tg de una curva

8/3/2019 tg de una curva

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FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE ING. QUMICATEMA:

ECUACIN DE LA TANGENTE Y LANORMAL A UNA CURVA

MATERIA: MATEMTICAS

PROFESOR: Dr. Csar Gallegos

INTEGRANTES:Jenny Barragn Alex BonillaCarolina Freire Mishel HerreraAlex Pilco Paola Vacacela

FECHA: 06 de Enero del 2012


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TEMA:Ecuacin de la Tangente y la Normal a una curva.

OBJETIVO GENERAL:

Establecer la ecuacin que define la recta tangente y la normal a una curva.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

- Desarrollar la ecuacin de la tangente a una curva.- Desarrollar la ecuacin de la normal a una curva.

MARCO TERICO

Recta Tangente

La recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la

circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definicin no es suficiente para

una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la

curva en uno o ms puntos, adems de ser inclinada, horizontal o vertical.


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La recta Tangente en diferentes funciones:

y = x3+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ecuacin recta tangente:

Para encontrar la ecuacin de la Recta Tangente se deduce de la ecuacin general de la

recta conociendo un punto y la pendiente (primera derivada de la funcin):

Basndonos en la siguiente grfica podemos obtener el punto:


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Obtenido el punto y la pendiente (primera derivada de la funcin) reemplazamos en la

ecuacin general de la recta y obtenemos:

Ejemplo de la ecuacin general de la Recta.

1. Clculo de la ecuacin de la recta tangente af(x)=x3+1 enxo=0.5.

1. Derivamos la funcinf '(x)=3x2.2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)=mt=0.75.3. Calculamos la ordenada dexo=0.5 que esyo=f(xo)=1.13.4. Sustituimos los valores dados en la ecuacin de la recta tangente a la curva, es decir

enyo=mtxo + b, para obtener b=0.75.

5. Escribimos la ecuacin de la recta tangente:y = 0,75x + 0,75Recta normal

Si se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los grficos

muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.

y = x3

+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Para encontrar la recta normal nos basamos en la condicin de la perpendicularidad de la

pendiente que es; Que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno.


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Remplazamos en la ecuacin general de la recta y obtenemos la ecuacin de la recta

normal.


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4. Clculo de la ecuacin de la recta normal ay=x3+1 enxo=0,5.

1. Derivamos la funcin, y'=3x2.2. Evaluamos la derivada eny'(0.5) = mt = 0.75.3. Calculamos la pendiente de la recta normalmn= - 1.33.4. Calculamos la ordenada dexo=0.5 que esyo=1.13.5. Calculamos la ordenada en el origen de la recta normal, b=1.79.6. Escribimos la ecuacin de la recta normal:

yn= -1.33x +1.79

EJERCICIOS:

Ejercicio 1

Dada la siguiente funcin encontrar la ecuacin de la tangente y la ecuacin de la normal en

el punto .

Tenemos la siguiente funcin ln x

1.- Procedemos graficar la funcin.

x

0.25

0.5

1

2

3

y

-1.38

-0.69

0

0.69

1.09


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2.-Una vez obtenida la grafica procedemos a encontrar la pendiente que la obtenemos de la

primera derivada de la funcin al remplazarla con el valor de =3

ln x =

=

=

3.-Calculamos la ordenada de remplazando en la ecuacin dada.

ln x

ln 3

1.09

4.- Hemos obtenido la pendiente y la coordenada, procedemos a remplazar en la frmula

general de la recta para hallar la ecuacin de la tangente.

Ecuacin de la normal

1.-Para ello calculamos de la para ello debemos saber que es perpendicularidad a la de

la tangente. Entonces utilizamos la regla de perpendicularidad de las pendientes que es


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2.-Al obtener la pendiente procedemos a remplazar en la ecuacin de la recta general para

hallar la ecuacin de la normal.

Ejercicio 2

Dado la siguiente ecuacin de la recta obtener la ecuacin de la recta tangente y de la recta

normal en el punto .

Tenemos la siguiente funcin

1.-Procedemos a construir la grafica.

Recta N Recta Tg

2.-Una vez obtenida la grafica procedemos a encontrar la pendiente que la obtenemos

derivando implcitamente la ecuacin.

=5

x

-2.23

-2

-1.5

-10

1

1.5

2

2.23

y


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3.-Calculamos la ordenada de remplazando en la ecuacin dada.

4.- Hemos obtenido la pendiente y la coordenada, procedemos a remplazar en la frmula

general de la recta para hallar la ecuacin de la tangente.

Ecuacin de la normal

1.-Para ello calculamos de la para ello debemos saber que es perpendicularidad a la de

la tangente. Entonces utilizamos la regla de perpendicularidad de las pendientes que es:


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2.-Al obtener la pendiente procedemos a remplazar en la ecuacin de la recta general para

hallar la ecuacin de la normal.

CONCLUSIONES:

- Se puede obtener la ecuacin de una recta tangente a una curva partiendo delconcepto de derivada en ese punto de tangencia.

- Con la ayuda de la geometra analtica podemos interpretar el concepto de rectanormal a un punto de tangencia, conociendo la pendiente de la recta tangente.

RECOMENDACIONES:

- Para toda funcin se debe graficar, en lo posible con la mayor cantidad de puntospara poder conocer el punto que se debe hacer tangencia.

- Analizar correctamente la funcin de la derivada por la izquierda y por la derechapara determinar correctamente la ecuacin.


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BIBLIOGRAFA

- M. Krasnov. Curso de Matemticas Superiores, Tomo I Y II, 1990.- Prez. P, 1996. Matemtica asistida por ordenadores. Clculo infinitesimal.- Universidad Politcnica de Valencia. SPUPV, 96. 416.- Grafica tangente

http://www.google.com.ec/imgres?q=recta+tangente&um=1&hl=es&sa=X&biw=1

366&bih=667&tbm=isch&tbnid=cpW584wKK7tt1M:&imgrefurl=http://isabeljc.bl

ogspot.com/2008/11/unidad-iv-derivadas-tareas.html&docid=U8L-

4q5mZlVkEM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_q0LAQiQ869M/SS5BE9_shYI/

AAAAAAAAAJg/j0bOCDAIFHs/s400/400px-

Tangent_to_a_curve.svg&w=400&h=280&ei=Bt8FT4asBMHrggeri_WuBg&zoom=1&iact=hc&vpx=525&vpy=319&dur=302&hovh=188&hovw=268&tx=113&ty=1

24&sig=114638842130476711710&page=2&tbnh=133&tbnw=191&start=17&nds

p=18&ved=1t:429,r:14,s:17

ANEXO

Ejercicios para resolver:

1. Clculo de la ecuacin de la recta tangente af(x)=x3+1 enxo=0.5.2. Clculo de la ecuacin de la recta normal ay=x3+1 enxo=0,5.3. Clculo de la ecuacin de la recta normal af(x)=4. Clculo de la ecuacin de la recta tangente af(x)=5. Dado la siguiente ecuacin de la recta obtener la ecuacin de la recta tangente y de

la recta normal en el punto .

Tenemos la siguiente funcin
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tg de una curva

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