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Theoretische Betrachtungen zu

Dopplerradarmessungen an Vulkanen

Florian Andreas Ziemen

Kurzfassung

Vulkanische Eruptionen lassen sich mittels Dopplerradarmessungen quanti-tativ erfassen. Bei den Messungen werden die Geschwindigkeiten der erup-tierten Partikel bestimmt. Dadurch konnen Erkenntnisse uber die Vorgangebei Eruptionen gewonnen und die Genauigkeit von Warnsystemen verbes-sert werden.

Zur Interpretation der gemessenen Daten ist eine Vorwartsmodellierungnotwendig, um eigene Modelle mit den gemessenen Daten zu vergleichen.

Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich die Streuung an kugelfor-migen Streukorpern unter Verwendung der Mie-Theorie untersucht und einProgramm geschrieben, das Messungen mit einem Dopplerradar simuliert.Mit diesem Programm ist es moglich, Messkonfigurationen zu testen undeigene Eruptionssaulenmodelle mit gemessenen Daten zu vergleichen. AlsBeispiele zeige ich 3D-Messungen mit mehreren Geraten und Mehrfrequenz-messungen zur Bestimmung der Korngroßen der eruptierten Partikel.

3

Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung 3

Kapitel 1. Einleitung 71.1. Zielsetzung und Vorgehensweise 91.2. Bisherige Arbeiten 10

Kapitel 2. Die Beschreibung der Streuung 132.1. Maxwell-Gleichungen 132.2. Fernfeldlosungen der Maxwellgleichungen 152.3. Stokes’sche Parameter und Phasenmatrix 202.4. Isotrope Streumedien 232.5. Querschnitte und Normierungen 232.6. Die Theorie von Mie 252.7. Dielektrizitatskonstanten 292.8. Korngroßenverteilungen 33

Kapitel 3. Ergebnisse der Untersuchung der Streuung 393.1. Einfluss der Wellenlange 413.2. Einfluss der Korngroßenverteilung 413.3. Einfluss des Radius 433.4. Einfluss des Luftgehaltes 453.5. Einfluss der Form 453.6. Extinktion und Sichtweite 483.7. Korngroßenbestimmung 49

Kapitel 4. Theorie und Implementierung der Signalbearbeitung 534.1. Extraktion der Frequenzdifferenz 554.2. Theorie der Entfernungs- und Geschwindigkeitsbestimmung 564.3. Umsetzung der Entfernungsbestimmung 584.4. Umsetzung der Geschwindigkeitsbestimmung 604.5. Gesamtdarstellung der Signalbearbeitung 664.6. Spektrale Leistungsdichte 664.7. Nicht betrachtete Effekte 674.8. Zusammenfassung der Signalbearbeitung 68

Kapitel 5. Der Radar-Simulator 695.1. Struktur des Programms 695.2. Die Partikel 71

5

6 INHALTSVERZEICHNIS

5.3. Der Partikel-Generator 735.4. Die Atmosphare 735.5. Der Radar-Strahl 765.6. Die Streuung 765.7. Die Signalbearbeitung 775.8. Die Ausgabe 775.9. Die Konfigurationsdatei und ein Beispiellauf 785.10. 3D-Messungen 865.11. Mehrfrequenzmessungen 91

Kapitel 6. Zusammenfassung 95

Danksagung 97

Anhang A. Erganzende Betrachtungen zur Mie-Theorie 101A.1. Spharische Vektorfunktionen 101A.2. Stetigkeitsbedingungen an Grenzflachen 106

Anhang B. Endliche Fouriertransformationen 109B.1. Periodizitat 109B.2. Diskrete Fouriertransformationen 110B.3. Fenster-Funktionen 111B.4. Uberschreiben 111

Anhang C. Erganzungen zu den synthetischen Messungen 115C.1. Weitere Konfigurationsdateien 115C.2. Darstellungen der Daten 115

Literaturverzeichnis 121

KAPITEL 1

Einleitung

Vulkanische Eruptionen gehoren zu den beeindruckendsten Naturgewaltenauf unserem Planeten. Große Eruptionen, wie die des Krakatau 1883, habentiefgreifende Einflusse auf die betroffenen Gebiete, wie Winchester (2003)darstellt. Gleichzeitig konnen sie das weltweite Klima fur Jahre beeinflus-sen, wie McCormick et al. (1995) und Robock (2002) fur die Eruption desPinatubo 1992 beschreiben.

Kleinere Eruptionen, wie sie alltaglich an Vulkanen wie Colima, Mexi-ko und Santiaguito, Guatemala oder an anderen Vulkanen des den Pazifikumgebenden Ring of Fire auftreten, haben in der Regel lokal begrenzteAuswirkungen. Durch ihre Regelmaßigkeit ermoglichen sie Einblicke in dasVerhalten von Vulkanen, die helfen, das allgemeine Verstandnis der hierstattfindenden Prozesse zu verbessern. Beispiele solcher Eruptionen zeigeich in Abb. 1.1 und Abb. 5.2.

Eine Moglichkeit, diese Eruptionen quantitativ zu erfassen, liegt in derVerwendung von Dopplerradargeraten, wie sie in der Meteorologie zur Re-genmessung eingesetzt werden. Sie ermoglichen es, Geschwindigkeiten vonPartikeln in einer Eruptionssaule zu bestimmen.

Die in den Eruptionssaulen enthaltene vulkanische Asche hat man sichnicht wie gewohnliche Asche von einem Feuer vorzustellen, sondern viel-mehr als Sand bis hin zu Steinen (Klasten) im cm-Bereich. Nach Schmincke klastisch nennt man Gestei-

ne, die aus der Zerstorung

anderer (alterer) Ge-

steine entstanden sind

(Trummergesteine).

Beringer (1937)

(2004) werden Objekte mit einem Durchmesser zwischen 2mm und 64mmals Lapilli, kleinere als Asche und großere als Bomben oder Blocke bezeich-net. Ich verwende im Folgenden die Begriffe Asche, Partikel oder Teilchen,ohne damit eine Großeneinschrankung zu verbinden.

Ein Radar der Arbeitsgruppe Geodynamik der Universitat Hamburg,welches ich 2007 am Volcan Fuego de Colima in Mexiko betreute, zeigtAbb. 1.2. Das dort eingesetzte MVR-4 der Firma Metek verwendet eineSatellitenantenne als kombinierte Sende- und Empfangsantenne. Uber siewird ein eng gebundelter Strahl mit einer Wellenlange von 1.25 cm in dieEruptionssaule gerichtet. Dieser wird an den Partikeln in der Aschewolke ge-streut, und die zuruckgestreute Energie wird von der Antenne im Empfangergebundelt. Hieraus wird im Radar eine Verteilung der Geschwindigkeiten derStreukorper berechnet. Im Gegensatz zum klassischen, gepulsten Radar, indem die Entfernung eines Objektes aus der Laufzeit des abgestrahlten Pul-ses berechnet wird, arbeitet das MVR-4 mit einer zeitlich konstanten Sende-leistung. Die Entfernungsauflosung wird uber eine Frequenzmodulation des

7

8 1. EINLEITUNG

Abbildung 1.1: Eruption des Volcan Fuego de Colima am 02. 03. 2006 um

12:20 Ortszeit. Die Aufnahme entstand von Suden kommend auf dem Weg zum

Vulkan. Der Durchmesser des Kraters betragt ca. 300m.

1.1. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE 9

Abbildung 1.2: Das MVR-4 mit einem Teil der am Aufbau in Colima beteilig-

ten Personen (v.l.n.r.: Adi Neumann, Andrew Browning, Hester Carter, Gemma

Gwyne, John Stevenson, Florian Ziemen, Lea Scharff). Foto: Hester Carter

Signals erreicht. Dieses Verfahren wird als Frequency Modulated ContinuousWave (FMCW) bezeichnet.

Die Intensitat der zuruckgestreuten Strahlung hangt stark von der Großeder Streukorper ab und das Radar ist nur in der Lage, die Geschwindigkeits-komponente parallel zur Strahlachse zu bestimmen. Man erhalt in der Regelkeine eindeutige Aufstiegs- oder Fallgeschwidigkeit, sondern eine Mischungaus Vertikalbewegung und Verdriften im Wind bzw. schragen ballistischenFlugbahnen bei großeren Objekten. Daher ist die Auswertung der gemesse-nen Daten schwierig und von Mehrdeutigkeiten gepragt.

1.1. Zielsetzung und Vorgehensweise

Ziel meiner Arbeit war die Entwicklung eines Programms, mit dem sich Mes-sungen mit dem MVR-4 an vulkanischen Eruptionssaulen simulieren lassen.

10 1. EINLEITUNG

Dieses ermoglicht es, neue Interpretationsverfahren in der Theorie auf ih-re prinzipielle Anwendbarkeit zu testen und ideale Messkonfigurationen imVoraus zu bestimmen. Des Weiteren konnen Interpretationsansatze daraufuntersucht werden, ob sich mit ihnen die gemessenen Daten reproduzierenlassen.

In meiner Arbeit habe ich die relevanten Prozesse untersucht und nach-gebildet. Ein wesentlicher Teil der Arbeit sind Betrachtungen zur Ruck-streuung der elektromagnetischen Wellen an Aschepartikeln. Dazu habe ichdie Streueigenschaften von kugelformigen Korpern mittels der Mie-Theorie(Mie, 1908) untersucht. Die Streukoeffizienten habe ich mit einem Pro-gramm berechnet, das mir freundlicherweise von Stefan Kinne, der am Max-Planck-Institut fur Meteorologie, Hamburg, tatig ist, zur Verfugung gestelltwurde. Die theoretischen Uberlegungen zur Streuung stelle ich in Kapitel 2dar. Die Ergebnisse prasentiere ich in Kapitel 3.

Der zweite Teil meiner Arbeit besteht in der Implementation der Si-gnalbearbeitung des Radars. Die Bearbeitungsschritte im Radar erlautereich in Kapitel 4. In Kapitel 5 gebe ich einen Uberblick uber den Aufbaudes Programms und die von mir verwendeten Gleichungen, die ich nichtin fruheren Kapiteln dargestellt habe. An dieser Stelle zeige ich auch dieKonfigurationsdatei und Ergebnisse von einigen Beispiellaufen.

Kapitel 6 fasst noch einmal die wichtigsten Ergebnisse meiner Arbeitzusammen und gibt Anregungen fur daran anschließende Arbeiten.

1.2. Bisherige Arbeiten

Die Mie-Theorie wird in Stratton (1941) mit neueren und fur den heuti-gen Leser gebrauchlicheren Schreibweisen als in der Originalarbeit von Mie(1908) dargestellt. Mishchenko et al. (2002) beschreiben die Streutheoriesehr detailliert, leiten jedoch die Mie-Streuung als Spezialfall der T-Matrix-Methode fur beliebige Ellipsoide her, was die Lesbarkeit der Herleitung nichterhoht.

Die umfassendste, mir bekannte Studie, die sich mit den Streueigen-schaften von vulkanischen Aschepartikeln im Mikrowellenbereich beschaftigt,ist die von Marzano et al. (2006b). Sie betrachten die Ruckstreuung von vul-kanischer Asche bei mehreren von Radargeraten verwendeten Frequenzen.Dazu berechnen sie die Rayleigh-Ruckstreuung von Korngroßenverteilung-en. Im Folgeartikel Marzano et al. (2006a) verwenden sie die Resultate, umein Verfahren vorzustellen, bei dem sie uber die Intensitat der Ruckstreuungeine Abschatzung der mittleren KorngroßeD in einer Aschewolke in den dreivorgegebenen Großenstufen D=10 µm, D=100 µm, D=1 mm vornehmen.Im hier betrachteten Rayleighbereich, in dem die Wellenlange wesentlichgroßer als der Radius der Streukorper ist, wachsen die Ruckstreukoeffizientenmit der sechsten Potenz des Radius. Da das Volumen einer Kugel nur mit derdritten Potenz des Radius wachst, unterscheiden sich die Ruckstreukoeffi-zienten fur 1kg Asche in diesen drei Stufen jeweils um einen Faktor 1000.

1.2. BISHERIGE ARBEITEN 11

Als Massenkonzentration der Asche werden Werte zwischen 0.1 g/m3 und5 g/m3 angenommen. Somit passt in der Regel nur einer der drei betrach-teten Radii zu den Daten. Das Verfahren kann jedoch beispielsweise nichtzwischen Asche mit einem durchschnittlichen Durchmesser von 100 µm undeiner Massenkonzentration von 50 g/m3 und Asche mit einem durchschnitt-lichen Durchmesser von 800 µm und einer Konzentration von 0.1 g/m3

unterscheiden.In der Meteorologie existieren vielfaltige Untersuchungen zu den Streu-

charakteristika von Aerosolen im sichtbaren und infraroten Licht sowie zudenen von Wassertropfen und Eiskristallen im Mikrowellenbereich. Auf-grund der unterschiedlichen Brechungsindizes sind diese nicht direkt aufMessungen an vulkanischer Asche im Mikrowellenband ubertragbar.

Sehr interessante Studien aus diesem Bereich sind die Arbeiten vonHong (2007a,b), der Streucharakteristika von Eiskristallen im Mikrowellen-bereich untersucht. Er verwendet die Methode der diskreten Dipole, umRuckstreucharakteristika fur verschiedene Formen zu bestimmen. Die vonihm festgestellten Unterschiede sind durchaus signifikant, fur Objekte miteinem Radius unterhalb der Wellenlange sind sie jedoch nicht so groß, dasssich eine Naherung uber Kugeln verbietet. Allgemein lassen sich stabchen-formige und naherungsweise kugelformige Streukorper in ihren Streueigen-schaften sehr gut uber Kugeln des gleichen Volumens beschreiben.

Die Dielektrizitatskonstanten (DKn) von Aschepartikeln werden in derArbeit von Adams et al. (1996) untersucht. Eine gute Ubersicht uber For-meln zur Berechnung von DKn bei heterogenen Korpern geben Reynoldsund Hough (1957). Fur meine Berechnungen greife ich auf Bruggeman (1935)zuruck.

Die fur die Beschreibung von Korngroßenverteilungen verwendeten Ver-teilungsfunktionen werden in den Standardwerken zur Mathematik und Sta-tistik (bespielsweise Kotz und Johnson (1988); Walz (2001)) am ubersicht-lichsten beschrieben.

Die Signalbearbeitung in FMCW-Dopplerradargeraten wird in Barrick(1973) sehr detailliert behandelt. Einen guten Uberblick bietet Voge (2007).Dort werden auch am Merapi, Indonesien, durchgefuhrte Messungen unddie dabei verwendeten Systeme ausfuhrlich dokumentiert. Messungen amStromboli sind Thema von Hort et al. (2003) und Scharff (2006).

Das VOLDORAD, ein gepulst arbeitendes System der Universite Blai-se Pascal, Clermont-Ferrand, Frankreich, das mit 24.2 cm eine um einenFaktor 10 großere Wellenlange als das in Hamburg verwendete MVR-4 auf-weist, wurde von Dubosclard et al. (2004) am Etna, Italien verwendet, umdie dortigen Eruptionswolken zu studieren. Im Jahr 2007 war es, wie ich inGesprachen in Colima und an der UNAM, Mexiko Stadt, erfuhr, am Popo-catepetl, der sich in direkter Nahe von Mexiko Stadt befindet, installiert.

In ihrer Arbeit verwenden Dubosclard et al. (2004) ein Modell der Mes-sungen, das eine exponentiell abfallende Korngroßenverteilung erlaubt undmit Newtonscher Reibung und einem Windfeld arbeitet. Es beschrankt sich

12 1. EINLEITUNG

auf Rayleigh-Streuung, was aufgrund des Abfallens der Korngroßenvertei-lung fur große Radii und der großen Wellenlange des VOLDORAD ange-messen erscheint. Ein fruheres Modell des MVR-4 von Hort et al. (2003)ist auch auf Rayleigh-Streuung beschrankt. Im Gegensatz zu Dubosclardet al. (2004) verwendet es nur eine Korngroße und Stokes’sche Reibung.Jedem Partikel wird basierend auf Position und Geschwindigkeit genau einAbstandsintervall zugewiesen, in dem er erscheint. Das von mir erstellteModell erweitert die hier gebotenen Moglichkeiten um Mie-Streuung undgeometrische Optik, die Weibull-Korngroßenverteilung und die Kombinati-on von Stokes’scher und Newtonscher Reibung in einem Windfeld. Letztereskann die Flugbahnen der Partikel erheblich beeinflussen.

Weitere Arbeiten, beispielsweise Harris und Rose (1983), verwenden,wie Marzano et al. (2006a), Radaranlagen von Flughafen um Eruptionenzu untersuchen. Einen Uberblick uber andere Techniken geben Seyfried undHort (1999).

KAPITEL 2

Die Beschreibung der Streuung

In diesem Teil meiner Arbeit werde ich die Effekte beschreiben, die dieStreuung von elektromagnetischen Wellen, insbesondere Mikrowellen, kon-trollieren und die in der Literatur gebrauchlichen Begriffe einfuhren. DerEinfachheit halber beschranke ich mich fur die Beschreibung des Streuvor-gangs auf die Mie-Theorie (Mie, 1908), die die Streuung an kugelformigenObjekten erklart, und verzichte auf die Behandlung von realistischeren Par-tikelformen. Aus der Mie-Theorie geht als Grenzwert fur hinreichend kleineStreukorper (r λ) die Rayleigh-Streuung und fur r λ die geometri-sche Optik hervor. Zunachst jedoch werde ich mit einem kurzen Uberblick

ϕ

ϑ

z

y

x

r

Abbildung 2.1:

Koordinatensystem fur kar-

thesische und spharische Koor-

dinaten.

uber elektromagnetische Wellen, Polarisation und Streuung einige Grund-begriffe herleiten. Dabei folge ich Mishchenko et al. (2002), die sich in derNomenklatur wiederum an Jackson (1998) orientieren. Aus Grunden derUbersichtlichkeit verzichte ich im Folgenden auf die explizite Kennzeich-nung der Zitate. Die verwendeten Variablen liste ich in Tabelle 2.1 auf. Furspharische Koordinaten verwende ich das ubliche (r, ϑ, ϕ)-Koordinatensys-tem (Abb. 2.1).

2.1. Maxwell-Gleichungen

Grundlage der Elektrodynamik sind die Maxwell-Gleichungen

∇ ·D = ρ ,(2.1a)

∇×E = −∂tB ,(2.1b)

∇ ·B = 0 ,(2.1c)

∇×H = J + ∂tD .(2.1d)

E ist das elektrische Feld, D =ε0E + P = ε0(1 + χ)E die dielektrischeVerschiebung, H das Magnetfeld, B = µ0H+M = µH der magnetische In-duktionsfluss, J die Stromdichte, ρ die Ladungsdichte, P die Polarisierung,ε0 die dielektrische Konstante im Vakuum, χ die dielektrische Suszeptibi-litat, µ0 die magnetische Permeabilitat im Vakuum, M die Magnetisierungund µ die magnetische Permeabilitat in der Materie.

Da die Vorgange in der Elektrodynamik im Wesentlichen nicht zeit- son- Die Fouriertransformation wird

rein auf die Zeit beschrankt.

Der Raum wird nicht mit-

transformiert.

dern frequenzabhangig sind, bietet es sich an, die Theorie im Frequenzraumzu entwickeln. Dazu wird zunachst eine Fouriertransformation bezuglichder Zeit durchgefuhrt. Jeder Vorgang lasst sich so als Uberlagerung vonVorgangen mit zeitlich periodischen Randbedingungen darstellen und die

13

14 2. DIE BESCHREIBUNG DER STREUUNG

Raum und Zeitr Position des Streukorpers mr Einheitsvektor in r-Richtung [1]ϑ Einheitsvektor in θ-Richtung [1]ϕ Einheitsvektor in ϕ-Richtung [1]nein Einheitsvektor in Einfallsrichtung [1]nstr Einheitsvektor in Richtung der auslaufenden Welle [1]Vint Inneres des Streukorpers m3

Vext Außenraum m3

∂V Rand des Volumens V m2

Wellenzahlen und Frequenzenω Frequenz 1/sk Wellenzahl 1/mk1 Wellenzahl im Außenraum 1/mk2 Wellenzahl im Inneren des Streukorpers 1/mTensoren und Operatoren⊗ Dyadisches Produkt [1]∂i = ∂

∂i Partielle Ableitung nach i 1/[i]< Realteil [1]= Imaginarteil [1]Id Identitat [1]T Ubertragungsoperator 1/m5

A Streutensor mS Amplituden-Streumatrix mG Greenscher Tensor 1/mg Greensche Funktion 1/mFelder und QuellenD Dielektrische Verschiebung C/m2

E Elektrisches Feld V/mEein Einfallendes Feld V/mEstr Gestreutes Feld V/mP Polarisierung C/m2

% Elektrische Ladungsdichte C/m3

B Magnetischer Induktionsfluss Vs/m2

H Magnetisches Feld A/mM Magnetisierung A/mJ Stromdichte A/m2

j Quellterm der Wellengleichung V/m3

Konstantenε0 Dielektrische Konstante im Vakuum As/(Vm)χ Dielektrische Verschiebung [1]σ Elektrische Leitfahigkeit 1/(Ωm)m Brechungsindex relativ zum Außenraum [1]µ Magnetische Permeabilitat Vs/(Am)µ0 Magnetische Permeabilitat im Vakuum Vs/(Am)

Tabelle 2.1: In der Beschreibung der Streutheorie verwendete Variablen und

Operatoren.

2.2. FERNFELDLOSUNGEN DER MAXWELLGLEICHUNGEN 15

Maxwell-Gleichungen lassen sich in jedem Punkt r fur festes ω zu

∇ ·D(r) = ρ(r) ,(2.2a)

∇×E(r) = iωµH(r) ,(2.2b)

∇ · [µH(r)] = 0 ,(2.2c)

∇×H(r) = J(r)− iωD(r) = −iωεE(r)(2.2d)

umschreiben, wobei

(2.3) ε = ε0(1 + χ) + iσ

ω,

ω die Winkelgeschwindigkeit, σ die elektrische Leitfahigkeit und χ die Po-larisierbarkeit ist. Der Realteil von ε beschreibt die dielektrischen Sus-zeptibilitat im dampfungsfreien Medium, der Imaginarteil beschreibt dieDampfung der Welle.

Mittels (2.2b) lasst sich H durch E ausdrucken. Es genugt also, imFolgenden bei den Rechnungen E zu betrachten. Ich werde mich, der Her-leitung Mishchenkos folgend, auf nicht-magnetische Medien (µ(r) = µ0)beschranken. Unter diesen Bedingungen lasst sich aus (2.2b) und (2.2d) mit Diese Annahme wird sowohl

von Mishchenko et al. (2002)

in ihren Herleitungen, als auch

von Adams et al. (1996) in

ihrer Messung der dielektri-

schen Konstanten von Asche

verwendet. Auch Marzano

et al. (2006b) gehen bei ihren

Berechnungen der Streucharak-

teristika so vor.

der komplexen Wellenzahl

(2.4) k(r) = ω√ε(r)µ(r) = ω

√ε(r)µ0

die Wellengleichung

(2.5) ∇×∇×E(r)− k2(r)E(r) = 0

gewinnen. Im Außenraum Vext gilt k(r) = k1 = konstant, wahrend k imInneren Vint des Streukorpers mit k(r) = k2(r) bezeichnet wird. Fuhrt mannun einen Quellterm

(2.6) j(r) = k21[m

2(r)− 1]E(r)

ein, wobei

m(r) =

1 , r ∈ Vext

m(r) = k2(r)k1

= m2(r)m1

=√

ε2(r)ε1

, r ∈ Vint ,(2.7)

den Brechungsindex in einem Punkt relativ zum Außenraum angibt, so lasstsich (2.5) als

(2.8) ∇×∇×E(r)− k21E(r) = j(r)

schreiben.

2.2. Fernfeldlosungen der Maxwellgleichungen

Die Losungen von (2.8) lassen sich durch beliebige Summen von Losungendes homogenen Problems und einer speziellen Losung des inhomogenen Pro-blems darstellen. Sinnvollerweise werden die Losungen so gewahlt, dass das


Feld als Uberlagerung eines einfallenden Wellenfeldes Eein und eines vomStreukorper ausgehenden Wellenfeldes Estr dargestellt wird. Es gilt dann

(2.9) E = Eein + Estr .

Die Losungen des homogenen Problems (j ≡ 0) stellen das Feld, das ohneeinen Streukorper vorlage, dar. Hierbei handelt es sich offensichtlich um daseinfallende Wellenfeld Eein

(2.10) ∇×∇×Eein − k21E

ein = 0 .

Mit der Losung Estr des inhomogenen Problems wird der Einfluss desStreukorpers beschrieben. Um der Energieerhaltung Genuge zu tun, musssie im Unendlichen verschwinden. Fur Estr gilt dann

(2.11) ∇×∇×Estr − k21E

str = j =

0 , r∈Vext

[k22−k

21]E(r) , r∈Vint .

Wie ublich konstruiert Mishchenko eine Greensche Funktion. Diese wirdvon ihm uber einen dyadischen Tensor G(r, r′) dargestellt, der die inhomo-gene Version der Wellengleichung

(2.12) ∇×∇×G(r, r′)− k21G(r, r′) = Id δ(r− r′)

erfullen muss, wobei Id der Einheitstensor ist und

δ(r− r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) .

Durch Multiplikation mit j(r′) , Integration uber V = Vint ∪ Vext und Vor-ziehen von (∇×∇× Id − k2

1Id ) erhalt er:(2.13)(∇×∇× Id − k2

1Id)·∫V

dr′G(r, r′)j(r′) =∫V

dr′Id δ(r− r′)j(r′) = j(r) .

Ein Vergleich mit (2.11) zeigt:

(2.14) Estr(r) =∫V

dr′G(r, r′)j(r′) .

Wenn man G als

⊗ ist das dyadische Produkt.(2.15) G(r, r′) = (Id +1k21

∇⊗∇)g(r, r′)

schreibt und beachtet, dass

In der letzten Zeile kommu-

tieren die Ableitungen in der

Klammer fur stetig differen-

zierbare Funktionen.

[∇×∇× (∇⊗∇)]il = εijk∂jεkmn∂m∂n∂l

= εijkεkmn∂j∂m∂n∂l

= [δimδjn − δinδjm] ∂j∂m∂n∂l= ∂j∂i∂j∂l − ∂j∂j∂i∂l

= ∂j(∂i∂j − ∂j∂i)∂l = 0 ,

und analog

∇×∇× Id g(r, r′) = ∇⊗∇g(r, r′)− Id∇2g(r, r′) ,

2.2. FERNFELDLOSUNGEN DER MAXWELLGLEICHUNGEN 17

so erhalt man aus (2.12) durch Ausmultiplizieren

(2.16) (∇2 + k21)g = −δ(r− r′) .

Dies ist die Wellengleichung fur kugelsymmetrische Elementarwellen. Ihreim Unendlichen verschwindende Losung fur auslaufende Wellen ist

(2.17) g(r, r′) =eik|r−r′|

4π|r− r′|.

Mit der Taylorentwicklung von |r− r′|

|r− r′| = r

√1− 2

r · r′r

+r′

r2≈ r − r · r′ +O

(1r

),

wobei r = rr , gilt im Fernfeld Im Nenner kann man den

Term mit r · r′, der O(1) ist,

gegen r vernachlassigen. Im

Exponenten ist dieses nicht

moglich, da fur die Phase der

Wert modulo 2π relevant ist.

(2.18) g(r, r′) ≈ 14πr

eik1(r−r·r′) .

Im nachsten Schritt gilt es, aus dieser Darstellung von g einige Ei-genschaften der Greenschen Funktion G herzuleiten und den Streutensorzu definieren. Hierzu ist es notwendig, auf Kugelkoordinaten (Abb. 2.1) zuwechseln, wobei der Streukorper im Ursprung liegt.

Aus (2.15) ergibt sich durch Einsetzen der Naherungslosung (2.18)

∇⊗∇g(r, r′) ≈ ∇⊗∇ 14πr

eik1(r−r·r′) .

Der Gradient lasst sich in Kugelkoordinaten als

(2.19) ∇ = r∂r + ϑ1r∂ϑ + ϕ

1r sin(ϑ)

∂ϕ

darstellen. Einsetzen unter Vernachlassigung alle Terme, die O(r−2) sind,liefert In dieser Gleichung wurde

∇⊗∇ auf die Greensche Funk-

tion angewandt. Als Rich-

tungsanteil der Losung ergibt

sich r ⊗ r. Alle anderen Kom-

binationen der Einheitsvekto-

ren sind hoherer Ordnung in1r

und konnen dagegen ver-

nachlassigt werden.

∇⊗∇g(r, r′) ≈ −k21(r⊗ r)g(r, r′) ,

und somit aus (2.15)

(2.20) G(r, r′) ≈ (Id − r⊗ r)eik1r

4πre−ik1r·r

′.

Fur die gestreute Welle Estr wird dann aus (2.14)

Estr(r) =∫Vint

dr′G(r, r′)j(r′)

unter Verwendung von (2.6)

j(r) = k21[m

2(r)− 1]E(r)

die Naherungslosung

(2.21) Estr(r) ≈ (Id − r⊗ r)eik1r

4πr

∫Vint

dr′e−ik1r·r′k21[m

2(r)− 1]E(r′) .

DaId = r⊗ r + ϑ⊗ ϑ + ϕ⊗ ϕ ,

und somitId − r⊗ r = ϑ⊗ ϑ + ϕ⊗ ϕ ,


folgt aus (2.21) offensichtlich

(2.22) r ·Estr(r) = 0 .

Estr lasst sich in einen vom Abstand r und einen von der Ausbreitungsrich-tung r abhangigen Teil aufspalten und als

(2.23) Estr(r) =eik1r

rEstr1 (r)

schreiben, wobei Estr1 die Amplitudenverteilung im Abstand r = 1 be-schreibt und weiterhin Die Phasen fur r = 1 werden

erst durch den r-abhangigen

Anteil korrekt.r ·Estr1 (r) = 0

gilt.Das Problem bei der Darstellung von Estr in Gleichung (2.21) ist, dass

zur Berechnung ein Integral, das E und somit auch Estr enthalt, gelostwerden muss. Estr wird somit zu seiner eigenen Berechnung benotigt. EineMoglichkeit zur numerischen Losung dieses Problems ist es, mit E = Eein

anzufangen und das Ergebnis iterativ in die Gleichung einzusetzen, bis dieLosungen konvergieren. Dieses lasst sich unter Verwendung des Ubertra-gungsoperators T folgendermaßen darstellen:

(2.24) E(r) = Eein(r) +∫Vint

dr′G(r, r′) ·∫Vint

dr′′T(r′, r′′) ·Eein(r′′)︸︷︷︸Estr

,

wobei im Inneren von Vint gilt:

(a) Veranderung des vorliegen-

den Feldes durch die DK des

Streukorpers

(b) Durchreichen des bisheri-

gen Gesamtfeldes

(c) Vom bisherigen Gesamtfeld

verursachtes Streufeld

(2.25)

T(r, r′) =

ε2−ε1︷︸︸︷k21[m

2(r)− 1]︸︷︷︸(a)

δ(r− r′)Id︸︷︷︸(b)

+∫Vint

dr′′G(r, r′′) ·T(r′′, r′)︸︷︷︸(c)

.

Der Ubertragungsoperator stellt dadurch, dass er sich selbst enthalt, diesesiterative Einsetzen dar. Im ersten Schritt wird ermittelt, welches gestreuteFeld verursacht wurde, wenn nur das einfallende vorlage. Im zweiten Schrittwird dieses zum einfallenden Feld addiert und ein neues gestreutes Feldberechnet. Dieser Schritt wird beliebig oft wiederholt.

Stellt man die einfallende Welle in der Form

(2.26) Eein(r) = Eein0 eik1nein·r

dar (ggf. Zerlegung und Superposition der Losungen), so lasst sich Estr aus(2.23)

Estr(r) =eik1r

rEstr1 (r)

als Produkt des r-abhangigen Anteils mit einem Streutensor A und derAmplitude Eein0 der einfallenden Welle schreiben. Es ergibt sich mit nstr = rdie folgende Schreibweise:

(2.27) Estr(rnstr) =eik1r

rA(nstr, nein) ·Eein0 .

2.3. STOKES’SCHE PARAMETER UND PHASENMATRIX 19

Ein Vergleich mit (2.24) und Einsetzen von (2.20), (2.26) zeigt, dass indiesem Fall

A(nstr, nein) =14π

(Id − nstr ⊗ nstr) ·∫Vint

dr′e−ik1nstr·r′

·∫Vint

dr′′T(r′, r′′)eik1nein·r′′ .

(2.28)

A ist hierbei ausschließlich von dem Streukorper, der Streugeometrie (Ein-fallswinkel, betrachteter Ausfallswinkel) und der Frequenz der einfallendenWelle abhangig, jedoch nicht von deren Amplitude und dem Abstand desPunktes, an dem das gestreute Feld bestimmt werden soll.

Da elektromagnetische Wellen Transversalwellen sind, ergeben sich ausder Physik keine Forderungen fur das Verhalten des Streutensors bei ein-fallenden Longitudinalwellen. Praktischerweise wird hier gefordert, dass dasgestreute Feld identisch verschwindet.

(2.29) A(nstr, nein) · nein = 0

Somit ist A in den funf r enthaltenden Komponenten null. Es bleiben dievier Transversalkomponenten. Diese lassen sich in der Amplituden-Streuma-trix zusammenfassen, die auf den ϑ- und ϕ-Komponenten der einfallendenund ausgehenden Feldern arbeitet. Sie wird durch

(2.30) S =(S11 S12

S21 S22

)=

(ϑstr·A · ϑ

einϑstr·A · ϕein

ϕstr ·A · ϑein

ϕstr ·A · ϕein

)

bestimmt. Somit gilt dann

(2.31)(Estrϑ (rnstr)Estrϕ (rnstr)

)=eik1r

rS(nstr, nein)

(Eeinϑ,0Eeinϕ,0

).

Da Lichtwege umkehrbar sind (Mishchenko et al., 2002, Kap 2.3), mussA wird transponiert, da die

Komponente, die vorher den

Ubergang von ϕ auf ϑ be-

schrieben hat, in der Umkeh-

rung den Ubergang von ϕ auf

ϑ beschreiben muss.

(2.32) A(nstr, nein) = AT (−nein,−nstr)

gelten.Bei dem Wechsel von r auf −r bleibt ϑ unverandert (s. Abb. 2.2), wor-

aufhin ϑ wegen r = ϑ× ϕ das Vorzeichen wechseln muss. Somit tauschen

rϑ

−r

ϑ

y

z

Abbildung 2.2: Verhalten

von ϑ bei Vorzeichenwechsel

von r . Die x-Achse zeigt auf

den Betrachter.

bei S die Eintrage, die neben der Diagonale liegen Platze und andern ihreVorzeichen:

(2.33) S′ =(S11 −S21

−S12 S22

).

Diese Eigenschaft liefert bei Symmetrien im Streukorper wesentliche Ver-einfachungen der Streumatrizen.


Φ Strahlungsfluss WKoharenzvektor% Koharenzmatrix W/m2

J Koharenzvektor W/m2

ZJ Koharenz-Phasenmatrix m2

Stokes’scher VektorI Stokes’scher Vektor W/m2

I Strahlungsflussdichte / Intensitat W/m2

Q Linear polarisierte Intensitat, parallel zu den Koordinatenachsen W/m2

U Linear polarisierte Intensitat, 45 zu den Koordinatenachsen W/m2

V Zirkular polarisierte Intensitat W/m2

P Polarisationsgrad [1]Z Stokes’sche Phasenmatrix m2

F Streumatrix m2

Tabelle 2.2: In der Beschreibung der Stokes’schen Parameter und der Streu-

ung an isotropen Streumedien zusatzlich verwendete Variablen.

2.3. Stokes’sche Parameter und Phasenmatrix

Um die Energie und die Polarisierung von Wellenzugen zu beschreiben, wer-den in der Regel die Stokes’schen Parameter verwendet, die ich im Folgen-den kurz erlautern werde. Die hierbei und im nachsten Abschnitt zusatzlicheingefuhrten Varablen liste ich in Tabelle 2.2 auf.

Wesentliche Großen bei der Beschreibung von Strahlung sind der Strah- Aus diesen Großen lassen sich

durch Division durch die Wel-

lenlange oder die Frequenz die

zugehorigen spektralen Großen

gewinnen.

lungsfluss Φ, der die eine Flache A pro Zeiteinheit durchstromende Energieangibt und die Strahlungsflussdichte oder Intensitat I = Φ

A .Das elektrische Feld lasst sich durch eine Uberlagerung von monochro-

matischen ebenen Wellen, die sich jeweils in eine Richtung r bewegen, dar-stellen. Um diese zu beschreiben benotigt man die Betrage und Phasen desFeldes in den beiden Transversalkomponenten ϑ und ϕ .

Bei Messungen von Licht mit klassischen Instrumenten wird in der Regelnur die Intensitat bei einer bestimmten Polarisierung gemessen, nicht jedochdie absolute Phaseninformation. In meinem Modell des Radars verwende ich Das Radar verwendet

bei seinen Messungen die

Veranderungen der Phase

der zuruckgestrahlten Welle

wahrend der Messdauer fur

einen Datensatz, nicht jedoch

die absolute Phase. Diese wird

zwar gemessen aber nur fur die

Differenzbildung verwertet.

die Streutheorie nur zur Berechnung der Ruckstreuintensitat und betrachtedie Streuparameter eines Teilchens als zeitlich konstant. Daher ist es mirmoglich, der klassischen Beschreibung dieser Vorgange zu folgen. Veran-derungen der Phase der Welle durch sich andernde Ruckstreuparameterwahrend der Dauer einer Messung (∼0.1s) sind vernachlassigbar. SolcheVeranderungen konnten sich aufgrund einer Drehung oder Veranderungender physikalischen Eigenschaften des Teilchens ergeben.

Aus den komplexen elektrischen Feldern in ϑ- und ϕ-Richtung lassensich genau vier linear unabhangige, quadratische Großen definieren, die im

2.3. STOKES’SCHE PARAMETER UND PHASENMATRIX 21

zeitlichen Mittel nicht verschwinden. Die einfachsten sind

EϑE∗ϑ, EϑE

∗ϕ, EϕE

∗ϑ, EϕE

∗ϕ .

∗ steht hierbei fur komplexe

Konjugation.

Hiervon sind die erste und letzte Große reellwertig und die anderenbeiden im Allgemeinen komplexwertig. Durch Multiplikation mit 1

2

√ε/µ

erhalt man aus diesen Großen die Koharenzmatrix % , deren Eintrage dieDimension der Strahlungsflussdichte haben:

(2.34) % =(%11 %12

%21 %22

)=

12

√ε

µ

(EϑE

∗ϑ EϑE

∗ϕ

EϕE∗ϑ EϕE

∗ϕ

).

Alternativ lassen sie sich auch als Koharenzvektor J wird hier im Gegensatz zu

den Maxwellgleichungen nicht

fur die elektrische Stromdichte

verwendet.(2.35) J =

%11

%12

%21

%22

darstellen. Wie man sieht, gilt %12 = %∗21 . Ein praktischerer Satz Großen,der aus J hervorgeht, sind die Stokes’schen Parameter

(2.36) I =

I

Q

U

V

=

1 0 0 11 0 0 −10 −1 −1 00 −i i 0

J .

Hierbei gibt I die Gesamtintensitat, V die Intensitat des zirkular polari- Es gibt weitere gebrauchliche

Systeme von hieraus abgeleite-

ten Großen, die in Mishchenko

et al. (2002, S.18f) gelistet

werden.

sierten Anteils, sowie Q und U die Intensitaten in den davon abweichendenlinearen Polarisationen an. Bei Q entscheidet das Vorzeichen zwischen Po-larisation in der ϑ-Ebene (Q > 0) und in der ϕ-Ebene (Q < 0). Bei Uentscheidet es zwischen Polarisation in (ϑ + ϕ)-Richtung (U < 0) und inder (ϑ − ϕ)-Richtung (U > 0). Bei V bestimmt es die Drehrichtung (vonϑ nach ϕ fur V < 0 und umgekehrt). Fur eine einzelne (koharente) mo-nochromatische Welle ergibt sich somit ein uberbestimmtes System. Lasstman jedoch nicht-koharentes (z.B. naturliches) Licht zu, und mittelt ubereinen im Vergleich zur Frequenz großen Zeitraum, so ist im Allgemeinen

(2.37) P :=√Q2 + U2 + V 2/I 6= 1

der Polarisationsgrad der Strahlung.

Im Folgenden werde ich Mishchenkos Betrachtungen zur Wirkung des Streu-vorgangs auf den Stokes’schen Vektor wiedergeben. Zu diesem Zweck ist esam einfachsten, zunachst die Wirkung der Streuung auf die Eintrage derKoharenzmatrix zu untersuchen und die Ergebnisse dann mittels (2.36) aufden Stokes’schen Vektor zu ubertragen.

Da nach (2.23)

Estr(r) =eik1r

rEstr1 (r)

die gestreute Welle als Produkt einer vom Abstand r abhangigen Ausbrei-tungsfunktion und einer von r abhangigen Richtungsverteilung angegeben


werden kann, bietet es sich an, diesen Ansatz auch fur den KoharenzvektorJstr der gestreuten Strahlung zu wahlen. Es ergibt sich

Die Exponentialfunktion aus

(2.23) wird durch die Produkte

mit den komplex konjugierten

Termen in (2.34) entfernt

(2.38) Jstr(rnstr) =1r2

Jstr1 (nstr) .

Der Streuvorgang lasst sich somit als

(2.39) Jstr(rnstr) =1r2ZJ(nstr, nein)Jein

darstellen, wobei die Eintrage von ZJ sich unter Verwendung von (2.31)und (2.34) wie folgt aus denen von S ((2.30)) ergeben:

(2.40) ZJ =

|S11|2 S11S

∗12 S12S

∗11 |S12|2

S11S∗21 S11S

∗22 S12S

∗21 S12S22∗

S21S∗11 S21S

∗12 S22S

∗11 S22S12∗

|S21|2 S21S∗22 S22S

∗21 |S22|2

.

S11 und S22 sind reellwer-

tig und werden nur der

Ubersichtlichkeit halber wie

komplexe Zahlen behandelt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung von (2.36) die Eintrage der auf Iwirkenden Stokes’schen Phasenmatrix, fur die dann

(2.41) Istr(rnstr) =1r2Z(nstr, nein)Iein

gilt, wie folgt berechnen:

< steht fur den Real-, = fur

den Imaginarteil.

Z11 =12(|S11|2 + |S12|2 + |S21|2 + |S22|2) ,(2.42a)

Z12 =12(|S11|2 − |S12|2 + |S21|2 − |S22|2) ,(2.42b)

Z13 = −<(S11S∗12 + S22S

∗21) ,(2.42c)

Z14 = −=(S11S∗12 − S22S

∗21) ,(2.42d)

Z21 =12(|S11|2 + |S12|2 − |S21|2 − |S22|2) ,(2.42e)

Z22 =12(|S11|2 − |S12|2 − |S21|2 + |S22|2) ,(2.42f)

Z23 = −<(S11S∗12 − S22S21)∗ ,(2.42g)

Z24 = −=(S11S∗12 + S22S21)∗ ,(2.42h)

Z31 = −<(S11S∗21 + S22S

∗12) ,(2.42i)

Z32 = −<(S11S∗21 − S22S

∗12) ,(2.42j)

Z33 = <(S11S∗22 + S12S

∗21) ,(2.42k)

Z34 = =(S11S∗22 + S21S

∗12) ,(2.42l)

Z41 = −=(S21S∗11 + S22S

∗12) ,(2.42m)

Z42 = −=(S21S∗11 − S22S

∗12) ,(2.42n)

Z43 = =(S22S∗11 − S12S

∗21) ,(2.42o)

Z44 = <(S22S∗11 − S12S

∗21) .(2.42p)

2.5. QUERSCHNITTE UND NORMIERUNGEN 23

2.4. Isotrope Streumedien

Fur isotrope Streumedien ergeben sich weitgehende Vereinfachungen derStreumatrix. Diese werde ich im Folgenden kurz beschreiben. Die dabeiverwendeten Variablen sind im Tabellen 2.1 und 2.2 aufgelistet.

Dreht man das Koordinatensystem so, dass nein und nstr in der x-z-Ebene liegen und nein = z, so kann man eine Streumatrix F definieren, dienur von ϑstr = arccos(nein · nstr) abhangt:

(2.43) F (ϑstr) = Z(ϑstr, ϕstr = 0, ϑein = 0, ϕein = 0) .

Im Allgemeinen ist F voll besetzt. Fur makroskopisch isotrope und bezuglich Ein Beispiel hierfur ist eine

Wolke aus zufallig ausgerich-

teten Teilchen zu denen je-

weils ein spiegelsymmetrischer

Partner existiert. Dies kann

auch durch Spiegelsymmetrie

der einzelnen Teilchen gege-

ben sein, die dann ihr eigener

Partner sind. Als weiteren

Spezialfall dieses Szenarios

kann man einen kugelformigen

Streukorper betrachten.

jeder Spiegelebene symmetrische Streumedien ist die Streuung von der ex-akten Einfallsrichtung und der Ausrichtung der Streuebene unabhangig undwird vollstandig durch den Streuwinkel ϑstr bestimmt. Aus der Umkehrbar-keit von Lichtwegen ergeben sich weitgehende Vereinfachungen (Mishchenkoet al., 2002, Kap. 4) von S und somit auch von Z und F , das die Form

(2.44) F (ϑstr) =

F11(ϑstr) F12(ϑstr) 0 0F12(ϑstr) F22(ϑstr) 0 0

0 0 F33(ϑstr) F34(ϑstr)0 0 F34(ϑstr) F44(ϑstr)

annimmt. Im Fall der direkten Ruckstreuung fallt auch die Unterscheidungzwischen S11 und S22 weg und F vereinfacht sich zu

(2.45) F (180) =

|S11|2 0 0 0

0 |S11|2 0 00 0 |S11|2 00 0 0 |S11|2

.

2.5. Querschnitte und Normierungen

In der Beschreibung der Streuung und Absorption durch ein Teilchen bie-tet es sich an, eine Aufspaltung in den Gesamtbetrag der gestreuten bzw.absorbierten Energie und die Richtungsverteilung der gestreuten Energievorzunehmen. Der Gesamtbetrag der gestreuten bzw. absorbierten Energiewird uber den Streu- bzw. Absorptionsquerschnitt (Cstr bzw. Cabs) undihre Summe, den Extinktionsqruerschnitt Cext beschrieben, die Richtungs-verteilung uber die Phasenfunktion p. Diese und die weiteren fur diesenAbschnitt zusatzlich eingefuhrten Variablen liste ich in Tabelle 2.3 auf.

Die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle lasst sich uber daszeitliche Mittel des Poyntingvektors

(2.46) < S >t=12<(E×H∗)


Strahlungsflusse und LeistungenS Poyntingvektor W/m2

W ein Leistung der einfallenden Welle WW str Leistung der gestreuten Welle WW abs Absorbierte Leistung WW ext Summe aus W str und W abs WQuerschnitteCstr Streuquerschnitt m2

Cbs Ruckstreuquerschnitt m2

Cabs Absorptionsquerschnitt m2

Cext Extinktionsquerschnitt m2

G Querschnittsflache des Streukorpers senkrecht zur Strahlung m2

Q Effizienzfaktor [1]p Phasenfunktion 1/sr

Tabelle 2.3: In der Beschreibung der Querschnitte und Normierungen

zusatzlich verwendete Variablen.

angeben. Im Fall der Streuung ergibt sich:

< S >t =12< [E×H∗] =

12<[(Eein + Estr)× (Hein∗ + Hstr∗)

]=

12<

Eein ×Hein∗︸︷︷︸→Sein

+Eein ×Hstr∗ + Estr ×Hein∗︸︷︷︸→Sext

+Estr ×Hstr∗︸︷︷︸→Sstr

=< Sein >t + < Sext >t + < Sstr >t .

(2.47)

Integriert man die Poyntingvektoren uber den Rand ∂V eines den Streukorper

Sext beschreibt die Extinkti-

on, also die Wechselwirkung

zwische der einfallenden Wel-

le und dem Streukorper bzw.

die ihr von diesem entzogene

Energie.

enthaltenden Volumens V , so erhalt man die Nettoenergieflusse der einzel-nen Komponenten.

Fur die einfallende Welle er-

gibt sich ein Nettoenergie-

fluss W ein von null, da sie

die Bedingungen ohne den

Streukorper, also im leeren

Raum, beschreibt. W str ist

im Vergleich zu den anderen

Energien mit vertauschtem

Vorzeichen definiert und be-

schreibt den vom Streukorper

abgestrahlten Strahlungsfluss.

Daher erscheint es auch in

(2.52) mit negativem Vorzei-

chen.

W ein = −r2∫∂V

dr < Sein(r) >t ·r = 0 ,(2.48)

W ext = −r2∫∂V

dr < Sext(r) >t ·r ,(2.49)

W str = r2∫∂V

dr < Sstr(r) >t ·r ,(2.50)

W abs = −r2∫∂V

dr < S(r) >t ·r(2.51)

= W ein +W ext −W str .(2.52)

W ein, W ext, W abs beschreiben den in das Volumen des Streukorpers ein-stromenden Strahlungsfluss, wahrendW str den vom Streukorper abgestrahl-ten Fluss darstellt. Da die Streuung als linearer Prozess betrachtet wird,muss W str linear von der einfallenden Strahlungsflussdichte Sein abhangen.

2.6. DIE THEORIE VON MIE 25

Normiert man W str durch |Sein|, erhalt man den Streuquerschnitt

(2.53) Cstr =W str

|Sein|=W str

Iein.

Analog sind der Absorptionsquerschnitt

(2.54) Cabs =W abs

|Sein|=W abs

Iein

und der Extinktionsquerschnitt

(2.55) Cext =W ext

|Sein|=W ext

Iein

definiert.Projiziert man nun umgekehrt den Streukorper auf eine senkrecht zur

einfallenden Welle stehende Ebene, so erhalt man eine QuerschnittsflacheG, mit der man einen dimensionslosen Effizienzfaktor Q definieren kann,der sich aus

Qext =Cext

G, Qstr =

Cstr

G, Qabs =

Cabs

G(2.56)

ergibt.Um die Streuung in eine bestimmte Richtung zu beschreiben, lasst sich

die Ableitung nach dem Raumwinkelelement Ω Bei der Ableitung nach dem

Raumwinkel wird die Große

des in Richtung nstr liegenden

Raumwinkelelements variiert.(2.57)

dCstr

dΩ

∣∣∣∣nstr

=r2Istr(rnstr)

Iein=

(1, 0, 0, 0) · Z · Iein

(1, 0, 0, 0) · Iein

bilden. Hieraus abgeleitet ergibt sich die auf 4π normierte Phasenfunktion

Mit Ω als Integrationsgrenze

ist die Integration uber alle

Raumwinkel gemeint.

p(nstr, nein) =4πCstr

dCstr

dΩ,

∫Ω

dr p(r, nein) = 4π ,(2.58)

die die Winkelverteilung der gestreuten Strahlung angibt. Die Normierungauf 4π entspricht dem einfachen Integral uber alle Raumwinkel. Daher gibtdie Phasenfunktion die Richtungsverteilung relativ zur durchschnittlichenStrahlungsflussdichte an. Im Folgenden werde ich

(2.59) Cbs :=dCstr

dΩ

∣∣∣∣−nein

als auf 1sr normierten Ruckstreuquerschnitt verwenden.

2.6. Die Theorie von Mie

Nachdem ich nun die wesentlichen Grundbegriffe definiert und einen Uber-blick uber die allgemeine Beschreibung der Streuung gegeben habe, wendeich mich im Folgenden der Beschreibung der Steuung an einem homogenen,kugelformigen Streukorper zu.

Fur die Berechnung der Streuung an einer homogenen, isotropen Kugeldes Radius R hat Mie (1908) eine vollstandige Theorie aufgestellt. In derBeschreibung dieser Theorie folge ich Stratton (1941). Die folgenden Uber-legungen und Gleichungen entstammen im Wesentlichen diesem Buch, odersind dort nicht explizit aufgefuhrte Zwischenschritte. Der Ubersichtlichkeit


Raum und ZeitR Radius der Kugel [m]ρ = k1R Mit der Wellenzahl skalierter Kugelradius [1]FelderEint Elektrisches Feld im Inneren der Kugel [V/m]Hint Magnetisches Feld im Inneren der Kugel [A/m]an Amplitude der magnetischen Schwingungen [1]bn Amplitude der elektrischen Schwingungen [1]N = k2/k1 Verhaltnis der Wellenzahlen [1]Funktionenm(1)

oemn

Im Ursprung regulare spharische Vektorfunktionen

s. Anhang A.1n(1)oemn

Im Ursprung regulare spharische Vektorfunktionen

m(3)oemn

Im Unendlichen regulare spharische Vektorfunktionen

n(3)oemn

Im Unendlichen regulare spharische Vektorfunktionen

jn spharische Besselfunktionen erster Arth

(1)n Hankelfunktionen erster Art

Tabelle 2.4: Fur die Beschreibung der Mie-Theorie zusatzlich eingefuhrte Va-

riablen.

halber verzichte ich wieder auf eine explizite Kennzeichnung der einzelnenZitate. Die in der Mie-Theorie verwendete Darstellung eines elektrischenFeldes in spharischen Vektorfunktionen wird in Anhang A.1 behandelt. Diedort erhaltenen Ausdrucke setze ich im Folgenden voraus. Die in diesemAbschnitt neu eingefuhrten Variablen liste ich in Tabelle 2.4 auf.

Die Grundidee der Mie-Theorie ist die Aufspaltung des elektromagne-tischen Feldes in drei Teile:

(1) Die einfallende Welle im Außenbereich der Kugel, in Folge mitEein bzw. Hein bezeichnet.

(2) Das in der Kugel herrschende Feld ( Eint bzw. Hint ).(3) Das von der Streuung erzeugte Feld ( Estr bzw. Hstr ).

Diese drei Felder werden durch spharische Vektorfunktionen beschrie-ben, die im Fall von (1) und (2) im Ursprung regular (endlich) sind und imFall von (3) im Ursprung divergieren, jedoch im Unendlichen regular sindund auslaufende Kugelwellen darstellen.

Aus den Maxwell-Gleichungen lassen sich Forderungen fur die Stetigkeitder Transversalkomponenten von E- und H-Feld am Außenrand der Kugelherleiten. Aus diesen und den Orthogonalitatsrelationen der spharischen

2.6. DIE THEORIE VON MIE 27

Vektorfunktionen lassen sich die Expansionskoeffizienten der im Inneren derKugel induzierten und der gestreuten Wellen bestimmen.

Die hierzu notwendigen Berechnungen fuhrt Stratton im Wesentlichenin Kap. 9.25 aus. Ich werde sie im Folgenden wiedergeben, wobei ich dieNomenklatur mit Ausnahme der spharischen Vektorfunktionen an die vonMishchenko et al. (2002) anpasse und wie in der bisherigen Herleitung da-von ausgehe, dass die Zeitabhangigkeit der Losungen durch eine Fourier-transformation bezuglich der Zeit entfernt wurde. Des Weiteren setze ichim Gegensatz zu Stratton und in Analogie zu Mishchenko et al. µ als imgesamten Raum konstant voraus.

Stratton betrachtet eine einfallende Welle, die sich in positive z-Richtungbewegt und linear in x-Richtung polarisiert ist:

Eein(r) = x · E0eik1z Hein(r) = y · k1E0

µωeik1z .(2.60)

Mit den spharischen Vektorfunktionen m(1)oemn

, n(1)oemn

, die wie folgt definiertsind,

m(1)oemn

(r, ϑ, ϕ) = ± m

sin(ϑ)jn(r)Pmn (cos(ϑ)) cos

sin (mϕ)ϑ

−jn(r)∂Pmn∂ϑ

(cos(ϑ)) sincos (mϕ)ϕ ,

(2.61)

n(1)oemn

(r, ϑ, ϕ) =n(n+ 1)

rjn(r)Pmn (cos(ϑ)) sin

cos (mϕ)r

+1r∂r(rjn(r))

∂Pmn∂ϑ

(cos(ϑ)) sincos (mϕ)ϑ

± m

r sin(ϑ)∂r(rjn(r))Pmn (cos(ϑ)) cos

sin (mϕ)ϕ ,

(2.62)

und ihren im Unendlichen regularen Analoga m(3)oemn

, n(3)oemn

, bei denen jn

durch h(1)n ersetzt wird, ergibt sich die folgende Darstellung der einfallenden

Welle (Stratton, 1941, Sec. 7.14):

Es wird jeweils genau die erste

Ordnung der m und n in m

benotigt, da die Welle rein

von z abhangig ist und mit

der ersten Ordnung fur die

Drehung der Einheitsvektoren

fur verschiedene Werte von ϕ

kompensiert wird.

Eein(r) = E0

∞∑n=1

in2n+ 1n(n+ 1)

(m(1)o1n − in(1)

e1n)(k1r, ϑ, ϕ) ,(2.63)

Hein(r) =k1E0

µω

∞∑n=1

2n+ 1n(n+ 1)

(m(1)e1n + in(1)

o1n)(k1r, ϑ, ϕ) .(2.64)

Fur die im Inneren der Kugel induzierte Welle ergibt sich durch Ersetzenvon k1 mit k2 unter Verwendung der Expansionskoeffizienten aint und bint

Alle anderen Ordnungen in der

m-Komponente der m und n

werden aufgrund ihres Fehlens

in der Expansion von Eein

und und der Orthogonalitat

der Pml beim Koeffizienten-

vergleich an der Grenzflache

null.

Eint = E0

∞∑n=1

in2n+ 1n(n+ 1)

(aintn m(1)o1n − ibintn n(1)

e1n)(k2r, ϑ, ϕ) ,(2.65)

Hint =k2E0

µω

∞∑n=1

2n+ 1n(n+ 1)

(bintn m(1)e1n + iaintn n(1)

o1n)(k2r, ϑ, ϕ) .(2.66)

Ersetzt man die im Ursprung regularen Ausbreitungsfunktionen durch dieim Unendlichen regularen Losungen der Wellengleichung und verwendet die


Expansionskoeffizienten astr und bstr , so erhalt man fur die abgestrahlteWelle

Estr = E0

∞∑n=1

in2n+ 1n(n+ 1)

(astrn m(3)o1n − ibstrn n(3)

e1n)(k1r, ϑ, ϕ) ,(2.67)

Hstr =k1E0

µω

∞∑n=1

2n+ 1n(n+ 1)

(bstrn m(3)e1n + iastrn n(3)

o1n)(k1r, ϑ, ϕ) .(2.68)

Aus den Maxwell-Gleichungen erhalt man die Stetigkeitsbedingungenfur das E - und H -Feld (vgl. Anhang A.2):

r× (Eein + Estr) = r×Eint ,(2.69)

r× (Hein + Hstr) = r×Hint .(2.70)

Setzt man hier (2.63)-(2.68) ein, so erhalt man durch Koeffizientenvergleichin den Transversalkomponenten ϑ und ϕ die Gleichungen

jn(ρ) + astrn h(1)n (ρ) = aintn jn(ρ) ,(2.71)

jn(ρ) + bstrn h(1)n (ρ) = Nbintn jn(Nρ) ,(2.72)

Nbstrn [ρh(1)n (ρ)]′ +N [ρjn(ρ)]′ = bintn [Nρjn(Nρ)]′ ,(2.73)

astrn [ρh(1)n (ρ)]′ + [ρjn(ρ)]′ = aintn [Nρjn(Nρ)]′ ,(2.74)

wobei N der Quotient der Brechungsindizes ist, und [. . . ]′ fur die Ableitungdes Termes in den Klammern nach dem Argument der Besselfunktionen jnbzw. Hankelfunktionen h

(1)n steht. Lost man dieses Gleichungssystem nach

den Expansionskoeffizienten der gestreuten Welle, so erhalt man

astrn = − jn(Nρ)[ρjn(ρ)]′ − jn(ρ)[Nρjn(Nρ)]′

jn(Nρ)[ρh(1)n (ρ)]′ − h

(1)n (ρ)[Nρjn(Nρ)]′

,(2.75)

bstrn = − jn(ρ)[Nρjn(Nρ)]′ −N2jn(Nρ)[ρjn(ρ)]′

h(1)n (ρ)[Nρjn(Nρ)]′ −N2jn(Nρ)[ρjn(ρ)]′

.(2.76)

Wie man sieht, wird fur die Berechnung der Expansionskoeffizienten nurder mit der Wellenzahl skalierte Radius ρ = k1R der Kugel benotigt. DieAbhangigkeit des Streuquerschnittes von dem absoluten Radius kommt erstbei der Berechnung der Felder durch das Skalieren des Abstands mit k1

wieder in die Gleichungen. Fur große Werte von k1r, also im Fernfeld, lassensich die folgenden Naherungen verwenden:

jn(k1r) ≈1k1r

cos(k1r −

n+ 12

π

),(2.77)

h(1)n (k1r) ≈

1k1r

(−i)n+1eik1r .(2.78)

Somit nehmen beide Felder im Fernfeld mit 1k1r

ab. Der 1r -Anteil ist die Ab- Bei Hstr steht zwar k1 im

Zahler der Vorfaktoren, die-

ses wird jedoch nach (2.4)

durch das ω im Nenner zu

einem√εµ und somit wel-

lenlangenunabhangig.

nahme mit wachsendem Abstand von der Kugel. Der 1k1

-Anteil bildet denEinfluss der Querschnittsflache ab. Wenn R bei gleichzeitiger Halbierung

2.7. DIELEKTRIZITATSKONSTANTEN 29

Beschreibung der Dielektrizitatskonstanten (DK)ε Effektive relative DK [1]εb relative DK der Matrix [1]εs relative DK der Storstellen [1]δ relatives Volumen der Storstellen [1]

Tabelle 2.5: Die fur die Beschreibung der Dielektrizitatskonstanten verwende-

ten Variablen.

von ω (und somit von k) verdoppelt wird, bleiben zwar die Expansionskoef-fizienten (an, bn) konstant, die zuruckgestrahlte Energie wachst jedoch umeinen Faktor vier.

Die Nullstellen der Nenner der an und bn entsprechen den elektromagne-tischen Eigenschwingungen einer Kugel, wobei die Nullstellen der Nennervon an die magnetischen Eigenschwingungen der Kugel und die der bn dieelektrischen beschreiben (Stratton, 1941, S. 566). Je hoher die Dampfung(=(ε)) in der Kugel ist, desto geringer ist der Einfluss dieser Eigenschwin-gungen.

2.7. Dielektrizitatskonstanten

In diesem Abschnitt werde ich einige Betrachtungen zur Dielektrizitats-konstante von Aschepartikeln darstellen, insbesondere die Berechnung derDielektrizitatskonstante eines Gesteinskorpers mit blasenformigen Luftein-schlussen. Die dabei verwendeten Variablen liste ich in Tabelle 2.5 auf.

In ihrem Artikel beschreiben Adams et al. (1996) Messungen der Di-elektrizitatskonstante (DK) von vulkanischer Asche zwischen 4 und 19 GHz.Dieses ist knapp unterhalb der Frequenz des MVR4 von 24 GHz. Fur ihreMessungen bringen sie Ascheproben in einen Hohlleiter ein und vergleichendie Messwerte fur Wellenlange und Dampfung im gefullten Hohlleiter mitdenen, die sie ohne die Probe erhalten. Anschließend rechnen sie mittels derBottcher-Formel

(2.79)ε− εb

3ε= δ

εs − εbεs + 2ε

die DK des Asche-Luft-Gemenges auf die des massiven Gesteins um. Dabeiist ε die Gesamtdielektrizitatskonstante, εb die der Luft und εs diejenige derAschepartikel mit Volumen δ. Die Luft wird in diesem Fall als Matrix, dieAsche als Storstelle aufgefasst.

Die Ergebnisse habe ich in Tabelle 2.6 und Abb. 2.3 zusammengestellt.Adams et al. kommen zu dem Ergebnis, die DKn der Proben seien weitge-hend unabhangig von der Frequenz, bei der sie gemessen wurden. Insgesamtnehmen sowohl Real- als auch Imaginarteil mit zunehmendem SiO2-Anteilab.


Vulkan Land Typ SiO2 < <(ε) > < =(ε) >Pacaya Guatemala Basalt 50% 6.134 0.146Fuego Guatemala Basalt 51% 6.487 0.268Crater Peak/Spurr USA Andesit 56% 6.109 0.136Santa Marıa Guatemala Dacit 65% 6.041 0.108Mount St. Helens USA Dacit 68% 5.802 0.107Atitlan Guatemala Rhyolit 76% 5.649 0.084

Tabelle 2.6: Dielektrische Konstanten verschiedener Ascheproben nach Adams

et al. (1996). SiO2-Konzentrationen sind in Massenprozent, ε -Werte sind die im

Artikel als εeff bezeichneten Materialeigenschaften, nachdem fur den Volumen-

anteil der Luft an der Ascheprobe korrigiert wurde.

50 60 70 80%SiO2

5

5.5

6

6.5

Re(ε)

0

0.2

0.4

0.6

Im(ε)

Abbildung 2.3: Relative dielektrische Konstanten der Ascheproben. Man be-

achte die unterschiedlichen Skalierungen fur den Realteil (linke Achse) und den

Imaginarteil (rechte Achse).

2.7. DIELEKTRIZITATSKONSTANTEN 31

Um die DK eines Objektes mit kugelformigen Storstellen (Kugelpor-phyr) zu bescheiben, verwende ich eine Gleichung aus Bruggeman (1935).Dieser geht bei seiner Herleitung von der Rayleighschen Kugelformel

(2.80)ε− εbε+ 2εb

= δεs − εbεs + 2εb

,

aus. Sie beschreibt regelmaßig angeordnete, kugelformige Storstellen mitDK εs und Volumen δ in einer Matrix mit DK εb . Nach Bruggeman giltsie auch fur unregelmaßig verteilte Storstellen mit kleinem Volumenanteil.Durch Betrachtungen, auf die ich im Folgenden eingehen werde, erhalt erdie Mischformel

(2.81) 1− δ =εs − ε

εs − εb3

√εbε.

Diese beschreibt die DK eines Korpers mit zufallig verteilten, kugelformigenStorstellen mit beliebigem Volumenanteil. Die Herleitung beruht auf derAnnahme, fur jede Storstelle wirke der Rest des Objektes wie eine homo-gene Masse mit einer einheitlichen DK. Dieses erfordert, dass die Skalader Storstellen wesentlich kleiner als die Wellenlange des elektromagneti-schen Feldes ist. Nun werden immer wieder differentiell kleine Storstellenhinzugefugt und die neue Hintergrund-DK wird berechnet. Die Mischung Die Betrachtung von differen-

tiell kleinen Storstellen setzt

voraus, dass die einzelnen

Storstellen im Vergleich zum

Gesamtvolumen verschwindend

klein sind.

besteht zu (1 − δ′) aus dem Ursprungsmaterial und zu δ′ aus Storstellen.Um den Volumenanteil der Storstellen um dδ′ zu erhohen, muss daher dasgroßere Volumen dδ′

1−δ′ der Mischung ersetzt werden. Dieser Vorgang erhohtdann die DK des Korpers von ε′ auf ε′ + dε′. Somit gilt fur eine differentiellkleine Einstreuung dδ′ in ein Material, das die Misch-DK ε′ aufweist nach(2.80):

[ε′ + dε′]− ε′

[ε′ + dε′] + 2ε′=

dδ′

1− δ′εs − ε′

εs + 2ε′,

⇔ dε′

3ε′ + dε′=

dδ′

1− δ′εs − ε′

εs + 2ε′.

(2.82)

Vernachlassigt man im Nenner das dε′ gegen die 3ε′, so ergibt sich:

(2.83)dε′

3εs + 2ε′

ε′(εs − ε′)=

dδ′

1− δ′.

Integriert man nun von δ′ = 0 (ε′ = εb) bis δ′ = δ (ε′ = ε), so erhalt mannach Invertieren die Gleichung (2.81).

Die Werte fur ε, die man fur eine Probe mit (εb = 6+0.1i) bei Variationvon δ zwischen 0 und 1 erhalt, zeige ich in Abb. 2.4.

Eine analoge Betrachtung fuhrt ausgehend von der Bottcher-Formel(2.79) zum gleichen Ergebnis. (2.82) nimmt in diesem Fall die Form

(2.84)[ε′ + dε′]− ε′

3[ε′ + dε′]=

dδ′

1− δ′εs − ε′

εs + 2[ε′ + dε]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Luftanteil

1

2

3

4

5

6

Re(ε)

Realteil - KugelporphyrRealteil - Lamellenporphyr

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Im(ε)

Imaginärteil - KugelporphyrImaginärteil - Lamellenporphyr

Abbildung 2.4: Relative dielektrische Konstanten einer Ascheprobe, deren Ma-

trix eine Dielektrizitatskonstante von 6 + 0.1i aufweist fur variierenden Luftan-

teil. Die oberen Kurven sind mit Gleichung (2.81) fur einen Kugelporphyr be-

rechnet, wahrend die unteren Kurven mit Gleichung (2.85) fur lamellenformige

Storstellen berechnet wurden. Man beachte die unterschiedlichen Skalierungen

fur den Realteil (linke Achse) und den Imaginarteil (rechte Achse)!

an und nach Vernachlassigen von dε′ in beiden Nennern erhalt man wieder(2.83). In Anbetracht der Tatsache, dass Polder und Van Santen (1946) in ih-rer Herleitung der Bottcher-Gleichung stets betonen, sie sei erster Naherungin δ und gelte daher nur fur kleine Werte, erscheint es plausibel, BruggemansGleichung als Weiterentwicklung zu betrachten und damit zu arbeiten.

Ein Grund, die Ergebnisse dieser Berechnungen mit Vorsicht zu verwen-den, liegt darin, dass die Form der Storstellen einen nicht zu vernachlassi-genden Einfluss auf die DK hat. So erhalt Bruggeman fur lamellenformigeStorstellen die DK

(2.85) ε = εs3εb + 2δ(εs − εb)3εs − δ(εs − εb)

.

2.8. KORNGROSSENVERTEILUNGEN 33

Luftanteil Fuego Santa Marıa Atitlan<(ε) =(ε) <(ε) =(ε) <(ε) =(ε)

0.0 6.478 0.268 6.041 0.108 5.649 0.0840.1 5.741 0.229 5.359 0.092 5.024 0.0720.2 5.033 0.193 4.712 0.078 4.429 0.0610.3 4.366 0.159 4.101 0.064 3.868 0.0500.4 3.740 0.127 3.528 0.051 3.342 0.0400.5 3.158 0.098 2.995 0.040 2.850 0.0310.6 2.623 0.072 2.503 0.029 2.398 0.0270.7 2.137 0.049 2.056 0.020 1.984 0.0150.8 1.702 0.029 1.655 0.012 1.612 0.0090.9 1.323 0.012 1.302 0.005 1.284 0.004

Tabelle 2.7: Mit (2.81) berechnete Misch-DKn fur drei verschiedene Vulkane

(vgl. Tabelle 2.6) und Luftanteile zwischen 0 und 90%.

Einen Vergleich der beiden Gleichungen bietet Abb. 2.4. Auch Polder undVan Santen (1946) betonen den Einfluss der Form der Storstellen auf dieMisch-DK, der jedoch hauptsachlich bei großen Unterschieden in den DKn(z.B. einem Faktor von 100) relevant werde.

Eine weitere Formel, die Bruggeman (1935, S.653) herleitet, ist

(2.86) δεs − ε

εs + 2ε+ (1− δ)

εb − ε

εb + 2ε= 0 .

Diese gilt fur ein ungeordnetes Kugelaggregat, also eine Mischung aus ku-gelformigen Korpern aus zwei verschiedenen Materialien, die durch Packungmit immer kleiner werdenden Radii unendlich dicht liegen. Die gleichberech-tigte Behandlung der beiden Komponenten spiegelt sich in der Symmetrieder Gleichung wider, entspricht jedoch nicht den Verhaltnissen in einem mitLuftblasen durchsetzten Vulkangestein oder einer Ascheprobe, da in beidenFallen ein Material klar als Matrix und das andere als Einschluss zu iden-tifizieren ist. Einen kompakten Uberblick uber verschiedene Mischformelngeben Reynolds und Hough (1957).

2.8. Korngroßenverteilungen

Zur Beschreibung der Korngroßenverteilung von Aschepartikeln bieten sichverschiedene statistische Verteilungsfunktionen an. Eine Verteilungsfunk-tion F (x) : R → [0, 1] beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufalls-variable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt

(2.87) F (x) = P (X ≤ x) .

Durch Ableiten erhalt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

(2.88) f(x) =ddxF (x) ,


Allg. Besschreibung von VerteilungsfunktionenF Verteilungsfunktion [1]P Wahrscheinlichkeit [1]f Verteilungsdichte [1]µ Erwartungswert [x]σ2 Varianz [x2]mn n-tes Moment [xn]

Tabelle 2.8: In der Beschreibung der Korngroßenverteiungen verwendete Va-

riablen.

bei der f(x)dx die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Wert in einem In-tervall der Lange dx um x auftritt. Weitere wichtige Eigenschaften vonVerteilungen sind der Erwartungswert

(2.89) µ =∫ ∞

−∞dx xf(x) ,

die Streuung oder Varianz

(2.90) σ2 =∫ ∞

−∞dx [f(x)(x− µ)]2 ,

und die Momente der Verteilung

(2.91) mn =∫ ∞

−∞dx xnf(x) .

Offensichtlich entspricht der Erwartungswert dem ersten Moment. Wenn X

(a) lineare x-Achse

(b) logarithmische x-Achse

Abbildung 2.5:Logarithmische Normalver-

teilung mit verschiedenen x-

Achsen und linearer y-Achse

dargestellt.

einem Kugelradius entspricht, so ist m1 der durchschnittliche Radius, 4πm2

die durchschnittliche Oberflache der Kugeln und 43πm3 deren durchschnitt-

liches Volumen. Die Varianz einer Verteilung kann auch als σ2 = m2 −m21

dargestellt werden. Ich werde im Folgenden auf drei dieser Funktionen nahereingehen:

• Logarithmische Normalverteilung,• Gamma-Verteilung,• Weibull-Verteilung.

Die Logarithmische Normalverteilung ist die einfachste der hier aufgefuhrtenVerteilungen und entsteht aus der Normalverteilung, indem man davon aus-geht, dass der Logarithmus einer Zufallsvariablen x normalverteilt sei. SindµL und σL Erwartungswert und Standardabweichung von log(x), so fuhrtdies auf die Verteilungsfunktion (Bronstein, 1998)

(2.92) FLN (x) =

0 , x ≤ 0

1σL

√2π

∫ log(x)

−∞ exp(− (t− µL)2

2σ2L

), x > 0 .


Daraus ergibt sich durch Ableiten nach x fur x > 0 die Verteilungsdichte

(2.93) fLN (x) =dFLN (x)

dx=

1x

1σL√

2πexp

(− (log(x)− µL)2

2σ2L

).

Als Erwartungswert findet man

(2.94) µ = exp(µL + σ2L/2) ,

und fur die Streuung:

(2.95) σ2 =[eσ

2L − 1

]µ2 .

Umgekehrt lassen sich µL und σL aus µ und σ wie folgt berechnen:

(2.96) σ2L = log

(σ2

µ2+ 1),

(2.97) µL = log(µ)− 12σ2L .

Will man diese Verteilung zur Beschreibung von Korngroßen verwenden,bietet es sich an, nicht µL sondern den Parameter b := exp(µL) zu verwen-den, der einen Radius darstellt. Analog lasst sich c := exp(σL) definierenund die Verteilung fur N Partikel mit Radius r unter Verwendung vona := N√

2π log(c)in der Form

(2.98)n(r)dr

=a

rexp

(−

log2(rb

)2 log2(c)

)darstellen.

Die Gamma-Verteilung (Walz, 2001; Kotz und Johnson, 1988) hat die Form

(2.99) FG(x) =γ(k, xθ )Γ(k)

,

wobei

Fur ganzzahlige Werte von k

gilt: Γ(k) = (k − 1)!.Γ(k) =

∫ ∞

0

dt tk−1e−t und γ(k, x) =∫ x

0

dt tk−1e−t(2.100)

die vollstandige Gammafunktion bzw. die unvollstandige Gammafunktionsind. Die Form (Steilheit) der Kurve wird von k bestimmt, wahrend θ dieLage des Maximums durch eine Streckung in x-Richtung festlegt. EinigeBeispiele zeigt Abb. 2.7. Die daraus abgeleitete Dichtefunktion ist

(2.101) fG(x) =xk−1 exp

(−xθ

)Γ(k)θk

.

Fur den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich hier

µ = kθ , σ2 = kθ2(2.102)

und fur die Momente im Allgemeinen

(2.103) mn = θnΓ(k + n)

Γ(k).


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5x

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

f(x)

σ=0.42σ=0.1

Abbildung 2.6: Logarithmische Normalverteilungen mit verschiedenen Stan-

dardabweichungen σ und Erwartungswert 1.

Weibull (1951) beschreibt in seiner sehr schonen Arbeit eine Verteilung, dieauf einem Exponentialansatz beruht. Zunachst stellt er fest, dass sich jedebeliebige Verteilungsfunktion auch in der Form

(2.104) FW (x) = 1− e−ϕ(x)

darstellen lasst. Somit gilt fur die Wahrscheinlichkeit des Nicht-Eintretensdes Ereignisses

(2.105) 1− P (x) = e−ϕ(x) .

Betrachtet man eine Kette mit n gleichen Gliedern und beschreibt fur jedesdieser Glieder die Bruchwahrscheinlichkeit unter einer Last x mit P (x), solasst sich das nicht-Reißen dieser n-gliedrigen Kette durch

(2.106) (1− P (x))n = e−nϕ(x)

darstellen. Fur ϕ(x) wahlt Weibull der Einfachheit halber

(2.107) ϕ(x) =(x− xu)k

θ,


wobei xu den minimalen Wert von X angibt und FW (x) fur x < xu auf 0zu setzen ist. Es ergibt sich als Verteilungsfunktion

(2.108) FW (x) =

0 , x ≤ xu

1− exp(− (x− xu)k

θ

), x > xu .

Wie bei der Gamma-Verteilung bestimmt k die Form der Kurve und θ

uber eine Streckung in x-Richtung die Lage des Maximums. Durch Ableitenerhalt man fur die Dichtefunktion

(2.109) fW (x) = k(x− xu)

θ

k−1

exp

(− (x− xu)

θ

k).

Fur den Erwartungswert und die Varianz findet man (Kotz und Johnson,1988)

µ = θ1k Γ(

1 +1k

)+ xu ,(2.110)

σ2 = θ2k

(Γ(

1 +2k

)− Γ2

(1 +

1k

)).(2.111)

Setzt man xu = 0, so gilt fur die Momente:

(2.112) mn = θnk Γ(1 +

n

k

)Wahrend diese Funktion bei Problemen wie dem Reißen einer Kette Furthermore, it is utterly ho-

peless to expect a theoretical

basis for distribution functi-

ons of random variables such

as the strength properties of

materials or machine parts or

particle sizes, the “particles”

being fly ash, Cyrtoideae, or

even adult males, born in the

British Isles. It is believed that

in such cases the only practi-

cable way of progressing is to

choose a simple function, test

it empirically and stick to it as

long as none better has been

found.

Weibull (1951)

sehr gut in einen kausalen Kontext mit dem beschriebenen Phanomen ge-bracht werden kann, sieht Weibull keine Chance, eine theoretische Basisfur die Anwendung dieser Verteilungen auf Zufallsvariablen, wie die Korn-großenverteilung von Asche zu finden. Er sieht die Verwendung dieser Funk-tion fur solche Zwecke vielmehr darin begrundet, dass sie einfach sei undgute Ergebnisse liefere. Wohletz et al. (1989) verwenden den Ansatz vonBrown (1986), der eine Theorie der sequentiellen Fragmentierung aufstellt,erweitern diese um einen Transport-Mechanismus und erhalten im Wesent-lichen wieder die Weibull-Verteilung (siehe auch Marzano et al. (2006b)).

Setzt man in der Weibull-Verteilung xu = 0 , so lasst sich ihre Wahrschein-lichkeitsdichte wie die der Gamma-Verteilung mit den in Tabelle 2.9 aufge-listeten Umrechnungen fur die Verteilung der Korngroßen von N Partikelnin der Form der modifizierten Gamma-Verteilung

(2.113) f(x) = arbe−cxd

,

darstellen. Diese wird in dem von mir zur Berechnung der Mie-Koeffizienteneingesetzten Programm zur Vorgabe einer Korngroßenverteilung verwendet.

Marzano et al. (2006b) passen Gamma- und Weibull-Verteilungen angemessene Korngroßenverteilungen an. Sie verwenden eine modifizierte Ver-sion der Gleichungen, die nicht auf die Partikelanzahl, sondern auf die Ge-samtmasse 4

3πm3ρa normiert ist. Sie erhalten fur die Gamma-Verteilung


Mod. Gamma-Verteilung Gamma-Verteilung Weibull-Verteilung

aN

Γ(k)θkNk

θ

b k − 1 k − 1

c1θ

1θ

d 1 k

Tabelle 2.9: Umrechnungsfaktoren fur Weibull- und Gamma-Verteilung in eine

modifizierte Gamma-Verteilung (2.113) fur N Partikel.

0 1 2 3 4 5x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

f(x)

Weibull-Verteilung, k=1.5Gamma-Verteilung, k=1.5Gamma-Verteilung, k=2.0Gamma-Verteilung, k=3.0

Abbildung 2.7: Gamma- und Weibull-Verteilung mit dem in Marzano et al.

(2006b) bestimmten Wert von k = 1.5 fur die Weibull-Verteilung und verschie-

denen Gamma-Verteilungen. Alle Verteilungen haben einen Erwartungswert von

eins.

einen Wert von k = 2 und fur die Weibull-Verteilung k = 1.5. Die Wahr-scheinlichkeitsdichten der beiden Verteilungen mit einem Erwartungswertvon 1 und diesen Parametern werden in Abb. 2.7 dargestellt.

KAPITEL 3

Ergebnisse der Untersuchung der Streuung

Die Abhangigkeit der von einem kugelformigen Korper gestreuten Energievon dessen Radius laßt sich in drei Bereiche unterteilen.

z

x

z

y

Abbildung 3.1: Ein Vulkan

und die von ihm ausgestoße-

ne Aschewolke aus der Sicht

des Radars mit eingezeichne-

tem rechteckigen Ausschnitt

aus dem Radar-Strahl (oben,

vgl. Abb. 1.1) und dersel-

be Ausschnitt von der Seite

(unten). Alle Partikel ent-

lang des Strahlweges ergeben,

auf die oben gezeigte Quer-

schnittsflache projiziert, die

Flachenkonzentration.

(1) r λ: Rayleigh-Streuung (Cstr ∼ r6/λ4)(2) r ≈ λ Mie-Streuung(3) r λ: Geometrische Optik (Cstr ∼ r2)

In der Rayleigh-Naherung wird das elektrische Feld im Inneren der Kugel alshomogen betrachtet. In der geometrischen Optik werden Effekte durch dieWellenlange vernachlassigt, und das Teilchen streut fur alle Wellenlangengleich. Die Mie-Theorie fullt die Lucke zwischen diesen beiden Beschreibun-gen der Streuung und liefert dadurch, dass sie eine exakte Beschreibung derSteuung bietet, auch die anderen beiden Falle als Grenzwerte fur kleine undgroße Radii.

Im Rayleigh-Bereich wird in Vorwarts- und Ruckwartsrichtung gleichstark gestreut. Im Mie-Bereich ist dies nicht mehr gegeben, und der Anteilder Vorwartsstreuung nimmt stark zu. Daher hangen Cstr und die zuruck-gestreute Strahlung Cbs nicht mehr uber ein konstantes Verhaltnis vonein-ander ab.

Fur die Berechnung der Streukoeffizienten in einer Aschewolke ist re-levant, welche Asche sich aus Sicht des Radars hinter einer vorgegebenenFlache befindet (Abb. 3.1). Ich verwende daher den Begriff Flachenkonzen-tration fur die Projektion der Asche entlang des Strahlweges auf eine Flachesenkrecht zu Strahlrichtung.

In den folgenden Betrachtungen arbeite ich mit einer Dielektrizitats-konstante von ε = 6.041 + 0.108i bei massivem Material. Diese entsprichtden von Adams et al. (1996) an Proben des Vulkan Santa Marıa gemesse-nen Eigenschaften der Asche. Werte fur die Ruckstreuung sind auf einenRaumwinkel von 1 Steradiant normiert, wahrend die Gesamtstreuung uberalle Winkel (4π Steradiant) integriert wird. Wenn nicht anders angegeben(Abb. 3.2, 3.8), normiere ich die Streuquerschnitte auf ein Volumen von1l. Ich verwende fur die y-Achse die Querschnitte Cext, Cstr, Cbs jeweilsin 100m2. Die Zahlenwerte entsprechen somit dem Anteil der einfallendenStrahlung, der gestreut bzw. beeinflußt wird, wenn eine Flachenkonzentra-tion von 10ml/m2 vorliegt.

39

40 3. ERGEBNISSE DER UNTERSUCHUNG DER STREUUNG

10-2

10-1

100

101

102

x=2πr/λ

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

C/1

00m

2

ExtinktionGesamte StreuungRueckstreuung

(a) Die Variation von x entpricht einer Variation von λ zwischen 1.4m (linker Rand) und 0.14mm (rechter Rand). Der markierte

Ausschnitt wird in (b) gezeigt.

10-1

100

101

102

x=2πr/λ

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

C/1

00m

2


(b) Der kurzwelligere Bereich aus (a) (λ variiert zwischen 0.14m und 0.14mm).

Abbildung 3.2: Streuparameter eines Liters Partikel mit r = 2mm fur variie-

rende Verhaltnisse zwischen Radius und Wellenlange. Die Korngroßen folgen der

logarithmischen Normalverteilung mit σµ

= 0.01. Schwachung der Effekte durch

Absorption oder Mehrfachstreuung an anderen Teilchen wird vernachlassigt.

3.2. EINFLUSS DER KORNGROSSENVERTEILUNG 41

10-2

10-1

100

101

102

x=2πr/λ

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Cbs/Cstr

Abbildung 3.3: Anteil der Ruckstreuung Cbs an der Gesamtstreuung Cstr.

Isotropie liefert einen Wert von 1/(4π) (graue Linie).

3.1. Einfluss der Wellenlange

Das Verhalten der Streukoeffizienten eines kugelformigen Steukorpers beiVariation seines Radius lasst sich in einen r2-Anteil fur die mit dem Radi-us wachsende Querschnittsflache und einen Anteil fur das Verhaltnis zwi-schen Wellenlange und Teilchenradius aufspalten (vgl. Abschnitt 2.6). DieAbhangigkeit von diesem Verhaltnis stelle ich in Abb. 3.2 dar. Man siehteinen starken Anstieg der Streuung im Rayleigh-Bereich. Im darauf folgen-den Mie-Bereich zeigt sich eine sehr große Variabilitat aufgrund von Reso-nanzeffekten in den Streukorpern. Diese ist bei der Ruckstreuung besondersausgepragt. In diesem Bereich werden auch die maximalen Werte fur dieStreuparameter erreicht, die sogar uber denen der geometrischen Optik lie-gen. Die abfallende Flanke bei der Ruckstreuung ist zu einem großen Teildurch die wachsende Anisotropie des Streuvorgangs zu erklaren, wie einVergleich der Ruckstreuung mit der Gesamtstreuung (Abb. 3.3) zeigt.

3.2. Einfluss der Korngroßenverteilung

Betrachtet man die Variation des Echos mit der Wellenlange fur sehr schar-fe logarithmische Normalverteilungen (σµ = 0.01), wie in Abb. 3.2, so siehtman im Mie-Bereich eine hohe Anzahl von Spitzen in den (Ruck-) Streukoef-fizienten. Verbreitert man die Korngroßenverteilung, so werden die Kurven


10-1

100

101

102

x=2πr/λ

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

C/1

00m

2


(a) σµ

= 0.1

10-1

100

101

102

x=2πr/λ

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

C/1

00m

2


(b) σµ

= 0.42

Abbildung 3.4: Streuparameter fur einen Liter Asche und logarithmische Nor-

malverteilungen verschiedener Breiten als Korngroßenverteilung. Analog zu

Abb. 3.2(b). Je breiter die Verteilung gewahlt wird, desto schwacher sind die

Effekte der Eigenschwingungen im Mie-Bereich.

3.3. EINFLUSS DES RADIUS 43

10-1

100

101

102

x=2πr/λ

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Cstr/100m

2

σ/µ=0.01

σ/µ=0.1

σ/µ=0.42

Abbildung 3.5: Vergleich der Gesamtstreuung fur die verschieden breiten lo-

garithmischen Normalverteilungen. r ist der Durchschnittsradius der Vertei-

lung. Je breiter die Verteilung ist, desto starke ist der Einfuss der Partikel mit

uberdurchschnittlichem Radius.

der Streuparameter durch die starkere Mittelung glatter (vgl. Abb. 3.2(b),3.4). Gleichzeitig nehmen die Werte im Rayleigh-Bereich zu und im Be-reich der geometrischen Optik ab, wie ein Vergleich der Gesamtstreuung inAbb. 3.5 zeigt. Die Streukorper mit uberdurchschnittlichem Radius haben,da das Volumen mit der dritten Potenz des Radius wachst, den Hauptanteilam Volumen. Vergroßert man die Breite der Verteilung so wird dieser Effektstarker und die Streueigenschaften der uberdurchschnittlich großen Parti-kel werden relevanter. Im Rayleigh-Bereich fuhrt dies zu einer Erhohungder (Ruck-)Streuung, im Bereich der geometrischen Optik senkt es sie (Ab-schnitt 3.3).

Im Weiteren werde ich bei den Abbildungen eine Weibull-Verteilung mitk = 1.5 zugrunde legen (Abb. 2.7), wie sie Marzano et al. (2006b) bestimmthaben. Diese weist ein Verhaltnis von Standardabweichung zu Radius vonσµ = 0.68 auf.

3.3. Einfluss des Radius

Die Variation der Streuparameter mit dem durchschnittlichen Radius einerWeibull-Verteilung mti k = 1.5 stelle ich in Abb. 3.6 dar. Betrachtet mandie reine Variation der Streuparameter mit dem Radius der Teilchen, so


10-2

10-1

100

101

102

103

Durchschnittsradius/mm

10-20

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

C/1

00m

2


(a) Ein Teilchen.

10-2

10-1

100

101

102

103


10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

C/1

00m

2


(b) Ein Liter Teilchen.

Abbildung 3.6: Variation der Streuparameter mit dem durchschnittlichen Ra-

dius einer Weibull-Verteilung mit k = 1.5 (Abb. 2.7) fur λ = 12mm und ver-

schiedene Normierungen. Wahrend der Streuquerschitt eines Partikels mit sei-

nem Radius wachst, fallt fur große Radii der Quotient aus Streuquerschnitt und

Volumen.

3.5. EINFLUSS DER FORM 45

ergibt sich ein monotones Anwachsen (Abb. 3.6(a)). Entfernt man nun denEffekt des mit dem Radius wachsenden Volumens, so fallen die Kurvenfur wachsende Radii wieder (Abb. 3.6(b)). Im Rayleigh-Bereich wachst diezuruckgestreute Intensitat pro Liter Material noch mit r3. Im geometrischenBereich fallt sie mit 1/r. Dazwischen erreicht sie ihr Maximum im Bereichder Mie-Streuung. Im Fall der Weibull-Verteilung mit k = 1.5 wird dasMaximum bei Durchschnittsradii zwischen einem und zwei Millimetern, alsoin etwa einem Zehntel bis einem Sechstel der Wellenlange, erreicht.

Wie man sieht, variiert die von einem festen Volumen zuruckgestreuteIntensitat uber Großenordnungen, wenn man die Radii der Teilchen variiert.Dieses macht direkte Ruckschlusse von der zuruckgestreuten Intensitat aufdas streuende Volumen und somit die Masse der Streukorper ohne einegenaue Kenntnis der Korngroßenverteilung problematisch.

Andererseits ist, wie ich bereits in Abschnitt 3.1 dargestellt habe, eingroßer Anteil dieser Variation durch das Verhaltnis zwischen Korngroße undWellenlange bedingt, so dass sich hier die Moglichkeit bietet, aus Messungenmit mehreren Wellenlangen Ruckschlusse auf die Korngroße zu erhalten.Dieses werde ich in Abschnitt 3.7 darstellen.

3.4. Einfluss des Luftgehaltes

Veranderungen des Luftanteiles der Asche nach dem in Abschnitt 2.7 vor-gestellten Modell von Bruggeman (1935) haben durch die Veranderung derDKn der Streukorper einen ausgepragten Einfluss auf die Ruckstreucha-rakteristika. Dieser Einfluss ist jedoch bei weitem nicht so stark, wie derdes Radius. Zum einen verschiebt sich das Maximum der Ruckstreuung furwachsende Luftkonzentrationen zu großeren Radii, zum anderen nimmt dieIntensitat der von einem konstanten Volumen zuruckgestreuten Strahlungab, wie ich in Abb. 3.7 darstelle.

Berucksichtigt man jedoch die Dichteabnahme durch die Luftbeimeng-ung und betrachtet statt eines konstanten Volumens eine konstante Masse,so kann sich die Position des Maximums der Ruckstreuung zu Asche miteinem hohen Luftanteil verschieben (Abb. 3.8).

Insgesamt ergibt sich eine deutliche Anderung der von einer konstantenMasse reflektierten Energie bei wachsendem Luftanteil. Diese ist fur diegesamte Bandbreite von massivem Material bis zu einem Luftanteil von70% nie wesentlich großer als eine Großenordnung und variiert sehr glatt.Da der ungefahre Luftanteil in der von einem Vulkan eruptierten Ascherelativ leicht zu bestimmen ist, lasst sich dieser Effekt bei Messungen ohnegroßere Schwierigkeiten berucksichtigen.

3.5. Einfluss der Form

In den Berechnungen habe ich mich auf kugelformige Streukorper beschrankt.In der Realitat treten jedoch uberwiegend andere Partikelformen auf. Hong


10 20 30 40 50 60 70Luftanteil in %

10-2

10-1

100

101

102


1e-10

1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

Cbs

/100m²

(a)

10 20 30 40 50 60 70Luftanteil in %

100

101

102

Du

rch

sch

nit

tsra

diu

s/m

m

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

Cbs

/100m²

(b) der obere Korngroßenbereich vergroßert, man beachte die angepasste Farbskala!

Abbildung 3.7: Abhangigkeit der Ruckstreung vom Luftgehalt der Asche.

Farbcodiert ist der Ruckstreukoeffizient fur ein Volumen von 1l.

3.5. EINFLUSS DER FORM 47

0 10 20 30 40 50 60 70Luftanteil in %

10-2

10-1

100

101

102

Du

rch

sch

nit

tsra

diu

s/m

m

1e-10

1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

Cbs

/100m²

(a)

0 10 20 30 40 50 60 70Luftanteil in %

100

101

102


1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

Cbs

/100m²

(b) Der obere Korngroßenbereich vergroßert, man beachte die angepasste Farbskala!

Abbildung 3.8: Abhangigkeit der Ruckstreung vom Luftgehalt der Asche wie

in Abb. 3.7 jedoch wurde fur die Massenabnahme durch die Lufteinschlusse

kompensiert und die Gesamtmasse (bei vernachlassigbarer Dichte der Luft) kon-

stant gehalten.


(2007a,b) beschreibt Modellrechnungen fur die Streueigenschaften von Eis-kristallen mit verschiedenen Formen, die er mit der Methode der diskretenDipole, einem Finite-Differenzen Verfahren erhalt. Dazu verwendet er dasProgramm DDSCAT von Bruce T. Draine. Dieses wird in Draine und Flatau(2004) beschrieben.

In Hong (2007b) werden die Streuquerschnitte fur Gamma-verteilteKristallgroßen und sechs verschiedene Formen berechnet. Fur stabchenfor-mige Eiskristalle und solche, deren Form der Kugel sehr ahnlich ist, las-sen sich die Streueigenschaften sehr gut durch Kugeln gleichen Volumensnahern. Bei Aggregaten werden bei einem durchschnittlichen Radius von650 µm (bei einer Frequenz von 96 GHz, entspricht 2.6 mm bei 24 GHz)Fehler bis ca. 5 dB, also in etwa einem Faktor drei erreicht. Diese wachsen 1 dB ist als 10 log10 definiert.

mit der durchschnittlichen Partikelgroße. Die Streuquerschnitte der Kugelnsind dabei grundsatzlich großer als die der anders geformten Streukorper.Insgesamt ergeben sich jedoch keine wesentlichen Anderungen der Form derStreukurven im von Hong betrachteten Radiusbereich.

Aufgrund der verschiedenen Dielektriztatskonstanten sind die Berech-nungen fur Eiskristalle nicht direkt auf vulkanische Asche ubertragbar. Dasich jedoch bei den Berechnungen fur einen breiten Bereich von DK im Ab-schnitt 3.4 keine wesentlichen Anderungen der Streucharakteristika ergebenhaben, ist dieses auch fur den Vergleich von Berechnungen fur Eis und vulka-nische Asche nicht zu erwarten. Daher ist in meiner Arbeit aus Zeitgrundenvorgenommene Beschrankung auf kugelformige Streukorper berechtigt.

3.6. Extinktion und Sichtweite

Fur die Sichtweite des Radars im Inneren einer Aschewolke und die Fra-ge, ob Effekte durch Absorption und Mehrfachstreuung ignoriert und so- Die Extinktionsrate gibt den

Anteil der Strahlung an, der

mit der Materie wechselwirkt.

Liegt dieser fur eine homoge-

ne Verteilung der Streukorper

im Raum bei 1%, so liegt der

Anteil der doppelt gestreu-

ten Strahlung bei weniger als

1% davon und ist somit ge-

gen die Einfachstreuung ver-

nachlassigbar.

mit die Ruckstreuintensitaten der einzelnen Partikel einfach addiert werdendurfen, ist die Extinktion relevant. Sie ist die Summe aus Absorption undGesamtstreuung und gibt somit an, welcher Anteil der einfallenden Strah-lung von den Partikeln beeinflusst wird. Geht man strikt vor, so darf mandie einfache Addition unter Vernachlassigung von Mehrfachstreuung nurbis zu Extinktionsraten im Bereich von 1% durchfuhren, was bei der be-trachteten Weibull-Verteilung mit Durchschnittsradii zwischen ein und zweiMillimetern und λ = 12 mm zu einer maximalen Flachenkonzentrationender Asche von 10ml/m2 fuhrt (vgl. Abb. 3.2(b)). Die Extinktion beinhaltetjedoch auch alle Streueffekte, unter anderem die außerhalb des Rayleigh-Bereiches recht stark ausgepragte Vorwartsstreuung. Berucksichtigt mandies und akzeptiert großere Messfehler, so kann man mit Extinktionsratenbis 10% Konzentrationen bis 100ml/m2 akzeptieren. Fur andere Radii er-geben sich bei gleicher Wellenlange hohere Maximalkonzentrationen. Beikonstantem Radius ergeben sich fur kurzere Wellenlangen niedrigere, furlangerwellige Strahlung hohere Maximalkonzentrationen.

3.7. KORNGROSSENBESTIMMUNG 49

10-2

10-1

100

101

102

103


10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

C/1

00m

2

6.0mm12.0mm24.0mm

Abbildung 3.9: Ruckstreuung von Weibull-Verteilungen mit k = 1.5 (Abb. 2.7)

fur verschiedene Frequenzen und ein Volumen von 1l.

3.7. Korngroßenbestimmung

Um mehr Informationen aus einer Eruption zu erhalten, ist es moglich, meh-rere Radar-Gerate mit unterschiedlichen Frequenzen gleichzeitig zu verwen-den und auf denselben Punkt zu richten.

Die Ruckstreukoeffizienten fur drei verschiedene Wellenlangen stelle ichin Abb. 3.9 dar. Wie man sieht, wandert die Position des Maximums derRuckstreuung mit wachsender Wellenlange zu großeren Radii. Gleichzei-tig verringert sich die maximale Amplitude. Dieses wird dadurch bedingt,dass bei großeren Radii ein ungunstigeres Verhaltnis zwischen Oberflacheund Volumen vorliegt, und somit bei konstantem Gesamtvolumen der Korn-großenverteilung eine geringere Oberflache fur die Streuung zur Verfugungsteht.

Bildet man die Quotienten der Streuparameter bei verschiedenen Wel-lenlangen, so sind diese von der Anzahl der Streukorper unabhangig undwerden durch die Form der Korngroßenverteilung und die Position ihresMaximums bestimt. Dieses stelle ich am Beispiel der Weibull-Verteilungmit k = 1.5 in Abb. 3.10 dar. Hier sind jeweils die Ruckstreukoeffizientender kurzeren Wellenlange durch die der langeren dividiert, was im Rayleigh-Bereich zu Werten großer eins fuhrt.


10-2

10-1

100

101

102

103


10-1

100

101

102

103

Quoti

ent

der

Inte

nsi

taete

n

6.0mm / 12.0mm6.0mm / 24.0mm12.0mm / 24.0mm

Abbildung 3.10: Quotienten der Ruckstreuintensitaten fur eine Weibull-

Verteilung mit k = 1.5.

Offensichtlich ist der Quotient im Rayleigh-Bereich konstant die viertePotenz des Verhaltnises der Wellenlangen. Durch einen Vergleich von Mes-sungen lasst sich lediglich die Aussage machen, dass man sich im Rayleigh-Bereich befindet, jedoch nicht, bei welchem Radius. Arbeitet eines von zweizu vergleichenden Geraten im Mie-Bereich, so ist das Verhaltnis der In-tensitaten von den Radii der Partikel abhangig. Die Zuordnung von die-sem Verhaltnis zum Durchschnittsradius einer Verteilung ist jedoch, wieAbb. 3.10 zeigt, auch fur großere Partikel im Bereich der Mie-Streung nichteindeutig. Im Bereich der geometrischen Optik ist die Streuung wellenlan-genunabhangig und somit das hier betrachtete Verhaltnis konstant eins.

Ein weiteres Problem besteht darin, dass die Form und Breite derKorngroßenverteilung einen großen Einfluss auf den Verlauf dieser Kurvenhat, was ich in Abb. 3.11 darstelle. Dort verwende ich im Unterschied zuAbb. 3.10 eine lineare y-Achse und einen kleineren Bereich auf der x-Achse.

Um aus dem Verhaltnis der Intensitaten die Korngroßen zu bestimmenbietet sich somit der Bereich der Mie-Streuung an, in dem eindeutige Werteerzielt werden. Die Frequenzen der verschiedenen Gerate mussen einerseitsweit genug auseinander gewahlt werden, um ein moglichst steiles Abfallender Flanken und somit eine gute Auflosung der Korngroßen zu erreichen,andererseits aber auch nah genug beieinander, um bei beiden Frequenzen

3.7. KORNGROSSENBESTIMMUNG 51

10-1

100


0

2

4

6

8

10

12

14

16

Quoti

ent

der

Inte

nsi

taete

n

12.0mm / 24.0mm Weibull, k=1.512.0mm / 24.0mm Gamma, k=1.512.0mm / 24.0mm Gamma, k=212.0mm / 24.0mm Gamma, k=3

(a) Quotienten der Ruckstreuintensitaten fur λ = 12mm und λ = 24mm.

10-1

100


0

50

100

150

200

250

300

Quoti

ent

der

Inte

nsi

taete

n

6.0mm / 24.0mm Weibull, k=1.56.0mm / 24.0mm Gamma, k=1.56.0mm / 24.0mm Gamma, k=26.0mm / 24.0mm Gamma, k=3

(b) Quotienten der Ruckstreuintensitaten fur λ = 6mm und λ = 24mm.

Abbildung 3.11: Vergleich der relativen Ruckstreuintensitaten fur verschiedene

Korngroßenverteilungen bei zwei verschiedenen Verhaltnissen der betrachteten

Wellenlangen.


ein gutes Signal zu erhalten (Abb. 3.9). Wie in Abb. 3.11(a) gezeigt, ist dieZuordnung von Intensitatsverhaltnis zu durchschnittlicher Korngroße beieinem Faktor von zwei zwischen den verwendeten Wellenlangen nur sehrungenau moglich.

Bei einem Faktor von vier (Abb. 3.11(b)) zwischen den Wellenlangenbzw. Frequenzen ergibt sich im Rayleigh-Bereich bereits ein Faktor von 256zwischen den Intensitaten. Um bei beiden Wellenlangen gute Verhaltnissezwischen Signal und Rauschen zu erhalten, ist eine sehr gut auf den Vulkanabgestimmte Installation notwendig.

Eine theoretische Moglichkeit ware es, ein Gerat im Rayleigh-Bereichund eines in der geometrischen Optik zu betreiben. Hierbei ergeben sichjedoch fur kleine Wellenlangen weitere Probleme durch die Sensibilitat furRegen und bei sehr kurzwelligen Geraten konnen schon Regenwolken dieMessungen in signifikanter Weise beeintrachtigen. Auf der anderen Seitesind im Rayleigh-Bereich die Ruckstreukoeffizienten sehr niedrig, was ei-ne hohe Sendeleistung notwendig macht. Um diese Messungen uber einenKorngroßenbereich von etwa einer Großenordnung durchfuhren zu konnen,mussten die Wellenlangen der Gerate um einen Faktor 1000 auseinanderliegen. Dieses ist in der Praxis nicht umsetzbar.

Eine wesentlich robustere Moglichkeit zur Bestimmung des durchschnitt-lichen Radius der Partikel besteht in der Verwendung von vielen Wellenlan-gen. In diesem Fall lasst sich der Durchschnittsradius der Streukorper daru-ber bestimmen, bei welcher Wellenlange die hochste Ruckstreuung auftritt.

KAPITEL 4

Theorie und Implementierung der

Signalbearbeitung

Nachdem ich nun die fur die Wellenausbreitung und die Streuung relevan-ten Effekte untersucht habe, wende ich mich im folgenden Kapitel der Si-gnalbearbeitung im Radar zu und beschreibe, wie aus einer empfangenen,elektromagnetischen Welle im Radargerat ein Datensatz gewonnen wird.

Das MVR-4 arbeitet als frequenzmoduliertes, mit konstanter Leistungsendendes (Frequency Modulated Continuous Wave [FMCW]) Dopplerra-dar im 24 GHz-Band. Im klassischen, gepulsten Radar wird die Energie inPulsen abgestrahlt und die Entfernung aus deren Laufzeit berechnet. BeimFMCW-Radar wird die Energie kontinuierlich abgestrahlt und die Entfer-nungsauflosung durch eine mit einem Sagezahnmuster modulierte Trager-frequenz erreicht (Abb. 4.1). Barrick (1973) beschreibt auch

die Uberlegungen, die bei der

Wahl von Frequenzen und

Abtastraten beachtet werden

mussen.

Beschreibungen des Messverfahrens finden sich zum Beispiel in Doviakund Zrnic (1984), Barrick (1973) und in Voge (2007, Kapitel 3), woran ichmich im Folgenden orientieren werde. In Tabelle 4.1 habe ich die verwende-ten Variablen aufgelistet. fs

t

︸︷︷︸T

ω0

ω0 + B2

Abbildung 4.1:

Frequenzverlauf des gesendeten

Signals.

Das Radar sendet ein frequenzmoduliertes Signal s(t) aus, dessen Fre-quenz f in einem Zeitraum 0 bis T von f0 + B

2 linear auf f0 − B2 gesenkt

und dann schlagartig wieder auf f0 + B2 erhoht wird. B ist die Bandbreite

der Modulation und es gilt B f0. Das Zeitintervall von 0 bis T bezeichneich im Folgenden als Durchlauf (sweep).

Um die Entfernung des Streukorpers zu bestimmen, wird zu jedem Zeit-punkt die Frequenzdifferenz zwischen gesendetem und empfangenen Signalgemessen. Sie ist zum einen von der Laufzeit der Welle und zum anderen,aufgrund des Dopplereffektes, von der Geschwindigkeit, mit der sich dasreflektierende Objekt entlang der Ausbreitungsrichtung bewegt, abhangig.

Um diese Bestimmung durchfuhren zu konnen, wird zunachst aus demgesendeten und dem empfangenen Signal ein Signal mit der Frequenzdif-ferenz als Frequenz gewonnen. Dieses wird digitalisiert und Fouriertrans-formiert. Aus der Amplitudenverteilung der Fourierkoeffizienten wird eineAbstandsverteilung gewonnen. Durch den Vergleich der Phasen gleicher Fre-quenzen bei aufeinanderfolgenden Durchlaufen ergeben sich in einer zweitenFouriertransformation die Geschwindigkeiten. In einem letzten Schritt wirddas Betragsquadrat der in der zweiten Fouriertransformation erhaltenenKoeffizienten, die spektrale Leistungsdichte, berechnet.

53

54 4. THEORIE UND IMPLEMENTIERUNG DER SIGNALBEARBEITUNG

Raum- und ZeitD Abstand des Streukorpers vom Radar 3kmtD Laufzeit 20 µsv Geschwindigkeit eines Teilchens -50-50 m/svp Geschwindigkeit in Strahlrichtung -30-30 m/s

vNy Geschwindigkeit, bei der ein Partikel 31.25m/sin der 2. DFT die Nyquist-Frequenz erreicht.

Signales(t) Gesendetes Signale(t) Empfangenes Signalm(t) Tiefpassgefiltertes, multipliziertes Signalψs(t) Phase des gesendeten Signalsψe(t) Phase des empfangenen Signalsψm(t) Phase des tiefpassgefilterten, multiplizierten Signals

S Amplitude des gesendeten SignalsE Amplitude des empfangenen Signals

Modulationsparameterf0 Grundfrequenz 24GHzfs Frequenz des gesendeten Signals 24GHzfm Frequenz des tiefpassgefilterten, multiplizierten Signals 100 kHzω0 Phasengeschwindigkeit der Grundfrequenz 2π 24GHzψ0 ψs(t = 0)ϕp ψm(t = 0)B Bandweite der Frequenzmodulation 250kHzT Dauer eines Durchlaufes 100µs

Parameter der Digitalisierungswp Anzahl der Digitalisierungspunkte pro Durchlauf 32

Fourierkoeffizientenaj,i j-ter Koeffizient aus der 1. DFT des i-ten Durchlaufesbj,k k-ter Koeffizient aus der DFT der aj,i

Tabelle 4.1: Die bei der Beschreibung der Signalbearbeitung verwendeten Va-

riablen. Die rechts gelisteten Werte sind Beispielwerte und entsprechen weitge-

hend denen von der Installation des Radars in Colima, Mexiko.

Da alle Bearbeitungsschritte bis zur Bildung des Betragsquadrates amEnde linear sind, lasst sich bis zu diesem Punkt das Superpositionsprinzipanwenden und ich kann mich bei meinen Betrachtungen auf einen Partikelbeschranken. In Abschnitt 4.6 werde ich zeigen, dass dieses auch fur dieBildung des Betragsquadrates moglich ist.

Im Folgenden werde ich im Text oft den Begriff Frequenz und in Glei-chungen die Kreisfrequenz ω = 2πf benutzen. Die Verwendung der Kreis-frequenz erhoht die Lesbarkeit der Gleichungen wahrend mir der Begriff derFrequenz im Fließtext intuitiver erscheint.

4.1. EXTRAKTION DER FREQUENZDIFFERENZ 55

4.1. Extraktion der Frequenzdifferenz

Um die Frequenzdifferenz zwischen gesendetem und empfangenem Signal zuerhalten, werden beide Signale analog miteinander multipliziert. Dadurchergibt sich ein Signal, das aus der Uberlagerung der Summe und der Dif-ferenz der gesendeten und empfangenen Frequenzen besteht. Dieses Signalwird mit einem Tiefpass gefiltert, so dass der hochfrequente Anteil (dasSummensignal) verschwindet. Es bleibt ein Signal mit der Differenz als Fre-quenz. Diese Schritte werde ich im Folgenden darstellen.

Innerhalb eines Durchlaufes (0 < t < T ) gilt fur die Frequenz desgesendeten Signals

(4.1) fs(t) = f0 +B

2−B

t

T.

Seine Phase lasst sich durch Integration uber die Zeit und Multiplikationmit 2π als

(4.2) ψs(t) = (ω0 + πB)t− πB

Tt2 + ψ0

darstellen. ψ0 ist hierbei die Phases des gesendeten Signals zum Zeitpunktt = 0. Fur dieses gilt dann Die Wahl des Sinus an die-

ser Stelle hat im Wesentlichen

den Vorteil, die Rechnungen

in Gleichung (4.6) einfacher

zu machen. Jede andere An-

fangsphase lasst sich durch

eine passende Wahl des An-

fangswinkels ψ0 darstellen,

der in (4.8) bzw. (4.7) wieder

verschwindet.

(4.3) s(t) = S sin [ψs(t)] = S sin[(ω0 + πB)t− π

B

Tt2 + ψ0

].

Somit folgt fur das nach der Laufzeit tD empfangene Signal unter Ver-nachlassigung von Veranderungen der Phase bei der Streuung

(4.4) e(t) = E sin [ψe(t)] = E sin [ψs(t− tD)] ,

wobei die Laufzeit fur einen Streukorper im Abstand D

(4.5) tD = 2D

c

betragt. Es ergibt sich fur das gemischte (multiplizierte) Signal:

s(t)e(t) = S sin [ψs(t)]E sin [ψe(t)]

= SE sin [ψs(t)] sin [ψs(t− tD)]

= SE12

(cos [ψs(t) + ψs(t− tD)] + cos [ψs(t)− ψs(t− tD)]) .

(4.6)

Im Weiteren genugt es den zweiten (tieffrequenten) Kosinusterm zu betrach-ten, da der erste (hochfrequente) mittels eines Tiefpasses entfernt wird. DasVorzeichen innerhalb des Kosinus kann aufgrund von dessen Symmetrie frei


gewahlt werden. Ich folge im Weiteren der von Malte Voge getroffenen Vor-zeichenwahl und definiere das Mischsignal im Gegensatz zu (4.6) als

ψm(t) :=ψs(t− tD)− ψs(t)

=[(ω0 + πB)(t− tD)− π

B

T(t− tD)2 + ψ0

]−[(ω0 + πB)t− π

B

Tt2 + ψ0

]=− (ω0 + πB)tD + π

B

T(2ttD − t2D) ,

(4.7)

und somit

(4.8) m(t) :=12SE cos [ψs(t− tD)− ψs(t)] =

12SE cos[ψm(t)] ,

was am Ende zu positiven Frequenzen fuhrt.

4.2. Theorie der Entfernungs- und Geschwindigkeitsbestimmung

Fur die Abstandsmessungen wird die Frequenz des Mischsignals verwandt,also die zeitliche Ableitung der Phase. Wenn der Streukorper seinen Abstandzum Radar andert, d.h. sich nahert, oder entfernt, gilt

ddttD(t) 6= 0 .

Der Einfachheit halber betrachte ich zunachst jedoch den Fall des ru-henden Teilchens. Hier gilt

ddttD(t) = 0 ⇒ d

dtψm(t) =

∂

∂tψm(t) ,

und es ergibt sich fur ωm: ωm und tD sind zwar im allg.

von der Zeit abhangig, aber

im Fall des ruhenden Partikels

sind sie gerade konstant.(4.9) ωm(t) =

ddtψm(t) =

∂

∂tψm(t) = 2π

B

TtD = ωm .

Fur ein ruhendes Teilchen wachst ωm also linear mit dessen Abstand vomRadar. Wird nun uber eine Fouriertransformation (FT) des empfangenenSignals ein Spektrum erzeugt, so konnen die Frequenzen fur ruhende Teil-chen direkt auf Entfernungen abgebildet werden.

Bei den Messungen interessieren jedoch genau die Streukorper, die nichtruhen. Daher betrachte ich nun ein ein Objekt, das sich mit einer Geschwin-digkeit v bewegt. Deren Komponente parallel zur Strahlrichtung des Radarsbezeichne ich mit vp, wobei vp > 0 fur Bewegungen auf das Radar zu steht.Diese Konvention hat den Vorteil, dass der Dopplereffekt fur positive Ge-schwindigkeiten zu großeren Frequenzen fuhrt.

Es ergibt sich nun aus (4.5) und ddtD = −2vp: Fur ein Objekt, dass sich mit

30 m/s auf das Radar zu be-

wegt, ist ddttD = −2 · 10−7.(4.10)

ddttD(t) = −2

vpc,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im umgebenden Medium ist. Diese Zeit-abhangigkeit wird aufgrund der Großenordnung im Wesentlichen an Stellen

4.2. THEORIE DER ENTFERNUNGS- UND GESCHWINDIGKEITSBESTIMMUNG 57

relevant, an denen tD mit ω0 multipliziert wird. Ansonsten lassen sich dieEffekte meistens vernachlassigen.

Fur ωm ergibt sich somit

ωm =ddtψm = (ω0 + πB)2

vpc

+ 2πB

T

[tD − 2t

vpc

+ 2tDvpc

]

=

Abstand︷︸︸︷2πB

TtD +

Dopplereffekt︷︸︸︷2vpc

[(ω0 + πB)− 2π

B

T(t− tD)

]︸︷︷︸

ωs(t−tD)

,(4.11)

und die Frequenz des Mischsignals ist nicht mehr rein vom Abstand desTeilchens abhangig, sondern erhalt auch einen Anteil, der uber den Dopp-lereffekt von dessen Geschwindigkeit abhangt. Innerhalb dieses Ausdruckesist ω0 dominant gegenuber den Termen in B, da ω0 B und T ≥ (t− tD).ωm lasst sich somit durch Die Zeitabhangigkeit von tD

innerhalb eines Durchlaufes ist

hier durch den zweiten Term

genahert.

(4.12) ωm ≈ 2πB

TtD + 2

vpcω0

nahern. Wie man sieht, erscheint ein Partikel, der sich auf das Radar zubewegt, weiter entfernt als er es wirklich ist.

Betrachtet man (4.7): An dieser Stelle enthalt die

Zeitabhangigkeit von tD im

ersten Term den zweiten Term

aus (4.12).

ψm(t) = −(ω0 + πB)tD(t) + πB

T(2ttD(t)− t2D(t)) ,

so sieht man, dass ψm fur festes t rein von tD, also vom Abstand desStreukorpers abhangt. Es ist daher sinnvoll, in erster Naherung ψm(t = 0) existiert an sich

nicht in der hier verwendeten

Form, da die ersten Echos erst

nach dem Ablauf von tD am

Radar ankommen. Fur t=0

erhalt man Echos aus dem

vorherigen Durchlauf, die je-

doch von einer Fensterfunktion

entfernt werden (siehe Ab-

schnitt 4.7).

(4.13) ϕp = −(ω0 + πB)tD(t = 0) ≈ ψm(t = 0) .

zu definieren. Da tD zum Abstand des Partikels vom Radar proportionalist, gilt dieses auch fur ϕp. Vergleicht man nun die Werte von ϕp fur aufein-anderfolgende Durchlaufe, so lasst sich daraus die Anderung des Abstandes,also vp, bestimmen.

Um ϕp zu erhalten, betrachte ich zunachst wieder m(t) (4.8). Dieseslasst sich als

(4.14) m(t) =12SE cos(ψm(t)) =

14SE

(eiψm(t) + e−iψm(t)

)darstellen. In erster Naherung gilt

(4.15) ψm(t) ≈ ϕp + ωmt ,

wobei ϕp fur einen Durchlauf konstant ist und sich ωm aus (4.12) ergibt.Man erhalt

m(t) ≈ 14SE

(eiϕpeiωmt + e−iϕe−iωmt

)=

14SE

(eiϕpeiωmt + eiϕpeiωmt

).

(4.16)

m(t) lasst sich somit als Uberlagerung einer Schwingung der Phase eiϕp

und Frequenz ωm sowie ihres komplex konjugierten auffassen. In der ersten


Fouriertransformation wird genau diese Darstellung gewonnen. Die Vertei-lung der Amplituden auf die Frequenzen wird zur Bestimmung einer Ab-standsverteilung verwendet. Betrachtet man in einem zweiten Schritt diePhaseninformation der Fourierkoeffizienten, so lasst sich daraus ϕp bis aufVielfache von 2π rekonstruieren.

4.3. Umsetzung der Entfernungsbestimmung

Bei der praktischen Umsetzung der Entfernungsmessung treten neben derUnterscheidung zwischen dem Frequenzeffekt des Abstandes und dem derGeschwindigkeit weitere Probleme auf.

Zum einen wird die Auflosung der Frequenzen durch eine digitale undsomit diskrete Fouriertransformation (DFT) vorgenommen (siehe AnhangB). Somit wird einer Mischfrequenz nach der Digitalisierung und DFT nichtihre wirkliche Frequenz zugeordnet, sondern sie wird als Uberlagerung derdiskreten, durch die Abtastrate und die Lange der DFT vorgegebenen Fre-quenzen dargestellt. Diese werden wiederum diskreten Abstandsintervallenzugeordnet, die als Rangegates bezeichnet werden. Bei der Messung am Colima,

Mexiko, wurden Abstandsin-

tervalle mit einer Lange von

600m verwendet.

Zum anderen ist das Signal an der Stelle t = T , an der der Frequenz-sprung stattfindet im Allgemeinen unstetig. Zur Vermeidung von Artefaktenmas das Signal daher vor der DFT mit einer Fensterfunktion multipliziertwerden (Abb. 4.2).

Die Fensterfunktion ist beim MVR-4 eine Gauß-Funktion der Form

(4.17) g(t) = exp

[−1

2

(αt− T/2T/2

)2], α = 3

mit der die Zeitreihe eines Durchlaufes multipliziert wird (Abb. 4.2(a)). Da-durch werden die Amplituden an Anfang und Ende der Zeitreihe sehr nahan null gedampft, so dass die Zeitreihe fur die DFT stetig erscheint (sieheauch Anhang B.3).

Da die Energieverteilung auf die Abstandsintervalle durch die Betrags-quadrate der Fourierkoeffizienten festgelegt wird, bestimmt die Anzahl dergewunschten Abstandsintervalle, an wie vielen Punktenm(t) in jedem Durch-lauf digitalisiert werden muss. Je mehr Abtastpunkte in einem Durchlaufzur Verfugung stehen, umso mehr (hohere) Frequenzen konnen aufgelostwerden, da eine diskrete Fouriertransformation (DFT) eine in swp Punkten swp steht fur sweep, das engli-

sche Wort fur Durchlauf.digitalisierte Form von m(t) durch eine Basis aus swp Schwingungen derFrequenzen − swp−2

2T , . . . , swp2T in Schritten von 1T darstellt

(4.18) δf =1T.

Da das Eingangssignal reellwertig ist, sind die Fourierkoeffizienten dernegativen Frequenzen lediglich das komplex konjugierte derjenigen im posi-tiven Frequenzbereich (Anhang B). Sie konnen daher ohne Informationsver-luste weggelassen werden und werden von den gebrauchlichen Algorithmenfur DFT von reellen Daten nicht explizit mit ausgegeben. Der konstan-te Anteil des Signals (f = 0) liefert, genau wie die Schwingung mit der

4.3. UMSETZUNG DER ENTFERNUNGSBESTIMMUNG 59

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

cos(

7πt/T)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

g(t)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t/T

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

g(t)cos(

7πt/T)

(a) m(t) = cos(2π3.5t/T ) vor und nach Multiplikation mit der Fensterfunktion g(t), sowie die Diskretisierungspunkte.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ohne F

enst

erf

unkt

ion

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8Nummer der Frequenz

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Mit

Fenst

erf

unkt

ion

(b) Betrage der Fourierkoeffizienten mit und ohne Anwendung der Fensterfunktion. Man beachte die unterschiedliche Ach-

senskalierung.

Abbildung 4.2: Der bei f = 3.5 besonders ausgepragte Unterschied zwischen

dem Wert bei t = 0 und dem bei t = T wirkt fur eine DFT, bei der das Signal

als periodisch mit Periode 1 betrachtet wird, zu einer massiven Unstetigkeit, die

durch das Fenster verringert wird.


Nyquist-Frequenz,

(4.19) fNy =swp

2T,

nach der DFT wieder ein reelles Signal, was in der Geschwindigkeitsbestim-mung zu Artefakten fuhrt. Somit bleiben swp−2

2 Frequenzen, die komplex-wertige Fourierkoeffizienten liefern.

Die Mischfrequenz ωm wird von der DFT durch eine Linearkombinati-on der vorgegebenen Frequenzen − swp−2

2T , . . . , swp2T dargestellt. Hierbei do-minieren die nachstliegenden, jedoch sind auch die Koeffizienten der wei-ter entfernten Frequenzen von null verschieden. Diesen Vorgang, der alsUberschreiben bezeichnet wird, stelle ich beispielhaft in Abb. 4.3 und inAnhang B.4 dar.

Durch die Multiplikation mit der Fensterfunktion wird der Frequenzge-halt des Signals etwas verandert (Anhang B.3). Dieses hat zur Folge, dassauch Signale, die ursprunglich mit T periodisch sind, und somit von derDFT auf genau ein Vielfaches von 1/T abgebildet werden sollten, auf meh-rere Frequenzen uberschreiben (Abb. 4.3, f = 3/T ).

Die Abstandsauflosung δD ergibt sich aus dem minimalen Frequenz-unterschied δf = 1

T , der von der FT aufgelost werden kann, und demVerhaltnis von Frequenzunterschied zu Abstand, das nach (4.9) bzw. (4.12)

(4.20) 2πδf = δωm ≈ 2πB

TδtD = 2π

B

T

2δDc

ist. Somit gilt

(4.21) δD =c

2B.

Die Entfernungsauflosung ist rein von B abhangig. Da die Uberschreibkoef-fizienten der DFT in den benachbarten Abstandsintervallen von der Langeder DFT weitgehend unabhangig sind (Anhang B.4), lasst sich die Ent-fernungsauflosung durch die Wahl von vielen, kleinen Abstandsintervallensignifikant verbessern. Bei swp Digitalisierungspunkten ergeben sich swp−2

2

Intervalle mit komplexen Koeffizienten und der Abstand der Mitte des letz-ten Intervalls vom Radar betragt (swp−2)c

4B .

4.4. Umsetzung der Geschwindigkeitsbestimmung

Der Einfachheit halber ignoriere ich die Frequenzanderung durch den sichandernden Abstand des Streukorpers und das Verschmieren durch die Fens-terfunktion und betrachte die erste DFT als ideal, d.h. ich gehe davon aus,dass fm genau auf einen Fourierkoeffizienten ap abgebildet wird. Das be-deutet bei einer Nummerierung, bei der aj der Koeffizient zur Frequenz j

T

ist,

(4.22) fm = fp = p/T.

ap lasst sich in Polardarstellung als

(4.23) ap = |ap|eiϕp

4.4. UMSETZUNG DER GESCHWINDIGKEITSBESTIMMUNG 61

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0f=3.0/T

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

cos(

2πft

) f=3.25/T

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t/T

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0f=3.5/T

(a) Kosinus-Funktionen vor der Multiplikation mit der Fenster-Funktion und Abtastpunkte.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05f=3.0/T

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Betr

agsq

uadra

t der

Fouri

erk

oeff

izie

nte

n

f=3.25/T

8 6 4 2 0 2 4 6 8Frequenz nach der FFT in 1/T

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05f=3.5/T

(b) Betragsquadrate der Fourierkoeffizienten nach Multiplikation mit Gauß-Fenster und DFT. Die Koeffizienten wurden mit

der Anzahl der Abtastpunkte normiert. Wie man sieht, wird durch die Fensterfunktion das Signal mit f = 3/T auf mehrere

Linien aufgeweitet. Fur f = 3.25/T ist in der Darstellung der Koeffizient von f = 3/T dominant, wahrend sich fur f = 3.5/T

eine symmetrische Verteilung auf f = 3/T und f = 4/T ergibt.

Abbildung 4.3: Digitalisierung von drei Schwingungen und die Betragsquadra-

te der Fourierkoeffizienten.


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Intervall 3Intervall 4

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0Frequenz in 1/T

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

E

nerg

ie im

Abst

andsi

nte

rvall

Intervall 2Intervall 5

Abbildung 4.4: Uberschreibeverhalten fur Frequenzen zwischen 3/T und 4/T

und Abstandsbereiche 2–5. Die Fourierkoeffzienten wurden mit der Anzahl der

Abtastpunkte normiert und das Betragsquadrat gebildet.

schreiben. Dabei ist ϕp die wahrend eines Durchlaufes konstante Anfangs-phase der von ap reprasentierten Schwingung und entspricht der Definitionin (4.13).

Wahrend eines Durchlaufes verandert sich der Abstand des Partikelsvom Radar um vpT . Dadurch verandert sich die Lange des Weges, den dieWelle zurucklegen muss, um 2vpT . Dieses fuhrt dazu, dass sich die Phasen-differenz zwischen gesendetem und empfangenen Signal um 2vpT 2π

λ andert.Diese entspricht ψm(t) (4.7). Letzteres wird wiederum nach der DFT alsϕp+ωmt dargestellt. ϕp andert sich also von einem Durchlauf zum Nachstenum 2vpT 2π

λ . Bezeichnet man die aj aufeinanderfolgender Messdurchlaufemit aj,i und die ϕj mit ϕj,i, so lasst sich dieses als

(4.24) ϕp,i+1 = ϕp,i + 2π2vpTλ

darstellen. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Phase andert, lasst sichals Kreisfrequenz interpretieren. Somit ist es moglich, sie uber eine zwei-te DFT aus den ap,i zu bestimmen. Die Resultate dieser DFT bezeichne Im Radar wird dieser DFT

wieder eine Fensterfunktion

vorangestellt. Ihre Effekte ent-

sprechen denjenigen ersten

Fensterfunktion und betreffen

die Geschwindigkeitsverteilung.

ich im Folgenden mit bj,k. Die Anzahl der verwendeten Koeffizienten be-stimmt die Geschwindigkeitsauflosung. Verwendet man die n Koeffizienten


ap,1 . . . , ap,n, so ergibt sich eine Auflosung von

(4.25) δvp =λ

2nT.

Die Geschwindigkeitsauflosung kann somit erhoht werden, indem die Datenvon mehr aufeinanderfolgenden Durchlaufen in die zweite DFT einbezogenwerden. Dabei erhoht sich jedoch die Gesamtdauer einer Messung.

Von der DFT werden die Daten in der Reihenfolge 0, 1T , . . . , 2fNy −

1T

ausgegeben. In dieser Sortierung kann man Frequenzen, die großer sind als In Anhang C.2 gehe ich naher

auf die Darstellung und Inter-

pretation der Daten ein.die Nyquist-Frequenz, als hohe, positive Geschwindigkeiten deuten. Da dieDFT in den Frequenzen periodisch ist (Abschnitt B.2), ist es auch moglich,die Frequenzen jenseits der Nyquistfrequenz durch Subtraktion von 2fNyals negativ zu betrachten.

In jedem Fall erhalt man einen Geschwindigkeitsbereich von

(4.26) ∆vmax = 2vNy =λ

2T,

in dem die Daten eindeutig auf Geschwindigkeiten abgebildet werden kon-nen. vNy ist dabei die zur Nyquist-Frequenz gehorige Geschwindigkeit von

(4.27) vNy =λ

4T.

Fur die zweite DFT erscheinen

Partikel, deren Geschwindig-

keit sich um ein Vielfaches von

vmax unterscheidet, identisch.

Kann man jedoch sicher sagen,

in welchem Abstandsintervall

ein Partikel aufgrund seiner

Position liegen sollte, so lasst

sich daraus unter Verwendung

von (4.12) auch die wirkliche

Geschwindigkeit berechnen.

Die wahre Geschwindigkeit lasst sich bei sinnvoller Wahl von T undsomit ∆vmax sehr sicher bestimmen, da es moglich ist, Geschwindigkeiten,zu denen ein Vielfaches von ∆vmax addiert wurde, auszuschließen.

Bei diesen Betrachtungen bin ich davon ausgegangen, dass der Partikel einMischsignal m(t) mit der Frequenz p/T hervorruft. Diese Frequenz unter-scheidet sich im Allgemeinen von der Frequenz, die ein ruhender Partikelim gleichen Abstand hervorrufen wurde (vgl. Gleichung (4.12)). Zieht mandie von der Geschwindigkeit verursachte Frequenzdifferenz in Betracht, sowandert ein Partikel, der ruhend die Frequenz fp,0 liefern wurde, mit wach-sender, auf das Radar zu gerichteter Geschwindigkeit scheinbar immer wei-ter weg vom Radar. Ein immer großerer Teil der Echoenergie erscheint alsoim nachsten Abstandsintervall. Bei einer Geschwindigkeit von 2vNy ergibtsich eine Mischfrequenz von fp,0+ 1

T zu und der Partikel erscheint einen Ab-standsbereich weiter entfernt. Dort erscheint er aufgrund der Ringform bzw.Periodizitat der DFT genau bei der Nullgeschwindigkeit. Ein Partikel miteiner Geschwindigkeit von 2.1vNy erschiene dementsprechend ein Intervallweiter mit einer Geschwindigkeit von 0.1vNy.

Insgesamt sind die Ubergange zwischen den Intervallen sehr fließend,wie ich auch in Abb. 4.4 darstelle. Die dort dargestellten Frequenzen las-sen sich auf verschiedene Arten interpretieren. Eine Moglichkeit ist, einenStreukorper zu betrachten, der aufgrund seiner Position die Frequenz 3

T lie-fern wurde und dessen Geschwindigkeit zwischen 0 und 2vNy zu variieren,so dass er Frequenzen zwischen 3

T und 4T liefert. Eine andere ware ihn als

ruhend zu betrachten und seinen Abstand zu variieren. Beide Moglichkeiten


0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

eufe

Zeitreihe

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Zeit-Fenster

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf

Abstands-FFT

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf-

Fenst

er

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf

0 5 10 15 20 25 30Messpunkt

0

5

10

15

20

25

30

Gesc

hw

indig

keit

s-FF

T

0 5 10 15 20 25 30Messpunkt

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30Abstandsintervall

0

5

10

15

20

25

30

Gesc

hw

indig

keit

(a) Die Signalbearbeitung im Radar kompakt dargestellt. Oben links sind die Eingangsdaten (m(t)). Jeder Durchlauf wird in

eine Zeile geschrieben. Mit Fensterfunktionen werden etwaige Unstetigkeitsstellen an den Enden entfernt. Daraufhin werden

die Daten fouriertransformiert. Dabei sind die Wege im Diagramm beliebig vertauschbar. Im Radar wird zuerst die Abstands-

DFT (von links nach rechts im Bild) durchgefuhrt, dann die Geschwindigkeits-DFT (von oben nach unten im Bild). Von den

komplexwertigen Spektren (rechts und unten) stelle ich jeweils den Betrag dar. Die Aufspaltung in Real- und Imaginarteil

zeige ich in Abb. 4.5(b) am Beispiel der rechten Spalte. Die schwarze, senkrechte Linie in der rechten Spalte trennt den im

Radar betrachteten Bereich (links) von den nach der 1. DFT verworfenen Daten (links).


0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

eufe

Realteil

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf

Imaginaerteil

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf-

Fenst

er

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

Durc

hla

uf


0

5

10

15

20

25

30

Gesc

hw

indig

keit

s-FF

T


0

5

10

15

20

25

30

Gesc

hw

indig

keit

(b) Real- (links) und Imaginarteil (rechts) der Fourierkoeffizienten aus der rechten

Spalte von Abb. 4.5(a).

Abbildung 4.5: Darstellung der Signalbearbeitung


lassen sich auch kombinieren. Genau so ist es moglich, ihn als deutlich naheram Radar zu betrachten und die Geschwindigkeit als deutlich hoher usw.

4.5. Gesamtdarstellung der Signalbearbeitung

In Abbildung Abb. 4.5 zeige ich die beiden Fouriertransformationen undihre Fensterfunktionen am Beispiel eines Partikels, der eine Frequenz von3T liefert und somit im dritten Abstandsintervall erscheint. Er bewegt sichmit einer Geschwindigkeit von λ

32T auf das Radar zu. Dieses entspricht beiden hier verwendeten 32 Geschwindigkeitsschritten 2δv.

In Abb. 4.5(a) werden von links nach rechts zeilenweise (die Durchlaufeeinzeln behandelnde) Bearbeitungsschritte und von oben nach unten spal-tenweise (durchlaufubergreifende) Bearbeitungsschritte durchgefuhrt. Im ers-ten Schritt wird die Fensterfunktion angewendet, im darauf folgenden dieFouriertransformation.

Die reellwertigen Schwingungen stelle ich vollstandig dar, von den Fou-rierkoeffizienten zeige ich in Abb. 4.5(a) die Betrage, die Aufspaltung inReal- und Imaginarteil zeige ich fur die drei Abbildungen der rechten Spal-te in Abb. 4.5(b). Alle Abbildungen sind auf ihren jeweiligen maximalen Be-trag normiert. Im Radar werden nach der Abstands-DFT (rechts in Abb. 4.5(a)bzw. oben in Abb. 4.5(b)) die Daten der Nyquistfrequenz und der hoherenbzw. negativen Frequenzen verworfen. Dieses markiere ich durch die senk-rechte schwarze Linie in den Spektren.

In Abb. 4.5(b) sieht man sehr schon die Schwingung mit zwei Durchlau-fen und ihre Kopie auf der rechten Seite des Spektrums. Durch die Kombina-tion von Real- und Imaginarteil lasst sich den Schwingungen eine Richtungzuweisen, ahnlich der Drehrichtung von polarisiertem Licht. Diese liefert dasVorzeichen fur die Geschwindigkeit. Die Realteile sind fur beide Schwingun-gen identisch, die Imaginarteile sind komplex konjugiert. Daher erscheinensie in der letzten Abbildung an den entgegengesetzten Enden des Spektrums.

4.6. Spektrale Leistungsdichte

Die von mir simulierte Große ist die spektrale Leistungsdichte, also dasQuadrat der Amplituden der Fourierkoeffizienten. Die Koeffizienten sindjeweils zur Amplitude der empfangenen elektromagnetischen Wellen undihre Quadrate somit zur Intensitat derselben proportional. Die spektraleLeistungsdichte ergibt sich bei Messungen an einer Partikelwolke, wie ich imfolgenden darstellen werde, aus der Summe der spektralen Leistungsdichten,die ich von den einzelnen Partikeln erhalten wurde.

Als letzten Schritt in der Bearbeitung der Daten im Radar werden dieBetragsquadrate der bj,k gebildet. Die Phasenanteile der bj,k werden durchdas Verhaltnis vom Abstand des Streukorpers zur Wellenlange der Strah-lung bestimmt. Da die Streukorper nicht auf einem regelmaßigen Gitterangeordnet sind, kommen bei den Nachkommastellen dieses Verhaltnisses

4.7. NICHT BETRACHTETE EFFEKTE 67

alle Werte in etwa gleich haufig vor. Dadurch sind auch die Phasen der bj,kgleichverteilt.

Fur komplexe Zahlen gilt in Polardarstellung∣∣aeiϕ + beiψ∣∣2 =

(aeiϕ + beiψ

) (ae−iϕ + be−iψ

)= a2 + b2 + ab

(ei(ϕ−ψ) + e−i(ϕ−ψ)

)= a2 + b2 + 2ab cos[ϕ− ψ] ,

(4.28)

oder, allgemeiner,∣∣∣∣∣∑l

aleiϕl

∣∣∣∣∣2

=∑l,m

alam cos[ϕl − ϕm]

=∑l

a2l +

∑l 6=m

alam cos[ϕl − ϕm] .(4.29)

Fuhrt man diese Addition fur viele Zahlen mit zufallig verteilten Phasendurch, so verschwindet die Summe der Kosinus-Terme und man erhalt

(4.30)

∣∣∣∣∣∑l

aleiϕl

∣∣∣∣∣2

=∑l

a2l

(Feynman et al., 1963). Dieses lasst sich auf die bj,k anwenden und manerhalt

(4.31)

∣∣∣∣∣∑i

b(i)j,k

∣∣∣∣∣2

=∑i

∣∣∣b(i)j,k∣∣∣2 .Die spektrale Leistungsdichte fur viele Partikel ist also die Summe der spek-tralen Leistungsdichten der einzelnen Partikel. Daher ist es mir moglich, alleEffekte auf der Ebene der einzelnen Partikel zu betrachten und am Ende zusummieren.

4.7. Nicht betrachtete Effekte

In meinen Betrachtungen habe ich den Kammkerbfilter, mit dem im Ra-dar die Echos von sich nicht bewegenden Objekten ausgeblendet werdenvernachlassigt. Von jeder gemessenen Zeitreihe m(t) wird ein Mittelwertaus den letzten Durchlaufen subtrahiert. Somit werden die Signalanteile eli-miniert, die sich nicht andern. Diese entsprechen Objekten, die sich nichtbewegen, z.B. dem Vulkankrater.

Des Weiteren gehe ich nicht explizit darauf ein, dass im Umfeld desFrequenzsprunges bei t = T kurzzeitig keine Daten aufgenommen wer-den konnen. Dieses wird im Radar durch deaktivieren des Verstarkers desEingangssignals realisiert. Die Dauer dieser Ausblendung liegt im Bereichvon wenigen Mikrosekunden und trifft somit in der Regel schlimmstenfallseinen Abtastpunkt. Dieser wird ohnehin von der Fensterfunktion sehr starkgedampft wird. Somit sind die Effekte hier vernachlassigbar.

Ein starkerer Effekt wird dadurch verursacht, dass nach dem Frequenz-sprung fur die Zeit tD noch Echos aus dem alten Durchlauf eintreffen und


von dem neuen Durchlauf noch kein Echo des Streukorpers vorliegt. In Co-lima betrug diese Zeitspanne immerhin 1/5 der Dauer eines Durchlaufes.Die Echos aus dem alten Durchlauf haben in der Regel einen sehr hohenFrequenzversatz gegen die aktuelle Sendefrequenz und erscheinen daher sehrweit entfernt. Daher storen sie in der Regel bei den Betrachtungen nicht.Das Fehlen der Daten aus dem neuen Durchlauf verbreitert prinzipiell dieForm der Verteilung der Energie auf die Abstandsintervalle, jedoch ist auchhier der Effekt nur schwach ausgepragt, da die Fensterfunktion jedes ein-treffende Echo in diesem Zeitbereich stark dampft und somit kaum weitererInformationsverlust auftritt (Abb. 4.2(a)).

Bei Abtastraten > 1 GHz kann es im MVR-4 zu Problemen mit demAntialiasing-Tiefpass kommen, der im analogen Bereich bei ωm Frequenzenuber 500 MHz abschneidet. In diesem Fall liegen in den letzten Abstands-intervallen keine Daten vor.

4.8. Zusammenfassung der Signalbearbeitung

Die beiden DFTs lassen sich zusammen als eine 2-dimensionale DFT be-trachten. Insgesamt erhalt man eine Einteilung der reflektierten Energie aufeinem Gitter aus Abstanden und Geschwindigkeiten, wobei die Trennungzwischen benachbarten Punkten in beiden Richtungen durch die Endlich-keit der DFT und die Fensterfunktionen unscharf ist. Aufgrund des Doppler-Effektes erscheint ein Partikel, der sich mit hoher Geschwindigkeit auf dasRadar zu bewegt weiter entfernt, als er es wirklich ist. Der scheinbare Ab-stand ist also immer eine Kombination aus wirklichem Abstand und Ge-schwindigkeit (4.12).

Aufgrund der Periodizitat der DFT lassen sich gegenuberliegende En-den des Gitters bei den Geschwindigkeiten als verbunden betrachten. Beider Ortsauflosung hingegen werden hohere Frequenzen wieder am hochfre-quenten Ende zuruckgespiegelt. Dabei wird das Vorzeichen der Geschwin-digkeit vertauscht. Dieses ist ein Effekt der symmetrischen Spektren derersten DFT und der Vernachlassigung der zweiten Halfte des Spektrums(Anhang C.2). Ab einer gewissen Entfernung, die einer Mischfrequenz von500 MHz entspricht, wird das Signal durch einen Anti-Aliasing-Tiefpass imanalogen Bereich begrenzt.

Da ich die Ergebnisse aus der gesamten Signalbearbeitung durch Super-position aus denen fur einzelne Partikel erhalte und die Ergebniswerte linearvon der Intensitat der von den jeweiligen Partikeln zuruckgestrahlten Echosabhangen, genugt es, die Effekte auf normierten Partikeln zu betrachtenund sie mit der jeweiligen Echointensitat zu skalieren und zu addieren.

KAPITEL 5

Der Radar-Simulator

Um realistische, synthetische Spektren zu erzeugen, habe ich ein Programmgeschrieben, das den Messprozess des MVR-4 wahrend einer vulkanischenEruption nachbildet.

Wichtige Aspekte im Design des Programms waren Modularitat unddie Moglichkeit, Partikelverteilungen und Flugbahnen sowie weitere Para-meter aus Eruptionssaulenmodellen einzubinden. Bei den Ausgabedaten ori-entiere ich mich am Ausgabeformat des MVR-4, so dass eine Auswertungmit den existierenden Programmen moglich ist. Partikelflugbahnen konnenals Flug mit und ohne Reibung simuliert werden. Alternativ ware es auchmoglich, sie komplett von außen vorzugeben. Hierzu muss lediglich eineKlasse des Programms an die Datenquelle angepasst werden. Gleiches giltfur das Windfeld.

Im Folgenden werde ich einen Uberblick uber die Struktur des Pro-gramms geben. Die dafur benotigten Variablen liste ich in Tabelle 5.1 auf.

5.1. Struktur des Programms

Fur die gesamte Verwaltung der Partikel ist der Particle generator zu-standig. Er verwaltet gleichzeitig die interne Uhr des Programms. DieseStruktur habe ich gewahlt, um es einfach zu ermoglichen, externe Partikel-quellen einzubinden, die dann die Zeitschritte vorgeben konnen.

Die Partikel bilden eine weitere Klasse (Particle). Sie enthalt auch dieFunktionen zur Flugbahnberechnung. Letztere werden vom Partikelgenera-tor fur jeden Zeitschritt aufgerufen.

Die Klasse Radar simuliert den Messvorgang. Sie erhalt vom Partikelge-nerator eine Liste der zur Zeit im Modell befindlichen Partikel und berechnetaus ihnen die spektrale Leistungsdichte. Diesen Ausgabedatensatz werde ichim Folgenden auch mit Spektrum bezeichnen.

Die Reflektivitaten der Partikel werden vom Reflectivity calculator

aufgrund der mit Stefan Kinnes Programm ausgerechneten Reflektionsko-effizienten bestimmt.

Das Atmospharenmodell Atmosphere stellt Atmospharenparameter wieDichte und Windgeschwindigkeiten, sowie den Ausbreitungsverlust zur Ver-fugung.

Die Klasse Setting stellt allgemeine Informationen zu Position vonKrater, Radar etc. zur Verfugung, die sie aus der Konfigurationsdatei ex-trahiert.

69

70 5. DER RADAR-SIMULATOR

Raum & Zeitx,y,z KoordinatenachsenD Abstand zwischen Streukorper und Radar 3000 mg Gravitationsbeschleunigung 9.81 m/s2

Streukorperr Radius des Streukorpers 0.003 mA Querschnittsflache des Streukorpers 9·10−6 m2

v Geschwindigkeit des Streukorpers 20 m/sρs Dichte des Streukorpers 2000 kg/m3

roff Abstand von der Mittelachse der Eruptionssaule mReibungFR,N Newtonsche Reibungskraft 0.00135 NFR,S Stokes’sche Reibungskraft 5.91·10−7 NaR,N Beschleunigung durch Newtonsche Reibung 5.97 m/s2

aR,S Beschleunigung durch Stokes’sche Reibung 0.0105 m/s2

cW Stromungswiderstandskoeffizient 0.75Atmosphareρl Dichte der Luft 1 kg/m3

T Lufttemperatur 300 Kη Viskositat der Luft 1.82 · 10−5 Ns/m2

R0 Allgemeine Gaskonstante 8.3144 J/mol/KML Molare Masse von Luft 28.956 kg/molRL Gaskonstante fur Luft 287 J/kg/Kn Teilchenzahldichte 44.6 mol/m3

l Mittlere freie Weglange 10−7 mvW Windgeschwindigkeit 14 m/svW,∞ Windgeschwindigkeit des Hintergrundfeldes 10 m/srp Radius, bei der der Aufwind auf 1/e abgefallen ist 50mRadarI(D) Intensitat des Strahls auf der Strahlachse W/m2

Ωs Raumwinkelelement unter dem der Streukorper 1.25·10−7srdie Satellitenschussel sieht

rs Radius der Satellitenschussel 0.6 m

Tabelle 5.1: In der Beschreibung des Radar-Simulators verwendete Variablen.

5.2. DIE PARTIKEL 71

Die weiteren Klassen sind weniger strukturgebende Hilfsklassen, wie dieReprasentation der Zeit und ein 3d-Vektor.

5.2. Die Partikel

In der Klasse Particle werden alle wesentlichen Parameter eines Partikelszusammengefasst. Eine Instanz reprasentiert hier jedoch nicht einen einzel-nen Partikel, sondern ein Volumen von Partikeln mit gleichen Eigenschaf-ten. Diese Eigenschaften sind Position, Geschwindigkeit, Radius, Dichte undStreuparameter. Dieses Vorgehen halt die Zahl der notwendigen Berechnun-gen relativ klein und ermoglicht gleichzeitig uber die Variation des Volumensdie realistische Darstellung von Großenverteilungen.

Neben Funktionen, um diese Parameter abzufragen, enthalt diese Klas-se die Flugbahnberechnung. Dabei gibt es die Moglichkeit einfachen Flugohne Reibung anzunehmen und, um realistische Flugbahnen zu berechnen,die Funktion move with friction. Diese verwendet Newtonsche und Sto-kes’sche Reibung in einem Runge-Kutta-Verfahren um Positionen und Ge-schwindigkeiten der Partikel uber die Zeit fortzuschreiben. Dabei wird einWindfeld angenommen, das von der Klasse Atmosphere zur Verfugung ge-stellt wird.

Nach Demidowitsch et al. (1968) ist das Runge-Kutta-Verfahren fureine Differentialgleichung der Form

y′ = f(x, y) y(x0) = y0(5.1)

unter Verwendung der Schrittweite h und der Notation

xi = x0 + ih yi = y(xi)

und von

k(i)1 = hf [xi, yi] ,(5.2a)

k(i)2 = hf

[xi +

h

2, yi +

k(i)1

2

],(5.2b)

k(i)3 = hf

[xi +

h

2, yi +

k(i)2

2

],(5.2c)

k(i)4 = hf

[xi + h, yi + k

(i)3

](5.2d)

durch

(5.3) yi+1 = yi +16

(k

(i)1 + 2k(i)

2 + 2k(i)3 + k

(i)4

)gegeben. Dieses Verfahren verwende ich um mit der Beschleunigung dieGeschwindigkeit fortzuschreiben. Die Veranderung der Position berechneich uber den Durchschnitt der Geschwindigkeiten am Anfang und Endeeines Zeitschrittes.

Die Betrachtungen zur Reibung entstammen im Wesentlichen Meschede(2002), finden sich jedoch in fast allen Lehrbuchern zur Mechanik. Fur hohe


Geschwindigkeiten gilt die Newtonsche Reibung, die durch

(5.4) FR,N = −12cW ρlAv

2v

gegeben ist, und die der Bewegung entgegen gerichtet ist. cW ist der Stro-

v steht fur den Einheitsvektor

in v-Richtung.

mungswiderstandskoeffizient, der von der Form des Korpers abhangt. Her-zog (1998) gibt fur Silikatpartikel unter Berufung auf Carey und Sparks(1986) einen Wert von cW ≈ 0.75 an. Der fur die Berechnungen gewunschtecW -Wert kann in der Konfigurationsdatei frei gewahlt werden. Generell istder cW -Wert fur stromlinienformigere Objekte kleiner, fur weniger stromli-nienformige Objekte großer. ρl ist die Dichte der Luft, A und v sind Quer-schnittsflache und Geschwindigkeit des Objektes relativ zu dem es umgeben-den Medium. Fur ein kugelformiges Objekt der Dichte ρs und des Radius rergibt sich fur die daraus resultierende Beschleunigung

(5.5) aR,N =FR,Nm

= −12cW

ρlρs

4πr243πr

3v2v = −1

6cW

ρlρs

v2

rv .

Die fur diese Berechnungen benotigte Dichte der Luft stellt die KlasseAtmosphere zur Verfugung

Fur niedrige Geschwindigkeiten ist die Verwendung der Stokes’scherReibung sinnvoller. Sie ist uber

(5.6) FR,S = −6πηrv

gegeben, wobei η die Viskositat des Mediums ist. Fur die Beschleunigunggilt somit:

(5.7) aR,S =FR,Sm

= −92η

vr2

.

Die fur diese Berechnungen notwendige Viskositat wird von der Atmo-spharen-Klasse zur Verfugung gestellt.

Ich berechne immer die Reibung mit beiden Effekten und verwendedann die starkere Reibung. Dieses ist eine vereinfachte Variante des in Her-zog (1998) verwendeten Verfahrens, der die terminale Sinkgeschwindigkeitim Ubergangsbereich zwischen den beiden Reibungsregimen mit

(5.8) vterm = kρs

√ρ0

ρlr ,

einer empirischen Formel, die er aus Rogers und Yau (1989) entnimmt be-rechnet. Dabei ist k = 8 m3/kg/s empirisch bestimmt und ρ0 = 1.12 kg/m3

der die Referenzgasdichte. Im weiteren verwendet er das Minimum der mitden drei Gleichungen erhaltenen Geschwindigkeiten. (5.8) lasst sich jedochnicht nach der Beschleunigung auflosen, daher muss ich auf ihre Verwendungverzichten und beschranke mich auf Newtonsche und Stokes’sche Reibung.

Bei der Verwendung von zu großen Zeitschritten kann es im Runge-Kutta Verfahren fur kleine Partikel zu numerischen Instabilitaten kommen.Diese haben zur Folge, dass Partikel beschleunigt werden, statt zu verlang-samen. Das Problem lasst sich durch die Wahl eines kleineren Zeitschrittesbeheben.

5.4. DIE ATMOSPHARE 73

5.3. Der Partikel-Generator

Die Klasse Particle generator erzeugt, verwaltet und entfernt die Instan-zen von Particle. Sie liest bei der Initialisierung die Konfigurationsdateiqradar.conf ein. In ihr wird festgelegt, wann wie viele Partikel mit wel-chen Eigenschaften erstellt werden. Jeden Zeitschritt werden die Partikelaufgefordert, ihre neue Position zu berechnen. Daraufhin wird die Liste derPartikel auf Eintrage uberpruft, die unter eine Mindesthohe gefallen sind.Diese werden als gelandet betrachtet und aus dem Modell entfernt.

Bei der Generierung der Partikel wird eine Weibull-Großenverteilungangenommen. Sie wurde beispielsweise von Weibull (1951) und Marzanoet al. (2006b) erfolgreich auf vulkanische Asche angewandt. Eine Beschrei-bung der Verteilungsfunktion gebe ich in Abschnitt 2.8. Die Weibull-Ver-teilung wird dadurch eingebracht, dass uber ein in der Konfigurationsdateivorgegebenes Radiusintervall gleichverteilt Instanzen der Partikelklasse er-stellt werden, deren Volumen dann wiederum uber die Haufigkeit, mit derPartikel dieses Radius in der Weibull-Verteilung auftreten, festgelegt wird.

Die Anfangsgeschwindigkeiten werden gleichmaßig zwischen einer Mini-mal- und einer Maximalgeschwindigkeit verteilt und fur die Eruption kannein Offnungswinkel ϑmax vorgegeben werden. Dieser ist relativ zur Senk-rechten. Die Partikel werden dann gleichmaßig uber alle Winkel zwischen0 und ϑmax verteilt, so dass sie zwar uber ϑ gleichverteilt sind, auf einRaumwinkelelement dΩ, das nah an der z-Achse liegt jedoch mehr Partikelentfallen, als auf eines, das in der Nahe von ϑmax liegt.

Die genaue Verteilung auf Winkel, Radii und Geschwindigkeiten erfolgtzufallig, sodass jeder Modelllauf bei gleicher Konfiguration zwar ahnliche,aber nicht vollig identische Ergebnisse liefert. Bei Verwendung einer Par-tikelzahl von uber 1 000 sind sich die Ergebnisse schon sehr ahnlich, uber10 000 sind kaum noch Unterschiede feststellbar.

Zwei Beispiele fur Verteilungen des Volumens zeigt Abb. 5.1. Im Ver-gleich zur Weibull-Verteilung der Radii (vgl. Abb. 2.7) ist die Verteilung derVolumina nach rechts verschoben, da das Volumen mit der dritten Potenzdes Radius wachst. Aufgrund der in Abschnitt 3.3 besprochenen Effektefallt der großte Volumenanteil im Allgemeinen nicht mit der maximalenRuckstreuung zusammen.

5.4. Die Atmosphare

Die Klasse Atmosphere stellt die von den anderen Klassen benotigten At-mosphareneigenschaften zur Verfugung. Konfigurationsparameter erhalt sievon der Klasse Setting.

In meinen Berechnungen fur den Luftdruck nehme ich eine isother-me Atmosphare mit einer Temperatur von 300K und einem Luftdruck von1013 hPa auf Meeresniveau an. Das Atmospharenmodell entstammt Kraus


r/m

V/m

³

0 0.01 0.02 0.030

20

40

60

80

100

120

140

160reflectivity

4000350030002500200015001000500

/m²

(a) Radiusverteilung des Santiaguito-Laufes (Abschnitt 5.9) mit einem Gesamtvolumen von 40

000m3, Durchschnittsradius 3mm, Minimalradius 0.8mm, Maximalradius 3cm und 1000 Instanzen

von Particle.

r/m

V/m

³

0 0.01 0.02 0.03 0.040

5

10

15

20

25

30

reflectivity

16014012010080604020

/m²

(b) Radiusverteilung des Colima-Laufes (Abschnitt 5.10) mit einem Gesamtvolumen von 10 000m3,

Durchschnittsradius 7mm, Minimalradius 0.6mm, Maximalradius 4cm und 1000 Instanzen von

Particle.

Abbildung 5.1: Verteilung des Volumens auf die Radii fur die beiden in Ab-

schnitt 5.9 und Abschnitt 5.10 besprochenen Laufe des Simulators. reflectivity

steht fur den auf 1 sr normierten Ruckstreuquerschnitt. Aufgrund der Radiu-

sabhangigkeit der Reflektionskonstante fallt die maximale Reflektivitat im All-

gemeinen nicht mit dem maximalen Volumen zusammen.

5.4. DIE ATMOSPHARE 75

(2004). Die Temperatur habe ich so gewahlt, dass fur Colima, Mexiko rea-listische Werte fur den Luftdruck erreicht werden. Fur den Luftdruck p inder Hohe z gilt in einer isothermen Atmosphare der Temperatur T

(5.9) p = p0 exp[−g z − z0

RlT

],

wobei p0 der Referenzdruck an der Stelle z0 ist, und

(5.10) Rl = R0Ml ≈ 287J/kg/K

die spezielle Gaskonstante fur Luft. R0 ist die allgemeine Gaskonstante undML die molare Masse von Luft.

Fur die Viskositat eines Gases gilt nach Meschede (2002):

(5.11) η =13nMvl,

wobei n die Teilchenzahldichte, M die molare Masse, v die durchschnittlicheGeschwindigkeit und l die mittlere freie Weglange ist. Da letztere inverszur Teilchenzahldichte ist, und die durchschnittliche Partikelmasse fur Luftauch nicht von den außeren Gegebenheiten abhangt, lasst sich

(5.12) η ∼ v

verwenden. Aus der Thermodynamik erhalt man (Pauli, 1958)

(5.13) v =

√8RTπm

und somit

(5.14) v ∼√T .

Es lasst sich also

(5.15) η = η0

√T

T0

verwenden. Meschede (2002) gibt fur Luft bei T0 = 0C einen Wert vonη0 = 1.74 · 10−5Ns

m2 an.

Fur die Dampfung der Welle betrachte ich nur den geometrischen Aus-breitungsverlust. Er betragt in jeder Richtung 1

r2 . Die Intensitat I0(ϑ, ϕ)des ausgehenden Radarstahls im Abstand D0 normiere ich so, dass das In-tegral uber eine senkrecht auf dem Strahl stehende Ebene den Gesamtfluss1 liefert. Die Intensitat in einer Entfernung D ist dann

(5.16) I(D,ϑ, ϕ) =I0(ϑ, ϕ)D2

0

D2

Die vom Partikel reflektierte Strahlung ist auf die bei ihm eintreffendeIntensitat und einen Raumwinkel von 1 sr normiert. Der Raumwinkel Ωs


unter dem der Partikel die Satellitenantenne mit Radius rs sieht, lasst sichfur große Abstande des Partikels als

(5.17) Ωs =πr2sD2

nahern. Insgesamt betragen die Ausbreitungsverluste also πr2sD20

D4 .Echte Dampfungsverluste in der Atmosphare vernachlassige ich, es ware

jedoch problemlos moglich, an dieser Stelle anzusetzen, um etwaige Korrek-turen anzubringen. In Skolnik (1970) findet man Darstellungen von Ab-sorptionskurven, aus denen sich bei einer Frequenz von 22.2GHz (MVR-4:24 GHz) ein Wert von 1dB fur ein 3km entferntes Objekt ablesen lasst.Dieses entspricht einem Verlust von ca. 20% der Energie. Diese Frequenzliegt genau in einem Absorptionsband von Wasser, somit ist die Dampfungvon der Luftfeuchtigkeit abhangig. Seine Berechnungen beruhen auf einerBodenluftfeuchtigkeit von 7.5g/m3, Werte zwischen 2 und 20 g/m3 seienrealistisch. Des Weiteren verweist er auf den dampfenden Einfluss von Re-gen.

Bei der Windgeschwindigkeit uberlagere ich eine senkrecht uber demKrater aufsteigende, zylindrische Windsaule, deren Windgeschwindigkeitexponentiell mit dem Quadrat des Abstandes von der Mittelachse der Erup-tionssaule abnimmt, mit einem im gesamten Umfeld geltenden Windfeld.Die beiden Geschwindigkeiten, sowie der Radius der Windsaule werden vonder Klasse Setting aus der Konfigurationsdatei qradar.conf ausgelesen.Ist roff der Abstand von der Mitte der Windsaule, vp die Geschwindigkeitin der Mitte der Windsaule, rp der Radius, bei dem vp auf 1

e abgefallen ist,und vW,∞ das Hintergrund-Windfeld, so gilt:

(5.18) vW (roff) = vp exp[−(roff/rp)2

]z + vW,∞ .

Dieses Modell ist durch Carey und Sparks (1986) inspiriert und bewussteinfach gehalten, da die Modellierung der Eruptionsdynamik nicht Themadieser Arbeit ist.

5.5. Der Radar-Strahl

Fur den Strahl nehme ich einen exponentiellen Abfall der Intensitat mitdem Quadrat des Abstandes von der Strahlmitte an. Ich gehe davon aus,dass der Radar-Stahl in einem Winkel von 0.75 gegen die Strahlachse auf 1

e

seiner Intensitat auf der Achse abgefallen ist. Dieses basiert auf Messungender Intensitatsverteilung am Vulkan Santiaguito.

5.6. Die Streuung

Mittels des Fortran-Programms zur Berechnung der Mie-Streuung, das ichvon Stefan Kinne erhalten habe, werden Streukoeffizienten fur ein Volumen

5.8. DIE AUSGABE 77

von einem Kubikmeter mit vorgegebener dielektrischer Konstante und ver-schiedenen Radii berechnet. Die Ergebnisse werden dem Radar-Simulatorals fertige Tabelle zur Verfugung gestellt. Zwischen den darin enthaltenenWerten fur vorgegebene Radii wird linear interpoliert. Werden kleinere Radiibenotigt, so wird vom unteren Ende der Verteilung mit Rayleigh-Streuungextrapoliert. Fur zu große Objekte wird vom oberen Ende mit geometrischerOptik extrapoliert. Es muss fur jede verwendete Dielektrizitatskonstanteeine solche Tabelle vorliegen. Zur Erstellung habe ich ein Python-Skriptgeschrieben, welches wiederum das Fortran-Programm ansteuert und dieErgebnisse in ein vom Simulator verwendbares Format bringt.

5.7. Die Signalbearbeitung

Neben den Ruckstreueigenschaften der Partikel spielt die realistische Abbil-dung der Signalbearbeitung die entscheidende Rolle in der Erzeugung dersynthetischen Spektren. Um das Uberschreiben realistisch zu simulieren,berechne ich beim Start des Programms Fourierkoeffizienten von Kosinus- Das einmalige Berechnen der

Koeffizienten am Anfang eines

Programmlaufes bringt enorme

Rechenzeitersparnisse.

Schwingungen, auf die ein Gauß-Fenster wie in Abschnitt B.3 angewandtwurde auf einem engen Frequenzraster. Die so erhaltenen Werte werden qua-driert und die Quadrate auf eine Summe von eins normiert. Das Quadrierenerfolgt, da ich in meinem Programm mit Intensitaten statt mit Amplitudenarbeite und somit auch diese Faktoren quadriert werden mussen. Im Wei-teren verwende ich sie als Tabelle, um die Verteilung der von einem Par-tikel zuruckgestreuten Energie auf die Abstandsintervalle festzulegen. DasUberschreiben im Geschwindigkeitsbereich simuliere ich nicht, da die Effek-te auf die Daten hier minimal sind. Fur hinreichend hohe Partikelzahlenerhalte ich auch ohne explizites Uberschreiben im Geschwindigkeitsbereicheine gleichmaßige Verteilung der Energie auf die Geschwindigkeiten. Somitist der Unterschied in den erzeugten Daten verschwindend gering.

5.8. Die Ausgabe

Als Ausgabeformat verwende ich das Datenformat des MVR-4. Die Dateimit den Daten im MVR-4-Format erhalt einen Dateinamen nach dem Sche-ma qradar yyyymmdd HHMMSS.raw. Zusatzlich werden die Spektren im vongetspectra verwendeten Ausgabeformat als 00000000 00.dat abgespeichert, getspectra und bmpwrite sind

Programme, die auf Malte

Voges mvr db import beru-

hen und zusammen in sehr

kurzer Zeit Ubersichtsbilder

aus Radar-Daten erzeugen

konnen. Das von ihnen ver-

wendete Binarformat besteht

aus einer Aneinanderreihung

von Datensatzen im For-

mat int64 time (µs), int32

num lines, unsigned char

data[num lines]. Alle wei-

teren Parameter werden in

bmpwrite.cfg spezifiziert.

so dass sie sofort mit bmpwrite in eine bitmap-Datei umgewandelt werdenkonnen. Die Werte in den MVR-4-Spektren sind vom Typ unsigned int (32Bit). Sie sind so normiert, dass INT MAX (232 − 1) der vollstandigen Reflek-tion der vom Radar abgestrahlten Energie entspricht. In 00000000 00.dat

wird jeder Wert als unsigned char (8 Bit) gespeichert. Werte, die Großerals 255 sind, werden auf 255 gesetzt. Des Weiteren besteht die Moglichkeit,die Partikeleigenschaften in einer Textdatei, die von TecplotTM ausgelesenwerden kann, auszugeben. Dieser Vorgang erhoht jedoch die Laufzeit extremund kann zu einer sehr großen Ausgabedatei fuhren.


5.9. Die Konfigurationsdatei und ein Beispiellauf

Um den Simulator anzusteuern, verwende ich eine Konfigurationsdatei. Die-se heißt qradar.conf. In ihr wird das Verhalten des Simulators festgelegt.Alle Angaben in dieser Datei sind in SI-Einheiten. Zeiten sind relativ zumStart des Simulationslaufes. In Tabelle 5.2 liste ich alle Variablen mit ihrenBedeutungen auf.

Eine Konfigurationsdatei mit der bei Messungen am Santiaguito, Gua-temala verwendeten Geometrie stelle ich in Abb. 5.6 dar. Bei diesen Mes-sungen stand das Radar oben auf dem Vulkan Santa Marıa und war aufden tiefer gelegenen Krater Santiaguito gerichtet. Die Perspektive des Ra-dars zeige ich in Abb. 5.2. In Abb. 5.3 – 5.5 zeige ich die Ergebnisse einesModellaufes mit der Konfigurationsdatei aus Abb. 5.6.

Mit output positions wird festgelegt, ob die Positionen der Parti-kel mit ausgegeben werden sollen. Hierbei wird das Wort false als neininterpretiert, ansonsten gelten die ublichen Konventionen, dass 0 und lee-re Variablen false bedeuten und alle anderen Werte als true gewertetwerden. Uber output skip lasst sich die Frequenz, mit der Spektren be-rechnet und ausgegeben werden verringern. output skip kontrolliert auchdie Haufigkeit, mit der die Partikeleigenschaften ausgegeben werden. Dasuberspringen von Ausgabeschritten verkurzt die Rechenzeit erheblich underspart unnotige Datenmengen.

Es folgt die Sektion pulses in der die Pulse der Reihe nach unterein-ander aufgefuhrt werden. Dabei gibt die Zahl am Anfang einer Zeile an,welchem Puls ein Parameter zuzuordnen ist. Am Ende des Blockes steht dieAngabe size. Sie gibt an, bis zu welcher Nummer die hier gelisteten Pulseberucksichtigt werden sollen. Der Punkt, an dem die Partikel eingebrachtwerden, wird relativ zur Mitte der Aufwindzone (plume center) angege-ben. Der Offnungswinkel ist relativ zur Senkrechten. Die Weibull-Verteilungwird uber den Formfaktor k (radius weibull shape), den durchschnittli-chen Radius (radius mean) und das Volumen (Volume), sowie uber denMinimal- und Maximalradius (radius min bzw. radius max), bis zu denenPartikel eingebracht werden, bestimmt. Die Anzahl der Partikel ist eineObergrenze fur die verwendeten Instanzen von Particle. Fur jeden der nZeitschritte mit time begin ≤ t ≤ time end werden particles/n Partikelin das Modell eingebracht, wobei die Division hier als Ganzzahl-Division zubetrachten ist. Das durchschnittliche Volumen der einzelnen Partikel wirdsowohl fur das hier mogliche fehlen von Partikeln, als auch fur das durchdie abgeschnittene Weibull-Distribution fehlende Volumen kompensiert. Dasich die Volumina jedoch uber die Zufallsverteilung der Partikelradii bestim-men kann es hier immer zu leichten Abweichungen kommen. Dieser Effektverringert sich jedoch fur große Partikelzahlen. Uber die Variable type las-sen sich verschiedene Formen der Verteilung der Partikel und Geschwindig-keiten uber die Eruptionsdauer realisieren. Zur Zeit sind es sawtooth und

5.9. DIE KONFIGURATIONSDATEI UND EIN BEISPIELLAUF 79

Abbildung 5.2: Blick von Santa Marıa auf Santiaguito. Die Perspektive stimmt

weitgehend mit der in der Beispiel-Konfigurationsdatei verwendeten uberein.

Das Foto habe ich am 12. 04. 2007 aufgenommen.


0.0 2e-08 4e-08 6e-08 8e-08 1e-07 1.2e-07

Empfangene Energie / gesendete Energie

(a) Sortierung, wie sie von der DFT ausgegeben wird, zur Interpretation von hohen Geschwindigkeiten.

(b) Anordnung der Koeffizienten um v=0 zur Interpretation von positiven und negativen Geschwindigkeiten.

Abbildung 5.3: Ergebnisse eines Modellaufes mit der in Abb. 5.6 dargestell-

ten Konfigurationsdatei. Die Zeit ist in Sekunden, die ruckgestreute Energie ist

relativ zur vom Radar ausgestrahlten. Weiß ist null und Schwarz wird zur Mar-

kierung von v=0 und an Stellen verwendet, an denen der Darstellungsbereich

uberschritten wird.


x/m

z/m

2350 2400 2450 2500 2550 2600

-1200

-1150

-1100

-1050

-1000

-950

radius

4.0E-022.5E-021.6E-029.9E-036.2E-033.9E-032.4E-031.5E-039.6E-046.0E-04

/m

(a) Die Positionen der Partikel fur drei Zeitschritte in die xz-Ebene projiziert

x/m

y/m

2350 2400 2450

0

50

100

radius

4.0E-022.5E-021.6E-029.9E-036.2E-033.9E-032.4E-031.5E-039.6E-046.0E-04

/m

(b) Die Positionen der Partikel fur drei Zeitschritte in die xy-Ebene projiziert

Abbildung 5.4: Die Partikelflugbahnen der simulierten Eruption. Dargestellt

werden die Positionen nach einem Drittel, zwei Dritteln und am Ende der in

Abb. 5.3 dargestellten Messung. Der Krater befindet sich in (2405, 0, -1225),

das Radar in (0, 0, 0). Die Partikel werden in (2355,0,-1225) eingebracht.


x/m

z/m

2250 2300 2350 2400 2450 2500

-1200

-1150

-1100

-1050

-1000

-950

echo_intensity

1E-081E-091E-101E-111E-121E-131E-141E-15

(a) Die Positionen der Partikel fur drei Zeitschritte in die xz-Ebene projiziert

x/m

y/m

2350 2400 2450

0

50

100

echo_intensity

1E-081E-091E-101E-111E-121E-131E-141E-15

(b) Die Positionen der Partikel fur drei Zeitschritte in die xy-Ebene projiziert

Abbildung 5.5: Die Verteilung der Echo-Energien. Ansonsten analog zu

Abb. 5.4.


rectangle (default). Bei sawtooth werden das Volumen und die Maximal-geschwindigkeit der Partikel linear uber die Dauer einen Pulses gesenkt,sodass sich eine dreieckformige Verteilung der Startgeschwindigkeiten uberdie Zeit ergibt. Bei Verwendung von rectangle bleiben die Werte konstant.

In der Sektion radar config werden die Parameter eingestellt, die dasRadar betreffen. Dazu gehort der Zielpunkt. Er wird in einem Koordinaten-system, in dem sich das Radar in (0, 0, radar height) befindet, angegeben.Das gleiche Koordinatensystem wird fur die Kratermitte (plume center)verwendet. swp muss mindestens das Doppelte der Anzahl der betrachtetenAbstandsintervalle (rangegates used) sein. Fur diese werden die Berech-nungen der Spektren durchgefuhrt.

Partikel, die unter floor level fallen, werden als gelandet betrach-tet und aus dem Modell entfernt. Ist die Variable nicht gesetzt, so wirdplume center z verwendet. Der Radius um die Kratermitte, in dem derAufwind auf 1

e abgefallt, wird uber plume radius festgelegt.Mittels start time kann eine Startzeit fur die Ausgabedaten festgelegt

werden. Geschieht dies nicht, so wird die Systemzeit zum Zeitpunkt desStartes des Programmlaufes in UTC verwendet.

In Abb. 5.3 sieht man eine Eruption die in etwa in 2700 m Entfernung vom Die beiliegende CD enthalt

sowohl eine Datei mit den

Positionen eines 1000-Partikel-

Laufes, als auch daraus ge-

nerierte Videos, die den zeit-

lichen Verlauf der Eruption

wiedergeben.

Radar stattfindet. Die Abstandsintervalle des Radars sind 1000m lang. DieAusgabedaten sind in Abb. 5.3(a) noch nicht fur die Interpretation von ne-gativen Geschwindigeiten umsortiert. Daher erscheinen die Koeffizienten derauf das Radar zu gerichteten (positiven) Geschwindigkeiten in jedem Ab-standsintervall links, die von ihm weg gerichteten (negativen) Geschwindig-keiten rechts. Was aussieht, wie ein zusammenhangender Bereich um v = 0ist in Wirklichkeit auf zwei Intervalle verteilt. In Abb. 5.3(b) ist dieses Pro-blem fur den Hauptteil der Daten behoben. Bei den schnellen Partikeln zuBeginn des Pulses zeigt sich jedoch, dass es sich insgesamt nicht um einenzusammenhangenden Datensatz handelt, sondern jedes Intervall in sich pe-riodisch ist.

Abb. 5.4 gibt eine Idee vom zeitlichen Verlauf der Eruption. Die kleinenPartikel (blau) werden in x-Richtung verweht, wobei sie durch den Aufwindaufsteigen und dabei nach Korngroßen sortiert werden. Die großen Partikel(rot) fliegen ballistisch in alle Richtungen und werden dabei nur leicht vomWind beeinflusst. In Abb. 5.5 zeige ich die Verteilung der Echoanteile aufdie Partikel. Sie ergibt sich aus den Reflektionskoeffizienten der einzelnenPakete, der Strahl-Intensitat und dem geometrischen Ausbreitungsverlust.Man erkennt den Strahl des Radars, das sich in (0, 0, 0) befindet. Durchdie verschieden großen Reflektionskoeffizienten bei den verschiedenen Ra-dii (vgl.Abb. 5.1(a)) wird er jedoch verzerrt dargestellt. Der Einfallswinkelbetragt -27.


[ output ]output positions Ausgabe von Partikeleigenschaften in positions.dat booloutput skip Nur alle output skip Zeitschritte [1]

wird ein Spektrum berechnet und ausgegeben.Betrifft auch die Ausgabe der Partikeleigenschaften

[ pulses ]density Dichte des Materials kg/m3

offset i Abstand in i-Richtung von der Mitte des Kraters, i ∈ x, y, z mopening theta max Offnungswinkel der Eruption gegen die Senkrechte (0− 180)

particles Gesamtanzahl der zu erstellenden Partikel 1radius max Maximaler Partikelradius mradius mean Durchschnittlicher Partikelradius mradius min Minimaler Partikelradius mradius weibull shape Formfaktor der Weibull-Verteilung der Radii [1]refractive index imag Imaginarteil des Brechungsindexes [1]refractive index real Realteil des Brechungsindexes [1]time begin Startzeit des Pulses stime end Endzeit des Pulses stype Eruptionstyp stringvel max Maximalgeschwindigkeit der Partikel beim Start m/svel min Minimalgeschwindigkeit der Partikel beim Start m/svolume Gesamtvolumen der an dem Puls beteiligten Partikel m3

size Anzahl der Pulse in der Konfigurationdatei [1][ radar config ]aim i Zielpunkt des Radars, i ∈ x, y, zdv Große eines Geschwindigkeits-Intervalls m/slambda Wellenlange des Radars mlpr Anzahl der Geschwindigkeiten in jedem Abstandsintervall [1]radar dish radius Radius der Satellitenschussel mradar height Hohe des Radars uber dem Meeresspiegel mrangegate length Lange eines Abstandsintervalles mrangegates used Anzahl der Abstandsintervalle, [1]

fur die die Rechnungen durchgefuhrt werdenswp Anzahl der Abtastpunkte pro Durchlauf [1][ setting ]atmospheric temperature Temperatur der Atmosphare Katmospheric viscosity Viskositat der Atmosphare Ns/m2

drag coefficient Stromungswiderstandskoeffizient [1]floor level Hohe, unter der Partikel aus dem Modell entfernt werden mplume center i Position der Kratermitte, i ∈ x, y, z mplume radius Radius des Aufwindbereiches uber dem Krater mplume speed Zusatzliche Windgeschwindigkeit in z-Richtung m/s

oberhalb des Kraterswind speed i Windgeschwindigkeit in i-Richtung , i ∈ x, y, z m/s[ time ]duration Dauer der Simulation stimestep Lange eines Zeitschrittes sstart time optional, gibt die Startzeit in s seit 01.01.1970 vor s

Tabelle 5.2: Bedeutung der Variablen in der Konfigurationsdatei.


1 [output]

output_positions=false

3 output_skip =3

5 [pulses]

1\ density =2000

7 1\ offset_x =-50

1\ offset_y =0

9 1\ offset_z =0

1\ opening_theta_max =25

11 1\ particles =10000

1\ radius_max =3.0e-2

13 1\ radius_mean =3e-3

1\ radius_min =0.8e-03

15 1\ radius_weibull_shape =1.5

1\ refractive_index_imag =0.0204

17 1\ refractive_index_real =2.5

1\ time_begin =0.01

19 1\ time_end =4

1\type=rectangle

21 1\ vel_max =40

1\ vel_min =10

23 1\ volume =3

size=1

25

[radar_config]

27 aim_x =2405

aim_y =0

29 aim_z =2475

dv=0.1

31 lambda =0.012

lpr =256

33 radar_dish_radius =0.3

radar_height =3700

35 rangegate_length =1000

rangegates_used =6

37 swp =32

39 [setting]

atmospheric_temperature =300

41 atmospheric_viscosity =1.82e-5

drag_coefficient =0.75

43 plume_center_x =2405

plume_center_y =0

45 plume_center_z =2475

plume_radius =50

47 plume_speed =20

wind_speed_x =5

49 wind_speed_y =0

wind_speed_z =0

51

[time]

53 duration =20

timestep =.01

55 start_time =1194779460

Abbildung 5.6: Beispiel-Konfigurationsdatei.


5.10. 3D-Messungen

Um dreidimensionale Geschwindigkeitsdaten zu erhalten, bieten sich gleich-zeitige Messungen mit mehreren identischen Geraten an. Dabei betrachtetman den gleichen Punkt aus verschiedenen Richtungen. Somit erhalt manverschiedene Richtungskomponenten der Geschwindigkeiten und kann dar-aus einen Geschwindigkeitsvektor konstruieren. Das Problem dabei ist, dasssich nicht alle Partikel mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Rich-tung bewegen und sich die Radargerate bei ihren Messungen nicht auf einenPunkt beschranken, sondern in einem Bereich entlang des Strahlweges mes-sen. Daher erhalt man nicht einfach einen 3D-Vektor sondern einen Bereich,in dem sich die Werte bewegen.

Als Beispielfall verwende ich hier ahnlich dem Volcan Fuego de Coli-

(c)

(b)(a)

Abbildung 5.7: Der Vulkan

(Mitte) mit der in Windrich-

tung verdriftenden Aschewolke

und die drei Radargerate (a),

(b) und (c). Die Buchstaben

entsprechen den in Abb. 5.8–

5.10 und im Text verwendeten.

ma, Mexiko. Ich ordne drei Radargerate in 120 Abstanden um den Kraterdes Vulkans an und richte sie auf den gleichen Punkt oberhalb des Kra-ters aus (Abb. 5.7). Ich werde sie im Folgenden analog zur Skizze mit (a),(b) und (c) bezeichnen. Da der Simulator in seiner aktuellen Fassung nurein Gerat erlaubt, werden drei Modelllaufe mit hohen Partikelzahlen nach-einander durchgefuhrt. Sie sind in ihren Eigenschaften weitestgehend ver-gleichbar. Die Unterschiede zwischen den Laufen sind in der Regel deut-lich geringer als das Datenrauschen bei echten Messungen. Die Parame-ter, die angepasst werden mussen, sind die Horizontalkomponenten von aim

und plume center. Sind die Gerate nicht alle auf der gleichen Hohe, so istzusatzlich radar height anzupassen. Die Konfigurationsdateien gebe ich inAnhang C.1 an. Sie sind zusatzlich auf der beigelegten CD enthalten. Ergeb-nisse eines solchen Dreifachlaufes zeige ich in Abb. 5.8 – 5.10. In Abb. 5.8lasst sich erkennen, dass die Partikel auf Gerat (a) zugeweht werden undsich am starksten von (b) entfernen. (c) kann die Eruption nur sehr kurzerfassen, da die Partikel vom Wind aus seinem Sichtfeld geweht werden (vgl.Abb. 5.10(c)). Dieses ist ein Artefakt der Wahl eines festen Startpunktes derPartikel genau unterhalb des Messpunktes und des starken Seitenwindes undwurde bei einer Eruption wie der in Abb. 1.1 dargestellten nicht in diesemAusmaß auftreten. Den Verlauf der Eruption skizziere ich in Abb. 5.9. Erlasst sich wesentlich besser in den Videos auf der beigelegten CD erken-nen. Man sieht jedoch bereits in der Abbildung die vertikale Sortierung der Zusatzlich zu den Videos

enthalt die CD auch die Da-

teien mit den Positionsdaten

aus den Laufen. Mit ihnen las-

sen sich unter Verwendung von

TecplotTM beliebige Darstel-

lungen generieren.

Korngroßen. Ein Vergleich mit Abb. 5.10 zeigt, dass (a) deutlich großerePartikel als (b) sieht. Die Verteilung des Volumens auf die Radii zeige ichin Abb. 5.1(b).

5.10. 3D-MESSUNGEN 87

0.0 2e-08 4e-08 6e-08 8e-08 1e-07 1.2e-07


(a) Die Eruption aus Sicht eines 30 Grad gegen den Wind gerichteten Radars.

(b) Die Eruption aus Sicht eines 30 Grad mit dem Wind gerichteten Radars.

(c) Die Eruption aus Sicht eines 90 Grad zum Wind gerichteten Radars.

Abbildung 5.8: 3D-Messungen. Die Zeit ist in Sekunden, die ruckgestreute

Energie ist relativ zur vom Radar ausgestrahlten. Weiß ist null und Schwarz

wird zur Markierung von v=0 und an Stellen verwendet, an denen der Darstel-

lungsbereich uberschritten wird. Die Konfigurationsdateien beschreibe ich in

Anhang C.1.


x/m

z/m

-300 -200 -100 0 100 2001000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

radius

4.0E-022.5E-021.6E-029.9E-036.2E-033.9E-032.4E-031.5E-039.6E-046.0E-04

/m

(a) Die Eruption in die x-z-Ebene projiziert.

x/m

y/m

-150 -100 -50 0 50-2100

-2050

-2000

-1950

-1900radius

4.0E-022.5E-021.6E-029.9E-036.2E-033.9E-032.4E-031.5E-039.6E-046.0E-04

/m

(b) Die Eruption aus der Sicht eines Satelliten.

Abbildung 5.9: Eine Skizze des Verlaufes des Modelllaufes der 3D-Messung.

Dargestellt werden 4 Zeitschritte 2, 8, 14 und 20 Sekunden nach Start der Erup-

tion in einem Bild. Diese ordnen sich aufgrund des Windes von rechts nach links

an. Der Ausgangspunkt der Eruption befindet sich in (0, -2000, 1400). Farbco-

diert ist der Radius der Partikel. Auf der beiliegenden CD befinden sich Videos,

in denen sich der zeitliche Verlauf besser erkennen lasst.

5.10. 3D-MESSUNGEN 89

x/m

z/m

1400 1500 1600 1700 1800 1900

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

echo_intensity

1E-081E-091E-101E-111E-121E-131E-141E-15

(a) Die Verteilung der Echo-Intensitaten fur das 30 Grad gegen den Wind gerichtete Radar. Der

Ausgangspunkt der Eruption befindet sich in (1732, 1400).

x/m

z/m

-2000 -1900 -1800 -1700 -1600

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

echo_intensity

1E-081E-091E-101E-111E-121E-131E-141E-15

(b) Die Verteilung der Echo-Intensitaten fur das 30 Grad mit dem Wind gerichtete Radar. Der

Ausgangspunkt der Eruption befindet sich in (-1732, 1400).


x/m

z/m

-300 -200 -100 0 100 200

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

echo_intensity

1E-081E-091E-101E-111E-121E-131E-141E-15

(c) Die Verteilung der Echo-Intensitaten fur das 90 Grad zum Wind gerichtete Radar. Der Ausgangs-

punkt der Eruption befindet sich in (0, 1400).

Abbildung 5.10: Verteilung der Echo-Intensitaten fur die verschiedenen

Gerate. Dargestellt werden jeweils 4 Zeitschritte 2, 8, 14 und 20 Sekunden nach

Start der Eruption in einem Bild. Diese ordnen sich aufgrund des Windes von

rechts nach links an. Farbcodiert ist der Radius der Partikel. Auf der Beiliegen-

den CD befinden sich Videos, in denen sich der zeitliche Verlauf besser erkennen

lasst.

5.11. MEHRFREQUENZMESSUNGEN 91

5.11. Mehrfrequenzmessungen

Misst man mit mehreren Frequenzen so lasst sich die Frequenzabhangigkeitder Ruckstreukoeffizienten nutzen, um, wie in Abschnitt 3.7 gezeigt, dieKorngroße der Streukorper abzuschatzen. Ein Beispiel einer solchen Mes-sung zeige ich anhand der im letzten Abschnitt verwendeten Eruption undRadar (a) und (b) in Abb. 5.11 und Abb. 5.12.

Auf den ersten Blick sieht man bei (a), dass bei λ = 24 mm und λ = 48mm die hochste Sensibilitat fur die an der Eruption beteiligten Partikelvorliegt. Damit lasst sich, unter Verwendung der Wellenlangenabhangigkeitder Ruckstreuung, die in Abb. 3.2 bzw. Abb. 3.4, dargestellt ist, sofort eineAbschatzung des durchschnittlichen Partikelradius vornehmen. In Abb. 5.12liegt das Maximum bei λ = 24 mm, wahrend die Echos bei λ = 12 mm undλ = 48 mm in etwa gleich stark sind. Die im letzten Abschnitt angesproche-nen verschiedenen Partikelradii in den Sichtfeldern der beiden Instrumente(vgl. Abb. 5.9 und 5.10) schlagen sich auch in dieser Messung nieder.

Vergleicht man bei Gerat (a) die beiden Abbildungen fur λ=12 mm(Abb. 5.11(a)) und λ=96 mm (Abb. 5.11(d)), so sieht man, dass das Ma-ximum der Ruckstreuung bei λ=96 mm weiter in den positiven (rechten)Geschwindigkeitsbereich ragt. Dieses liegt daran, dass die großeren Partikelvom Aufwind weniger stark beeinflusst werden und somit eher auf das Ra-dar zu fallen, als vom Wind nach oben und somit von ihm weg verweht zuwerden. Bei den dazwischen liegenden Wellenlangen ist dieser Effekt, wiezu erwarten, weniger deutlich sichtbar.


0.0 2e-08 4e-08 6e-08 8e-08 1e-07 1.2e-07


(a) Messung mit 12mm Wellenlange.

(b) Messung mit 24mm Wellenlange.

(c) Messung mit 48mm Wellenlange.

(d) Messung mit 96mm Wellenlange.

Abbildung 5.11: Messungen mit den gleichen Einstellungen wie in Abb. 5.8(a)

bis. Abb. 5.10(a) und verschiedenen Wellenlangen. Die durchschnittliche Korn-

große betragt 7mm. Die Zeit ist in Sekunden, die ruckgestreute Energie ist re-

lativ zur vom Radar ausgestrahlten. Weiß ist null und Schwarz wird zur Mar-


uberschritten wird. Die Konfiguration wird in Anhang C.1 beschrieben.

5.11. MEHRFREQUENZMESSUNGEN 93

0.0 2e-08 4e-08 6e-08 8e-08 1e-07 1.2e-07


(a) Messung mit 12mm Wellenlange.

(b) Messung mit 24mm Wellenlange.

(c) Messung mit 48mm Wellenlange.

(d) Messung mit 96mm Wellenlange.

Abbildung 5.12: Messungen mit den gleichen Einstellungen wie in Abb. 5.8(b)

bis. Abb. 5.10(b) und verschiedenen Wellenlangen. Die durchschnittliche Korn-

große betragt 7mm. Die Zeit ist in Sekunden, die ruckgestreute Energie ist re-

lativ zur vom Radar ausgestrahlten. Weiß ist null und Schwarz wird zur Mar-


uberschritten wird. Die Konfiguration wird in Anhang C.1 beschrieben.

KAPITEL 6

Zusammenfassung

Im Rahmen meiner Arbeit habe ich die fur Dopplerradarmessungenan vulkanischen Aschewolken relevanten Prozesse untersucht und in einemProgramm nachgebildet. Dazu zahlen insbesondere die Theorie der Streuungvon elektromagnetischen Wellen sowie die Signalbearbeitung im Radar.

Die Betrachtungen zur Streutheorie haben gezeigt, dass das Radar einenvon seiner Wellenlange vorgegebenen, bevorzugten Partikelradius hat, beidem es am sensibelsten arbeitet. Dieser liegt fur vulkanische Asche in etwabei einem Sechstel der verwendeten Wellenlange. Fur Partikel, die wesentlichgroßer oder kleiner sind, ist es — bezogen auf deren Masse — weitgehendblind (Abschnitt 3.3).

Will man die Korngroßen der Streukorper aus ihren Reflektivitaten be-stimmen, so benotigt man mindestens zwei Gerate, die bei verschiedenenWellenlangen arbeiten. Je weiter man diese auseinander wahlt, desto besserist die Auflosung, jedoch gerat man leicht in die oben angesprochene Blind-heitsproblematik (Abschnitt 3.7). Am robustesten und praktikabelsten er-scheint die Verwendung von einem ganzen Satz verschiedener Wellenlangen,wie ich sie in Abschnitt 5.11 zeige. Hierbei erhalt man auch zusatzliche In-formationen uber die Flugbahnen verschieden großer Partikel.

Als weiterfuhrende Arbeit bietet es sich an, die aus den Mie-Rechnungenerhaltenen Streueigenschaften mit denen von anders geformten Partikeln zuvergleichen. Eine Moglichkeit dazu liegt in der Verwendung von DDSCAT(Draine und Flatau, 2004). Weniger aufwendig ware es, unter Verwendungder Mie-Theorie Partikel, die aus einem von Wasser oder Eis umgebenenAschekern bestehen, zu simulieren. Die Bildung solcher Partikel in Erupti-onsaulen wird in Textor et al. (2006a,b) beschrieben. Um die Flugbahnender Partikel realistischer zu gestalten, ließe sich ein Eruptionssaulenmodelleinbinden.

Bereits jetzt lassen sich jedoch durch Vergleiche von synthetischen mitgemessenen Daten Aussagen uber die beteiligten Korngroßen machen undInterpretationen der gemessenen Daten uberprufen. Auch ist es moglich,Konzepte wie 3D-Messungen oder Mehrfrequenzverfahren in der Theorie zutesten.

95

Danksagung

An dieser Stelle mochte ich mich noch bei einigen Personen und Ge-genstanden bedanken, die mir bei der Erstellung dieser Arbeit besondershilfreich waren. Dazu zahlen

• mein Betreuer, Matthias Hort, der mir dieses interessante The-ma gegeben und mich standig mit Ratschlagen und neuen Ideenversorgt hat.

• mein Zweitbetreuer Gerhard Peters, der mich unter anderem mitwertvollen Literaturhinweisen versehen hat.

• Stefan Kinne, von dem ich das Programm zur Berechnung der Mie-Streuung und Anleitung zu seiner Benutzung bekommen habe.

• Bernd Fischer, der das Radar programmiert hat und mir Detai-linformationen zur Signalbearbeitung und den Ausgabedaten ge-geben hat.

• Christel Mynarik, die gute Seele des Institutes. Wie oft stand ichmit kleinen und großeren Wunschen und Bitten in ihrem Buro...

• meine Espressomaschine und mein Laptop — ohne sie ware dieseArbeit nicht moglich gewesen.

• Lea Scharff, mit der ich das Radar in Colima aufgebaut habe undmit der ich im Laufe meiner Zeit in Hamburg und Colima vielewertvolle Diskussionen hatte. Auch sie hat mir beim Korrekturle-sen der Arbeit viele gute Ratschlage zur Verbesserung gegeben.

• Lars Krieger, mit dem man nicht nur großartig Kicker spielen undKaffee trinken, sondern auch viele erhellende Gesprache uber Ma-thematik, Physik und das Leben als solches fuhren kann und derimmer fur Fragen zur Verfugung stand und beim Korrekturlesenviele Fehler und Unzulanglichkeiten aus meiner Arbeit entfernthat.

• Jorg Haubrichs (Behorde fur Design, Hamburg), das andere Endemeines ICQ-Fensters, von dem ich viel uber Layout und Darstel-lung gelernt habe. Samtliche Layoutverbrechen in dieser Arbeitsind rein mir zuzuschreiben, dass es nicht schlimmer ist, ist hinge-gen sein Verdienst.

• Pia Pulm, mit der ich wahrend vieler Kaffeepausen uber die ver-schiedensten Dinge diskutiert habe, und mit der man wunderbarGrillen und Kochen kann.

97

98 DANKSAGUNG

• Malin Klawonn, mit der ich mir lange das Buro geteilt habe undviele Interessante Gesprache beim Kaffee hatte

• Sebastian Heimann, der mich, wie auch Jorg Haubrichs, in derKunst der Schlangenbeschworung unterrichtete, sodass ich denFortran-Code mit Python umwickeln konnte, und der mir die Ar-beit mit Subversion naher brachte.

• die gesamte Arbeitsgruppe Geodynamik fur das extrem gute AG-Klima und das Institut fur Geophysik, Hamburg, sowie mein neuesZuhause, das Max-Planck-Institut fur Meteorologie, Hamburg.

• die MitarbeiterInnen der ZMAW-Bibliothek fur eine tolerante Aus-legung der Ausleihfristen.

• die Reinigungskrafte des Geomatikums, die verhindert haben, dassich in meinem eigenen Dreck und Mull ersticke.

• CIS, dank derer ich immer ein gut gefulltes /home/ und vielfaltigeMoglichkeiten, darauf zuzugreifen hatte.

• die MitarbeiterInnen der Stabi sowie der Jura-Bib, wo ich vieleerkenntnisdienliche Stunden verbracht habe.

• die Macher von Google und die Autoren der Beitrage von Wikipe-dia. Ohne sie hatte ich mindestens doppelt so lange gebraucht.

• meine Kleinen, fur und durch deren Mathematik-Tutorium ich vielgelernt habe.

• die Bewohner des DRK-Studentenwohnheims und Lisa Kurth, diemir ein neues Dach uber dem Kopf gegeben hat.

• die Jongleure aus dem Haus3 und die Greenpeace-Gruppe Ham-burg.

• Randal Munroe, der Macher von http://xkcd.com, fur gute Un-terhaltung an Montagen, Mittwochen und Freitagen.

• Thomas Sokolowski, Samuel Grandhyll und Andreas Dosch, durchdie das Grundstudium machbar und eine sehr schone Zeit wurde,sowie der damalige FSR Physik der Universitat Saarbrucken.

• meine Eltern, die mich entgegen der Empfehlung meiner Bielefel-der Grundschullehrerin auf’s Gymnasium geschickt haben.

• alle, die ich jetzt vergessen habe!

Special thanks to John Alexander Stevenson, Gemma Gwyne, AndrewChiquuuuuuuiiiit Browning, Martin Jutzeler, Andrea Steffke, Hanika Rizoand all the other students I met during my stay in Colima. Congratulatitonsto John and Martin for convincing me that geology can actually be fun ifyou do it on a volcano.

¡Tambien muchısimas gracias a la gente Mexicana y Gualtemalteca paraun tiempo increible en sus paıses! ¡Un saludo a al Crustaceo Cascarudo yLos hijos de la mama bulinga, especialmente a La Sella!

http://xkcd.com

DANKSAGUNG 99

http://xkcd.com/26

http://xkcd.com/26

ANHANG A

Erganzende Betrachtungen zur Mie-Theorie

Im Folgenden werde ich einige Betrachtungen zur Mie-Theorie aus Stratton(1941) darstellen, die ich aus Grunden der Ubersichtlichkeit nicht in Kapitel2.6 dargestellt habe. Dabei verzichte ich weitgehend auf die Kennzeichnungder einzelnen Zitate.

A.1. Spharische Vektorfunktionen

Die spharischen Vektorfunktionen gehen aus den spharischen Besselfunktio-nen und den Kugelflachenfunktionen hervor, die wiederum die (assoziierten)Legendre-Polynome enthalten. Die folgenden Betrachtungen sind eine Mi-schung aus denen von Stratton (1941) und Fließbach (2004).

Setzt man, wie Stratton, die Wellengleichung Fließbach verwendet bei sei-

ner Separation die schoneren

Bezeichnungen und Schreib-

weisen, fuhrt die Rechnun-

gen jedoch an der Laplace-

Gleichung, also ohne k2-Term

durch, wahrend Stratton mit

der Wellengleichung arbei-

tet. Ich kombiniere daher die

beiden Herleitungen zu einer

hoffentlich lesbaren Herleitung

anhand der Wellengleichung.

(A.1) ∇2Ψ + k2Ψ = 0

an, betrachtet das Problem in Kugelkoordinaten und macht den in der No-menklatur und Durchfuhrung von Fließbach ubernommenen Separationsan-satz

(A.2) Ψ(r, ϑ, ϕ) =U(r)r

P (cos(ϑ)) Q(ϕ) ,

so erhalt man(A.3)

PQ1r

d2

dr2U+UQ

1r3 sin(ϑ)

ddϑ

(sin(ϑ)

ddϑP

)+UP

1r3 sin2(ϑ)

d2

dϕ2Q+

k2

rUPQ = 0 .

Der von ϕ abhangige Teil lasst sich durch Multiplikation mit r3 sin2(ϑ)UPQ ab-

spalten und es ergibt sich(A.4)1Q

d2

dϕ2Q = −r2 sin2 ϑ

1U

d2

dr2U − sin(ϑ)

1P

ddϑ

(sin(ϑ)

ddϑP

)− r2 sin2(ϑ)k2 .

Fließbach verwendet als Separationskonstante zwischen den beiden vonein-ander unabhangigen Seiten der Gleichung −m2. Fur Q(ϕ) erhalt er somit

(A.5)d2

dϕ2Q+m2Q = 0 ,

was auf Da man nach dem Superposi-

tionsprinzip die Losung einer

linearen homogenen Gleichung

als beliebige Linearkombinati-

on von einzelnen homogenen

Losungen darstellen kann,

genugt es, exp (imϕ) zu be-

trachten und fur m sowohl po-

sitive, als auch negative Werte

zuzulassen.

(A.6) Q(ϕ) = eimϕ

101

102 A. ERGANZENDE BETRACHTUNGEN ZUR MIE-THEORIE

fuhrt. Aus der Forderung, dass Q mit 2π periodisch sein muss, da jedemPunkt im Raum genau ein Wert zugeordnet wird, folgt

(A.7) m ∈ Z .

Fließbach wendet sich nun der rechten Seite der Gleichung zu. NachDivision durch sin2(ϑ) und Umstellen erhalt man hier

(A.8) r21U

d2

dr2U + r2k2 = − 1

P

1sin(ϑ)

ddϑ

(− sin(ϑ)

ddϑP

)+

m2

sin2(ϑ).

Wieder sind beide Seiten voneinander unabhangig und mit der Separations-konstante λ erhalt man unter Verwendung der Substitution

x = cos(ϑ) ,ddx

= − 1sin(ϑ)

ddϑ

(A.9)

nach einigen Umformungen die beiden Gleichungen

(A.10) r2d2

dr2U(r) + r2k2U(r)− λU(r) = 0

und

(A.11)ddx

((1− x2)

ddxP (x)

)+(λ− m2

1− x2P (x)

)= 0 .

Als Losungen fur P unter der Bedingung m = 0 leitet Fließbach imFolgenden die Legendre-Polynome her. Auch diese Herleitung gebe ich weit-gehend unverandert wieder. Fur m = 0 lasst sich (A.11) als

(A.12) (1− x2)d2

dx2P (x)− 2x

ddxP (x) + λP (x) = 0

darstellen. Durch einen Potenzreihenansatz

(A.13) P (x) =∞∑l=0

alxl

erhalt Fließbach aus (A.12)

(A.14)∞∑l=0

[al+2(l + 2)(l + 1)− al(l − 1)l − 2lal + λal]xl = 0 .

Da die xl voneinander linear unabhangig sind, muss fur jedes l der Koeffi-zient verschwinden

(A.15) al+2(l + 2)(l + 1)− al(l + 1)l + λal = 0 ,

und somit

(A.16) al+2 =l(l + 1)− λ

(l + 2)(l + 1)al .

Es bleiben die Wahl von a0 und a1 als Freiheitsgrade. Aus ihnen ergebensich die hoheren geraden bzw. ungeraden Koeffizienten nach (A.16). Damitdie Reihe (A.13) fur x = 1 konvergiert, obwohl

(A.17) liml→∞

al+2

al= 1 ,

A.1. SPHARISCHE VEKTORFUNKTIONEN 103

muss sie abbrechen. Dieses geschieht genau dann, wenn im Zahler

(A.18) λ = l(l + 1)

gilt. Auf diese Art kann jedoch nur eine der beiden Teilfolgen terminiertwerden. Die jeweils andere muss somit von Anfang an null sein, also

(A.19) λ = l(l + 1) ,l = 0, 2, 4, ... und a1 = 0l = 1, 3, 5, ... und a0 = 0 .

Fur jedes l ∈ N ergibt sich eine Losung Pl , die durch die Wahl von a0 bzw.a1 skaliert werden kann. Durch die Forderung Pl(1) = 1 sind die Legendre-Polynome schließlich eindeutig bestimmt. Eine explizite Darstellung ist Die l-fache Ableitung des Po-

lynomes von Grad 2l ergibt ein

Polynom von Grad l.(A.20) Pl(x) =1

2ll!dl

dxl(x2 − 1)l .

Die sich daran anschließende Herleitung der assoziierten Legendre-Poly-nome furm > 0 entnehme ich wiederum Stratton (1941). Dieser differenziert(A.12) mit λ = l(l + 1):

(1− x2)d2

dx2P (x)− 2x

ddxP (x) + l(l + 1)P (x) = 0

m-fach nach x und erhalt mit

(A.21) ψl :=dm

dxmPl ,

(A.22)dm

dxm

[2x

ddxPl

]= 2m

dm

dxmPl + 2x

ddx

dm

dxmPl = 2mψl + 2x

ddxψl ,

und

dm

dxmx2 d2

dx2Pl = x2 d2

dx2

dm

dxmPl + 2mx

ddx

dm

dxmPl +m(m− 1)

dm

dxmP

= x2 d2

dx2ψl + 2mx

ddxψl +m(m− 1)ψl

(A.23)

die Gleichung

(A.24) (1− x2)d2

dx2ψl − 2(m+ 1)

ddxψl + [l(l + 1)−m(m+ 1)]ψl = 0 .

Da (A.12) von Pl erfullt wird, und die Gleichheit auch nach m-fachem Dif-ferenzieren gilt, wird (A.24) von ψl = dm

dxmPl erfullt. Schreibt man nun

(A.25) ψl =: (1− x2)−m2 fl ,

so wird aus (A.24)

(1− x2)d2

dx2

[(1− x2)−

m2 fl]− 2(m+ 1)

ddx[(1− x2)−

m2 fl]

+ [l(l + 1)−m(m+ 1)][(1− x2)−

m2 fl]

= 0 .(A.26)

Mit

(A.27)ddx[(1− x2)−

m2 fl]

= (1− x2)−m2

ddxfl +mx(1− x2)−

m+22 fl


und

(1− x2)d2

dx2

[(1− x2)−

m2 fl]

= (1− x2)−m2

·[(1− x2)

d2

dx2fl + 2mx

ddxfl +

(m(m+ 2)x2

(1− x2)+m

)fl

](A.28)

ergibt sich hieraus nach Multiplikation mit (1− x2)m2

(A.29) (1− x2)d2

dx2fl − 2x

ddxfl +

[l(l + 1)− m2

1− x2

]fl = 0

Die Losungen von (A.12) sind die Legendre-Polynome Pl(x) . Nachm-fachem Ableiten von (A.12) und unter Verwendung der Schreibweiseψl(x) := dm

dxmPl(x) erhalt man (A.24),. Klammert man nun (1 − x2)m2 aus

ψl aus, so erhalt man fl und die Gleichung (A.29). Diese ist jedoch von ihrerStruktur her wieder wie (A.11), wobei λ = l(l + 1) . Somit lost

(A.30) Pml (x) := fl(x) = (1− x2)m2

dm

dxmPl(x)

(A.11) mit λ = l(l + 1) . Diese Definition hat jedoch den Nachteil, dass sienur fur positive m anwendbar ist. Sie lasst sich jedoch durch Betrachtungder Definition von Pl(x) in (A.20)

Pl(x) =1

2ll!dl

dxl(x2 − 1)l .

leicht in eine auch fur negative m gultige Form bringen:

(A.31) Pml (x) :=1

2ll!(1− x2)

m2

dl+m

dxl+m(x2 − 1)l .

Diese Gleichung lasst sich fur −l ≤ m ≤ l verwenden. Fur den Beweis derVollstandigkeit der Darstellung verweist Mishchenko auf Jackson (1998),Stratton verweist auf Courant und Hilbert (1931).

Es bleibt die Losung der Radialkomponente (A.10)

r2d2

dr2U(r) + r2k2U(r)− λU(r) = 0 .

Hier beschranke ich mich darauf, die Losungen anzugeben. Diese sind diespharischen Besselfunktionen, die sich in der von Mishchenko et al. (2002,Anhang C) verwendeten Nomenklatur als

(A.32) jn(x) = xn(− 1x

ddx

)n( sin(x)x

),

und

(A.33) yn(x) = −xn(− 1x

ddx

)n(cos(x)x

)schreiben lassen, sowie die daraus konstruierten Hankelfunktionen erster

(A.34) h(1)n (x) = jn(x) + iyn(x)

A.1. SPHARISCHE VEKTORFUNKTIONEN 105

und zweiter Art

(A.35) h(2)n (x) = jn(x)− iyn(x) .

Das jl(kr) Gleichung (A.10) mit λ = l(l + 1) lost, lasst sich leicht mitvollstandiger Induktion zeigen. Offensichtlich gilt dieses dann analog auchfur yl(kr) und die daraus abgeleiteten Hankelfunktionen. Betrachtungen zurVollstandigkeit dieser Darstellung finden sich wieder in Courant und Hilbert(1931). Die jl sind im Ursprung regular, wahrend die Hankelfunktionen dieseBedingung im Unendlichen erfullen (Stratton, 1941).

Die Losungen der Wellengleichung (A.1)

∇2Ψ + k2Ψ = 0

lassen sich somit in der Form

(A.36) Ψ =∞∑l=0

l∑m=−l

(almjl(kr) + blmyl(kr))Pml (cos(θ))eimϕ

darstellen. Durch Kombination der Funktionen zu negativen und positivenm lassen sich unter Verwendung der Besselfunktionen die im Ursprung regu-laren Losungen

ψ(1)e =

∞∑l=0

∞∑m=0

almj(1)l (kr)Pml (cos(θ)) cos(mϕ) ,(A.37a)

ψ(1)o =

∞∑l=0

∞∑m=1

almj(1)l (kr)Pml (cos(θ)) sin(mϕ) ,(A.37b)

und unter Verwendung der Hankelfunktionen die im Unendlichen regularenLosungen

ψ(3)e =

∞∑l=0

∞∑m=0

almh(1)l (kr)Pml (cos(θ)) cos(mϕ) ,(A.38a)

ψ(3)o =

∞∑l=0

∞∑m=1

almh(1)l (kr)Pml (cos(θ)) sin(mϕ)(A.38b)

konstruieren. Der Index e steht dabei fur even, o fur odd und bezieht sichauf die ϕ-Komponente.

Somit erhalt man skalare Losungen der Wellengleichung, die in ihrerStruktur bereits den in der Mie-Theorie verwendeten spharischen Vektor-funktionen ahneln. Es fehlt jedoch noch der vektorielle Charakter. Die Bil-dung der vektorwertigen Funktionen erfolgt bei Stratton (1941) in KapitelVII. Ich werde sie im Folgenden skizzieren.

Aus einer skalaren Losung Ψ der Wellengleichung (A.1):

∇2Ψ + k2Ψ = 0

lassen sich vektorielle Losungen Offensichtlich lassen sich die

zusatzlichen Terme fur hinrei-

chend oft stetig differenzier-

bare Ψ in der Wellengleichung

vorziehen und ausklammern.

L = −∇Ψ , M = ∇× aΨ , N =1k∇×M(A.39)


konstruieren, wobei a ein konstanter Vektor ist. L ist als Gradientenfeldrotationsfrei, wahrend M und N nach Konstruktion quellenfrei sind und esgilt

(A.40) M = ∇× aΨ = L× a =1k∇×N

Wahrend fur konstantes a die Erfullung der Wellengleichung noch rechtoffensichtlich ist, zeigt Stratton (1941, Kap. VII.11), dass dies auch fur a = rgilt. Setzt man die einzelnen Summanden aus (A.37a) und (A.37b) in dieGleichungen fur M und N aus

L = −∇Ψ , M = ∇× rΨ , N =1k∇×M(A.41)

ein, so erhalt fur man

m(1)oemn

(r, ϑ, ϕ) = ± m

sin(ϑ)jn(r)Pmn (cos(ϑ)) cos

sin (mϕ)ϑ

−jn(r)∂Pmn∂ϑ

(cos(ϑ)) sincos (mϕ)ϕ ,

(A.42)

n(1)oemn

(r, ϑ, ϕ) =n(n+ 1)

rjn(r)Pmn (cos(ϑ)) sin

cos (mϕ)r

+1r∂r(rjn(r))

∂Pmn∂ϑ

(cos(ϑ)) sincos (mϕ)ϑ

± m

r sin(ϑ)∂r(rjn(r))Pmn (cos(ϑ)) cos

sin (mϕ)ϕ .

(A.43)

Diese Ausdrucke werden mit m = 1 in (2.61) bzw. (2.62) verwendet.Verwendet man (A.38a) und (A.38b), so erhalt man m(3)

oemn

und n(3)oemn

A.2. Stetigkeitsbedingungen an Grenzflachen

Stratton (1941) leitet in Kapitel 1.13 die Stetigkeitsbedingungen an Grenz-flachen her. Diese werden spater im Rahmen der Mie-Theorie benotigt, umdie Bestimmungsgleichungen der Expansionskoeffizienten aufzustellen. Ichwerde im Folgenden seine Betrachtungen wiedergeben.

Die Maxwell-Gleichungen gelten in Punkten, an denen die beteiligtenFunktionen stetig bzw. differenzierbar sind. An der Grenzflache zwischeneinem Korper und dem ihn umgebenden Medium andern sich die Materi-alkonstanten hingegen auf makroskopischer Skala unstetig. Betrachtet mannun diesen Ubergang jedoch als sehr schnellen, aber stetigen Ubergang miteiner Grenzschicht, so lassen sich die Maxwell-Gleichungen verwenden. Aus(2.1b):

∇×E = −∂tB

lasst sich mit dem Satz von Stokes fur das Integral der Rotation uber eineFlache (Abb. A.1)

dA

dl

A

Abbildung A.1: Die im Satz

von Stokes betrachtete Flache

A.

(A.44)∫A

dA · (∇× f) =∫∂A

dl · f ,

A.2. STETIGKEITSBEDINGUNGEN AN GRENZFLACHEN 107

die Gleichung fur die Induktion in einer Leiterschleife

(A.45)∫∂A

dl ·E = −∂t∫A

dA ·B

herleiten. Dabei ist f eine auf der Flache A differenzierbare Funktion, dA ∆b∆h

b

h

Abbildung A.2: Die Geo-

metrie, mit der der Satz von

Stokes auf den Rand der Kugel

angewandt wird.

steht in jedem Punkt senkrecht auf die Flache A und dl liegt in Laufrich-tung des Integrals auf dem Rand ∂A der Flache. Wendet man diese wie inAbb. A.2 gezeigt auf den Rand der Kugel an, und halt die zum Rand derKugel parallelen Seiten b so kurz, dass E entlang b als konstant angesehenwerden kann, so lasst sich die Gleichung als

(A.46) Eint · b∆b−Eext · b∆b+ Beitrage der Rander = −∂tB · A∆b∆h

schreiben. E int ist hierbei das Feld im inneren der Kugel und E ext das imAußenbereich. Die Beitrage der Rander sind proportional zu ihrer Lange ∆hund B ist der Mittelwert von B in dem betrachteten Gebiet. Nahert mansich nun mit den Seiten der Grenzflache und lasst ∆h gegen null laufen, soverschwinden aufgrund der Proportionalitat die Beitrage der Rander in derSumme und es ergibt sich

(A.47) (Eint −Eext) · b = lim∆h→0

−∂tB · A∆h

Die rechte Seite der Gleichung verschwindet aufgrund der Endlichkeit von∂tB im Grenzwert und somit auch die Differenz der elektrischen Feldkom-ponenten parallel zu b . Da das Rechteck beliebig um h gedreht werdenkann, gilt dies fur die gesamten Tangentialkomponenten von E . Diese sindalso an der Grenzflache stetig:

(A.48) h× (Eint −Eext) = 0

Die gleiche Betrachtung lasst sich auf (2.1d):

∇×H = J + ∂tD

anwenden. Hierbei ist jedoch auf der rechten Seite zusatzlich die Stromdich-te J zu beachten. Ist die Leitfahigkeit des Streukorpers jedoch endlich, soverschwindet auch der Strom und es gilt

(A.49) h× (Hint −Hext) = 0 .

ANHANG B

Endliche Fouriertransformationen

Bei einer Fouriertransformation (FT) wird eine Funktion f(t) in der Regelals

Im Exponenten sind sowohl

positives als auch negatives

Vorzeichen gebrauchlich. Ich

folge der Version von Mish-

chenko et al. (2002).

(B.1) f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞dω f(ω)e−iωt

uber ein Orthogonalsystem aus harmonischen Schwingungen eiωt mit einerKoeffizientenfunktion f(ω) dargestellt. Bei einer rein reellwertigen Funktionf(t) gilt f(−ω) = f(ω), da zu jeder Schwingung aeiωt die komplex konju-gierte Schwingung aeiωt = ae−iωt benotgt wird, um in der Summe einereellwertige Funktion zu erhalten.

B.1. Periodizitat

Bei einer endlichen Fouriertransformation wird ein Intervall [0, T ) betrachtet Ich verwende das halboffene

Intervall [0, T ), um Mehrdeu-

tigkeiten fur t = T zu vermei-

den.

und davon ausgegangen, dass die auf diesem Intervall definierte Funktionf(t) mit T periodisch sei (Abb. B.1).

Stimmt limt→T− f(t) nicht mit f(0) uberein, so ergibt sich eine Unste-tigkeitsstelle in t = T . Digital implementierte FT sind offensichtlich endlich.Somit stellt sich hier immer die Frage nach der Stetigkeit am Intervallende.

Durch die Anforderung, dass die betrachtete Funktion mit T periodischist, kommen fur ihre Darstellung nur Funktionen in Betracht, die auch mitT/n, n ∈ N periodisch sind. Es ergibt sich somit gezwungenermaßen ein

-2T -T 0 T 2T 3T0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Abbildung B.1: Auf (0, T ) definierte Gaußfunktion (durchgezogene Linie) und

ihre periodische Fortsetzung (gepunktet), wie sie von einer endlichen FT ange-

nommen wird.

109

110 B. ENDLICHE FOURIERTRANSFORMATIONEN

diskreter Satz von Basisfunktionen und f(t) lasst sich uber die Fourierreihe

(B.2) f(t) =∞∑

l=−∞

aleil 2π t

T , al ∈ C

darstellen.

B.2. Diskrete Fouriertransformationen

Bei einer diskreten Fouriertransformation (DFT) liegt das Eingangssignalnur an n diskreten Punkten vor. Zu seiner Darstellung genugen somit nTerme aus der Fourierreihe.

In allen folgenden Betrachtungen gehe ich davon aus, dass diese Punkteti aquidistant uber das Zeitfenster [0, T ) verteilt sind, und bei

(B.3) tj =jT

n, j ∈ 0, . . . , n− 1

liegen.Eine Schwingung, deren Phase sich zwischen zwei Abtastpunken um ein

Vielfaches von 2π andert, erscheint fur die DFT als konstant. Andert sichdie Phase um 2π + x so erscheint dieses wie eine Anderung der Phase umx. Schwingungen mit einer Frequenz von

(B.4) f =zn

T+ f0, z ∈ Z

erscheinen somit als Schwingungen mit einer Frequenz von f0. Das Spek-trum lasst sich daher als periodisch oder ringformig ansehen. Dieser Effektwird mit Aliasing bezeichnet. Bei der Signalbearbeitung von reellwertigenMessdaten wird er in der Regel durch einen Anti-Aliasing-Tiefpass im ana-logen Bereich, der bei der Nyquist-Frequenz

(B.5) fNy =n

2T

scharf abfallt, verhindert. Die Fourierkoeffizienten werden dann dem Bereichvon −fNy + 1

T bis fNy zugeschschrieben. Fur rein reellwertige Eingangsda-ten sind die Koeffizienten der negativen Frequenzen, wie am Beginn diesesAnhangs angesprochen, das komplex konjugierte der positiven Koeffizientenund werden daher von den gebrauchlichen Algorithmen fur die DFT vonreellwertigen Daten nicht mit ausgegeben.

Bei der DFT von reellen Daten ergibt sich bei der Nyquistfrequenzdas Problem, dass der Betrag des Fourierkoeffizienten von der der Phaseder Schwingung bei t = 0 abhangt, da nur der Kosinus-Anteil von derAbtastung erfasst wird, da die Abtastpunkte genau auf den Nullstellen derSinusfunktion liegen. Somit ist das Ergebnis der DFT bei dieser Frequenzreellwertig und sein Betrag neben der Amplitude auch von der Anfangsphasedes Signales abhangig.

B.4. UBERSCHREIBEN 111

B.3. Fenster-Funktionen

Um die Effekte durch Sprungstellen am Intervallende zu verringern, ver-wendet man sogenannte Fenster-Funktionen. Sie senken Anfang und Endevon f(t) stetig auf oder nah an null (Abb. 4.2(a)). Dieses verandert zwardie betrachtete Funktion ist aber insgesamt in der Regel weniger problema-tisch als die sonst zu erwartende Unstetigkeit durch nicht mit T periodischeSignalanteile (vgl. Abb. 4.2).

Die Multiplikation mit der Fenster-Funktion im Zeitbereich entsprichteiner Faltung mit ihrer Fouriertransformierten im Frequenzraum. Je breiterdas Fenster im Zeitbereich, desto schmalbandiger ist seine Fouriertrans-formierte (1 wird auf δ abgebildet und umgekehrt). Im Fall einer Gauß-Funktion ist die FT wieder eine Gauß-Funktion. Diese hat die angenehmenEigenschaften sehr glatt zu sein und schnell abzufallen. Eine Gauß-Funktionder Form

(B.6) g(x) = exp[− x2

2σ2

]wird von einer unendlichen FT auf eine der Form

(B.7) g(x) = σ exp[− (σx)2

2

]abgebildet. Bei der Verwendung der im MVR-4 verwendeten Gauß-Funktion

(B.8) g(t) = exp

[−1

2

(αt− T/2T/2

)2], α = 3

ergibt sich als Betrag der Fouriertransformierten

(B.9) |g(ω)| = exp

[−1

2

(Tω

2α

)2].

Ich verwende in der Darstellung den Betrag, da sich aus der Verschiebungdes Fensters um T

2 komplexwertige Vorfaktoren ergeben. Durch die endlicheDFT andert sich die Form der Transformierten der Gaußfunktion leicht,die Amplituden bleiben aber weitgehend erhalten. Ich zeige die im Radarverwendete Fensterfunktion und ihre Transformierte in Abb. B.2.

Erhoht man bei einer DFT die Anzahl der Abtastpunkte und halt da-bei die Dauer T eines Durchlaufes konstant, so bleiben die Differenzen δf

bzw. δω zwischen den aufgelosten Frequenzen konstant. Bei der Faltung imFrequenzraum sind somit die Koeffizienten, mit denen eine Frequenz auf diebenachbarte uberschreibt, von der Lange der DFT unabhangig, was ich inAbb. B.3 zeige.

B.4. Uberschreiben

In Abbildung Abb. B.3 stelle ich die Fourierkoeffizienten eines Kosinus mithalber Nyquist-Frequenz dar, der mit der oben beschriebenen Fensterfunkti-on multipliziert wurde. Wie oben angesprochen, andern sich die Koeffizien-ten der Nachbarfrequenzen des Eingangssignales nicht bzw. nicht wesentlich,


0 T/4 T/2 3T/4 T0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gauss

taper

15 10 5 0 5 10 15Nummer der Frequenz

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Betr

ag d

er

FFT

Abbildung B.2: Gauss-Taper und seine Fouriertransformierte fur eine DFT-

Lange von 32 Punkten. Die Fourierkoeffizienten wurden mit der Anzahl der Ab-

tastpunkte normiert.

wenn man die Lange der DFT verandert. Ich habe die Fourierkoeffizientenmit der Anzahl der Datenpunkte swp normiert, dass sich ein Gesamtbetragvon 1 ergibt.

In Abb. B.4 stelle ich die Uberschreibkoeffizienten fur verschiedene Fre-quenzen dar, die sich um ein Vielfaches von 1

T unterscheiden. Dabei halteich die Lange der DFT konstant. Man sieht, dass die Anderung der Frequenzum ein Vielfaches von 1

T außer einer Verschiebung des Maximums keinennennenswerten Einfluss auf die Betrage der Fourierkoeffizienten hat.

Ausnahmen bilden hier die Frequenzen bei 0 und fNy. In diesen Fallenschreiben bei einem reellwertigen Eingangssignal die beiden, bei den an-deren Frequenzen getrennten, Maxima aufeinander uber. Fangt man miteinem komplexwertigen Signal (e2πiωt) an, so ergibt sich nur ein Maximumim Spektrum. Auch der in der Mitte von Abb. B.4 auftretende Effekt, dassdas Maximum in der Fensterfunktion genau im Minimum der Daten eintritt,sodass trotz der Uberlagerung beider Maxima die Betrage der Fourierkoef-fizienten niedriger sind als bei den anderen Frequenzen, wird vermieden, daalle Punkte der Eingangsschwingung den Betrag eins haben. Dieses Problembetrifft genau die Nyquistfrequenz der reellwertigen DFT und die sie um-gebenden Frequenzen, die aufgrund der Fensterfunktion oder der Tatsache,dass sie nicht mit 1

T periodisch sind, darauf uberschreiben.

B.4. UBERSCHREIBEN 113

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Betrag der Fourierkoeffizienten

0 5 10 15 20 25 300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 10 20 30 40 50 600.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 20 40 60 80 100 1200.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 50 100 150 200 250Nummer der Frequenz

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10 12 141.0

0.5

0.0

0.5

1.0

24Punkte

cos(2π(fNy/2)t)

0 5 10 15 20 25 301.0

0.5

0.0

0.5

1.0

25Punkte

0 10 20 30 40 50 601.0

0.5

0.0

0.5

1.0

26Punkte

0 20 40 60 80 100 1201.0

0.5

0.0

0.5

1.0

27Punkte

0 50 100 150 200 250Nummer des Datenpunktes

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

28Punkte

Abbildung B.3: Kosinus-Funktionen fur Schwingungen mit halber Nyquist-

Frequenz und deren Fourierkoeffizienten nach Multiplikation mit einem Gauß-

Fenster fur verschiedene Langen der DFT. Die Fourierkoeffizienten wurden mit

der Anzahl der Abtastpunkte normiert.


0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Betrag der Fourierkoeffizienten

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14Nummer der Frequenz

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 161.0

0.5

0.0

0.5

1.0

f=2

.4/T

cos(2πft)

0 2 4 6 8 10 12 14 161.0

0.5

0.0

0.5

1.0

f=5

.4/T

0 2 4 6 8 10 12 14 161.0

0.5

0.0

0.5

1.0

f=8

.4/T

0 2 4 6 8 10 12 14 161.0

0.5

0.0

0.5

1.0

f=1

1.4

/T

0 2 4 6 8 10 12 14 16Nummer des Datenpunktes

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

f=1

4.4

/T

Abbildung B.4: Fourierkoeffizienten fur Schwingungen mit um ein Vielfaches

von 1T

verschiedenen Frequenzen. Die Schwingungen wurden vor der DFT mit

einem Gauß-Fenster multipliziert. Die Fourierkoeffizienten wurden mit der

Anzahl der Abtastpunkte normiert. Man beachte den Schwebungseffekt bei

f = 8.4/T , der durch die Fensterfunktion zu einer massiven Verringerung

des Gesamtechos fuhrt. Der Wert, den man fur Frequenzen in der Nahe der

Nyquist-Frequenz erhalt ist sehr stark von der Phase der Eingangsschwingung

abhangig.

ANHANG C

Erganzungen zu den synthetischen Messungen

C.1. Weitere Konfigurationsdateien

Die Simulationen der Messlaufe in Colima (Abb. 5.9 – Abb. 5.11) beruhenalle auf der gleichen Konfigurationsdatei(siehe Abb. C.1 fur (Abb. 5.8(a)bzw. Abb. 5.11(a))). Fur die Ausgabe der Positionsdaten habe ich die Par-tikelzahl auf 1000 reduziert.

Fur Abb. 5.8(b) habe ich folgende Modifikationen vorgenommen:

aim_x =-1732

aim_y =1000

plume_center_x =-1732

plume_center_y =1000

Fur Abb. 5.8(c) waren es

aim_x =0

aim_y =-2000

plume_center_x =0

plume_center_y =-2000

Fur Abb. 5.11 und Abb. 5.12 habe ich jeweils lambda auf die unter denBildern angegebenen Werte gesetzt.

C.2. Darstellungen der Daten

Im Folgenden werde ich anhand einiger Abbildungen Hinweise zur Interpre-tation von verschiedenen Darstellungen der Radar-Daten geben. Ich fangemit der Darstellung eines Datensatzes in der von der 2D-DFT ausgegebenenForm an und entwickle daraus die anderen moglichen Darstellungen.

In Abb. 4.5 habe ich gezeigt, wie aus den Schwingungen von aufein-anderfolgenden Durchlaufen durch Anwendung von Fensterfunktionen unddoppelte Fouriertransformation eine Matrix mit Abstanden und Geschwin-digkeiten gewonnen wird. Anfang und Ende dieser Schritte stelle ich inAbb. C.2 dar. Im Gegensatz zu Abb. 4.5 bilde ich in Abb. C.2 die Quadrateder Betrage der Fourierkoeffizienten. Dadurch entsprechen die dargestelltenDaten der vom Radar ausgegebenen spektralen Leistungsdichte. Von rechtsnach links sieht man in den Ergebnisdaten die Abstandsintervalle. In derVertikalen sind die Geschwindigkeiten aufgetragen. Ich nummeriere die Fou-rierkoeffzienten in der von der DFT ausgegebenen Reihenfolge. Die Indizes

115

116 C. ERGANZUNGEN ZU DEN SYNTHETISCHEN MESSUNGEN

1 [output]

output_positions=false

3 output_skip =10

5 [pulses]

1\ density =2000

7 1\ offset_x =0

1\ offset_y =0

9 1\ offset_z =0

1\ opening_theta_max =25

11 1\ particles =10000

1\ radius_max =4.0e-2

13 1\ radius_mean =7e-3

1\ radius_min =6e-04

15 1\ radius_weibull_shape =1.5

1\ refractive_index_imag =0.02197

17 1\ refractive_index_real =2.458

1\ time_begin =0.01

19 1\ time_end =1

1\type=rectangle

21 1\ vel_max =40

1\ vel_min =10

23 1\ volume =1e4

size=1

25

[radar_config]

27 aim_x =1732

aim_y =1000

29 aim_z =3900

dv =0.25

31 lambda =0.012

lpr =256

33 radar_dish_radius =0.6

radar_height =2500

35 rangegate_length =600

rangegates_used =8

37 swp =32

39 [setting]

atmospheric_temperature =300

41 atmospheric_viscosity =1.82e-5

drag_coefficient =0.75

43 floor_level =3500

plume_center_x =1732

45 plume_center_y =1000

plume_center_z =3800

47 plume_radius =70

plume_speed =30

49 wind_speed_x =-10

wind_speed_y =0

51 wind_speed_z =0

53 [time]

duration =20

55 timestep =.01

start_time =1194779460

Abbildung C.1: Konfigurationsdatei fur die Colima-Laufe Abb. 5.8(a) und

Abb. 5.11(a)

C.2. DARSTELLUNGEN DER DATEN 117

0 5 10 15 20 25 30Nummer des Abtastpunktes

0

5

10

15

20

25

30

Num

mer

des

Durc

hla

ufe

s

Rohdaten

0 5 10 15 20 25 30Nummer des Abstandsintervalls

0

5

10

15

20

25

30

Num

mer

der

Gesc

hw

indig

keit

Ergebnisdaten

Abbildung C.2: Anfang und Ende der Signalbearbeitung im Radar. Links die

Rohdaten m(t) aufeinander folgender Durchlaufe. Blau entspricht maximal ne-

gativen, rot maximal positiven Werten. Die betrachtete Frequenz betragt 3/T

(horizontal), die Geschwindigkeit v = λ32T

, was zu einer vertikalen Frequenz von232

fuhrt. Im Gegensatz zu Abb. 4.5 werden die Betragsquadrate der Fourierko-

effizienten dargestellt. Diese entsprechen den im Leistungsspektrum ausgegebe-

nen Werten.

der negativen Koeffizienten lassen sich durch Subtraktion von 32 aus denhier dargestellten erhalten.

Man sieht die in Anhang B angesprochene Symmetrie in den Fourierko-effizienten. Diese lasst sich auf zwei Weisen deuten. Einerseit kann sie denAbstandsintervallen zugeschrieben werden, wie es bei den Radar-Daten ge-tan wird, andererseits ist es moglich, sie den Geschwindigkeiten zuschreiben.Die Entscheidung fur die im Radar verwendete Variante lasst sich wie folgt Mathematisch sind beide

Moglichkeiten gleichberech-

tigt, da sich die Integrationen

problemlos vertauschen lassen.

erklaren: Man erhalt keine Echos von hinter der Antenne und die Abstand-sintervalle konnen problemlos so gewahlt werden, dass hinter dem letztenIntervall keine Streukorper sind. Somit ist die Betrachtung negativer bzw.besonders weit entfernter Abstandsintervalle nicht notwendig. Insbesonderejedoch ist es sinnvoll, Geschwindigkeiten auf das Radar zu und von ihmweg zu betrachten. Daher wird im Radar erstere Variante gewahlt und diezweite Halfte der Abstandsintervalle als Spiegelung betrachtet.

Bis zur horizontalen Mitte sind die vom Radar verwendeten Abstands-intervalle 0-15 dargestellt. Darauf folgen Nyquistfrequenz und negative Ab-standsintervalle. Erzeugt ein Partikel ein Mischsignal m(t) mit einer Fre-quenz, die einem dieser negativen Intervalle zuzuordnen ist, so wandertdie Spiegelung (oben) seiner Daten in den normalen Darstellungsbereich.

118 C. ERGANZUNGEN ZU DEN SYNTHETISCHEN MESSUNGEN

0 5 10 15 20 25 30Nummer des Abtastpunktes

0

5

10

15

20

25

30

Num

mer

des

Durc

hla

ufe

s

Rohdaten

0 5 10 15 20 25 30Nummer des Abstandsintervalls

0

5

10

15

20

25

30

Num

mer

der

Gesc

hw

indig

keit

Ergebnisdaten

Abbildung C.3: Analog zu Abb. C.2, jedoch mit einer horizontalen Frequenz

von 29, die auch als f = −3 gelesen werden kann. Der Partikel erscheint in

Abstandsintervall 29 mit einer Geschwindigkeit von zwei und in Intervall drei

mit gespiegelter Geschwindigkeit.

Dort erscheint er mit negativer Geschwindigkeit was ich in (Abb. C.3) ex-emplarisch anhand eines Signals mit einer Frequenz von f = 29/T , diesich auch als f = −3/T interpretieren lasst, zeige. Die andere Interpre-tationsmoglichkeit, die auch im Radar gewahlt wird, ist, dem Signal einehorizontale Frequenz von drei zuzuweisen und eine vertikale von -2 bzw. 30.Wie man sieht, erscheinen sowohl die Eingangsdaten als auch die Ergeb-nisse gegenuber denen mit einer Frequenz von drei gespiegelt. Da bei den Offensichtlich hatte man den

gleichen Effekt man bei den

Abstandsintervallen, wenn

man alle Abstandsintervalle

und die Halfte der Geschwin-

digkeiten betrachten wurde.

Dieses entsprache einem hori-

zontalen Schnitt in den Abbil-

dungen.

Geschwindigkeiten der gesamte Wertebereich verwendet wird, erscheint einPartikel, der an einem Ende aus dem Bild wandert aufgrund der Periodizitatwieder am anderen Ende.

Eine gebrauchliche Moglichkeit, die Daten darzustellen, besteht darin,Die Geschwindigkeitsdaten der einzelnen Abstandsintervalle, also die Spal-ten dieser Matrixdarstellung, als eine lange Datenreihe zu betrachten undhintereinander zu hangen. Diese Darstellung zeige ich in Abb. C.4. Ich werdesie im Folgenden als 1D-Darstellung bezeichnen. Bei der Interpretation die-ser Darstellung muss man allerdings beachten, dass es sich hierbei nicht, wievon der Darstellung suggeriert, um eine kontinuierlich zusammenhangendeDatenserie handelt, sondern jedes der Abstandsintervalle in sich periodischist.

Will man mehrere dieser Datensatze gleichzeitig betrachten, um diezeitliche Entwicklung zu untersuchen, so bietet es sich an, die einzelnenDatensatze in 1-d Darstellung farbcodiert zu betrachten. Somit bildet ein

C.2. DARSTELLUNGEN DER DATEN 119

0 100 200 300 400 500Nummer des Intervalls * Anzahl der Geschwindigkeiten + Nummer der Geschwindigkeit

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Inte

nsi

taet

Abbildung C.4: Die einzelnen Spalten aus der linken Halfte der Ergebnisdaten

in Abb. C.2 hintereinander geschrieben. Man sieht, wie die raumliche Ausbrei-

tung des Maximums zu einem Hauptmaximum mit Nebenmaxima im Abstand

von 32, der Anzahl der Geschwindigkeitsschritte, wird.

Datensatz eine Zeile und es lassen sich mehrere Datensatze ubereinander alsBild mit der Zeit als y-Achse darstellen. Diese Darstellung verwende ich inKapitel 5 in den Abbildungen der synthetischen Messdaten (Abb. 5.3, 5.8,5.11).

In Abb. 5.3 sieht man das eben angesprochene Problem bei der 1D-Darstellung. Dadurch, dass die in sich periodischen Abstandsintervalle di-rekt nebeneinander dargestellt werden, erscheint der Datensatz einerseitszusammenhangend, weist aber an den Intervallgrenzen Unstetigkeitsstellenauf. In Abb. 5.3(a) sieht man die Unstetigkeit bei den scheinbar bei v = 0zusammenhangenden Daten, in Abb. 5.3(b) tritt sie bei den schnellen Par-tikeln auf. Die Daten lassen sich nur dann problemlos interpretieren, wenndie Geschwindigkeitsauflosung so gewahlt ist, dass es eine feste Geschwindig-keit gibt, die nie erreicht wird, und an der der Datensatz aufgetrennt werdenkann, wie beispielsweise in Abb. 5.8. Dieses ist in Abb. 5.3 nicht moglich,da zum einen sehr große positive, zum anderen jedoch auch negative Ge-schwindigkeiten erreicht werden, die beide auf die selben Fourierkoeffizientenabgebildet werden.

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theoretische betrachtungen zu dopplerradarmessungen an ... · faktor 10 gr¨oßere wellenl ¨ange...

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