the riemann's surfaces of the modular functions : u⁴-v⁴
TRANSCRIPT
ONZER
Riemann's Si'r'.'u'cs|
of the[
Modular Functions f
ui-v4<.2uv (l-u'v')-O I
u*-Y^'5u'T' (u'-r)4uv (l-u^v^H s
Mathematics and Physics
r B. s.
I''
. 1 IHkARV
1^
"^ 4^^
^ ^ , 4 .4-
4
-
•St'-
4^
*- ^
^-I* 4
4 % 44. 4 ^=5*^
it.-*
^ ^
1f< Tf- T- /—
^- * t-' 4 f ^
^ # #,'
^4: 4. % ^
. * .
^ 4 *- -4.-
--it 4 4- 4^-
^ ^ ---f^
^ * ik ^ * ^
^- ^ + 1^ 4^ -
• 4 ^. 4* iK 4
* 4^ 4-
^ >K -4^- -4 ^
% 4^ 4 ^^- 4- -^-^ H^- -4^ ^
^ ^ «^ 4 "^fc
^ * ^ ^
^ ^ 4 ^- , #^, ^ 4
^ -.^ 4 4- 4^-
4. 4,
^ 4 ' ^-
^ * 4 4 4-
^ 4 - 44. ^ 4 i^-
^ ^ ^ ^ >i^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
,
^-,
^ ^ Si. ^. ^ ^ 4,
^ ^ ^ 4 4 4^ ^-^ ^ >»c ^ 4^
4- Hl^
4, ^ .4^- 'IK
^ ^ 4 4^ ^ -sjk: ^
.
1,^^4444-*^^^^*^^^4. 4l 4 4 ^ 4 4 if^ ^ _
^^1,1,^ ii 4 ,
4 ,
'
4 ^ 4, *
^4 ^ ^ 4 ^
% 4 ^ * ^
^ 4
4 4 -4* 41^ ^ 4. 4 4. 4 4 4 ^ *.
,
*^ ^-
' t ^ "^^^
I, ^ ^ 4. if, if. 4. ^^^-4- 4^ ^^^.^
£ i -l^s^ 4. 4^ 4 4 * 4^ + * 4 4 ,
4 4- f
-
4^
* ' -4 i 4 ^ ^ ^4^ *Ar' «4
f^ 4 4 4^ ^ t
Digitized by the Internet Archive
in 2013
http://archive.org/details/riemannssurfacesOOponz
UNIVERSITY OF ILLINOIS
Tins IS TO CEUTIFY THAT THE THESIS PKEPARED TNDER MY SUPEKA'ISION BY
-*C^y^
IS APPUOVKTl BY ME AS EULKrr.I.rxO THI^^ PAUT OF THK REQl ri{EMKNT>i roi{ THi; 1)K(U{KK
7;
HKAU OK DKPAU r.M KNT OF,
^^-^^-^JL ^ 4^-«^<>-P*v»-d.^ (>>«-^-<j^^x^j
2
<±; ^ ^ ^ ^1^^ ^^.^^ f^Zt^^^
<^,yU^ , W ^s/; /f ji^^^^ ^^^^^^^
5
.-OO-^^ -x-ci^H^ ->^^^^ ^ cUJ^^Si^-^ ^v-^x-.^^.^:^^
-^^>-^-( iQ^^y^^^l^ Xfijl^ -t.-i>-^<<^ -K.^^^ >7^^^
^^^^^ ^Tb^-^J-^^ ^ ^^uy^
CO - o
^ '^--^ -li: :
^ - ^^^^^ + o ^r
- o
•r
1o
o
o, 3
oo
o
O ^ ^ tv^ o
=. o
--HJ^ ^^^f-^^ -f.<»-^. 3^ i^^'
o/ -ev^
o o
^ . o
oO o
- o
o
o / Or
- / ^ir^ O
O / O
o H O /
~ o.
5
"-j^ jtZ^ -<^^4^^ 0^i^^'^^'
>ruc^.?^if/'^
/
o
5U
- o
'^f^ ;fc^ ^^^^ ^ :
= o
I
,.^.^J.cc^j2^ "ta :
It V
>KU>-7Ut -^^JL<JI^ .i;^ ''5^
10
^ (xJ^^y^ ^^^ll2i-rv y6^L<U j/^-tU-KK? •^'iH.-vr-^jfciT^O ->)-• CM-«H^
'T>-iM-<-.tt^v-c ..c^ ''"''^ -^^^-J^-*^ -.^.^^owH^-.,^^^;^
11
.u^^tL^ -c-L-t-^^ ...uiV^..:*^ -i-ol^-/
A ft ^"2^^
//
1
K» 73
3
7
/
3
s 3
3
o 2 o o2
"to o13
'=—^ ^
J
XJU C^tct^ iW>n'9 Swf^^<»-<^ tV^ ^^^^ "^^^
..t-WnJ.^ -CiJ-^-wg^ JL.^^.u;fr<^, O-^JJ ^t^-^^f '^^^ ^^^"^j
^Vv.^ -tie ^ ^ ,HP^ '(Z-J^ ^^-J^^-*^^,
'
PdjL^, €^ tic >^
1-f
^ ^fcjZ^ "^^^^^^ w-<w^ ±^
^-t><,H:-J^^, '^'^^^ ^^^^^^ 'J-^*^ ^M-6-<itV.,,Ui^^
--o^^c^ ^ ^ >6;e^
^^^ttU, ^ ^ ^
1^
1
1
"U>^ ^^.c^
:
^^^^^
*0>-^-u«£ .<kM. -C^-Vr^ ^^^ ^
17
-t-cML J-fcft^-rw-•-fd^^
.>fcl£4,
15
^ r^^^^ V ^^4. )^
• - ^,6 tJ ^^^^^ :tU
~~ — — — .t^S* <x..fi»-<M>e^
H,, M g , ,•»
N. , 'V^, N,
, ^
eCc", -* + -Cjc^' + + )
= -^^ + s^-^C-^,^Vt>re-«:^+^3-^-f )
+ -^'^C>-,^^ + '-z^'^-^- )
tC. - o
e Cj = o
e c
li
t, s -
c. _ „
'21
^3 S4
Z->j, -T)-^ tr"^-f- ^"^^
J'
^ C, -cc ^ ^„ c^«^ -I- c^^^^-i-
V ^ Cco3)^x:^(U5^)2-4.r^C^
-.ou-^ .-t^ ^^^^^Aco^j -^^i^oc -t^'^i^i.r.-^ui-^ "If
^5-1-t»-^^ Tfc^-*^'
- / /t»^S>^-. /j^*^*- ^^'^•v''. ^2.^^
;t^2-#^ ciX. -C4^^ 'Tt -y^ jh^^n^7 ^ -til
^t-f-gu^ cJt -^-tM. ^K-u*^ "^^.-rMti^ 'TT-^^
-^^>C "-^ ^fZ^o^ CX^^^^SL^
^^2X1^-^^ ^.co.^"J"^^
Xcax^J^b^^ 6^Jt^^c
?6
i_ £
7f
^ ~ :— -
1 - 3. % ^..g ^
+ -t. '/T^^'U f^r.'re. u>'^.^4--jf.e^*f:'.*4-').
•+ ^<^'''(^-^^^^y
+ |*^*'"6^-*^"') '
-^(-.-^^-j^
.30
- |.-£i'''C^.^|-"'y
U-^t^ -tXtU*^ o-r^ -ti'i* ^
31
'C^-Vc^ "ftuj^^^^ -£.-rc.^-o..^j2»^ Cfc^
3^
I IV M
^tMr^ O^lu-M^
"tScl^-ti^o -^-^ ty^^ iJ^tlL^
33
No
o
I
61
M>•
MO
1
ti
Ooli
Q
.J
+pi
o
1
dr
I-
11
61
u
(U
1ro
1+
UO
o
^1.
6
O
Ht
tr
M
V
r-
o
o
\<^
Q1
«^
OBMO
M
Td1
MsA
Mo
%Of*
*>
O+
ex*
ftl
o
^1
o+ni
«x
ok
11
1
<o
1
H o+CO«i
ot
d+
o
T1
<r
o
-J
nff
V
1-
o
o\
r—
>
C
1
M
Ot
o
V
h
o+
MO
1
—>*
ifm
o-h
-3(U
O
-J
€^
o
-J
V
o
O1
M
V
d
PIo
.<
>^
1
M
o
+
OoHo1
\
d4-
cu
Q
1
i
ro
o
>?
<>
+
6o
Mo
1
t+u91
O
1
H"
o
t
to1
d1
W•P«vi
o
T,»—
I
ml*-
t
6r
IVl
•JAi
o
1
«—
f
PHI*
6+
O
. 1 1
i.
6-»-
a>j
Mo
1
-J
cr
6+
i
o
61I
^
1
Mo
uT.
-J
d1
^1
o
iJLi
O
o
h
o+
li
o
1
o
-J
J-
I
1
1^
o
lJLj
5
o1
•o
t
6
o
t6r
H
>»
O-k_
r
ft-
Oif-
r(T
c-
• a
^^
«V
V°(T
tr
O
T
-J
r
- a
-It
o
-If
r
<r
-
r
(r
Hf«V
V>tr
tr
o
Hi
I- «~
- aM
'•^
oT^>r
-J
r
totr
<r
o
xl-
r
O A o o o o o d o o 6 6 vJ o o1
1 4- r + 1 1 + 4-1 r +
i -A .J 4 -a
X, ir„ HE, ^zr,.^ Jl u-^ -^II^ x:
IT, ^ ^^^^ ^H^^ aJr--^ = ^ IT. ^ "^---^
3J-
^5<^.^^ ^^^^^ ^^-^ ^f^^"tl" S-lIT
'^^^'^^ ^ 1^-" ^^->rc^
-cX^-^-rv ->vt^ cc^
w^^-tM:^, iMC:£M^ ^ ^iLJi.
36
./t^-M^ g-^^^^-*^ ^ ^ tf-^-^x-.^^ ^^i-
7
,
- o X f IT, ZTL., IT)
^= 1 _ (Z,, iZE,,£r}
^i'^ HE ( X, ir,. nr.
)
IT IT ( r, m, iZE,j
. -t*'- Jl. (X, 2r,lE.j
-t^i jzr. cr,rz-.,x,;
^ ^ - IT. (x„iL,,2ir
)
^ = -e^"'- - - ^ 7[r. (X., n:,7r}
^ ^ X, (2r, n ,,ITj
31
-uo-^^ ~t^^^^^'ly'^
jdU ^^^^ X, -t;^
cLa.^^u* ».^cc^.. (h^ C^-<-t^ O-vw'vy
-^"t. -^^^ (i- o
^ cue tic ly^JtJdUX ^ Ca.^^-^
UL^^-^J^L-rt V<-^ 3,
-t->-£-c^ -y-ysXkSl^ '^^^t-cU^
'tJ-Mc.rt^ ^^^^^^ \
-e< to ^ tJU 9
n>. -s-^*^-^^ - - -^-^-^
-f o
A-V /C-C*-.^ U^O-i^ ^ iW*^
-Pfl-C^; ^^ OtT-^^H' -IH^^S C>|^
.x-d^ -6-tcx> aJ>uy^
IT. ^ IT. 3 ^^...cS^ ^ -f^.*:*^
t<2^ .tC^. ^^b-^^ -w*^ cl^-jM^
-^UJL at
-6-1-#ur^«^5 ^-^^ui *>>>^ U>-^t^cf**"'^
«-*-<»-w*^
/C^^^^ -yy\^^^ -^K^u^g ^l^tH'-v^^ cx/^u^ :iXc-C'^'^'
^ Ij"';^ ^ ^
-^3
X= i..^qp^ '-f..
^ . - CO
/
^ 3
^•Vri-C CO-VT-ri ^-^^ '^--et-rwtA < > >jfe -<_y -H> -
.^^fe^ >« SL i^-*-ft<^^..*j^ A-*-t*fci^ »^
'i^t.-jfy-is«4r'^' ^^t^ *i»***>
-4JL
-s 3
Jl. o~ojt*- •^'i'o TIL
a:^^= Ji^""^ jr. ^ -tO^S.^ X.^^^iy*^
4t
^-f = ^^^^ t^,- ^^-^tr''
/I - * ir ^ m IT ' /
w Jc
^ . , mu- - - - -2.
'^)y^.^^ ::?!::^-*-vn^ '^^^-^y^^t^
IF Tc. i^^ ^
3n
IT
4
1L1/.
zr -
0^ "]^<>^>^o-^-c»->^ 'j^iL^^ ..J-zh^
XTEC
IT
5
^1
WW-
"-3
"w-g. .^^ti^ ^^^^ ••'^Ut^M^ Wt^t
U^
/ - ^vVi/^ o -/c^"^ -?v.v^o o o o
4 -&ov^' 2air^ o '/flb i-ir o o oIf -Zsf O -/^t/^ O o o Q
o a o (a -^Zbiy^'^ov o -/oi?^ 4cr o o
o O ^ .^otr ^blr O -ioi; fiX
3cc^.,..?ifc;±^ ^ -^-.^ '(^^ -^±Lt
- 1i
J-
1
^^'^^
^^•^'^
o o or
0^ ..^M-f-^- t>^^ aJ,J^ d^.
--^-^ X (u^^, uyLu., tul^ P.J^.
J"3
;t^2-A^ CUlMUtXJ!^ J^h-^u^ -^^^rs aut^<^6
vi:f -vv.^ €^ tUt M^,
0, Im 0. ? 0.^^-^^
1,0 i f, 1^ 1 /, ZQH 1, t
0. 0-f s
, l^>'*^ 0. 2^ 0, irs ^. Loi
0' 00% 0, o^i
.0 1 d, d V t 0, Ol'^l Oi /3 ^
•TvT
^0 ^^^^^ ^^Vt'*-^^6>J
"tM^ -U^^ ^ ^ ^ tic *i^<^^ ^U-u^^
oJ)'^ ^"^j^ y^'^u^ i^^s -t2r '^^^^^ '^i-tjHz^'-
•^-^.v^o-v^ ^^T^ -^*>^»U "^^-b tic
^•7
-A-< -0^^ J^LJ-' U-r^,(73^
C*^v,u«:^dL*^^
-<4-''- ^ C-x*- ir +-^-4<.v(/-*<?"u-'^)=o
tit t-^^^i ^ ^
^H^i-f ^^^^^^ -'<-o4^. iA-c^ J^aJiJ^ ^ j^u^bA
7CW U
"S'.^-.^-y*^ XytXtd^ o^-J^iz
^^^^ ^ ^.H^v^^^tH^
i,
(3)= ® +®
6
^ «-^<u(5 xxtT^ :t^-^ ^t-cL^ ^h-in^ t ^^-^1^ Ttttw-
- 1 ^ 0^ '^W^S <W, OJ, ^ (3^
O^^^-'T^^JC!^^^^ j^(i^<^ (.MJ-t^t^ H-^i/^tu-^ ^6
4%.
<^<Hv)^^ 0-^^ "^^-^^"^ "^^iMc-vM7 cJZ^iHr^^
^^^^^^^H^ ^"^^"'^ (5"''**^ A'^-ei'-v^-e^
— ^ T'^''
4-f
^ ^.Y^wt i)^ "^g-T^ -t^^ "^-^^ 7^-^
..cJ^^ ^ Xit^^^ ^^^^ .^,1^
^ — /, -S. i- J^f"
Jjf^ (x^si^ u^u^^ ^<M->T^.^i:^^^ -coc
a^yJi^ ucO^ -U^e V^-<M-c^ jNt, '^^Z' "'^^
tut 't4j. ^ni^-^.uJ-zt^, q4-^ ^o^
t^ ^.^M^'i ^ ^>-^**-^ JImA, i^'tljL^ ;
o^; X, (IT, in:, jz.r.a:,)
^ ,i Tr,(r. nr. nr.ir.T)
IE. (Z, IL.X. IT iT)
-^^"^ H. ( r: X IT X 'yf)
^ = -e"^' H. ( Z X. IL.IL.W.)
in i X. jt. nr. m T.
)
^ . m. ( r. 2E, i: izr. x
)
^ =^^''^ IT ( r. IE. 2r r. IT
)
^ ^ ^ K LT. Z. H.JL. IT.)
6 7
^ * * ^ 1^ ^ ^ ^ ^-^^ ^ - ^
^ ^ ^ ^ . ^ ^ ^ 1^ ^ ^ * ^ ^
4. ^ ^- ^ * *
4.- \ 1. ^ ^ ^ ^ ^ * "
^ ^ ^+ ^ ^ ^ ^ * ^ ^ ^. >f^ ^ %
4. ^ ^ ^ * ^ * ^ ^ * ~*^
^ ^ ^- V ^ >^ ^ ^ ^ ^ ^ * ^
^ ^ 4^ =^ * ^ ^'
^- -it- -4 ^
^ ^ *
^ -'Ik
^ ^ ^ - ^ - 1
-4. ^ " ^ .-
. ^ «*v ^ ,
^^1^ '
^ ^. ^ ^ ^f. ^ ^ -IK ^
^ ^^ ^ ' ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^
* .
' ^ -
^
^ -ifc -J-
^ 4 ^ ^ ^ f ^ ^ ^;^ ^ ^ 4. 4. ^ ^ ^ ^ ^
^ .-^ ^ * ^ ^ ^ ^ ^ "'^ '^^^-^ ->^. i.- > ^ t ^ ^
- ^ -^'^ ^ . ^ ^ 4 ^^^^^^^^
. ^- * ^ ^ ^ ^ ^ ^,
^ * * ^ ^ .
^
^ ^/ ^ ^ ^ ^ ^ ^ * * ^ * ^-^
'
- ^ ^ ^ - ^ ^ f ^ ^. .
^ .^ .
^
.* * *
# V "* I'
* * * * * * * ^ ' " ^
J' i *
* ^ ^ * * *- f * ^ *^ ^ + * * *
* *- * * »- *^ * *^ * *
^% * , + + t * * ,* *
*^ * + +>t + * * ^ * * * + * ^
# * * * * + * *
-*
^ ^
* * ^
^ . ^ ^ ^ ^ - 1^ 1^ ^ ^ ^
^ >f ^ ^ ^ ^- * * ii. 4- 4. t
^ ^ • ^ ^ f 4^,
t.
^^ ^
^^^^^
^ i'''
if.. ^ ^ ^. ^ '
, % " +,
-i^ i^- * i
^ ^ ^ 4 ' ^ ^ , i. ^ 4 \ 4 ^,
* ^^ - % > ^1^
.
^.'
^ ,
t 1^
^ ' ^ ' ^ 4: ^ f -i.^— , 4 4
4 4 i
4 4 44 4 i
Sft ^4 ^' ^ -4: 4
^ 4-
^ ^ ^ i^k- -4.. 4 ^ 4 4 4--
^ 4 ^ 4- ^ ^ '""^ * ^' -4 4 ^ 4 ^-
"
^ ^ ^ ^
4.: ^:,4- :-4. 4. ^
,
*^ 4. ^ ^ %- -f.
' -4-- 4 4 4 ^
4 ^, # ' 4 4 4 ^^ ^ * *^ ^ % 4^ ^
^. ^ ' ^ - 4. 4. ^ ^ ^ ^ 4 4^ ' 4 4^ "4-.-
„ 4 4- ^ 4 ,:4-
;4
^"'
^. ^ ^ ^ 4. =1. 4^- ^ ^ ^
4-,
4 ^
^ ^^ >N 4 ' 4 4 4 4= 4
-i< ^ ^ ^ 4 ^ 4 1*- 4 4 +
4*. -ifv ,% '5f* 4- 'f-
.^^ ^ > * 4k 'Ht* " f»-
^ -l^, 4 4 4
*4
44 4 4 -
44 4 44 4- ^
4-
4 4 "-^
4- 4 %4 4-
4 4 4 ^
4 4 ^-
4 4 --4--
^^ -4 4- -4- 4^'
, 4 -4 ^^ ^ 4 '
If^ t- 4 • -4,
4^. ^ ^ 4 " 4 4 ^' ^
>*..^^''-.,*. ^ 4 4 ' 4 4 ^ 4 4^ ^ 4. 4 4 ^ ^ 4 4
^
4^ ^ ' 4 4-44 > ^- ^ ^ 4
,
^ •
^ 4 . -4 4 4 1^ -4- ^4.
'
^, ^ ^ 4 4 ^ ^ ^ 4 4'
4 '
-i^ 4 4 4 ,4^ 4 4;
1^ i 44 .4 4 4 # • f * , .
l^/ 4. ^ :4 ' -4. 4 4- ',4 *
4 +
44 % '^
'
4- 4 44 ^4
4 44 4 4 4
44 4 ^ 4
^- 44 4 4 4
4 4 4^-
,
-4 4 4 4-
4 4 ^ 44 % If -f
.4. 4 4 4 '
^-
' 4 44 4 4 4
k' 4 4-
> *;4 #
4 4 4 4-
4 4
