the e-series, happel-seidel symmetry, and orlov’s theorem
TRANSCRIPT
The E-series, Happel-Seidel symmetry, and Orlov’stheorem
Helmut Lenzing
Paderborn
ICRA 2012, Bielefeld, August 15, 2012
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 1 / 1
Happy Birthday!
Happy Birthday!
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 2 / 1
Birthday Cake, Paderborn, March 18. 2010
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 3 / 1
Secret Paper!
Secret Paper!
MAXIMAL COHEN-MACAULAY MODULES AND TATE-COHOMOLOGY
OVER
GORENSTEIN RINGS
Ragnar-Olaf BUCHWEITZ
(Hannover)
The main theme of this article is :
Why should one consider Maximal Cohen-Macaulay Modules ?
Although there has been a lot of work and success lately in the theory
of such modules, of which this conference witnessed, it has remained
mysterious - at least to the present author - why these modules provide
such a powerful tool in studying the algebra and geometry of singula-
rities for example.
We try to give one answer here, at least for the case of Gorenstein
rings. Their role is special as over such rings "maximal Cohen-Macaulay".
and "being a syzygy module of arbitrarily high order" are synonymous.
It turns out, that these modules, in a very precise sense, describe
all stable homological features of such rings.
The motif was the observation that maximal Cohen-Macaulay modules -
at least up to projective modules - carry a natural triangulated struc-
ture which implies that there is a naturally defined cohomology-theory
attached to these modules - the Tate-cohomology.
To be more specific let us explain the essential points in the case
of a local hypersurface ring R :
It was observed by D.Eisenbud, [Eis] , that any finitely generated
module over R admits a minimal free resolution which becomes eventually
periodic of period two.
Maximal Cohen-Macaulay modules over R - without free summands - are
characterized as having a resolution periodic right from the start.
Furthermore, the periodic part of the resolution comes from a "matrix
factorization" of the defining equation and these matrix factorizations
behave like "free complexes modulo two", exhibiting the forementioned
*) Supported by a "Heisenberg-Stipendium" of the DFG.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 4 / 1
Secret Paper!
The E-series, Happel-Seidel symmetry, and Orlov’stheorem
Helmut Lenzing
Paderborn
ICRA 2012, Bielefeld, August 15, 2012
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 5 / 1
The Topic
The Topic
We are interested in the Nakayama k-algebras, k = k,
An(r) : 1x !! 2
x !! 3x !! · · · x !! n− 1
x !! n
given by the equioriented An-quiver with all relations xr = 0.Here is the Auslander-Reiten quiver (n=6,r=3)
◦
◦ ◦
◦ ◦ ◦
•""
•""
•""
•""
•##
""•##
""•##
""•##
""•""
•##
•##
•##
•##
•##
•
Analysis
Bad luck! The matter does not really look exciting!H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 6 / 1
Passage to triangulated categories
Passage to Triangulated Categories
An(r) : 1x !! 2
x !! 3x !! · · · x !! n− 1
x !! n , xr = 0
Put Tn(r) = Db(mod-An(r)). Thus n = rank of K0(Tn(r)).Let P1, P2, . . . , Pn be the indecomposable projectives over An(r), viewedas members of Tn(r).
Observation
The right perpendicular category P⊥n , formed in Tn(r), is equivalent to
Tn−1(r).
For fixed nilpotency degree r we thus obtain a tower of triangulatedcategories
T1(r) ⊂ T2(r) ⊂ · · · ⊂ Tn−1(r) ⊂ Tn(r) · · ·
where each inclusion Tn−1(r) ⊂ Tn(r) is nice (adjoints!).
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 7 / 1
The Aim: Identify the Types
The Aim: Identify the Triangulated Types
Initiated by Happel-Seidel [2010], restricting to piecewise hereditary case.Some triangulated types of relevance:
[a, b, c] Derived category of representations of oriented tree [a, b, c]
(a, b, c) Derived category of coherent sheaves on weighted projectiveline
〈a, b, c] Singularity category of Kleinian or Fuchsian singularity) orDerived category of extended canonical algebra [-,JAP,2011]
〈a, b, c〉 Singularity category of universally graded triangle singularityf = xa + yb + zc (or stable category of vector bundles forweighted projective line) [KLM,2012]
Note
• The types are invariant under permutation.• Typically, the last two types are not piecewise hereditary.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 8 / 1
Algebraic Analysis of Singularities
Algebraic Analysis of Singularities
Start with f = xa + yb + zc, a, b, c ≥ 2, universally graded,by rank one abelian grading group L.We follow Buchweitz (’86) and Orlov (’05) in forming the singularitycategory SingL(S)
S = k[x, y, z]/(f)
!! ""
Db(modL-SmodL
0-S) ## Orlov $$ SingL(S)
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 9 / 1
A quick spectral analysis
Spectral analysis
∞ 48∞ ∞
∞ ∞ ∞ 46∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 44∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 774
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 252 ∞ 42∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 738 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 720 ∞ ∞ ∞ 40∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 234 ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 684 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 38∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 666 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1110
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 72 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 360 ∞ 36∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 630 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 210 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 612 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1020 ∞ ∞ ∞ 34∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 198 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 330 ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 576 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 960 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 32∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 558 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 930 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1302
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 180 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 60 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 420 ∞ 30∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 522 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 870 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1218 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 504 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 840 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 168 ∞ ∞ ∞ 28∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 54 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 270 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 378 ∞ ∞ ∞ 78
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 468 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 780 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1092 ∞ ∞ ∞ 102 78 26∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 450 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 150 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1050 ∞ ∞ ∞ 150 102 1350
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 144 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 240 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 336 138 ∞ 24 ∞ 150 72 ∞ 24∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 414 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 690 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 966 90 138 ∞ ∞ 138 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 396 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 660 ∞ ∞ ∞ 840 ∞ 924 66 90 ∞ 22 ∞ ∞ ∞ 264 ∞ 22∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 126 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 210 ∞ ∞ ∞ 60 840 42 924 66 126 ∞ ∞ ∞ 504 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 360 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 120 ∞ ∞ ∞ 78 60 840 ∞ 60 ∞ ∞ ∞ 40 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 20∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 342 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 570 ∞ ∞ ∞ 114 78 798 38 ∞ ∞ ∞ 456 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 36 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 180 102 ∞ 18 ∞ 114 54 ∞ ∞ ∞ 216 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 432 1260 18∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 306 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 510 66 102 ∞ ∞ 102 ∞ ∞ ∞ 136 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 816 68 52 612
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 288 ∞ ∞ ∞ 420 ∞ 480 48 66 ∞ 16 ∞ ∞ ∞ 48 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 720 ∞ 16 ∞ 816 68 64 ∞ 16∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 90 ∞ ∞ ∞ 42 420 30 480 48 90 ∞ ∞ ∞ 360 ∞ ∞ ∞ ∞ 420 44 60 720 ∞ ∞ 30 ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 252 ∞ ∞ ∞ 54 42 420 ∞ 42 ∞ ∞ ∞ 56 ∞ ∞ ∞ ∞ 756 28 812 336 ∞ 56 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 350 ∞ 14∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 234 ∞ ∞ ∞ 78 54 390 26 ∞ ∞ ∞ 312 ∞ ∞ ∞ ∞ 52 40 364 208 26 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1950 130 ∞ 390
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 72 66 ∞ 12 ∞ 78 36 ∞ ∞ ∞ 72 44 ∞ ∞ 12 ∞ ∞ 52 48 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 840 60 900 ∞ 240 ∞ 60 66 12∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 198 42 66 ∞ ∞ 66 ∞ ∞ ∞ 88 220 32 44 ∞ ∞ ∞ 22 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 110 90 770 550 330 22 198 330 462 54 66
∞ ∞ ∞ 144 ∞ 180 30 42 ∞ 10 ∞ ∞ ∞ 120 380 20 420 ∞ ∞ 40 90 ∞ 270 ∞ 10 ∞ 330 ∞ 110 50 ∞ 360 870 30 930 300 ∞ ∞ ∞ 10∞ ∞ ∞ 24 144 18 180 30 54 ∞ ∞ ∞ 216 36 28 180 ∞ 18 ∞ 450 70 90 ∞ ∞ ∞ ∞ 90 306 ∞ 18 ∞ 342 180 ∞ ∞ 54 1890 126 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 30 24 144 ∞ 24 28 168 ∞ 8 ∞ 216 36 32 ∞ ∞ 40 400 ∞ ∞ ∞ 40 552 24 600 288 ∞ 120 ∞ 48 56 98 ∞ 280 ∞ 168 ∞ 8 ∞ 8∞ ∞ ∞ 42 30 126 14 84 20 28 168 ∞ ∞ 14 ∞ 70 ∞ ∞ ∞ ∞ 70 42 36 210 168 126 84 14 112 168 224 280 48 56 98 ∞ ∞ ∞ 1890 126 ∞ 28
30 ∞ 6 ∞ 42 18 132 12 156 72 ∞ 24 30 50 ∞ ∞ ∞ 6 ∞ ∞ ∞ 70 42 36 ∞ 240 552 24 600 42 306 ∞ 18 ∞ 342 48 870 30 930 420 ∞ 54 66 618 30 ∞ ∞ 30 20 16 60 40 10 60 90 24 30 50 ∞ ∞ 70 ∞ 30 ∞ 40 400 ∞ 70 90 ∞ 270 ∞ 10 ∞ 330 ∞ 110 90 ∞ 840 60 900 50 1950 130 ∞ ∞
12 18 ∞ 4 ∞ 30 20 16 132 12 156 20 28 168 ∞ 8 ∞ 216 36 28 380 20 420 32 44 ∞ ∞ 12 ∞ ∞ 52 40 756 28 812 44 60 720 ∞ 16 ∞ 816 68 52 1260 48 12 18 30 ∞ 6 ∞ 42 30 24 144 18 180 30 42 66 ∞ 12 ∞ 78 54 42 420 30 480 48 66 102 ∞ 18 ∞ 114 78 60 840 42 924 66 90 138 ∞ 24 ∞ 150 102 78 3
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 10 / 1
Examples
Examples
(i) The triangulated types of A6(3), A7(3) and A8(3) are E6 = [2, 3, 3],E7 = [2, 3, 4], and E8 = [2, 3, 5].
(ii) The type of A8(6) is also E8 = 〈〈2, 3, 5〉〉 = [2, 3, 5].
(iii) The type of A12(3) equals 〈〈2, 3, 7〉〉 = 〈2, 3, 7].
·
!!
""
·
!!
·
!!
##
!!!!
· ·
!!
·
!!
·
!!!!
·
!!
·
!!
·
!!
·
!!
·
!!
·
!!
·
!!
$$
!!
·
!!
·
!! !!·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
· && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&&
''
&& ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && ·
%%
!!
&& · && · &&
%%
!!
''
&& · &&
%%
!!
· && · &&
%%
!!
·
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
%%
!!
·
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%((
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
))
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
%%
·
Figure: Realisation of A8(6) by a tilting object in [2, 3, 5] = 〈〈2, 3, 5〉〉
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 11 / 1
The E-series
The E-series (r = 3)
[2, 3, 16] [2, 3, 17] (2, 3, 17) 〈2, 3, 17] ∞ 306 17
[2, 3, 15] [2, 3, 16] (2, 3, 16) 〈2, 3, 16] ∞ 288 ∞
[2, 3, 14] [2, 3, 15] (2, 3, 15) 〈2, 3, 15] ∞ 90 ∞ ∞ 15
[2, 3, 13] [2, 3, 14] (2, 3, 14) 〈2, 3, 14] ∞ 252 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 12] [2, 3, 13] (2, 3, 13) 〈2, 3, 13] ∞ 234 ∞ ∞ ∞ 〈〈2, 3, 13〉〉 13
[2, 3, 11] [2, 3, 12] (2, 3, 12) 〈2, 3, 13] ∞ 72 66 ∞ 〈〈2, 3, 12〉〉 ∞ 78
[2, 3, 10] [2, 3, 11] (2, 3, 11) 〈2, 3, 11] ∞ 198 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ ∞ 66 ∞ 11
[2, 3, 9] [2, 3, 10] (2, 3, 10) 〈2, 3, 10] ∞ 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 ∞ 10 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 8] [2, 3, 9] (2, 3, 9) 〈2, 3, 9] 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 30 54 ∞ ∞ ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉 9
[2, 3, 7] [2, 3, 8] (2, 3, 8) 〈2, 3, 8] 〈〈2, 3, 8〉〉 144 ∞ 24 28 168 ∞ 〈〈2, 8, 4〉〉 ∞ 216 36
[2, 3, 6] [2, 3, 7] (2, 3, 7) 〈2, 3, 7] 30 126 14 84 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ ∞ 14 ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉 7
[2, 3, 5] [2, 3, 6] (2, 3, 6) (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 18 132 〈〈2, 6, 4〉〉 156 72 ∞ 24 〈〈2, 6, 5〉〉 50 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) [2, 3, 7] 30 〈〈2, 5, 4〉〉 16 60 40 〈〈2, 5, 5〉〉 60 90 24 〈〈2, 5, 6〉〉 50 ∞ ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉 5
[2, 3, 3] [2, 3, 4] (2, 3, 4) (2, 4, 4) (2, 4, 5) 30 〈〈2, 4, 5〉〉 16 132 〈〈2, 4, 6〉〉 156 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ 〈〈2, 4, 8〉〉 ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉
[2, 2, 3] [2, 3, 3] [2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) (2, 3, 6) (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 30 〈〈2, 3, 8〉〉 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ 〈〈2, 3, 12〉〉 ∞ 〈〈2, 3, 13〉〉 3
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Note
(i) The sequence (Tn(3)), n ≥ 6, extends the exceptional types E6, E7,E8 to an infinite sequence: the E-series.
(ii) For n even, the categories Tn(3) are singularity categories of type〈〈a, b, c〉〉, marked in green. [KLM, 2012]
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 12 / 1
The E-series
The E-series II
1 The E-series (Tn(3)) plays a special role within the family Tn(r)the only sheaf types occurring are (2, 3, p);the only tree types occurring are [2, 3, p];the only Fuchsian types occurring are 〈2, 3, p].
By contrast, all triangle types 〈〈2, b, c〉〉 occur.2 The E-series Tn(3) extends the types E6, E7, E8, and contains further
exceptional types from singularity theory like E12.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 13 / 1
The E-series III
The E-series III, Spectral Analysis
3 The Coxeter polynomial of each Tn(3) factors into cyclotomics.
4 The Coxeter transformation of Tn(3) is periodic, except for n = 9, 11(mod 12). [Generally speaking, one has some ’weak periodicity’modulo 12.]
5 Explicit factorizations are available for the Coxeter polynomial of eachTn(3), compare [Hille-Muller,’12].
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 14 / 1
Happel-Seidel symmetry
Happel-Seidel symmetry
[2, 3, 16] [2, 3, 17] (2, 3, 17) 〈2, 3, 17] ∞ 306
[2, 3, 15] [2, 3, 16] (2, 3, 16) 〈2, 3, 16] ∞ 288 ∞
[2, 3, 14] [2, 3, 15] (2, 3, 15) 〈2, 3, 15] ∞ 90 ∞ ∞
[2, 3, 13] [2, 3, 14] (2, 3, 14) 〈2, 3, 14] ∞ 252 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 12] [2, 3, 13] (2, 3, 13) ∞ ∞ 234 ∞ ∞ ∞ 〈〈2, 3, 13〉〉
[2, 3, 11] [2, 3, 12] (2, 3, 12) ∞ ∞ 72 66 ∞ 〈〈2, 3, 12〉〉 ∞ 78
[2, 3, 10] [2, 3, 11] (2, 3, 11) 〈2, 3, 11] ∞ 198 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ ∞ 66 ∞
[2, 3, 9] [2, 3, 10] (2, 3, 10) 〈2, 3, 10] ∞ 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 ∞ 10 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 8] [2, 3, 9] (2, 3, 9) 〈〈2, 3, 8〉〉 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 〈〈2, 3, 10〉〉 54 ∞ ∞ ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉
[2, 3, 7] [2, 3, 8] (2, 3, 8) 〈2, 3, 8] 〈〈2, 3, 8〉〉 144 ∞ 24 28 168 ∞ 〈〈2, 8, 4〉〉 ∞ 216 36
[2, 3, 6] [2, 3, 7] (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 30 126 14 84 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ ∞ 14 ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉
[2, 3, 5] [2, 3, 6] (2, 3, 6) (2, 3, 7) 42 18 132 〈〈2, 6, 4〉〉 156 72 ∞ 24 〈〈2, 6, 5〉〉 50 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) [2, 3, 7] 30 〈〈2, 5, 4〉〉 16 60 40 〈〈2, 5, 5〉〉 60 90 24 〈〈2, 5, 6〉〉 50 ∞ ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉
[2, 3, 3] [2, 3, 4] (2, 3, 4) (2, 4, 4) (2, 4, 5) 30 〈〈2, 4, 5〉〉 16 132 〈〈2, 4, 6〉〉 156 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ 〈〈2, 4, 8〉〉 ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉
[2, 2, 3] [2, 3, 3] [2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) (2, 3, 6) (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 30 〈〈2, 3, 8〉〉 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ 〈〈2, 3, 12〉〉 ∞ 〈〈2, 3, 13〉〉
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 15 / 1
Happel-Seidel symmetry II
Happel-Seidel symmetry II
Theorem (KLM 2012)
Assume a, b,≥ 2. Put n = (a− 1)(b− 1). Then
(i) An(a) and An(b) are derived equivalent to 〈〈2, a, b〉〉.(ii) An−1(a) and An−1(b) are derived equivalent.
(iii) An+1(a) and An+1(b) are derived equivalent.
Sketch. (i) Realize An(3) by a tilting object in 〈〈2, a, b〉〉 and usesymmetry of the symbol.For (ii), (iii) use explicit form of tilting object representing An(3), andcombine with perpendicular calculus resp. 1-point extension [Barot-L].
Remark
1. Ladkani has related results (different method).2. Often HS-symmetry extends to intervals with 5 members (not just 3).Proof is similar.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 16 / 1
An instance of Orlov’s theorem
An instance of Orlov’s theorem
[2, 3, 16] [2, 3, 17] (2, 3, 17) 〈2, 3, 17] ∞ 306
[2, 3, 15] [2, 3, 16] (2, 3, 16) 〈2, 3, 16] ∞ 288 ∞
[2, 3, 14] [2, 3, 15] (2, 3, 15) 〈2, 3, 15] ∞ 90 ∞ ∞
[2, 3, 13] [2, 3, 14] (2, 3, 14) 〈2, 3, 14] ∞ 252 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 12] [2, 3, 13] (2, 3, 13) ∞ ∞ 234 ∞ ∞ ∞ 〈〈2, 3, 13〉〉
[2, 3, 11] [2, 3, 12] (2, 3, 12) ∞ ∞ 72 66 ∞ 〈〈2, 3, 12〉〉 ∞ 78
[2, 3, 10] [2, 3, 11] (2, 3, 11) 〈2, 3, 11] ∞ 198 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ ∞ 66 ∞
[2, 3, 9] [2, 3, 10] (2, 3, 10) 〈2, 3, 10] ∞ 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 ∞ 10 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 8] [2, 3, 9] (2, 3, 9) 〈〈2, 3, 8〉〉 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 30 54 ∞ ∞ ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉
[2, 3, 7] [2, 3, 8] (2, 3, 8) 〈2, 3, 8] 〈〈2, 3, 8〉〉 144 ∞ 24 28 168 ∞ 〈〈2, 8, 4〉〉 ∞ 216 36
[2, 3, 6] [2, 3, 7] (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 30 126 14 84 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ ∞ 14 ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉
[2, 3, 5] [2, 3, 6] (2, 3, 6) (2, 3, 7) 42 18 132 〈〈2, 6, 4〉〉 156 72 ∞ 24 〈〈2, 6, 5〉〉 50 ∞ ∞ ∞
[2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) [2, 3, 7] 30 〈〈2, 5, 4〉〉 16 60 40 〈〈2, 5, 5〉〉 60 90 24 〈〈2, 5, 6〉〉 50 ∞ ∞ 〈〈2, 5, 7〉〉
[2, 3, 3] [2, 3, 4] (2, 3, 4) (2, 4, 4) (2, 4, 5) 30 〈〈2, 4, 5〉〉 16 132 〈〈2, 4, 6〉〉 156 20 〈〈2, 4, 7〉〉 168 ∞ 〈〈2, 4, 8〉〉 ∞ 216 〈〈2, 4, 9〉〉
[2, 2, 3] [2, 3, 3] [2, 3, 4] [2, 3, 5] (2, 3, 5) (2, 3, 6) (2, 3, 7) 〈〈2, 3, 7〉〉 30 〈〈2, 3, 8〉〉 144 〈〈2, 3, 9〉〉 180 〈〈2, 3, 10〉〉 42 〈〈2, 3, 11〉〉 ∞ 12 ∞ 78
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 17 / 1
Global Picture
Global Picture: Cofinality
Theorem
The triangle singularities 〈〈2, a, b〉〉, a, b ≥ 2, are cofinal in the set of allTn(r) with r ≥ 3.That is, for each such category Tn(r) there exists a singularity category Tof type 〈〈2, a, b〉〉 and an explicit exceptional sequence E = (E1, . . . , Es) inT such that Tn(r) equals the perpendicular category E⊥, formed in T .
To a certain extend this reduces the study of the Tn(r) to singularitytheory.
Conjecture
‘Most’ categories Tn(r) are themselves singularity categories.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 18 / 1
Global Picture
References
R.-O. Buchweitz. Maximal Cohen-Macaulay Modules and Tate-Cohomology overGorenstein Rings. Preprint, 1986.
D. Happel and U. Seidel. Piecewise hereditary Nakayama algebras. Algebr.Represent. Theory, 13(6):693–704, 2010.
L. Hille and J. Muller. On tensor products of path algebras of type A.arXiv:1206.1152, 2012.
D. Kussin, H. Lenzing, and H. Meltzer. Triangle singularities, ADE-chains, andweighted projective lines. arXiv:12035505, 2012.
S. Ladkani. On derived equivalences of lines, rectangles and triangles.arXiv:0911.5137, 2009.
H. Lenzing and J.A. de la Pena. The E-series, Happel-Seidel symmetry, andOrlov’s theorem. In preparation.
D. Orlov. Derived categories of coherent sheaves and triangulated categories of
singularities. Progr. Math., vol. 270, 503–531, Birkhauser, Boston, MA, 2009.
H. Lenzing () E-series, HS symmetry, Orlov’s theorem ICRA 2012 19 / 1