TESTE DE TESTE DE SEMNIFICATIESEMNIFICATIE

TESTE DE TESTE DE SEMNIFICATIESEMNIFICATIE

1. COMPARAREA MEDIILOR1. COMPARAREA MEDIILOR

PROBLEMA: Se lucrează cu 2 eşantioane de volume diferite, n1, n2; se găsesc medii corespunzătoare m1, m2 pentru o variabila data x. Trebuie determinat dacă diferenţa observată între cele două medii este datorată unei fluctuaţii aleatoare sau corespunde unei diferenţe reale cauzata de natura celor două eşantioane, fiind “semnificativă”.

SOLUTIE:SOLUTIE: Se studiaza intervalul de confidenta al mediei in fiecare esantion. SITUATII POSIBILE:SITUATII POSIBILE:

m1 m2

m1 m2m1 m2

1

23

REZOLVAREA CAZULUI REZOLVAREA CAZULUI 3:Se foloseste un TEST DE IPOTEZA:

2 MODALITĂŢI:1. Ipoteza nulă: parametrii de comparat

se consideră egaliH0: m1 = m2

2. Ipoteza alternativă: parametrii de comparat se consideră diferiţi.

H1: m1 m2

IPOTEZA NULĂ: Cele două eşantioane aparţin aceleiaşi populaţii de origine. Se vor determina abaterea maximă şi abaterea limită care pot fi observate între cele două medii considerate, sub influenţa fluctuaţiilor statistice.

TESTUL T - StudentTESTUL T - Student

ASPECTE PRACTICE:

Sunt necesare 2 variabile:-O variabila cantitativa, continua (variabila dependenta): reprezinta variabila de analizat

CONDITII: - normal distribuita;- varianţele in cele doua loturi omogene.

- O variabila calitativa binara (variabila independenta): imparte esantionul in cele 2 loturi.

Se analizeaza daca exista diferente SEMNIFICATIVE STATISTIC intre valorile variabilei cantitative intre cele doua loturi determinate de variabila binara.

VARIANTE DE FORMULE DE CALCUL AL PARAMETRULUI T:

1.FORMULA DE BAZA (varianţe egale):

2121

22

21

21

112 nnnn

xx

xxt

2. FORMULA SEPARATA:

(varianţe diferite)

2

22

1

21

21

nn

xxt

3. TESTUL T CORELAT (eşantioane dependente):

2

2

1

1

2

22

1

21

21

2nn

rnn

xxt

OBSERVATII:

1) Daca variabila continua nu este normal distribuita, testul t nu poate fi folosit; in locul sau se vor folosi teste neparametrice:

- Mann-Whitney U – pt. var. cantitative;

- Chi-patrat – pt. var. calitative.

2) Omogenitatea varianţelor se testeaza separat, prin testul Levene; daca varianţele nu sunt omogene, testul t de asemenea nu poate fi folosit) :

INTERPRETARE:

1. Se calculeaza coeficientul t;2. Se fixeaza un interval de incredere al ipotezei nule,

formulate anterior, P (95% sau 99%) si se cauta in tabele valorile teoretice ale coeficientului t pentru acel interval, in conditiile date.

3. Se compara t-calculat cu t-teoretic:- daca t-calculat > t-tabel: IPOTEZA NULA ESTE INFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

SEMNIFICATIVA STATISTIC- daca t-calculat < t-tabel: IPOTEZA NULA ESTE CONFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

INTAMPLATOARE

PRACTIC, orice software de analiza statistica determina un coeficient de incredere p, referitor la confirmarea ipotezei nule cu o probabilitate de 95 sau 99%:

- Daca p < 0.05 (sau p<0.01) => IPOTEZA NULA ESTE INFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

SEMNIFICATIVA STATISTIC- Daca p > 0.05 (sau p > 0.01)

=> IPOTEZA NULA ESTE CONFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

INTAMPLATOARE

2. COMPARAREA DISPERSIILOR2. COMPARAREA DISPERSIILOR

PROBLEMA: Se lucrează cu mai mult de 2 eşantioane de volume diferite; se doreste compararea valorilor pentru o variabila data x, intre aceste esantioane.Se vor studia diferentele intre toate loturile, prin analiza varianţelor inter şi intra grup.(ANOVA – Analysis of Variance)

IPOTEZA NULA: Loturile provin din aceeasi populatie de origine, adica mediile variabilei studiate pentru fiecare lot in parte sunt egale.

ASPECTE PRACTICE:

Sunt necesare 2 variabile:-O variabila cantitativa, continua (variabila dependenta): reprezinta variabila de analizat

CONDITII: - normal distribuita;- varianţele la nivelul fiecărui lot omogene.

- O variabila calitativa nominală (variabila independenta): imparte esantionul in loturi.

VARIANŢA INTRA-GRUP: Vik esantioane, fiecare compus din nk valori individualeSuma abaterilor patratice de la media grupului, pt. fiecare esantion in parte:

kjxxSn

iij ,1,)(

1

22

k

j

n

i

ji

n

i

ki

n

ii

n

ii

k

j

j

j

k

k

k

xxS

xxxxxxS

SSSS

1 1

22

1

2

1

22

1

21

2

222

21

2

)(

)(...)()(

...2

2

2

1

1

1

kN

nnn k

)1(...)1()1( 21

k

j

n

ijii

j

j

jxx

kNV

1 1

2)(1

VARIANŢA INTER-GRUP: Vok esantioane, fiecare compus din nk valori individualeToate valorile din grup se asimileaza la media grupului si se determina abaterile de la media generala a esantionului:

k

i

ii

kk

k

xxnS

xxnxxnxxnS

SSSS

1

22'

2222

211

2'

2'2'2

2'1

2'

)(

)(...)()(

...

22' )( XxnS

1k

k

iiio xxn

kV

1

2)(1

1

Se calculeaza:VARIANŢA INTRA-GRUP: ViVARIANŢA INTER-GRUP: VoVARIANŢA TOTALĂ A EŞANTIONULUI: Vt = Vi + Vo

Se defineste raportul F = Vo / Vi si se compara cu valorile teoretice, obtinute din tabele, pentru un interval de incredere stabilit (95% sau 99%).

- daca F-calculat > F-tabel: IPOTEZA NULA ESTE INFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

SEMNIFICATIVA STATISTIC- daca F-calculat < F-tabel:

IPOTEZA NULA ESTE CONFIRMATA=> DIFERENTA INTRE MEDII ESTE

INTAMPLATOARE

CORELATIA CORELATIA STATISTICASTATISTICACORELATIA CORELATIA STATISTICASTATISTICA

DIAGRAMA DE DISPERSIE

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5x

y

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

y

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8x

y

.

N

yyxxP

))((

COVARIANTA:

-CORELATIE POZITIVA:

-CORELATIE NEGATIVA:

-CORELATIE ZERO:

0))(( yyxx

0)()( yyxx

0))(( yyxx

COEFICIENTUL DE CORELATIE LINIARA:

yxyx N

yyxxPr

))((