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136
Théorème de Thalès
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires
3. Géométrie
3.1 Figures planesConfiguration de Thalès
Agrandissement et réduction.
[Reprise du programme de 4e]
– Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux paralèlles coupant deux droites sécantes.
– Connaître et utiliser un énoncé réciproque.
– Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.
Il s’agit de prolonger l’étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun.
La réciproque est formulée en tenant comte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque.L’utilisation d’un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d’approche ou d’étude du théorème et de sa réciproque.
Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu’ils sachent, dans des situations d’agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l’une des deux figures connaissant l’autre.En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture [MN] représente la muraille, [PQ] représente la perche
et O représente le piquet marquant l’emplacement de l’œil de Cyrus Smith. Les longueurs sont exprimées en pieds.
50015
10M
N
Q
P O
x
On a : P ∈ [OM], Q ∈ [ON] et (QP) // (MN).
Donc d’après la propriété de Thalès, on a : =OPOM
PQMN
.
D’où : =x
15500
10, soit : x =
5 00015
≈ 333 pieds.
Je prends un bon départ
QCM
1 B 2 A 3 B
4 C 5 A 6 C
7 SC3 Dans le triangle EDF : D ∈ [EG), F ∈ [EH) et (GH) // (DF).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
= =EGED
EHEF
HGFD
.
D’où : =59
4DF
, soit : DF = ×4 95
= 7,2 cm.
Et : =59
7EF
, soit : EF = ×7 95
= 12,6 cm.
8 SC3 1. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et la droite (IJ) parallèle à la droite (BC) coupe le côté [AC] en J. Donc d’après les théorèmes des milieux, J est le milieu de [AC].2. K est le milieu de [BC] et J est le milieu de [AC].D’après la définition d’une médiane, (BJ) et (AK) sont les médianes respectivement issues de B et A du triangle ABC.G étant le point d’intersection de ses deux médianes, il est le centre de gravité du triangle ABC.I est le milieu du côté [AB], donc (CI) est la médiane issue de C du triangle ABC.Le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes donc G appartient à la médiane (CI).On en déduit que les points C, G et I sont alignés.
© É
ditio
ns B
elin
, 201
2.©
Édi
tions
Bel
in, 2
012.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 137
points M et N par rapport à A, la droite symétrique de la droite (MN) par rapport à A est la droite (M’N’).Or, la symétrie transforme une droite en une droite parallèle.Donc : (MN) // (M’N’).On sait de plus que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.On en déduit que les droites (M’N’) et (BC) sont aussi parallèles.2. Dans le triangle ABC : M’ ∈ [AB], N’ ∈ [AC] et (M’N’) // (BC).Donc, d’après le théorème de Thalès dans un triangle,
on a : = =AM’AB
AN’AC
M’N’BC
.
3. • Le symétrique de M par rapport à A est M’, donc A est le milieu de [MM’], d’où : AM = AM’.• Le symétrique de N par rapport à A est N’, donc A est le milieu de [NN’], d’où : AN = AN’.• Les symétriques de M et N par rapport à A sont respectivement M’ et N’.Or la symétrie centrale conserve les longueurs, d’où : MN = M’N’.4. On sait que : AM = AM’, AN = AN’, MN = M’N’ et
= =AM’AB
AN’AC
M’N’BC
. On en déduit : = =AMAB
ANAC
MNBC
.
2 Objectif– Conjecturer la réciproque du théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie.– Démontrer cette réciproque dans un cas particulier.
A. 1. et 2. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages 16 à 19 de la boîte à outils.3. a.
9 SC3 1. Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], P ∈ [AC] et (MP) // (BC).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AMAB
APAC
MPBC
.
Dans le triangle ACD : P ∈ [AC], R ∈ [AD] et (PR) // (CD).Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
= =APAC
ARAD
PRCD
.
On en déduit : = = = =AMAB
MPBC
APAC
ARAD
PRCD
.
2. D’après 1, on a : =PRCD
AMAB
.
D’où : =PR10
45
, soit : PR = ×4 105
= 8 cm.
10 a. − =xx
3 14
x = 4(x − 3) x = 4x − 12 −3x = − 12 x = 4La solution de l’équation est 4.
b. = +x x25
23
3 × 2x = 5(x + 2) 6x = 5x + 10 x = 10La solution de l’équation est 10.
c. =−x
x27 5
2(x − 5) = 7x 2x − 10 = 7x −5x = 10 x = −2La solution de l’équation est −2.
Activités
1 Objectifs– Conjecturer le théorème de Thalès avec un logiciel de géométrie.– Démontrer ce théorème dans un cas particulier.
A. 1. a., b. et c. Pour la création de points, de droites et de segments avec GeoGebra, se reporter aux pages 16 à 19 de la boîte à outils.2. On remarque que dans les deux cas de figures :
= =AMAB
ANAC
MNBC
.
3. En déplaçant le point M sur la droite (AB) ou en déplaçant les points A, B ou C, on conserve l’égalité
des quotients : = =AMAB
ANAC
MNBC
.
4. On peut dire que lorsque deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les longueurs des côtés des triangles obtenus sont proportionnelles.B. 1. M’ et N’ étant les symétriques respectifs des
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2.
138
On trouve deux positions possibles pour le point N.b. Les conditions que doit vérifier le point N pour que les droites (MN) et (BC) soient parallèles sont :– les points A, N et C sont alignés dans le même ordre que les points A, M et B.
– les quotients AMAB
et ANAC
sont égaux.
B. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)
1. On sait que : =ABAM
ACAN
.
• M ∈ [AB], donc : AB = AM + MB • N ∈ [AC], donc : AC = AN + NC
Ainsi : AM MB
AMAN NC
AN+ = +
+ = +1MBAM
1NCAN
D’où : =MBAM
NCAN
2. • Aire de MNC = ×MH NC2
• Aire de MNB = ×NH’ MB2
• Aire de AMN = × = ×MH AN2
NH’ AM2
3. a. • =
×
×=aire de MNB
aire de AMN
NH’ MB2
NH’ AM2
MBAM
• =
×
×=aire de MNC
aire de AMN
MH NC2
MH AN2
NCAN
b. Or : =MBAM
NCAN
.
Donc : =aire de MNBaire de AMN
aire de MNCaire de AMN
.
D’où : aire de MNB = aire de MNC.4. (BK) est la hauteur issue de B du triangle MNB et (CK’) est la hauteur issue de C du triangle MNC.
D’où : aire de MNB = ×MN BK2
et
aire de MNC = ×MN CK’2
Or : aire de MNB = aire de MNC. D’où : BK = CK’.5. a. (BK) est la hauteur issue de B du triangle MNB, donc les droites (MN) et (BK) sont perpendiculaires.(CK’) est la hauteur issue de C du triangle MNC donc les droites (MN) et (CK’) sont perpendiculaires.Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.Donc : (BK) // (CK’).D’après la question 4, on sait que : BK = CK’.Or, si deux côtés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.Donc BKK’C est un parallélogramme.
De plus, il a un angle droit. Donc BKK’C est un rectangle.b. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Donc : (BC) // (KK’).Or K et K’ sont des points de la droite (MN). On en déduit que : (MN) // (BC).
Savoir-faire
11 1., 2. et 3.
M
N
A
C
B
4. On sait que les droites (BC) et (MN) sont parallèles et que les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A.Donc, d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés des triangles ABC et AMN sont proportionnelles.
D’où : = =AMAB
ANAC
MNBC
.
Soit : = =1,26
AN7
MN4
.
• Calcul de AN
=1,26
AN7
, donc : 6 × AN = 1,2 × 7.
D’où : AN = ×1,2 7
6 = 1,4.
La longueur AN est égale à 1,4 cm.• Calcul de MN
=1,26
MN4
, donc : 6 × MN = 1,2 × 4.
D’où : MN = ×1,2 4
6 = 0,8.
La longueur MN est égale à 0,8 cm.
12
O
P
I
K
L
I ∈ [OL], donc : IL = OL − OI = 8 − 5 = 3 cm.I ∈ [PK], donc : IP = PK − IK = 5 − 3 = 2 cm.
=OIIL
53
et =IPIK
23
.
On constate que : ≠OIIL
IPIK
.
O, I et L d’une part, et P, I et K d’autre part sont alignés
et ≠OIIL
IPIK
, donc d’après le théorème de Thalès,
les droites (OP) et (KL) ne sont pas parallèles.
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2.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 139
13 1.
O
R
T
N
M
2. On sait que les segments [MT] et [NR] se coupent en O, donc les points M, O et T d’une part, et les points N, O et R d’autre part sont alignés dans le même ordre.O ∈ [MT], donc : OT = MT − OM = 17,5 − 7,5 = 10 cm.O ∈ [NR], donc : ON = NR − OR = 14 − 8 = 6 cm.
= =OMOT
7,510
0,75 et = = =ONOR
68
34
0,75.
On a ainsi : =OMOT
ONOR
.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (RT) sont parallèles.
14 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)
P’
L
G P
15 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)
E K F
Exercices
À l’oral
16 a. SC3 = =OGOR
OHOS
GHRS
b. SC3 = =CICL
CKCV
IKLV
c. = =APAM
AHAS
HPMS
d. = =HGHK
HJHI
GJIK
17 a. SC3 On sait que : (MN) // (BC) et M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AMAB
ANAC
MNBC
.
M ∈ [AB], donc : AB = AM + MB = 1 + 3 = 4 cm.
Donc : =14
MN8
, soit : MN = 84
= 2 cm.
b. On sait que : (MN) // (BC) et M ∈ [BA) et N ∈ [CA).Donc, d’après le théorème de Thalès,
on a : = =AMAB
ANAC
MNBC
.
Donc : =1,54,5
MN2,1
, soit : MN = × = × =1,54,5
2,113
2,1 0,7 cm.
18 1. Faux. En effet, les quotients égaux sont :
= =CLCI
CVCK
VLIK
.
2. Vrai. En effet, =CLCI
CVCK
, d’où : CL × CK = CI × CV.
19 1. Faux. En effet : =AIIB
32
= 1,5, mais :
=CIID
54
= 1,25.
2. Vrai. En effet, ≠AIIB
CIID
. Donc d’après le théorème de
Thalès, les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.
20 Les droites (DC), (FG), (MN) et (EK) sont perpendiculaires à la droite (KD), elles sont donc parallèles entre elles.• Les points A, F et D d’une part, et les points A, G et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le
théorème de Thalès, on a : = =AFAD
AGAC
FGDC
.
Or : = =AFAD
26
13
.
13
� 1, donc le triangle AFG est une réduction
du triangle ADC de rapport 13
.
• Les points M, A et D d’une part, et les points N, A et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le
théorème de Thalès, on a : = =ANAC
AMAD
MNDC
.
Or : =AMAD
16
.
16
� 1, donc le triangle AMN est une réduction du
triangle ADC de rapport 16
.
• Les points K, A et D d’une part, et les points E, A et C d’autre part sont alignés. Alors d’après le
théorème de Thalès, on a : = =AKAD
AEAC
KEDC
.
Or : = =AKAD
36
12
.
12
< 1, donc le triangle AEK est une réduction
du triangle ADC de rapport 12
.
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2.
140
• Les points D, C et K d’une part, et les points F, C et H d’autre part sont alignés et les droites (FD) et (KH) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =DCCK
FCCH
FDKH
.
25 • Figure 1 SC3 : =+x
x3
12 6 (égalité c)
• Figure 2 : = x26 12
(égalité d)
• Figure 3 SC3 : = −x3 8 6
8 (égalité a)
• Figure 4 : −
=xx8
312
(égalité b)
26 1. Faux. En effet, il faut que les droites (RS) et (AC) soient parallèles.2. Vrai. En effet, d’après les théorèmes des milieux des côtés d’un triangle, M est le milieu de [IK] et [LM] mesure la moitié de [JK].
27 SC3 Les points A, R et B d’une part, et les points A, S et C d’autre part sont alignés et les droites (RS) et (BC) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =ARAB
ASAC
SRBC
.
• =AR10
915
, soit : AR = ×9 1015
= 6 cm.
• =4,2BC
915
, soit : BC = ×4,2 159
= 7 cm.
28 Les points A, O et S d’une part, et les points B, O et R d’autre part sont alignés et les droites (RS) et (AB) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =AOOS
BOOR
ABRS
.
• =3RS
210
, soit : RS = ×3 102
= 15 cm.
• =1,5OR
210
, soit : OR = ×1,5 102
= 7,5 cm.
29 1. Les angles alternes internes KLM et MUF définis par les droites (KL) et (UF) et la sécante (KF) sont égaux. On en déduit que les droites (KL) et (UF) sont parallèles.2. M ∈ [LU] et M ∈ [KF] et les droites (KL) et (UF) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =UMML
FMMK
UFKL
.
• M ∈ [LU], donc : ML = LU – MU = 5,75 − 2,3 = 3,45.
=2,33,45
FM3,6
, soit : FM = ×2,3 3,6
3,45 = 2,4 cm.
• =2,33,45
1,4KL
, soit : KL = ×1,4 3,452,3
= 2,1 cm.
21 a. SC3 Les points A, B et M d’une part, et les points A, C et N d’autre part, sont alignés dans le même ordre.
=ABAM
23
et = =ACAN
2,43,6
23
. On a ainsi : =ABAM
ACAN
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.b. Les points B, A et M d’une part, et les points C, A et N d’autre part, sont alignés dans le même ordre.
= =ABAM
105
2 et = =ACAN
11,45,7
2.
On a ainsi : =ABAM
ACAN
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
22 SC3 1. Faux. En effet, l’égalité =ADAE
13 ne permet
pas d’affirmer que : AD = 1 et AE = 3. 2. Vrai. En effet, les points A, D et E d’une part, et les points A, B et C d’autre part, sont alignés dans
le même ordre et : = =ABAC
ADAE
13
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (EC) sont parallèles.
Je m’entraîne
23 I ∈ [EC] et I ∈ [BD]. De plus, ABCD est un parallélogramme donc : (AB) // (DC). Or E ∈ [AB], d’où (EB) // (DC).On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =IEIC
IBID
EBDC
.
24 a. SC3 • Les points A, B et E d’une part, et les points A, C et F d’autre part sont alignés et les droites (BC) et (EF) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =ABAE
ACAF
BCEF
.
• Les points A, C et F d’une part, et les points A, H et G d’autre part sont alignés et les droites (CH) et (FG) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =ACAF
AHAG
CHFG
.
b. Les points C, E et K d’une part, et les points C, G et H d’autre part sont alignés et les droites (EG) et (KH) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =CECK
CGCH
EGKH
.
• Les points D, C et E d’une part’ et les points F, C et G d’autre part sont alignés et les droites (EG) et (FD) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =CDCE
CFCG
FDEG
.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 141
• =2,5AC
1,54,5
, soit : AC = ×2,5 4,5
1,5 = 7,5 cm.
• =2AE
1,54,5
, soit : AE = ×2 4,51,5
= 6 cm.
34 • Les points A, M et B d’une part, et les points A, E et F d’autre part sont alignés et les droites (EM) et (BF) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AMAB
AEAF
MEBF
.
E est un point du cercle �, d’où : AE = 2 cm.F est un point du cercle �’, d’où : AF = 5 cm.
On en déduit : =AMAB
25
.
• Les points D, A et F d’une part, et les points M’, A et B d’autre part sont alignés et les droites (DM’) et (BF) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AM’AB
ADAF
DM’BF
.
D est un point du cercle �, d’où : AD = 2 cm.
On en déduit : =AM’AB
25
.
Donc : = =AMAB
AM’AB
25
.
35 K ∈ [IN], donc : IN = IK + KN = 1,5 + 2,1 = 3,6 cm.J ∈ [IM], donc : IM = IJ + JN = 2,4 + 3,6 = 6 cm.Les points I, J et M d’une part, et les points I, K et N d’autre part sont alignés.
= =IKIN
1,53,6
512
et = =IJIM
2,46
4,812
.
On constate que : ≠IKIN
IJIM
.
Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (KJ) et (MN) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.
36 Les segments [AE] et [KL] se coupent en J donc les points A, J et E d’une part, et les points K, J et L d’autre part sont alignés.
=AJJE
2,35
= 0,46 et = =KJJL
2,76
0,92
= 0,45.
On constate que : ≠AJJE
KJJL
.
Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (AK) et (LE) ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.
37 Les droites (ED) et (FH) sont sécantes en O, donc : O ∈ [ED] et O ∈ [FH].En utilisant les graduations des droites (d) et (d’),
on obtient : =OFOH
34
et =OEOD
24
.
On constate que : ≠OFOH
OEOD
.
Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (EF) et (DH) ne sont pas parallèles.
30 1. Les droites (IM) et (JL) se coupent en O et les droites (IJ) et (LM) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =OIOM
OJOL
IJLM
.
D’où : =IJLM
37
.
2. Les droites (IL) et (JM) se coupent en A et les droites (IJ) et (LM) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =AIAL
AJAM
IJLM
.
D’où : =3,6AM
37
, soit : AM = ×3,6 7
3= 8,4 cm.
Or J ∈ [AM], donc : JM = AM − AJ = 8,4 − 3,6 = 4,8 cm.
31 SC3 • Les points T, A et M d’une part, et les points T, B et N d’autre part sont alignés et les droites (AB) et (MN) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =TATM
TBTN
ABMN
.
=TA5
2,48
, soit : TA = ×2,4 5
8= 1,5 m.
A ∈ [TM], donc : AM = TM − TA = 5 − 1,5 = 3,5 m.Le trapèze MABN est isocèle donc : BN = AM = 3,5 m.• AB + BN + MN + AM = 2,4 + 3,5 + 8 + 3,5 = 17,4. Le périmètre de MABN est 17,4 m.• 17,4 × 20 = 348.M. Janville doit isoler 348 m2.
32 • Soit d le diamètre du disque de l’eau contenu dans le pluviomètre.La configuration permet d’appliquer le théorème de Thalès.
On a : d=3,5
10 8 , soit : 10 × d = 3,5 × 8.
D’où : d = ×3,5 8
10 = 2,8.
Le diamètre du disque de l’eau contenu dans le pluviomètre est égal à 2,8 cm.
• Volume du cône d’eau = d× π × ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ×1
3 23,5
2
= × π × ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ × = π1
32,82
3,56,86
3
2.
D’où : � ≈ 7,184 cm3, soit environ 7 mL.
33 SC3 1. Dans le triangle ABD rectangle en D, d’après le théorème de Pythagore :AD2 = AB2 − BD2 = 2,52 − 1,52 = 4.D’où : AD = 2 cm.2. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE), donc elles sont parallèles entre elles. De plus, les points A, B et C d’une part, et les points A, D et E d’autre part sont alignés. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =ABAC
ADAE
BDEC
.
Thèmes de convergence
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, 201
2.
142
38 Les segments [IP] et [JM] se coupent en H donc : H ∈ [IP] et H ∈ [JM].H ∈ [IP], d’où : IH = IP – HP = 7 – 5,1 = 1,9 cm.H ∈ [JM], d’où : HM = JM – JH = 2,3 – 0,6 = 1,7 cm.
=IHHP
1,95,1
et = =JHHM
0,61,7
1,85,1
.
On constate que : ≠IHHP
JHHM
.
Donc d’après le théorème de Thalès, les droites (IJ) et (PM) ne sont pas parallèles.
39 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)
B
C
DE
F
G
HN
M
40 2. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)
C2C1T
A
E
B
R
On trace le cercle (�) de centre T et de rayon 5 et le cercle (�’) de centre T et de rayon 8.Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle (�) en A et E et le cercle (�’) en B.On trace la droite (BR) puis les parallèles à (BR) passant par A et E. Elles coupent (TR) en C1 et C2.
3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)
D2
D1T
G
BF
R
On trace le cercle (�) de centre T et de rayon 8 et le cercle (�’) de centre T et de rayon 11.Puis on trace une droite passant par T qui coupe le cercle (�) en B et le cercle (�’) en F et G.On trace la droite (BR) puis les parallèles à (BR) passant par F et G. Elles coupent (TR) en D1 et D2.
41 1. E ∈ [FG] et D ∈ [FK] et (ED) // (GK).Donc d’après le théorème de Thalès, le triangle FED est une réduction du triangle FGK de rapport :
k = = =EDGK
1214
67
.
2. [EF] est une réduction du segment [FG] de rapport
k, donc : EF = kFG = = ×67
FG67
11,2 = 9,6 cm.
42 1.
B
C
N
M
A
2. Les points A, M et B d’une part, et les points A, Net C d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= =AMAB
814
47
et = = =ANAC
1017,5
2035
47
.
On constate que : =AMAB
ANAC
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
43 Les points T, O et S d’une part et les points V, O et R d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= =OTOS
7,518
1536
et =OVOR
1536
.
On constate que : =OTOS
OVOR
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TV) et (RS) sont parallèles.
44 1.
D
F
H
G
E
2. Les points E, G et D d’une part, et les points E, H et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.De plus : G ∈ [ED] donc : ED = EG + GD = 7 + 5 = 12 cm.
D’où : =EGED
712
.
© É
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, 201
2.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 143
D’autre part : = = =EHEF
10,518
2136
712
.
On constate que : =EGED
EHEF
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GH) et (DF) sont parallèles.
45 1. Vrai. En effet : les points A, C et E d’une part, et les points A, B et D d’autre part sont alignés dans
le même ordre. De plus : = =ACAE
ABAD
23
, donc
d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
2. Faux. En effet : = =AGAC
1,53
12
et =AFAB
1,22
,
d’où : ≠AGAC
AFAB
. Donc d’après le théorème de Thalès,
les droites (GF) et (BC) ne sont pas parallèles.3. Faux. En effet : (BC) est parallèle à (DE) et (BC) et (GF) ne sont pas parallèles, donc (DE) et (GF) ne sont pas parallèles. 4. Vrai. En effet, d’après a., les droites (BC) et (DE) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème
de Thalès. D’où : = = =ACAE
ABAD
BCDE
23
.
46 1. D
OA
B
C
2. Les points B, O et D d’une part, et les points A, O et C d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= = =OAOC
1,75,1
1751
13
et = = =OBOD
1,23,6
1236
13
.
On constate que : =OAOC
OBOD
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.On en déduit que le quadrilatère ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].3. OA = 1,7 cm et OC = 5,1 cm, donc : OA ≠ OC.Les diagonales de ABCD ne se coupent pas en leur milieu, donc ABCD ne peut pas être un parallélogramme.
47 1. • Les points A, F et G d’une part, et les points A, B et C d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites ( BF) et (CG) sont parallèles.On peut donc appliquer le théorème de Thalès,
d’où : = =AFAG
ABAC
FBGC
.
B ∈ [AC], donc : AC = AB + BC = 5 + 4 = 9.
D’où : =3AG
59
, soit : AG = ×3 95
= 5,4 cm.
• F ∈ [AG], donc : FG = AG – AF = 5,4 – 3 = 2,4 cm.
2. Les points D, A et B d’une part, et les points E, A et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.
=ADAB
75
= 1,4 et =AEAF
4,23
= 1,4.
On constate que : =ADAB
AEAF
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ED) et (BF) sont parallèles.
48 • Méthode n° 1 Les segments [AB] et [EF] ont le même milieu O.Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.Donc AEBF est un parallélogramme et par conséquent, les droites (AE) et (BF) sont parallèles.• Méthode n° 2 Les segments [AB] et [EF] ont le même milieu O, on a donc : OA = OB et OE = OF.Les points A, O et B d’une part, et les points E, O et F d’autre part sont alignés dans le même ordre.OAOB
= 1 et OEOF
= 1.
On constate que : =OAOB
OEOF
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AE) et (BF) sont parallèles.
brevetJe m’entraîne au
49 SC3 1. • Question : Calculer RA.• Réponse : Les points R, A et O sont alignés dans cet ordre, donc :RA = OR – OA = 6,84 – 3,8 = 3,04 cm.2. • Question : Calculer OK.• Réponse : Les points R, A et O d’une part, et les points R, S et K d’autre part sont alignés et les droites (SA) et (OK) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =RAOR
RSKR
SAOK
.
D’où : =3,046,84
5OK
, soit : OK = ×5 6,843,04
= 11,25 cm.
3. • Question : Calculer le périmètre du triangle ROK.• Réponse : KR + OR + OK = 7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29.Le périmètre du triangle ROK est égal à 25,29 cm.
50 1. [JK] est le côté le plus long du triangle JKL.JK2 = 62 = 36 et JL2 + KL2 = 3,62 + 4,82 = 36.On obtient ainsi : JK2 = JL2 + KL2.Donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en L.2. Le triangle IJM est inscrit dans le cercle � de diamètre [IJ].Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors il est rectangle et son hypoténuse est ce côté.Donc IJM est rectangle en M.
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2.
144
3. CDE est un angle droit. Or un agrandissement conserve les angles.Donc CAB est un angle droit et par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.
54 1. E ∈ [RD], donc RD = RE + ED = 3 + 1,5 = 4,5 cm.Les points R, E et D d’une part, et les points R, C et U d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= =RERD
34,5
23
et =RCRU
23
.
On constate que : =RERD
RCRU
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EC) et (DU) sont parallèles.2. Les points R, E et D d’une part, et les points R, C et U d’autre part sont alignés et les droites (EC) et (DU) sont parallèles.RE < RD, donc d’après le théorème de Thalès, le triangle RDU est un agrandissement du triangle REC
de rapport : k = =RDRE
4,53
= 1,5.
55 1. et 3. B
F CA
G
2. [AC] est le côté le plus long du triangle ABC.AC2 = 12,52 = 156,25 et AB2 + BC2 = 7,52 + 102 = 156,25.On constate que : AC2 = AB2 + BC2.Donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.4. Les points C, F et A d’une part, et les points C, G et B d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= =CFAC
512,5
25
et = =CGBC
410
25
.
On constate que : =CFAC
CGBC
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.5. Les points C, F et A d’une part, et les points C, G et B d’autre part sont alignés et les droites (AB) et (FG) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =CFAC
CGBC
FGAB
.
D’où : =FG7,5
25
, soit : FG = ×2 7,55
= 3 cm.
6. D’après la question 2, le triangle ABC est rectangle en B, donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires et d’après la question 4, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.Donc, les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires.
3. • JKL est rectangle en L, donc les droites (LK) et (JL) sont perpendiculaires.IJM est rectangle en M, donc les droites (IM) et (JL) sont perpendiculaires.On en déduit que les droites (IM) et (LK) sont parallèles.De plus, les points I, J et K d’une part, et les points M, J et L d’autre part sont alignés.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =IJJK
JMJL
IMLK
.
D’où : =96
JM3,6
, soit : JM = ×9 3,66
= 5,4 cm.
51 Les points H, M et N d’une part, et les points H, B et C d’autre part sont alignés dans le même ordre.HC = HB + BC = 1,60 + 2,40 = 4 m.
=HMHN
0,802
= 0,40 et =HBHC
1,604
= 0,40.
On constate que : =HMHN
HBHC
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BM) et (NC) sont parallèles.On en déduit que les échelles sont parallèles.
52 1. Les points G, I et Y d’une part, et les points P, I et T d’autre part sont alignés dans le même ordre.
=GIIY
71,4
= 5 et =IPTI
51
= 5.
On constate que : =GIIY
IPTI
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (PG) et (YT) sont parallèles.2. Les points G, I et Y d’une part, et les points P, I et T d’autre part sont alignés et les droites (PG) et (YT) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =GIIY
IPTI
GPYT
.
D’où : GP0,8
= 5, soit : GP = 5 × 0,8 = 4 cm.
GP + IP + IG = 4 + 5 + 7 = 16 cm.Le périmètre du triangle IGP est égal à 16 cm.
53 1. Les points D, C et A d’une part, et les points E, C et B d’autre part sont alignés dans le même ordre.
= =DCCA
1030
13
et = =ECCB
1442
13
.
On constate que : =DCCA
ECCB
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.2. Les droites (AD) et (BE) se coupent en C et les droites (DE) et (AB) sont parallèles.AC = 3 CD, donc d’après le théorème de Thalès, le triangle ABC est un agrandissement du triangle DEC dans le rapport 3.
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2.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 145
d’où : = =OIOP
OJOM
IJPM
.
=OJOM
IJPM
, d’où : OM × IJ = OJ × PM.
Or IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont de même longueur.D’où : IJ = LK.On obtient ainsi : OM × LK = OJ × PM.
67 1. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.Dans OVR : ORV = 180 – (OVR + VOR) = 180 – (80 + 40) = 60°.Les angles ORV et OTS sont de même mesure et sont alternes internes. Donc les droites (ST) et (RV) sont parallèles.2. Les points S, O et V d’une part, et les points T, O et R d’autre part sont alignés et les droites (ST) et (RV) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =OSOV
OTOR
STRV
.
• =34,8
3,4OR
, soit : OR = ×3,4 4,83
= 5,44 cm.
• =34,8
ST3,5
, soit : ST = ×3 3,54,8
= 2,187 5 cm.
68 • On schématise la situation :L : lampe O : centre du disque D : point du disque tel que OD soit un rayon O’ : centre de l’ombreE : point tel que O’E soit un rayon de l’ombre OD = 6 cm = 0,06 m(OD) // (O’E)OL = 1 m OO’ = 2,5 m• Les points L, O et O’ d’une part, et les points L, D et E d’autre part sont alignés et les droites (OD) et (O’E) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =LOLO’
LDLE
ODO’E
O ∈ [LO’], donc : LO’ = LO + OO’ = 1 + 2,5 = 3,5 m.
=13,5
0,06O’E
, soit : O’E = ×3,5 0,061
= 0,21 m = 21 cm.
Le rayon de l’ombre est de 21 cm et par conséquent son diamètre est de 42 cm.
69 1. AD = 1,20 m ; DE = 1 m ; EF = 1,50 m.Le puits et Théo sont perpendiculaires au sol, donc (AB) et (EF) sont parallèles.
L O’O
D
E
B
AD E
F
C
J’approfondis
64 1. Les points C, L et T d’une part, et les points D, L et I d’autre part sont alignés dans le même ordre.
aa
=LILD
7,53
= 2,5 et LTLC
52
aa
= = 2,5.
On constate que : =LILD
LTLC
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IT) et (CD) sont parallèles.2. Les points C, L et T d’une part, et les points D, L et I d’autre part sont alignés et les droites (IT) et (CD) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =LILD
LTLC
ITCD
.
D’où : a
IT4
= 2,5 , soit : IT = 4a × 2,5 = 10a.
65 1. Les points M, I et K d’une part, et les points N, I et J d’autre part sont alignés dans le même ordre.D’après la réciproque du théorème de Thalès :
si =MIIK
NIIJ
, alors les droites (MN) et (JK) sont
parallèles.
=MIIK
NIIJ
s’écrit : + =xx
5 33
105
5(5x + 3) = 10 × 3x 25x + 15 = 30x 25x – 30x = –15 –5x = –15 x = 3Il faut donc que x soit égal à 3 cm pour que les droites (JK) et (MN) soient parallèles.2. a. • IK = 3 × 3 = 9 cm.• IM = 5 × 3 + 3 = 15 + 3 =18 cmb. Toutes les longueurs de la figure sont multipliées
par 12
.
NM
I
J K
66 IJKL est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont parallèles.D’où : (IJ) // (LK).De plus : K ∈ [PM] et L ∈ [PM]. On en déduit que : (IJ) // (PM).I ∈ [OP] et J ∈ [OM] et (IJ) // (PM), on peut donc appliquer le théorème de Thalès,
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2.
146
Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =O’AO’D
O’IO’K
AIDK
.
• Les points O’, B et C d’une part, et les points O’, I et K d’autre part sont alignés et les droites (IB) et (CK) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =O’BO’C
O’IO’K
IBCK
.
On en déduit : =IBCK
AIDK
.
Or I est le milieu de [AB], donc IB = AI, d’où : CK = DK.Or K ∈ [DC], donc K est le milieu de [DC].Or J est aussi le milieu de [DC], donc les points J et K sont confondus.4. Et comme O, I et J ainsi que O’, I et J sont alignés, on en déduit que les points O’, I , O et J sont alignés.
72 1. a. et b.
B
A
DP
M
N
C
2. Les points C, D et P d’une part, et les points C, A et N d’autre part sont alignés et les droites (AD) et (PN) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =CACN
CDCP
DAPN
.
=CDCP
DAPN
, d’où : CD × PN = CP × DA,
soit : PN = ×DA CP
CD.
3. Les points B, P et D d’une part, et les points B, M et A d’autre part sont alignés et les droites (PM) et (AD) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =BMBA
BPBD
PMDA
.
=BPBD
PMDA
, d’où : BD × PM = BP × DA,
soit : PM = ×BP DABD
.
4. PM + PN = × + ×BP DABD
DA CPCD
.
D est le milieu de [BC], donc : BD = CD.
D’où : PM + PN = × + × = × +BP DABD
DA CPCD
DA (BP CP)BD
.
Or, P ∈ [BD] et D milieu de [BC] donc : BP + CP = BC = 2 × BD.On en déduit : PM + PN = 2 × AD.
2. Les points A, D et E d’une part, et les points F, D et B d’autre part sont alignés et les droites (EF) et (AB) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =DFDB
DEDA
EFAB
.
=11,20
1,50AB
, soit : AB = ×1,50 1,201
= 1,8 m.
La profondeur du puits est de 1,8 m.
70 • B ∈ [AC) et M ∈ [AN) et les droites (MB) et (NC) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =ABAC
AMAN
BMCN
.
• M ∈ [AN) et E ∈ [AF) et les droites (ME) et (NF) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AMAN
AEAF
MENF
.
On en déduit que : =ABAC
AEAF
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BE) et (CF) sont parallèles.
71 1.
B
A
D
O
O’
I
JK C
2. • Les points A, O et C d’une part, et les points I, O et J d’autre part sont alignés et les droites (AI) et (JC) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AOOC
AIJC
IOOJ
.
• Les points B, O et D d’une part, et les points I, O et J d’autre part sont alignés et les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =OBOD
IBJD
IOOJ
On en déduit : =IBJD
AIJC
.
Or I est le milieu de [AB], donc : IB = AI, d’où : JD = JC.Or J ∈ [DC], donc J est le milieu de [DC].3. • Les points O’, A et D d’une part, et les points O’, I et K d’autre part sont alignés et les droites (AI) et (DK) sont parallèles.
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2.
Chapitre 11 Théorème de Thalès 147
73 1., 2. et 3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)
On conjecture que : périmètre de AMED = périmètre de MLDK + AM4. • ABCD est un rectangle et les droites (AD) et (ML) sont parallèles, donc AMED est un rectangle.�AMED = 2 × AM + 2 × AD = 2a + 6.• Les droites (KM) et (BD) sont parallèles et les points A, M et B d’une part, et les points A, K et D d’autre part sont alignés.Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =AMAB
AKAD
KMBD
.
=AMAB
AKAD
, d’où : a =4
AK3
, soit : AK = a3
4.
• ABCD est un rectangle, donc le triangle ABD est rectangle en A.Donc d’après le théorème de Pythagore, on a : BD2 = AB2 + AD2. Soit : BD2 = 42 + 32 = 25, d’où : BD = 5.
• =AMAB
KMBD
, d’où : 4
KM5
a = , soit : KM = a5
4.
• Les droites (KD) et (LM) et les droites (DL) et (KM) sont parallèles, donc MLDK est un parallélogramme. D’où : �MLDK = 2 × KM + 2 × DK.
Or, K ∈ [AD], donc : DK = AD – AK = 3 – a3
4.
On obtient ainsi :
�MLDK = a a a a× + × −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ = + −2
54
2 334
104
664
= 6 + a.
On en déduit : �MLDK + AM = 6 + a + a = 6 + 2a = �AMED.
74 • Les points A, O et A’, les points B, O et B’ et les points C, O et C’ sont alignés et les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles ainsi que les droites (AC) et (A’C’) et les droites (BC) et (B’C’).Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =OAOA’
OBOB’
ABA’B’
; = =OAOA’
OCOC’
ACA’C’
;
= =OCOC’
OBOB’
BCB’C’
.
On en déduit que : = =ABA’B’
ACAC’
BCB’C’
.
BC � B’C’, donc A’B’C’ est un agrandissement du
triangle ABC de rapport : =B’C’BC
4,53
= 1,5.
75 1. Faux. En effet, on ne sait pas si les droites (MN) et (BC) sont parallèles.2. Faux. En effet, il y a le milieu du segment [AB] et un autre point de (AB) n’appartenant pas à [AB].3. Faux. En effet, si le schéma n’est pas aux bonnes dimensions, on ne sait pas si OR est plus grand que OT. 4. Vrai. En effet, on peut appliquer le théorème de
Thalès, donc : = =AMAB
ANAC
MNBC
.
Or, M ∈ [AB], donc : AM = AB – MB.N ∈ [AC], donc : AN = AC – NC.
=AMAB
ANAC
, d’où : − = −AB MBAB
AC NCAC
,
soit : − = −1MBAB
1NCAC
.
D’où : =MBAB
NCAC
.
76 On obtient le point M comme point d’intersection de [AD] et de la parallèle à (DK) passant par B.En effet, M appartient à [AD], donc les points A, M et D ainsi que les points A, B et K sont alignés et les droites (MB) et (DK) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, on a :
= =ADAM
AKAB
DKMB
.
=ADAM
AKAB
, d’où : AB × AD = AK × AM,
soit : �ABCD = �AKLM.
77
BAO
EFG D
M
N
C
En traçant les parallèles à la droite (OA) passant par M et N, on partage la figure en neuf rectangles superposables.Les trois carrés étant de mêmes dimensions, les rectangles obtenus ont la même longueur.
De plus : OA = 13
OC ; OA = 12
OB ; OB = 23
OC.
D’après le théorème de Thalès dans les triangles OMA et ODC, OMA et ONB, ONB et ODC :
AM = 13
DC ; AM = 12
NB ; BN = 23
DC.
On en déduit que ces rectangles ont la même largueur.
Argumenter et débattre
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2.
148
78 2. Le point de fuite F se trouve à l’intersection des droites (AA’) et (BB’).3. c. Les longueurs des côtés des triangles FAB et FA’B’ sont proportionnelles, ainsi que les longueurs des côtés des triangles FBC et FB’C’.4. La colonne [BC] est un agrandissement de la
colonne [B’C’] dans le rapport k = =BCB’C’
ABA’B’
.
5. • Dans la réalité, les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles dans le plan du sol et les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles dans le plan vertical des colonnes [BC] et [B’C’].
Atelier découverte • Dans la réalité, les colonnes [BC] et [B’C’] ont la même taille.6. On peut ajouter :a. Les triangles FBC et FAB semblent isocèles en F.b. • Les angles FBC et FB’C’ sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles (BC) et (B’C’) coupées par la droite (BB’). On a donc : FBC = FB’C’.• Les angles FBA et FB’A’ sont alternes-internes déterminés par les droites parallèles (AB) et (A’B’) coupées par la droite (BB’). On a donc : FBA = FB’A’.c. Dans la réalité, le point F n’existe pas. Les angles A’B’C’, ABC, B’BC sont droits.
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