texto simce 8°

Texto de revisin y prctica

Bsico

Mara Teresa DiTTborn baezaProfesora de Estado en Matemticas, Educacin Media,

Pontifica Universidad Catlica de Chile.

MagDalena golDenberg CnepaProfesora de Estado en Matemticas, Educacin Media,

Pontifica Universidad Catlica de Chile.

agnes gaTiCa JofrProfesora de Estado en Matemticas, Universidad de Chile.

VerniCa araneDa aranDaProfesora de Matemtica y Computacin, Universidad de Santiago de Chile.

Magster en Educacin. Universidad Internacional SEK.

Carolina Henrquez riVasProfesora de Matemtica y Computacin, Universidad de Santiago de Chile.

Magster en Didctica de la Matemtica, Pontificia Universidad Catlica de Valparaso.

El Texto de revisin y prctica Matemtica 8 bsico, es una obra colectiva, creada y diseada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la direccin general de:

MANUEL JOS ROJAS LEIVA

CoorDinaCin De proyeCTo: Eugenia guila Garay

CoorDinaCin rea MaTeMTiCa: Viviana Lpez Fuster

eDiCin: Javiera Setz Mena Felipe Mrquez Salinas Mara Andrea Canals Cifuentes Alejandro Seplveda Pealoza Carmen Muoz CorreaauToras: Mara Teresa Dittborn Baeza Magdalena Goldenberg Cnepa Agnes Gatica Jofr Vernica Araneda Aranda Carolina Henrquez RivasCorreCCin De esTilo: Lara Hbner GonzlezDoCuMenTaCin: Paulina Novoa Venturino Cristin Bustos Chavarra

La realizacin grfica ha sido efectuada bajo la coordinacin de:

Xenia Venegas Zevallos

Jefa De Diseo rea MaTeMTiCa: Mariela Pineda GlvezDiagraMaCin: Mariela Pineda Glvez Mara Elena Nieto FloresproDuCCin: Germn Urrutia Garn

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin es-crita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial

de esta obra por cual quier medio o procedimiento, com-prendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y

la distribucin en ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico.

2012, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones

Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILE

Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A.

ISBN: xxx-xxx-xx-xxxx-x

Inscripcin N: xxx.xxx

Se termin de imprimir esta 1a edicin de xxx.xxx ejemplares, en el mes de _________ del ao 2012.

www.santillana.cl

ndice

ndice 3

ndice

Unidad 3: Geometra 78ngulos opuestos por el vrtice y entre paralelas cortadas por una transversal 80ngulos en polgonos 82Tringulos y sus elementos 84ngulos y segmentos 86Transformaciones, reflexiones y rotaciones 88Teselaciones 90reas de tringulos y paralelogramos 92

Preparando el SIMCE 94Teorema de Pitgoras y su recproco 96rea y volumen de prismas rectos 98rea y volumen de pirmides 100Longitud de la circunferencia y rea del crculo 102rea y volumen de cilindros y de conos 104Preparando el SIMCE 106Evaluacin de sntesis de la unidad 3 108

Unidad 2: Nmeros y lgebra 42Concepto de potencia 44Descomposicin de nmeros utilizando potencias de 10 46Multiplicacin y divisin por potencias de 10 48Potencias de 10 con exponente entero 50Multiplicacin y divisin de potencias de igual base o de igual exponente 52Preparando el SIMCE 54Potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural 56Multiplicacin y divisin de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural 58

Potencias de base entera y exponente natural 60Races cuadradas y teorema de Pitgoras 62Preparando el SIMCE 64Generalizacin de propiedades y valor numrico de expresiones algebraicas 66Reconocimiento y reduccin de expresionescon trminos semejantes 68Traduccin de expresiones del lenguaje natural al simblico 70Ecuaciones de primer grado 72Preparando el SIMCE 74Evaluacin de sntesis de la unidad 2 76

Unidad 1: Nmeros 6Nmeros naturales 8Descomposicin en factores primos, mltiplos y divisores 10Operaciones con nmeros naturales 12Fracciones 14Adicin y sustraccin de fracciones 16Multiplicacin y divisin de fracciones 18Preparando el SIMCE 20Nmeros decimales 22Operaciones con nmeros decimales 24

Operaciones con fracciones y nmeros decimales 26Razones y porcentajes como una fraccin o un nmero decimal 28Clculo de porcentajes y variaciones porcentuales 30Proporciones 32Nmeros enteros 34Operaciones con nmeros enteros 36Preparando el SIMCE 38Evaluacin de sntesis de la unidad 1 40

Unidad 4: Datos y azar 110Grficos de lneas y barras mltiples 112Grficos circulares 114Anlisis e interpretacin de grficos 116Tablas de frecuencias 118Medidas de tendencia central 120Poblaciones y muestras 122Preparando el SIMCE 124

Espacios muestrales y sucesos 126Probabilidad terica de un suceso 128Sucesos seguros, probables e imposibles 130Probabilidades a partir de datos empricos 132Preparando el SIMCE 134Evaluacin de sntesis de la unidad 4 136

Unidad 5: lgebra 138Relacin entre dos variables 140Funciones, variables dependientes e independientes 142

Relacin de proporcionalidad directa 144Relacin de proporcionalidad inversa 146Preparando el SIMCE 148Evaluacin de sntesis de la unidad 5 150

Solucionario 152

Estructura del Texto4

Estructura del Texto

Pginas de inicioAl comienzo de cada unidad encontrars dos pginas que incluyen un esquema que te ayudar a organizar los contenidos que revisars y practicars.

HabilidadesEn esta seccin podrs conocer las habilidades que desarrollars con los ejercicios y problemas propuestos.

Para recordarEn esta seccin te presentamos un resumen de los principales contenidos de la unidad.

Pginas de desarrollo

Ejercicios resueltosCada pgina de desarrollo comienza por ejercicios resueltos paso a paso, que te servirn para recordar lo que sabes y podrs usarlos como modelo para desarrollar los ejercicios y problemas propuestos.

Ejercicios y problemas propuestosPodrs encontrar una variedad de ejercicios y problemas que te permitirn revisar lo que sabes y practicarlo.

Cada vez que encuentres este recuadro en un ejercicio o problema, te indicar que es un desafo.

Unidad 4 Datos y azar 113

3. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de personas que respondieron la pregunta: Ha consumido alcohol o tabaco el ltimo mes?, en los aos 2000 a 2008.

2000 2002 2004 2006 2008

Alcohol 54,4 59,6 57,9 58,1 49,8

Tabaco 44 43,6 43,6 42,4 41,2

Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011. En www.conace.cl.

a. Realiza un grfico de lneas que represente esta informacin.

b. Realiza un grfico de barras mltiples que represente esta informacin.

c. En general, ms personas consumen tabaco o alcohol?

d. Qu tendencia se observa en el consumo de tabaco a lo largo de los aos?

e. En qu aos aument el porcentaje de personas que consumi alcohol el ltimo mes?

Marca la opcin correcta en los tems 4 al 6.

4. Cul de las siguientes afirmaciones no se puede obtener de la tabla anterior?

A. El consumo de alcohol present una mayor disminucin que el consumo de tabaco.

B. Ms personas consumen alcohol que tabaco.C. El consumo de alcohol aument el ao 2002.D. El ao 2004 disminuyeron los porcentajes de

personas que consumieron tabaco y alcohol.

5. En el grfico se muestran las ventas realizadas en una casa comercial, durante los seis primeros meses del ao 2011. Cul de las siguientes alternativas es correcta?

A. Las ventas mejoraron en febrero.B. Las ventas comenzaron a subir en marzo.C. Las ventas sern mejores en agosto.D. En febrero no hubo ventas.

6. El saldo migratorio es la diferencia entre las inmigraciones y las emigraciones en una regin determinada. En el siguiente grfico se muestran los valores del saldo migratorio de algunas regiones de Chile. Cul de las siguientes conclusiones no se puede deducir del grfico?

Fuente: INE. Sntesis de resultados Censo 2002. Consultado en junio de 2011. En www.ine.cl

A. En la Quinta regin de Valparaso se registraron ms inmigraciones que emigraciones.

B. En la Undcima regin de Aysn del General Carlos Ibez del Campo la cantidad de inmi-graciones fue similar a la de emigraciones.

C. En la Dcima regin de Los Lagos inmigraron ms hombres que mujeres.

D. En la Tercera regin de Atacama fueron ms las mujeres que emigraron que las que inmigraron.

7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de 8 bsico con notas bajo 4 en Matemtica.

N de alumnos con notas bajo 4 8 A 8 B

1 3 1

2 0 1

3 0 1

4 1 2

5 2 0

a. Realiza un grfico de barras mltiples que represente esta informacin usando una planilla de clculo.

b. En qu curso hay ms alumnos con notas bajo 4?

c. Si en el 8 A hay 36 alumnos y en el 8 B hay 29, en qu curso es mayor el porcentaje de alumnos con notas bajo 4?

d. En qu curso hay ms alumnos con ms de dos notas bajo 4?

Unida

d 4

800 000

Ventas del primer semestre

700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 000

0

Enero

Febrero

Marzo Ab

rilMayo

Junio Ju

lio

15 000

III V X XI

HombresMujeres

5 000

0

5 000

10 000

15 000

10 000

VIII

ndice

Estruc

tura del Tex

to

Estructura del Texto 5

Pginas de cierre

Preparando el SIMCEIncluimos algunas preguntas de tipo SIMCE, que te ayudarn a ejercitar ms y prepararte mejor.

Evaluacin de sntesis de la unidadEn cada unidad encontrars estas pginas en las que podrs autoevaluar los aprendizajes que lograste en cada unidad, a travs de diversos tipos de ejercicios y problemas.

SolucionarioAl final de tu texto encontrars el solucionario que te permitir revisar si tus respuestas son correctas.

Unidad 1 Nmeros6

1Unidad

Nmeros

Habilidades Leer y escribir nmeros enteros, fracciones positivas y nmeros decimales positivos. Interpretar y comunicar informacin relativa a nmeros enteros, fracciones positivas, nmeros decimales

positivos, razones y porcentajes, en contextos diversos. Formular, verificar conjeturas y resolver problemas que implican descomposicin en factores primos y

clculo de mltiplos, factores y divisores de nmeros naturales. Comparar y ordenar nmeros enteros, fracciones positivas y nmeros decimales positivos, y ubicarlos en la

recta numrica. Formular y utilizar procedimientos de clculo mental, escrito y con herramientas tecnolgicas con nmeros

enteros, fracciones positivas y nmeros decimales positivos. Resolver problemas que involucran la operatoria con nmeros enteros, fracciones positivas y nmeros

decimales positivos. Utilizar las razones para comparar cantidades, calcular porcentajes y variaciones porcentuales en diversos

contextos y usar las proporciones para resolver problemas de variacin proporcional. Realizar transformaciones entre fracciones positivas, decimales positivos y porcentajes. Analizar si un problema tiene solucin en el conjunto de los nmeros naturales. Establecer estrategias para resolver divisiones de nmeros enteros, determinar y verificar la relacin

entre los elementos de una divisin y extender el algoritmo de la divisin de los nmeros naturales a los nmeros enteros.

Nmeros

Resolucin de problemas Descomposicin en

factores primos

Mltiplos y divisores

Lectura y escritura

Operaciones

Porcentaje Variaciones porcentuales

mcm y mcd

Divisibilidad

Proporciones

Nmeros naturales

Fracciones y nmeros decimales

Relaciones de orden y representacin en la recta numrica

Nmeros enteros

Razones

Los nmeros sirven para expresar distinto tipo de informacin y pueden usarse para identificar, ordenar o cuantificar.

El conjunto de los nmeros naturales tiene un nmero infinito de elementos. Se simboliza por N y se representa por: N = {1, 2, 3, 4, }.

El conjunto de los nmeros enteros est compuesto por los nmeros naturales, el cero y los nmeros negativos. Se simboliza por Z y se representa por: Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 }.

P ara recordar

Unidad 1 Nmeros 7

En la recta numrica, un nmero natural, entero, fraccin o decimal, es mayor que todos los nmeros que estn a su izquierda y es menor que cualquier nmero que est a su derecha.

Cuando se multiplica un nmero natural por cada uno de los nmeros naturales, se obtienen los mltiplos del nmero.

Los divisores de un nmero natural son aquellos que lo dividen en forma exacta. Aquellos nme-ros mayores que 1 que tienen solo 2 divisores y distintos entre s, el 1 y el mismo nmero, se llaman nmeros primos. Los que tienen ms de dos divisores se llaman nmeros compuestos.

Todo nmero compuesto se puede escribir como multiplicacin de dos o ms nmeros primos, esta se llama descomposicin en factores primos.

El mnimo comn mltiplo (mcm) es el menor de los mltiplos comunes entre dos o ms nmeros.

El mximo comn divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o ms nmeros.

Para ordenar fracciones, se puede utilizar la relacin ab <

cd si y solo si ad < bc.

Para sumar o restar fracciones se pueden amplificar o simplificar para obtener fracciones equivalentes que tengan igual denominador. Luego se suman o restan los numeradores, segn corresponda, y se conserva el denominador.

El producto de dos o ms fracciones es una fraccin cuyo denominador corresponde al producto entre sus denominadores, y el numerador es el producto entre sus numeradores.

Para dividir una fraccin por otra fraccin, se multiplica la primera fraccin por el recproco de la segunda.

Toda fraccin se puede transformar en un nmero decimal, calculando la divisin entre su numerador y su denominador.

Para ordenar nmeros decimales se compara primero la parte entera de cada nmero decimal y despus uno a uno los dgitos decimales correspondientes a cada posicin, en la parte decimal, comenzando por la de mayor valor (dcimos), hasta que una de ellas sea menor o mayor que la otra.

Para sumar y restar nmeros decimales, se ordenan de manera que la coma decimal quede en la misma posicin. Luego, se suman o restan como si fueran nmeros naturales, escribiendo

posteriormente la coma donde corresponda en el resultado.

Para multiplicar nmeros decimales, se deben multiplicar como si fueran nmeros naturales y en el producto escribir la coma segn la can-tidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

En la divisin de nmeros decimales se puede multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10, de modo que se obtenga una divisin equivalente a la original, la que tendr el mismo cociente.

Se llama razn a la comparacin por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera. La razn entre a y b se puede expresar como a : b o bien

ab y se lee a es a b, donde a es el antecedente y b, el consecuente. El valor de la razn es el cociente entre las

cantidades. El porcentaje es una comparacin por cociente en

que se compara con 100, por lo que se representa con una fraccin cuyo denominador es 100.

Una proporcin es una igualdad entre dos o ms razones. La proporcin entre las cantidades a, b, c y

d se puede expresar a : b = c : d, o bien, ab = cd

y se lee a es a b como c es a d. En toda proporcin se cumple que: ab =

cd si y solo si a d = b c.

Para sumar nmeros enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo. Si son de distinto signo, restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del nmero de mayor valor absoluto.

Para restar dos nmeros enteros, se suma al mi-nuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: 4 (1) = 4 + (+1) = 3.

Para multiplicar o dividir nmeros enteros, se deben multiplicar o dividir sus valores absolutos y al resultado anteponer el signo + si los facto-res tienen el mismo signo, o el signo si tienen distinto signo.

Si la divisin entre dos nmeros enteros es inexacta se procede segn el algoritmo de la divisin: el dividendo es igual al divisor por el cociente ms el resto o residuo. El resto es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

Unidad 1 Nmeros8

Nmeros naturales

1. Escribe con palabras los siguientes nmeros.

a. 1 256 879b. 3 709 023c. 12 578 900d. 134 612 004e. 645 876 245f. 2 502 003 603g. 24 657 120 032h. 176 890 116 754

2. Escribe el nmero que corresponda en cada caso.

a. Siete millones trescientos cincuenta y cuatro mil doscientos nueve.

b. Nueve millones doscientos cuatro mil seis.c. Ochocientos ochenta millones ochocientos

treinta mil quinientos noventa y seis.d. Tres mil cuatrocientos noventa y cuatro

millones siete.e. Mil veintinueve millones setecientos sesenta

y dos mil novecientos treinta y cinco.f. Sesenta y tres mil doscientos ocho millones

cuatrocientos setenta y dos mil ochenta y siete.g. Quinientos setenta y cinco mil trescientos

doce millones ciento sesenta y ocho mil cuatrocientos cincuenta.

3. Identifica el valor que representa el dgito 1 en cada uno de los siguientes nmeros.

a. 231 567 d. 83 457 914b. 1 006 435 e. 13 296 703c. 4 456 781 f. 215 369 802

4. Cul es el nmero cuya descomposicin es: 3 UMi + 5 UM + 6 C + 4 D + 3 U? Marca la opcin correcta.

A. 3 050 643 C. 3 005 643B. 3 500 643 D. 3 056 043

5. Escribe el nmero correspondiente a cada una de las siguientes descomposiciones.

a. 1 UMi + 6 CM + 4 DM + 6 C + 3 Ub. 3 UMi + 5 CM + 7 DM + 9 UM c. 8 UMi + 7 CM + 5 DM + 9 UM + 4 C + 2 Ud. 9 DMi + 7 UMi + 8 DM + 4 UM + 3 D + 1 Ue. 4 1 000 000 + 5 100 000 + 3 1 000 + 2 100f. 7 1 000 000 + 9 10 000 + 3 100 + 4 1

6. Cul de los siguientes nmeros es mayor que 4 690 730? Marca la opcin correcta.

A. 4 096 740 C. 4 609 780B. 4 690 703 D. 4 906 700

Ejercicios resueltos

1. El total recaudado en la Teletn del ao 2008 fue $ 22 533 294 849. Cmo se lee el nmero anterior?

El nmero se puede descomponer de la siguiente manera:

22 533 000 000 se lee veintids mil quinientos treinta y tres millones.

294 000 se lee doscientos noventa y cuatro mil.

849 se lee ochocientos cuarenta y nueve.

Por lo tanto, el nmero 22 533 294 849 se lee veintids mil quinientos treinta y tres millones doscientos noventa y cuatro mil ochocientos cuarenta y nueve.

2. Escribe el nmero que corresponde a la siguiente descomposicin:

8 UMi + 2 CM + 9 DM + 1 UM + 9 D + 5 U

Si escribimos el valor de cada nmero, segn su posicin, obtenemos:

8 000 000 + 200 000 + 90 000 + 1 000 + 90 + 5 = 8 291 095

3. Los radios aproximados de algunos planetas del sistema solar son: Tierra, 6 371 000 m; Venus, 6 051 800 m; Mercurio, 2 439 700 m y Marte, 3 389 500 m. Ordena los planetas mencionados del ms pequeo al ms grande.

Si comparamos los nmeros considerando el dgito de la unidad de milln, nos damos cuenta de que el nmero ms pequeo corresponde al radio de Mercurio, seguido de Marte, Venus y la Tierra.

Ejercicios y problemas propuestos

Unidad 1 Nmeros

Unida

d 1

9

7. Compara los nmeros y completa usando los signos >, < o =, segn corresponda:

a. 134 987 123 988b. 2 347 098 3 247 098c. 4 546 781 4 456 799d. 546 908 213 54 698 213e. 502 547 020 547 502 020f. 1 024 684 213 1 024 684 213g. 23 798 607 321 23 798 670 321h. 156 847 820 001 156 847 001 820

8. Construye en cada caso una recta numrica y ubica en ella los siguientes grupos de nmeros.

a. 1 000 000 5 000 000 7 000 000b. 2 100 000 2 300 000 2 400 000c. 41 250 000 41 500 000 41 650 000d. 14 600 000 15 000 000 15 100 000

9. Utilizando los dgitos 0, 1, 3, 4, 6, 7 y 9, sin repetirlos, determina:

a. el nmero mayor que se puede formar.b. el nmero menor que se puede formar.c. el nmero menor de siete cifras que se

puede formar.d. Coinciden los resultados que obtuviste en

las preguntas b y c?, por qu?

10.Utilizando los diez dgitos y sin repetirlos determina el nmero mayor que se puede formar. Luego, responde.

a. Cmo se escribe el nmero que formaste, usando cifras?

b. Cmo se escribe con palabras el nmero que formaste?

c. Qu valor representa el dgito 5 en este nmero?

d. Qu dgito ocupa la posicin de la unidad de milln?

11.Utilizando los diez dgitos y sin repetirlos, determina el menor nmero de diez cifras que se puede formar. Luego, responde.

a. Cmo se escribe el nmero que formaste, usando cifras?

b. Cmo se escribe con palabras el nmero que formaste?

c. Qu valor representa el dgito 8?d. Qu dgito ocupa la posicin de la centena

de milln?e. Qu dgito ocupa la posicin de la UMMi?

12.En una campaa de solidaridad, el colegio Santa Teresa logr recaudar $ 3 567 231, mientras que el colegio Los Alerces reuni $ 3 675 123.

a. En qu colegio se reuni ms dinero?b. Qu valor representa el dgito 6 en los

nmeros anteriores?

13.La siguiente tabla muestra la superficie de algunos pases latinoamericanos.

Pas Superficie (km2)

Per 1 285 215

Argentina 2 780 400

Bolivia 1 098 581

a. Construye una recta numrica donde se representen los nmeros de la tabla, redondeados a la centena de mil.

b. Cul de los tres pases tiene la mayor superficie?, cmo lo supiste?

14.La siguiente tabla muestra la distancia entre algunos planetas y el Sol.

Planeta Distancia del Sol (km)

Tierra 149 598 262

Mercurio 57 909 227

Marte 227 943 824

Jpiter 778 340 821

Venus 108 209 475

Fuente: NASA, en: http://solarsystem.nasa.gov/index.cfm.

Consultado en julio de 2011.

a. Cul es el planeta ms lejano al Sol?, y el ms cercano?

b. Ordena los nombres de los planetas de acuerdo a su distancia del Sol, del ms cercano al ms lejano.

15.Un nmero capica es aquel que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, el 23 632 es un nmero capica.

a. Escribe 5 nmeros capicas de 7 cifras.b. Joaqun piensa en un nmero capica de

7 cifras, menor que 2 000 000 y que cumple las siguientes caractersticas: el dgito de las cente-nas es el triple que el de las decenas, el dgito de las decenas es el doble que el de la unidad de milln y el dgito de la unidad de mil es el cudruple que el de la centena de mil. Cul es el nmero pensado por Joaqun?

Unidad 1 Nmeros10


1. Cul de los siguientes nmeros no es divisor de 84? Marca la opcin correcta.

A. 14 C. 21B. 16 D. 28

2. Cul de los siguientes nmeros es mltiplo de 13? Marca la opcin correcta.

A. 42 C. 75B. 91 D. 69

3. Escribe, de todas las formas posibles, el nmero 144 como el producto de dos factores.

4. Determina los siete primeros mltiplos de los siguientes nmeros.

a. 3 d. 12b. 8 e. 14c. 9 f. 17

5. Determina todos los divisores de cada uno de los siguientes nmeros.

a. 33 d. 65b. 27 e. 54c. 32 f. 72


1. Determina el mximo comn divisor (mcd) y el mnimo comn mltiplo (mcm) entre los nmeros 12, 18 y 30.

Una estrategia es descomponer los nmeros en sus factores primos:

Luego, la descomposicin en factores primos de los nmeros 12, 18 y 30 es:

12 = 2 2 3 18 = 2 3 3 30 = 2 3 5

Para calcular el mcm entre los nmeros 12, 18 y 30 consideramos todos los factores primos que estn en alguna de las descomposiciones, en este caso el 2, el 3 y el 5. Adems, nos fijamos en cul descomposicin se repite la mayor cantidad de veces cada factor. En el ejercicio planteado, el 2 se repite dos veces, el 3 se repite dos veces y el 5 se repite una vez. Lo que significa que: mcm(12, 18, 30) = 2 2 3 3 5 = 180.

Para calcular el mcd entre los nmeros 12, 18 y 30 consideramos los factores primos que estn en todas las descomposiciones, en este caso el 2 y el 3. Adems, nos fijamos en cul descomposicin se repite la menor cantidad de veces cada factor. En este caso, el 2 se repite una vez y el 3 se repite una vez. Lo que signifca que: mcd(12, 18, 30) = 2 3 = 6.

2. Un comerciante debe viajar a una ciudad cada 6 das, otro lo hace cada 8 das y un tercer comerciante, cada 12 das. Si hoy los tres coincidieron en el terminal de buses, dentro de cuntos das volvern a viajar los tres a la misma ciudad?

Este problema equivale a hallar el mnimo comn mltiplo entre los nmeros 6, 8 y 12. Representamos los mltiplos de dichas cantidades de la siguiente manera.

Los mltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,

Los mltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48,

Los mltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60,

Observa que el mltiplo de menor valor que es comn a 6, 8 y 12 es el 24, lo que significa que en 24 das ms los tres comerciantes volvern a viajar a la misma ciudad.

Descomposicin en factores primos, mltiplos y divisores

12 2

6 2

3 3

1

18 2

9 3

3 3

1

30 2

15 3

5 5

1

Unidad 1 Nmeros 11

Unida

d 1

6. Escribe, de todas las formas posibles, el nmero 64 como el producto de dos factores distintos.

7. Escribe, de todas las formas posibles, el nmero 210 como el producto de tres factores, distintos de 1.

8. En la siguiente tabla marca con una X si los nmeros de la primera columna son divisibles por 2, 5 o 9, segn corresponda.

2 5 9

49

75

864

180

315

3 780

26 876

157 902

9. Cul de los siguientes nmeros es primo? Marca la opcin correcta.

A. 15 C. 21B. 17 D. 26

10.Escribe todos los nmeros primos entre 20 y 40.

11.Escribe el nmero 14 como la suma de tres nmeros primos.

12.A excepcin del 2, por qu no existen otros nme-ros primos que sean pares? Justifica tu respuesta.

13.Escribe la descomposicin en factores primos de los siguientes nmeros.

a. 12 e. 428b. 85 f. 720c. 200 g. 981d. 584 h. 1 200

14.Determina el mximo comn divisor entre los siguientes nmeros.

a. 9 y 33 e. 15, 40 y 65b. 18 y 27 f. 24, 30 y 54c. 16, 32 y 72 g. 16, 18, 20 y 36d. 12, 24 y 42 h. 9, 12, 24 y 36

15.Determina el mnimo comn mltiplo entre los siguientes nmeros.

a. 4 y 6 d. 8, 18 y 36b. 8 y 12 e. 12, 15 y 18c. 12, 16 y 24 f. 8, 10, 15 y 20

16.Un nmero se dice perfecto si la suma de todos sus divisores es igual al doble de dicho nmero. Por ejemplo, el nmero 6 es perfecto, pues 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Cul de los siguientes nmeros es perfecto? Marca la opcin correcta.

A. 24 C. 36B. 28 D. 48

17.Laura tiene 8 rosas, 12 tulipanes y 36 claveles. Si desea hacer arreglos florales idnticos:

a. cul es el mximo nmero de arreglos que Laura puede hacer, usando todas las flores?

b. cuntas flores de cada tipo puede poner Laura en cada arreglo?

18.Resuelve los siguientes problemas.

a. Daniel piensa embaldosar el piso de su cocina que mide 250 cm por 350 cm. Para esto, decide comprar baldosas cuadradas. Cul es el rea mxima de cada baldosa de modo que se pueda cubrir totalmente el piso de la cocina sin tener que cortar ninguna?

b. Los buses a Valparaso salen de la estacin cada 15 minutos; los buses a Zapallar, cada 40 minutos, y los buses a La Calera, cada 20 minutos. Si los tres buses salen a las 21:00 h, volvern a salir durante ese da los tres buses a la misma hora? Justifica tu respuesta.

c. Maribel tiene dos tipos de perfumes: uno en un frasco de 32 mL y el otro, en uno de 24 mL, ambos llenos. Si decide combinar ambos perfumes, vertiendo la misma cantidad de cada uno en diferentes frascos, en cuntos frascos, como mximo, podra combinar los perfumes?

19.El mximo comn divisor de dos nmeros diferentes es 43. Qu nmeros son, si ambos tienen dos cifras?

20.Determina dos nmeros de tres cifras cuyo producto es igual a 555 555.

21.Cuntos nmeros positivos menores que 100 tienen solo tres divisores?, cules son esos nmeros?, qu tienen en comn?

Unidad 1 Nmeros12


1. Calcula en forma mental los siguientes ejercicios.

a. 1 500 000 + 2 300 000 =b. 2 350 000 + 13 700 000 =c. 6 850 000 2 150 000 =d. 12 560 000 6 110 000 =e. 1 500 100 =f. 2 400 000 60 =g. 12 000 000 : 500 =h. 7 200 000 : 20 =

2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.

a. 378 654 + 1 789 341 =b. 23 574 560 + 3 670 234 =c. 6 113 027 569 974 =d. 7 219 989 5 639 946 =e. 4 113 650 + 483 722 3 493 751 =f. 2 942 652 1 009 450 + 496 005 =

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a. 233 008 15 =b. 121 2 100 =c. 7 120 472 381 =d. 6 720 560 : 40 =e. 8 775 000 : 450 =f. 2 122 230 : 654 =g. 2 000 45 : 25 =h. 123 65 : 5 =i. 23 211 : 9 4 =

4. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. (672 + 15) 200 = b. 536 341 265 14 =c. 12 64 + 388 : 4 =d. 32 (326 121) + 5 865 =e. 12 487 + 15 543 300 900 : 300 =f. 10 001 200 600 303 + 92 894 =g. 2 500 : 500 + 704 100 10 000 : 100 =

5. Qu nmero es cuatro unidades de milln mayor que 450 050 400? Marca la opcin correcta.

A. 450 050 408B. 450 054 400C. 454 050 400D. 850 050 400

6. Si en una adicin uno de los sumandos es 64 876 210 y la suma es 184 710 227, cul es el valor del otro sumando? Marca la opcin correcta.

A. 119 834 017 C. 249 586 347B. 119 834 117 D. 249 586 437

7. Si en una adicin la suma es 6 987 456 y uno de los sumandos es 1 667 892, cul es el otro sumando?

8. Si en una sustraccin la diferencia es 3 567 612 y el sustraendo, 8 091 254, cul es el minuendo?


1. Fernanda compr un departamento por $ 12 580 600. Si dio un pie de $ 3 850 000 y el resto lo pagar en 50 cuotas iguales, sin inters, cul ser el valor de cada cuota?

Calculamos el total que Fernanda tendr que pagar despus de haber cancelado el pie:

12 580 600 3 850 000 = 8 730 600

Entonces, Fernanda deber cancelar $ 8 730 600, en 50 cuotas iguales. Luego, el valor de cada cuota ser:

8 730 600 : 50 = 174 612

Por lo tanto, cada cuota ser de $ 174 612.

2. Segn el ltimo censo realizado en nuestro pas, la Regin de Valparaso tena 321 710 habitantes menos que la del Biobo. Si la poblacin total de la Regin del Biobo era de 1 861 562 habitantes, cuntas personas vivan en la Regin de Valparaso?

Para calcular la cantidad de habitantes que viva en la Regin de Valparaso calculamos:

1 861 562 321 710 = 1 539 852

Luego, en la Regin de Valparaso vivan 1 539 852 personas.

Operaciones con nmeros naturales

Unidad 1 Nmeros 13

Unida

d 1

9. Si en una sustraccin el minuendo es 7 329 897 y la diferencia, 3 189 675, cul es el sustraendo?

10.Resuelve las siguientes situaciones, utilizando una calculadora.

a. Si en una multiplicacin el producto es 128 773 120 y uno de los factores es 1 024, cul es el otro factor?

b. Si en una divisin exacta el cociente es 1 907 y el divisor 2 806, cul es el dividendo?

c. Si en una divisin exacta el cociente es 2 011 y el dividendo, 1 693 262, cul es el divisor?

11.Si el cociente de la divisin a : b es c y su resto es d, cul de las siguientes igualdades es correcta? Marca la opcin correcta.

A. a = bc + dB. a = cd + bC. b = ad + cD. b = ac + d

12.Si en una divisin el cociente es 290, el divisor es 38 y el resto es 24, cul es el dividendo?

13.Cul de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. En una divisin inexacta el resto siempre es distinto de cero.

B. El divisor es igual al producto entre el dividendo y el cociente, ms el resto.

C. Si el dividendo es mayor que el divisor, el resto siempre es distinto de cero.

D. El dividendo es igual al producto entre el divisor con el cociente, menos el resto.

14.Cul de las siguientes expresiones tiene el mismo resultado que: 365 214 (214 874 + 2 654 875)?

A. 365 214 214 874 + 2 654 875B. 365 214 2 654 875 + 214 874C. 365 214 214 874 + 365 214 2 654 875D. 365 214 + 214 874 2 654 875

15.Qu propiedad se puede utilizar para responder la pregunta anterior sin hacer ningn clculo?

A. Conmutativa de la adicin.B. Asociativa de la multiplicacin.C. Distributiva de la multiplicacin respecto

de la adicin.D. Elemento neutro de la multiplicacin.

16.Si en una multiplicacin uno de los factores es igual al producto, cul es el otro factor?

17.En la Teletn del ao 2008 se reuni en total $ 22 533 294 849, de los cuales $ 17 314 939 820 fueron aportes pblicos y el resto, de empresas. Usando tu calculadora, determina cunto dinero en total donaron las empresas.

18.En una empresa, 52 800 manzanas son almacena-das en cajas de 44 unidades.

a. Cuntas cajas se necesitan para almacenar todas las manzanas?

b. Si cada caja se vende a $ 1 200, cunto dinero se obtiene al vender todas las cajas?

19.Don Ral tiene un vehculo que gasta, en promedio, 1 L de combustible cada 12 km recorridos. Si un da recorri 60 km en su vehculo:

a. cuntos litros de combustible utiliz?b. cunto dinero aproximadamente gast

en bencina, sabiendo que el valor del litro es $ 702?


a. Felipe dice que el resultado de la expresin 4 500 + 500 500 es 2 500 000. Laura dice que es 254 500. Quin dice lo correcto? Explica.

b. Mara es capaz de leer 420 palabras por minuto. Si un da ley durante media hora en la maana y tres cuartos de hora en la tarde, cuntas palabras pudo leer, en total, ese da?

c. En un almacn, 1 kg de pan cuesta $ 790 y 1 L de leche, $ 510. Si Ana compr 5 kg de pan y 3 L de leche, cunto dinero gast, aproximadamente?

d. Si una mquina imprime 6 pginas por minuto, cuntas horas se demorara en imprimir 720 pginas?

e. Sara compr varias bebidas a $ 350 cada una. Si pag con un billete de $ 5 000 y recibi $ 1 150 de vuelto, cuntas bebidas compr?

f. Para atraer ms clientes, una automotora hace un descuento de $ 1 250 000 por cada camioneta que se cancele al contado. Cul es el precio que cancelara Jorge si quisiera comprar una camioneta de $ 8 230 650 al contado?

g. Para comprar un auto, Martn debe pagar un pie de $ 3 555 800 y el resto, cancelarlo en 36 cuotas de $ 149 000. Cunto tiene que pagar en total por el auto?

Unidad 1 Nmeros14

1. Escribe con palabras las siguientes fracciones.

a. 13 e. 12

100

b. 57 f. 1 6

9

c. 810

g. 53542

d. 1312

h. 31819

2. Cmo se escribe la fraccin doce sptimos? Marca la opcin correcta.

A. 1 27 C. 12

7

B. 12 17 D. 12

17

3. Representa las siguientes fracciones en su forma numrica.

a. Tres octavos.b. Siete sextos.c. Doce sptimos.d. Quince dcimos.e. Veintinueve diecinueveavos.f. Tres enteros un cuarto.g. Siete enteros quince dieciochoavos.h. Dos enteros trece milsimos.

4. Observa la figura y responde.

a. Qu fraccin del total de globos son azules? Represntalo con cifras.

b. Qu fraccin del total de globos son verdes? Escrbelo con palabras.

5. Representa los siguientes nmeros mixtos como fracciones impropias.

a. 4 37 c. 13 1

4

b. 2 79 d. 718

19

6. En cada caso, determina 3 fracciones equivalentes a cada fraccin dada.

a. 59 c. 18

32

b. 1421

d. 3 315



1. Qu fraccin del total de letras del abecedario son vocales?, qu fraccin son consonantes?

Consideramos las 27 letras del abecedario: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, , O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. Del total de letras, solo 5 son vocales (A, E, I, O, U).

Por lo tanto, un 527

del abecedario son vocales.

Si hay 5 vocales, entonces hay 22 consonantes. Esto significa que un 2227

del abecedario son consonantes.

2. Anita estudi para su prueba 1 12 h el da lunes, 1 3

4 h el martes y 1 5

8 h el mircoles. Qu da estudi la

mayor cantidad de horas?

Para solucionar el problema necesitamos comparar las fracciones dadas. Una estrategia consiste en convertir cada nmero mixto a fraccin impropia, a continuacin, buscar fracciones equivalentes a las dadas de modo que todas queden con el mismo denominador y, finalmente, comparar los numeradores.

Al transformar los nmeros mixtos 112, 13

4 y 15

8 a fraccin impropia se obtienen, respectivamente: 3

2, 74 y

138. Luego, podemos amplificar la primera fraccin por 4 y la segunda, por 2. As nos queda: 12

8, 148 y 13

8.

En consecuencia, el da que Anita estudi la mayor cantidad de horas fue el martes.

Fracciones

Unidad 1 Nmeros 15

Unida

d 1

7. Cul de las siguientes fracciones es irreductible? Marca la opcin correcta.

A. 7354

C. 37111

B. 11523

D. 18717

8. En cada caso, simplifica hasta obtener una fraccin irreductible.

a. 412

d. 5649

b. 1824

e. 11527

c. 7254

f. 2 315

9. Cul de las siguientes fracciones es mayor

que 56? Marca la opcin correcta.

A. 12 C. 7

8

B. 34 D. 10

12

10.Compara las siguientes fracciones, utilizando los signos >, < o =, segn corresponda.

a. 16 5

6 g. 2 1

2 8

3

b. 47 3

7 h. 7

6 1 1

6

c. 43 4

9 i. 8

12 1 4

8

d. 18 1

7 j. 1 1

5 2 1

3

e. 34 4

3 k. 3 5

7 3 9

11

f. 114 15

6 l. 7 3

8 7 6

16

Marca la opcin correcta en los tems 11 y 12.

11.Qu fraccin est representada por el punto P?

2 3

P

A. 34 C. 2 3

8

B. 78 D. 11

4

12.Cul de las siguientes fracciones se encuentra ubicada entre 2 y 3, en la recta numrica?

A. 2517 C. 35

11

B. 158 D. 13

5

13.En cada caso, representa en una recta numrica las fracciones dadas.

a. 38, 58 y 7

8

b. 35, 1 1

5, 1 3

5 y 1

5

c. 23, 56, 53 y 1

6

d. 1 14, 78, 34 y 1 1

8

e. 13, 34, 56 y 7

12


a. Mnica y Eduardo fueron al almacn a

comprar una bebida. Mnica compr una

botella de 2 12 L y Eduardo, una de 2 1

4 L.

Quin compr ms bebida?, por qu?

b. Florencia ha completado los 27 de su experi-

mento del laboratorio. Por otra parte, Sofa ha

completado 15 del mismo experimento.

A cul de las dos le falta ms para terminar

el experimento?

c. Mariana y Emilio caminan por la misma calle

para ir a la escuela. Si comenzaron en el mismo

punto y a Emilio le falta 14 del camino y a

Mariana, 15, a quin le falta menos para

llegar a la escuela?

d. La familia Rosales consume, en una semana,

1 12 kg de manzanas, 5

3 kg de pltanos,

1 15 kg de peras y 5

2 kg de naranjas.

Cul es la fruta que ms consumen?,

cmo lo supiste?

15.Qu fraccin de los nmeros enteros positivos menores que 30 son primos?

16.Qu fraccin de los nmeros enteros positivos menores que 2 011 son divisibles por 2?

17.La fraccin de los nmeros enteros positivos

menores que 2 012 que son divisibles por 5,

es mayor o menor que 15? Justifica.

Unidad 1 Nmeros16

1. Calcula mentalmente las siguientes adiciones y sustracciones y escribe el resultado.

a. 15 + 3

5 =

b. 37 2

7 =

c. 713

+ 913

+ 113

=

d. 57 2

7 + 4

7 =

e. 35 + 8

10 =

f. 129 1

3 =

g. 1 34 =

h. 233 2 =

2. Resuelve las siguientes adiciones.

a. 47 + 3

5 =

b. 76 + 3

2 =

c. 13 + 1

4 + 5 =

d. 73 + 8

9 + 5

12 =

e. 2 67 + 5

12 =

f. 3 28 + 4 1

2 + 12

3 + 2 =

3. Resuelve las siguientes sustracciones.

a. 2 59 =

b. 94 1

3 =

c. 185 2

3 2

10 =

d. 12 1

3 1

6 =

e. 3 712

1 56 =

f. 1 14 1

6 5

18 =

4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

a. ( 52 53 ) + 13 =b. 3

7 + 3 5

4 =

c. 116

+ 716

+ 1 12 =

d. 1 ( 35 14 ) =e. 1 1

4 ( 58 + 14 ) =

f. ( 23 12 ) + ( 14 + 16 ) =g. 3 1

5 + 2 4

10 4 1

3 =

h. 3 67 + 5 1

2 2 3

8 + 1 =



1. Resuelve: 74 + 9

6 1

5.

Calculamos el mcm entre los denominadores y obtenemos: mcm(4, 6, 5) = 60.

Amplificamos cada fraccin de modo que, en cada caso, se obtenga una fraccin equivalente. Luego, nos queda:7 154 15

+ 9 106 10

1 125 12

= 10560

+ 9060

1260

= 18360

= 6120

2. Un peridico dedica 25 de su contenido a informacin, 3

8 a artculos de opinin y el resto a publicidad.

Qu fraccin corresponde a publicidad?

Calculamos la fraccin del diario dedicada a informacin y artculos de opinin:

25 + 3

8 = 2 8

5 8 + 3 5

8 5 = 16

40 + 15

40 = 31

40

Luego, la fraccin del diario dedicada a publicidad corresponde a la diferencia entre la unidad y 3140

, es decir:

1 3140

= 4040

3140

= 940

Por lo tanto, un 940

del peridico est dedicado a publicidad.

Adicin y sustraccin de fracciones

Unidad 1 Nmeros 17

Unida

d 1


5. Si en una adicin uno de los sumandos es 95 y la

suma es 136, cul es el valor del otro sumando?

A. 930

C. 10930

B. 1130

D. 11930

6. Si en una sustraccin el sustraendo es 12 y la

diferencia es 116

, cul es el valor del minuendo?

A. 0 C. 716

B. 218

D. 916

7. Diego tom 14 L de leche en la maana, 3

7 L en

la tarde, y por la noche tom 12 L. Cunta leche

tom en total durante ese da?

A. Menos que 12 L.

B. Entre 12 L y 1 L.

C. Entre 1 L y 1 12 L.

D. Ms que 1 12 L.

8. Del total de flores que hay en un jardn, 16 son

rosas, 23 son claveles y el resto, lilas. Cul de las

siguientes afirmaciones es verdadera?

A. La tercera parte de las flores son lilas.B. Hay ms rosas que claveles.C. Hay ms lilas que claveles.D. Hay igual cantidad de lilas que de rosas.

9. Si con tres vasos de 15 L y dos de 1

4 L se llena una

botella hasta la mitad, cul es la capacidad de

la botella?

A. 59 L C. 11

5 L

B. 109 L D. 11

10 L

10.Al sumar dos fracciones propias, el resultado:

A. es una fraccin propia.B. es una fraccin impropia.C. es un nmero natural.D. no se puede inferir.

11.Vernica distribuye su horario de trabajo de la

siguiente manera: el lunes trabaja 6 14 h, el martes

trabaja 5 12 h, el mircoles, 4 3

4 h, el jueves, 3 1

3 h

y el viernes trabaja 4 h.

a. Cul es el da en que Vernica trabaja ms horas?

b. Cuntas horas trabaja Vernica a la semana?c. Cuntas horas ms trabaja el mircoles que

el jueves?


a. Un CD tiene grabada una cancin que dura

2 12 minutos, otra que dura 3 3

4 minutos, otra

de 4 16 minutos, y otra de 4 2

3 minutos. Cuntos

minutos de msica hay grabados en total en

el CD?

b. Sofa se demora 1 13 h en estudiar Matemtica

y 34 h en hacer su tarea de Lenguaje.

Si comenz a las 16:00 h, habr terminado

de hacer sus deberes a las 18:00 h?, por qu?

c. Ana Mara llega a su casa y lee durante 34 h,

utiliza 23 h en realizar su tarea de Matemtica y

dedica 12 h a escribir. Cunto tiempo emple

en total?

d. Soledad recorre caminando 4 79 km el da

lunes y 2 38 km el martes. Cuntos kilmetros

ms recorri el lunes que el martes?

e. En el interior de una bolsa hay 3 12 kg de peras,

2 14 kg de naranjas y 1 3

4 kg de duraznos. Si la

masa de la bolsa es de 112

kg, cul es la masa

total de la bolsa y las frutas?

f. En un programa de radio se ocupa 23 del

tiempo para transmitir msica, 14 en la lectura

de noticias, 118

en llamados del pblico y el

resto en comerciales. Qu fraccin del tiempo

se usa en comerciales?

Unidad 1 Nmeros18


1. Responde las siguientes preguntas, realizando los clculos en forma mental.

a. Cunto es 25 de 30?

b. Cunto es 112

de 36?

c. Cunto es 56 de 42?

d. Cunto es la tercera parte de 13?

e. Cunto es la mitad de 35?

f. Cunto es el cudruple de 73?

g. Cunto es el doble de 194?

2. Cunto es el triple de 527

? Marca la opcin correcta.

A. 159 C. 5

9

B. 1581

D. 527

3. Cunto es la cuarta parte de 87?

4. Resuelve cada multiplicacin y escribe el resultado como una fraccin irreductible.

a. 4 67 = h. 5

4 47 815

72 =

b. 25 52 = i. 2 1

2 110

3 =

c. 116 104 = j. 7

12 1 1

5 1528

6 =

d. 18 47 = k. 1

48 8 1 1

5 =

e. 25 106 38 = l. 3 1

7 2 3

8 1419

=

f. 3 13 45 1516

= m. 1 112

1 113

7891

=

g. 2 13 3 1

2 = n. 144

7 1 8

12 1024

=

Multiplicacin y divisin de fracciones


1. La distancia aproximada entre Santiago y Puerto Montt es 1 025 km. Si Pedro ha recorrido las 35 partes de

ese trayecto, cuntos kilmetros le faltan para llegar?

Una estrategia para determinar la cantidad de kilmetros que faltan es calcular cuntos kilmetros ha avanzado y luego restar ese valor al total. Observa.

Pedro ha recorrido 35 de 1 025, es decir: 3

5 1 025 = 3 1 025

5 = 3 075

5 = 615.

Lleva recorridos 615 km, por lo tanto le faltan 1 025 615 = 410.

A Pedro le faltan 410 km para llegar.

Otra estrategia para resolver el mismo problema consiste en determinar la fraccin del camino que a Pedro le falta por recorrer y luego calcular ese valor en kilmetros. Observa.

Pedro ha recorrido 35 del camino, lo que significa que an le quedan 2

5 del camino por recorrer, o sea:

25 1 025 = 2 1 025

5 = 2 050

5 = 410

Luego, a Pedro le faltan 410 km para llegar.

2. Cuntos vasos de 15 L de capacidad se pueden llenar completamente con 2 1

2 L de agua?

El nmero de vasos se puede calcular fcilmente dividiendo la cantidad de litros de agua por la capacidad de los vasos. De este modo tenemos:

2 12 : 15 Transformamos el nmero mixto a fraccin impropia.

52 : 15 Multiplicamos por el recproco del segundo factor.

52 51 = 25

2 = 12 1

2

En consecuencia, se pueden llenar completamente 12 vasos y otro vaso quedara con agua hasta la mitad.

Unidad 1 Nmeros 19

Unida

d 1

5. Si para el cumpleaos de Jos compraron 5 bebidas

de 1 12 L, cuntos litros de bebida se compraron

en total? Marca la opcin correcta.

A. 152 L C. 5 L

B. 112 L D. 6 L

6. Resuelve las siguientes divisiones y escribe el resultado como una fraccin irreductible.

a. 2 : 12 =

b. 35 : 3 =

c. 411

: 38 =

d. 57 : 2521

=

e. 1 712

: 9 12 =

f. 3 27 : 4621

=

7. A qu fraccin corresponde la mitad de 65?

Marca la opcin correcta.

A. 25 C. 3

10

B. 125 D. 6

10

8. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. ( 34 13 ) : (1 + 12 ) =b. (2 + 15 ) (1 + 23 )c. ( 12 14 ) (1 12 15 ) = d. 4 + 2

7 : 67 =

e. 911

(2 37 1 59 ) =f. 13

6 2239

+ 513

=

9. Claudio se comi 13 de una pizza y le dar a

su hermana la mitad de lo que le sobr. Qu

fraccin de la pizza se comer la hermana

de Claudio? Marca la opcin correcta.

A. 13 C. 1

6

B. 12 D. 5

6

10.Cuntos minutos corresponden a 14 h ms 3

5 h?


A. 41 minutos.B. 51 minutos.C. 56 minutos.D. 33 minutos.

11.Martn debe leer un libro de 360 pginas. Si ya ha

ledo 49 del libro:

a. cuntas pginas ha ledo?b. cuntas pginas le faltan por leer?

12.Pamela se comi el da lunes 14 del total de galletas

que tena y el martes se comi 12 de lo que le

quedaba en la caja.

a. Qu fraccin de las galletas que tena inicialmente se comi Pamela el martes?

b. Qu fraccin de las galletas que tena inicialmente se comi en ambos das?

c. Si Pamela tena inicialmente 32 galletas, cuntas le quedan despus del martes?

13.La capacidad total del estanque de combustible del automvil de Alejandro es de 35 L. Si solo tiene 2

5

del estanque lleno y decide cargar combustible:

a. cuntos litros de bencina debe cargar para llenar el estanque?

b. Si el litro de bencina est a $ 724, cunto deber pagar Alejandro?


a. Luis reparte 20 kg de harina en bolsas de 25 kg

cada una. Cuntas bolsas logra llenar?

b. Si 23 kg de pan valen $ 510, cunto cuestan 3 kg?

c. Miguel tiene una tabla de madera de 5 12 m

de largo y necesita cortar trozos de 1 34 m.

Cuntos trozos de esa medida puede cortar como mximo?

d. Antonia gana $ 64 500 semanales, deposita

en el banco 14 del total, la tercera parte de su

sueldo lo ocupa para pagar cuentas y el resto

lo deja para gastar. Cunto dinero le queda

disponible para gastar?

Unidad 1 Nmeros20

Preparando el SIMCE


1. Qu nmero representa nueve millones trescientos seis mil ochocientos nueve?

A. 9 360 809B. 9 306 809C. 9 306 890D. 9 036 809

2. El nmero 6 040 602 escrito en palabras es:

A. seis millones cuatrocientos mil seiscientos dos.B. seis millones cuarenta mil seiscientos veinte.C. seis millones cuarenta mil seiscientos dos.D. seiscientos millones cuarenta mil seiscientos dos.

3. 7 CM + 5 DM + 2 C + 4 D + 7 U equivale a:

A. 750 247B. 75 247C. 7 500 247D. 752 470

4. 108 354 279 aumentado en 5 UMi es igual a:

A. 108 354 284B. 108 359 279C. 113 354 279D. 158 354 279

5. Cules son todos los divisores de 8?

A. 1, 8B. 2, 4C. 1, 2, 4, 8D. 2, 4, 8

6. Cuntos nmeros primos hay entre 30 y 40?

A. 0 C. 2B. 1 D. 3

7. Qu nmero es divisible por 3, por 6 y por 9 a la vez?

A. 27 C. 54B. 39 D. 45

8. La descomposicin prima del nmero 108 es:

A. 2 3 3 3 C. 4 3 3 3B. 2 2 3 3 3 D. 3 4 9

9. Si un dlar se puede cambiar por $ 550, cuntos dlares se pueden comprar con $ 100 000?

A. Menos de 100 dlares.B. Entre 100 y 200 dlares.C. Entre 200 y 300 dlares.D. Ms de 300 dlares.

10.Andrs quiere comprarse la camiseta de ftbol de su equipo preferido. Si la camiseta cuesta $ 16 080 y l ahorra $ 2 770 por semana, en cuntas semanas podr comprarse la camiseta?

A. En 5 semanas.B. En 6 semanas.C. En 7 semanas.D. En 9 semanas.

11.En un colegio deciden construir un gimnasio cuyo costo es $ 15 396 200. La direccin del colegio solo cuenta con $ 7 450 324. Si para financiar el resto deciden hacer un bingo, cunto dinero necesitan recaudar?

A. $ 7 945 876B. $ 7 945 924C. $ 8 946 876D. $ 8 946 924

12.En una campaa de solidaridad el 8 A logra recaudar $ 1 125 012, el 8 B rene $ 1 649 003 y el 8 C, $ 987 524. Cunto dinero recaudaron los tres cursos?

A. $ 2 112 536B. $ 2 774 015C. $ 3 761 539D. $ 4 761 539

13.Dos canales de televisin comienzan a transmitir el noticiero a las 21:00 h. Ambos canales transmiten comerciales. Un canal lo hace cada 12 minutos y el otro, cada 18 minutos. A qu hora ambos canales pasan a comerciales al mismo tiempo?

A. A las 21:36 hB. A las 21:12 hC. A las 21:18 hD. A las 21:24 h

14.Cmo se representa la fraccin dieciocho novenos?

A. 189 C. 1 8

9

B. 918

D. 18 19

15.Cul de las siguientes fracciones es la menor?

A. 37 C. 9

23

B. 617

D. 817

Unidad 1 Nmeros 21

Unida

d 1

16.Si p = 59, q = 2

3 y r = 4

5, cul o cules de las

afirmaciones son verdaderas?

I. r > pII. r p < q

III. pq > r

A. I y II C. II y IIIB. I y III D. I, II y III

17. Si el precio de 34 kg de almendras es $ 930,

el precio de un kilogramo es:

A. $ 310 C. $ 1 240B. $ 698 D. $ 1 400

18.Sandra tiene $ 18 000. Si gasta $ 3 000, qu parte de su dinero gast?

A. 16 C. 5

6

B. 19 D. 8

9

19.El estanque de bencina de un automvil tiene

capacidad para 50 L y est completamente lleno.

Si en un viaje se gast 15 del estanque, cuntos

litros de combustible le quedan?

A. 10 L C. 30 LB. 20 L D. 40 L

20.Una torta es repartida de la siguiente manera: 14 para Mara y 1

2 para Sofa. Qu parte de la

torta no ha sido repartida?

A. 14 C. 3

4

B. 12 D. 8

9

21.Ana compr 3 12 L de aceite y 2 1

2 kg de pan.

El litro de aceite cuesta $ 650 y el kilogramo de

pan, $ 580. Si pag su compra con un billete de

$ 5 000, cunto dinero recibi de vuelto?

A. $ 1 230 C. $ 3 770B. $ 1 275 D. $ 3 725

22.Marcela gast 34 de su dinero en comprar pan.

Si le quedan $ 650, cunto dinero tena?

A. $ 2 600 C. $ 1 300B. $ 1 950 D. $ 867

23.En un curso, 57 de los estudiantes obtuvo nota

sobre 5,0 en la prueba de Matemtica y 114

obtuvo

nota sobre 6,5. Qu fraccin del curso obtuvo

una nota mayor que 5,0 y menor o igual a 6,5?

A. 47 C. 9

14

B. 621

D. 1114

24.Entre qu nmeros se encuentra el producto de dos fracciones propias?

A. Entre 0 y 1.B. Entre 1 y 10.C. Entre 10 y 100.D. Depende de las fracciones.

25.Carlos realiz 59 de un trabajo y Andrs, 3

15 de

lo que hizo Carlos. Qu parte del trabajo

realiz Andrs?

A. 1524

C. 15

B. 3445

D. 19

26.Cul es el permetro y el rea de un cuadrado de

lado igual a 87 cm?

A. 327 cm y 64

7 cm2

B. 327 cm y 64

49 cm2

C. 167 cm y 64

7 cm2

D. 167 cm y 64

49 cm2

27.Eduardo se compr un automvil que cuesta $ 5 270 000. Para pagarlo, debe cancelar un pie de $ 2 100 000 y 48 cuotas de $ 72 000.

a. Cunto debe pagar Eduardo por el automvil, en total?

b. Cunto es el inters que debe pagar?

28.Mario distribuy su sueldo de la siguiente manera:

us 14 para pagar las cuentas, 2

5 para locomo-

cin y alimentacin, guard 210

en el banco y el

resto lo dej para gastar. Si le quedaron $ 32 100

para gastar, cul fue el sueldo de Mario?

Unidad 1 Nmeros22


1. Escribe con palabras cada uno de los siguientes nmeros decimales.

a. 0,2 e. 1,035b. 0,06 f. 13,7c. 0,24 g. 168,9d. 1,6 h. 15,354

2. Representa los siguientes nmeros decimales en su forma numrica.

a. Seis dcimos.b. Ocho centsimos.c. Dos enteros cinco milsimos.d. Trece enteros siete centsimos.e. Diecinueve milsimos.f. Tres enteros catorce centsimos.g. Cinco enteros trescientos veinticuatro milsimos.


3. Cmo se escribe el nmero decimal tres dcimos?

A. 3,10 C. 0,3B. 10,3 D. 0,03

4. Cul de los siguientes nmeros decimales es menor que 1,09?

A. 1,9 C. 9,01B. 9,1 D. 0,19

5. Cul de los siguientes nmeros decimales se ubica entre 3,4 y 3,63?

A. 3,12 C. 3,49B. 3,36 D. 3,76


1. En la siguiente tabla se muestra la estatura de 5 estudiantes de un curso.

Nombre Josefa Agustn Toms Ana Carmen

Estatura (en metros) 1,61 1,73 1,67 1,7 1,68

Si la profesora forma en una fila a los nios de menor a mayor estatura, en qu orden deben ir?

Para ordenar nmeros decimales lo hacemos comparando la parte entera de los nmeros entre s y luego las cifras decimales segn su posicin de izquierda a derecha.

En este caso, la parte entera de todos los nmeros decimales es 1, por lo que debemos comparar los dgitos de las posiciones decimales.

Si comparamos el dgito de las dcimas, notamos que Agustn y Ana tienen estaturas mayores que Josefa, Agustn y Carmen.

Al comparar el dgito de las centsimas advertimos que Agustn es ms alto que Ana, Carmen es ms alta que Toms y este ltimo es ms alto que Josefa.

Luego, el orden de los nios de menor a mayor estatura es: Josefa, Toms, Carmen, Ana y Agustn.

2. Graneros se encuentra a 12,53 km de Rancagua, Machal a 8 770 m y Olivar Alto, a 12,08 km. Cul de las comunas anteriores est ms cerca de Rancagua?, cul est ms lejos?

Debemos considerar que la distancia entre Rancagua y Machal est expresada en metros, mientras que en los otros casos, en kilmetros. Luego, la distancia entre Rancagua y Machal es igual a 8,77 km.

Si comparamos la parte entera de los nmeros decimales nos damos cuenta de que la de menor valor es la correspondiente a 8,77, es decir, la comuna ms cercana a Rancagua es Machal.

Por otra parte, los nmeros decimales correspondientes a las distancias entre Rancagua y Graneros y entre Ranca-gua y Olivar Alto, tienen igual parte entera, en este caso el 12, por lo que debemos comparar los dgitos de su parte decimal, partiendo por el de las dcimas. En este caso observamos que el dgito de las dcimas es mayor en el nmero 12,53. Por consiguiente, la comuna de Graneros es la que se encuentra ms lejos de Rancagua.

Nmeros decimales

Unidad 1 Nmeros 23

Unida

d 1

6. Cul de los siguientes nmeros decimales es el mayor?

A. 1,025 C. 1,205B. 1,25 D. 1,052

7. Compara los siguientes nmeros decimales, y escribe el signo >, < o =, segn corresponda.

a. 0,2 0,6

b. 0,05 0,8

c. 0,0003 0,003

d. 1,23 0,24

e. 3,56 3,560

f. 5,12 5,21

g. 29,735 297,35

h. 90,901 90,9

i. 2 031,265 2 031,625

8. Qu nmero decimal est representado por el punto L? Marca la opcin correcta.

12 L 14

A. 12,7 C. 13,4B. 13,2 D. 13,7

9. En cada caso, representa en una recta numrica los grupos de nmeros dados.

a. 0,1 0,3 0,4 0,7b. 3,2 3,6 2,7 2,3c. 1,02 1,06 1,1 1,03d. 5,5 10 8,5 6

10.Ordena los siguientes grupos de nmeros decimales de menor a mayor.

a. 0,25 2,205 1,52b. 1,578 5,187 8,175c. 0,1 0,001 0,01d. 1,994 1,94 1,949 1,499e. 0,251 0,2512 0,2509 0,25115f. 0,196 0,169 0,691 0,916 0,961

11.Determina el nmero que se obtiene al aproximar el nmero decimal 2,34579:

a. por truncamiento a la centsima.b. redondeando a la centsima.c. redondeando a la dcima.d. por truncamiento a la milsima.e. redondeando a la diezmilsima.

12.Redondea cada nmero decimal segn el nivel de aproximacin dado.

a. 0,358 a la dcima.b. 12,5874 a la milsima.c. 132,00685 a la centsima.d. 3 257,951 a la dcima.e. 23 748,0991 a la milsima.

13.Pablo midi a sus amigos y registr en la siguiente tabla los valores obtenidos.

Nombre Estatura (en metros)

Ivn 1,51

Adriana 1,43

Marcelo 1,49

Luciana 1,39

a. Quin es el ms alto?, y el ms bajo?b. Ordena los nombres de los nios y nias de

acuerdo a su estatura, de mayor a menor.c. Si los valores de la tabla se aproximan, redon-

deando a la dcima, quin tendr la misma estatura que Adriana?

d. Si los valores de la tabla se aproximan por truncamiento a la dcima, quin tendr la misma estatura que Adriana?

e. Si Pablo mide 1,45 m, es ms alto o ms bajo que Marcelo? Justifica.

14.En una prueba de Matemtica, Marcela se sac un 5,8, Roberto obtuvo un 6,3, Liliana, un 6,6 y Martn un 5,7. Quin obtuvo la nota ms alta?

15.La siguiente tabla muestra las temperaturas mximas registradas en algunas ciudades de Chile un da de julio.

Ciudad Temperatura (C)

Curic 6,7

Chilln 6,4

Punta Arenas 4,8

Osorno 8,4

a. En qu ciudad se registr la temperatura ms alta?, y la ms baja?

b. Ordena los nombres de las ciudades de acuerdo a su temperatura, de la ms baja a la ms alta.

c. Representa en una recta numrica los nmeros de la tabla.

Unidad 1 Nmeros24


1. Calcula mentalmente las siguientes operaciones con nmeros decimales.

a. 32,5 + 54,5 = e. 1 000 3,452 =b. 120,8 73,4 = f. 2,213 : 10 =c. 1 235 0,1 = g. 120 0,5 + 60 : 0,5 =d. 36 874 : 0,01 = h. 0,1 4,5 + 100 4,51 =

2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de nmeros decimales.

a. 14,25 + 6,091 =b. 0,3 + 0,8 + 3 =c. 4 0,56 =d. 1 0,999 =e. 52,4 21,875 14,02 =f. 20,04 + 250,7 6,048 =g. 32,15 0,008 + 6,11 =h. 37,1 (15,473 + 8,01) =i. (18,1 + 0,05) (0,002 0,00065) =

3. Cul de las siguientes alternativas muestra el valor de 0,4 0,004?

A. 0,016 B. 0,0016 C. 0,00016D. 0,000016

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de nmeros decimales.

a. 3 1,28 =b. 0,03 1,2 =c. 2,4 : 2 =d. 6,27 : 0,3 =e. 1,256 35,1f. 0,0032 : 0,16 =g. 2,7 0,9 : 0,03 =h. 37,1 (0,34 : 1,36) =i. (0,136 2) : (1 : 0,25) =j. (0,003 : 0,0005) 0,46 =k. 27,81 : 3 5,1 =


1. Resuelve: 1,51 + 31,2 + 2,654 + 187.

Una estrategia para sumar nmeros decimales consiste en escribir los nmeros hacia abajo, alinendolos segn la coma decimal y luego sumar. Observa.

1,51

31,2

2,654

+ 187,0

222,364

2. Si el cabello de una persona crece alrededor de 1,25 cm en un mes, cunto crece en un ao?

Si en un mes el cabello crece 1,25 cm, entonces, en un ao crece: 1,25 12 = 15.

Luego, en un ao el cabello crece 15 cm.

3. Si 1 kg de pan cuesta $ 890 y 1 kg de queso tiene un valor de $ 3 000, cunto pag Javier si compr 1,5 kg de pan y 0,75 kg de queso?

Si el kilogramo de pan cuesta $ 890 y Javier compr 1,5 kg, entonces pag en total: 890 1,5 = 1 335.

Por el pan pag $ 1 335.

A su vez, el kilogramo de queso cuesta $ 3 000 y Javier compr 0,75 kg, entonces, en total pag:

3 000 0,75 = 2 250

Por el queso pag $ 2 250.

Finalmente, para saber cunto dinero gast Javier, basta con sumar el dinero pagado por el queso y el pan: 1 335 + 2 250 = 3 585

Luego, Javier gast $ 3 585 en total.

Operaciones con nmeros decimales

Unidad 1 Nmeros 25

Unida

d 1

5. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran operaciones combinadas.

a. (2 + 0,75) : 0,5 =b. 2,7 9 : 0,03 =c. (3,6 0,01) : (0,2 0,3) =d. 1 0,08 : 0,2 =e. (2 0,04 + 6) : 4 =f. 32,5 2,1 4,352 : 2,56 =


6. Cunto es el triple de 2,42?

A. 5,42 C. 6,26B. 6,42 D. 7,26

7. Sin hacer ningn clculo, determina qu expresin es igual a 2,3 5,2 + 2,3 3,6.

A. (2,3 + 5,2) 3,6B. (5,2 + 3,6) 2,3C. 2,3 5,2 3,6D. 2,3 2,3 + 5,2 + 3,6

8. Si el producto de dos nmeros es 0,2 y uno de sus factores es 10, cul es el otro factor?

A. 200 C. 0,02B. 20 D. 0,2

9. Si una cuerda de 8,44 m se corta en 4 trozos de igual medida, cunto mide cada trozo?

A. 2,10 m C. 2,15 mB. 2,11 m D. 2,16 m

10.Francisca se demora, en promedio, 2,6 minutos en realizar un ejercicio de Matemtica y Salvador tarda 2,9 minutos.

a. Cunto se demora Francisca en responder una prueba de 24 ejercicios?

b. Cunto se demora Salvador en responder una prueba de 18 ejercicios?

c. Si un da Francisca se demor 41,6 minutos en responder una prueba, cuntas preguntas tena?

d. Si un da Salvador se demor 52,2 minutos en responder una prueba, cuntas preguntas tena?

e. Otro da, Francisca y Salvador dieron un examen de 20 preguntas. Cul fue la diferencia, en minutos, entre lo que se demor Francisca y lo que tard Salvador?

11.Si Valeria mide 1,67 m y Jos, 172 cm:

a. quin es ms alto?b. cuntos metros de diferencia tienen?

12.El ancho de un cabello humano mide aproxima-damente 0,08 mm.

a. Cuntos cabellos se necesitan para, que al ponerlos uno al lado de otro, se ocupe un ancho de 1 cm?

b. Si una persona tiene en su cabeza alrededor de 200 000 cabellos, qu ancho ocuparan si se ponen todos uno al lado del otro? Expresa tu respuesta en metros.


a. El estanque de una estufa de parafina tiene una capacidad de 5,75 L. Si despus de llenarlo se consumieron 2,5 L, cuntos litros de parafi-na quedaron en el estanque?

b. Cul es el promedio de notas del primer semestre que obtendr Jos en Matemtica si sus notas son: 6,5; 6,8; 5,3; 6,4; 4,8; 6,2 y 7,0?

c. Una resma de papel mide 8 cm de alto. Si la resma contiene 500 hojas, cul es el grosor de cada hoja?

d. Cuntas veces hay que sumarle 1,5 al nmero 0,04 para obtener 6,04?

e. Doa Anita tiene 14,9 kg de azcar. Si usa 4,4 kg y el resto lo envasa en bolsas de 0,5 kg, cuntas bolsas necesita?

f. Determina el permetro y el rea de un rectn-gulo de 3,5 cm de ancho y 7,26 cm de largo.

g. Si una pulgada es igual a 0,0254 m, cules son las dimensiones, en pulgadas, de un arco de ftbol de 7,32 m de largo por 2,44 m de ancho?

h. El promedio de notas de Agustn en Matemtica, el primer semestre, fue un 6,3. Qu nota se sac en la ltima prueba si sus tres notas anteriores eran: 6,7, 6,8 y 5,5?

i. Un mdico recet a su paciente una dosis de medicamento de un comprimido de 3,1 mg, 4 veces al da, durante 5 das. Qu cantidad de medicamento tomar el paciente en total?

j. Alejandra recorre diariamente 1,5 km desde su casa al colegio, 1,9 km desde el colegio a la casa de su abuela y 0,7 km desde la casa de su abuela a la suya. Cuntos kilmetros recorre de lunes a viernes?

k. Si 8 panes tienen una masa de 0,86 kg, qu masa tienen 12 panes y medio?

l. El permetro de una piscina rectangular es igual a 38,28 m. Si su largo es 12,6 m, cul es su ancho?

Unidad 1 Nmeros26


Marca la opcin correcta en los tems 1 y 2.

1. A qu nmero decimal equivale la fraccin 35?

A. 3,5 C. 0,35B. 0,6 D. 0,06

2. Cul de las siguientes igualdades es falsa?

A. 1110

= 0,11 C. 58 = 0,625

B. 75 = 1,4 D. 9

12 = 0,75

3. En cada caso, escribe las siguientes fracciones en notacin decimal.

a. 15 e. 13

6

b. 38 f. 27

7

c. 710

g. 1912

d. 1225

h. 3 16

4. Representa los siguientes nmeros decimales como una fraccin irreductible.

a. 0,2 f. 1,37

b. 0,45 g. 0,12

c. 1,9 h. 0,438

d. 0,3 i. 1,16

e. 0,18 j. 23,674

5. Remplaza los valores de x e y, realiza los clculos y, luego, completa la tabla.

x y x + y x y x y

0,715

1,2138

0,6 35


1. Escribe la fraccin 1725

en notacin decimal.

Para escribir la fraccin como un nmero decimal basta con dividir el numerador con el denominador. El cocien-te de esta divisin corresponde al nmero decimal buscado. En este caso:

17 : 25 = 0,68 0

170 150

200 200 0

Luego, la fraccin 1725

escrita como nmero decimal es 0,68.

2. Escribe los nmeros decimales 0,45 y 4,215 como una fraccin irreductible.

En el primer caso, dado que el nmero decimal es finito, este se puede representar como una fraccin cuyo

numerador es el nmero decimal, sin la coma, y cuyo denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifras

decimales tenga el nmero decimal. En este caso, el nmero 0,45 tiene 2 cifras decimales, de modo que en el

denominador debe ir el 100. Por lo tanto: 0,45 = 45100

. Simplificando la fraccin por 5, nos queda: 0,45 = 920

.

En el segundo caso, el nmero decimal es infinito peridico. Luego, este se puede representar como una fraccin cuyo numerador es la diferencia entre el nmero decimal, sin la coma, y la parte entera del nmero; y cuyo denominador es el nmero formado con tantos nueves como cifras tenga el perodo. En este caso, nos queda:

4,215 = 4 215 4999

= 4 211999

Operaciones con fracciones y nmeros decimales

Unidad 1 Nmeros 27

Unida

d 1

6. Cul es el valor de la expresin: 1 15 + 0,5 9

25?


A. 75 C. 56

5

B. 710

D. 7111 125

7. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran operaciones combinadas.

a. 13 0,25 + 1 =

b. 0,14 + 23 : 64 =

c. 0,7 + 4,3 125 =

d. 45 0,8 0,2 + 3

4 =

e. 5 1 12 + 2,6 =

f. 23 + 1,5 : 0,3 =

8. En una carrera, Jorge se demor 9,76 minutos en

llegar a la meta, Andrs se demor 9 34 minutos,

Carolina, 9 2830

minutos y Mariela, 9,72 minutos.

a. Quin lleg primero a la meta?b. Quin lleg ltimo a la meta?c. Ordena los nombres de los nios de acuerdo a

su orden de llegada, del primer al ltimo lugar.d. Cmo se representa el tiempo que se demor

Jorge usando una fraccin irreductible?e. Cmo se representa el tiempo que se demor

Carolina, usando nmeros decimales?f. Cuntos minutos ms tarde lleg Jorge

que Andrs?g. Cuntos minutos antes lleg Mariela

que Andrs?h. Cuntos minutos de diferencia hubo entre la

persona que lleg primero y la ltima?

9. Responde las siguientes preguntas. Utiliza una calculadora para realizar los clculos.

a. Entre qu nmeros consecutivos se encuentra el resultado de 0,9999 0,99999?

b. Entre qu nmeros consecutivos se encuentra el resultado de 1,00001 1,00001?

c. Entre qu nmeros consecutivos se encuentra el producto de dos nmeros decimales positivos menores que la unidad?

d. El producto de dos nmeros decimales mayores que la unidad, siempre es mayor que 1? Justifica tu respuesta.

10.Realiza las siguientes actividades.

a. Usando tu calculadora, realiza los clculos y completa la siguiente tabla.

Cociente

2,5 : 100

2,5 : 10

2,5 : 110

2,5 : 1100

b. Sin realizar ningn clculo, cul es el resultado

de 2,5 : 11 000 000

?

c. Sin realizar ningn clculo, cul es el resultado de 2,5 : 100 000 000?

d. Usando tu calculadora, realiza los clculos y completa la siguiente tabla.

Producto

8,63 100

8,63 10

8,63 110

8,63 1100

e. Sin realizar ningn clculo, cul es el resultado de 8,63 1 000 000?

f. Sin realizar ningn clculo, cul es el resultado

de 8,63 1100 000 000

?

11.De acuerdo con lo observado en la pregunta anterior, completa las siguientes afirmaciones.

a. Dividir un nmero por 10 000 es lo mismo que

multiplicarlo por la fraccin .

b. Dividir un nmero por 11 000

es lo mismo que

multiplicarlo por .

c. Multiplicar un nmero por 11 000

es lo mismo

que dividirlo por .

d. Multiplicar un nmero por 1 000 es lo mismo

que dividirlo por la fraccin .

Unidad 1 Nmeros28

1. En una razn, si el consecuente es 20 y el valor de la razn es 8, cul es el antecedente? Marca la opcin correcta.

A. 0,4 C. 20B. 2,5 D. 160

2. En una razn, si el antecedente es 37y el valor de

la razn es 611

, cul es el consecuente?

3. En un canasto de frutas hay 3 pltanos, 2 manza-nas, 6 naranjas y 1 pera.a. Culeslaraznentreelnmerodemanzanas

yeltotaldefrutas?b. Qusignificadoledasalaraznanterior?c. Culeslaraznentreelnmerodepltanosy

eldenaranjas?d. Qusignificadoledasalaraznanterior?e. Encuentraunarazncuyovalorseaigualaldela

raznentrelacantidaddeperasyladepltanos.

4. Se organiz una fiesta en la que se ofrecieron tres ambientes distintos: salsa, pop y rock. Los asistentes se distribuyeron como se muestra en la siguiente tabla:

Preferencia Mujeres Hombres

Salsa 55 43

Pop 34 45

Rock 25 37

Observa la tabla y escribe la razn entre:

a. elnmerodehombresquegustandelasalsayeltotaldeasistentes.

b. elnmerodepersonasquegustandelrockyloshombresquegustandelpop.

c. elnmerodemujeresquegustandelpopyloshombresquegustandelrockodelpop.


1. Un maestro cocinero utiliza 2 tazas de arroz y 3 tazas de agua para preparar su receta de arroz graneado. Cul es la razn entre el agua y el arroz?, cul es el significado de la razn que escribiste?

Comoelnmeroasociadoalaguaes3yeldelarrozes2,laraznsolicitadaes3:2.Estosignificaqueenlarecetadearrozgraneadoseutilizan3partesdeaguapor2partesdearroz.

2. En una bolsa hay 9 fichas rojas, 4 fichas azules, 3 blancas y 2 amarillas. Cul es la razn entre las fichas blancas y el total de fichas?Entotalhay9+4+3+2=18fichas.Luego,laraznentrelasfichasblancasyeltotales3:18,obien,1:6.

3. Transforma a porcentaje las fracciones 26 , 36 y

56 .

Pararealizaresteclculopodemosmultiplicarcadafraccinpor100ycalcularelcociente:

26100=200

633,33% 3

6100=300

6=50% 5

6100=500

683,33%

Enresumen,tenemos:

Razones y porcentajes como una fraccin o un nmero decimal


Fraccin Decimal Porcentaje

26= 1

30,3 33,33%

36= 1

20,5 50%

56

0,83 83,33%

Unidad 1 Nmeros 29

Unida

d 1

5. En una prueba de 40 preguntas, Marcelo respondi 36 y tuvo 16 correctas. Determina la razn entre:

a. el nmero de preguntas de la prueba y las contestadas.

b. el nmero de preguntas de la prueba y las correctas.

c. el nmero de preguntas correctas y las incorrectas.

d. el nmero de preguntas contestadas y las no contestadas.

e. el nmero de preguntas no contestadas y las incorrectas.

6. Representa como porcentaje cada fraccin.

a. 14 c. 5

7

b. 38 d. 4

6

7. Representa como porcentaje cada nmero decimal.

a. 0,02 d. 0,28b. 0,9 e. 0,4c. 0,356 f. 2,0

8. Representa como un nmero decimal cada uno de los siguientes porcentajes.

a. 75 % d. 130 %b. 13 % e. 2 %c. 5 % f. 5,3 %

9. Convierte a fraccin irreductible cada porcentaje.

a. 55 % d. 17 %b. 45 % e. 87 %c. 12 % f. 110 %


10.Cul es el porcentaje equivalente a la fraccin 58 ?

A. 625 % C. 62,5 %B. 6,25 % D. 0,625 %

11.Cul de las alternativas muestra al nmero decimal que corresponde al 35 %?

A. 35,0 C. 0,35B. 0,035 D. 0,0035

12.Qu fraccin irreductible es equivalente al 46 %?

A. 2350

C. 5023

B. 4650

D. 10046

13.Cul es el nmero decimal correspondiente al 0,2 %?

A. 0,2 C. 0,0002B. 0,002 D. 2,0

14.Qu nmero decimal representa el 28 %?

15.Fabiola gana $ 400 000 al mes, y destina 25 de

su sueldo a pagar el arriendo de su casa.

a. Qu porcentaje del sueldo lo utiliza en el arriendo?

b. Cunto dinero le queda despus de pagar el arriendo?

c. Qu nmero decimal representa la parte del sueldo que le queda a Fabiola despus de pagar el arriendo?

16.Javier gana $ 250 000 al mes. Si ha decidido ahorrar el 14 % de su sueldo, qu fraccin de su sueldo ahorra?

17.Para comprar un departamento, se debe cancelar como pie el 5 % del valor total. Sergio paga un pie de $ 1 250 000.

a. Cul es la fraccin del valor del departamento que se ha cancelado?

b. Qu parte queda por pagar? Exprsala como un nmero decimal.

18.El nmero de rboles en una ciudad el 2009 era 18 504. El ao 2010, para prevenir cadas de rboles viejos, se cort el 2 % de los rboles y el 2011 se quem en un incendio el 5 % de lo que quedaba.

a. Qu fraccin de rboles que haba inicialmente queda en esta ciudad a fines de 2011?

b. En qu porcentaje disminuy el nmero de rboles del 2009 a 2011? Represntalo como nmero decimal.

19.En una liquidacin se descuenta 110 del precio

en todos los productos si se cancela en efectivo.

En caso contrario, el descuento es de un 0,03 del

valor inicial.

a. Qu porcentaje de descuento tiene, si se cancela en efectivo?

b. Qu porcentaje de descuento tiene, si se utiliza otro medio de pago?

Unidad 1 Nmeros30


1. Piensa y responde.

a. Cul es el 12 % de 125?b. Cul es el 8 % de 45?c. Cul es el 40 % de 500?d. Cul es la cantidad total sabiendo que su 17 %

es 1 235?


2. Cul es el 2,4 % de 134?

A. 3,216B. 32,16C. 321D. 321,6

3. Qu nmero es el 120 % de 36?

A. 43,2B. 432C. 43 200D. 432 000

4. Cul es el 135 % de 162 400?

A. 120 296B. 122 456C. 219 240D. 381 640

5. Calcula qu porcentaje es:

a. 67 de 450.b. 30 de 980.c. 20 de 4 000.d. 25 de 1 000.

6. Ana ahorr $ 34 000 que le alcanzaba exactamente para comprarse un par de botas. Si al llegar a la tienda haba un descuento del 23 %, cunto gast finalmente Ana en sus botas?

7. En el ltimo mes, el precio de un litro de leche ha subido $ 120. Si el precio del mes anterior era $ 550, representa el alza del precio de la leche como un porcentaje.

8. Arturo compr un automvil nuevo y pag $ 5 500 000. l sabe que el automvil se devala un 4,5 % anual.

a. Cunto se devala en un ao el precio del automvil?

b. Al finalizar el primer ao, cul es su precio?

9. A principios de un mes el precio de la gasolina de 95 octanos era de $ 755 el litro. Si aument en un 23 % el da 12 y luego disminuy un 5 % el da 26, cul es el precio a fin de mes?

10.Una bicicleta se ofrece, con un descuento de un 13 %, al precio final de $ 85 000. Cunto era el valor inicial de la bicicleta?

11.Aumenta cada uno de los siguientes valores un 22 %.

a. 700 e. 25 600b. 35 f. 4c. 270 g. 1 245d. 1 500 h. 135 789

Clculo de porcentajes y variaciones porcentuales


1. En un establecimiento educacional hay 6 478 alumnos de los cuales 1 560 son aficionados al tenis. Cul es el porcentaje de alumnos aficionados al tenis?

Para obtener el porcentaje de alumnos aficionados al tenis calculamos:1 5606 478

= 0,2408 = 24,08100

= 24,08

Es decir, el 24,08 % de los alumnos son aficionados al tenis.

2. Francisco vio un reloj que deseaba regalar a su padre, cuyo precio era $ 25 000. Cuando fue a comprarlo, su precio era $ 27 000. En qu porcentaje aument el precio del reloj?

La variacin en el precio es $ 2 000, pues 27 000 25 000 = 2 000.

Entonces, para determinar qu porcentaje es 2 000 de 25 000, escribimos la razn 2 00025 000

y luego la transformamos

a porcentaje: 2 00025 000

100 = 200 00025 000

= 20025

= 8.

Luego, el reloj aument en un 8 % respecto del precio inicial.

Unidad 1 Nmeros 31

Unida

d 1

12.Disminuye en un 8 % los siguientes nmeros.

a. 45 f. 450 000b. 990 g. 34 679c. 256 h. 524 645d. 678 i. 852 420e. 3 450 j. 1 247 567

13.La variacin del precio de un artculo fue la siguiente: en abril aument un 28 %, en mayo disminuy un 40 % y, finalmente, en junio aument un 15 %. En qu porcentaje vari el precio de este artculo en los tres meses? Marca la opcin correcta.

A. 11,68 % B. 3 % C. 84 %D. 30 %

14.Si Luis compra un automvil en $ 2 500 000 para venderlo con un 25 % de ganancia, cul sera el precio de venta?

15.Sara quiere comprarse unos zapatos cuyo precio es de $ 15 000, pero solo tiene $ 10 000. Qu por-centaje del total representa el dinero que le falta?

16.El promedio de notas de Mabel el ao pasado fue de 5,5 y este ao es de 6,5.

a. Cul es el porcentaje que representa el aumento en el promedio de Mabel?

b. Cul es la fraccin que representa esta variacin porcentual?

c. Cul es el nmero decimal que equivale a la fraccin anterior?

17.Si el lado de un cuadrado aument al triple, su rea aument al triple?, en qu porcentaje lo hizo?

18.Un par de lentes cuesta $ 35 000. Luego, se rebaja su precio en un 25 %.

a. Cul es el precio actual de los lentes?b. Si se vuelven a rebajar en un 5 % cuando se

paga en efectivo, cul ser su precio?c. Si una persona pag $ 30 000 por los lentes,

en qu porcentaje disminuy su valor respecto del precio inicial?

19.Irene reparti algunos de sus 50 dulces entre sus primos. A Gerardo le dio el 30 % del total y a Mara, el 80 % del resto.

a. Con cuntos dulces se qued Irene? b. Cul es la variacin, en porcentaje, entre lo

que tena y lo que se qued?c. Qu porcentaje representa la cantidad de

dulces que tiene finalmente Irene respecto de la cantidad inicial?

20.En una ciudad, la poblacin en el ao 2008 era de 65 342 habitantes y se estima que en los tres aos siguientes su poblacin creci un 14 %. Cuntos habitantes tendra la ciudad el 2011?

21.El precio de una bicicleta era de $ 55 000 en enero y de $ 67 000 en diciembre del mismo ao. En qu porcentaje aument su precio?

22.El bamb es la planta que crece ms rpido; algunas especies tienen una tasa de crecimiento de hasta 1,2 m diarios.

a. Si la longitud inicial de un bamb es de 12 m, cul es la variacin porcentual en la longitud de un bamb diariamente?

b. Si han pasado 5 das desde la ltima vez que se midi la longitud del bamb, cunto pudo haber crecido?, cul es la variacin porcentual en la longitud en los ltimos 5 das?

23.En un ao, el precio del arroz aument un 25 % en febrero, volvi a aumentar un 15 % en agosto y baj un 5 % en noviembre. Ese ao, en qu porcentaje vari el precio del arroz?

24.En una ciudad, el costo del pasaje de bus subi un 5 % en marzo y un 14 % en junio. En qu porcentaje subi el precio del pasaje de bus entre febrero y julio?

25.Un rectngulo mide 10 cm de base y 7 cm de altura. Si la base aumenta un 5 % y la altura disminuye 2 %, en qu porcentaje vara su rea?

26.Si el a % de a es igual a 9, cul es el valor de a?

27.Si el a % de b es c , cunto es el 1 % de b, expresado en trminos de a y c?

Unidad 1 Nmeros32


1. Para qu valor de x las razones 36x y 248 forman una proporcin?

Para que 36x y 248 formen una proporcin, el valor de las razones debe ser el mismo nmero, es decir:

36x =

248

Adems, la igualdad anterior se cumple si y solo si:

x 24 = 36 8 Despejamos x y calculamos su valor.x = 36 8

24 = 288

24 = 12

Por lo tanto, si x = 12, las razones 36x y 248 forman una proporcin.

2. Dos nmeros estn en la razn 3 : 5 y suman 96. Cules son los nmeros?Sean a y b los nmeros que buscamos. En tal caso, se cumple que a + b = 96 y, adems, a

b = 3

5. Si aplicamos

propiedades de proporciones, nos queda:a + bb =

3 + 55

Remplazamos a + b y sumamos.

96b =

85 Despejamos b y calculamos su valor.

b = 5 968

= 60 Utilizamos el valor de b para calcular a.

a = 96 60 = 36Por lo tanto, los nmeros buscados son 36 y 60.


1. Determina en cada caso si las razones forman una proporcin. Explica cmo lo supiste.

a. 34 y 36

12 c. 7

8 y 14

16

b. 57 y 6

8 d. 3

17 y 9

51

2. Cunto debe valer x para que 302 y x20 formen

una proporcin?

3. Encuentra el valor de x, en cada caso, para que las siguientes razones formen una proporcin.

a. 52 y x

40 c. 14

3 y 42

xb. 7

x y 3

9 d. x

12 y 15

90

4. Cunto debe valer x para que 20,5 y 20x formen

una proporcin? Marca la opcin correcta.

A. 80 C. 5B. 20 D. 2,5

5. Cunto debe valer x para que 2534

y

45x formen

una proporcin?

6. La edad de una madre y su hijo estn en la razn 8 : 3. Si el hijo tiene 12 aos, cuntos aos tiene la madre? Marca la opcin correcta.

A. 45 aos.B. 26 aos.C. 24 aos.D. 32 aos.

7. La suma de dos nmeros es 81 y estn en la razn 4 : 5. Calcula el valor de cada uno de los nmeros.

8. Pedro y Pablo acordaron repartirse el total de $ 312 000, de modo que las partes estn a razn 8 : 12. Cunto dinero recibir cada uno?

9. Pamela y Carlos reunieron $ 130 000. La cantidad que aport cada uno estn en razn 7 : 3, respec-tivamente. Cunto aport cada uno?

10.El permetro de un rectngulo es 78 cm y la razn entre las medidas de sus lados es 7 : 6. Calcula su rea.

11.Tres nmeros estn en la razn 2 : 5 : 3 y suman 80. Cules son los nmeros?

Proporciones

Unidad 1 Nmeros 33

Unida

d 1

12.Tres amigos se reparten $ 74 800 en la razn 2 : 4 : 5. Cunto recibe cada uno?

13.Las edades de cuatro primos: Camila, Javier, Luis y Ana, estn en la razn 2 : 4 : 5 : 6 y sus edades suman 85 aos. Cul es la edad de Ana? Marca la opcin correcta.

A. 20 aos.B. 25 aos.C. 30 aos.D. 32 aos.

14.Las medidas de los ngulos interiores de un tringulo estn en la razn 4 : 18 : 14.

a. Cules son las medidas de los ngulos interiores del tringulo?

b. Qu tipo de tringulo es, segn la medida de sus ngulos?

c. Qu tipo de tringulo es, segn la medida de sus lados?

15.Las medidas de los lados de un tringulo rectngulo estn en la razn 3 : 4 : 5. Si su permetro es 60 cm:

a. cules son las medidas de los lados del tringulo?

b. cul es el rea del tringulo?

16.Un mapa se ha dibujado de tal manera que 20 km en la realidad equivalen a 10 cm en el mapa.

a. Si la distancia entre dos estaciones de metro es 1 km, a qu distancia estn en el mapa?

b. Si en el mapa, dos ciudades estn a 26 cm, a que distancia se encuentran en realidad?

17.En una feria se vende una reproduccin a escala de una pintura en forma rectangular cuyas dimensiones son 0,75 m de ancho y 1,2 m de largo. El ancho de la reproduccin mide 0,2 m.

a. Cunto mide el largo de la reproduccin?b. En qu porcentaje se disminuyeron las

dimensiones de la pintura?c. Cul es la razn entre el rea de la pintura

original y la reproduccin?

18.Un automvil posee un rendimiento de 22,6 km/L. Cuntos litros de bencina consumir en 450 km?

19.Si 5 trabajadores cavan una zanja de 10 m en 3 horas, cuntos metros cavarn en el mismo tiempo 15 trabajadores si lo hacen al mismo ritmo?

20.Si 10 ingenieros en informtica en 8 das de trabajo producen 3 programas de animacin, cuntos ingenieros se necesitan para producir en 4 das los mismos 3 programas de animacin, si trabajan al mismo ritmo?

21.Si 7 trabajadores construyen una mquina en 30 das, cuntos trabajadores se necesitaran para construir esta mquina en 10 das, si trabajan al mismo ritmo? Marca la opcin correcta.

A. 43 C. 3B. 21 D. 89

22.Si despus de un recital se demora 3 das en limpiar el estadio, con 60 personas trabajando, cuntas personas habra que contratar para que se demoren solo un da, si trabajan al mismo ritmo?

23.Un barra de metal de 34,5 cm de alto proyecta una sombra de 22,5 cm. Qu altura tiene un edificio que en ese mismo minuto proyecta una sombra de 13,4 m?

24.La razn entre la masa de Pedro y la de Juan es de 5 : 3, y la diferencia entre sus masas es de 40 kg. Cul es la masa de Pedro?

25.Marcelo ha calculado que 10 caballos consumen 820 costales de alfalfa en 180 das. Si ahora debe alimentar a 25 caballos en 60 das, cuntos costales de alfalfa requiere?

26.En una fbrica de tejidos, 12 operarias confeccionan 160 chalecos durante 25 das. Si para un pedido se requiere confeccionar 320 chalecos en 15 das, cuntas operarias ms se necesitan?

27.Una modista cose 10 camisas en 8 h. Cuntas horas tardarn 4 modistas en coser 20 camisas?

28.Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3 000 al mes, estan

texto simce 8°

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