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Tests de normalitéTest de F
Tests non paramétriques de comparaison de moyennes
Dr Marc CuggiaUMR 936
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Rappel Comparaison de moyenne : Test de Z
Condition : Effectifs supérieurs à 30 Si condition non remplie alors :
Test de T (student) Conditions :
Distributions des populations d'où sont issues les échantillons doivent être normale
Tests de normalité (Test de Shapiro, Test de kolmogorov-smirnoff)
Les variances des deux populations d'où sont issus les échantillons doivent être égales. (Leur rapport <3)
Test d'homoscedasticité (test de F)
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Et sinon ?
Si Petit effectif
et
pas de normalité et/ou pas d'homoscedasiticité
alors
Tests non paramétriques
Mann et witney
Wilcoxon
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Test de normalité
Exemple : Tour de poitrines de soldats écossais en
pouces Données :
taille frequence33 334 1835 8136 18537 42038 74939 107340 107941 93442 65843 37044 9245 5046 2147 448 1
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
0
200
400
600
800
1000
1200
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Test de Kolmogorov-Smirnov
HypothèseHo : La distribution étudiée est distribution normaleH1 : La distribution étudiée n’est pas normale Ici p<0,000 => l’hypothèse Ho est rejettée : La distribution n’est pas normale
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Test de Shapiro en 9 étapes1.Classer les diffrentes valeurs de la série par ordre croissant
2.Calculer S2 tel que
3.Calculer m
4.Calculer les differences respectives tel que
5.d1=Xn-X1;d2=X(n-1)-X2 etc... dn
6.A chacune des differences, on affecte un coéfficient a, avec n nombre de difference
7.Calculer la quantité b tel que
8.Calculer le rapport W
9.Comparer W calculé à W tabulé avec le nombre n de données
S 2=∑ x i− y i
b=∑ a id iW= b
2
S 2
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SHAPIRO WILK La méthode développée par Shapiro-Wilk est
dans bien des cas, la plus puissante, en particulier lorsque l’échantillon provient d’une distribution asymétrique.
Cette méthode implique l’emploi de tables, actuellement calculées pour une taille d’échantillon comprise entre 5 et 50. (5 ≤ n ≤ 50)
Comme dans tout autre test, il faudra déterminer à l’avance un risque de rejeter l’hypothèse nulle alors que celle-ci est vraie (α).
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Étapes de réalisation du test de Shapiro-Wilk
Étape 1
Classer les n observations par ordre de grandeur croissante :
Étape 2
Calculer la Somme des Carrés des Écarts:
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Étape 3 Calculer les différences :
Si n est pair il y aura alors n/2 différences. Si n est impair il y aura alors (n-1)/2 différences,
l’observation médiane ne sera pas utilisée.
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Étape 4 Calculer :
Les coefficients ai sont donnés dans une table en fonction de n et i .
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Étape 5 Calculer :
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Étape 6 Comparer W à W1-α,n
W1-α,n est trouvé dans la table de Shapiro-Wilk en fonction du risque d’erreur α et de la taille de l’échantillon (le nombre d’observations) n
On peut écrire P() = 1- α Finalement, si W < W1-α,n la distribution ne suit pas une loi
normale si W ≥ W1-α,n la distribution suit une loi normale
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exercice
Exemple : On a fait des essais de fatigue sur un certain biomatériau utilisé dans les prothèses d’épaule (nombre de cycles avant rupture) et on a obtenu la série suivante :
31, 39, 62, 89, 115, 125, 140, 225, 251, 270, 342, 400, 442, 580, 850.
Peut-on conclure avec un risque d’erreur de 5% (niveau de confiance 95%) que ces données proviennent d’une distribution suivant une loi normale?
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Étape 1 : On place les données en ordre croissant :
31, 39, 62, 89, 115, 125, 140, 225, 251, 270, 342, 400, 442, 580, 850
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Étape 2 : On calcule la somme des carrés des écarts
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Étape 3 : On calcule les différences di
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Étape 4 : On calcule la valeur de b Pour ce calcul nous avons besoins des
coefficients ai de la table Shapiro-Wilk pour n = 15.
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Étape 5 : On calcule
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Étape 6 : On compare W à W1-α,n Avec α=5% et n = 15 on trouvera dans la table
le W95%,15= 0,881
Puisque 0,876<0,881 on a donc W < W1-α,n et par le fait même, la distribution ne suit pas une loi normale avec un risque d’erreur de 5%.
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Exercice à faire
1,08 7,68 8,28 8,23 7,63 11,74 10,30 11,72 12,87 9,02
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No1 Oui la distribution de la quantité de minéraux suit une loi normale
W=0,9278
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n 2 3 4 5 6 7 8 9 10J
1 0.7071 0.7071 0.6872 0.6646 0.6431 0.6233 0.6052 0.5888 0.57392 0.0000 0.1677 0.2413 0.2806 0.3031 0.3164 0.3244 0.32913 0.0000 0.0875 0.1401 0.1743 0.1976 0.21414 0.0000 0.0561 0.0947 0.12245 0.0000 0.0399
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20J
1 0.5601 0.5475 0.5359 0.5251 0.5150 0.5056 0.4963 0.4886 0.4808 0.47342 0.3315 0.3325 0.3325 0.3318 0.3306 0.3290 0.3273 0.3253 0.3232 0.32113 0.2260 0.2347 0.2412 0.2460 0.2495 0.2521 0.2540 0.2553 0.2561 0.25654 0.1429 0.1586 0.1707 0.1802 0.1878 0.1939 0.1988 0.2027 0.2059 0.20855 0.0695 0.0922 0.1099 0.1240 0.1353 0.1447 0.1524 0.1587 0.1641 0.16866 0.0000 0.0303 0.0539 0.0727 0.0880 0.1005 0.1109 0.1197 0.1271 0.13347 0.0000 0.0240 0.0433 0.0593 0.0725 0.0837 0.0932 0.10138 0.0000 0.0196 0.0359 0.0496 0.0612 0.07119 0.0000 0.0163 0.0303 0.0422
10 0.0000 0.0140
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30J
1 0.4643 0.4590 0.4542 0.4493 0.4450 0.4407 0.4366 0.4328 0.4291 0.42542 0.3185 0.3156 0.3126 0.3098 0.3069 0.3043 0.3018 0.2992 0.2968 0.29443 0.2578 0.2571 0.2563 0.2554 0.2543 0.2533 0.2522 0.2510 0.2499 0.24874 0.2119 0.2131 0.2139 0.2145 0.2148 0.2151 0.2152 0.2151 0.2150 0.21485 0.1736 0.1764 0.1787 0.1807 0.1822 0.1836 0.1848 0.1857 0.1064 0.18706 0.1399 0.1443 0.1480 0.1512 0.1539 0.1563 0.1584 0.1601 0.1616 0.16307 0.1092 0.1150 0.1201 0.1245 0.1283 0.1316 0.1346 0.1372 0.1395 0.14158 0.0804 0.0878 0.0941 0.0997 0.1046 0.1089 0.1128 0.1162 0.1192 0.12199 0.0530 0.0618 0.0696 0.0764 0.0823 0.0876 0.0923 0.0965 0.1002 0.1036
10 0.0263 0.0368 0.0459 0.0539 0.0610 0.0672 0.0728 0.0778 0.0822 0.086211 0.0000 0.0122 0.0228 0.0321 0.0403 0.0476 0.0540 0.0598 0.0650 0.069712 0.0000 0.0107 0.0200 0.0284 0.0358 0.0424 0.0483 0.053713 0.0000 0.0094 0.0178 0.0253 0.0320 0.038114 0.0000 0.0084 0.0159 0.022715 0.0000 0.0076
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N W ‘99%’10 0.842 0.78111 0.850 0.79212 0.859 0.80513 0.856 0.81414 0.874 0.82515 0.881 0.83516 0.837 0.84417 0.892 0.85118 0.897 0.85819 0.901 0.86320 0.905 0.86821 0.908 0.87322 0.911 0.87823 0.914 0.88124 0.916 0.88425 0.918 0.88826 0.920 0.89127 0.923 0.89428 0.924 0.89629 0.926 0.89830 0.927 0.90031 0.929 0.90232 0.930 0.90433 0.931 0.90634 0.933 0.90835 0.934 0.91036 0.935 0.91237 0.936 0.91438 0.938 0.91639 0.939 0.91740 0.940 0.91941 0.941 0.92042 0.942 0.92243 0.943 0.92344 0.944 0.92445 0.945 0.92646 0.945 0.92747 0.946 0.92848 0.947 0.92949 0.947 0.92950 0.947 0.930
W ‘95%’
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Au travail :
Soit l'échantillon suivant.
Déterminez grace à la méthode de shapiro si la population d'où est issu l'échantillon est normale.
Patient 1 2 3 4 5 6Glycémie 2 1,7 2,5 3 2,3 4
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Test de comparaison des variancestest de F
test de fisher snedecor
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Test d’égalité des variances Test de Fisher-Senecor Utilisé pour comparer les variances de 2 séries de variable quantitatives Lorsqu’on veut vérifier les conditions d’applications de certains tests paramétriques qui
exigent une HOMOSEDASTICITE Variables : quantitatives Paramètre: variances Tailles des échantillons : indifférentes Séries étudiées : indépendantes
Ho : σ21= σ2
2
H1 : bilateral σ21=/= σ2
2 ET unilateral σ21> σ2
2 ou σ21<σ2
2
Avec σ21 et σ2
2 les variances des deux populations dont sont issus les échantillons
s21 et s2
2: les variances des deux échantillons à comparer
n1 et n2 les effectifs des deux échantillons k1 et k2 : les degrés de libertés pour chaque échantillons
Conditions d’applications : les distributions doivent être normales dans les deux populations d’où proviennent les deux échantillons
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Principe du test : on teste le rapport F des deux variances s2
1 et s22, en nommant la s2
1 la variance la plus élevée.
Sous l’hypothèse nulle, ce rapport F est peut different de 1 et les fluctuations d’échantillonage suivent une loi de Fisher.
1ket 1k avec 221122
21 nns
sF
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H1 F Rejet Ho Interprétation
bilatérale <F2,5% Non σ21 ne diffère pas significativement de σ2
2
>= F2,5% Oui σ21 diffère significativement de σ2
2
unilatérale <F5% Non σ21 ne diffère pas significativement de σ2
2
>= F5% Oui Une variance des deux séries est significativement proportionnellement plus grande à l’autre
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On désire comparer la PAD d’un groupe de sujets sains (m=70,1) et d’une groupe de sujets atteints de drépanocytose (m=61,8).
On dispose que de 20 individus par groupe. La variance de la PAD est respectivement de
116,7 et de 47,6. Peut on comparer ces moyennes ?
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En raison du faible effectif des groupe, on réalise un test de T. Ce test nécessite une homoscédasticité des populations à comparer. On test l’égalité des variances avec un test de F
Ho : les 2 variances ne sont pas différentes H1 : les deux variances diffèrent.
F=116,7/47,6 = 2,45 avec k1=k2=20-1=19 On lit la table F2,5% : elle ne donne pas la valeur pour 19 mais pour 20
(F2,5%=2,46).
La valeur de F trouvée est inférieure à ce seuil: On ne rejette pas Ho, et on admet que les variances sont identiques. On peut donc réaliser un test de student
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Test non paramétriques
Test de Mann Whitney : Utilisé pour comparer deux séries
indépendantes ou appariées d’une variables quantitative
On ne s’intéresse pas aux valeurs mais aux rangs des valeurs après les avoir ordonnées
Le test ne nécessite aucune condition d’application,
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Le test de et Mann-Whitney (ou test U)
séries indépendantes Variables : quantitatives Grandeur étudiées: rangs des valeurs Séries étudiées : indépendantes Ho :
Distributions superposées H1 :
bilatérale : distributions décalées Unilatérale : distributions décalées dans un sens ou
dans un autre Nota : pour les séries appariées, on utilise
le test de wilcoxon
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Étapes du test : Détermination du rang des valeurs
Il faut classer toutes les observations des deux séries selon leurs valeurs, de la première à la nième, et numéroter leurs valeurs.
Cela définit le rang de chaque observation Lorsque deux valeurs sont identiques, on calcule leur rang moyen ex-aequo
Calculer w1 = somme des rangs d’une série (la plus courte) Calculer la somme attendue des rangs
wa= n1(N+1)/2
Calculer la variance de w1
sw12=n1n2(N+1)/12
Calculer
- 21
1
w
a
s
wwz
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H1 Z Rejet Ho Interprétation
bilatérale <1,96 Non Les distribution ne sont pas significativement décalées
>=1,96 Oui Les distribution sont significativement décalées
unilatérale <1,65 Non Les distribution ne sont pas significativement décalées
>1,65 Oui Les distributions sont décalées dans un sens donné
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Réferences
Thierry Ancelle. Statistique – Epidémiologie chez Maloine
Jean Bouyer : Méthodes statistiques : médecine-biologie chez ESTEM