0div B⃗ = 0

Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, sondern verlaufen als geschlossene Bahnen. Das Magnetfeld ist quellenfrei.

In der Magnetostatik gibt es im Gegensatz zur Elektrostatik keine Ladungen – magnetische Monopole sind zwar mathematisch denkbar, alle experimentellen Tatsachen sprechen aber gegen ihre Existenz.

Die Grundgleichungen der Magnetostatik ohne Ströme, haben die gleiche mathematische Struktur wie die Grundgleichungen der Elektrostatik ohne Ladungen.

Nach dem Gauß'schen Satz ist der Fluss von B durch eine Oberfläche:

∮B⋅d f =∫V

div Bd 3r = 0

div B = 0

keine magnetischen Ladungen

50

4. Ströme und deren magnetische Wirkungen4.1. Elektrische Ströme und Kontinuitätsgleichung

beschleunigte Bewegung: dIdt≠ 0

Beliebiges Volumen, durch das der Strom fließen soll → Ladung in V (Q(t))

Ladungserhaltungssatz: Änderung der Ladungen in einem Volumen wird durch elektrische Ströme durch die Oberfläche des Volumens verursacht.

Q̇ t = Strom hinein oder hinaus aus V(durch Oberfläche von V)

Strom fließt in Richtung der Flächennormalen

I =∮∂V

j⋅d f , j = Stromdichte = StromFlächeQ̇ I = 0 Q =∫

Vd 3r r

Stationäre Ströme (Gleichstrom) = Stromdichte, die nicht von der Zeit abhängt

j

51

Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes

ddt ∫V

d 3r ∫V

divj d 3r = 0

-> für gegebenes beliebiges Volumen V

d d t

divj = 0Kontinuitätsgleichung(mikroskopische Form der Ladungserhaltung)

(analog zur Hydrodynamik: Massenerhaltung ) ̇m div jm= 0

Die Ladungsdichte in einem Volumen kann sich nur ändern, wenn durch dieOberfläche des Volumens ein Strom fließt.

52

4.2. Das durch stationäre elektrische Ströme erzeugte MagnetfeldAmpère'sche Gesetz = Durchflutungsgesetz = Verkettungsgesetz)

Experiment: I erzeugt einen Wirbel (Magnetfeld)Richtung entspricht der „rechten Hand“-Regel

Hans Christian Ørsted 14. August 1777 in Rudkøbing† 9. März 1851 in Kopenhagen

Erkannte 1820 die magnetische Wirkung von Strömen.

André-Marie Ampère 20. Januar 1775 in Poleymieux-au-Mont-d'or neben Lyon† 10. Juni 1836 in Marseille

Ampère erklärte den Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stromes und setzte die Stromrichtung fest.

I

Ørsted studierte Naturwissenschaften und Pharmazie an der Universität Kopenhagen.1819 isolierte er erstmals Piperidin.1820 entdeckte er mit einem Kompass die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes.1825 stellte er erstmals Aluminium her.

∮ B⃗⋅d r⃗ = μ0I rot B⃗ =μ0 j⃗

53

∮Kreis

H⋅d r = H 2 R= I

∫ rotH ⋅d f =∫j⋅d fH = I

2 R

Nach Stokes: rotH = j , divH = 0div rotH = divj=0

Bemerkungen:

∮H⋅d r = const.⋅I const. =1 durch SI-Einheiten von[H ]: A mandere Einheiten:

1 Am= 4

1000Orsted B = µH : V s

m2= Tesla = 104 Gauss

rotH = j kann nur richtig sein, falls ̇ = 0 ,da die Kontinuitätsgleichung gelten muss.

̇ div j = 0 stationäre Ströme

H-Linien sind konzentrische Kreisemit wachsendem Abstand sinkt H(Symmetrie H konstant auf Kreis -> H || dr)

x

54

4.3. Das Vektorpotenzial

In der Magnetostatik ohne Ströme gilt:rot B = 0 3 DGL zu lösendiv B = 0 1 weitere DGL

Die ersten 3 Gleichungen lassen sich durch einen Potenzialansatz lösen, B = - grad V V: skalares Potenzial

allerdings nur wenn rot B = 0.

Können wir irgendetwas von div B = 0 nutzen, das wegen seiner mathematischen Struktur immer Null ist?

Einführung des Vektorpotenzials A, so dass div B = 0 immer erfüllt ist.Da aus der Vektoranalysis bekannt ist, das immer gilt div rot = 0, definieren wir das Vektorpotenzial als mathematische Hilfgröße:

B = rot A: : A Vektorpotenzial

div B⃗ ( r⃗ ) = 0rot B⃗ ( r⃗ ) = μ0 j⃗( r⃗ )

Für Magnetostatik mit Strömen gilt aber:

55

A ist dadurch nicht eindeutig bestimmt: Es kann immer ein konstanter Vektor addiert werden.

Zu A kann der Gradient einer beliebigen Funktion addiert werden (Eichtransformation).A' und A = A' + grad W(r)

liefern das gleiche B-Feld W(r) kann so gewählt werden, dass zusätzliche Bedingungen (die Rechnungen

erleichtern) erfüllt sind.

rot grad ≡ 0

Die von der Theorie vorhergesagten Felder ändern sich nicht, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Der Mathematiker Hermann Weyl führte den Namen Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie für solche Theorien ein.

In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die allerdings auch für dynamische Probleme verwendet werden kann.

Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotenzials A(r, t) dar.

div A = 0 Coulomb-Eichung

56

Beweis:angenommen A' erfülle die Coulomb-Eichung nicht: div A' = c(r) ≠ 0gesucht ist: A = A' + grad W(r,t), so dass die Coulomb-Eichung gilt div A = 0

div A = div A' + div grad W0 = c(r) + ∆ W

W als Lösung dieser Gleichung gewählt, so dass: div A = 0Man kann immer ein A konstruieren, für das div A = 0 gilt.

A' voraussetzen, div A' = 0 überprüfen

Die Elektrodynamik ist eine eichinvariante Feldtheorie, d..h B hängt nicht von der Eichung ab. In der Elektrostatik ergibt U + const. dasselbe E wie U

Ladungserhaltungssatz

E. Noether - jede Invarianz Erhaltungssatz

Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotenzial sondern auch das skalare Potenzial fest. Die Lösung für das skalare Potenzial U(r,t) entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem elektrostatischen Coulomb-Potenzial. Daher kommt der Name Coulomb-Eichung.

E r ,t =−gradU r ,t −∂A r , t ∂ t

57

Nach dem Ampere'schen Durchflutungsgesetz gilt rot H = j. Zusammen mit B = μ H, nutzen wir B = rot A als Ansatz.

rot 1µ

rotA = jfalls μ = const.

Es gilt ∆ = grad div – rot rot, da div A = 0 ∆A = - µ j in Coulomb-Eichung

Ähnliche Gleichungen haben ähnliche Lösungen (siehe Poissongleichung):

Ar = µ4 ∫ d

3r 'j r ' ∣r−r '∣

für eine gegebene Stromdichte j(r) folgt daraus A(r) und B = rot A.Die Gültigkeit von div A = 0 war hier vorausgesetzt, aber es gilt diese zu prüfen

div Ar = µ4 ∫d

3r ' divrj r ' ∣r−r '∣

rot rotA= j

58

Falls die Oberfläche „weit genug weg“ ist, so dass keine Ströme aus dem Unendlichen bzw. nach Unendlich durch die Oberfläche fließen.

A r = µ4 ∫d3r '

j r ' ∣r−r '∣

∣r−r '∣= x−x ' 2 y− y ' 2 z−z ' 2∂∣r−r '∣−1

∂ x =−1

∣r−r '∣3 x−x '

∂∣r−r '∣−1

∂ x ' =1

∣r−r '∣3 x−x '

div a = diva a⋅grad

= + µ4∫d

3r ' 1∣r−r '∣

divr ' j r ' 0 wegen Gleichstrom

− µ4∫ d

3r ' divr 'j r ' ∣r−r '∣

div Ar =− µ4∮ d

f⋅j r ' ∣r−r '∣

= 0

div ⋅a = diva a⋅grad

divrj r ' ∣r−r '∣

= 1∣r−r '∣

divr j r ' 0

j⋅grad 1∣r−r '∣

gradr1

∣r−r '∣=−gradr '

1∣r−r '∣

=− µ4∫ d

3r ' j r ' ⋅gradr '1

∣r−r '∣

div A= µ4∫d

3r ' j⋅gradr1

∣r−r '∣

59

4.4. Das Biot-Savart-Gesetz

Gesucht ist H(r) für einen dünnen stromdurch flossenen Draht

Ar = µ4 ∫ d r ' ⋅∫ d

fj r ' ∣r−r '∣

d 3r ' = d r ⋅d f

r' ändert sich nur infinitesimal über den Querschnitt des Drahtes, da dieser dünn sein soll.d.h. in Bezug auf das Flächenelement df , welches den Querschnitt integriert, ist 1

∣r−r '∣= const.

A r = µ4 ∫d r '

1∣r−r '∣∫d

f j r ' I

= µ4 ∫ d r '

I∣r−r '∣

Zerlegung

Dünner Draht

Jean-Baptiste Biot 21. April 1774 in Paris† 3. Februar 1862 in Paris

60

Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang des Drahtes I= const. ist:

Ar = µ I4 ∫ d r '

1∣r−r '∣

B = rotA= µHH r = I

4 ∫rotrd r '∣r−r '∣

H r =− I4 ∫d r ' × gradr

1∣r−r '∣

− r−r '∣r−r '∣3

H r = I4 ∫ d r ' ×

r−r '∣r−r '∣3

Es gilt: rot ⋅a = rot a − a×grad , rotr d r ' = 0

Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r

dH r = I4

d r ' × r−r '∣r−r '∣3

61

Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang des Drahtes I= const. ist:

Ar = µ I4 ∫ d r '

1∣r−r '∣

B = rotA= µHH r = I

4 ∫rotrd r '∣r−r '∣

H r =− I4 ∫d r ' × gradr

1∣r−r '∣

− r−r '∣r−r '∣3

H r = I4 ∫ d r ' ×

r−r '∣r−r '∣3

Es gilt: rot ⋅a = rot a − a×grad , rotr d r ' = 0

Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r

dH r = I4

d r ' × r−r '∣r−r '∣3

62

Die Rolle des Coulomb'schen Gesetzes der Elektrostatik übernimmt in der Magnetostatik das Ampere'sche Gesetz:

F =µ0 I 1 I 2

4 ∮C 1∮C2

d r1×d r2× r12∣ r12∣

3

4.5 Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf ein Stromelement

0

r1 r2

r12d r1 d r 2C

1

I1

C2

I2

Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern:

Auf ein Strom durchflossenes Wegelement dr in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft:

∣d F∣~ I ∣d F∣~∣d r∣ d F ⊥ d r

d F r = I d r × B r

Kraftwirkung auf den Strom in einer Leiterschleife, durch das Magnetfeld, dass durch den Strom in einer zweiten Leiterschleife erzeugt wird.

63

Die durch den Strom I2 in der Schleife C2 erzeugte magnetische Induktion ist

B2 r 1 = µ0I 2

4 ∮C2d r 2×r 12∣r 12∣

3

Mit dem vom Strom I2 erzeugten B-Feld wechselwirkt der Strom I1 in der Leiterschleife C1

F 12= I 1∮C1

d r 1× B2 r1

F 12=∫ [ j r × B r ] d3r

F 12=∫ [j r × B r ] d 3rd r1

d f

Kraft eines Magnetfeldes B auf eine beliebige Stromverteilung j.

64

Lorentzkraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte Punktladung:

j = v = q 3r−r0 v r0 :Ort der Ladung qF =∫d 3r q 3r−r0 v × B r = q v r0 × B r0

Gesamtkraft auf eine Ladung bei elektrischen und magnetischen Feldern (folgt nicht aus Maxwellgleichungen)

F = qE q v×B

t

● Rechte-Hand-Regel● Elektron bewegt sich auf Kreisbahn

● Diese Kraft ist bedeutend für:● alte Bildschirme (Monitor, Fernseher), Elektronenmikroskop● Nachweis geladener Teilchen in Nebel- oder Blasenkammer (Q/m bestimmen)● geladene Teilchen im Magnetfeld der Erde● Elektromotor● Betatron, Synchrotron (Beschleuniger)● Kernfusion (Plasmafalle)

Hendrik Antoon Lorentz * 18. Juli 1853 in Arnhem † 4. Februar 1928 in HaarlemNobelpreis für Physik 1902

65

F =−µ0I 1 I 24 ∮C1

∮C2

d r1⋅d r2r12∣ r12∣

3

F 12 =−F 21

Actio gleich reactio ist durch diesen Ausdruck für die Kraft erfüllt, da r12 das Vorzeichen ändert.

d r1× d r 2× r12 = d r 2d r1⋅r 12− r12d r1⋅d r 2

∮C 1

d r1⋅r12∣ r12∣

3 =−∮C 1

d r1⋅grad1∣ r12∣

=− ∫FlächeC 1

d f⋅rot grad 1r12= 0

Das komplizierte doppelte Vektorprodukt lässt sich für manche Zwecke günstiger umschreiben.

F =µ0 I 1 I 2

4 ∮C1∮C2

d r1×d r 2× r12∣ r12∣

3

Der erste Term verschwindet im Ausdruck für die Kraft unter Nutzung desStokes'schen Satzes und der Beziehung rot grad = 0.

Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leiternr1 r2

r12d r1 d r 2

66

Gegeben seien zwei unendlich lange, parallele, gerade Drähte mit Abstand a, durch die die Ströme I1 und I2 fließen. Welche Kraft übt der Strom durchflossene Leiter C2 auf das Element dz1 des Leiters C1 aus?

d F⃗ 12=−µ0I 1 I 24π

dz1 ∫−∞

∞

dz2-( r⃗2− r⃗1)∣r⃗1− r⃗2∣

3

r2−r 1= a e x z2−z1 e z∣r 2−r1∣= a2 z2−z12

4.6 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern

x

aI1

l1

dz1

0

dz2 c2

(z2-z1)êz

r1

r2−r1

I2

r2

Stromfluss im ∞ durch einen Halbkreis geschlossen. So weit weg, dass der Krafteinfluss vernachlässigt werden kann.

z

x

67

d F 12= µ0I 1 I 24

dz1 ∫−∞

∞

dz2a e xz 2−z1 e z[a2 z 2−z12 ]

3/2

= µ0I 1 I 24

dz1[ ∫−∞∞

dz2a e x

[a2 z2−z12 ]3/2 e z∫

−∞

∞ z2−z1dz2

[a2 z2−z12 ]3/2 ]

= µ0I 1 I 24

dz1a e x 2∫0

∞ dza2z 23/2

= µ0I 1 I 24

dz1a e x2z

a2a2z21 /2∣0∞

= µ0I 1 I 22

e xadz1

SI: a = 1 m, I1 = I2 = II beträgt gerade 1 A, wenn dadurch auf einen 1 m langen Leiterabschnitt eine Kraft von 2 * 10-7 N ausgeübt wird.

Die von den geraden Leitern aufeinander ausgeübte Kraft ist senkrecht zu beiden Stromrichtungen. Sie ist anziehend, falls die Ströme die gleiche Richtung haben.

F 12= µ0I 1 I 22a

z ex

68

4.7. magnetostatische Energien

da rotH = j

W m=12 ∫d

3r j r , t ⋅Ar , t

elektrostatische Analogie: W el =12 ∫d

3r r U r

W mag=∫d 3r mr = 12 ∫d3r H ⋅B = 12 ∫ d

3r (H ⋅rotA )

= 12 ∫ d

3r A⋅rotH 12 ∫ d

3r div A×H

div A×H = H ⋅rotA− A⋅rotH

∫d 3r div A×H =∮ d f ⋅A×H r∞

0Ar = µ

4 ∫d3r ' j r '

∣r−r '∣

~r 2 ~1r ~1r 2

69

Damit erhalten wir durch Einsetzen von A (r):

W m=12 ∫d

3r j r , t ⋅ µ4 ∫ d

3r 'j r ' , t ∣r−r '∣

= µ8 ∫d

3r ∫ d 3r 'j r , t ⋅j r ' , t

∣r−r '∣

W el =1

8πε∬d3 r⃗ d 3 r⃗ ' ρ( r⃗ ) ρ( r⃗ ' )

∣r⃗− r⃗ '∣

Die magnetostatische Energie ist durch die Wechselwirkung zwischen denStromdichten bestimmt. Dieser Ausdruck ähnelt sehr stark dem Ergebnis für elektrostatische Energien, der die Wechselwirkung zwischen den Ladungsverteilungen beschrieben hat.

Die Ausdrücke für elektrostatische Energien sind Sonderfälle der allgemeinen Beziehung, die für dynamische elektrische und magnetische Felder gilt (siehe Energiesatz der ED).

70

5. Die Maxwell'schen Gleichungen5.1. Der Verschiebungsstrom

bisher:rot E⃗ = 0 div E⃗ = ρ/ε0rot B⃗ = µ0 j⃗ div B⃗ = 0

Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert:

̇ divj = 0

Wenn aber gilt, dass rot B⃗ = µ0 j⃗ dann müsste gelten ̇ = 0 ,

da div rot0

H = divj .

Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert.

71

Postulat: rotH =j ̇D

div rotH = divj div ̇D= 0

divj ̇ = 0

Bedeutung:

̇D = 0 ̇ĖP erzeugt ein MagnetfelḋD = VerschiebungsstromdichterotH = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte

d Pd t

: wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht,

dEd t

: ist ein neuer Effekt (wesentlich für Wechselstrom).

72

Magnet wird an Spule heran bewegt-> Induktion einer Spannung

= ∫Fläche derRingspule

B⋅d f

d d t=∮E⋅d r Änderung des Flusses erzeugt elektrisches Feld

Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben.

j erzeugt Magnetfeld HsHs und HM sind entgegengesetzt gerichtet―> Abstoßung

5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz

73

Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden.

∮ E⃗⋅d r⃗ ist positiv (festgelegt durch Skizze)ddtΦ= d

dt ∫ B⃗⋅d f⃗ negativddt ∫ B⃗⋅d f⃗ =∫

∂ B⃗∂ t

⋅d f⃗ +∫( B⃗× v⃗)⋅d f⃗

∮ E⃗⋅d r⃗ = d ϕd t = −∫∂ B⃗∂ t⋅d f⃗

U r 1 − U r 2 =−∫r1

r2E⋅d r

Induzierter Strom verursacht Spannungfrüher: Spannung verursacht Strom

Faraday`sches Induktionsgesetz

induzierte Spannung hat anderes Vorzeichen als früher

U i =∮E⋅d r =

Grund:

22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court

Für eine mit v bewegte Leiterschleife wird aber nur die Spannung im mitbewegten System gemessen, so dass

Vielen Dank an Michael Lenz, TU Dresden für die Hinweise zur Integralform des Induktionsgesetzes.

74

Anwendung des Stokes'schen Satzes

∮ E⃗⋅d r⃗ =∫ rot E⃗⋅d f⃗ =−∫ ∂ B⃗∂ t ⋅d f⃗

Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche kann zeitlich veränderlich sein.

∮ E⃗⋅d r⃗ ≈ ddt∫ B⃗⋅d f⃗

Stromerzeugung (Dynamo, Generator)1866/7 technische Realisierung durch Siemens

rot E⃗ =−∂ B⃗∂ t

Für kleine Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ergibt sich als Flussregel:

(Generator)

Ernst Werner von Siemens 13. Dezember 1816 in Lenthe bei Hannover; † 6. Dezember 1892 in Berlin

75

5.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum mit Quellen

div E⃗ ( r⃗ , t) = ρ( r⃗ , t)/ε0 div B⃗ ( r⃗ , t) = 0

rot E⃗ ( r⃗ , t) =−∂ B⃗ ( r⃗ , t)∂ t

rot B⃗ ( r⃗ , t) = μ0 j⃗( r⃗ , t )+ε0μ0∂ E⃗ ( r⃗ , t )∂ t

Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeitim Vakuum.

c = 100

Die Maxwellschen Gleichungen bestimmen das räumliche und zeitliche Verhalten der elektrischen und magnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) bei gegebenen Ladungsdichten ρ(r,t) und Stromdichten j(r,t).

0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums

0= 8,854⋅10−12 As

Vm µo= 4π⋅10−7 Vs

Am

μ0: Permeabilität des Vakuums

Achtung: Den Inhalt dieser Seite sollten Sie zur Prüfung wissen. Er ist absolut notwendig (aber nicht hinreichend).

Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleichungen:

76

Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme und bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik.

Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten:

das Ampère'sche Gesetz, das Faraday'sche Gesetz,● das Gauß'sche Gesetz

Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine der herausragendsten Leistungen dar.1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das die Physik seit Newton entdeckt hat“.

James Clerk Maxwell13. Juni 1831 in Edinburgh † 5. November 1879 in Cambridge

77

5.4. Energie(erhaltungs)satz

Subtraktion der Gleichungen

Maxwell'sche Gleichungen

E⃗⋅rot B⃗ − B⃗⋅rot E⃗ =μ0 j⃗⋅E⃗ + ε0μ0 E⃗⋅ ˙⃗E + B⃗⋅ ˙⃗B

Es gilt:

−div ( E⃗× B⃗ )= E⃗⋅rot B⃗ − B⃗⋅rot E⃗

− 1μ0 div ( E⃗× B⃗ )= j⃗⋅ E⃗+ ε0 E⃗⋅˙⃗E + 1μ0 B⃗⋅

˙⃗B

rot B⃗ =μ0 j⃗ + ε0μ0 ˙⃗E ∣ ⋅⃗E Skalarproduktrot E⃗ =− ˙⃗B ∣ ⋅⃗B

Joule‘sche Wärme j * E beschreibt die Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme.

78

elektromagnetische Energiedichte mit:

w = wel + wmag =ε02E⃗⋅E⃗ + 1

2μ0B⃗⋅B⃗ = 1

2E⃗⋅D⃗ + 1

2H⃗⋅B⃗

ẇ + 1μ0 div ( E⃗× H⃗ ) =−νEnergiesatz der Elektrodynamik

− 1μ0 div ( E⃗× H⃗ )= ν +ε02ddt

( E⃗⋅E⃗ ) + 12μ0ddt

( B⃗⋅B⃗ )

da ddt

( B⃗⋅B⃗ )= ˙⃗B⋅B⃗ + B⃗⋅ ˙⃗B = 2 B⃗⋅ ˙⃗B

ν = Quellen oder Senken der elektromagnetischen Feldenergie−div ( E⃗× B⃗ )= E⃗⋅rot B⃗ − B⃗⋅rot E⃗

− 1μ0 div ( E⃗× B⃗ )= j⃗⋅ E⃗+ ε0 E⃗⋅˙⃗E + 1μ0 B⃗⋅

˙⃗B

D⃗ = ε0 E⃗ B⃗ =μ0 H⃗

79

Definition: Poynting-Vektor

S⃗ = 1μ0 E⃗× B⃗

Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0

ẇ divS = 0

Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fließt.—> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses

ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in z.B. Wärme umgewandelt werden Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie.

Energieerhaltungssatz

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im allgemeinen nicht.

(Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.)

John Henry Poynting9. September 1852 in Monton † 30. März 1914 in Birmingham

80

5.5. Die Wellengleichung

● Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen

● Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung:● µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten● ρ = 0 keine freien Ladungen● σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig)

aus Maxwell: D = E , B = µH

rotH = ̇E divE = 0rotE =−µ ̇H divH = 0

E = µ ∂2 E∂ t 2

= 1c2∂2E∂ t2

1c2= µ

- eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden

rot rotE =−µ rot ̇H =−µ ̈E

E = grad divE0

− rot rotE

Lichtgeschwindigkeit in Medien mit ε, µ}

Vakuum c1c2= 0 µ0

Wellengleichung

81

Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung;spezielle Lösung ist eine ebene Welle: E(r,t) → E(k,ω)

E r ,t = E0 ei k⋅r − t

E0 selbst kann komplex sein: E0x =∣E 0

x∣⋅ei x , E0y =∣E 0

y∣⋅ei y , E0z =∣E0

z∣⋅ei z

∣E 0x∣= Re E 0x2 Im E0x2

Damit gilt ausführlich Re E

E z r , t =∣E 0z∣cos k⋅r− t z

E x r , t =∣E 0x∣cos k⋅r− tx

E y r ,t =∣E0y∣cosk⋅r− t y

E = µ ∂2 E∂ t 2

= 1c2∂2E∂ t2

82

Überprüfen unseres Lösungsansatzes: E = E0 ei k⋅r− t

E = ∇2E =−k 2E

Damit folgt für unsere Wellengleichung

E = 1c2̈E

∂∂ tE =−iE ∂

∂ xE =i k x E

∇⋅E = i k⋅E

k 2− 2c2 E = 0−k 2E = 1

c2-2E

Wir suchen eine nicht triviale Lösung mit E ≠ 0

k 2 = 2

c2= c∣k∣ für beliebige Vektoren k ,E0

83

Bedeutung von ω:

Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ:

= 2 f = 1 Frequenz

Kreisfrequenz ω: =2= 2 f

Re E xz. B. x-Komponente

E x r , t =∣E 0x∣cos k⋅r− tx

Bedeutung von k:

Wir wählen ein

cosk x x− tx

Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π

k x=2 falls

k in x-Richtung

k = k x ,0 ,0

84

Allgemein gilt:∣k∣= k =

2

= c k ⇒ 2 f = c2

Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt?

f = c

Für konstante Zeit t: k gegeben

k⋅r = const.

Ebenengleichung

ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.

e =kk

1 lineare Gleichung für x, y, z

E = E0 ei k⋅r− t

Ebene Wellen

85

t = beliebig: E ist konstant auf einer Ebene, die sich mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt.

k⋅r = k⋅r 0= t

unendlich ausgedehnterLichtstrahl

k r0= t r 0=kt = c t

da r0∥ k

Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten.

86

Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist.

E r ,t =∫E0 k ei k⋅r− t d3k

E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann.

Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen?Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0.

Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

divE =∇⋅E = i k⋅E = 0

Allgemeine Lösung:

k⋅E = 0 E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung

87

● Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht.● In anisotropen Medien (z.B. nicht kubischer Einkristall) ist ε ein Tensor und k und E sind nicht mehr unbedingt senkrecht zueinander.

● ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre)

--> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“

div E = i k⋅E =

Wellen werden charakterisiert durch:● Amplituden: |E0x|, |E0y|, |E0z| Nur zwei sind unabhängig, da , in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null.● Wellenlänge λ und Frequenz f● 2 Phasen● Polarisation (linear, zirkular, elliptisch)

Bemerkungen

E⋅k = 0

Wilhelm Conrad Röntgen 27. März 1845 in Lennep (heute Stadtteil von Remscheid) † 10. Februar 1923 in MünchenNobelpreis Physik 1901

88

E = E0x e x E0

y e y

feste Richtung von E (Polarisations-Richtung)

tan =∣E 0

y∣∣E 0

x∣

E y=∣E0y∣cosk⋅r− t

E x=∣E 0x∣cosk⋅r− t

xE0x

Phasen αx = αy

5.6 Polarisation elektromagnetischer Wellen

a) linear polarisiert mit k || z

E x r , t =∣E 0x∣cos k⋅r− tx

E y r ,t =∣E0y∣cosk⋅r− t y

yE0y

E = ∣E0x∣ex∣E0y∣ e y orts- und zeitunabhängig

cos k⋅r− t

89

b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2)

E⃗ = E (cos(k x−ω t+α) ê x∓sin (k z−ω t+α) ê y )

E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz,

∣E 0x∣ ≠ ∣E 0

x∣

∣E 0x∣=∣E 0

y∣= E

für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung

=−2

Kreis =2

x

Blickrichtungim pos. z

k ausEheu

zk

90

Wie sieht das B-Feld aus?

rot E⃗=− ˙⃗Brot B⃗=ε0μ0

˙⃗Erot rot B⃗=ε0μ0 rot ˙⃗E=−ε0μ0 ¨⃗Brot rot B⃗=grad div B⃗⏟

0

−Δ B⃗

Δ B⃗=µε ∂2 B⃗∂ t 2

= 1c 2∂2 B⃗∂ t 2

mit der ebenen Welle als Lösung

B⃗ ( r⃗ , t)= B⃗0ei ( k⃗⋅⃗r−ω t ) mit ω=c|⃗k|

wegen div B⃗=0 → k⃗⋅B⃗=0 B⃗⊥ k⃗ Ausbreitungsrichtung

Zusammenhang zwischen E und B:

rot E⃗ =− ˙⃗B i k⃗× E⃗=iω B⃗

B⃗ = 1ω k⃗× E⃗ ⇒ B⃗⊥ k⃗ und B⃗⊥ E⃗

91

Für den Betrag von |B| gilt damit:

|B⃗|= |⃗k||E⃗|ω =|E⃗|c=|E⃗|√ε0 µ0

Für die Energiestromdichte erhalten wir:

S⃗= 1μ0 E⃗×B⃗=1μ0 E⃗×( k⃗× E⃗ω )= 1ωμ0 E⃗×( k⃗× E⃗ )

Es gilt: A⃗×( B⃗×C⃗ )=B⃗ ( A⃗⋅C⃗ )−C⃗ ( A⃗⋅B⃗)

S⃗= 1ω µ0

[ k⃗ ( E⃗2 )−E⃗ ( k⃗⋅E⃗ )⏟0

]= k⃗ω µ0

E⃗2= kω µ0

e⃗ E⃗ 2= 1c µ0

E⃗2 e⃗

E 2 heisst hier Re E ⋅Re E

ε0 E⃗⋅E⃗=ε0√ 1µ0ε0 B √ 1µ0ε0 B= B2

μ0=H B=H⃗⋅B⃗

⇒wel=wmag=12

w w=12( E⃗⋅D⃗+ H⃗⋅B⃗)

S⃗== e⃗ cw

Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung der Welle.

92

6 Elektrodynamik in Materie6.1 Polarisation von Materie

Das Anlegen eines externen Feldes oder das Einbringen einer zusätzlichen Ladung erzeugt eine Verschiebung von Ladungen -> Polarisation (Deformationspolarisation)

E⃗ = E⃗ tot = E⃗ ext+ E⃗ indIm neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. Externes Feld verschiebt diese, so dass ein induziertes Feld entsteht.

+++

--

Dielektrische Polarisation nennt man eine Ladungsverschiebung in einem nichtleitendem Material, die durch das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes verursacht wird.

Die Ladungsverschiebung in einem Leiter wird Influenz genannt.

Im Inneren der Materie sowie an den Oberflächen ist eine makroskopische Ladungsverteilung (Polarisationsladungen) wahrnehmbar.

93R. Starke et al., Functional approach to electrodynamics of media, Phot. Nano. Fund. Appl. 14, 1–34 (2015).

94

Verschiebungspolarisation

Bei unpolaren Molekülen wird die Elektronenwolke, die den Atomkern umgibt, durch das angelegte elektrisches Feld gegen den Atomrumpf verschoben. Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte wird ein Dipolfeld erzeugt. Im Inneren des Körpers entsteht so eine makroskopische, inhomogene Ladungsverteilung.

Orientierungspolarisation

In einem Körper mit polaren Molekülen richten sich dessen Dipole im äußeren elektrischen Feld aus.

In Medien (Materialien) kann man die Quellen aufteilen als:

Die internen Quellen sind mögliche Quellen im Medium ohne externes Feld (Index 0) und durch das externe Feld induzierte Quellen (Index ind):

Die Maxwellschen Gleichungen sind für alle diese Quellen gültig, auch mikroskopisch im Inneren der Materie.

95

E⃗ = E⃗ ext+ E⃗ ind

Eext: externes FeldEind: Feld durch Polarisation E ≠ 0, E < Eext

ε0 div E⃗ = ε0 div ( E⃗ ext+ E⃗ ind) = ρext + ρind

ρind: induzierte Ladungsdichte

Die Polarisation erzeugt elektrische Felder, so dass das elektrische Feld im Inneren der Materie eine Überlagerung aus dem externen elektrischen Feld und dem elektrischen Feld der induzierten Ladungsdichte darstellt.

Damit erhalten wir aus den Maxwell'schen Gleichungen:

96

Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D im Vakuum

D = 0E

da V beliebig ist, muss gelten:

divD = r

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes!

∮D⋅d f =Q∫V

divD⋅d 3r = Q =∫Vr d 3r

6.2 Dielektrische Verschiebung

Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir:

97

Definition: Polarisationsvektor oder Verschiebungsvektor In der Elektrostatik bezeichnet der Vektor der Polarisation das Vektorfeld, das aus einem permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material (Dielektrikum) resultiert. Der Polarisationsvektor P hat die Einheit eines Dipolmoment pro Volumen. Es ist dem Feld E in der Materie entgegen gerichtet.

D⃗ = ε0 E⃗ + P⃗div D⃗ = divε0 E⃗ + div P⃗ =ρext + ρind − ρind = ρext

Historisch war ρind unbekannt, so dass eine Hilfsgröße eingeführt wurde:Vektor der dielektrischen Verschiebung D

Jedes Atom/Molekül spürt nicht nur das Vakuumfeld, sondern auch alle Felder der anderen Atome oder Moleküle.P wird nicht durch Eext allein verursacht, verschwindet aber ohne äußeres Feld.

E⃗ = E⃗ ext + E⃗ ind < E⃗ extP⃗ = P⃗ ( E⃗ ) ≠ P⃗ ( E⃗ ext)

P⃗ =−ε0 E⃗ ind div P⃗ =−ρind

98

Wenn P eine Funktion von E ist und wir hinreichend kleine Felder voraussetzen,ist eine lineare Näherung (Taylor-Entwicklung) möglich.

P = 0 eE

χe: Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisierbarkeit von Materie.

D = 0E P = 010E

= 0 1e = 0 r

E⃗ = E⃗ ext + E⃗ ind = E⃗ext −1ε0 P⃗ = E⃗ ext− χe E⃗

(1+χe) E⃗ = E⃗ext da E⃗ < E⃗ ext , muss χe > 0

99

Folgerungen:1) In Materie mit großen ε oder χe sind elektrische Felder schwächer.2) ε ist groß, falls Ladungen leicht verschiebbar sind (große Polarisierbarkeit)

● Ionenkristall: Ladungen fest auf Atomen -> ε klein● kovalente Bindungen: Elektronen müssten bewegt werden -> ε größer● Wasser: Rotation der H20-Moleküle -> ε groß● Eis: keine Rotation -> ε klein

Diamant 5,5 Wasser 80Glas 4 ... 10 Aceton 22

11,7 Äthanol 25

Helium 1.00007Luft 1.00059Wasserstoff 1.00026

Metall ∞

Si

0 0

100

Verallgemeinerung:

a) D = ε E ist ein Materialgesetz (Näherung)für alle nicht kubischen Kristalle oder nicht isotropen Medien wird ε zueinem Tensor

Di= ik E k ε ik = ε 0 00 ε 00 0 ε = ε ikfür kubische Kristalle

Falls eine Vorzugsrichtung existiert, ist E im Allgemeinen nicht mehr parallel zu P.

D = E , D im Allgemeinen nicht parallel zu E

b) P ~ E ist nur lineares Glied der Taylor-Entwicklung von P(E)

P = P0 0 eE E c E E3

101

1) Paraelektrikum heißen Stoffe mit permanenten Dipolen (H20, NH3, ...), die zufällig angeordnet sind und die sich in einem äußeren elektrischen Feld E ausrichten können (Orientierungspolarisation).

2) P0 sei eine ohne äußeres elektrisches Feld bestehende Polarisation.Ferroelektrika besitzen einen permanenten Dipol, der oberhalb einer

kritischen Temperatur Tc verschwindet.Siegnette-Salz: NaKC4H406 * 4H20, Bariumtitanat BaTi03Pyro- und piezoelektrische MaterialienGlieder höherer Ordnung wichtig für nichtlineare Optik(Laser-Frequenzverdopplung)

Starke T- und p-AbhängigkeitH20 bei Normaldruck

0° C 10° C 20° C 30° C 40° C 50° C87,8 83,9 80,1 76,5 73 69,7exp

Temperatur -> Fluktuationen wirken gegen die Ausrichtung im elektrischen Feld

Arten von dielektrischen Stoffen:

102

c) frequenzabhängige Felder

E r , t = E0 cosk⋅r− t

mit k = k ek , = 2 v , k =2

= ,k

Die k-Abhängigkeit ist oft unwesentlich, außer bei:- optisch aktive Substanzen (Rechts – Linksquartz) ε(ω,e)- für λ ~ Röntgenbereich: Bragg-Reflexion (Interferenz)- (photonic bandgap) Materialien mit photonischer Bandlücke (Opal)

Die ω-Abhängigkeit ist sehr wichtig.H20: εr (ω = 0) = 80 εr (ωLicht) ≈ 1,8

Die Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt.

Brechzahl n = ⋅µ

103

● Orientierungspolarisation 1010 Hz● IR-Ionenpolarisation 1012 Hz● Elektronenpolarisation 1015 Hz

-> bei hohen Frequenzen nährt sich ε(ω) -> ε0 Ladungen können den Änderungen von E nicht mehr folgen.

Schematische Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion

104

Frequenzabhängigkeit des Brechungindex von Wasser

105

Frequenzabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von Wasser

Schlechtes Wetter beeinträchtigt die Übertragung von Satelliten im Wellenlängenbereich λ ≈ 3 cm mehr, als die Übertragung über terrestrische Sender bei λ ≈ 30 cm.

106

6.3 Metalle in externen Feldern(Metall = frei bewegliche Ladungen)

Eine zusätzliche Ladung wird völlig kompensiert: Elektronen fließen, solange das elektrische Feld im Inneren nicht Null ist, und schirmen die Ladung ab. Der Ladungsüberschuss verteilt sich effektiv auf die Oberfläche (Rand).

Das elektrische Feld im Inneren von Metallen ist Null. Daraus folgt (wegen grad), dass das elektrische Potenzial im Inneren konstant ist. Der Rand (die Oberfläche) des Metalls ist eine Äquipotenzialfläche. Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen immer senkrecht auf Äquipotenzialflächen. Daraus folgt -> Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Oberfläche von Metallen.

++

++

++

+

+

+

+

+

+

-- -

-

-- --

--

--

+

107

6.4 Grenzflächen zweier Medien/Randbedingungen

div r 0E =−

a) Nichtmetalle (Dielektrika)

rotE = 0

Stokes'scher Satz ∮E⋅d r = 0=∫ rotE⋅d f

für jeden geschlossenen Weg

∫a

b

E x1 dx −∫

c

d

E x2 dx ∫

d

a

E z dz −∫b

c

E z dzfür h0 und endliche Felder

= 0

h

108

Mittelwertsatz der Integralrechnung:

∫a

b

f xdx = f b−a

∫a

b

E x1 dx = E x

1 l mit hinreichend kleinem l

E x1 l = E x

2 l E x1 = E x

2 analogE y1 = E y

2

Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig.

E t1= E t

2

Elektrostatisches Potenzial U1 = U(x,y,z=+0), U2 = U(x,y,z=-0):Angenommen es gelte U1 = U2 + const., wegen E = -grad U,

∂U∂ z

=∞ ~ E z =∞ daraus folgt const= 0 U 1= U 2

109

Normalkomponenten von D

Zylinder mit Höhe h und Deckfläche F, h≪ F , h 0

div D= ∮∂V

D⋅d f = Q

Fluss von D durch den Zylinder

∮D⋅d f =∫D z1 d f z ∫ Dm⋅d fMantelfläche mit h 0 und endlichen Feldern

−∫Dz2 d f z = Q

1

2

z

d f

d f

h

110

Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und hinreichend kleine Fläche F, so dass D in der Fläche konstant ist.

Dz1F − D z

2F = Q = ⋅F = Flächenladung QF

Dz1− Dz

2 =

Dz entspricht der Normalkomponente DN auf der Fläche F.

DN1 − DN

2 =

Falls keine Flächenladung auf der Grenzfläche (σ = 0) existiert:

DN1 = DN

2 1 E N1 = 2 EN

2

Die Differenz der Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung ist gleich der Flächenladung auf der Grenzfläche.

Die Normalkomponenten des elektrischen Feldes sind an der Grenzfläche unstetig, der Sprung des elektrischen Feldes ist durch den Sprung der Dielektrizitätsfunktion der Medien bestimmt.

111

6.5 Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien

Einschränkung der Allgemeinheit σ = 0 D = ε E

tan 1 =E t

1

E N1 =

E t11DN

1

tan 2 =E t

2

EN2 =

E t2 2DN

2

falls = 0tan 1tan 2

=

E t11DN

1

E t22DN

2

=12

da die Tangentialkomponenten von E und die Normalkomponenten D an der Grenzfläche gleich sind.

1

2

112

E taußen= E t

innen= 0 ~ U innen= U außen

DNaußen= , da DN

innen= 0

Wird ein äußeres Feld ≠ 0 angelegt, fließen solange Ladungen bis das elektrische Feld im Inneren Null wird Oberfläche ist geladen.

b) Metalle - LeiteroberflächenIm Inneren ist E = 0 = D -> U = const.Die Oberfläche ist eine Äquipotenzialfläche, die Feldlinien stehen

senkrecht auf die Oberfläche.

113

6.6 Methode der Bildladungen (Spiegelladungen)

Wir betrachten eine Punktladung vor einer Metallwand. Der Abstand der Ladung zur Platte sei a. Wenn die Metallplatte geerdet ist, besitzt sie das Potenzial Null.Gesucht ist das elektrostatische Potenzial und die Influenzladung auf der Wand.

114

Die Metallplatte teilt den Raum in zwei Hälften (x0). Im rechten Teilraum,der ohne Ladung ist, erhalten wir als Lösung:

U r = 0 für x0

Diese Lösung genügt auch der Laplacegleichung mit den Randbedingungen U=0 bei x=0.Es ist ebenfalls Lösung, falls der gesamte Raum x>0 durch einen vollen Metallkörperersetzt wird.Wir suchen nun die Lösung für den linken Teilraum, wobei wir als Randbedingung beachten müssen, dass die Feldlinien senkrecht auf der Metallwand stehen. Eineäquivalente Randbedingung ist das Übereinstimmen des Potenzials auf der Wand.

U r =−qra e x für x0, U x=0, y , z = 0

Wenn man sich an das Potenzial eines Dipols erinnert, stellt man fest das dieses Potenzial eine Lösung für die linke Seite ist.

U r = q40 1∣ra e x∣− 1∣r−a e x∣

115

Die Methode der Bildladungen besteht allgemein darin, zusätzliche Ladungen außerhalb des interessierenden Bereiches zu finden, so dass die Randbedingungen für das Potenzial erfüllt werden. Diese Spiegelladungen existieren nicht wirklich, sondern dienen der mathematischen Beschreibung.

Das elektrische Feld auf der linken Seite lautet

E r =−gradU r = q4 0 [ ra e x∣ra e x∣3− r−a e x∣r−a e x∣3 ] für x0

Das reale elektrische Feld auf der rechten Seite ist Null.

116

Die auf der Metallwand induzierte Ladung ist durch die Normalkomponente von D gegeben. Die Normalkomponente auf der Wand entspricht der x-Komponenten von ε

0E.

Influenzladung

y , z =−0 E x x=0, y , z =−q

2 [ aa2 y2z23 /2 ]Die Oberflächenladung ist maximal bei y=0 und z=0 und nimmt mit wachsenden Abstand von diesem Lotpunkt ab. Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist dann

qinfl =∫ y , z dy dz = 2∫0

∞

d Zylinderkoordinaten

=−qa∫0

∞

[ d a223/2 ]=−q

Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte aufeinander aus, die messbar sind.

117

6.7.1 Paramagnetismus Atome/Moleküle besitzen magnetische Momente mi, die nicht orientiert sind. Die Richtungen sind durch Wärmebewegung statistisch verteilt.

M = 1V ∑i mi

M = 0 Mittelwert: keine Magnetisierung

Bei Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente mi ausgerichtet.

für kleine ∣H∣:

M = µ0 m H

m : magnetische SuszeptibilitätM max : allemigleiche Richtung

M = M max tanhµB Bk T

kleine H

analog zu: D = ε0 E + P P wird verursacht durch externes elektrisches Feld

In der Magnetostatik gilt: B = µ0 H + M, Die Magnetisierung M wird verursacht durch externes magnetisches Feld.

6.7 Magnetfelder in Substanzen

118

B = µ0H M ≈ µ0H µ0mH = µ01mH = µ0µr H = µ H

Die lineare Näherung ist bereits für technisch erzeugbare Felder im Allgemeinen falsch. Die Sättigungsmagnetisierung wird bei niedrigen Temperaturen schnell erreicht.

B = µ H: lineare Näherungµ ist im Allgemeinen ein Tensorµ = µ(ω) , Temperatur, Druck, ...

Jedes Atom, z. B. Natrium, das eine ungerade Zahl von Elektronen hat, wird ein magnetisches Moment haben, auch Radikale mit einem ungepaarten Elektron sind magnetisch. Wenn Verbindungen (Doppelbindungen) gebildet werden, heben sich diese Momente im Allg. gegenseitig auf.

Ein resultierendes magnetisches Moment gibt es in Stoffen, deren Atome eine innere, teilweise ungefüllte Elektronenschale haben: Übergangselemente Cr, Mn, Fe, Ni, Co, ... (seltene Erden).

119

χm negativ aber 1 + χm > 0-> Es bildet sich ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld aus.

Alle Stoffe sind diamagnetisch, allerdings ist der Diamagnetismus sehr schwach,so dass dieser Effekt manchmal durch andere Effekte (Paramagnetismus oder Ferromagnetismus) überdeckt wird.

In Metallen erzeugen die frei beweglichen Elektronen Diamagnetismus (Landau). Die restlichen Ionen können Paramagnetismus verursachen, meist überwiegt der Diamagnetismus

B = µ H µ < µ0Wiederum gilt: lineare Näherung

µ ist eigentlich ein Tensorµ = µ(ω) (geringe) Temperatur-, Druckabhängigkeit

6.7.2 Diamagnetismus

Bei Anlegen eines Feldes werden magnetische Momente erzeugt, die dem äußeren Feld entgegen wirken.

120

Warum gilt eigentlich immer µ = (1 + χm) µ0 ≥ 0?µ kann nie negativ werden, da

= 12H ⋅B = 1

2H ⋅H

> 0

µ

Falls µ negativ wäre, würden Magnetfelder sich selbst verstärken (-> ∞), da durch höhere Magnetfelder die Energie des Systems immer kleiner werden würde.Supraleiter sind perfekte Diamagneten mit χm=-1 und µ = 0.

Magnetische Suszeptibilität einiger Stoffe bei Raumtemperatur:

Wasser -90.0 · 10-6 Benzene -7.2 · 10-6 NaCl -13.9 · 10-6 Graphite ║ -260.0 · 10-6 Graphite ┴ -3.8 · 10-6 Cu -1.1 · 10-6 Ag -2.4 · 10-6

121

6.7.3 Ferromagnetismus

Es existieren so genannte Weiss'sche Bereiche (Domänen) mit ausgerichteten magnetischen Momenten M ≠ 0

In einem Bezirk gilt M =M 0T µ0mH

Mmax: alle Atome ausgerichtetTC: Curie-Temperatur

Thermische Fluktuationen zerstören Ausrichtung, magnetisches Feld stellt Ausrichtung wieder her.

122

M0(T) bildet das nullte Glied einer Taylor-Reihe von M(H)

B = µ0 H + M(H,T)

näherungsweise für kleine H:

B = µ0 H + M0(T) + µ0 χm H + ...

B = µ H + M0(T) mit µ = µ0(1 + χm)

T > TC : M0(T) = 0 paramagnetisches VerhaltenT < TC : M0(T) ≠ 0 ferromagnetisches Verhalten

In einem ferromagnetischen Körper existieren viele Weiss'sche Bezirke. Ein starkes Magnetfeld kann ein „Umklappen“ der Magnetisierung der Weiss'schen Bezirke bewirken.

123

a Neukurveb Sättigungc Remanenzd Koerzitivkraft

4. Ferrimagnetismus unterschiedlich große Momente

5. Antiferromagnetismus

6. Antiferrimagnetismus chirale Strukturen

frustrierte Strukturen

Wesentlich: B = µ H ist eine grobe Näherung, die nur für Para- und Diamagneteanwendbar ist.

Ms

Ms

HcH

MR

Hca

bc

d

⋮

124

Relation der elektrischen und magnetischen Feldgrößen zu den gebräuchlichen Größen:

Der mikroskopische dielektrische Tensor ist dann allgemein definiert als

und stellt eine Verallgemeinerung der normalen Relation D = ε0 εr E dar.

Die mikroskopischen Maxwellgleichungen sind im Vakuum und in Materie identisch, wenn man die korrekten Quellen nutzt. Es gibt keinen fundamentalen Unterschied zwischen der ED in Materie und im Vakuum.

Für eine ausführliche Diskussion dieser mikroskopischen Interpretation der ED siehe: R. Starke, G. S., Ab initio materials physics and microscopic electrodynamics of media, arXiv:1606.00445 [cond-mat.mtrl-sci].

125

Mittels Fouriertransformation und unter der Annahme homogener Körper erhält man folgende Beziehungen:

126

Stabmagnet: B = µH + M Sommerfeld § 12, Elektrodynamik

da div B = 0(Feldlinien müssen geschlossen sein)

rot H = 0

H = 1µB−M

Im Inneren ist damit B antiparallel zu HB ≠ µ H

M

B

H

6.8 Magnetfeld im Inneren eines Magneten

127

Analytisches Ergebnis für eine Kugel mit homogener Magnetisierung M

M sei gegeben

H =−M3µ

B = 23M

divB = 0= µ divH divMDie Magnetisierung macht einen Sprung an Oberfläche, den H kompensieren muss. Die Normalkomponente von H hat deswegen einen Sprung von -M.

Wegen rot H = 0 muss auf jedem geschlossenen Weg gelten, dass

Ein Teilintegral außerhalb des Magneten (B, H gleiche Richtung) ist positiv. Deshalb muss das Teilintegral über den Weg innerhalb des Magneten negativ sein.

∮H⋅d r = 0

∫innen

H⋅d r 0 ∫innen

B⋅d r 0 M = B − µH

∫innen

M⋅d r = ∫innen

B⋅d r − µ ∫innen

H⋅d r 0 ,

d. h., H im Inneren des Magneten hat auf jeder Feldlinie (durchschnittlich) die entgegengesetzte Richtung wie M.

M M M

N

SB H

128

Ring- und Zylinderspulen

1. RingspuleGesucht ist das Magnetfeld in der Spule.

Liegen die Windungen dicht, wird H in der Spule näherungsweise konstant.

∮H ⋅d r = n IH = n I

2 R2. Zylinderspule

∮H ⋅d r = n I

Näherungen: H homogen im Inneren (dichte Wicklung) H außen sehr klein (am Anfang + Ende der Spule falsch)

verbiegen der Zylinderspule -> Ringspule l = 2 π R

H =n Il l :Länge der Spule

129

6.9. Randbedingungen für Magnetostatik

Da die Grundgleichungen mathematisch die gleiche Form haben wie für E und D, müssen die Randbedingungen genauso sein. (gleiche Gleichungen = gleiche Lösungen).

Ht1 = Ht2 die tangentialen Komponenten von H sind gleichBN1 = BN2 die normalen Komponenten von B sind gleich, da es keine magne- tische Ladungen (wie σ) gibt

In Analogie zur Elektrostatik W = 12 ∫d

3r H r B r

Elektrostatik Magnetostatik

E HD Bε0 µ0

Q, ρ, σ, η ―

p Dipolmoment m magnetisches MomentD = ε0 E + P B = µ0 H + M

130

6.10 Das Ohm'sche Gesetz

Ursache von Strömen sind elektrische Felder(Spannung = Potenzialdifferenz)

E F = eE F = ma

Elektrisches Feld wirkt auf eine Ladung -> Kraftwirkung -> beschleunigte Bewegung

Warum erzeugt E einen Gleichstrom mit der Dichte

j = v statt d jd t

≠ 0 ?

● Im Vakuum (oder Ionosphäre) verursacht E beschleunigte Ladungen.● In Materie werden Elektronen ständig durch Gitterschwingungen und Defekte gestreut, diese Reibung führt zu einer gleichförmigen Geschwindigkeit der Ladungsträger.

Georg Simon Ohm 16. März 1789 in Erlangen † 6. Juli 1854 in München

131

Idealer Kristall bei T = 0

Elektron fliegt durch den Kristall.

realer Kristall bei T ≠ 0

Bewegung der Elektronen wie bei Reibung (bzw. Fall aus großer Höhe).

m̈r ̇r = eE

Elektrisches Feld bewirkt eine Beschleunigung

̈r ̇r = const . , da ̇r wächst und ̈r sinkẗr = 0 m ̇r = e E

j = env = e2nm

E = E Ohmsches Gesetzt der Leitfähigkeit

= e n Ladungsdichten= Ladungsträgerdichte

= 1 =mittlere Zeitzwischen zwei Stößen

j = E

132

Das Ohm'sche Gesetz ist ein Materialgesetz und nur näherungsweise gültig:● σ ist im Allgemeinen ein Tensor: j nicht parallel zu E● σ(k,ω) zeigt Dispersion wie ε(k,ω) und sind durch Materialrelationen verbunden● temperatur-, druckabhängig● σ linear (1. Glied einer Taylor-Reihe)

● In der Ionosphäre sowie in Nano- und Mikrostrukturen bei tiefen Temperaturen findet ballistischer Transport statt, bei dem das elektrische Feld die Ladungen beschleunigt.

E dj

d t

j

E

j

E

negativer Widerstand

Tunneldiode

EF

Leo Esaki (jap. Esaki Reona) 12. März 1925 in ŌsakaPhysik-Nobelpreis 1973 (Tunneldiode)Bild: http://nobelprize.org/physics/laureates/1973/

133

Einfaches Beispiel: Draht mit konstantem Querschnitt

U =−∫0

l

E⋅d r =−∫0

l

E d x =−E l

I =∫A

j⋅d f =∫ j x df x= j⋅A = Ul A

Spannung = |Potenzialdiff.| U = l E

j = E = Ul

1R= Al

I = UR

lA

j ∥ E

134

Das elektrische Feld E verursacht eine Beschleunigung, die kinetische Energie müsste zunehmen, was aber nicht passiert. Wo bleibt diese fehlende Energie?Stromdurchflossener Körper erwärmt sich!

dW = F⋅d r = F⋅v dt = P dt P = Leistung

P = e E⋅v

Für viele Elektronen, E und ν gleich:

P =∑ eE⋅v = Q⋅E⋅v

dP = E⋅v dQda =Ladung pro Volumenelement dQ = dV

dP = E⋅v dV = dV

6.11. Die Joule'sche Wärme

Für 1 Elektron abgegebene Arbeit:

James Prescott Joule 24. Dezember 1818 in Salford bei Manchester† 11. Oktober 1889 in Sale bei London

135

Es gilt

= j⋅EDie Joule'sche Wärme entspricht der im Volumenelement dV pro Zeiteinheit dt produzierten Wärme.

Falls das Ohm'sche Gesetz gilt

= E 2=j2

Einfaches Beispiel: Draht

P =∫ d 3r =∫ d 3r j⋅E = j E V = j E Al = I ⋅U = U2

R= I 2R

v = j

j = E

lA

j ∥ E V = A ∙ l I = j ∙ AU = E l

dP = E⋅v dV = dV

Einheit der Leistung P: Watt, W = A V

136

6. 12 Definition: Brechungsindex n

n=cvakc

n=√εr

Meta-materialien = Material mit negativem Brechungindex1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.

Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt.

Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf.

Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium.

137

Ein halb in Wasser getauchter Bleistift erscheint geknickt, weil der Brechungsindex von Wasser höher ist als der von Luft.

In einem negativ brechenden Medium wird der Bleistift scheinbar komplett aus dem Medium heraus geknickt.

Wenn Licht von einem Medium mit niedrigem Brechungsindex n in eines mit höherem Index übergeht, wird es zur Normalen hin gebrochen.

Wenn Licht von einem Medium mit positivem Brechungsindex in eines mit negativem Index übergeht, wird es komplett zurück zu derselben Seite der Normalen gebrochen.

Ein Objekt, das sich in einem Medium mit positivem Index vom Beobachter entfernt, erscheint infolge des Doppler-Effektes röter.

In einem Medium mit negativem Index erscheint ein sich entfernendes Objekt blauer.

Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien

138

Ein geladenes Objekt, das sich in einem positiv brechenden Medium schneller als die darin geltende Lichtgeschwindig-keit bewegt, erzeugt einen Kegel aus Cerenkov-Strah-lung in Vorwärtsrichtung.

In einem negativ brechenden Medium weist der Kegel rückwärts.

In einem Medium mit positivem Index wandern die Berge und Täler eines elektromagnetischen Pulses in dieselbe Richtung wie der gesamte Puls und die Energie.

In einem negativ brechenden Medium wandern die Einzel-schwingungen entgegengesetzt zum Gesamtpuls und zur Energie.

139

Ein elektrisches Feld (grün) erzeugt eine geradlinige Bewegung der Elektronen (rot).

Ein Magnetfeld (violette Pfeile) induziert eine kreisförmige Bewegung der Elektronen.

normales Material

Geradlinige Ströme (rote Pfeile) fließen in parallel angeordneten Drähten

Kreisförmige Ströme fließen in Spaltringresonatoren; diese können auch quadratisch sein.

Metamaterial Realisierung eines Metamaterial

Die Drähte und Resonatoren müssen kleiner als die Wellenlänge der elektro-magnetischen Strahlung sein.

140

Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt (links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild (rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge.

Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex

Superlinse Tarnkappe (für Mikrowellen)

Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D) Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches wurde auch schon für rotes Licht durch ein gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit Löchern von 100 nm einen B