talp-1

This chapter is about the orthic triangle of the isosceles

triamgle. This type of triangle is very interesting in itself.

Now we will examine the connection between this

triangle (or rather the focus of the incircle of this triangle)

and the focus of the circumcircle of the original triangle.

After this we will generalize the orthic triangle and

will examine the connection between the generalized

orthic triangle and the original triangle. At the end of the

chapter there is some homework. Good luck to it!

talp-2

Talpponti háromszögnek nevezzük a hegyes szögű háromszög magasságainak talppontjai alkotta háromszöget

MTBP húrnégyszög

MBPMTP

ATMQ szintén húrnégyszög

QTMQAM

Az APC, BQC háromszögekből

CBQCAP

Tehát az ABC háromszög CT magassága a PQT háromszögben szögfelező

talp-3

Azt kaptuk, hogy a hegyes szögű háromszög M

magasságpontja a TPQ talpponti háromszögének a be-

írható körének a középpontja.

talp-4

Most rajzoljuk meg egy KLM háromszög közép-vonalait és oldalfelező merőlegeseit

Az O pont KLM-ben a köré

írt kör középpontja, EFG-

ben pedig magasságpont

Tehát a hegyes szögű háromszög köré írt körének középpontja a középvonalai alkotta háromszögnek éppen a magasságpontja.

talp-5

A kapott két eredményt egybevetve arra jutottunk, hogy a hegyes szögű háromszög köré írt körének középpontja a középvonalai alkotta háromszög talpponti háromszögének a beírható körének a középpontja.

A K pont ABC-ben a köré írt kör közép-pontja, EFG-ben ma-gasságpont, PQR-ben a beírható kör közép-pontja.

talp-6

Általánosítjuk a talpponti háromszöget: legyen P az

ABC háromszög tetszőleges belső pontja. P-ből az

oldalakra állított merőlegesek talppontjai A1B1C1. Az

A1B1C1 háromszöget nevezzük a P ponthoz tartozó első

talpponti háromszögnek. P-ből az A1B1C1 háromszög

oldalaira állított merőlegesek talppontjai legyenek

A2B2C2. Ezt a háromszöget mondjuk a P ponthoz tartozó

második talpponti háromszögnek. Az eljárást n-szer

folytatva megkapjuk a P ponthoz tartozó n-edik

talpponti háromszöget

talp-7

Megmutatjuk, hogy a harmadik talpponti háromszög min-dig hasonló az eredeti háromszöghöz

11PBAC

122 CPBA

233 BPCAnégyszögek

húrnégyszögek

a pirossal jelzett szögek egyenlők

talp-8

11PCAB

PCBA 212

PACB 323

négyszögek szintén húrnégyszögek

a kékkel jelzett szögek is egyenlők

Tehát 333 CABBAC 333 CBAABC

talp-9

Legyen T az ABC he-gyes szögű három-szög A-ból induló magasságának talp-pontja. Igazoljuk, hogy T-ből az AC, BC oldalakra, vala-mint a másik két ma-gasságra állított me-rőlegesek talppontjai egy egyenesre illesz-kednek!

Házi feladatJöjjön végül egy

talp-10

A házi feladat megoldása Megmutatjuk, hogy az S, K, L pontok egy egyenesbe esnek (a K, L, R pontkora ugyanígy lát-ható be).

MTLMKLmert KTLM húrnégyszög

MCTMTL mert merőleges szárú hegyes szögek

STBMCT mert QC és ST párhuzamosak

SKBSTB mert SKTB húrnégyszög (Thalesz)

talp-11

Arra jutottunk, hogy az ábrán azonos módon jelölt szögek egyenlők:

SKBSTBMCTMTLMKL

Tehát az S, K, L pontok valóban egy egyenesen vannak

talp-12