The One-dimensional Cutting Stock Problem with Usable Leftovers and Handling

Constraints: a Case Study

Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

2

Conteúdo

• Apresentação da empresa

• Definição do problema

• Modelo matemático

• Método de solução

• Exemplos

• Perspectivas

3

Motivação

• Produção de lamelado colado (“glued laminated timbers”) para atender mercado internacional

Nordlam GmbH, in Magdeburg.

• Nordlam GmbH

• Localizada em Magdeburg

4

Magdeburg está situada no coração da Europa, com excelente conexão internacional (rodovia, ferrovia e navegação fluvial).

Nordlam GmbH

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Logística – Rio Elba

Rio Elba: nasce na República Tcheca, desagua no Mar do norte, em Hamburgo, no maior porto da Alemanha.

República Tcheca.

Porto em Hamburgo.

Aqueduto de 918m. (228m sobre a água)

Wasserstraßenkreuz

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Produtos: Lamelados Colados

• Resistência à incêncio (embora metal não queime, ele deforma rapidamente);

• Resistência a terremoto (tipo de encaixe);

• Transferência de calor.

• Meio-ambiente: recurso renovável, enquanto metal consome muita energia (recurso não-renovável) para ser produzido.

Madeira x Metal

7

Produtos

8

Classificação

• Dimensão:

Produtos

• Firmeza: BS11, BS14, BS16, BS18

• Qualidade: view (85%)

industry (15%)

9

• Objetos são estocados em diferentes cassetes (aprox. 990 cassetes);

• Perda aceitável de até 2000mm;

• Sobra de 8000mm a 19999mm.

Informações adicionais

10

• Cherri, A. C., Arenales, M. N., Yanasse, H. H. (2008). The one dimensional cutting stock problem with usable leftover – a heuristic approach. EJOR.

Literatura

• Gradisar, M., et al. (1997). Optimization of roll cutting in clothing industry. C&OR.

Constrói padrões de corte adicionando-se e retirando-se itens no padrão.

Algoritimos baseados em níveis de apiração.

• Abuabara, A., Morabito, R. (2008). Cutting optimization of structural tubes to build agricultural light aircrafts. AOR

Indústria de aeronaves.• Koch, S.; König, S.; Wäscher, G. (2008). Linear Programming for a Cutting Problem in the Wood Processing Industry – A Case

Study. Working paper.

Padrões de corte gerados a priori.

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Formulação matemática

kKk

hand

jPpjp

trimjp

Jj

ycxc

)(

min

trim

jpc

.,0

;,

;,

cc

perdaLc

sobraLc

Iiijpij

waste

Iiijpij

leftover

:

:trimjp

hand

c

c Custo de movimentação de cassetes

Custo de padrão de corte

12

.,1,0

);(,,integerand,0

;,

;,

;,t.s.

min

)(

)(

)(

)(

Kky

jPpJjx

JjONMAXx

Jjysx

Iidx

ycxc

k

jp

jjPp

jp

Kkkjk

jPpjp

ijPp

jpijpJj

kKk

hand

jPpjp

trimjp

Jj

Formulação matemática

13

Um padrão de corte p (p P(j)) para um objeto tipo j é representado por um vetor:

que satisfaz:

Um padrão de corte é factível factível quando:

tmjpjpjp ,,α 1

).(,,0

);(,,,integerand,0

);(,,1

);(,,

jPpJjt

jPpJjIi

jPpJj

jPpJjLt

jp

ijp

Iiijp

jjpIi

ijpi

,0 jIi

ijpijp Lt

não há perda:

Perda aceitável:

Sobra:

,0 WLMAXLtIi

ijpijjp

.RLMAXLtRLMINIi

ijpijjp

Padrões de corte

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n = m + m’

m m’

A= NB1. Partição básica

2. Solução básica inicial:

3. Variáveis duais: multiplicadores simplex

4. Custos relativos:

5. Direção simplex

6. Tamanho do passo

7. Atualização e volta ao passo 3.

dB Bx

Bt cB

qccqNk ,ˆminˆDantzig:

Nqaccqqq N

tNN ,ˆ

base na entra variável0

ótima solução0

kac

ac

kt

k

kt

k

Método de solução: Simplex com GC

15

Custos relativos

.max

min

min

,minˆ

wastewaste

wastewaste

waste

iijpiij

iijpi

iijpij

iijpi

iijpij

Nt

N

cLc

cLc

Lc

qccqq

Custos relativos:

Problema da mochila:

zj

mi

jLts

vvz

ijp

jmjpmjp

mjpmjpj

,,1int,and,0

,..

max

11

11

icv iiwaste

i ,

jj zLcc wasteˆ

Custo relativo é dado por:

Minimizar custos totais

iijpijjp Lcc wasteFunção objetivo

16

.)(,,0

;,

;,t.s.

min

jPpJjx

Jjsx

Iidx

xc

jp

jp

jp

ip

jpijpj

pjpjp

j

Problema Mestre Relaxado

(PMR)

Subproblema tipo 1 (SP1)Padrão de corte

Procedimento para a solução

Resolver o PCE usando geração de colunas, com ILOG Concert.

Subproblema tipo 2 (SP2)Padrão de corte com sobra

mi

jL

v

ijp

jIi

ijpi

Iiijpi

,,1,intand0

,t.s.

max

mit

jLt

v

jpijp

Iiijp

jjpIi

ijpi

Iiijpi

,,1,intand0,

,1

,t.s.

max

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(a) Construir o Problema Mestre Relaxado (com padrões de corte homogêneos).

(b) A cada iteração, resolve-se os Subproblemas tipo 1 e tipo 2, para todos os objetos em estoque, em todos os cassetes.

A melhor solução para cada subproblema (menor custo relativo) é adicionada ao Problema Mestre. Porém, todas as colunas são armazenadas.

Quando o processo de geração de colunas termina, tem-se uma solução fracionária para o PMR e todas as colunas que foram geradas no processo.

(c) Converte-se o PM em um problema inteiro a adiciona-se as variáveis binárias yk relativas ao movimento de cassetes.

(d) Resolve-se o PM e obtém-se uma solução inteira para o problema.

Procedimento

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• Custo de movimentação: 6€ por movimentação de cassete

• Custo de material: 320€/m3

• Custo de sobra: 5% do custo do material

• ONMAX: 50% da disponibilidade do objeto padrão

• Perda aceitável: 2000 mm

• Sobra aceitável: entre 8000 mm e 19999 mm

Dados da empresa

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Exemplo

Itens demandados

ComprimentoNúmero Cassete

4 8600 mm 3 24060 mm 849

2 7900 mm 2 24060 mm 163

2 6700 mm 1 19052 mm 163

6 5300 mm 1 16060 mm 849

1 15802 mm 849

1 15802 mm 163

1 12044 mm 163

4 11402 mm 849

1 11136 mm 163

1 9900 mm 163

2 7544 mm 849

1 7042 mm 748

1 6382 mm 163

1 6220 mm 163

1 5428 mm 748

Grupo:

BS11

80 x 180

view

20

Solução para o exemplo

Freq. 8600 7900 6700 5300 CassetePerda/sobra

(mm)Custo por padrão (€)

24060 1 0 0 0 3 849 8160 1,88006

24060 2 2 0 1 0 163 160 0,73728

16060 1 0 0 0 3 849 160 0,73728

15802 1 0 2 0 0 849 2 0,00921

Custo material = 4.10€

Custo mov = 12.00€

Total = 16.10€

Perda = 482 mm (0,46%)

Sobra = 8160 mm

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Experimentos computacionais

53 grupos de produtos

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Experimentos computacionais

de até

Número de tipos de itens 2 16

Número de tipos de objetos 5 82

Número de cassetes 1 13

Média (53 exemplos):

Perda 748 mm 3,44€ 0,71%

Sobra 18324 mm 4,22€

Número de cassetes 1,64 9,84€

Função objetivo 17,51€

Tempo computational 4,7 s

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Conclusões e Perspectivas

• Um problema prático foi modelado e uma abordagem por geração de colunas foi desenvolvida para resolvê-lo.

• A abordagem desenvolvida foi capaz de resolver todos os problemas fornecidos pela empresa em um tempo computacional aceitável e também apresentou solução de qualidade (min valor da f.o.).

• Testes com variação no parêmetro ONMAX.

• Comparação com solução ótima.

Obrigada!