1. Satuan dan Dimensi

1.1. Satuan

Apakah satuan dan dimensi itu dan bagaimana cara membedakannya?

Dimensi (Dimennsion) adalah konsep dasar kita mengenai pengukuran seperti panjang, waktu, massa, suhu, dan sebagainya. Satuan (unit) adalah cara untuk menyatakan dimensi, seperti kaki atau centimeter untuk panjang, atau jam atau sekon untuk waktu. Dengan membubuhkan satuan pada semua angka yang pada dasarnya berdimensi, anda memperoleh beberapa keuntungan yang sangat praktis berikut ini:

1. Menghilangkan kemungkinan terbalik yang tidak disengaja dalam bagian-bagian perhitungan

2. Mengurangi perhitungan tengah (intermediate) dan waktu dalam memecahkan soal, 3. Pendekatan logis kepada soal bukannya menghafal rumus dan memasukkan angka-

angka ke dalamnya, 4. Penafsiran yang mudah terhadap arti fisis dari angka-angka yang anda gunakan.

Sistem Satuan Internasional (nama aslinya dalam bahasa Perancis: Systme International d'Units atau SI) adalah sistem satuan atau besaran yang paling umum digunakan. Pada awalnya sistem ini merupakan sistem MKS, yaitu panjang (meter), massa (kilogram), dan waktu (detik/sekon). Sistem SI ini secara resmi digunakan di semua negara di dunia kecuali Amerika Serikat (yang menggunakan Sistem Imperial), Liberia, dan Myanmar.

Kuantitas Satuan Dasar Simbol

Panjang

Massa

Waktu

Arus listrik

Temperatur

Intensitas cahaya

meter

kilogram

sekon

Ampere

Kelvin

Candela

m

kg

s

A

K

Cd

Tabel 1.1 Tabel Satuan SI

Kuantitas Satuan Turunan Simbol Satuan SI atau Yang diturunkan

Frekuensi

Gaya

Tekanan

Enersi kerja

Daya

Muatan listrik

GGL/beda potensial

Kapasitas listrik

Tahanan listrik

Konduktansi

Fluksi magnetis

Kepadatan fluksi

Induktansi

Fluksi cahaya

Kemilauan

hertz

newton

pascal

joule

watt

coulomb

volt

farad

ohm

siemens

Weber

Tesla

Henry

Lumen

lux

Hz

N

Pa

J

W

C

V

F

S

Wb

T

H

lM

lx

1 Hz = 1 s-1

1 N = I kgm/s2

1 Pa = 1 N/m2

1 J = 1 Nm

1 W = 1 J/s

1 C = 1 As

1 V = 1 W/A

1 F = 1 AsIV

1 = I V/A

1 S = 1 - 1

1 Wb = I Vs

1 T = 1 Wb/m2

1 H = 1 Vs/A

l m = 1 cd sr

l x = 1 lm/m2

Tabel 1.2 Tabel Turunan Satuan SI

Berikut ini adalah tabel satuan SI dan satuan American Engineering beserta turunannya.

Anda dapat menjumlah, mengurangi, atau menyamakan kuantitas numerik hanya bila satuan-satuan dari kuantitas tersebut sama. Jadi operasinya

5 Kilogram + 3 Joule

Tidak dapat dikerjakan karena dimensi maupun satuan dari dua unsur (terms) tersebut berbeda. Operasi numerik

10 lb + 5 gram

Dapat dikerjakan (karena dimensinya sama, massa) hanya setelah satuannya diubah menjadi sama, entah dalam lb, atau gram, atau ons, dan sebagainya.

Perkalian dan pembagian

Anda dapat mengalikan atau membagi satuan-satuan yang tidak sama jika dikehendaki seperti 50(Kg)(m)/(s)

Tetapi anda tidak dapat menghapuskan atau menggabungkan satuan kecuali bila mereka identik. Jadi, 3 m2/60 cm bisa dikonvesikan menjadi 3 m2/0,6 m dan kemudian menjadi 5 m. Satuan mengandung sejumlah informasi penting yang tidak dapat diabaikan. Mereka juga bermanfaat sebagai penuntun dalam pemecahan masalah yang efisien, seperti yang segera akan anda lihat berikut ini.

Contoh 1.1 Dimensi dan Satuan

Jumlahkanlah soal berikut ini:

a. 1 kaki + 3 sekon b. 1 tenaga kuda + 300 watt

Jawaban:

Operasi yang ditunjukkan oleh 1 ft + 3 s

Tidak bisa dijumlahkan karena dimensi dari dua unsur tersebut tidak sama. ft satuan untuk panjang dan s adalah satuan untuk massa atau waktu. Dalam kasus 1 Hp + 300 Watt.

Dimensinya sama (energi per satuan warna) tetapi satuannya berbeda. Anda harus mengubah kedua kuantitas tersebut menjadi satuan yang sama. Seperti tenaga kuda (hp) atau watt sebelum penjumlahan dapat dilaksanakan. Karena 1 hp = 746 watt

746 watt +300 watt = 1046 watt

Factor Prefix Symbol Factor Prefix Symbol 1024 = (103)8 yotta Y 10-1 deci d 1021 = (103)7 zetta Z 10-2 centi c 1018 = (103)6 exa E 10-3 = (10-3)1 milli m 1015 = (103)5 peta P 10-6 = (10-3)-2 micro 1012 = (103)4 tera T 10-9 = (10-3)3 nano n 109 = (103)3 giga G 10-12 = (10-3)4 pico p 106 = (103)2 mega M 10-15 = (10-3)5 femto f 103 = (103)1 kilo k 1018 = (10-3)6 atto a

102 hecto h 10-21 = (10-3)7 zepto z 101 deka da 10-24 = (10-3)8 yocto y

Tabel 1.3 Tabel SI Prefixes

Pembedaan antara huruf besar dan kecil darus diikuti sekalipun simbol muncul dalam penerapan dengan huruf-huruf lain tertulis dalam bentuk huruf besar. Singkatan satuan memiliki bentuk yang sama untuk tunggal maupun majemuk, dan tidak diakhiri dengan titik (kecuali untuk satu inci). Salah satu keistimewaan sistem SI adalah bahwa (kecuali untuk waktu) satuan dan kelipatan atas dan kelipatan bawahnya dihubungkan oleh faktor standar yang ditandai dengan awalan seperti yang ditunjukkan dalam 1.3. Awalan tidak disukai untuk penggunaan satuan (kecuali untuk kg).

Apabila suatu campuran satuan dibentuk oleh perkalian dari dua atau lebih satuan lain, simbolnya terdiri dari simbol tiap-tiap satuan dihubungkan dengan titik tengah (contohnya N.m untuk Newton meter). Titik ini boleh dihilangkan untuk satuan-satuan yang sudah lazim seperti watt-hour (simbol Wh) jika tidak menimbulkan kebingungan, atau bila simbol-simbol tersebut dipisahkan oleh pangkat positif dan negatif boleh digunakan bersama simbol untuk satuan-satuan terpisah baik yang dipisahkan oleh tanda pecahan atau dikalikan dengan pangkat negatif (contohnya m/s atau ms-1 untuk meter per sekon). Akan tetapi kita menggunakan titik tengah untuk perkalian dalam teks ini. Titik dapat dengan mudah membingungkan selang beberapa waktu hilang sama sekali dalam perhitungan yang ditulis tangan. Sebagai gantinya kita akan menggunakan tanda kurung atau garis vertikal, tergantung mana yang lebih memudahkan untuk perkalian atau pembagian. Juga ketentuan SI untuk menghindari kebingungan dalam angka-angka yang ditulis dengan tangan.

1.2. Dimensi

Dimensi besaran diwakili dengan simbol, misalnya M, L, T yang mewakili massa (mass), panjang (length), dan waktu (time). Ada dua macam dimensi yaitu Dimensi Primer dan Dimensi Sekunder. Dimensi Primer meliputi M (untuk satuan massa), L (untuk satuan panjang) dan T (untuk satuan waktu). Dimensi Sekunder adalah dimensi dari semua Besaran Turunan yang dinyatakan dalam Dimensi Primer. Contoh : Dimensi Gaya : M L T-2atau dimensi Percepatan : L T-2.

Berikut adalah tabel yang menunjukkan dimensi dan satuan tujuh besaran dasar dalam sistem SI.

Tabel 1.4 Dimensi dari Satuan SI

Manfaat dimensi dalam fisika antara lain :

(1) Dapat digunakan untuk membuktikan dua besaran sama atau tidak. Dua besaran sama jika keduanya memiliki dimensi yang sama atau keduanya termasuk besaran vektor atau skalar,

(2) Dapat digunakan untuk menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar,

(3) dapat digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan besaran fisis tersebut dengan besaran-besaran fisis lainnya diketahui.

Satuan dan dimensi suatu variabel fisika adalah dua hal berbeda. Satuan besaran fisis didefinisikan dengan perjanjian, berhubungan dengan standar tertentu (contohnya, besaran panjang dapat memiliki satuan meter, kaki, inci, mil, atau mikrometer), namun dimensi besaran panjang hanya satu, yaitu L. Dua satuan yang berbeda dapat dikonversikan satu sama lain (contohnya: 1 m = 39,37 in; angka 39,37 ini disebut sebagaifaktor konversi), sementara tidak ada faktor konversi antarlambang dimensi.

Analisis Dimensi

Analisis dimensi adalah cara yang sering dipakai dalam fisika, kimia dan teknik untuk memahami keadaan fisis yang melibatkan besaran yang berbeda-beda. Analisis dimensi selalu digunakan untuk memeriksa ketepatan penurunan persamaan. Misalnya, jika suatu besaran fisis memiliki satuan massa dibagi satuan volume namun persamaan hasil penurunan hanya memuat satuan massa, persamaan tersebut tidak tepat. Hanya besaran-besaran berdimensi sama yang dapat saling ditambahkan, dikurangkan atau disamakan. Jika besaran-besaran berbeda dimensi terdapat di dalam persamaan dan satu sama lain dibatasi tanda + atau - atau =, persamaan tersebut harus dikoreksi terlebih dahulu sebelum digunakan. Jika besaran-besaran berdimensi sama maupun berbeda dikalikan atau dibagi, dimensi besaran-besaran tersebut juga terkalikan atau terbagi. Jika besaran berdimensi dipangkatkan, dimensi besaran tersebut juga dipangkatkan.

Seringkali kita dapat menentukan bahwa suatu rumus salah hanya dengan melihat dimensi atau satuan dari kedua ruas persamaan. Sebagai contoh, ketika kita menggunakan rumus A= 2.Phi.r untuk menghitung luas. Dengan melihat dimensi kedua ruas persamaan, yaitu [A] = L2 dan [2.phi.r] = L kita dengan cepat dapat menyatakan bahwa rumus tersebut salah karena dimensi kedua ruasnya tidak sama. Tetapi perlu diingat, jika kedua ruas memiliki dimensi yang sama, itu tidak berarti bahwa rumus tersebut benar. Hal ini disebabkan pada rumus tersebut mungkin terdapat suatu angka atau konstanta yang tidak memiliki dimensi, misalnya Ek = 1/2 mv2 , di mana 1/2 tidak bisa diperoleh dari analisis dimensi. harus ingat karena dalam suatu persamaan mungkin muncul angka tanpa dimensi, maka angka tersebut diwakili dengan suatu konstanta tanpa dimensi, misalnya konstanta k.

Contoh Soal : menentukan dimensi suatu besaran

Tentukan dimensi dari besaran-besaran berikut ini : (a) volum, (b) massa jenis, (c) percepatan, (d) usaha

Jawaban :

(a) Persamaan Volum adalah hasil kali panjang, lebar dan tinggi di mana ketiganya memiliki dimensi panjang, yakni [L]. Dengan demikian, Dimensi Volumnya adalah

b) Persamaan Massa Jenis adalah hasil bagi massa dan volum. Massa memiliki dimensi [M] dan volum memiliki dimensi [L]3. Dengan demikian Dimensi massa jenis :

(c) Persamaan Percepatan adalah hasil bagi Kecepatan (besaran turunan) dengan Waktu, di mana Kecepatan adalah hasil bagi Perpindahan dengan Waktu. Oleh karena itu, kita terlebih dahulu menentukan dimensi Kecepatan, kemudian dimensi Percepatan.

(d) Persamaan Usaha adalah hasil kali Gaya (besaran Turunan) dan Perpindahan (dimensi = [L]), sedang Gaya adalah hasil kali massa (dimensi = [M]) dengan percepatan (besaran turunan). Karena itu kita tentukan dahulu dimensi Percepatan (lihat (c)), kemudian dimensi Gaya dan terakhir dimensi Usaha.

Pembedaan antara huruf besar dan kecil darus diikuti sekalipun simbol muncul dalam penerapan dengan huruf-huruf lain tertulis dalam bentuk huruf besar. Singkatan satuan memiliki bentuk yang sama untuk tunggal maupun majemuk, dan tidak diakhiri dengan titik (kecuali untuk satu inci). Salah satu keistimewaan sistem SI adalah bahwa (kecuali untuk waktu) satuan dan kelipatan atas dan kelipatan bawahnya dihubungkan oleh faktor standar yang ditandai dengan awalan seperti yang ditunjukkan dalam 1.3. Awalan tidak disukai untuk penggunaan satuan (kecuali untuk kg).

Apabila suatu campuran satuan dibentuk oleh perkalian dari dua atau lebih satuan lain, simbolnya terdiri dari simbol tiap-tiap satuan dihubungkan dengan titik tengah (contohnya N.m untuk Newton meter). Titik ini boleh dihilangkan untuk satuan-satuan yang sudah lazim seperti watt-hour (simbol Wh) jika tidak menimbulkan kebingungan, atau bila simbol-simbol tersebut dipisahkan oleh pangkat positif dan negatif boleh digunakan bersama simbol untuk satuan-satuan terpisah baik yang dipisahkan oleh tanda pecahan atau dikalikan dengan pangkat negatif (contohnya m/s atau ms-1 untuk meter per sekon). Akan tetapi kita menggunakan titik tengah untuk perkalian dalam teks ini. Titik dapat dengan mudah membingungkan selang beberapa waktu hilang sama sekali dalam perhitungan yang ditulis tangan. Sebagai gantinya kita akan menggunakan tanda kurung atau garis vertikal, tergantung mana yang lebih memudahkan untuk perkalian atau pembagian. Juga ketentuan SI untuk menghindari kebingungan dalam angka-angka yang ditulis dengan tangan.

1.3. Konversi Satuan dan Faktor Konversi

Dalam buku ini untuk membantu anda mengikuti perhitungan dan menekankan penggunaan satuan kita sering menggunakan bentuk khusus dalam perhitungan, seperti yang ditunjukkan dalam contoh 1.2 di bawah ini, yang berisi satuan-satuan yang terlibat maupun angka-angka. Konsepnya adalah mengalikan semua angka dan satuan yang terkait dengan rasio tanpa dimensi yang disebut faktor konversi (conversion factor) sampai pada jawaban yang diinginkan dan satuan yang terkait dengannya. Faktor konversinya adalah pernyataan nilai yang ekivalen dari unit-unit yang berbeda dalam satuan yang terkait dalam sistem yang sama atau diantara sistem-sistem satuan. Dalam kulit muka buku ini anda akan menemukan tabel faktor konversi. Hafalkan beberapa faktor yang umum untuk menghemat waktu untuk mencarinya. Dibutuhkan waktu yang lebih singkat untuk mengguanakan beberapa faktor konversi yang anda ketahui daripada mencarinyalansung dalam buku pegangan.

Contoh 1.2 Konversi Satuan

Jika sebuah pesawat terbang dengan kecepatan dua kali kecepatan suara (asumsikan kecepatan suara adalah 1100 ft/s) berapa kecepatannya dalam mil per jam?

2 1100 ft 1 mil 60 s 60 min s 5280 ft 1 min 1 hr

= 1500 mil/hr

Perhatikan bentuk perhitungan dalam contoh 1.2. Kita telah mengerjakan perhitungan menggunakan garis vertikal yang memisahkan rasio. Garis-garis tersebut bermakna sebagaimana halnya . atau tanda kali x yang terletak diantara setiap satuan dalam pemecahan masalah. Dianjurkan anda untuk menuliskan satuan disamping nilai numerik yang bersangkutan (kecuali bila perhitungannya sangat sederhana) sampai anda menjadi benar-benar terbiasa dengan penggunaan satuan dan dimensi dan dapat mengingatnya di luar kepala.

Pada setiap bagian persamaan dimensional anda dapat menentukan jaringan satuan gabungan dan melihat konversi apa yang masih dibutuhkan. Jika diinginkan, anda dapat mengerjakan hal ini secara formal seperti yang ditunjukkan dibawah ini dengan menarik garis miring dibawah persamaan dimensional dan menulis satuan gabungan pada garis tersebut, atau itu dapat dilakukan dengan mata, menghapuskannya dalam ingatan dan menghimpun satuan-satuan, atau anda dapat mencoret pasangan-pasangan satuan sambil jalan:

2 x 1100 ft 1 mil 60 s 60 min s 5280 ft 1 min 1 hr

ft/s mil/s mil/min

Penggunaan persamaan dimensional yang konsisten sepanjang karir profesional anda akan membantu anda dalam menghindari kesalahan-kesalahan tolol seperti konversi 10 centimeter ke inci dengan mengalikannya dengan 2,54:

2,54 = 25,4

Perhatikan betapa mudahnya anda menemukan kesalahan besar yang terjadi dengan memasukkan satuan dalam perhitungan. Berikut ini adalah sebuah contoh lain tentang konversi satuan.

Contoh 1.3 Penggunaan Satuan

Ubahlah 400 in3/hari ke dalam cm3/min

10 cm 2,54 cm

in

Jawaban:

400 in3 2,54 cm 1 hari 1 hr = 4,56 cm3 / min

hari 1 in 24 hr 60 min

Dalam contoh ini perhatikan bahwa tidak hanya bilangan yang dipangkatkan, tetapi satuan-satuan juga dipangkatkan dengan pangkat yang sama.

Konversi satuan SI lebih sederhana daripada konversi dalam sistem American Engineering. Kita dapat menggunakan hukum Newton untuk membandingkan satuan-satuan yang bersangkutan:

F = Cma (1-1)

Dengan F = gaya (Force)

C = sebuah konstanta yang nilai dan satuannya tergantung pada nilai dan satuan yang dipilih untuk F, m, dan a.

m = massa

a = percepatan

Dalam sistem SI, satuan gaya didefinisikan sebagai Newton (N), jika C = 1 N/(Kg)(m)/s2. Kemudian dipercepat pada 1 m/s2

F = 1 N 1 Kg 1 m = 1 N (Kg)(m) s2

s2

Diperlukan sebuah faktor konversi untuk menghasilkan newton sebagai hasil akhir, tetapi nilai faktor konversinya 1 sehingga faktor konversinya tampak sederhana, bahkan tidak ada.

Dalam sistem american engineering faktor konversi juga dibutuhkan, tetapi dengan beberapa batasan. Kita menginginkan agar nilai numerik gaya dan massa sama di seluruh permukaan bumi. Oleh karena itu, jika sebuah massa 1 lb massa dipercepat pada g ft/s2. Dengan g adalah percepatan gravitasi (sekitar 32,2 ft/s2 tergantung dari lokasi massa tersebut). Kita dapat membuat gaya menjadi 1 lb gaya dengan memilih nilai numerik dan satuan yang tepat untuk C.

(1-2)

Perhatikan bahwa untuk membuat persamaan (1-2) berlaku, satuan C harus

F = (C) 1 lbm g ft = 1 lbf s2

Nilai numerik 1/32,174 dipilih untuk nilai numerik konstanta tersebut karena 32.174 adalah nilai numerik percepatan gravitasi rata-rata (g) pada permukaan laut pada garis lintang 45o jika g dinyatakan dalam ft/s2. Percepatan gravitasi seperti yang mungkin anda ongat, bervariasi sekitar sepersepuluhan persen dari satu tempat ke tempat lain di permukaan bumi. Kebalikan dari faktor konversi dengan nilai numerik 32,174 tersebut diberi simbol khusus gc

= 32,174 ()()()( ) Pembagian dengan gc menghasilkan hasil yang tepat sama dengan pengalian dengan C dalam hukum Newton. Oleh karena itu, anda dapat melihat bahwa dalam sistem american engineering kita memperoleh kemudahan bahwa nilai numerik 1 massa lb sama dengan nilai numerik 1 lbf jika nilai numerik rasio g/gc sama dengan 1, seperti yang kurang lebih terdapat dalam banyak kasus.

= 1( )()32,174()() (1 )( ) = 1 Selanjutnya, satu lb massa dikatakan memiliki berat 1 lb jika massa tersebut berada dalam kesetimbangan statis pada permukaan bumi. Kita dapat mendefinisikan berat (weight) sebagai kebalikan dari gaya yang dibutuhkan menyangga sebuah massa. Untuk konsep berat bagi massa-massa yang tidak tetap pada permukaan bumi seperti roket atau satelit.

Sebagai kesimpulan, ingatlah selalu bahwa g dan gc berbeda. Juga, jangan pernah lupa bahwa lb (massa) dan lb (gaya) bukanlah satauan yang sama dalam sistem american engineering, meskipun kita menggunakan lb untuk menyatakan gaya, berat, atau massa. Hampir semua pengajar dan penulis dalam fisika, teknik, dan bidang-bidang yang bersangkutan berhati-hati menggunakan istilah massa, gaya, dan berat secara tepat dalam komunikasi teknis. Sebaiknya, dalam bahasa sehari-hari kebanyakan orang, termasuk ilmuwan dan sarjana teknik, menhilangkan penandaan gaya atau massa dalam hubungannya dengan lb tetapi mengambil artinya dalam konteks kalimat. Tak seorangpun bingung dengan kenyataan tentang seseorang yang tingginya 6 kaki namun hanya mempunyai dua kaki. Dalam buku ini, penggunaan lb (untuk massa) atau f (untuk gaya) hanya digunakan untuk mengindari kebingungan.

Contoh 1.4 Penggunaan gc

Seratus lb air mengalir melalui pipa pada kecepatan 10,0 ft/s. Berapa energi kinetik air ini dalam (ft lbf) ?

Jawaban

Energi kinetik (K) = mv2

Asumsikan bahwa 100 lb air berarti massa air tersebut

K = 1 100 lbm (10 ft)2 1 = 155

(ft)(lbf) 2 (s)2 32,174 (ft)(lbm) (s)(lbf)

1.4. ANGKA PENTING DAN GALAT

Angka penting adalah semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran, yang terdiri dari angka eksak dan satu angka terakhir yang ditaksir (atau diragukan). Misalnya kita mengukur panjang suatu benda dengan mistar berskala mm dan melaporkan hasilnya dalam 4 angka penting, didapat 114,5 mm. Jika panjang benda tersebut kita ukur dengan jangka sorong maka hasilnya dilaporkan dalam 5 angka penting, misalnya 114,40 mm, dan jika diukur dengan mikrometer sekrup maka hasilnya dilaporkan dalam 6 angka penting, misalnya 113,390 mm. Ini menunjukkan bahwa banyak angka penting yang dilaporkan sebagai hasil pengukuran mencerminkan ketelitian suatu pengukuran. Makin banyak angka penting yang dapat dilaporkan, makin teliti pengukuran tersebut. Tentu saja pengukuran panjang dengan mikrometer sekrup lebih teliti dari jangka sorong dan mistar.

Pada hasil pengukuran mistar tadi dinyatakan dalam bilangan penting yang mengandung 4 angka penting : 114,5 mm. Tiga angka pertama, yaitu: 1, 1, dan 4 adalah angka eksak karena dapat dibaca pada skala, sedang satu angka terakhir, yaitu 5 adalah angka taksiran karena angka ini tidak bisa dibaca pada skala, tetapi hanya ditaksir.

Aturan-aturan angka penting:

1. Semua angka bukan nol adalah angka penting.

2. Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan nol termasuk angka penting.

3. Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir dari angka-angka yang ditulis di belakang koma desimal termasuk angka penting.

4. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal adalah bukan angka penting.

5. Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah agar jelas apakah angka-angka nol tersebut adalah angka penting atau bukan.

Bilangan penting diperoleh dari kegiatan mengukur, sedangkan bilangan eksak diperoleh dari kegiatan membilang. Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan bilangan eksak hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan pentingnya.

Angka lebih kecil dari sama dengan 4 ditiadakan dalam pembulatan, sehingga angka sebelumnya tidak berubah. Angka lebih besar sama dengan 5 dibulatkan ke atas, sehingga angka sebelumnya bertambah dengan satu.

Banyak angka penting dalam hasil perkalian atau pembagian bilangan-bilangan penting sama dengan banyak angka penting dari bilangan penting yang memiliki angka penting paling sedikit. Hasil penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan penting hanya boleh mengandung satu angka taksiran. Hasil memangkatkan atau menarik akar suatu bilangan penting hanya boleh memiliki angka penting sebanyak angka penting dari bilangan penting yang dipangkatkan atau ditarik akarnya. Perbedaan hasil pengukuran panjang suatu benda dengan mistar, jangka sorong dan mikrometer sekrup adalah pada ketidakpastian (uncertainty) pengukuran tersebut. Pengukuran dengan mikrometer sekrup memiliki ketidakpastian yang lebih kecil; ini menghasilkan suatu pengukuran yang lebih akurat. Ketidakpastian juga disebut galat (error), karena hal tersebut juga mengindikasikan selisih maksimum yang mungkin terjadi antara nilai terukur dan nilai sebenarnya. Ketidakpastian atau galat dari sebuah nilai terukur bergantung pada teknik pengukuran yang dilakukan.

Dalam mengindikasikan akurasi nilai terukur yaitu, seberapa dekat nilai terukur itu terhadap nilai sebenarnya dengan menuliskan bilangan diikuti simbol dan bilangan kedua yang menyatakan

ketidakpastian pengukuran. Misalnya diameter sebuah silinder dituliskan 54,56 0,02 mm, ini berarti nilai sebenarnya tidak mungkin kurang dari 54,54 mm atau lebih dari 54,58 mm. Selain dengan cara di atas, akurasi juga dapat dinyatakan dengan galat fraksional atau galat persen. Untuk diameter silinder seperti contoh di atas fraksi kesalahannya adalah (0,02 mm) / (54,56 mm) atau sekitar 0,0004; persen kesalahannya sekitar 0,04%.

2. Penjumlahan dan Harga Rata-Rata

2.1. Penjumlahan : Notasi

Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan penjumlahan, kita dapat menuliskan jumlah n sembarang bilangan:

kita baca penjumlahan xi, i dari 1 sampai n. Bilangan 1 dan n masing-masing disebut batas

bawah dan batas atas penjumlahan. Sehingga:

Contoh:

Misalkan dari sebuah percobaan yang mengamati turunya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x1 yang kedua x2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x1=15, x2=10, x3=18, dan x4=6, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai:

n

iix

1

n

n

ii xxxxx

...3211

2.2. Harga Rata-Rata

Harga rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan semua besaran kemudian dibagi oleh banyaknya harga besaran tersebut.

a. Untuk contoh pertama diatas harga rata-ratanya adalah

= 4

b. Jika terdapat n1 yang berharga X1, n2 yang berharga X2 dan seterusnya maka harga rata-ratanya adalah:

= ( + + )

+ + . . +

= /

2.3. Operasi Aljabar dan Satuan Bilangan

Pengoperasian aljabar sering digunakan dalam proses perhitungan mass balance, haet balance dan lain-lain.

2.4. Logaritma

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

24 = 16 2log 16 = 4

Secara umum:

Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

alog x = n x = an

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a 1;

4321

4

1xxxxx

ii

61810154

1

iix

494

1

iix

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma.

(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

3. Diferensial

3.1. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas,elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .

Penyelesaian Persamaan Differensial Linear Order kesatu dengan Metode Standar

Persamaan differensial linear order kesatu mempunyai bentuk umum baku:

y + Py = Q (3-1)

P dan Q dapat merupakan bilangan konstan, tetapi juga dapat merupakan fungsi x. Jika P atau Q tidak nol, maka penyelesaian dengan cara pemisahan variabel tidak dapat dilakukan. Untuk itu kita gunakan rumus sebagai berikut:

Jika y + Py = Q maka:

y = Ie c dx.e . Q I dengan I = dx P (3-2)

Persamaan (3-2) di atas diperoleh dari langkah-langkah sebagai berikut:

Pertama, kita ambil bentuk (3-1) yang paling lebih sederhana, yaitu untuk Q = 0, sehingga (3-1) menjadi:

y + Py = 0 atau dxdy

= Py (3-3)

yang dapat dipisahkan menjadi bentuk:

dyy1

= P dx atau ln y = c dx P atau:

y = c dx Pe = A

dx Pe (3-4)

dengan A = ce . Agar tampak sederhana, marilah untuk selanjutnya kita nyatakan:

I = dx P (3-5) sehingga:

dxdI

= P (3-6)

dan persamaan (3-4) dapat ditulis y = A . e I atau:

y . eI = A (3-7)

Sekarang kita dapat melihat, bagaimana menyelesaikan persamaan (3-1). Jika (3-7) diturunkan terhadap x dan kita gunakan (3-6):

Ie.ydxd

= dxdy eI

+ y Ie

dxd

= Ie y + y .

Ie . dxdI

= Ie y + y .

Ie . P

Jadi:

Ie.ydxd

= Ie (y + Py) = Q .

Ie

atau:

d (y . Ie ) = Q .

Ie (3-8)

Jika persamaan (3-8) diintegralkan:

y Ie = dx.e . Q

I+ c atau y = Ie

c dx.e . Q I

Contoh :

Carilah bentuk umum persamaan differensial x2 y + 2xy = 1/x.

Jawab:

x2 y 2xy = 1/x dibagi dengan x2 agar menjadi bentuk baku persamaan differensial linear order kesatu:

y x2

y = 3x1

Jadi:

P = x2

dan Q = 3x

1

dengan demikian:

I = dx

x2

= 2 ln x

Penyelesaiannya adalah:

y = III c.e dxe.Qe

= ln x 2ln x 23

xln2 e c. dxe x1e

Harga e2 ln x = x2 sedang e 2 ln x = x2, jadi:

y = x2 223 xc. dxx x

1

= x2 25 xc. dxx

= x2 24 xc. x

41

atau: y = 2

2 xc x41

Metode Lain Untuk Persamaan Order Kesatu

Metode pemisahan variabel dan metode persamaan linear yang sudah kita kenal adalah dua tipe persamaan order pertama yang akan sering banyak anda pergunakan. Berikut ini akan kita bicarakan metode lain untuk menyelesaikan persamaan order kesatu yang tidak dapat diselesaikan dengan dua metode yang telah kita kenal itu.

Persamaan Bernoulli

Yang dimaksud dengan persamaan Bernoulli adalah persamaan differensial linear order kesatu yang mempunyai bentuk :

y + P y = Q yn (4-1)

dengan P dan Q adalah fungsi x. Bentuk di atas bukan persamaan linear, tetapi melalui perubahan variabel, persamaan tersebut dapat dengan mudah direduksi menjadi persamaan linear. Kita buat perubahan variabel sebagai berikut:

z = y1-n (4-2)

sehingga:

z = (1-n) y -n y (4-3)

selanjutnya kita kalikan (4-1) dengan (1-n) y -n sehingga diperoleh:

(1-n) yn y + (1-n) yn P = (1n) Q (4-4)

Jika (4-2) dan (4-3) disubstitusikan ke dalam (4-4) maka diperoleh bentuk:

z + (1 n) P z = (1 n) Q (4-5)

Jika (1 n) P diganti R dan (1 n) Q diganti S maka (4-5) menjadi:

z + R z = S ini analog dg y + Py = Q (4-6)

Persamaan (4-6) di atas sudah merupakan bentuk baku persamaan differensial linear order ke satu dalam z, sehingga penyelesaiannya adalah :

z = eI dx S eI

+ c . eI dengan I = dx R

atau:

y 1 n = eI dx Q n)(1 eI

+ c . eI dengan I = dx P n1 (4-7)

Contoh:

Carilah bentuk umum penyelesaian dari persamaan x y + 2y + 3y2 = 0.

Penyelesaian:

Kita jadi persamaan yang diketahui ke dalam bentuk Bernoulli, sehingga bentuknya menjadi: y + ( 2 / x ) y = - ( 3 / x ) y2

dengan demikian maka P = ( 2 / x ) ; Q = -( 3 / x ) dan n = 2, sehingga penyelesaiannya adalah:

y 1 - n = e-I dx Q n)(1 eI

+ c . e-I dengan I = dx P n1

atau: y 1 - 2 = e-I

dx

x3 )2(1 eI

+ c . e-I dengan I = dx

x2 21 = - 2 ln x

atau: y - 1 = e2l n x dx

x3 e ln x 2

+ c . e 2 l n x atau: y - 1 = x2 dx x3 3

+ c . x2

Jadi: y - 1 = - 23

+ c . x2 atau 1/y = - 23

+ c . x2

Persamaan Differensial Eksak

Untuk memahami persamaan differensial eksak marilah kita ingat kembali mengenai differensial total dari sebuah fungsi yang variabelnya lebih dari satu macam, misal diferensial total dari F(x , y). Menurut yang telah kita pelajari pada bab 4,

d F(x , y) = dx

xF

y

+ dy

yF

(4-8)

Jika

xF

diganti P dan

yF

diganti Q maka (4-8) dapat ditulis:

d F(x , y) = P dx + Q dy (4-9)

Selanjutnya jika yP

harganya sama dengan xQ

atau P dan Q diturunkan silang harganya sama, maka bentuk: d F = P dx + Q dy = 0

disebut persamaan differensial eksak. F dapat diperoleh dengan cara mengintegralparsialkan P terhadap x dan konstanta dari hasil integral itu yang mungkin masih mengandung y dan kita

sebut C(y) dapat dicari harga

yF

. Anda juga dapat mencari F dengan cara sebaliknya, yaitu

mengintegralparsialkan Q terhadap y dan konstanta dari hasil integral itu yang mungkin masih

mengandung x dan kita sebut C(x) dapat dicari harga

xF

.

Contoh :

Diketahui persamaan differensial: (x2 y + 5) dx + Q dy = 0. Tentukan harga Q yang paling sederhana agar menjadi eksak.

Jawab:

Jika (x2 y + 5) disebut P, maka dF = (x2 y + 5) dx + Q dy = 0 adalah diff. eksak jika: yP

=

xQ

atau x2 = xQ

atau dQ = x2 dx

jadi: Q = 31

x3 + C dan harga Q yang paling sederhana adalah 31

x3 .

Persamaan Differensial Linear Order Kedua

Yang akan kita bahas adalah persamaan yang bentuknya sebagai berikut:

a2 y + a1 y + a0 y = Q (5-1)

dengan a2; a1 dan a0 adalah bilangan konstan; y'' = 2

2

dxyd

; y' = dxdy

dan Q dapat berupa fungsi x (misal k xn , k em x , k ei m x, k sin mx, k cos mx) bilangan konstan maupun nol, sehingga persamaan (5-1) juga boleh ditulis:

a0 2

2

dxyd

+ a1 dxdy

+ a2 y = Q (5-2)

Jika d/dx ditulis D, maka persamaan (5-2) boleh ditulis:

a1 D 2 y + a2 Dy + a2 y = Q

atau: (a0 D 2 + a1 D + a2) y = Q (5-3)

Fungsi (a0 D 2 + a1 D + a2) disebut fungsi karakteristik, sedang persamaan:

a0 D 2 + a1 D + a2 = 0 (5-4)

biasa disebut persamaan karakteristik. Penyelesaian persamaan differensial (5-1) yang kita bahas ini sangat ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik tersebut.

Misal dua akar persamaan karakteristik itu adalah a dan b, maka persamaan (5-3) dapat ditulis sebagai berikut:

(D a) (D b) y = Q (5-5)

Untuk menyelesaikannya, kita misalkan:

(D b) y = u (5-6)

Jika u disubstitusikan pada (5-5) maka (5-5) akan menjadi:

(D a) u = Q

yang juga boleh ditulis Du a u = Q atau u a

dxdu

= Q atau:

u au = Q (5-7)

Persamaan (5-7) adalah sebuah persamaan differensial linear order ke satu dalam u yang dengan mudah kita peroleh penyelesaiannya dengan metode Standar. Penyelesaiannya adalah:

u = eI dx e . QI

+ c1. eI (5-8)

Harga u yang diperoleh itu (agar tampak sederhana kita tulis saja R) disubstitusikan pada persamaan (5-6) sehingga menjadi:

(D b) y = R atau Dy by = R atau:

y by = R (5-9)

Persamaan (5-9) adalah persamaan differensial linear orde ke satu, sehingga penyelesaiannya yaitu y dapat diperoleh dengan metode standar. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh :

Diketahui sebuah persamaan differensial linear orde kedua sebagai berikut: y + 5y + 4y = 0. Carilah bentuk umum penyelesaiannya.

Jawab:

Persamaan yang diketahui dapat ditulis:

D2 y + 5D y + 4 y = 0 atau (D2 + 5D + 4) y = 0

Persamaan karateristiknya mempunyai akar 4 dan 1 sehingga persamaan di atas dapat ditulis: (D + 4) (D + 1) y = 0 (5-10)

Misal: (D + 1) y = u (5-11)

Maka (5-10) menjadi: (D + 4) u = 0 atau: u + 4 u = 0 (5-12)

yang merupakan pers. linear order ke satu dengan P = +4 dan Q = 0, jadi:

I = P dx = 4x dan:

u e4x = Q . e4x dx + c

Karena Q = 0 maka Q . e4x dx = c sehingga: u e4x = c + c Jumlah dua konstanta c + c kita sebut sebagai konstanta baru misal A, maka:

u e4x = A dan u = A. e4x (5-13)

Harga u yang diperoleh dimasukkan ke dalam (5-11), sehingga diperoleh:

(D + 1) y = A e4x atau: y + 1 y = A e4x (5-14)

yang merupakan persamaan linear order ke satu dengan P = +1 dan Q = Ae4x jadi I = x dan

penyelesaiannya adalah: y . eX = xe . Q

dx + C

Tetapan yang muncul lagi kita tulis C, karena sebelumnya sudah ada C1. Selanjutnya:

y . eX = A e4x . ex dx + C = 3A e3x + C

Jika tetapan baru 3A kita tulis B, maka: y . eX = B e3x + C

Jadi: y = B e4x + C. e

5. Vektor dan Skalar

5.1. VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga: dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu vektor ternormalisasi dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:

Di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Isitilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

Di sini adalah vektor yang dmaksud dan adalah besarnya.

ATURAN PENULISAN VEKTOR Dalam menuliskan vektor, apabila anda menggunakan tulisan tangan, lambang suatu vektor umumnya ditulis dengan huruf besar dan di atasnya perlu ditambahkan tanda panah, misalnya

: Untuk buku cetak, lambang vektor ditulis dengan huruf besar yang dicetak tebal, misalnya F. Untuk besar vektor, apabila kita menggunakan tulisan tangan maka besar suatu vektor ditulis dengan tanda harga mutlak, misalnya :

Untuk buku cetak, besar vektor ditulis dengan huruf miring, misalnya F

MENYATAKAN SUATU VEKTOR Dalam fisika, akan selalu membantu jika digambarkan diagram mengenai suatu situasi tertentu, dan hal ini akan semakin berarti jika berhubungan dengan vektor. Pada diagram, setiap vektor dinyatakan dengan tanda panah. Tanda panah tersebut selalu digambarkan sedemikian rupa sehingga menunjuk ke arah yang merupakan arah vektor tersebut. Panjang tanda panah digambarkan sebanding dengan besar vektor.

Sebagai contoh, pada gambar di bawah dilukiskan suatu vektor gaya (F) yang besarnya 40 N (N = Newton, satuan gaya) dan berarah 30o utara dari timur atau 30o terhadap sumbu x positif. Besar vektor F = 40 N dilukiskan dengan panjang anak panah 4 cm. Ini berarti skala yang dipilih adalah 1 cm = 10 N atau 4 cm = 40 N.

5.2. Membedakan Besaran Skalar dan Vektor Jika saya mengatakan massa sebuah batu adalah 400 gram, pernyataan ini sudah cukup bagi anda untuk mengetahui semua hal tentang massa batu. Anda tidak membutuhkan arah untuk mengetahui massa batu. Demikian juga dengan besaran waktu, suhu, volume, massa jenis, usaha, kuat arus listrik, tekanan, daya dll.

Ada beberapa besaran fisika yang tidak dapat dinyatakan dengan nilai atau besarnya saja. Misalnya ketika saya mengatakan bahwa seorang anak berpindah sejauh 10 meter, maka pernyataan ini belum cukup. Anda mungkin bertanya, ia berpindah ke mana ? apakah ke arah utara, selatan, timur atau barat ? Demikian juga apabila anda mengatakan bahwa anda mendorong meja dengan gaya sebesar 100 N. Kemana arah dorongan anda ? nah, besaran yang demikian disebut besaran vektor, di mana memerlukan pernjelasan mengenai besar dan arahnya. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, percepatan, impuls, momentum dll. Selengkapnya akan anda pelajari pada pokok bahasan yang berkaitan dengan besaran tersebut.

Perbedaan Besaran Skalar dan Vektor. Fisika adalah ilmu matematika. Konsep dasar dan prinsip-prinsip memiliki dasar matematika. Sepanjang pelajaran fisika kita, kita akan menjumpai berbagai konsep yang memiliki dasar matematika yang terkait dengan mereka. Sementara penekanan kami akan sering pada sifat konseptual fisika, kami akan memberikan perhatian yang gigih untuk aspek matematika.

Daftar Pustaka

Himmelblau, David M., 1989, Basic Principles and Calculations in Chemical Engineering, Fifth Edition, PTR Prentice Hall, New Jersey.

Perry, Robert H., 1997, Perrys Chemical Engineers Handbook, Seventh Edition, Mc Graw Hill, Kansas.

Lide, David R., 2005, CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press, New York.

Herawati, Netti, dan Roni, Kgs. Ahmad, 2012, Kimia Fisika I, Universitas Muhammadiyah Palembang, Palembang.

Wikipedia/integral

http://id.wikipedia.org/wiki/Integral#Integrasi_pecahan_parsial

Diakses pada tanggal 25 Maret 2014

Matematika-pas/integral

http://matematika-pas.blogspot.com/2010/06/integral-parsial-substitusi.html

Diakses pada tanggal 25 Maret 2014

Wikibooks/Matematika

http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Integral

Diakses pada tanggal 25 Maret 2014

Daftar Isi

Daftar Isi ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... i

Satuan dan Dimensi ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 1

Penjumlahan dan Harga Rata-Rata ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 33

Diferensial ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 35

Integral ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 42

Vektor dan Skalar ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 55

Daftar Pustaka ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 56

MAKALAH KIMIA FISIKA I

Ahmad Irawan (122013001)

Citra Raflesia (122013002)

Tri Lestari (122013007)

Mutiara Rakhma P. (122013008)

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PALEMBANG

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Kimia

Tahun 2013/2014