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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE AREQUIPA

Facultad de Ingeniera de Produccin y Servicios

Escuela Profesional de Ingeniera en Telecomunicaciones

SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES 1

Dr. Augusto Arce Medina

Ingeniero Electrnico y en Telecomunicaciones Reg CIP 41143

Profesor Principal UNSA Profesor Asociado UCSMMgter. en Ingeniera Industrial

Doctor en Arquitectura y Urbanismo - Urbamotica

Director del Programa de Post Grado de Segunda Especialidad de Ingeniera en Telecomunicaciones UNSA

Coordinador General de la Maestria y Doctorado en TelecomunicacionesEx Director y Jefe del Departamento Acadmico de Ingeniera Electrnica UNSA

Fundador y Ex Director de la Escuela Profesional de Ingenieria en Telecomunicaciones UNSA

Arequipa 2015Introduccin

Este es un trabajo que pretende ser un Texto a nivel universitario de Telecomunicaciones, Primera parte, o Sistemas de Modulacin Analogica. O sea, del anlisis de seal por Fourier y de los diferentes sistemas de comunicacin analgica. Es un texto no culminado aun y por tanto sigue en preparacin. Por ello, mas que todo es una recopilacin de informacin sobre el tema, que a travs de mas de 30 aos de docencia universitaria, ha considerado el autor, que son los mas importantes tems que deben desarrollarse en el primer curso de Telecomunicaciones a nivel universitario a nivel de pregrado y post grado.

Sobre todo por razones tcnicas el presente texto no ha salido impreso aun. Sin embargo por la premura de la utilizacin del mismo, por alumnos de las dos principales universidades de Arequipa, se entrega de forma digital. Obviamente faltan complementar muchos de los temas que se tratan, pero como se ha aclarado a los estudiantes ello se subsanara en clases.

Tambin esta en preparacin el texto Telecomunicaciones 2 , referido a los sistemas de Comunicacin Digital.

Agradezco a colegas y autoridades universitarias por todo el apoyo y aliento y empeare todos mis esfuerzos en la culminacin de los dos tomos del estudio de la Ingeniera en Telecomunicaciones.

Arequipa Abril 2015 Dr. Augusto Arce Medina

Reg. CIP 41143

INTRODUCCION

Cualquiera sea su aplicacin particular, un sistema de comunicacin electrnica, implica tres componentes principales: el transmisor, el receptor y el medio o canal de transmisin.

El mensaje proveniente de la fuente esta representado por la forma de onda denotada por v ( t ) . El mensaje recibido en el destino se denotara w ( t ) . O sea el mensaje recibido en el punto remoto puede no ser el mismo que el transmitido. O sea, puede estar contaminado por el ruido en el canal de transmisin o puede haber otros deterioros en el sistema, como filtraciones, distorsiones, interferencias o no linealidades indeseables. La informacin en el mensaje puede estar en forma analgica o digital y puede representar audio, video u otro tipo de informacin. Generalmente los sistemas son multicanalizados , o sea, puede haber varias fuentes y canales de mensaje de entrada y salida. Los espectros ( o frecuencias) de v( t ) o de w( t ) se concentran alrededor de f = 0 ; o sea son seales bandabase.

La etapa de procesamiento de seal acondiciona a la fuente para una transmisin ms eficiente. Por ejemplo en un sistema analgico, el procesador de seales, puede ser un filtro pasabajo utilizado para cumplir una de las condiciones de Nyquist de limitar el ancho de banda de v( t ). Este bloque tambin puede ser un convertidor analgico/digital (ADC). As produce a su salida una seal PCM. A la salida de esta procesador de seal, se tiene una seal bandabase, por que sus frecuencias estn centradas en torno a f = 0.

El siguiente bloque es de los circuitos portadores. Estos la seal bandabase, en una seal de banda Apropiada para el medio de transmisin. Por ejemplo si el canal de transmisin es el espacio abierto, los circuitos portadores convierten la seal banda base, o sea las frecuencias alrededor de f = 0 en frecuencia a la que se quiere transmitir . Por ejemplo, si el canal se compone de cables de Fibra Optica, losa circuitos portadores convierten la entrada de banda base (o sea, frecuencias cercanas a f = 0 ) en frecuencias luminosas, y la seal transmitida s ( t ) , es luminosa. Si el canal propaga seales de banda base, entonces no se requieren circuitos portadores y s ( t ) puede ser la salida del circuito procesador en el transmisor. Entonces, se requieren circuitos portadores cuando el canal de transmisin se localiza en una banda de frecuencias alrededor de f c , donde fc 0. ( Ojo : el subndice denota frecuencia portadora ). En este caso se dice que s ( t ) es pasabanda. Por que esta diseada para tener frecuencias localizadas alrededor de de f c . Por ejemplo, una estacin radiodifusora de Amplitud Modulada AM con una frecuencia asignada de 850 Khz tiene una frecuencia portadora de f c = 850 Khz. Se demostrara mas adelante, que cualquier seal pasabanda tiene la forma: s ( t ) = R ( t ) cos ( c + ( t ) )

donde c = 2 f en [ rad/ seg]

Con R ( t ) = 1 y ( t ) = 0 , s ( t ) seria una senoidal pura de frecuencia

f = f c con ancho de banda cero. El proceso de modulacin es realizado por los circuitos portadores

En este proceso de modulacin la onda de entrada banda base v ( t )

hace que R ( t ) o ( t ) cambien como una funcin de v ( t ) .

Estas fluctuaciones de R ( t ) y ( t ) hacen que s ( t ) tenga un

ancho de banda diferente de cero que depende de las

caractersticas de v ( t ). y de las funciones de mapeo utilizadas

para generar R ( t ) y ( t ) .

Los canales se clasifican en dos categoras: alambre (cable) duro, como las lneas telefnicas de par trenzado, los cables coaxiales, las guas de onda y los cables de fibra ptica ; y alambre (cable) blando, como el aire, el vaco, el agua de mar, etc.

Los principios generales de la modulacin analgica y digital, se aplican a todo tipo de canales, auque las caractersticas de cada uno provocan limitantes que favorecen a determinado tipo de sealizacin.

El canal atena la seal, de modo que el nivel de ruido del canal o el ruido introducido por un receptor imperfecto hace que la informacin entregada

w ( t ) se deteriore en relacin al de la fuente. El ruido presente en el

canal, puede ser producido por perturbaciones elctricas, ( ej. rayos,

relmpagos) o de fuentes artificiales, tales como lneas de transmisin

de alto voltaje, sistemas de encendido de automviles, o incluso de

circuitos conmutadores de una computadora digital cercana.. El

canal puede contener dispositivos amplificadores activos, como

repetidoras presentes en sistemas de telefona o transponders en

sistemas satelitales de comunicacin. Estos dispositivos son

necesarias , para mantener la seal por encima del nivel de ruido.

Adems el canal puede incluir mltiples trayectorias entre su

entrada y salida con diferentes de demora y por si fuera poco, estas

caractersticas pueden variar en el tiempo. Esta variacin produce

desvanecimiento de la seal a la salida del canal .

Esto se puede comprobar al escuchar estaciones de onda corta lejana.

El receptor capta la seal contaminada a la salida del canal y la convierte en una seal de banda base que puede ser manejada por el procesador de banda base del receptor. El procesador de bada base limpia la seal y entrega una estimacin de la informacin original w ( t ) a la salida del sistema de comunicacin.

El objetivo del ingeniero electrnico o de telecomunicaciones es disear sistemas de comunicacin de modo que la informacin se transmita al medio con tan poco deterioro como sea posible; al mismo tiempo que se satisfacen las limitantes de diseo, como al energa transmitida, el ancho de banda de la seal y el costo permisibles. En sistemas digitales, por lo general que la medida del deterioro es la probabilidad de error de bit o tasa de error de bit (BER bit error rate) de los datos entregados w ( t ). En sistemas analgicos, por lo general se considera que la medida del rendimiento es la relacin S/N seal / ruido a la salida del receptor.

Asi mismo

Cualquier informacin: voz, imagen, etc, que haya sido enviada a una cierta distancia por un sistema de comunicaciones tuvo que ser transformada a una seal elctrica por un transductor si la fuente de informacin no entrega directamente una seal elctrica.

Esta seal modula una seal de RF producida por un oscilador fijo. As se obtiene una seal portadora modulada, la cual se transforma en ondas electromagnticas no guiadas. Antena Transmisor es el transductor que transforma las ondas guiadas ( por un par de cables o cable coaxial o una gua de ondas) en ondas electromagnticas, que se propagan a trabes del espacio, no requiriendo medio fsico de propagacin, como cable coaxial, fibra ptica, etc.

Fig. Sist. de Comunicacin Electronica

1. Anlisis y sntesis de seales elctricas

En un de comunicaciones como el mostrado en figura 1, la seales elctricas que se aplican a la entrada del transmisor, son variaciones de voltaje o corriente que tiene una forma de onda, lo mismo se puede decir para la seal que viaja a travs del canal de comunicacin y la que aparece a la salida del receptor.

La representacin de estas seales en el dominio del tiempo, puede ser muy sencilla o muy complicada, usualmente con fines didcticos se acostumbra a agrupar a las seales de dos grupos, las " seales peridicas" y las" seales no peridicas", en la prctica esto no ocurre as, por ejemplo las seales elctricas que representan a la voz a la salida de un micrfono, tiene una forma de onda muy complicada, sin embargo si hacemos el estudio de estas seales de voz en el " dominio de la frecuencia" El problema se simplifica enormemente.

Para el caso de las seales de ruido, el estudio en el dominio de la frecuencia se justifica an ms, porque si lo hacemos en el dominio del tiempo tendramos que emplear una " matemtica no determinista" dado que la naturaleza del ruido es aleatoria. en la figura 2, se muestra la representacin de una seal peridica, no peridica, de voz, y de ruido.

1.1Seales peridicas y espectro discreto de frecuenciaUna seal ((t) que peridica se satisface que ((t) = ((t + T) .

T representa el intervalo de tiempo con que se repite la seal y se le denomina " perodo".

Fourier hizo una serie de planteamientos de anlisis matemtico, que oportunamente se demuestra en los cursos de Anlisis Matemtico para Ingeniera. Muchos de estos planteamientos tuvieron desde su inicio renombrados retractores por sus imprecisiones. Aun hoy, los estudiosos de su teora, hallan en clculos de fineza algunas de aquella, que no por eso deja de ser la Teora de Fourier una genialidad, desde su poca ( 1860) , que desde entonces ha servido esta teora para todas las disciplinas en las que el Anlisis Matemtico ha sido una herramienta absolutamente necesaria.

En el presente trabajo, se usaran solo lo que implica a las Telecomunicaciones modernas. Obviamente, en su poca, Fourier ni siquiera imagino que su anlisis contribuira al desarrollo de la Teora de las Telecomunicaciones. En forma paralela, Maxwell y otros cientficos desarrollaron una serie de principios y bases de lo que hoy es el explosivo desrrollo de las Telecomunicaciones Modernas.

Por estudios realizados en anlisis matemtico de Fourier, la seal peridica ((t) es una funcin que se puede representar como una sumatoria de trminos seno y coseno, esto es lo que se conoce como representacin en " serie trigonomtrica de Fourier".

El nmero de trminos de la serie es infinito y estos son ortogonales entre s, cada uno tiene un coeficiente el cual se puede evaluar.

La representacin en formal de " serie trigonometra de Fourier", no es muy significativa para nuestro estudio. Existe otra que se le conoce como " serie exponencial de Fourier" la cual dice una seal peridica se puede representar como la sumatoria de una serie de trminos exponenciales en un intervalo de frecuencias de -( a +(.

Es importante anotar que, las componentes de frecuencia son valores discretos, y stas son mltiplos de la frecuencia fundamental que esta determinada por el periodo "T".

n = 0, (1, (2, ... ((

EMBED Mathcad Vn es una cantidad compleja, por lo tanto tiene un mdulo ( Vn ( y un argumento (n, luego:

Los coeficientes Vn tienen la propiedad tal que Vn y V-n son conjugados complejos uno del otro, esto es Vn = V-n .

Ejemplo

Se desea representar en forma de serie exponencial la seal que se muestra en la figura 3(a) y 3(b).

solucin:

La seal i(t) consiste en una secuencia peridica de impulsos de rea I. el impulso que ocurre en el instante t = 0 es escrito como I ( (t). Aqu ((t) en la funcin delta la cual tiene la propiedad que ( (t) = 0 excepto cuando t es igual a cero t = 0 y adems

Asi como un impulso tiene area unitaria y esta definida por esta, por la integracin, tambien tiene una fuerza.

La fuerza de cada impulso es igual al rea del impulso, as la fuerza del impulso ((t) es 1 y la fuerza del impulso I ((t) es I.El tren de impulsos peridicos que se puede escribir como:

Luego hallaremos In aplicando las frmulas

La representacin en forma exponencial para la seal dada es

Para el segundo caso tenemos:

Luego

La respuesta ser entonces

1.1.1 El espectro de Fourier complejoUna expansin en serie de Fourier daba una seal peridica que realmente equivalentes a resolver la funcin que en trminos de sus componentes de frecuencia. Una seal peridica con periodo T tiene componentes de frecuencia angulares de W0, 2W0, 3W0,......, nW0, etc, donde W0 = 2(/ T. As la seal peridica ((t) posee su espectro de frecuencias, si especificamos ((t), podemos hallar su espectro, a la inversa si el espectro es conocido, podemos hallar su correspondiente seal ((t). Luego podemos decir que tenemos dos maneras o formas de especificar una seal peridica ((t): La representacin en el dominio del tiempo donde ((t) es expresada en funcin del tiempo, la representacin en el dominio de la frecuencia donde el espectro especificado ( esto es, las amplitudes de las componentes de frecuencia).

El espectro slo existe enW = W0, 2W0, 3W0,......, nW0, etc, luego el espectro no es continuo y existe slo en algunos valores discretos de W. se puede decir que el espectro es " discreto" o" espectro de lneas".

Nosotros podemos representar el espectro grficamente dibujando una la lnea vertical en W = W0, 2W0, 3W0,......, nW0, etc, con sus alturas proporcionales a la amplitud de correspondientes componentes de frecuencia. El espectro de frecuencia discreto aparece as en un grfico de una serie de lneas verticales espaciadas igualmente con sus alturas proporcionales a las amplitudes de sus correspondientes componentes de frecuencia.

Si usamos la representacin de la seal en forma de " serie exponencial de Fourier", sta es expresada como una suma de funciones exponenciales de frecuencia 0, ( W0, (2 W0, ........etc.

El significado de la frecuencia negativas no es difcil de entender, ambas seales e jwt y e -jwt oscilan a la frecuencia W. Estas pueden verse como dos factores que derrotan en direcciones opuestas, cuando se suman dan una funcin real en el tiempo, as

e jwt + e jwt = 2 cos wt

Para una seal peridica de periodo T, la serie exponencial es dada por

As tenemos los frecuencias 0, W0, - W0, 2 W0, -2 W0,......, n W0, -n W0, ....... etc, y las amplitudes de estas componentes son V0, V1, V-1, V2, V-2, ....., Vn, V-n, ...., etc.

Como habamos mencionado anteriormente los coeficientes son generalmente complejos, luego tienen que ser descrito en trminos de su magnitud y fases, luego en general, necesitamos dos espectros de lnea: " El espectro de magnitudes" y el" espectro de fases" para la representacin de una seal peridica en el dominio de la frecuencia. En muchos casos sin embargo, las amplitudes de los componentes de frecuencia son reales o imaginarias, y si es posible describir la seal por slo uno de los espectros.

Consideramos el caso de la seal de la figura 3(b), y supongamos que reducimos ( mientras ajustamosA tal que A( es la constante, es decir A( = I. Nosotros deberamos esperar que en el lmite, cuando ( ( 0, de la serie de Fourier para el tren de pulsos de la Ec (17) debera reducirse a la serie para el tren de impulsos de la ecuacin (14). se puede verificar fcilmente que cuando ( ( 0 se tiene que

la funcin entre los corchetes tiene la forma (Sen x )/ x.

Esta funcin juega un papel importante en la teora de comunicaciones y es conocida como la funcin "Sampling" o" muestreo", abreviada por Sa(x).

La funcin muestreo es mostrada en la figura 4. Podemos notar que la funcin oscila con un periodo 2(, disminuye conforme aumenta x, y tiene ceros en x = ((, (2(, (3(, ......etc. de la ecuacin (17) tenemos

pero

de aqu

y

Es evidente del ecuacin (21) que Vn el Real, por lo tanto necesitamos slo un espectro para la representacin en el dominio de la frecuencia, nos referimos al grfico de ( Vn (. desde que Sa(x) es una funcin par, es obvio de la ecuacin (21) que Vn = V-n.

La frecuencia de la fundamental es W0 = 2(/ T. El espectro de frecuencia es una funcin discreta y slo existe en W = 0, (2(/ T, (4(/ T, (6(/ T, ......, etc, y tiene amplitudes, A(/ T, (A(/ T)Sa(((/ T), (A(/ T)Sa(2((/ T), ......, etc, respectivamente. Consideremos el espectro para algunos valores especficos de ( y T.

Para ( = 1/ 20 y T = 1/ 4, la ecuacin (21) es dada por

La frecuencia fundamental es W0 = 2(/ T = 8(. As el espectro existe en W = 0, (8(, (16(, .....etc, y es mostrado en figura 5(a).

El espectro es mostrado en la figura 5(b) y existe a las frecuencias0, (4(, (8(, ..., etc.

El espectro existe en W = 0, (2(, (4(, .....etc, y es mostrado en la figura 5(c).

Es evidente que cuando el periodo T se hace ms grande y ms grande, la frecuencia fundamental 2( / T se hace ms pequea y ms pequea, y hay ms y ms componentes de frecuencia. El espectro se vuelve ms denso conforme el periodo aumenta, sin embargo la amplitud de las componentes de frecuencia se hacen ms pequeas. En el lmite cuando T se hace infinito, tenemos un simple puls rectangular de ancho (, y la frecuencia de la fundamental se hace cero. El espectro ahora se hace continuo y existe para todas las frecuencias. Notar sin embargo que la forma del espectro de frecuencia no cambia con el periodo T.

1.2 Seales No-Peridicas y Espectro de Frecuencia Continuo.

Nosotros hemos visto en el punto1.1 que una seal peridica, se puede representar como una serie de trminos exponencial de sobre un intervalo finito. Veremos ms adelante, que una seal no peridica se puede representar como una suma continua (integral) de seales exponenciales, en contraste con las seales peridicas, las cuales como hemos estudiado pueden representarse como una suma discreta de seales exponenciales.

Para el anlisis nosotros podemos la siguiente aproximacin:

podemos construir una seal peridica del periodo T tal que((t) represente el primer ciclo de esta forma de onda peridica. En el lmite haremos que el periodo T se ha de infinito, y la seal peridica tendr un solo ciclo en el intervalo -( < t < +( y es representado por ((t).

Consideremos la seal ((t), tal como se muestra en la figura 6. Construyamos una nueva seal peridica (T(t), con periodo T donde la seal ((t) se repite ella misma cada T segundos tal como se muestra la figura 7. Esta nueva seal (T(t) es peridica y, por consiguiente puede ser representada por una serie de trminos exponenciales. En el lmite, se hacemos T infinito, luego los pulsos en la seal peridicas se repiten con un intervalo infinito. De aqu en el lmite T ( (, ((t) y (T(t) son idnticas, esto es:

As la serie de Fourier representando (T(t) sobre el intervalo completo tambin representar ((t) sobre el intervalo completo si T = ( en esta serie.

La serie del Fourier exponencial para (T(t) puede ser representado como

donde

y

El trmino Vn representar la amplitud de la componente de frecuencia n W0. Cuando aumentamos el valor de T, W0 se hace ms pequea y el espectro se vuelve ms tenso, as tambin las amplitudes en las componentes individuales se hacen ms pequeas, sin embargo la forma del espectro de frecuencia permanece inalterado. En el lmite cuando T = (, la magnitud de cada componente se hace infinitamente pequea, y el nmero de componentes de frecuencia se hace finito, el espectro existe para todos los valores de W, y es una funcin continua de W.

Permitamos

n W0 = Wn

(24)

Luego Vn es una funcin de Wn, y podemos denotar V0 por Vn (Wn) adems es permitido hacer

T Vn (Wn) = V (Wn)

Luego

y, de la ecuacin (23) y (25) tenemos

Sustituyendo del valor T = 2( / W0, tenemos

Cuando T ( (, W0 ( dW, la funcin (T(t) ( ((t) de las ecuaciones (26) y (27) se convierten en

donde

De esta manera hemos logrado representar una seal no-peridica ((t) en trminos de funciones exponenciales sobre el intervalo -( < w < (. La ecuacin (29) representa ((t) como una suma continua de funciones de exponenciales con frecuencias contenidas en el intervalo -( < w < (. La amplitud de las componentes de cualquier frecuencia W es proporcional a V(w). Se dice entonces que V(w) representa el espectro de frecuencia de ((t) y es llamado " funcin de densidad espectral". Las ecuaciones (29) y (30) son generalmente referidas como el par de transformadas de Fourier. La ecuacin (30) es conocida como la transformada directa de Fourier de ((t), y la ecuacin (29) es conocida como la transformada inversa de Fourier de V(w). Simblicamente estas transformadas son escritas como

V(w) = F [((t)] y((t) = F-1[V(w)]

(31)

As V(w) es la transformada directa de Fourier de ((t), ((t) es la transformada inversa de Fourier de V(w), y

1.2.1 espectro de frecuencia continuo

La transformada de Fourier es una herramienta que representa una determinada seal en sus componentes exponenciales. La funcin V(w) es la transformada directa de Fourier de ((t) y representa las amplitudes relativas de las diferentes componentes de frecuencia de la seal, V(w) es la representacin en el dominio de la frecuencia de ((t). La representacin en el dominio del tiempo especifica una funcin en cada instante de tiempo, mientras que la representacin en el dominio de la frecuencia especfica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la funcin o seal en este caso.

V(w) es compleja generalmente y necesita dos grficos para su representacin.

V(w) = (V(w)(e j ((w)

(34)

As V(w) puede ser representado por un grfico de sus magnitudes (V(w)( y un grfico de fases ((w). En muchos casos sin embargo, V(w) puede ser real o imaginaria y slo es necesario con grfico para su representacin. Generalmente para una seal ((t) real, V(w) es compleja y se cumple

V*(w) = V(- w)

(35)

Tenemos

Similarmente

de las ecuaciones (34) y (35), se sigue que si ((t) es una funcin real de t , luego

V*(w) = V(- w)

si tenemos

luego

Es evidente de estas ecuaciones que las magnitudes del espectro (V(w)(es una funcin par de W, y las fases del espectro es una funcin impar de W.

Si el factor 277 que removido en la ecuacin (33) y la integracin realizada con respecto a la variable f en vez de w tenemos

W = 2 ( fY

dw = 2 ( dfla ecuacin (33) puede ahora expresarse como

1.2.2 Propiedades del espectro de frecuencia y aplicaciones

Las propiedades del espectro de frecuencia estn regidos por las propiedades de la transformada de Fourier que son muy interesantes y tiles. Es posible postular teoremas los cuales gobiernan los desplazamientos, diferenciacin, integracin, etc, realizados en el tiempo y en la frecuencia. Estos teoremas, se sumarizan en la tabla 1. la prueba de los resultados sumarizados en esta tabla, se deja al lector, quien se puede ayudar con algunos textos sobre anlisis de Fourier que se dan en la bibliografa (1). Muchos estudiantes, tienen dificultades al encontrar por primera vez la transformada de Fourier. El uso de las transformadas no necesariamente implica una necesidad para realizarlas, en el sentido de desarrollar una operacin para obtener una expresin analtica del resultado de la transformacin. A menudo usamos el concepto de una transformada como una ayuda nemnica, o abreviacin mental, mientras que consideramos el proceso de la seales entr de un sistema. La seal misma puede ser arbitraria, alguna seales aleatorias, por el hecho de no poder ser especificadas como una ecuacin matemtica, son incapaces de ser transformadas analticamente para dar un resultado matemtico.

En la prctica, hay muchas funciones o seales, peridicas y no peridicas las cuales pueden ser transformadas analticamente.

Las transformadas de tales funciones son valiosas en muchos problemas fsicos, y stas se encuentran tabuladas en tablas tal como se muestra en el apndice I.

1.2.3 donde no usar las transformadas de Fourier: no

linealidad

La serie de Fourier y la transformada de Fourier esencialmente abarca el principio de superposicin. Este establece que una funcin es la superposicin de sus componentes. Si t aplicamos el tamao de la funcin, se duplicar el tamao de cada una de las componentes, de tal manera que tanto la serie como la transformada son utilizadas en el anlisis de sistemas lineales, donde la superposicin es posible. Un sistema no lineal no permite la superposicin. Un simple ejemplo ser suficiente para ilustrar esto. Consideramos un sistema elemental de con una caracterstica de transferencias g((1). Al sistema elemental dar una salida

(2 = g((1)

(41)

= k (1

as, si

(1 = (a + (b

(41)

luego

(2 = k (a + k (b

(42)y la salida de la suma de las entradas es la misma como la suma

1.4 La Funcin ImpulsoUna de las funciones ms tiles en la teora de seales de anlisis de sistemas es la funcin de impulso unitaria o funcin delta denotada por ((t). Esta funcin es a menudo caracterizada como teniendo amplitud cero para todos los valores excepto en el punto t = 0 donde es infinitamente grande, pero de tal manera que su rea es unitaria. La funcin ((t t0)cumple las mismas condiciones excepto que ahora existen para t = t0. Por ejemplo, la funcin impulso ((t) = ((t) puede ser aproximada como un pulso rectangular en el lmite cuando a ( 0, de ancho a y altura 1/a, centrado en t = 0. Tal como se muestra en la figura 11, tal funcin pulso rectangular tiene su rea unitaria y en el lmite cuando a ( 0 la funcin se hace infinitamente angosta o infinitamente grande en amplitud en el punto t = 0, todava su rea permanece finita y en un valor fijo de la unidad.

Matemticamente la funcin impuls es ms apropiadamente definida en trminos de sus propiedades de integracin. La siguiente integral puede ser tomada como definicin de la funcin impulso:

As la integral sobre cualquier rango que incluye el punto t = t0 del producto de una funcin arbitraria ((t)con una funcin impulso ((t = t0)tiene el efecto de evaluar la funcin en el tiempo de ocurrencia del impulso. La funcin A((t = t0) se dice que es una funcin impuls con rea A ocurriendo en t = t0.

El espectro de frecuencia de la funcin impuls ((t)es dado por

La cual de acuerdo a la definicin anterior se evala como

La magnitud y fases del espectro de la funcin impulso son

Este espectro es mostrado en la figura 11 junto con la funcin impulso.

Adems de la aproximacin mencionada, existen otras formas para obtener el mismo resultado, por ejemplo mencionaremos algunas a continuacin:

1. Funcin del Paso Unitario

2. Puls Gausiano

3. Funcin Muestreo

4. Funcin Muestreo al Cuadrado

1.5 espectro de frecuencia de alguna seales que involucran funciones impulsO

Recordemos el espectro de frecuencia de una seal tipo impulso unitario es constante tal como f [A ( (t)] = A

1.5.1 Espectro de Frecuencia de una seal ConstanteSupongamos que tenemos una seal de valor constante tal como

((t) = V

si aplicamos la definicin del transformada del Fourier, no podremos evaluar el resultado del integral, por lo que tendremos que hallar la T. F. en el lmite. Consideraremos la T. F. de una funcin compuesta de altura V y ancho ( segundos, tal como se muestra en la figura 12(a). en el lmite cuando ( ( (, la funcin compuerta tiende a hacer una funcin constante de valor V. la T.F de una constante V es la T.F de una funcin compuerta VG( (t) cuando ( ( (.

Conociendo que la T.F de VG( (t) es V( Sa(w(/2), de aqu

de la ecuacin(68), se sigue que el lmite de la funcin muestreo tal como la anterior es una funcin impulso

de aqu

As, cuando ((t) es igual a una constante, slo existe una componente de frecuencia en w = 0. Este resultado obtenido, es un resultado lgico desde que una seal constante es una seal DC (w = 0), no existe otra componente de frecuencia que en w = 0, ver el resultado en la figura 13.

1.5.3 Espectro de Frecuencia de una seal sinusoidal eternaConsideramos ahora seales sinusoidales tipos cos w0t y sen w0t en el intervalo completo (-(, +(). Estas seales no satisfacen las condiciones de integrabilidad sin embargo existe sus espectros de frecuencia pueden ser hallados por el proceso el lmite anlogo a que el utilizado para una seal constante ((t)=V. Asumiremos primero que estas seales existen en el intervalo -(/2 a (/2 y es cero fuera de este intervalo, en el lmite ( se hace infinito, vemos a continuacin:

En el lmite la seal muestreo (sampling) se convierte en una seal tipo impulso de acuerdo a la ecuacin (69),luego tenemos

En la figura 16 se aprecia el grfico de estos espectro.

De manera similar se puede demostrar que

En conclusin el espectro de frecuencias para estas seales consisten en dos impulsos en W0 y - W0, respectivamente.

1.5.4 Espectro de frecuencia de una seal exponencial eternaEl espectro de frecuencia de una exponencial eterna ejabt se evaluar de la siguiente manera:

ejabt = cos W0 t + j sen W0 t

y aqu

F [ejabt] = F [cos W0 t + j sen W0 t]

Sustituyndolas ecuaciones y en la ecuacin anterior, tenemos

F [ejabt] = (((W - W0)+ (((W + W0)- (((W + W0)+ (((W - W0)

F [ejabt] = 2(((W - W0)

(90)

En conclusin el espectro de frecuencia de ejabt es una seal impuls simple de fuerza 2( en W = W0. Debemos anotar que la seal ejabt no es una funcin real en el tiempo de aqu resulta que su espectro slo exista en W = W0.

se ha demostrado anteriormente que para una seal Real en tiempo, el espectro de frecuencia V(w) satisface lo siguientes:

V*(w) = V(-w)

Y(V(w)( = (V(-w)(de aqu se deduce que para una seal real en el tiempo la magnitud del espectro es una funcin par de W, para el caso de una seal sinusoidal deber existir por lo tanto dos impulsos uno ubicado en W = W0 y el otro en W = -W0.

En la figura 17 se aprecia el espectro de frecuencia de una seal exponencial eterna ejabt.

1.5.5 Espectro de frecuencia de una seal peridica Estrictamente hablando, la transforma de Fourier de una seal peridica no existe, desde que sta no satisface la condicin de integrabilidad absoluta, es decir para cualquier seal tal como ((t):

Pero sin embargo la trasformada existe en el lmite. Anteriormente hemos hallado el espectro de frecuencia para una seal cos W0 t y sen W0 t en el lmite. Usaremos exactamente el mismo procedimiento asumiendo que la seal peridica existe solamente en el intervalo finito (-(/2, (/2) y permitiendo que ( llegue a ser infinito en el lmite.

Alternativamente, podemos expresar una seal peridica por su serie exponencial de Fourier. La transformada de Fourier de una seal peridica es luego la suma de la transformada de Fourier de sus componentes individuales, tal como se indica a continuacin:

es una seal peridica con periodo T, luego

tomando la transformada de Fourier a ambos lados, tenemos

Sustituyendo la transformada de ejwt de la ecuacin (90) tenemos

El resultado obtenido en la ecuacin (91) es realmente importante, y establece que el espectro de frecuencia de una seal peridica consiste de impulsos ubicados en la frecuencias armnicas de la seal y que la fuerza de cada uno de los impulsos es igual a 2( veces el valor correspondiente de los coeficientes en la forma exponencial de serie de Fourier.

En la tabla 2 se sumariza los espectros de alguna seales.

Ejemplo

Hallar el espectro de frecuencia de la seal peridica correspondiente a una funcin compuerta de ancho ( segundos y que se repite cada T segundos.

solucin:

la serie exponencial de Fourier para esta seal es:

donde

de la ecuacin (91) se sigue que el espectro de frecuencia de esta seal es dado por

El espectro de frecuencia de ((t) luego consiste de impulsos ubicados en W = 0, (W0, (2W0, ......, (nW0, etc.

La magnitud del impulso ubicado en W = n W0 es dado por 2((A(/T)Sa(n ( (/T).

El espectro de frecuencias para el caso de ( = 1/20 segundos y T = segundos es mostrado en la figura 18 aqu W0 = 8(, ver figura 18.

1.6 algunas propiedades de los espectros de frecuenciaSe ha visto anteriormente que el espectro de frecuencia de una seal es otra manera de especificar estos seal. En conclusin podemos decir que tenemos dos formas de describir la misma seal: la descripcin de el dominio del tiempo y la descripcin de el dominio de la frecuencia. Es por lo tanto interesante conocer cul es el efecto en un dominio causadas por ciertas operaciones sobre la seal en el otro dominio. Por ejemplo, si una seal es diferenciada en el dominio del tiempo, cual es el espectro de frecuencia de la seal derivada relacionada al espectro de la misma seal ?, otro a ejemplo sera conocer qu sucede con el espectro de frecuencia de una seal que es desplazada en el dominio del tiempo?.

debemos puntualizar que existe cierta cantidad de simetra en las ecuaciones que definen los dos dominios. Esto puede verse fcilmente en las ecuaciones que define la transformada de Fourier.

Y

Esperamos que el defecto en el dominio de la frecuencia debido a la diferenciacin en el dominio del tiempo debera ser similar a el defecto en el dominio del tiempo debido a la diferenciacin en el dominio de la frecuencia.

Por conveniencia, la correspondencia entre los dos dominios seran denotadas por una flecha de doble cabeza, as

((t) ( V(w)

(93)

denota que V(w) es el espectro de frecuencia de ((t) y que ((t) es la representacin en el dominio del tiempo por lo que sera la transformada inversa de Fourier de V(w).

1.6.1. Propiedad de simetra

si

((t) ( V(w)

luego

V(t) ( 2( ((-w)

(94)

Est se puede probar partiendo que

Desde que es una variable fantasma en esta integral est puede ser reemplazada por otra variable, x. Luego

de aqu

Reemplazando la variable fantasma x por otra variable t, conseguimos que

de aqu

V(t) ( 2( ((-w)

(95)

La propiedad de simetra permanece perfecta si ((t) es una funcin par. En el caso que ((-w) = ((w) la ecuacin (95) Se reduce a.

V(t) ( 2( ((w)

Esta propiedad es mostrada en la figura 19

1.6.2 Propiedad de linealidad

Si

(1(t) ( V1(w)

(2(t) ( V2(w)

Luego para cualquier constante arbitraria a1 y a2a1 (1(t) + a2 (2(t) ( a1 V1(w) + a2 V2(w)

(96)

La propiedad de linealidad es tambin vlida para una suma finita.

a1 (1(t)+a2 (2(t)+ ... +an (n(t) ( a1 V1(w)+a2 V2(w)+ ... + an Vn(w)

1.6.3 Propiedad de escalasi

((t) ( V(w)

Luego para una constante a real,

((a t) ( 1 V(w/a)

(a(podremos probar esto de la siguiente manera:

para una constante positiva y real

hagamos x = a t. Luego para una constante a positiva,

de aqu

((a t) ( 1 V( w )

a a

Similarmente, esto puede ser demostrado si a < 0,

((a t) ( 1 V( w )

-a a

consecuentemente

((a t) ( 1 V ( w )

(a( a

La seal ((a t) representada a la seal ((t) comprimida en la escala de tiempo por un factor a. De igual manera, el espectro V (w/a) representa al espectro V (w) expandido en la escala de frecuencia por el mismo factor a.

En conclusin se puede resumir que: una compresin en la escala de tiempo es equivalente a una expansin en la escala de frecuencia por el mismo factor, y viceversa. Intuitivamente podemos establecer una relacin fsica, desde que una compresin en la escala de tiempo por un factor a significa que la seal estaba variando rpidamente por el mismo factor, y de aqu las frecuencia de sus componentes aumentar el mismo factor. Por lo tanto esperamos que su espectro de frecuencia se expanda por el factor a en la escala de frecuencia. De igual manera, si una seal es expandida en la escala de tiempo, ella variar lentamente, y luego las frecuencias de sus componentes disminuirn. De esta manera el espectro de frecuencia es comprimido.

Ejemplo

Consideremos la seal cos w0 t. Est seal tiene componentes de frecuencia en ( w0. La seal cos 2 w0 t representa la comprensin de cos w0 t por un factor de dos, y sus componentes de frecuencia estn contenidas en (2w0. Luego es evidente que el espectro de frecuencia ha sido expandido por un factor de dos. Este efecto de la propiedad de escala es mostrado en la figura 20.

1.6.4 Propiedad de corrimiento en frecuenciasi

((t) ( V(w)

luego

((t) ejwt ( V(w w0)

(98)

Esto lo probamos de la siguiente manera:

Esta propiedad establece que un corrimiento W0 en el dominio de la frecuencia es equivalente a multiplicar por ejwot en el dominio del tiempo. Es evidente que una multiplicacin por el factor cos W0 t traslada el espectro de frecuencia completo V(w) por una cantidad (W0.

En sistemas de comunicaciones es usual trasladar el espectro de frecuencia, y esto es generalmente obtenido multiplicando a la seal ((t) por una seal sinusoidal. A este proceso tambin se le denomina " modulacin" y a continuacin demostraremos lo anteriormente dicho:

conociendo que

tenemos

Usando la propiedad de corrimiento en frecuencia, tenemos

Que

((t) ( V(w)

Luego

similarmente, se puede demostrar que

De esta manera este proceso de modulacin traslada espectro de frecuencia por una cantidad (W0.

en la figura 21 se aprecia la propiedad de corrimiento en frecuencia conocida como modulacin.

1.6.5 Propiedad de corrimiento en el tiempo

Si

((t) ( V(w)

Luego

((t t0) ( V(w) e-jwto

(101)

Podemos probarlo de la siguiente manera:

hagamos

Luego

Esta propiedad establece que si una seal es desplazada en el dominio del tiempo por una cantidad t0 segundos, luego la magnitud de su espectro (V(w)(permanece inalterable, pero las fases del espectro es alterada por una cantidad w t0.

Un desplazamiento en el tiempo t0 de para una componente de frecuencia w es equivalente a un desplazamiento de su fase de w t0.

en conclusin, un desplazamiento t0 en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar por e -jwt0en el dominio de la frecuencia.

Ejemplo

Determinar el espectro de frecuencias del pulso rectangular mostrado en la figura 22.

Solucin

El pulso de la figura 22 es una seal tipo compuerta G((t) desplazada por (/2 segundos, luego ella puede expresarse como G((t - (/2).

De la tabla y aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo, tenemos

EMBED Mathcad Hay que puntualizar existe una dualidad entre la propiedad de corrimiento de frecuencia y corrimiento en el tiempo.

Por lo tanto es fcil demostrar lo siguiente:

Tarea que se deja al lector como un ejercicio probar lo anterior.

1.6.6 Propiedad de diferenciacin e integracinSi

((t) ( V(w)

Luegod ((t) ( (j w) V(w)

dT

y

Lo anterior se debe cumplir si es que V(o) = 0 que

Podemos probarlo de la siguiente forma:

adems

Cambiando el orden de diferenciacin y integracin, obtenemos

De la ecuacin es evidente que

De una manera similar el resultado se puede extender a.

Consideremos ahora la seal.

Luego

de aqu s

( (t) ( ( (w)

luego

((t) ( jw ((w)

esto es

V(w) = jw ((w)

adems

((w) = 1 V(w)

jw

y as

Notar que este resultado es valioso slo si ((w). Existe, esto es, si ((t) es absolutamente integrable, y esto es posible slo si.

esto es

esto es equivalente a la condicin que V (o) = 0 desde que

En conclusin el proceso de derivar una seal ((t) es equivalente a multiplicar por jw el espectro V(w), de aqu

E integrar en el dominio del tiempo es equivalente a dividir por jw en el dominio de la frecuencia.

Si hiciramos la diferenciacin en el dominio de la frecuencia tendramos:

si

((t) ( V(w)luego

-jt ((t) ( d V (w)

(106)

d tprobamos esto de la siguiente manera:

adems

cambiando el orden de diferenciacin e integracin, obtenemos.

es evidente de lo anterior que

-jt ((t) ( d V(w)

d w

este resultado se puede extender a derivadas de mayor orden

En conclusin derivar en el dominio de la frecuencia es equivalente a multiplicar por (- i t)en el dominio del tiempo.

1.6.7 Propiedad de convolucin.De la propiedad de convolucin es una de las ms importantes utilizadas en el anlisis en el dominio de la frecuencia, sta permite obtener importantes resultados los cuales utilizaremos a menudo en este texto.

Dada por seales (1(t) y (2(t), nosotros formamos la ntegral.

Esta integral define la convolucin de dos seales (1(t) y (2(t).

La integral de la convolucin es tambin expresada simblicamente como

((t) = (1(t) * (2(t)

1.6.7.1 Convolucin en el tiempo

Si(1(t) ( (1(w)

Y(2(t) ( (2(w)

Luego

esto es,

(1(t) * (2(t) ( V1(w) V2(w)

(108)

podemos probar lo anterior de la siguiente manera.

De la propiedad de corrimiento o desplazamiento en el tiempo ( ecuacin(101) ), es evidente que la integral dentro de los corchetes, en el lado derecho, es igual a

de aqu

= V1(w) V2(w)

1.6.7.2 convolucin en frecuencia

Si

(1(t) ( V1(w)

Y

(2(t) ( V2(w)

Luego

esto es,

esta propiedad puede ser probada de una manera similar a la de convolucin en el tiempo por el hecho de simetra que existe entre la transformada de Fourier directa e inversa.

En conclusin la convolucin de dos seales en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar sus espectros de frecuencia, y que la multiplicacin de dos seales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolucin de sus espectros en el dominio de la frecuencia.

En la tabla se resume las propiedades ms importantes de los espectros de frecuencia y su relacin en el dominio del tiempo.

1.6.7.3 Relacines de la convolucin.

Se puede establecer algunas relaciones. Similares al multiplicacin y que se cumplen en la convolucin.

ley conmutativa

(1(t) * (2(t) = (2(t) * (1(t)

(111)

Esta relacin puede ser fcilmente probada de la siguiente manera:

1.7 teorema del muestreoEl teorema de muestreo proporciona la base terica para las tcnicas de modulacin por pulsos que se estudiarn en el captulo 4 del tomo II del libro del mismo nombre.

Este teorema establece que una seal de banda limitada, la cual no tiene componentes espectrales superiores a la frecuencia fm Hz, est completamente especificada por sus valores a intervalo espaciados uniformemente a Ts = fm segundos ( o menos ). En vez de transmitir la seal continua completa, es suficiente transmitir solamente un nmero finito de muestra durante un nmero finito de instantes (2 fm por segundo ).

Supongamos que tenemos una seal ((t) las cual es de banda limitada tal que sus componentes de frecuencia ms alta es fm. Permitamos que los valores de ((t) estn determinados a intervalos regulares separados por tiempos Ts < fm esto es que la seal est peridicamente " muestreada" cada Ts segundos. Luego estas muestras ((n Ts), donde "n" es el nmero entero, determinan a la seal, y sta puede ser reconstruida desde estas muestras sin sufrir distorsin apreciable.

El tiempo Ts es llamado " intervalo de el muestreo". Debemos anotar que el teorema requiere que la " tasa de muestreo" sea lo suficientemente rpida de tal manera que por lo menos dos muestras sean tomadas durante el transcurso del periodo correspondiente a la componente de frecuencia ms alta de la seal muestreada. probaremos que el teorema se cumple demostrando cmo la seal puede ser reconstruida desde sus muestras.

La seal ((t) la cual ser muestreada es mostrada en la figura 26(b), un tren de impulsos peridicos ((t) de rea unitaria y un periodo Ts es mostrado en la figura 26(d). recordemos que la amplitud de un impulso es infinita y su duracin cero.

las dos seales ((t) y ((t) son aplicadas al multiplicador tal como se muestra en la figura 26 (i), la cual luego en su salida tiene ((t) x ((t). Este producto es mostrado en la figura 26 (f) el cual es la seal muestreada (s(t) a la ocurrencia de cada impulso, esto es cuando un impulso ocurre, la salida del multiplicador tiene el mismo valor como el de ((t), y todos los otros tiempos la salida del multiplicador de cero.

La seal ((t) es peridica, con periodo Ts, y su espectro de frecuencia es dado por Wo(wo(w) ver figura 26 (e).

Para el casoTs = fm, el producto ((t) x (Ts(t) es

(s(t) = ((t) x (Ts(t)

(120)

Asumamos que la seal ((t) tiene un espectro de frecuencia V(w) el cual es mostrado en la figura 26 (c). la seal es una seal de banda limitada a la frecuencia fm, el espectro de frecuencia de la seal muestreada (s(t)lo podemos demostrar analticamente de la siguiente manera:

(s(t) = ((t) x (Ts(t)

de aqu

puede ser obtenido de la ecuacin(91)

Sustituyendo la ecuacin (122) en la ecuacin (121), tenemos

Es obvio que el lado derecho de la ecuacin (123) representa el espectro V(w) repetido cada 2 Wm radianes por segundo, pero con amplitudes variando como 1/Ts. Esta ecuacin representa el espectro mostrado en la figura 27 (a).

el espectro del primer trmino en la ecuacin(123) se extiende desde 0 a Wm. El espectro del segundo trmino es simtrico respecto a la frecuencia 2 Wm y se extiende desde 2 Wm - Wm = Wm a 2 Wm + Wm = 3 Wm, debemos puntualizar que anlisis lo hemos realizado en el lado derecho del espectro mostrado en la figura 27 (a), pero esto es vlido tambin para el lado izquierdo que es el simtrico del lado derecho.

Supongamos que la seal muestreada es pasada a travs de un filtro pasa bajo ideal con frecuencia de corte fm. y el filtro fuera constante en la banda pasante y si la frecuencia de corte ocurre en una esquina bien abrupta ( parada), el filtro pasara la seal V(w) y nada ms.

Espectro correspondiente a la figura 27 (a) es mostrado en la figura 27 (c) para el caso en el cual la tasa de muestreo es de fs = 1/Ts > 2 fm. En este caso existe una brecha entre el lmite superior fm del espectro centrado alrededor de la frecuencia fs > 2 fm. Por esta razn el filtro pasa baj usado para filtrar la seal ((t) no necesita tener una esquina muy parada en la frecuencia de corte. De esta manera, la atenuacin del filtro puede empezar en fm pero no necesita tener un alto valor hasta la frecuencia fs - fm. Este rango desde fm a fs - fm es llamada "banda de guarda" o" banda de proteccin" y siempre requerida en la prctica.

Cuando se trata de seales de voz sobre el las lneas telefnicas, la seal de voz es limitada a fm = 3.3 Khz, sin embargo fs es seleccionada en 8 Khz. La banda de proteccin es luego 8.0 2 x 3.3 = 1.4 Khz.

En la figura 27 (b) mostramos el caso donde fs < 2fm.

Aqu encontramos una superposicin entre el espectro ((t) de y el espectro centrado alrededor de fs, en este caso la operacin de filtrado no permitir la recuperacin exacta de ((t). Se ha demostrado por lo tanto que se cumpl el " teorema del muestreo", desde que la seal muestreada puede ser recuperada exactamente cuando Ts < fm. ha sido demostrado tambin que la tasa mnima de muestreo es 2 fm. esta tasa mnima de muestreo es conocida como en la" tasa de Nyquist" o " frecuencia de Nyquist". un aumento de la tasa de muestreo mayor que la tasa se Nyquist aumenta el ancho de la banda de proteccin facilitando el problema del filtrado. Por otro lado vemos que un aumento de la tasa de muestreo extiende el ancho de banda requerido para transmitir la seal muestreada, existiendo un compromiso que el ingeniero debera resolver.

Un caso interesante es el muestreo de una seal sinusoidal de frecuencia fm. Aqu, toda potencia de la seal est concentrada precisamente en la frecuencia de corte del filtro pasa bajo, y existe por lo tanto una antigedad a cerca de si la frecuencia de la seal est dentro o fuera de la banda pasante del filtro. Para superar esta ambigedad, requerimos que fs > 2fm antes que fs >= 2fm. Para comprobar que esta condicin es necesaria, a asumir que fs = 2fm pero que una muestra inicial es tomada en el momento que la sinusoide pasa por cero, de esta situacin se evita haciendo fs > 2fm.

Figura 27 .- casos de seales muestreadas.

1.7.1 Recuperacin de la seal ((t) desde sus muestras

Como se ha discutido anteriormente, la seal original puede ser recuperada pasando a la seal muestreada a travs de un filtro pasa bajo con una frecuencia de corte Wm.

Si deseamos hacer un anlisis en el dominio del tiempo, consideremos una seal ((t) muestreada a una tasa mnima de muestreo ( 2fm muestras por segundo ). En este caso

de aqu la ecuacin (123) se convierte en

Como se puede observar, el espectro V(w) puede ser obtenido filtrando Vs(w) a travs un filtro que pasa baj de frecuencia de corte wm. Es obvio que tal operacin de filtrado es equivalente a multiplicar Vs(w) por una funcin compuerta G2wm(w). De aqu, de l ecuacin (124), obtenemos

As transmitiendo la seal muestreada a travs un filtro pasa bajo se obtiene la seal ((t). El filtr tiene una frecuencia de cort Wm y una ganancia de Ts = fm. la funcin de transferencia H(w) de este filtro puede ser expresada como

La aplicacin de la propiedad de convolucin en el tiempo a la ecuacin (125) resulta

La seal muestreada es (s(t)dada por

donde (n es la ensima muestra de ((t). De aqu

Es evidente que ((t) puede ser construida en el dominio del tiempo desde sus muestras de acuerdo en la ecuacin (128). grficamente cada una de las muestras es multiplicada por un funcin muestreo a (sampling) y todas las formas de onda resultantes son sumadas para obtener ((t) esto es mostrado en la figura 26 (h).

1.7.2 Teorema del muestreo( dominio de la frecuencia)

El teorema de muestreo en el dominio del tiempo tiene su dual el cual establece que: una seal limitada en el tiempo la cual que es cero para (t( > T es determinada nicamente por las muestras de su espectro de frecuencia en intervalo menores que T Hz. de separacin ( (/T radianes por segundo de separacin).

La prueba de este teorema es similar aquel en el dominio del tiempo con los valores de ((t) y V(w) invertidos. Se deja al lector como un ejercicio probar que se cumple lo siguiente:

3 Modulacin de envolvente En general una sin se seal sinusoidal nodulada puede ser definida como

Los trminos de amplitud y fase son algunas funciones de la seal modulante ((t), an no definida, tal que

A(t) = G1[((t)]

( (t) = G2[((t)]

Hay tres principales razones para modular una portadora sinusoidal.

(1) rubricar la informacin de la banda base tal que el de este espectralmente adyacente a las portadora de alta frecuencia. Este traslado de frecuencia hace que la propagacin electromagnticas sea mucho ms fcil. Ambas la potencia de transmisin y el tamao de las antenas, pueden ser reducidos como la portadora es aumentada.

(2) proporcionar la capacidad del mltiplexado por divisin de frecuencias de muchos canales de banda base.

(3) comentar la redundancia de la seal transmitida ( esto es, la portador modulada ), cargado de esta manera una mayor inmunidad a la corrupcin de la seal introducida por el canal.

En este captulo, examinaremos la clase de modulacin en la cual slo A(t) es variada, en forma lineal en armona con la seal modulante tal que.

A(t) = ( ((t)

((t) = una constante.

Esta clase nosotros la llamamos " modulacin lineal de envolvente". que lo forma ms general, la modulacin lneal de envolvente es definida por la ecuacin

donde k, c y (c son constantes.

3.1 Modulacin de amplitud con portadora suprimida (AM-SC)

La modulacin de envolvente, dada por la ecuacin (204), tiene su forma ms simple cuando k = 1 y c = 0. Si asumimos que en la fase de referencia de la portadora sea (c a ser cero, luego tendremos que

esta ecuacin no indica que se produce un productor de una sinusoide una seal modulante ((t).

Podemos empezar nuestra examinacion de la modulacin AM-SC definiendo el diagrama de bloques del sistema el cual desarrolla la operacin de modulacin. Este diagrama de bloques es un simple multiplicador tal como el que se muestra en la figura 45. Ahora consideremos la operacin en el dominio del tiempo, ver figura 46. La seal en el dominio del tiempo correspondiente a la salida del modulador puede ser visto como una seal coseno con una envolvente variando en el tiempo. Los cruces de cero, los cuales definen la " frecuencia de la portadora" no son afectadas por el proceso de modulacin, de tal manera que no se produce una " modulacin de frecuencia". En los puntos A de la figura 46 ser visto que inversiones rpidas de fase de la portadora modulada ocurre cuando la seal modulante cambia de signo. Este efecto es caracterstica de la modulacin AM-SC.

del teorema de modulacin ( ecuacin (99) ) es evidente que el espectro de ((t) cos Wc t es el mismo como aquel de ((t) pero demasiado por ( wc radiantes por segundo ( figura 47 (f) ),

tal que si((t) ( V(w)

luego

((t) cos wc t ( [V(w+wo) + V(w wo)]

(206)

como podemos apreciar en la ecuacin (206), no aparece la portadora, sta ha sido eliminada o suprimida, luego se justifica llamar a esta clase de modulacin como AM-SC.

3.1.1 Tcnicas de traslacin de frecuencia

Es evidente del teorema de modulacin que el espectro de cualquier seal puede ser trasladado por ( wc radianes por segundo en el dominio de la frecuencia por multiplicacin de la seal con una seal sinusoidal de frecuencia wc. Esto sin embargo, no es la nica manera para alcanzar este. podemos fcilmente demostrar que espectro puede ser trasladado por una cantidad ( wc multiplicando la seal por cualquier seal peridica de frecuencia wc, sin importar su forma de onda. Esto es obvio intuitivamente desde que cualquier seal peridica de frecuencia wc con tiene componentes sinusoidales de frecuencia 0, wc, 2wc, 3wc, ...., etc. De aqu la multiplicacin de la seal ((t) por cualquier seal peridica de frecuencia trasladar el espectro de ((t) por 0, ( wc, (2wc, (3wc, ...., etc. Nosotros estamos interesados solamente en aquella parte del espectro que est centrado alrededor ( wc.

Este espectro deseado puede ser separado usando un filtro para banda el cual permitir que las componentes de frecuencia centrados alrededor ( wc pasarn y atenuar todas las otras componentes de frecuencia.

Como un ejemplo, considerar una seal ((t) ( figura 47 (a) ) cuyo espectro V(w) es mostrado en la figura 47 (b). multiplicando esta seal por una seal sinusoidal cos wc t, (figura 47(c)) desplazar el espectro por ( wc ( figura 47 (f) ). Ahora en vez de dar una seal sinusoidal, multiplicaremos ((t) por la seal cuadrada ( figura 47 (h) ) de frecuencia Wc.

El espectro de una seal cuadrada peridica p(t) es mostrada en la figura 47 (i). este espectro P(w) es una secuencia de impulsos localizados en 0, ( wc, (3wc, (5wc, ...., etc. Es evidente que el espectro de ((t) p(t) es dado por (1/2 ()V(w) * P(w) . El resultado de esta convolucin desarrollada grficamente es mostrado en la figura 47 (k).

Es fcil apreciar en esta figura que la multiplicacin de ((t) por p(t) desplaza el espectro de ((t) por w = 0, ( wc, (3wc, (5wc, ...., etc. Este resultado es verdadero para cualquier seal peridica de frecuencia Wc, sin importar su forma de onda. En el caso de una seal cuadrada, las componentes armnicas pares (2wc, (4wc, (6wc, ...., etc, son cero.

El resultado anterior puede tambin ser fcilmente obtenido analticamente. Asumamos que ((t) sea una seal peridica de frecuencia fc Hz. (Wc = 2 ( fc). La trasformada de Fourier de una seal peridica en general es dada por.

.

Donde (n representar el coeficiente de la ensima armnica en la serie exponencial de Fourier para ((t).

Se sigue del teorema de convolucin que

Es evidente de la ecuacin (209) que el espectro de ((t) ((t) contiene el espectro V(w) mismo y V(w) trasladada por (wc, (2wc,...., etc notar que la amplitud de V(w) los ciclos sucesivos de son multiplicados por las constantes (o, (1, (2,...., etc. cuando ((t) es una seal cuadrada, (n puede ser hallado en la ecuacin (16) sustituyendo T = 2( y A = 1,

De aqu, de la ecuacin (209) obtenemos

La figura 47 (k) precisamente representa el espectro representado por la ecuacin (211).

en la modulacin de amplitud, sin embargo, estamos interesados en el espectro de frecuencias centrado alrededor (wc solamente. Esto puede ser obtenido usando un filtro pasa banda el cual permite pasar las componentes de frecuencia centradas en (wc y atenua las otras componentes de frecuencia. Es adems evidente que si pasamos la seal ((t) p(t) a travs de tal filtr pasa banda centrado en (wc, la salida resultante ser dada por ((t) cos wc t tal como se muestra en la figura 47 (e).

El proceso de traslacin de frecuencia es tambin llamado " conversin de frecuencia "o no " mezcla de frecuencia". el sistema al cual desarrolla esta funcin es llamado " convertidor de frecuencia" o "mezclador de frecuencia".

3.1.2 Demodulacin de seales AM-SC

En el extremo receptor, para recuperar la seal original ((t) necesitamos demodular la seal recibida ((t) cos wc t. Como fue visto anteriormente, el proceso de demodulacin es tambin equivalente a trasladar el espectro y esto puede lograrse multiplicando la seal modulada ((t) cos wc t por la seal cos wc t (deteccin sincrnica). adems los mismos circuitos como aquellos utilizados para el proceso de modulacin pueden ser empleados para propsitos demodulacin.

Hay, sin embargo, una diferencia entre el circuito modulador y el de el modulador. El espectro de salida del modulado fue centrado alrededor (wc, y aqu fue necesario utilizar un filtro pasa banda sincronizado a wc en la salida del circuito modulador. En el caso del demodulador, sin embargo espectro a la salida es V(w) y est centrado en w = 0.

De aqu deducimos que necesitamos utilizar un filtro pasa bajo a la salida del demodulador con el propsito de filtrar las componentes de alta frecuencia no deseadas las cuales estn centradas en (wc, (2wc, (3wc, ...., etc.

La demodulacin puede ser obtenida multiplicando la seal modulada ((t) cos Wct por cualquier seal peridica de frecuencia Wc. Si ((t) es una seal peridica de frecuencia Wc, luego su transformada de Fourier ((w) puede ser escrita como (ecuacin (209)).

es obvio que si la seal modulada ((t)coswct es multiplicada por ((t), el espectro resultante ser dado por

es evidente que este espectro contiene un trmino el cual puede ser filtrado usando un filtro pasa bajo.

3.2 modulacin de amplitud con portadora (AM)

Hemos visto que los sistemas de AM-SC necesita circuitera muy complicada en el receptor para el propsito de generar una portadora exactamente a la frecuencia correcta requerida para la deteccin sincrnica.

Pero tales sistemas son muy eficientes desde el punto de vista de potencia requerida en el transmisor. En comunicaciones punto a punto, donde hay un transmisor para un receptor, la complejidad en el sistema receptor puede ser justificada, lo que compensara en el ahorro de transmisores de alta potencia. Por otro lado, para un sistema de radiodifusin (broadcasting con una ) multitud de receptores para un transmisor, es ms econmico tener transmisor costoso de alta potencia y receptores baratos mucho ms sencillos para tales aplicaciones una seal portadora de gran amplitud que es transmitida conjuntamente con la seal nodulada de portadora suprimida ((t)cosWct, de esta manera nos evitamos generar la seal portadora en el extremo de recepcin. luego la seal transmitida ahora es (AM(t), dada por

(AM(t) = ((t) cos Wc t + Ac cos Wc t

Es obvio que el espectro de (AM(t) es el mismo como aquel de ((t) cos Wc t , excepto que hay dos impulsor adicionales en ( wo.

La seal modulada (AM(t) es mostrada en la figura esta seal puede ser reescrita como

Es evidente que la seal nodulada (AM(t) puede ser vista como una portadora cos Wc t cuya amplitud el dada por [Ac + ((t)]. La envolvente de la seal nodulada es la forma de onda ((t) desplazada por una constante Ac. Adems la recuperacin de la seal ((t) en este caso simplemente se reduce a detectar el envolvente. Notar que la constante Ac debera mantenerse suficientemente grande con el propsito de preservar la forma de onda de la envolvente exactamente como ((t).

Si Ac no es lo suficientemente grande, luego la forma de onda de la envolvente no es la misma como aquella de ((t). Bajo estas condiciones ((t), no puedes ser recuperada por un simple proceso de deteccin de envolvente, pero puede ser detectado por un mtodo de deteccin de envolvente, pero puede ser detectado por un metodo de deteccin sincrnica (multiplicando por cos wc t). Adems Ac debera ser hecha o suficientemente grande tal [Ac + ((t)] que es siempre positiva. Esta es posible si

Ac > (((t)(max

(216)

la seales moduladas, los cuales contienen gran cantidad de la seal portadora para satisfacer la condicin de la ecuacin(216), son simplemente llamada seales modulada el amplitud(AM). As la seal [Ac + ((t)] cos wo t figura 48(c) es referida como una seal ((t)cos wc t (figura 47(e)) es referida como una seal AM-SC.

Podemos definir la modulacinAM en trminos de la ecuacin (204) que representa a la forma general de la modulacin de envolvente lineal

nosotros definimos "ndice de modulacin", m, como

m = valor r.m.s de

valor r.m.s. de la portadora sin modular

tal definicin nos permite especificar un tpico valor operativo para el ndice de modulacin an en similar n cuando la seal mdulante es similar al "ruido". Muchos textos definen la operacin de modulacin completa en trminos de una seal sinusoidal como seal de mdulante de prueba.

la figura 49 (c) ilustra la forma de una portada modulada cuando ((t) es semejante al ruido.

examinando la portadora modulada en amplitud de la figura 48(c) vemos que podemos recuperar la informacin en la forma de onda detectando su envolvente. esto puede ser alcanzando por medio de un rectificador y un circuito de un filtro pasa bajo, esta operacin la explicaremos ms detalladamente posteriormente.

3.2.1 Ancho de banda de una seal AM.

analizando la ecuacin (214), observamos que si la seal modulante es de banda limitada a fm, luego el ancho de banda ocupado por la portadora modulada es

B = 2 fm

(219)

3.3 eficiencia de transmision en la modulacin de envolvente

Nosotros podemos definir la eficiencia de transmisin, de un sistemna de modulacin como la relacin de la potencia transmitida actualmente que lleva la inteligencia, a la potencia total transmitida, Pt as

n = Ps

Pt

la potencia total transmitida sera la integral de la densidad del espectro de potencia P(f), de la portadora modulada.

figura 48.- seal AM

figura 49.- seal modulada en AM

Aplicando la ecuacin (214) y, asumiendo la portadora a ser un proceso de banda angosta, P(f) puede ser hallado como

notando que

y que esta integral no es afectada por la traslacin de frecuencia, y tambin de la ecuacin (218)

se sigue que

el primer trmino es la potencia obtenida en ambas bandas laterales. Debemos adems recordar que en cualquiera de las bandas laterales se lleva la informacin por lo tanto desde el punto de vista de potencia cada una de las bandas laterales contiene

y de aqu

un ploteo de la eficiencia de transmisin versus el ndice de modulacin es mostrado en la figura 50. Obviamente cuando m se hace pequeo, luego tambien disminuye la eficiencia del sistema.

Figura 50.-Eficiencia de transmisin de un sistema AM: Regin A es trabajo normal, Regin B el demodulador producir distorsin.

Figura 51.-Representacin fasorial de una seal AM.

Mucha de la potencia es desperdiciada en generar la componente portadora de gran amplitud. En el otro extremo cuando m se hace muy grande, la eficiencia aumenta a un mximo de 50%. La portadora es ahora suprimida completamente y la modulacin es puramente AM-SC.

Si nosotros elegimos un valor razonable del ndice de modulacin de 0.67, tal que ocurra pequea distorsin en la deteccin de envolvente, la eficiencia es aproximadamente del 9%. Este es el precio que debemos pagar por una fcil deteccin y un detector sencillo. En el caso de la radiodifusin comercial el castigo no es severo, el transmisor tiene acceso a una fuente de potencia, y el costo de los equipos de transmisin es compensada por la gran audiencia que puede ser alcanzada. Otras aplicaciones pueden excluirle uso de la modulacin AM,

Un buen ejemplo sera la transmisin de la informacin desde un satlite o una estacin terrena. aqu la potencia disponible es limitada por el nmero de celdas solares o bateras, y stas al mismo tiempo son limitadas por el peso que debe tener el cohete de lanzamiento. desde que el diseador deseara obtener la mayor cantidad de informacin desde el espacio como sea posible, el emplear mduladores eficientes y transmisores de baja potencia.

3.4 modulacinAM y la seal de pueba sinusoidal

Muchos textos definen la operacin entera de la modulacin de amplitud en trminos de una seal mdulante tipo sinusoidal. tal seal no lleva informacin, pero es una seal conveniente de prueba que puede ser empleada para la calibracin del sistema. La definicin de la ecuacin (218), permanece vlida cuando aplicamos una seal de prueba sinusoidal y produce que la definicin ms comn de ndice de modulacin

en este resultado es fcilmente demostrado. La portadora modulada tiene la forma

donde, en este caso

Nosotros identificamos de esta ecuacin la componente portadora como Accos(2(fct). consecuentemente podemos calcular que los valores r.m.s de la seal mdulante y la portadora como (2)(Am y (2)(Ac. introduciendo esto en la ecuacin (218), estos valores dan como resultado de la ecuacin mostrada arriba.

Espectro de la sinusoide modulada en su envolvente es el siguiente

los trminos

son respectivamente, las componentes de banda lateral superior e inferior respectivamente de la portadora.

Ellas produce (ver tabla 2) un par de componentes espectrales, as

la componente portadora en la ecuacin (216) se transforma para dar el par de lneas espectrales

El valor del ndice de modulacin puede ser calculado de las mediciones hechas en un osciloscopio de la forma de la onda de la seal modulada. de la ecuacin (217), debemos que la " envolvente" de (AM(t)es

((t) + Acla cual tiene un valor mximo y mnimo

y

a = Ac + Am

b = Ac - Amrespectivamente. Resolviendo estas ecuaciones para Am y Ac sustituyendo en la relacin, nosotros hemos derivado para el ndice de modulacin, dando una modulacin sinusoidal

Es de gran valor para propsitos de comparacin examinar la modulacin AM representando esta en forma de fasores.

Las componentes formando la portadora modulada se obtiene expandiendo la ecuacin

Si tomamos el fasor de la portadora como referencia, podemos considerar a este como que permanece fijo en todos los instantes de tiempo. relativo al faso de la portadora, los fasores de las bandas laterales rotarn con velocidades angulares +Wm y -Wm. El fasor suma de la portadora y de las dos bandas laterales describe " la envolvente" de la portadora modulada, figura 51. si permitimos al fasor de la portadora a rotar, en vez de permanecer fijo, el punto extremo el fasor suma inscribira dentro la envolvente, una sinusoide modulada en amplitud. Con Wc>>Wm, esta sinusoide ejecutara muchos ciclos para cada ciclo de modulacin.

3. 5 implementacin del sistema: moduladores

3.5.1 Moduladores de la amplitud y mezcladores En este punto discutiremos los principios del modulador de envolvente y el mes " mezclador " el trmino "mezclador" es comnmente aplicado a moduladores de amplitud de baja potencia usados muy frecuentemente en receptores para trasladar el espectro de radio-frecuencia.

La razn para hacer esto es construir los amplificadores en el receptor ms fciles y baratos de disear que aqullos equivalentes en versin de radio-frecuencia.

La operacin bsica de la modulacin AM- SC puede ser hecha aplicando la suma de la seal mdulante y la portadora si modular a un dispositivo de ley cuadrtica con una funcin de transferencia

luego, con

se sigue que

En esta seal, la primera y segunda componentes estan en frecuencias mucho ms bajas y mucho ms altas que la frecuencia de la portadora (asumiendo que la frecuencia de la portadora misma es mucho ms grande que el ancho de banda de la seal de banda base, como normalmente sera el caso. ). Ellas puede adems ser eliminadas por un filtro pasa banda, tal que el sistema de modulacin es aquel mostrado en la figura 52

Para cualquier dispositivos no lineal de segundo orden

se puede generar una seal modulada en envolvente, desde que insertando la ecuacin (222) hallamos que

La salida de un filtro pasa banda siguiendo al dispositivo no lineal es una seal

La cual corresponde directamente con la forma de una seal AM (ecuacin (217)).

desafortunadamente, dispositivos con no linealidad perfecta de segundo orden son raros. Las no linealidades caen en dos grandes categoras

(a) no linealidades de baja-potencia (caracterizada por una curva suave) la cual tiene la forma general.

figura 52.- generacin de una seal AM-SC por medio de un dispositivo no lineal

figura 53 (a)Diodo semiconductor de pequea seal

(b)Diodo semiconductor de gran seal

figura 54.- receptor superheterodino de pequea seal.

(b) No linealidad segmentos-lineales Es a menudo el caso que la no linealidad de baja-potencia caracteriza el comportamiento" pequea seal". para proporcionar un ejemplo ilustrativo de esto, considerar el diodo de juntura p-n de ley.

Una caracterstica tpica del dispositivo es graficada en la figura53 para ambos comportamientos de seal pequea y grande.

Si elegimos una oscilacin de pequeas seal podemos esperar una ecuacin de segundo orden para proporcionar algo adecuado para cualquier curva suave.

De esto se sigue que la curva de baja-potencia corresponde ms cercanamente a una operacin "mezclador " de bajo nivel, antes que modulacin de seales-grandes. Un circuito tpico empleado para este propsito es mostrado en la figura 54. la seal de radio frecuencia de pequea amplitud es tomada por la antena y sumada con una seal pequea generada por un oscilador local. el oscilador, la cual es generalmente una parte integral de la primera etapa del amplificador transistorisado, tiene una frecuencia la cual es variable en coordinacin con la sintona de frecuencia del resonador de antena. As la diferencia de frecuencia entre que el oscilador local y la seal de radio-frecuencia a la entrada es mantenida constante. El transistor es polarizado en una regin de operacin no-lineal y proporciona ganancia

Consecuentemente el voltaje del colector es una sinusoide modulada en la diferencia o "frecuencia intermedia". En esta seal es pasada a el "amplificador de frecuencia intermedia" un amplificador pasa banda con una frecuencia central igual a la frecuencia diferencia y ancho de banda justo lo suficiente para pasar las dos bandas laterales de la sinusoide de frecuencia diferencia modulada. El amplificador de frecuencia intermedia generalmente consiste de varias etapa sintonizadas, como amplificacin acoplada a transformador. Este mtodo debe alcanzar un filtrado de banda pasante de alta selectividad es conocido como "recepcin superheterodina" .

La ley segmentos-lineal (gran seal) puede ser empleado para obtener una modulacin en una variedad de formas.

Si tomamos como modelo el diodo de caractersticas mostrado en la figura 53, podemos construir un modulador simple tal como el que se muestra la figura 55.

El primer paso del proceso de modulacin es la suma de la seales ((t) y la seal portadora cos(2(fct) para formar la seal de entrada (1(t) la cual es aplicada a un dispositivo no lineal. Las excursiones de la seal mdulante son arregladas para que sean ms pequeas que la amplitud de la portadora. Si esto no se cumple se puede producir una gran distorsin, y esto se notar en el detector. La no linealidad efectiva rectifica a (1(t) formando la seal (2(t) desde la cual una seal AM (AM(t) puede ser extrada por medio de un filtro pasa banda.

Figura 55.- generacin de una seal AM

Figura 56.- modulador a transistor sincronizado en el colector a clase C

3.6 implementacin del sistema: demoduladores

El demodulador para seales AM- SC, es como visto hemos, un modulador de producto. Consecuentemente, necesitamos solamente tratar sobre los detectores empleados para seales moduladas en amplitud (AM): detectores de envolvente.

El detector ms simple de inprementar consiste de un rectificador de media onda seguido por un circuito suavizador tal como el mostrado en la figura 64. normalmente el circuito suavizador consiste de un capacitor conectado en paralelo con la carga resistiva del diodo. Este actua como un filtro pasa bajo o reyector de la portadora porque la componente portadora es para estaciones comerciales de radio difusin AM de una frecuencia mucho ms alta que la seal mdulante la cual tiene que ser extrada.

3.7 transmisin de seales de

banda lateral nica (SSB)

En el proceso de la modulacin de amplitud, espectro original V(w) es trasladado por (wc, tal como se muestra en la figura 65. La seal sin modular ocupa el ancho de banda de wc (figura 65(a)), mientras que la misma seal despus de modulada ocup el ancho de banda 2wm. Es adems evidente que el precio de la traslacin de frecuencia discutida es pagada en trminos de doblar el ancho de banda. sin embargo, esta necesidad no es el caso.

Una mirada a la figura 65(b) muestra que en la transmisin del espectro completo mostrada en esta figura, estamos transmitiendo informacin redundante. El espectro V(w) ha sido desplazado a wc y -wc. Estos espectros son idnticos. Cada uno de ellos contiene en la informacin completa de V(w). entonces por qu transmitir ambos espectros? Porque no transmitir solo uno de los dos?.

Esto sin embargo es imposible, p hemos orque tal como hemos demostrado anteriormente, para cualquier seal fsica, el espectro es una funcin par de W. un espectro el cual no es simtrico respecto al de eje vertical pasando a travs del origen no representa una seal real, y de aqu ella no puede ser transmitida. pero hay una manera de hacerlo.

Observemos que el espectro centrado alrededor wc est compuesto de dos partes: una porcin contenida encima de wc y es conocida como "la banda lateral superior" y otra porcin contenida por debajo de wc y es conocida como la "banda lateral inferior". similarmente, el espectro centrado alrededor wc tiene bandas laterales superior e inferior (figura 65 (b)). Ahora observemos las dos bandas laterales superiores (o las dos bandas laterales inferiores) del espectro contienen la informacin completa en V(w). de aqu, en vez de transmitir una de las dos bandas laterales, la superior o la interior del espectro (mostrado en la figura 65(c) y 65(d)).

figura 65.- seal SSb

figura 66.- Diagrrama de bloques de un sistema de SSB por el mtodo del filtro.

Notar que las dos bandas laterales superiores o las dos bandas laterales inferiores son cada una una funcin par de W y por lo tanto representa a una seal real. La seal original ((t) puede ser recuperada desde estas dos bandas laterales la superior o la inferior con un adecuado traslado de frecuencias. Para transmitir las bandas laterales necesitamos ahora solamente la mitad de la ancho de banda (Wm). Este modo de transmisin es conocido como transmisin de banda lateral nica (SSB), encontraste con el doble de banda lateral (DSB) discutido anteriormente como AM-SC y AM.

3.7.1 Generacin de seales de SSB

Para generar seal de este se conoce dos mtodos: el mtodo del filtro y el de corrimiento de fase.

3.7.1.1 Mtodo del filtro

Este mtodo consiste en filtrar una de las bandas laterales desde una seal modulada obtenida desde un modulador balanceado. la seal AM-SC obtenida desde un modulador balanceado es pasada a travs de un filtro pasa banda apropiado el cual permitir dejar pasar slo a la banda deseada. el filtro requerido para realizar esta funcin deber tener caractersticas ideales en la frecuencia wc. En otras palabras, el filtro debera tener un corte agudo en wc para rechazar todas las frecuencias de una de las bandas laterales de wc y aceptar todos la frecuencias en el otro lado de wc. Desde un punto de vista prctico, que es mucho ms fcil disear un filtro con una caracterstica de corte agudo a baja frecuencias. Por esta razn el espectro V(w) as el primero trasladado a una frecuencia ms baja (wc, donde una de las bandas laterales es filtrado. Despus de este filtrado, el espectro es trasladado a una frecuencia ms alta deseada (wc desde (wc1.

Actualmente, el traslado puede ser realizado sucesivamente en ms de un paso.

En la figura 66 la seal de banda base y una portadora son aplicados a un modulador balanceado. La salida del modulador balanceado contiene ambas las seales de la banda lateral superior y la banda lateral inferior. Una de estas seales es luego seleccionada por el filtro. El filtro es un filtro pasa banda, el cual deber tener un corte agudo suficiente para separar la banda lateral seleccionada de de la otra banda lateral. la separacin de frecuencias de las bandas laterales es el doble de la frecuencia de la componente de frecuencia ms baja de la seal de banda base. la voz humana contiene componentes de frecuencia tan bajas con cerca de 70 Hz. Sin embargo, para aliviarlos requerimientos de selectividad del filtro de banda lateral en un sistema se SSB, es comn limitar la componentes espectrales ms baja acerca de 300 Hz. Se ha determinado que con tales requerimientos o restricciones no se afecta materialmente la integibilidad de la voz. Similarmente, se ha determinado que no se produce una distersin sera si el lmite del espectro de la seal de voz es cortada cerca de 3000 Hz. tal restriccin es una ventaja para propositos de conservacin del ancho de banda. Aunque, luego, un filtro de banda lateral tpico tiene una banda pasante, la cual medida desde fc, se extiende desde 300 a 3000 Hz. y en el cual el rango de su respuesta es casi plana. fuera de esta banda pasante la respuesta cae en forma aguda, siendo su cada cerca de 40 dB en 4,000 Hz y rechazando la banda lateral no deseado por lo menos en 40 dB. El filtro puede adems servir para suprimir la portadora misma. De hecho en principio no debera aparecer la portadora a la salida del modulador balanceado. En la prctica sin embargo, el modulador puede ser no balanceado exactamente, y la precisin de este balance puede estar sujeto a algunas variaciones con el tiempo.

Ahora consideremos que deseamos generar una seal SSB, con una portadora de 10 MHz. Luego nosotros requerimos un filtro pasa banda con una selectividad que provea 40dB de atenuacin dentro de 600 Hz. en una frecuencia de 10MHz., un porcentaje de cambio de frecuencia de0.006%. Filtros con tales selectividad aguda son muy dificiles de elaborar y construir. por esta razn, es costumbre desarrollar el traslado de frecuencia de la seal de banda base a la frecuencia de las portadora final en varias etapas. Dos de esas etapa son mostrados en la figura 66. Aqu hemos seleccionado la primera portadora a ser de 100 KHz. la banda lateral superior, es decir la salida del modulador balanceado en el rango de 100.3 a 103 KHz. el filtr que sigue a en modulador balanceado el cual selecciona esta banda lateral superior necesita ahora tener una selectividad y slo de la centsima parte de la se selecticidad (40 dB en 0.6% en cambio de frecuencia) requerida en el caso de una portadora de 10 MHz. Luego apliquemos la salida de este filtr a la entrada del segundo modulador balanceado, alimentado estado es con una portadora de 10 MHz.

Seleccionemos nuevamente la banda lateral superior.luego el segundo filtro debera proveer una atenuacin de 40 dB en el rango de frecuencia de 200.6 KHz., lo cual es nominalmente el 2% de la frecuencia portadora.

Hemos visto que el ms simple dispositivo que realiza fsicamente el traslado de frecuencia es un multiplicador o mezclador, mientras que un modulador balanceado es un arreglo balanceado de dos mezcladores. Un mezclador sin embargo tiene la desventaja que el presenta en su salida no slo la suma y diferencia de frecuencias, sino las frecuencias de la entrada tambin.

3.7.1.2 Mtodo del corrimiento de fase

Es tambien posible generar seales SSB por un mtodo indirecto del corrimiento de fase de su espectro. Para entender ms fcilmente, esto, consideremos el caso de una seal sinusoidal ((t) = coswst. Aqu, V(w) es representada por dos impulsos en (wc (figura 67(a)). la seal modulada con una portadora cos wc t es dada por cos ws t cos wc t y tiene el espectro de V(w) corrido por (wc (figura 67(b)).

De espectro SSB (banda lateral inferior) es dado por dos impulsos en ((wc-ws), tal como se muestra la figura 67c. Es evidente que la seal correspondiente a este espectro SSB (figura 67(c))es dado por (wc-ws)t. adems la generacin de una seal SSB para el caso especial de ((t) = cos ws t es equivalente a la generacin de la seal cos(wc-ws)t.

de la identidad trigonomtrica, tenemos

As la seal SSB deseada puede ser producida por la suma de cos wst, cos wct y sen wst, sen wct la seal cos wst, cos wct puede ser fcilmente producidas de cualquier modulador balanceado discutido previamente.

La seal sen wst, sen wct puede ser expresada como.

de aqu que esta seal puede ser producida por un modulador balanceado, donde ambas seales la cos wst y la portado a cos wct estn corridas en fase por (figura 68 ). Aunque hemos derivado de este resultado desde un caso especial de ((t)=coswst, esto se mantiene cierto para cualquier seal en general. Esto es cierto porque cualquier seal puede ser expresada como una suma continua de seales sinusoidales o (exponenciales).

de aqu la seal SSB-SC correspondiente a ((t) el dado por (figura 68).

donde (R(t) el la seal obtenida por corrimiento de fase de cada una de las componentes de frecuencia de ((t) por -(/2. El diagrama esquemtico tal arreglo es mostrado en la figura 68.

Una prueba rigurosa de este resultado para cualquier seal ((t) ser ahora dado. Un sistema de corrimiento de fase para correr las bases de la componente de frecuencia por -(/2 tiene una magnitud unitarias. As las magnitudes de las componentes de frecuencia permanecen incamviables, pero las bases de todas las componentes de frecuencia positiva son corridas por -(/2 desde que espectro de partes es una funcin impar de W, las bases de todas componentes de frecuencia negativas son corridas por -(/2. El espectro de las magnitudes y las fases de un sistema de corrimiento de fase en mostrada en la figura.

Adems la funcin de transferencia H(w) de este sistema de corrimiento de fase es dado por

y s

((t) ( V(w)

luego

(R(t) ( j V(w) e -j(u(w)

(226)de teorema de modulacin, tenemos

((t) cos wc t ( V(w+wc)+V(w-wc)]

y de la ecuacin 226 y 100, se sigue que

(R(t) sen wc t ( [ V(w+wo)e-j(u(w) - V(w-wo)e-j(u(w) ]

(228)

y

notar que

de aqu

pero esto es por definicin 2 u (wc w). de aqu

similarmente

sustituyendo la ecuacin 230, 231 en la ecuacin 228, obtenemos

el espectro del lado derecho de la ecuacin 232 expresa precisamente la banda lateral inferior de [V(w - wc)+V(w + wc)]

El trmino V(w - wc) u(wc - w) representa la banda lateral inferior de V(w + wc) porque u(w + wc)=0 para w 0

1w < 0

= -sgn(w)

de aqu

(R(t) ( jV(w) sgn (w)

(233)

de la ecuacin (90), tenemos

j ( sgn (w)

( t

Aplicando el teorema de convolucin a la ecuacin (233) tenemos.

3.7.2 De modulacin de seales SSB-SC

Para recuperar ((t) de la seal SSB-SC tenemos que retrasladar el espectro en la figura 65 a su posicin original ( w = 0 ). esto puede ser alcanzado muy fcilmente por un detector sincrnico. Multiplicando la seal SSB por cos wc t (deteccin sincrnica) es equivalente a convolusionar el espectro de SSB con el espectro cos wc t de (dos impulsos en (wo). esto es mostrado en la figura 70. Para las bandas laterales superiores. Es claro que la convolucin produce a V(w) una seal adicional SSB-SC la cual tiene una portadora de 2Wc. Esto ltimo puede ser filtrado por filtro pasa bajo.

Para un, detector sincrnico la salida del demodulador (d(t) es dado por

(d(t) = (SSB(t) cosWct = ((t)cos2wct ( (R(t)senwct*coswct

= ((t) + [((t)cos2wct ( (R(t)sen2wct]

(235)

la expresin entre corchetes en el lado derecho de la ecuacin (235) es idntica a una seal SSB de la ecuacin (233) excepto que su frecuencia portadora es 2wc. As la deteccin sincrnica de una seal SSB d la seal original ((t) y otra seal SSB con una portadora 2wc.

Esta alta frecuencia de componente SSB puede ser filtrada para recuperar ((t).

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_1161197113.bin

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_1161198038.docLa seal i(t) consiste en una secuencia peridica de impulsos de rea I. el impulso que ocurre en el instante t = 0 es escrito como I ( (t). Aqu ((t) en la funcin delta la cual tiene la propiedad que ( (t) = 0 excepto cuando t es igual a cero t = 0 y adems

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