tesis vigas

Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires

Anlisis Matemtico III A Curso Ing. Gustavo M. Murmis

Aplicacin de la Transformada

de Laplace al estudio de las vibraciones en una viga.

Realizado por Diego G. Kirsch (2 Cuatrimestre de 1999) Revisado por Gabriel C. Lavorato

Eduardo G. Murmis Gustavo M. Murmis

Anlisis Matemtico III Monografas Aplicacin de la Transformada de Laplace al estudio de las vibraciones en una viga.

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Resumen

En el presente trabajo se estudiarn las vibraciones en una viga y se determinar el desplazamiento de cada punto de la viga en funcin del tiempo y de los esfuerzos aplicados. Para ello se requerirn conocimientos de mecnica de materiales y de anlisis matemtico, utilizando la transformada de Laplace en la resolucin de las ecuaciones diferenciales correspondientes que surgen del equilibrio de tensiones de cada punto del material que la compone. Se analizarn en particular dos casos: vibraciones longitudinales y transversales.

Palabras Clave Vibraciones Mecnica de materiales Transformada de materiales Transformada de Laplace Esfuerzos en vigas Dimensionamiento de vigas


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ndice

Introduccin 4

Anlisis del problema 5

Tensiones y esfuerzos 6

Desarrollo 11

Vibraciones longitudinales de una viga 11

Resolucin 11

Vibraciones transversales de una viga 13

Resolucin 13

Conclusin 15


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Introduccin

El estudio de las vibraciones en una viga es particularmente interesante, ya que normalmente se analizan los estados inicial y final de la viga, sin saber cul es la forma de la viga para un instante dado.

Conocer la posicin que tuvo cada punto de la viga luego de una evolucin sirve, entre otros, para determinar si la viga fue sometida a tensiones mayores a las que puede soportar, con lo que aparecen problemas de plastificacin (prdida de la capacidad de reaccin) o ruptura de la barra.

Se obtiene, por lo tanto, una frmula que nos permite saber cul fue el estado de tensiones para la viga y las solicitaciones que por ende se desarrollaron.


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Anlisis del problema Para el anlisis determinamos primero una terna, segn la cual referiremos el estado de

tensin:

Teniendo una viga, diremos que el eje X tendr la misma direccin que el eje de la barra y por simplificacin, lo haremos pasante por el baricentro (G) de la seccin de la viga. La determinacin de los ejes Z e Y es no menos complicada; se hace mediante los ejes principales de inercia, o sea, los ejes para los cuales los momentos son mximo y mnimo. Por convencin, se analiza la seccin a izquierda, y se toman el eje Z vertical y el eje Y horizontal a 90 del primero ( ya que, al ser el otro eje, eje principal de inercia, pasar por el baricentro y ser ambos ejes conjugados de inercia). Por convencin, tambin, hacemos uso de la terna derecha de referencia, con lo que el sistema coordenado queda de la siguiente manera:

Analizaremos una seccin rectangular, pero el anlisis de una seccin de otra forma no es ms complicado.

G

X

Y

Z


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Tensiones y esfuerzos Siendo una barra sometida a un estado de tensin cualquiera, se demuestra que para

cada plano dentro de la barra, existe un estado de tensin para cada una de las secciones del continuo cortado por planos. Este estado puede ser representado por un vector , correspondiente al plano antes mencionado. El vector representa el estado de tensin de un continuo, y puede ser descompuesto en dos vectores, ambos perpendiculares entre s, perpendicular a la seccin y tangente a la seccin. Se verifica que 2 = 2 + 2 (teorema de Pitgoras), siendo adems = xy + xz donde las xy son las tensiones tangenciales sobre el plano X en direccin Y, y las xz son las tensiones tangenciales sobre el plano X en direccin Z.

Primeramente hemos de definir las solicitaciones a las que se ve sometida una barra, las cuales pueden ser:

1. Esfuerzo Normal 2. Esfuerzo de Corte segn el eje Y 3. Esfuerzo de Corte segn el eje Z 4. Momento Torsor 5. Momento Flexor segn el eje Y 6. Momento Flexor segn el eje Z El esfuerzo normal es un tipo de solicitacin, en la cual la barra se ve sometida a

fuerzas de compresin o de traccin, exclusivamente en la direccin del eje de la barra. Es, de todas las solicitaciones, la ms simple. Un ejemplo de esfuerzo normal, se puede apreciar al ver una columna, ya que sta est sometida a esfuerzo normal de compresin.

El esfuerzo de corte, tanto en el eje Y como en el eje Z, se debe a solicitaciones perpendiculares al eje de la barra. Esta solicitacin, debida a las solicitaciones tangenciales xy y xz , se puede encontrar, por ejemplo, en un clavo en una pared, del cual cuelga una carga. Se dice, que el tornillo est sometido a corte en la seccin contenida en el plano de la pared.

x

xz

xy

P


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El esfuerzo de torsin, se debe a tensiones tangenciales que, perpendiculares al radio, hacen que diferentes secciones transversales al eje giren en torno a este con una curvatura constante. Esta curvatura es calculable, as como las tensiones generadas. Un ejemplo para torsin es cuando se intenta desenroscar un tornillo que se encuentra fijo a la pared. El mismo, se encuentra sujeto a torsin, como se ve en la figura:

El esfuerzo flector, los momentos flectores tanto segn el eje X, como segn el eje Y, son solicitaciones, por las cuales la barra tiende a doblarse segn un eje perpendicular al del momento (doblarse es un barbarismo, debera ser flexionar). Este tipo de esfuerzo se encuentra en muchas estructuras, siendo el caso ms comn un hombre parado sobre una tabla, creando as un esfuerzo flector:

Cabe aclarar que los momentos flectores pueden venir acompaados por efectos de corte y viceversa.

Es simple ver el anlisis de los esfuerzos al hacer un breve anlisis de las ecuaciones de equivalencia. Las mismas se plantean a partir del equilibrio de un cubo elemental.

dFQ

dFQ

dFN

Fxzz

Fxyy

FX

=

=

=

( )

dFyM

dFzM

dFzyM

Fxz

Fxy

Fxyxzx

*)(

*

**

=

=

=

Plano de la

P

Destornillador

Plano de la pared

Mt

Mz


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Para realizar el anlisis de solicitaciones normales y de momentos flectores, se deduce:

yJzMzz

JyMy

FN

x ** += Siendo:

x: la tensin en el sentido del eje X N: el esfuerzo debido a solicitaciones normales aplicado a la viga F: la superficie de la seccin Mi: los momentos aplicados segn el eje i Ji: los momentos de inercia respecto del eje i (z,y) puntos dentro de la seccin de la viga Cuando tenemos torsin, las tensiones responden a la ecuacin:

rJM

p

t *=

Siendo la curvatura que experimenta:

p

tx JG

M*

=

Donde:

es la tensin tangencial Mt es el momento torsor aplicado Jp es el momento de inercia polar r es el radio de la seccin

x es la curvatura segn el eje X G es el mdulo de elasticidad transversal Es de notoria importancia conocer el valor de la curvatura, ya que sta se mantiene

constante en la mayora de los casos.

En el caso de flexin y corte, se desarrollan tensiones de otra manera. En este caso se aplica la teora de Jouraski Colignon, la cual establece que las tensiones tangenciales que, como se ha visto anteriormente, integradas a lo largo de una superficie F resultan en el esfuerzo cortante, son iguales a:

zFn

Fnz

xz bJSQ

**=

Donde:

xz son las tensiones tangenciales sobre el plano X en direccin del eje Z


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Qz es el corte en direccin segn la direccin del eje Z SnF es el momento esttico de la seccin respecto del eje neutro JnF es el momento de inercia de la seccin respecto del eje neutro bz es el ancho de la seccin En este caso, al ser corte Qz se debe utilizar el valor de bz referido al eje Z. De tener

esfuerzo de corte Qy en el eje Y la ecuacin se modifica de la siguiente manera:

yFn

Fny

xy bJSQ

**=

Donde:

xy son las tensiones tangenciales sobre el plano X en direccin del eje Y Qy es el corte en direccin segn la direccin del eje Y SnF es el momento esttico de la seccin respecto del eje neutro JnF es el momento de inercia de la seccin respecto del eje neutro by es el ancho de la seccin

Hay que aclarar que el eje neutro es un eje donde las tensiones normales x son nulas. Con estas ecuaciones ya somos capaces de relacionar las tensiones con las fuerzas, sin

embargo, an hemos de analizar cmo son los corrimientos de la seccin sabiendo cmo son las solicitaciones. Se puede deducir cul es esta relacin. A modo de ejemplo, tenemos a continuacin la relacin entre las solicitaciones ( S

K) y el corrimiento relativo segn el eje X

( dxdaG ):

=

==

zxA

yzA

xyA

zA

yA

xA

zyzz

yzyy

pzy

z

y

y

z

y

t

z

y

Gs

JEJESEJEJESE

JGSGSGSGFGSGFG

SEFE

MMMQQN

dxda

RS

*

**000***000*00***000**0000*0*00*000*

*G

Donde:

N es el esfuerzo normal

Qy es el esfuerzo de corte sobre el eje X en direccin del eje Y Qz es el esfuerzo de corte sobre el eje X en direccin del eje Y Mt es el esfuerzo del momento torsor

My es el esfuerzo del momento flector segn el eje Y Mz es el esfuerzo del momento flector segn el eje Z


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E es el mdulo de elasticidad longitudinal

F es la superficie de la seccin

G es el mdulo de elasticidad transversal

Sy es el momento esttico respecto del eje Y Sz es el momento esttico respecto del eje Y Jp es el momento de inercia polar

Jyz es el momento de inercia centrfugo

xA es la deformacin longitudinal especfica segn el eje X en el punto A yA es la deformacin longitudinal especfica segn el eje Y en el punto A zA es la deformacin longitudinal especfica segn el eje Z en el punto A xyA es la deformacin angular especfica en el plano formado por los ejes X e

Y en el punto A

yzA es la deformacin angular especfica en el plano formado por los ejes Y e Z en el punto A

zxA es la deformacin angular especfica en el plano formado por los ejes Z e X en el punto A

En la precedente ecuacin aparece lo que llamamos deformacin ( dxdaG ), en este caso a lo largo del eje X. Este tema es de suma importancia ya que el hecho de que una estructura experimente deformaciones, fuera de un intervalo de seguridad, resulta en un posible colapso de la estructura y las implicancias que esto puede significar.

Estamos en condiciones de analizar el problema de la vibracin de la viga.


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Desarrollo A continuacin, pasamos a analizar el problema de vibraciones en una barra (viga)

sometida a solicitaciones longitudinales y luego transversales. Se utilizaron transformadas de Laplace para resolver la ecuacin diferencial involucrada en cada caso.

Vibraciones longitudinales de una viga

Consideraremos a continuacin una perturbacin en un extremo de una viga slida que supondremos consiste en un esfuerzo en la misma direccin al eje de la misma. En estas condiciones, la perturbacin se propagar a travs de la viga y la velocidad con que lo hace estar determinada por las propiedades fsicas del material que la constituye.

Bajo la accin de una traccin (o compresin) en la direccin x, cada seccin de la viga sufre un desplazamiento paralelo al eje de la misma. Como puede deducirse de las expresiones mostradas anteriormente, el esfuerzo normal (en la ausencia de otras solicitaciones) ser proporcional a la deformacin lineal:

xY NEx F

= = donde la variable Y(x,t) representa el desplazamiento longitudinal que depender tanto

de la posicin a lo largo de la varilla como tambin del tiempo luego de la aplicacin de la perturbacin.

Ahora bien, para obtener la ecuacin que rige las vibraciones en la viga, analizaremos una seccin genrica F. La misma sufrir en un momento dado, una fuerza neta que llamaremos dN. Siendo la densidad del material, entonces la masa de la seccin ser

dm Fdx= que ser acelerada por la fuerza dN con la siguiente aceleracin a:

2

2Ya

t=

Por lo tanto, la ecuacin del movimiento ser: 2

2YdN Fdx

t =

Y entonces: 2

2dN YFdx t

= Por otra parte, de la primer expresin mostrada en esta seccin puede deducirse que:

YdN EFx

= y por lo tanto


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2

2dN YEFdx x

= Igualando el trmino dN/dx en las expresiones anteriores, resulta una ecuacin del

tipo:

2

22

2

2

*xYc

tY

=

Esta ecuacin describe el movimiento de una viga que puede vibrar longitudinalmente (o sea en la direccin X). La variable Y(x,t) es el desplazamiento longitudinal desde la

posicin de equilibrio del corte seccional en x. La constante 2 Ec = donde E es el mdulo de elasticidad que es una propiedad del material y es la densidad (masa por unidad de volumen de la viga). El valor de c constituye entonces la velocidad de propagacin de las vibraciones en la viga y vemos que estn determinadas directamente por las propiedades del material que la conforma.

El problema consiste en averiguar el desplazamiento longitudinal de cualquier punto x de la viga, para cualquier momento t > 0, cuando se aplica una fuerza constante por unidad de rea F0.

Resolucin

Siendo Y(x,t) el desplazamiento longitudinal de cualquier punto x de la viga en el tiempo t, las condiciones de frontera son:

==

0)0,(0)0,(

xYxY

t

==

EFtlY

tY

x0),(

0),0(

Transformando por Laplace encontramos que:

( )),(),( txYsxy L= 2

2 22( , ) ( ,0) ( ,0)t

d ys y x s sY x Y x cdx

=

Recordando las condiciones frontera: Y(x,0) = 0 y Yt(x,0) = 0 con lo que nos queda:

F0

x = 0 x = l X


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22 2

2( , )d ys y x s cdx

=

Resolviendo la ecuacin diferencial:

022

2

2

= ycs

dxyd

0

(0, ) 0:

( , )x

y sFy l sEs

= =

La solucin es:

1 2( , ) cosh( ) ( )sx sxy x s c c senhc c

= + Reemplazando en A:

1(0, ) 0 cosh(0) 0y s c= = + Por lo que c1 es nulo, por lo que nos queda:

2( , ) ( )sxy x s c senhc

=

2( , ) cosh( )xs sxy x s cc c

=

Reemplazando en A:

02( , ) cosh( )x

F s sly l s cEs c c

= =

02 cosh

Fs slcc c Es

=

Reagrupando

02

2 cosh( )

F cc slEsc

=

Por lo tanto, llegamos a:

02

2( , ) ( ) ( )

cosh( )

F csx sxy x s c senh senhslc cEsc

= =

A continuacin buscaremos obtener la funcin anti-transformada y(x,t) que corresponder al desplazamiento de cada punto de la barra.


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Recordemos entonces el siguiente teorema, donde se ponen algunas condiciones para obtener la transformada inversa de una funcin F(s):

( ) / Re( ) 1( ) ( ) ( ) 2

( ) / Re( ) ( )

{ } sing. aislada / [1, ] *( ) ( ) Res[ ( ) ;{ } puntos de ramif. / j [1, ]

lim ( ) 0

b ist

b i

sti i

j

s

F s H s sf t F s e ds

b b cte i

F s H s sb b ctes i n f t H t F s e sr m

F s

+

> => > > = =

\

\

1 1

1] ( ) ( )2

j

n mst

i j Cr

F s e ds H ti= =

v

De todas formas el teorema no es aplicable a nuestra funcin y(x,s) pues la misma tiene infinitas singularidades, igualmente lo utilizaremos para encontrar la solucin al problema.

Puede verse fcilmente que y(x,s) tiene un polo en s=0 y adems presenta infinitas singularidades dadas por la expresin:

cosh 0slc

= , por lo que las mismas se hallan sobre el eje imaginario en los puntos: 1 k2k

cs k il = + ]

Ahora bien, la primera parte del teorema enunciado puede aplicarse pues la funcin es holomorfa para cualquier punto del plano a la derecha del eje imaginario (considerando un b arbitrario tal que b>0). El problema reside entonces en buscar la forma de realizar la integral compleja encerrando las infinitas singularidades.

Podemos ver que integrando a lo largo de una recta con abscisa xo y cerrando la curva con una circunferencia Ck alrededor de cero (ver figura), entonces la integral compleja puede escribirse, aplicando el teorema de los residuos, como sigue:

1

1 1( ) ( ) Res[ ( ) ; ]2 2

o k

o k k

x iy kst st st

jjx iy C

F s e ds F s e ds F s e si i

+

=+ =

Es as que si logramos demostrar que


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lim ( ) 0k

stk

C

F s e ds = Entonces, integrando en el lmite donde |yk| es cada vez mayor, llegamos a la siguiente

expresin:

0

1( ) ( ) Res[ ( ) ; ]2

o

o

x ist st

jjx i

f t F s e ds F s e si

+

= = =

Volviendo a nuestro caso de anlisis, la demostracin de lim ( , ) 0

k

stk

C

y x s e ds = no es trivial y un mtodo para realizarla puede consultarse en1 . Es as que para hallar

el valor de la anti-transformada necesitaremos calcular los residuos de la funcin y(x,s)est. Tanto el origen como las infinitas singularidades sobre el eje imaginario son aisladas

ya que la funcin no tiene puntos de acumulacin de singularidades ni puntos de ramificacin que requieran cortaduras del dominio. Dicho esto podemos tomar

'0

20 0

0lim ( , ) lim0cos

st ind l Hst

s s

sxsenhF ce cy x s e

slEs hc

= = =

Lo que muestra que s=0 es un polo de y(x,s)est. Adems puede verse que

0 0'0 0

0 0 0

cos 00lim ( , ) lim lim0cos cos

st stst ind l H

sts s s

sx sx sxsenh F cte senh F xe hF ce F xc c csy x s e

sl sl Esl slEs Eh E h senhc c c c

+ = = = = +

Por lo que s=0 es un polo de primer orden. De forma equivalente puede demostrarse que las infinitas singularidades

1 k2k

cs k il = + ]

Corresponden a polos de primer orden. Estamos entonces en condiciones de calcular sus residuos. De lo expresado anteriormente se deduce directamente:

000

lim ( , ) Res( ( , ) ; 0)st sts

F xsy x s e y x s e sE

= = = Los residuos en los sk los calcularemos teniendo en cuenta que

( )( , )( )

( )( ) 0 Res( ( , ) ; )'( )

( ) 0'( ) 0

st

st kk k

kk

k

P sy x s eQ s

P sP s y x s e s sQ s

Q sQ s

= = ==

Luego: 1 J.L. Schiff The Laplace Transform: theory and applications. Captulo 4. Springer (1999)


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0Res( ( , ) ; )

2 cos

ks t k

stk

kk

s xF ce senhcy x s e s s

s lEs hc

= =

( )

2

1 12 2

0 0

2 212 2

( )

1 12 2

1 1 1 12 2 2

Res( ( , ) ; )

k k

c ck it k itl l

k

x ctl

stk

Es l s lsenhc c

x xF ce senh k i F ce isen kl l

c cE k senh k i E k il l

ey x s e s s

+ +

+

+

= + + + = = = + + +

= =( )

1 ( ) 12 2

212

0

2 1 12

x ctk i k il

k

ei E k

F l

+ +

+

+

Y por lo tanto:

( , ) Res[ ( ) ; ]st jj

y x t F s e s

==

Finalmente, operando y reacomodando los trminos puede obtenerse:

( )( )

0 02 2

0

18 (2 1) (2 1)( , ) cos2 22 1

k

k

F x F l k ct k xy x t senE l lE k

= + + = + +


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Vibraciones transversales de una viga En este caso, la perturbacin aplicada a la viga es de tipo transversal (normal al eje de la misma), y as lo ser el desplazamiento de cada seccin, siendo nuevamente funcin de la posicin y del tiempo: Y(x,t).

Ahora veremos cmo se comporta la viga frente a una perturbacin de este tipo. En primer lugar, no aparecern simplemente tensiones axiales uniformes en la seccin del material, sino que cada seccin estar sometida a momentos flectores, implicando entonces un estiramiento o compresin del material por debajo o por arriba del eje neutro de la viga.

Si consideramos una seccin genrica que, al ser sometida a dichas solicitaciones, gira un ngulo (x) y una seccin inmediatamente subsiguiente que gira un ngulo (x+dx), entonces podemos decir que el ngulo de flexin de un tramo infinitesimal de la barra corresponde a d=(x+dx)-(x).

Luego, una aproximacin de ngulos pequeos, en la que tg() nos permite deducir que: 2

2Yd dx

x

Ahora consideremos un punto de una seccin de la viga a una distancia z del eje neutro. Para tal distancia existir entonces un alargamiento (o compresin) dado por :

2

2Ydl z dx

x=

No se darn mayores detalles de los clculos, pero teniendo en cuenta esto ltimo y la proporcionalidad entre esfuerzos normales y deformacin mostrada anteriormente, puede afirmarse lo siguiente:

2

2YM EI

x

Lo que de ahora en adelante consideraremos una igualdad, donde I corresponde al momento de inercia de la seccin transversal considerada y E al mdulo de elasticidad.

Por otra parte, la fuerza transversal (en el sentido del eje y), se relaciona con el momento flector por la siguiente expresin:

2

2MFy dxx

= Y adems esta fuerza transversal ser la encargada de acelerar cada punto de la viga durante su movimiento de vibracin segn la expresin:

2

2YFy Fdx

t =

Donde Fdx es el volumen de una seccin de rea F y longitud dx.


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A continuacin pueden igualarse las expresiones anteriores y reemplazar el valor del momento flector (derivando dos veces con respecto a x). Para obtener finalmente la ecuacin:

4 2

4 2Y YEIdx Fdx

x t =

La expresin obtenida tiene entonces la forma de la siguiente ecuacin diferencial: 2 4

22 4 0Y Yb

t x + =

Esta ecuacin describe el movimiento de la viga (inicialmente sobre el eje X) la cual vibra transversalmente (o sea, perpendicular al eje X).

En este caso, Y(x,t) es el desplazamiento transversal o deflexin sobre cualquier punto

x en cualquier tiempo t. 2 EIbF= , donde I es el momento de inercia de cualquier seccin

transversal con relacin al eje X. El problema consiste en determinar el desplazamiento transversal Y(x,t) de cualquier

posicin x >0 (longitud infinta) en cualquier tiempo t >0 cuando a una viga que se halla inicialmente en reposo sobre el eje X, se le comunica un desplazamiento transversal h en el tiempo t = 0 sobre el extremo x=0

Resolucin

Para 2 4

22 4 0Y Yb

t x + =

>>

00

tx

==

htYxY

),0(0)0,(


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Por condiciones de frontera:

Y(x,0) = 0 y Yt(x,0) = 0

4 2

4 2 0d Y s ydx b

+ =

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