tesis respuesta dinÁmica de edificios sujetos a cargas de sismo

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ

INSTITUTO DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

PROYECTO DE TITULACIÓN

“RESPUESTA DINÁMICA DE EDIFICIOS SUJETOS A CARGAS DE

SISMO, MEDIANTE MODELOS ENSAYADOS EN MESA

VIBRATORIA”

Que presenta:

EDUARDO ANTONIO MORENO FÉLIX

Como requisito parcial para acreditar la materia de Proyecto de Titulación

Ciudad Juárez, Chih. Mayo 2012

1

PROYECTO DE TITULACIÓN

“RESPUESTA DINÁMICA DE EDIFICIOS SUJETOS A CARGAS DE

SISMO, MEDIANTE MODELOS ENSAYADOS EN MESA

VIBRATORIA”

EDUARDO ANTONIO MORENO FÉLIX

Asesor: Dr. Servio Tulio de la Cruz Cháidez

Titular de la materia: Dra. Edith Flores Tavizón

Ciudad Juárez, Chih. Mayo 2012

2

Revisión de Documento de Proyecto de Titulación por Asesor

(Requisito para enviarlo al Comité de Evaluación)

Después de haber revisado los aspectos técnicos, la estructura y formato del

documento en general con titulo “RESPUESTA DINÁMICA DE EDIFICIOS

SUJETOS A CARGAS DE SISMO, MEDIANTE MODELOS ENSAYADOS EN

MESA VIBRATORIA” considero que se cumplen al menos los requerimientos

mínimos necesarios para que se proceda a la evaluación final ante el comité que

designe la Coordinación del Programa de Ingeniería Civil.

ATENTAMENTE

Asesor de Proyecto de Titulación Firma Fecha

4

DEDICATORIA

Este trabajo está dedicado especialmente a:

Mis padres:

A mi papá Leobardo Moreno Gómez a quien respeto y admiro mucho, por los sabios

consejos que me brindó en cada momento y enseñarme cómo es la vida de un gran hombre

producto del esfuerzo y del trabajo, así como el valor de la responsabilidad, el compromiso y

la persistencia.

Mi mamá Yolanda Félix Torres quien es mi principal fuente de inspiración y fortaleza.

Gracias mamá por tu cariño, comprensión y por todo tu apoyo para que todos tus hijos

saliéramos adelante.

Mi familia:

A mis hermanos Yanet y Edgar por brindarme su apoyo, ser pacientes conmigo y estar a mi

lado brindándome respeto y cariño.

A mi abuelita Gloria Gómez quién siempre fue un ejemplo de superación personal y amor

incondicional hacia la familia.

5

AGRADECIMIENTOS

A Dios primeramente que me permitió realizar el gran proyecto de estudiar licenciatura en

Ingeniería Civil. Gracias por proporcionarme el sustento y la fortaleza para llevar a cabo toda

actividad necesaria eficazmente.

A mi asesor el Dr. Servio Tulio de la Cruz Cháidez, quien fue mi guía en la correcta

realización de este trabajo, por su apoyo brindado durante el transcurso del mismo y por

orientarme cuando lo necesité. Gracias por estar pendiente de mis avances y sobre todo por

permitirme adquirir y reafirmar conocimientos que me serán de gran utilidad en el ejercicio

de la profesión.

A mis sinodales, el Dr. Abraham Leonel López León, Laura Susana Alonso López y Jesús

Eduardo Aguilera González, quienes por sus correcciones, comentarios, opiniones y

aclaraciones dieron mayor calidad a este trabajo.

Les doy las gracias a todos mis amigos del laboratorio de Estructuras, en especial a Patricia

Rentería y a Edgar Del Real Partida a quienes gracias al compañerismo y apoyo mutuo, así

como con los diferentes puntos de vista, ideas y comentarios salimos adelante con el

proyecto.

Gracias también a todos los demás compañeros de los laboratorios de materiales, hidráulica y

suelos quienes de una u otra forma contribuyeron en hacer de éste un mejor trabajo y porque

gracias a su amistad lograron que los laboratorios no sólo fuera un lugar de trabajo, sino un

segundo hogar.

GRACIAS A TODOS LOS QUE ME APOYARON Y CREYERON EN MÍ.

6

ÍNDICE

RESUMEN…………….………………………………………………………………14

1 INTRODUCCIÓN……………………………….…………………..………..15 1.1 Cargas de Sismo…………………………………………..…………………...15

1.2 Respuesta Dinámica de Estructuras…………….………………………….15

1.3 Periodo Fundamental de Vibración de la Estructura…………………...15

1.4 Objetivo General……………………………………………………………....15

1.5 Objetivos Particulares………………………………………………………..15

2 MARCO TEÓRICO………………………………………………………...20 2.1 Dinámica de Estructuras…………………………………………………….20

2.2 Sistemas Lineales de Un Grado de Libertad (UGL)…………………....20

2.2.1 Ecuación de movimiento de sistemas de UGL………………………….21

2.2.2 Amortiguamiento viscoelástico de sistemas de UGL…………………..23

2.2.3 Respuesta de los sistemas de UGL ante aceleraciones horizontales

del suelo………………………………...……………………………...24

2.3 Sistemas Lineales de Varios Grados de Libertad (VGL)………………..26

2.3.1 Idealización de sistemas de VGL………………………………………..26

2.3.2 Ecuaciones del movimiento de sistemas de VGL……………………....28

2.3.3 Respuesta de los sistemas de VGL ante aceleraciones horizontales

del suelo……………………...………………………………………...32

2.3.4 Frecuencias naturales y modos normales de los sistemas de VGL..…....33

2.3.5 Movimiento amortiguado de los sistemas de VGL……………………..35

2.3.5.1 Ecuaciones del movimiento amortiguado…………………..36

2.3.5.2 Ecuaciones desacopladas con amortiguación……………….36

2.3.5.3 Estimación de la relación de amortiguamiento modal……...39

2.4 Análisis Estructural en Sistemas Lineales: Rango Elástico…………...40

3 HIPÓTESIS……………………………………………………………………....43

4 MATERIALES Y MÉTODOS……………………………………….44 4.1 Visita Preliminar……………………………………………………………...44

4.2 Reconocimiento de las Estructuras Locales……………………………...44

4.3 Determinación de las Propiedades Dinámicas de Edificios…………...44

7

4.3.1 Periodo fundamental de vibración……………………………………....44

4.3.2 Frecuencia natural angular……………………………………………...45

4.3.3 Coeficiente de amortiguamiento en vibración libre…………………….46

4.3.4 Masa concentrada de cada piso………………………………………....49

4.3.5 Rigidez efectiva de la estructura………………………………………..49

4.3.6 Módulo elástico de los elementos estructurales………………………..51

4.4 Diseño Experimental………………………………………………………...51

4.4.1 Calibración de sensores de aceleración……….………………………..51

4.4.1.1 Ensayos preliminares……………………………….………52

4.4.1.2 Determinación de las propiedades de los modelos flexibles

de edificios………………………………………………....53

4.4.1.3 Comparación de resultados con programas de

cómputo…………………………………………………….53

4.4.1.4 Validación de resultados en mesa vibratoria………………..54

4.4.2 Elaboración de modelos a escala……………………………………….54

4.4.3 Ensayo de modelos sujetos a cargas de sismo………………………….55

4.4.4 Determinación de la respuesta dinámica de las estructuras…………….55

5 RESULTADOS………………………………………………………………....57 5.1 Determinación de las Propiedades Mecánicas de los Modelos

Flexibles………………………………………………………………………..57

5.1.1 Masas concentradas de cubierta………………………………………...57

5.1.2 Módulo de elasticidad de columnas…………………………………….58

5.1.3 Rigidez de marcos……………………………………………………....61

5.2 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo Flexible de Una

Planta………………………………………………………………….…..…....64

5.3 Comparación de Resultados de Respuesta Dinámica con

Programas de Cómputo………………………………….…………………..67

5.4 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo Flexible de Dos

Plantas…………………………………………………….…………………....76

5.5 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo Flexible

de Dos Plantas………………………………...………………………………78

5.6 Matriz de Masa, Rigidez y Amortiguamiento del Sistema:

Modelo Flexible de Dos Plantas…………………………………………...81

5.6.1 Matriz de masa………………………………………………………….81

5.6.2 Matriz de rigidez mediante ensayo de carga estática…………………..81

5.6.3 Matriz de amortiguamiento…………………………………………….83

5.7 Determinación de las Propiedades Mecánicas de los Modelos a

8

Escala de Una Planta………………………………………………………..85

5.7.1 Masas concentradas de cubierta………………………………………..86

5.7.2 Rigidez de marcos………………………………………………….…..86

5.8 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo a Escala de Una

Planta………………………………………………………………………….89

5.9 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo a Escala

de Dos Plantas en el Lado A……………………………………………...93


Modelo a Escala de Dos Plantas en el Lado A………………………...96

5.10.1 Matriz de masa………………………………………………………..96

5.10.2 Matriz de rigidez en ensayo de carga estática………………………...96

5.10.3 Matriz de amortiguamiento…………………………………………...98

5.11 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo a Escala

de Dos Plantas en el Lado B……………………………………………100


Modelo a Escala de Dos Plantas en el Lado B……………………….103

5.12.1 Matriz de masa………………………………………………………103

5.12.2 Matriz de rigidez en ensayo de carga estática……………………….103

5.12.3 Matriz de amortiguamiento………………………………………….105

5.13 Respuesta Dinámica de los Modelo a Escala……………………….....107

5.13.1 Respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en

lado A……………………………………………………………….108

5.13.2 Respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en

lado B……………………………………………………………….110

5.13.3 Respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en

lado A……………………………………………………………….112

5.13.4 Respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en

lado B……………………………………………………………….114

6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS………………………………....116 6.1 Propiedades de los Modelos Flexibles…………………………………..116

6.2 Vibración Libre de los Modelos Flexibles……………………………...116

6.3 Propiedades de los Modelos a Escala……………………………………117

6.4 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo

a Escala de Dos Plantas…………………………………………………...117

6.5 Estimación de Relación de Amortiguamiento para los

Modelos a Escala…………………………………………………………...117

9

6.6 Respuesta Dinámica de los Modelos a Escala…………………………118

6.7 Daños Observados en los Modelos a Escala…………………………...119

CONCLUSIONES……………………………………………………………....120

RECOMENDACIONES…………………………………………………….121

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………...122

ANEXO A Peso de los Elementos del Modelo Flexible de Uno y Dos

Niveles………………………………………………………………….123

ANEXO B Geometría de los Modelos Flexibles…………………………….123

ANEXO C Componentes de la Mesa Vibratoria…………………………...124

ANEXO D Geometría de los Modelos a Escala de Edificios…………….126

ANEXO E Estructura de Acero de Refuerzo de los Modelos a

Escala…………………………………………………………………..127

ANEXO F Dosificación de la Mezcla Empleada en el Modelo a

Escala…………………………………………………………………..128

GLOSARIO………………………………………………………………………....131

10

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Desplazamiento en edificios debido a fuerzas laterales………………………….16

Figura 1.2 Oscilador de un grado de libertad………………………………………………….17

Figura 1.3 Modelo de una estructura de un nivel, montado sobre una mesa vibratoria

(modelo Quanser Shake Table II) …………………….………………….............19

Figura 2.1 Estructura de un grado de libertad……………………………………………….20

Figura 2.2 Diagrama de cuerpo libre………………………………………………………...21

Figura 2.3 Vibración libre de un sistema de UGL para diferentes valores de ξ……………..23

Figura 2.4 Desplazamiento lateral absoluto de una masa respecto al origen………….……..25

Figura 2.5 Estructura de dos niveles (2 grados de libertad) ………………………….……..26

Figura 2.6 Estructura idealizada de varios grados de libertad………………….……..............27

Figura 2.7 Amortiguamiento relativo en cada piso de la estructura…………………….…...28

Figura 2.8 Edificio de varios pisos (VGL) idealizado como un edificio de cortante…….….29

Figura 2.9 Modelo equivalente de un edificio de 3 pisos……………………………….…...29

Figura 2.10 Fuerzas dinámicas que actúan sobre las tres masas……………………….…....30

Figura 4.1 Efecto del amortiguamiento sobre la frecuencia natural de vibración…………...46

Figura 4.2 Vibración libre amortiguada………………………………………………….…..47

Figura 4.3 Equipos de experimentación para vibraciones libres………………………….....48

Figura 4.4 Registro de vibración libre del marco de aluminio………………………….…...49

Figura 4.5 Estructura idealizada de un marco con EIb = ∞…………………………….……50

Figura 4.6 Sensor de aceleración (acelerómetro) ………………………………….………..52

Figura 4.7 Modelos flexibles de edificios…………………………………………….……..53

Figura 4.8 Formato de historia temporal…………………………………………….……….56

Figura 5.1 Cubierta del modelo flexible de un nivel………………………………………...57

Figura 5.2 Forma de ejecución del experimento para la medición de desplazamientos en

una columna del modelo flexible…………….…………………………………..58

Figura 5.3 Dinamómetro empleado para medir la fuerza externa aplicada………………….59

Figura 5.4 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento obtenidos en el

experimento………………….…………………………………………………..60

Figura 5.5 Forma de ejecución del experimento para la medición de desplazamientos en

un marco del modelo flexible………………………….………………………...61

Figura 5.6 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento para el marco del

nivel 1………………………………….………………………………………...62

Figura 5.7 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento para el marco del

nivel 2…………………….……………………………………………………....63

Figura 5.8 Marco deflexionado inicialmente en 2 cm para ensayo de vibración libre…….....64

Figura 5.9 Deflexión del marco del modelo flexible de un nivel…………………………....64

Figura 5.10 Registro de vibración libre del marco de aluminio de un nivel en mesa

vibratoria. Deflexión inicial de 2 cm…………………………………………....65

Figura 5.11 Registro de vibración libre del marco de aluminio de un nivel en mesa

vibratoria. Deflexión inicial de 2 cm………………...………………………....65

Figura 5.12 Carátula del programa Nonlin, para el análisis de respuesta dinámica de

marcos……………………………………………………………...…………...67

11

Figura 5.13 Carátula que muestra la excitación del suelo (aceleración senoidal) a la que

fue sometido el modelo de un nivel……………...……………………………..68

Figura 5.14 Respuesta dinámica del modelo mediante simulaciones en Nonlin…………....69

Figura 5.15 Modelo montado en el equipo de ensayo del laboratorio de estructuras de la

UACJ…………………………………...……………………………………........70

Figura 5.16 Registro de vibración del marco de aluminio de UGL en mesa vibratoria……..70

Figura 5.17 Excitación senoidal inducida en el suelo por la mesa vibratoria………………..71

Figura 5.18 Registro de vibración del marco de aluminio de UGL en mesa vibratoria……..71

Figura 5.19 Comparación de registros con mesa vibratoria y el programa Nonlin…………72

Figura 5.20 Comparación de resultados en velocidad……………………………………….73

Figura 5.21 Comparación de resultados en desplazamiento………………………………....73

Figura 5.22 Comparación de registros con mesa vibratoria y el programa Nonlin………….74

Figura 5.23 Acelerograma escalado del sismo Northridge: Northridge Earthquake

Sylmar Country Hospital, 17 de Enero de 1994, Acelerograma corregido,

canal 90°. Estación CDMG QN94A514. ISEE, UC Berkeley, California.…......75

Figura 5.24 Modelo montado en el equipo de ensayo del laboratorio de estructuras de la

UACJ……………………………...………………………………………….....76

Figura 5.25 Modelo deflexionado en 2 cm respecto al eje vertical………………………….76

Figura 5.26 Registro de aceleración en la cubierta del nivel 1 del modelo flexible………....77

Figura 5.27 Registro de aceleración en la cubierta del nivel 2 del modelo flexible………....77

Figura 5.28 Modos normales del modelo flexible de dos plantas…………………………...80

Figura 5.29 Ensayo de carga estática aplicada en la cubierta de la segunda planta………....82

Figura 5.30 Modelo de concreto a escala reducida de una estructura de un nivel…………..85

Figura 5.31 Medición de desplazamientos con vernier digital……………………………....87

Figura 5.32 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento: Lado A del modelo a

escala…………………………………………………………………………...88

Figura 5.33 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento: Lado B del modelo a

escala…………………………………………………………………………...88

Figura 5.34 Modelo deflexionado inicialmente en 0.5 cm para el ensayo de vibración

Libre…………………………………………………………………………….89

Figura 5.35 Deflexión lateral del modelo a escala de un nivel……………………………...89

Figura 5.36 Registro de vibración libre en el lado A del modelo a escala de un nivel en mesa

vibratoria. Deflexión inicial de 0.5 cm………………………………………....90

Figura 5.37 Registro de vibración libre en el lado B del modelo a escala de un nivel en mesa

vibratoria. Deflexión inicial de 0.5 cm………………………………………....91

Figura 5.38 Modos normales del modelo a escala de dos plantas en el lado A……………..95

Figura 5.39 Ensayo de carga estática aplicada en la cubierta de la segunda planta………....97

Figura 5.40 Modos normales del modelo a escala de dos plantas en el lado B…………….102

Figura 5.41 Ensayo de carga estática aplicada en la cubierta de la segunda planta………..104

Figura 5.42 Acelerograma del sismo registrado en el Valle de Juárez……………………..107

Figura 5.43 Respuesta dinámica en aceleración del modelo a escala de una planta en el

lado A………………………………………………………………………….108

Figura 5.44 Respuesta dinámica en velocidad del modelo a escala de una planta en el

lado A………………………………………………………………………… .109

Figura 5.45 Respuesta dinámica en desplazamiento del modelo a escala de una planta

en el lado A…………………………………………………………………....109

12

Figura 5.46 Respuesta dinámica en aceleración del modelo a escala de una planta en el

lado B…………………………………………………………………………110

Figura 5.47 Respuesta dinámica en velocidad del modelo a escala de una planta en el

lado B…………………………………………………………………………111

Figura 5.48 Respuesta dinámica en desplazamiento del modelo a escala de una planta

en el lado B…………………………………………………………………...111

Figura 5.49 Respuesta dinámica en aceleración de la primer planta del modelo a escala

de dos niveles, en el lado A…………………………………………………...112

Figura 5.50 Respuesta dinámica en aceleración de la segunda planta del modelo a

escala de dos niveles, en el lado A…………………………………………….113

Figura 5.51 Respuesta dinámica en aceleración de la primer planta del modelo a escala

de dos niveles, en el lado B…………………………………………………....114

Figura 5.52 Respuesta dinámica en aceleración de la segunda planta del modelo a

escala de dos niveles, en el lado B…………………………………………….115

Figura 5.53 Detalle del daño observado en modelos a escala……………………………...119

13

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Amortiguamiento recomendado…………………………………………………..40

Tabla 5.1 Masas concentradas en cada nivel del modelo flexible…………………………....57

Tabla 5.2 Geometría general de las columnas del modelo flexible…………………..............58

Tabla 5.3 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos en el experimento………………..59

Tabla 5.4 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el marco del nivel 1………....61

Tabla 5.5 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el marco del nivel 2………....62

Tabla 5.6 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas……………………………..83

Tabla 5.7 Masas concentradas en cada nivel del modelo a escala…………………………..86

Tabla 5.8 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el lado A del modelo a

escala……………………………………………………………………………..87

Tabla 5.9 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el lado B del modelo a

escala……………………………………………………………………………..88

Tabla 5.10 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas en lado A………………..98

Tabla 5.11 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas en lado B……………….105

14

RESUMEN

En este trabajo se obtuvo la respuesta dinámica, numérica y experimentalmente, de modelos

de edificios de uno y dos niveles representativos de la zona del Valle de Juárez. Estos

modelos fueron sometidos a aceleraciones en su base, que representaron la actividad sísmica

reciente del Valle de Juárez. La respuesta dinámica se obtuvo en aceleración, velocidad y

desplazamiento, registrados para cada nivel de las estructuras ensayadas.

Los ensayes se realizaron en una mesa vibratoria, en la que se reprodujeron algunos

de los acelerogramas registrados en la zona, los cuales presentan aceleraciones máximas de

0.1g a 0.15g (unidades de gravedad). Los acelerogramas reproducidos representan la

actividad sísmica registrada, y las propiedades de los modelos a escala (masas concentradas,

coeficiente de rigidez y coeficiente de amortiguamiento) permiten obtener la respuesta

dinámica de viviendas de uno y dos niveles representativas de la zona.

Los modelos a escala fueron elaborados con los materiales de construcción típicos,

una mezcla con arena, cemento y agua, lo que permitió aproximar el periodo fundamental de

vibración y amortiguamiento de las estructuras reales a evaluar. Estas propiedades dinámicas

de los modelos a escala (periodo fundamental y amortiguamiento) permiten aproximar la

respuesta dinámica a la de las estructuras reales.

15

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Cargas de Sismo

Durante un terremoto se inducen vibraciones a un edificio. Estas vibraciones producen el

efecto de fuerzas laterales aplicadas a los diferentes pisos del edificio. En presencia de tales

vibraciones, la magnitud de la fuerza lateral tiene importancia secundaria respecto a la

frecuencia con la que se repite dicha fuerza, que pasa a ocupar una importancia capital

(Avello, 2006). En este caso, la presencia de fuerzas periódicas pequeñas puede tener efectos

mucho más devastadores que fuerzas estáticas de magnitud muy superior, ya que los

materiales de la estructura pueden fallar debido a la fatiga, provocada debido a esfuerzos

alternados. El daño estructural resulta del movimiento vibratorio errático del suelo sobre el

cual se apoya el edificio, a consecuencia del movimiento telúrico los daños pueden ser

originados por desplazamiento de la cimentación, pérdida de resistencia del suelo por

licuefacción, fallas o movimientos de la tierra son algunas de ellas. Sin embargo, el principal

origen del daño estructural reconocido en el diseño sísmico de edificios es debido a la

respuesta dinámica del edificio ante el movimiento del suelo sobre el cual se apoya la

cimentación del edificio (Perles, 2007).

1.2 Respuesta Dinámica de Estructuras

La respuesta dinámica representa el comportamiento de los edificios frente a las acciones que

sobre ellos ejerce una carga que varía en función del tiempo. Un caso especialmente

importante de este tipo de carga lo genera la aceleración del terreno debido a un sismo. La

respuesta de una estructura frente a un sismo determinado dependerá de las características

16

dinámicas de la misma, así como de la naturaleza de la excitación (amplitud y contenido de

frecuencias). Entre las características dinámicas de la estructura que influyen en su respuesta,

puede mencionarse básicamente su periodo fundamental de vibración y su amortiguamiento.

La manera en que se deforma un edificio debido a las fuerzas laterales se muestra en

la Fig. 1.1, donde el desplazamiento depende de la intensidad de dichas fuerzas, mientras que

las vibraciones dependen del periodo fundamental y amortiguamiento de la estructura.

El estudio de la respuesta dinámica se puede iniciar con el análisis de un sistema de

un grado de libertad (UGL). Éste se puede representar con un oscilador simple, como el que

se muestra en la Fig. 1.2, que consiste en un bloque de masa m unido a la base a través de un

resorte de rigidez k y un amortiguador viscoelástico c.

Desplazamiento Desplazamiento

Figura 1.1 Desplazamiento en edificios debido a fuerzas laterales

17

x

Si el sistema de la Fig. 1.2 se somete a una excitación externa, representada por P(t)

en la figura, los valores máximos de aceleración, de velocidad y desplazamiento interesan al

ingeniero estructural, pues a partir de estos valores máximos se determinan las acciones

(reacciones, fuerzas normales, fuerzas cortantes y momentos flexionantes) que deberá

soportar la estructura, representada por la masa m en la Fig. 1.2. La fuerza externa P(t) se

refiere a la carga lateral externa sobre la estructura, debida a un sismo o al viento. Esta carga

varía en función del tiempo t y a su vez queda descrita por la suma de las fuerzas laterales

que actúan sobre la estructura.

1.3 Periodo Fundamental de Vibración de la Estructura

Cada edificio posee un periodo de vibración propio que depende de sus características físicas,

y que es independiente de la fuerza externa. Las principales características físicas de las que

depende el periodo de vibración de un edificio son (Perles, 2007):

La altura del edificio, pues a mayor altura, mayor periodo de vibración

La densidad de los muros, pues a mayor densidad, menor periodo de vibración

Longitud del edificio en la dirección considerada, pues a mayor longitud, menor

periodo de vibración

c

k

m

P(t)

Figura 1.2 Oscilador de un grado de libertad

18

Las características constructivas de los edificios es otra de las variables que tienen

mayor importancia en el cálculo del periodo fundamental de vibración (Caselles y col, 1999).

El periodo fundamental de la estructura, en segundos, se incrementa a medida que la

rigidez global sea menor. El sistema estructural empleado también influye en el valor del

periodo fundamental, ya que cada sistema proporciona una rigidez y ductilidad determinadas.

El sistema estructural puede ser a base de marcos ordinarios de concreto o de acero, marcos

contraventeados, edificios con muros de cortante, etc. (Reglamento de Construcción del

Municipio de Juárez, 2004).

1.4 Objetivo General

En este trabajo se desarrolla un estudio que tiene por objetivo determinar la respuesta

dinámica, numérica y experimentalmente, de edificios de uno y dos niveles sometidos a

aceleraciones en su base, que representen actividad sísmica. Con este estudio se determinará

la respuesta ó historia temporal del desplazamiento, la velocidad y la aceleración de cada uno

de los niveles de las estructuras ensayadas.

1.5 Objetivos Particulares

Calibrar los componentes de la mesa vibratoria, como la que se muestra en la Fig. 1.3,

disponible en el laboratorio de estructuras de la UACJ

Ensayar modelos dinámicos de uno y dos pisos en la mesa vibratoria

Graficar los registros de la respuesta dinámica en Excel

Comparar resultados obtenidos en la mesa vibratoria con aquellos obtenidos usando

programas de computadora (Nonlin, Excel)

19

Validar los resultados de los ensayos en la mesa vibratoria para que pueda ser

utilizada en ensayos posteriores, y conocer la influencia de la aceleración del terreno

sobre la resistencia de las estructuras locales que tengan características similares a

los modelos que se ensayen

Elaborar modelos a escala de edificios de uno y dos niveles, que representan

estructuras locales

Ensayar los modelos a escala en la mesa vibratoria para obtener su respuesta

dinámica ante aceleraciones del suelo que representen la actividad sísmica en el Valle

de Juárez

Determinar la respuesta dinámica de las estructuras locales de uno y dos niveles, en

desplazamiento, velocidad y aceleración

Los modelos que se ensayarán representarán edificios de una y dos plantas típicos del

municipio de Juárez, en el estado de Chihuahua, México, principalmente de la región del

Valle de Juárez, donde fue registrada actividad sísmica reciente.

Figura 1.3 Modelo de una estructura de un nivel, montado sobre una mesa vibratoria (modelo Quanser

Shake Table II)

20

2 MARCO TEÓRICO

2.1 Dinámica de Estructuras

El movimiento global de una estructura está definido por el mínimo número de grados de

libertad que posee una estructura (Dyke y col., 2007). A la respuesta dinámica que representa

el movimiento global de la estructura también se le conoce como historia temporal (Dyke y

col., 2007). Esta historia temporal puede referirse al desplazamiento, velocidad o aceleración

con respecto al tiempo.

2.2 Sistemas Lineales de Un Grado de Libertad (UGL)

Para desarrollar la ecuación de movimiento de una estructura de UGL, se usará el edificio de

cortante de un nivel mostrado en la Fig. 2.1. La rigidez a flexión de la cubierta se asume

infinita respecto a la rigidez de las columnas; el módulo elástico, E, y el momento de inercia,

I, para los elementos del marco, son EIb y EIc para la cubierta y las columnas

respectivamente. El grado de libertad de la estructura se define por el desplazamiento lateral

x de la cubierta (Dyke y col., 2007).

x(t)

EIb → ∞

EIc

EIc

L

H

m

c

Figura 2.1 Estructura de un grado de libertad

21

2.2.1 Ecuación de movimiento de sistemas de UGL

La estructura de la Fig. 2.1 se puede representar con el modelo masa-resorte de la Fig. 1.2.

En este modelo, la rigidez de las columnas se representa por el resorte k, el amortiguamiento

del marco se representa por el amortiguador c y la masa de la cubierta es representada por la

masa m del bloque.

La Fig. 2.2 muestra el diagrama de cuerpo libre del modelo masa-resorte. Las fuerzas

en el diagrama son la fuerza de inercia fI(t), la del amortiguador fD(t), la del resorte fS(t) y la

carga dinámica externa P(t) sobre la estructura. Las tres primeras fuerzas se definen como:

𝑓𝐼 = 𝑚ẍ (2.1)

𝑓𝐷 = 𝑐ẋ (2.2)

𝑓𝑆 = 𝑘𝑥 (2.3)

donde ẋ representa la primer derivada del desplazamiento respecto al tiempo (velocidad) y ẍ

representa la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo (aceleración).

Sumando estas fuerzas se tiene:

+ 𝐹𝑥 = 0: 𝑃 𝑡 − 𝑓𝐼 − 𝑓𝐷 − 𝑓𝑆 = 0 (2.4)

La Ec. (2.4) puede quedar como:

𝑓𝐼 + 𝑓𝐷 + 𝑓𝑆 = 𝑃 𝑡 (2.5)

fD P(t)

fI

fS

Figura 2.2 Diagrama de cuerpo libre

22

A su vez, la Ec. (2.5) se puede expresar como

𝑚ẍ + 𝑐ẋ + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡 (2.6)

donde m y k son mayores que cero para un sistema elástico (Dyke y col., 2007). La Ec. (2.6)

describe el movimiento de sistemas lineales de UGL.

En el sistema internacional de unidades (SI), la masa m está en kg, el coeficiente de

amortiguamiento viscoso c en N·s/m, el coeficiente de rigidez k en N/m y la carga dinámica

externa P(t) en N.

La ecuación (2.6) puede escribirse también como:

ẍ + 2𝜉𝜔𝑛ẋ + 𝜔𝑛2𝑥 =

1

𝑚𝑃(𝑡) (2.7)

donde los parámetros ωn y ξ se definen como:

Frecuencia natural angular 𝜔𝑛 = 𝑘

𝑚 , en rad/s (2.8)

Relación de amortiguamiento 𝜉 =𝑐

𝑐𝑐𝑟 (2.9)

donde ccr = 2(mk)1/2

en la Ec. (2.9), y es llamado coeficiente de amortiguamiento crítico,

medido en N·s/m en el sistema SI. Otros parámetros importantes son:

Frecuencia natural 𝑓𝑛 =𝜔𝑛

2𝜋=

𝑘/𝑚

2𝜋 , en Hz (2.10)

Periodo natural 𝑇𝑛 =1

𝑓𝑛=

2𝜋

𝜔𝑛 , en s (2.11)

23

2.2.2 Amortiguamiento viscoelástico de sistemas de UGL

Se dice que una estructura de UGL, como la que se muestra en la Fig. 2.1, posee un

amortiguamiento viscoso lineal si la fuerza de amortiguamiento 𝑐ẋ es proporcional a la

velocidad de deformación (Rosenblueth y col., 1982).

Cuando la relación de amortiguamiento ξ es menor que 1, se dice que la estructura es

subamortiguada, donde ωD = ωn(1- ξ)1/2

= frecuencia natural angular amortiguada. Cuando

ξ ≥ 1, la estructura no oscila y la curva x - t tiende asintóticamente a su estado no deformado.

Si ξ es mayor que 1, la estructura es sobreamortiguada. Cuando ξ = 1, la estructura posee

amortiguamiento crítico (Rosenblueth y col., 1982). Las oscilaciones que experimenta un

sistema de UGL en vibración libre, para diferentes valores de ξ, se muestran es la Fig. 2.3.

Tiempo

Des

pla

zam

ien

to

𝜉 = 0.5 (Subamortiguado) 𝜉 = 0.0

(Oscilación

armónica simple) 𝜉 = 0.1 (Subamortiguado)

𝜉 = 1.0

(Amortiguamiento crítico)

𝜉 = 2.0 (Sobreamortiguado)

2𝜋 / ωn

Figura 2.3 Vibración libre de un sistema de UGL para diferentes valores de ξ (Fuente: De la Cruz, 2003)

24

2.2.3 Respuesta de los sistemas de UGL ante aceleraciones horizontales del suelo

Comúnmente, la intensidad de un sismo se expresa como una aceleración máxima del suelo,

facilitando al ingeniero estructural calcular las fuerzas de inercia. Esta relación se basa en

numerosos estudios entre las intensidades de la escala de Mercalli Modificada (MM) y las

aceleraciones máximas del suelo. Pero en realidad, la aceleración máxima del suelo es sólo

uno de los factores que afectan la intensidad del sismo. Otros factores son la duración y el

contenido de frecuencias del movimiento del suelo. Es decir, diferentes sismos con una

misma aceleración máxima del suelo pueden tener diferente poder destructivo. El peligro

más grande de un sismo se debe principalmente a los picos máximos de velocidad y

aceleración, particularmente en estructuras más flexibles. Para estructuras rígidas, la

intensidad MM o algunas aceleraciones del suelo, ambas pueden llegar a ser relevantes en la

respuesta estructural (Paulay y col., 1992).

La respuesta inercial de la estructura produce un desplazamiento relativo a la base de

la misma. El principio de D’Alembert, del equilibrio dinámico, establece que la fuerza de

inercia es proporcional a la aceleración de la masa, y siempre será balanceada por una fuerza

opuesta de igual magnitud, que para el caso de una estructura de UGL, ésta es la suma de la

fuerza por flexión y la fuerza por amortiguamiento (Paulay y col., 1992).

La fuerza de inercia de respuesta es m(ẍ + ẍg), donde (ẍ + ẍg) representa la

aceleración lateral absoluto de la masa (Fig. 2.4). La fuerza debida a la flexión de la

estructura es kx, donde k es la rigidez de la estructura. La fuerza debida al amortiguamiento

es cẋ, asumiendo un amortiguamiento viscoso lineal, donde c es un coeficiente de

amortiguamiento con unidades de fuerza por unidad de velocidad (Paulay y col., 1992).

25

Entonces, el principio de D’Alembert establece que

𝑚 ẍ + ẍ𝑔 + 𝑐ẋ + 𝑘𝑥 = 0 (2.12)

La Ec. (2.12) puede expresarse como

𝑚ẍ + 𝑐ẋ + 𝑘𝑥 = −𝑚ẍ𝑔 (2.13)

La Ec. (2.13) representa el movimiento de un sistema de UGL, sujeto a cargas de

sismo (Paulay y col., 1992). En esta ecuación, la carga dinámica externa debida al sismo es

representada por -mẍg, donde m es la masa de cubierta de la estructura, y ẍg es la aceleración

que experimenta el suelo durante un sismo.

La Ec. (2.13) puede escribirse también como

ẍ + 2𝜉𝜔𝑛ẋ + 𝜔𝑛2𝑥 = −ẍ𝑔 (2.14)

y queda en función de la frecuencia fundamental ωn de la estructura.

m

xg

x y

x 0

Figura 2.4 Desplazamiento lateral absoluto de una masa respecto al origen (Fuente: Chopra, 1995)

26

2.3 Sistemas Lineales de Varios Grados de Libertad (VGL)

Similar a los sistemas lineales de UGL, el edificio mostrado en la Fig. 2.5, presenta dos

grados de libertad, ya que es necesario determinar el desplazamiento x de cada nivel con el

fin de describir el movimiento de toda la estructura (Dyke y col., 2007).

2.3.1 Idealización de sistemas de VGL

La contribución de las instalaciones y de los elementos no estructurales en la rigidez lateral

de una estructura es imprecisa, además, la rigidez de entrepisos y cubierta puede considerarse

como infinitamente grande comparada con la rigidez de las columnas. También, la

deformación axial de los miembros puede ser incierta, debido a los efectos de segundo orden

de las fuerzas axiales sobre la rigidez de las columnas. De este modo, la rigidez global de la

estructura es debida completamente a la rigidez de las columnas (Chopra, 1995).

El número de grados de libertad para un modelo idealizado como el que se muestra en

la Fig. 2.6, es igual al número de pisos N, de tal modo que el movimiento de cada piso es

definido por su propio desplazamiento horizontal. De otro modo, si el edificio no es

simétrico, es decir, si existen excentricidades entre los centros de masa y rigidez, su

P (t)

k, c

P (t)

k, c

m

k, c

m

k, c

x

k,

c x

k,

c

m1

k, c

m2

k, c x1

k,

c

x2

k,

c

x1

x2 P2(t)

m2

m1

Figura 2.5 Estructura de dos niveles (2 grados de libertad)

P1(t)

27

comportamiento dinámico no puede ser descrito por un modelo en dos dimensiones, pero sí

por un modelo en 3D con 3 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales y un

movimiento de torsión (Paz, 1992).

En esta idealización, se asume que la masa se distribuye a través de todo el edificio,

pero puede ser tratada como masas concentradas en cada piso. La suma de todas estas masas

comprende la masa total de la estructura, desde el piso más alto al piso más bajo, incluyendo

las instalaciones y los elementos no estructurales, así como un porcentaje de las cargas

variables. Las masas en cada piso contribuyen solamente al movimiento horizontal de cada

uno, y cada una está unida rígidamente al marco (Paulay y col., 1992).

Por otro lado, es difícil determinar el amortiguamiento de una estructura de VGL, por

ello, se considera que el amortiguamiento es proporcional a la velocidad de deformación, es

decir, un amortiguamiento viscoso lineal. Esto proporciona soluciones coherentes a

problemas reales. El amortiguamiento absoluto del sistema depende de los efectos que ejerce

Hi

HN

Hi +1

H1

Figura 2.6 Estructura idealizada de varios grados de libertad

Vigas rígidas

28

el amortiguamiento relativo de cada masa dentro del sistema (De la Cruz, 2003). La

idealización del amortiguamiento relativo, c, de cada masa se muestra en la Fig. 2.7.

2.3.2 Ecuaciones del movimiento de sistemas de VGL

Asumiendo un sistema idealizado como se explicó en la sección 2.3.1, es posible establecer

las ecuaciones del movimiento para sistemas con más de un grado de libertad, considerando

los diagramas de cuerpo libre de las masas y escribiendo las ecuaciones de equilibrio

dinámico para cada una de éstas. En la Fig. 2.8 se muestra un edificio de tres pisos, donde

m1, m2 y m3 son las masas correspondientes a cada uno de los pisos de la estructura mostrada;

c1, c2 y c3 son los coeficientes de amortiguamiento; y k1, k2 y k3 son la rigidez de cada piso.

Además, P1(t) y P2(t) y P3(t) son las fuerzas dinámicas laterales actuando sobre las masas. La

Fig. 2.9 muestra el modelo equivalente de la estructura mostrada en la Fig. 2.8, y la Fig. 2.10

muestra los diagramas de cuerpo libre de las tres masas en equilibrio dinámico.

PN (t) mN

cN

ci +1

ci

c1

Vigas rígidas Vigas rígidas

Figura 2.7 Amortiguamiento relativo en cada piso de la estructura

HN

Hi +1

Hi

H1

Pi +1 (t)

Pi (t)

P1(t)

mi +1

mi

m1

29

c2

x3

c3

k3 k2 k1

x1

c1

m2

P3(t)

x2

m1 m3

Figura 2.9 Modelo equivalente de un edificio de 3 pisos

V2=12𝐸𝐼2

𝐻23 Δ2

V2

M2

M2=6𝐸𝐼2

𝐻22 Δ2

Δ2

H2

Figura 2.8 Edificio de varios pisos (VGL) idealizado como un edificio de cortante

H3

H2

H1

(b) Fuerzas en una columna deformada

(a) Idealización de un edificio de cortante

P1(t)

P2(t)

P3(t) m3

m2

m1

30

Estas ecuaciones pueden ser escritas como:

m1ẍ1 + (c1 + c2) ẋ1 – c2 ẋ2 + (k1 + k2) x1 – k2 x2 = P1(t ) (2.15)

m2ẍ2 – c2 ẋ1 + (c2 + c3) ẋ2 – c3 ẋ3 – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = P2(t ) (2.16)

m3ẍ3 – c3 ẋ2 + c3 ẋ3 – k3 x2 + k3 x3 = P3(t ) (2.17)

y éstas pueden reescribirse en forma de matriz como:

𝐌ẍ + 𝐂ẋ + 𝐊𝐱(𝑡) = 𝐏(𝑡) (2.18)

donde

M =

𝑚₁ 0 00 𝑚₂ 00 0 𝑚₃

= matriz de masa

C =

𝑐₁ + 𝑐₂ −𝑐₂ 0−𝑐₂ 𝑐₂ + 𝑐₃ −𝑐₃

0 −𝑐₃ 𝑐₃ = matriz de amortiguamiento

K =

𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂ 0−𝑘₂ 𝑘₂ + 𝑘₃ −𝑘₃

0 −𝑘₃ 𝑘₃ = matriz de rigidez

k2 (x2 – x1)

P1(t)

k3 (x3 – x2) c3 (ẋ3 – ẋ2)

c2 (ẋ2 – ẋ1)

k1x1 c1ẋ1

m1ẍ1

m2ẍ2

m3ẍ3 P3(t)

P2(t)

Figura 2.10 Fuerzas dinámicas que actúan sobre las tres masas

31

x(t) =

𝑥₁(𝑡)

𝑥₂(𝑡)𝑥₃(𝑡)

= vector de desplazamiento

ẋ =

𝑥 ₁(𝑡)𝑥 ₂(𝑡)𝑥 ₃(𝑡)

= vector de velocidad

ẍ =

𝑥 ₁(𝑡)𝑥 ₂(𝑡)𝑥 ₃(𝑡)

= vector de aceleración

P(t) =

𝑃₁(𝑡)𝑃₂(𝑡)𝑃₃(𝑡)

= vector de fuerza externa

Debe notarse que la matriz de masa es una matriz diagonal. Los elementos de la

matriz de rigidez son llamados coeficientes de rigidez. En general el coeficiente de rigidez kij,

se define como la fuerza en la coordenada i cuando la coordenada j se desplaza una unidad,

mientras que todas las otras coordenadas permanecen fijas. Por ejemplo, el coeficiente de la

segunda fila y de la segunda columna de la matriz de rigidez, k22 = k2 + k3, es la fuerza

requerida en el segundo piso del edificio cuando éste piso se desplaza una unidad (Paz,

1992).

La Ec. (2.18) puede quedar en función de la frecuencia fundamental ωn de la

estructura como

ẍ + 2𝜉𝜔𝑛ẋ + 𝜔𝑛2𝐱 = 𝐌−𝟏𝐏(𝑡) (2.19)

32

2.3.3 Respuesta de los sistemas de VGL ante aceleraciones horizontales del suelo

La ecuación que define el movimiento de un sistema de VGL ante aceleraciones horizontales

del suelo es:

𝐌ẍ + 𝐂ẋ + 𝐊𝐱 𝑡 = −𝐌𝐫ẍ𝑔(𝑡) (2.20)

donde -Mrẍg(t) representa el vector de fuerza externa P(t), r es un vector columna con todos

sus elementos iguales a la unidad (r = 1), M es la matriz de masa y ẍg(t) es el acelerograma

que define la acción sísmica en la base del edificio.

r =

11:𝑛

= vector unitario

donde n es el número de grados de libertad del edificio. Por lo tanto, el vector que resulta de

–Mrẍg(t) tiene la forma

–Mrẍg(t) =

𝑚₁𝑥 𝑔𝑚₂𝑥 𝑔

:𝑚𝑛𝑥 𝑔

= vector de fuerza externa

La Ec. (2.20) puede quedar en función de la frecuencia fundamental ωn de la

estructura como

ẍ + 2𝜉𝜔𝑛ẋ + 𝜔𝑛2𝐱 = −𝐫ẍ𝑔(𝑡) (2.21)

33

2.3.4 Frecuencias naturales y modos normales de los sistemas de VGL

Cuando una estructura no está sometida a una excitación externa en su base, y su movimiento

está gobernado solamente por las condiciones iniciales, se considera que está en vibración

libre (Paz, 1992). Existen circunstancias en las que es necesario determinar el movimiento de

la estructura en condiciones de vibración libre, ya que la estructura en movimiento libre

proporciona las propiedades dinámicas más importantes de la estructura, que son las

frecuencias naturales de vibración y los correspondientes modos normales de deformación

de la estructura (Paz, 1992).

El problema de vibración libre requiere que el vector de fuerza P(t) sea igual a cero en

cualquiera de las formulaciones de las ecuaciones del movimiento.

El movimiento de un sistema sin amortiguación en vibración libre es gobernado por

un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas (Paz, 1992). En notación matricial es

𝐌ẍ + 𝐊𝐱 𝑡 = 0 (2.22)

La Ec. (2.22), para la vibración libre de una estructura sin amortiguación, admite

soluciones compatibles con un movimiento sin fuerzas exteriores aplicadas, de la forma

𝑥(𝑡)𝑖 = 𝜙𝑖sen(𝜔𝑡 − 𝛼) (2.23)

donde i = 1,2,…,n

o usando notación vectorial la Ec. (2.23) puede quedar como

𝐱(𝑡)𝑖 = 𝝓 sen(𝜔𝑛𝑡 − 𝛼) (2.24)

34

donde ϕ es un vector formado por las amplitudes de los movimientos de la coordenada i, y n

es el número de grados de libertad. Sustituyendo la Ec. (2.24) en la Ec. (2.22) se obtiene

𝐊 − 𝜔𝑛2𝐌 𝝓 = 0 (2.25)

La Ec. (2.25) corresponde a un problema de obtención de autovalores y autovectores.

Para encontrar soluciones no trivales debe cumplirse que el determinante de la matriz de

coeficientes K – ωn2M, sea igual a cero (Sáez, 2011), en este caso,

ǀ 𝐊 − 𝜔𝑛2𝐌 ǀ = 0 (2.26)

Por ejemplo, para un sistema de dos GL (dos pisos), la Ec. (2.26) puede quedar de la

siguiente forma

𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₂ = 0 (2.27)

y el determinante es

𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₂ − (−𝑘₂) −𝑘₂ = 0 (2.28)

reduciendo la ecuación anterior queda

𝑚₁𝑚₂ 𝜔𝑛⁴ − (𝑘₁𝑚₂ + 𝑘₂𝑚₁ + 𝑘₂𝑚₂)𝜔𝑛² + (𝑘₁𝑘₂) = 0 (2.29)

La Ec. (2.29) resulta ser una ecuación algebraica de grado 2 de la incógnita ωn2, la

cual satisface para 2 valores de ωn2. Esta ecuación es conocida como ecuación característica

del sistema. Para cada valor de ωn2 que satisface la Ec. (2.29), podemos resolver la Ec. (2.25)

para encontrar las amplitudes ϕ1, ϕ2,…, ϕn del vector ϕ, también conocido como vector de

formas modales. Los valores de ωn se refieren a cada frecuencia natural (ωn1 y ωn2 para el

35

sistema de dos GL) correspondiente a cada modo normal (también llamado forma modal de

deformación de la estructura). Las amplitudes ϕ1, ϕ2,…, ϕn representan una constante de

proporcionalidad arbitraria, y para el sistema de dos GL se expresan como

ϕ = 𝜙1

𝜙2 = vector de formas modales

y la matriz de vectores de formas modales, correspondientes a cada frecuencia natural, se

expresa como

Φ = 𝜙11 𝜙12

𝜙21 𝜙22 = matriz de vectores modales

Posteriormente, la normalización de Φ se realiza dividiendo los valores de ϕ11 y ϕ21 entre

α = (m1 ϕ112 + m2 ϕ21

2)1/2

, del mismo modo, se dividen los valores de ϕ12 y ϕ22 entre

β = (m1 ϕ122 + m2 ϕ22

2)1/2

.

Para las frecuencias naturales ωn1 y ωn2, correspondientes a cada una de las formas

modales de deformación de la estructura de dos GL, se determina los periodos propios de la

estructura.

A la menor de las frecuencias del sistema se le denomina frecuencia fundamental, y

tiene asociado el periodo fundamental de vibración de la estructura (Sáez, 2011)

𝑇 =2𝜋

𝜔𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 , en s (2.30)

2.3.5 Movimiento amortiguado de los sistemas de VGL

Para esta sección, se consideran términos adicionales en las ecuaciones diferenciales del

movimiento debido a las fuerzas de amortiguamiento.

36

La amortiguación que normalmente existe en una estructura es relativamente pequeña

y prácticamente no afecta el cálculo de las frecuencias naturales y los modos normales. Por lo

tanto, el efecto de la amortiguación se desprecia cuando se determinan las frecuencias

naturales y los modos normales de sistemas estructurales (Paz, 1992). En consecuencia, en la

práctica, el problema característico de una estructura amortiguada se resuelve omitiendo la

amortiguación y usando los mismos métodos empleados en las estructuras sin amortiguación.

2.3.5.1 Ecuaciones del movimiento amortiguado

El movimiento de un sistema amortiguado es gobernado por el sistema de ecuaciones

diferenciales homogéneas de la Ec. (2.18), en la que las matrices y vectores han sido

definidos previamente. Para el ejemplo de un sistema de dos GL, la matriz de

amortiguamiento es

C = 𝑐₁ + 𝑐₂ −𝑐₂−𝑐₂ 𝑐₂

2.3.5.2 Ecuaciones desacopladas con amortiguación

Para resolver las ecuaciones diferenciales de la Ec. (2.18), se procederá a desacoplarlas. Con

este objetivo se introduce la siguiente transformación de coordenadas (Paz, 1992):

𝐱 = 𝚽 𝐳 (2.31)

donde Φ es la matriz de vectores modales (matriz modal), obtenida en la solución del sistema

en vibración libre sin amortiguación. La aplicación de la Ec. (2.31) y sus derivadas en la Ec.

(2.18) conduce a

𝐌𝚽𝐳 + 𝐂𝚽𝐳 + 𝐊𝚽𝐳(𝑡) = 𝐏(𝑡) (2.32)

37

Premultiplicando la Ec. (2.32) por el vector modal de orden n transpuesto, ϕnT queda

𝝓𝑛𝑇𝐌𝝓𝐳 + 𝝓𝑛

𝑇𝐂𝝓𝐳 + 𝝓𝑛𝑇𝐊𝝓𝐳(𝑡) = 𝝓𝑛

𝑇𝐏(𝑡) (n = 1, 2, 3,.., N) (2.33)

en la cual N es el número total de modos del sistema. Se debe notar que la propiedad de

ortogonalidad de los modos normales (Paz, 1992),

𝝓𝑛𝑇𝐌𝝓𝑚 = 0 m ≠ n (2.34)

𝝓𝑛𝑇 𝐊𝝓𝑚 = 0 m ≠ n (2.35)

hace que todos los componentes del primero y tercer términos de la Ec. (2.33) se anulen,

excepto el modo de orden n. Análogamente, si suponemos que

𝝓𝑛𝑇𝐂𝝓𝑚 = 0 m ≠ n (2.36)

el coeficiente del término de amortiguación de la Ec. (2.33) se reduce a

𝝓𝑛𝑇𝐂𝝓𝑛 .

En este caso, la Ec. (2.33) puede ser escrita como (Paz, 1992)

𝑚𝑛𝑧 𝑛 + 𝑐𝑛𝑧 𝑛 + 𝑘𝑛𝑧𝑛 = 𝑃𝑛(𝑡) (n = 1, 2, 3,.., N) (2.37)

o alternativamente como

𝑧 𝑛 + 2𝜉𝑛𝜔𝑛𝑧 𝑛 + 𝜔𝑛²𝑧𝑛 = 𝑃𝑛(𝑡)/𝑚𝑛 (2.38)

de modo que se tendrían las siguientes ecuaciones:

𝑚𝑛 = 𝝓𝑛𝑇𝐌𝝓𝑛 (2.39a)

𝑐𝑛 = 𝝓𝑛𝑇 𝐂𝝓𝑛 = 2𝜉𝑛𝜔𝑛𝑚𝑛 (2.39b)

𝑘𝑛 = 𝝓𝑛𝑇 𝐊𝝓𝑛 = 𝜔𝑛²𝑚𝑛 (2.39c)

38

𝑃𝑛(𝑡) = 𝝓𝑛𝑇 𝐏(𝑡) (2.39d)

En resumen, para desacoplar las ecuaciones de un sistema con amortiguación deben

cumplirse las condiciones de ortogonalidad, Ec. (2.34) y (2.35). Para cualquier modo n, el

amortiguamiento modal viene dado por la Ec. (2.39b), esto es

𝑐𝑛 = 𝝓𝑛𝑇 𝐂 𝝓𝑛 = 2𝜉𝑛𝜔𝑛𝑚𝑛

donde el amortiguamiento modal, cn, representa un componente diagonal de la matriz de

amortiguamiento modal, C*, la cual puede escribirse en forma matricial de la siguiente

manera (Chopra, 1995):

𝐂∗ = 𝚽𝑇 𝐂 𝚽 = 2𝜉1𝜔𝑛1

𝑚1 0

0 2𝜉2𝜔𝑛2𝑚2

para un sistema de 2 GL (2.40)

en la cual, las masas modales m1 y m2 son iguales a la unidad siempre que la matriz modal Φ

haya sido normalizada (Paz, 1992).

La primer frecuencia, ωn1, es la menor de las frecuencias; la segunda frecuencia, ωn2,

es mayor que ωn1 pero menor que ωni. Las relaciones de amortiguamiento, ξ1 y ξ2, son

estimados en función al tipo y condición de la estructura.

La matriz de amortiguamiento, C, para un sistema amortiguado, puede reescribirse en

forma matricial como

𝐂 = (𝚽𝑇)−1 𝐂∗ 𝚽−𝟏 (2.41)

Por ejemplo, para un sistema de 2 GL, la matriz de amortiguamiento es

𝐂 = 𝑐11 𝑐12

𝑐21 𝑐22

donde debe cumplirse que c12 = c21.

39

2.3.5.3 Estimación de la relación de amortiguamiento modal

Lo ideal es determinar experimentalmente las propiedades de la estructura, incluyendo su

amortiguamiento, pero rara vez se hace esto por falta de presupuesto y tiempo. Para un nuevo

diseño estructural, su amortiguamiento y otras propiedades no podrían ser medidos. La

relación de amortiguamiento modal para una estructura puede estimarse tomando el dato de

una estructura similar.

Idealmente, podríamos tomar el dato de amortiguamiento de un registro de respuesta

dinámica de algún tipo de estructura (edificios, puentes, presas, etc.), y tipo de materiales de

construcción (acero, concreto reforzado, concreto preesforzado, mampostería, madera, etc.).

Los valores recomendados de relación de amortiguamiento, según expertos, se muestran en la

tabla 2.1 (Chopra, 1995) para dos niveles de movimiento: a niveles de esfuerzo de trabajo y a

niveles de esfuerzo no mayores que la mitad del límite de fluencia. Los valores altos de

amortiguamiento son usados para estructuras ordinarias, y los valores bajos para estructuras

especiales. Adicional a la tabla 2.1, se recomiendan valores de amortiguamiento del 3% para

estructuras de mampostería sin refuerzo y 7% para construcciones de mampostería reforzada

(Chopra, 1995).

Muchos códigos de construcción manejan implícitamente un 5% para la relación de

amortiguamiento, en los códigos de especificaciones de fuerzas de sismo y espectro de

diseño (Chopra, 1995).

Los valores recomendados de la tabla 2.1 pueden ser usados directamente para el

análisis de sistemas lineales en el rango elástico.

40

Nivel de Esfuerzo

Tipo y Condición de la Estructura Relación de

Amortiguamiento (%) Esfuerzo de

trabajo, no mayor que 1/2

del Límite de Fluencia

Acero soldado, Concreto preesforzado, Concreto reforzado (sólo grietas leves)

2-3

Concreto reforzado con grietas considerables 3-5

Acero atornillado o remachado, estructura de madera con uniones atornilladas o clavadas

5-7

En o justamente debajo del Límite

de Fluencia

Acero soldado, Concreto preesforzado, (Pérdida completa de preesforzado)

5-7

Concreto preesforzado sin pérdida de preesforzado, Concreto reforzado

7-10

Acero atornillado o remachado, estructura de madera con uniones atornilladas

10-15

Estructura de madera con uniones clavadas 15-20

Tabla 2.1 Amortiguamiento recomendado (Fuente: Chopra, 1995)

2.4 Análisis Estructural en Sistemas Lineales: Rango Elástico

Una estructura que resiste, con poco o ningún daño, las cargas laterales (sísmicas o de viento)

que pudieran ocurrir durante la vida de ésta, es capaz de evitar colapso o falla que pudiera

ocasionar daños materiales mayores o pérdida de vidas (Rosenblueth y col., 1982).

Una estructura con un comportamiento elástico permite desarrollar mejor las

características mencionadas anteriormente, ya que la deformación elástica permite a la

estructura global regresar a su estado normal sin haber ocurrido daño alguno en la misma. El

comportamiento inelástico de una estructura debe depender del nivel de importancia de la

misma, es decir, existen estructuras destinadas a dar servicio a una gran cantidad de personas,

por lo tanto, este tipo de estructuras permitirán una deformación inelástica menor que la que

permitiría un edificio de apartamentos.

Un análisis de la respuesta estructural ante movimientos sísmicos debería considerar

tantas componentes en movimiento del terreno como grados de libertad tenga la base: seis

41

para una base rígida, gran cantidad para cimentaciones flexibles, presas, puentes, etc. Sin

embargo, los instrumentos estándar de movimiento fuerte no registran los componentes

rotacionales del movimiento del terreno. Para estudiar los posibles efectos del movimiento

del terreno en la respuesta estructural, las rotaciones del terreno y las variaciones en

movimientos de traslación se analizan por medio de idealizaciones del movimiento del

terreno. Generalmente el análisis considera no más de tres componentes de traslación del

terreno: dos horizontales y una vertical (Rosenblueth y col., 1982).

En particular, cuando la estructura se asienta en un terreno rígido, los fenómenos de

interacción suelo-estructura son despreciables. Las frecuencias propias de la estructura no se

ven alteradas por su interacción con el suelo (Sáez, 2011).

En el análisis tridimensional de un edificio usualmente se analizan modelos

bidimensionales separados en direcciones ortogonales para una componente del movimiento

del terreno; actualmente se han desarrollado programas de computadora para llevar a cabo

tales análisis.

Por otra parte, el análisis bidimensional puede no ser siempre razonable, aún para

edificios con centros de masa y rigidez casi coincidentes, ya que puede surgir un fuerte

acoplamiento entre los movimientos laterales en dos direcciones ortogonales y los

movimientos torsionales si las primeras frecuencias naturales del terreno entre ambos

componentes son casi iguales, o debido a efectos inelásticos asimétricos considerables. En un

modelo empleado tomando en cuenta estos efectos de acoplamiento, con un mismo esfuerzo,

el edificio se idealiza como un conjunto de marcos planos conectados por diafragmas de

piso, sin ajustar la compatibilidad por desplazamientos verticales y rotacionales en juntas

42

comunes a dos o más marcos. Este modelo puede emplearse para edificios con diafragmas de

piso lo suficientemente rígidos respecto a los elementos verticales del sistema estructural que

resiste la fuerza lateral, y donde los acortamientos axiales de columnas y la falta de

compatibilidad en juntas comunes a dos o más marcos no sean factores de importancia en la

respuesta (Rosenblueth y col., 1982).

43

3 HIPÓTESIS

Las estructuras a escala ofrecen una respuesta dinámica muy aproximada a la de las

estructuras reales, siempre que las primeras posean el mismo periodo fundamental de

vibración y amortiguamiento de las estructuras reales.

44

4 MATERIALES Y MÉTODOS

4.1 Visita Preliminar

Se realizará una visita preliminar en el municipio del Valle de Juárez, Chihuahua,

previamente identificada como la zona en la que se registró actividad sísmica recientemente,

con motivo de la elaboración de las tareas de reconocimiento. Con la finalidad de conocer el

tipo de estructuras locales así como los materiales de construcción que las constituyen.

4.2 Reconocimiento de las Estructuras Locales

Se realizará un sondeo del tipo de materiales que constituyen las estructuras de la zona, para

fines de elaborar los modelos a escala con las propiedades estructurales de los edificios de

una y dos plantas.

4.3 Determinación de las Propiedades Dinámicas de Edificios

En base a los materiales de construcción que constituyen a los elementos estructurales de los

edificios locales, y en base a métodos matemáticos y empíricos, se estimarán las propiedades

dinámicas de los modelos, tales como el periodo fundamental de la estructura, coeficiente de

amortiguamiento, módulo elástico de columnas, muros y techo, y rigidez efectiva.

4.3.1 Periodo fundamental de vibración

El periodo fundamental (amortiguado) de la estructura se estimará de acuerdo al Reglamento

de Construcción del Municipio de Juárez de la siguiente manera:

45

1) Para edificios con muros de cortante o marcos exteriores de concreto compuestos por

vigas de gran peralte y/o columnas muy anchas:

𝑇𝐷 =0.0960𝐻

𝐷 , en s (4.1)

donde H es altura promedio en metros hasta el techo del edificio, y D la dimensión en metros

de la estructura en dirección paralela a la aplicación de la fuerza del sismo.

2) Para edificios con muros de cortante aislados no interconectados por marcos o marcos

arriostrados:

𝑇𝐷 =0.0960𝐻

𝐷𝑠 , en s (4.2)

donde Ds es la dimensión en metros del muro de cortante mayor.

3) Para edificios que cuentan con un sistema resistente a fuerzas laterales, que consista

exclusivamente de marcos en el espacio que no interaccionen con elementos más rígidos que

tiendan a soportar las cargas laterales:

𝑇𝐷 = 2.44𝐶𝑡(𝐻)3/4 , en s (4.3)

donde Ct = 0.035 para estructuras de acero, y Ct = 0.030 para estructuras de concreto.

4.3.2 Frecuencia natural angular

Se determinará la frecuencia natural angular (amortiguada), correspondiente al periodo

fundamental de la estructura, mediante la siguiente relación obtenida de la Ec. (2.11)

𝜔𝐷 =2𝜋

𝑇𝐷 , en rad/s

46

Se asume que el edificio analizado representa una estructura subamortiguada, es

decir, que cuenta con una relación de amortiguamiento 𝜉 < 1, donde ωD = ωn (1 – 𝜉 2 )1/2

.

La frecuencia natural de vibración amortiguada ωD es el efecto de la disminución de

la frecuencia natural no amortiguada ωn, pero este efecto es insignificante para relaciones de

amortiguamiento menores al 20% (Fig. 4.1), rango que incluye a la mayoría de las

estructuras (Chopra, 1995).

Para el análisis de las propiedades de la estructura se considera que 𝜉 < 20%, donde

(1 – 𝜉 2 )1/2

≈ 1, por lo tanto ωD = ωn.

4.3.3 Coeficiente de amortiguamiento en vibración libre

El coeficiente de amortiguamiento c es una medida de la disipación de energía en un ciclo

durante la vibración libre o forzada, y puede determinarse a partir de la relación de

amortiguamiento de la ecuación (2.9). La relación de amortiguamiento es una medida

Relación de amortiguamiento ξ

Rango de amortiguamiento para la mayoría de las estructuras

Figura 4.1 Efecto del amortiguamiento sobre la frecuencia natural de vibración (Fuente: Chopra, 1995)

47

correspondiente a una fracción del coeficiente de amortiguamiento crítico, y es también una

propiedad que depende de la masa y rigidez del sistema (Chopra, 1995).

La relación de amortiguamiento, se determina a partir de dos picos sucesivos de la

vibración libre amortiguada (Fig. 4.2). El periodo de vibración TD de un ciclo completo es

independiente del tiempo t. Por lo tanto, la relación entre dos picos sucesivos está dada por la

siguiente igualdad (Chopra, 1995):

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑇𝑑) = exp(ξ ωn Td) = exp

2𝜋𝜉

1−𝜉2 (4.4)

donde x es el pico máximo de un ciclo consecutivo. La igualdad anterior también puede

expresarse como

𝑥𝑖

𝑥𝑖+1 = exp

2𝜋𝜉

1−𝜉2 (4.5)

por lo tanto, la relación de amortiguamiento se expresa como

𝜉 =𝐿𝑛

𝑥𝑛𝑥𝑛+1

4𝜋2+𝐿𝑛 𝑥𝑛

𝑥𝑛+1

2 (4.6)

x1 x

x2

x3 x4

Figura 4.2 Vibración libre amortiguada (Fuente: Chopra, 1995)

48

Por otro lado, la constante de amortiguamiento se calcula con la expresión

c = 2ξ (mk)1/2 que se deriva de la Ec. (2.9).

Porque no es posible determinar analíticamente la relación de amortiguamiento ξ para

las estructuras prácticas, es una propiedad difícil de encontrar que debería determinarse

experimentalmente. Los experimentos de vibración libre proveen una manera de determinar

el amortiguamiento (Chopra, 1995). De este modo, los ensayos sobre prototipos de uno y dos

pisos pueden efectuarse en equipos como mesa vibratoria (Fig. 4.3a) y aparato universal de

vibraciones (Fig. 4.3b). Estos ensayos proporcionan un registro de la vibración libre del

modelo ensayado, como se muestra en la Fig. 4.4.

a) Fotografía de un marco de aluminio montado b) Aparato universal de vibraciones del

sobre una mesa vibratoria usada para experimentos laboratorio de estructuras de la UACJ

en el laboratorio de estructuras de la UACJ

Figura 4.3 Equipos de experimentación para vibraciones libres

49

4.3.4 Masa concentrada de cada piso

La masa concentrada de cada piso se determina mediante las cargas vivas y muertas

correspondientes. Las cargas muertas corresponden al peso del techo (losa de concreto) más

el peso de las instalaciones y elementos no estructurales que influyan en el movimiento

horizontal de cada piso. Por otro lado, las cargas vivas corresponden al peso de las personas

que habitan cada piso del edificio.

Las cargas muertas del techo se determinarán con el peso específico del material de

construcción y las dimensiones del mismo, mediante la expresión PD = ϒmaterial × Volumen.

4.3.5 Rigidez efectiva de la estructura

La relación entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo x está asociada con la deformación

en la estructura. Esta relación fuerza-deformación puede ser lineal para pequeñas

deformaciones, pero puede llegar a ser no lineal para deformaciones grandes. Para sistemas

linealmente elásticos se considera que fS = kx, asumiendo que la relación fS - x es aplicable

tanto para pequeñas deformaciones de la estructura como para grandes deformaciones

(Chopra, 1995).

Tiempo, segundos

Ace

lera

ció

n,

g

Figura 4.4 Registro de vibración libre del marco de aluminio

50

Considerando una estructura idealizada en un marco (Fig. 4.5), con ancho L, altura

H, módulo elástico E, y momento de inercia Ib y Ic para la viga y las columnas

respectivamente. Las columnas se consideran empotradas en la base. La rigidez lateral del

marco puede ser determinada para dos casos: 1) si la viga es infinitamente rígida (donde

EIb = ∞) y 2) si la viga no tiene rigidez (donde EIb = 0). Para el análisis se va a considerar

que la viga es infinitamente rígida, entonces, la rigidez lateral del marco es

k = 12𝐸𝐼𝑐

𝐻3𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 = 24𝐸𝐼𝑐

𝐻3 (4.7)

Para sistemas inelásticos, la relación fuerza-deformación experimenta deformaciones

cíclicas. Lo cual implica que la fuerza fs correspondiente a la deformación x no es sólo un

valor, y depende de los incrementos y decrementos de velocidad. Así, la fuerza resistida

puede ser expresada como fS = fS (x, ẋ). El interés por estudiar la respuesta dinámica de

sistemas inelásticos es porque muchas estructuras son diseñadas con la expectativa de sufrir

algunos daños, deformaciones y deterioro durante un sismo (Chopra, 1995).

Figura 4.5 Estructura idealizada de un marco con EIb = ∞

x

EIc EIc H

L

EIb = ∞ fS

51

4.3.6 Módulo elástico de los elementos estructurales

El módulo de elasticidad de los materiales que constituyen un elemento estructural, es una

propiedad determinante en su rigidez, así mismo, las rigideces en los elementos estructurales

son determinantes para la rigidez efectiva de la estructura.

El módulo de elasticidad de los elementos que constituyen un edificio de una o dos

plantas, estudiados en este trabajo, puede ser estimarse de dos maneras: una es basados en

estudios sustentados por pruebas de laboratorio, en los que se hayan determinado

experimentalmente las propiedades mecánicas de especímenes, representativos de los

elementos estructurales. La otra forma es a partir del periodo fundamental de la estructura, y

conociendo su geometría general, se puede calcular el módulo elástico por medio de las

ecuaciones que definen el sistema estructural idealizado (Fig. 4.5).

4.4 Diseño Experimental

4.4.1 Calibración de sensores de aceleración

Se propuso realizar ensayos previos en la mesa vibratoria del laboratorio de estructuras de la

UACJ, con el fin de calibrar los dispositivos principales de medición de los cuales se

compone la mesa. Los dispositivos principales identificados son los acelerómetros (sensores

de aceleración), que van posicionados uno en la plataforma de la mesa y otro en cada uno de

los pisos de la estructura ensayada. El proveedor del equipo (QUANSER) sugiere la

calibración de los acelerómetros en el lugar donde van a ser utilizados, y consiste en ajustar

la sensibilidad de estos sensores para generar 1 Voltio por cada 9.807 m/s2 (es decir 1 V/g).

La calibración de fábrica de los acelerómetros comúnmente se ve afectada por las

condiciones externas de humedad y temperatura. Por tal motivo, es necesario ajustar los

52

potenciómetros de ganancia (gain) y de balance (offset) de cada sensor mediante los tornillos

de ajuste tangencial (Fig. 4.6). El potenciómetro de balance (offset) permite ajustar

aproximadamente a cero Voltios con una aceleración nula, y el potenciómetro de ganancia

(gain) ajusta el voltaje por unidad de gravedad (es decir, V/g).

4.4.1.1 Ensayos preliminares

Los ensayos preliminares que permitirán la calibración se realizarán mediante modelos

dinámicos de uno y dos pisos (Fig. 4.7), proporcionados con el equipo de ensayo. Los

modelos dinámicos tienen características específicas de rigidez, amortiguamiento, módulo

elástico, peso y dimensiones, que se tomarán como parámetros de los modelos simulados en

los programas de cómputo, tales como Nonlin y MS-Excel, con el objetivo de comparar los

resultados obtenidos de respuesta dinámica del modelo, contra la respuesta medida en los

acelerómetros del equipo.

Acelerómetro

Conector del acelerómetro

Tornillo de ajuste

tangencial de ganancia

Tornillo de ajuste

tangencial de balance

Figura 4.6 Sensor de aceleración (acelerómetro)

53

La calibración se realizará ajustando los potenciómetros de balance (offset) y de

ganancia (gain) en repetidas ocasiones, hasta lograr que los resultados obtenidos de los

modelos simulados mediante programas de cómputo, coincidan en magnitud con la respuesta

dinámica medida en los acelerómetros del equipo.

4.4.1.2 Determinación de las propiedades de los modelos flexibles de edificios

Los modelos dinámicos cuentan con características específicas, pero es necesario

determinarlas experimentalmente en las condiciones en que van a ser ensayados los modelos.

4.4.1.3 Comparación de resultados con programas de cómputo

Los datos registrados en los acelerómetros como respuesta dinámica de la estructura, serán

graficados y comparados con los que se obtengan en otros programas de cómputo, tales

como Nonlin y rutinas de Excel. Es importante reconocer las propiedades dinámicas de los

modelos a ensayar para poder realizar las simulaciones en los programas de cómputo.

a) Modelo de una planta b) Modelo de dos plantas

Figura 4.7 Modelos flexibles de edificios

54

La comparación se realizará sobreponiendo los gráficos de las dos diferentes fuentes

de datos para realizar la evaluación. Mediante la calibración de los acelerómetros se busca

que los gráficos coincidan en amplitud y frecuencia de vibración.

4.4.1.4 Validación de resultados en mesa vibratoria

Los registros obtenidos de los ensayos en la mesa vibratoria serán validados una vez que los

acelerómetros sean calibrados, lo cual da lugar a ensayos posteriores mediante modelos que

representen estructuras reales, para conocer la influencia de la aceleración del terreno sobre

la resistencia de la estructura.

4.4.2 Elaboración de modelos a escala

Los modelos a escala elaborados serán representativos de edificios locales, de uno y dos

pisos, por medio de los cuales se obtendrá su respuesta dinámica (en aceleración, velocidad y

desplazamiento).

En la elaboración de los modelos se utilizaran materiales que cumplan con las

propiedades determinadas a partir de un análisis de las Ec. (2.8) y (4.7), de donde se obtienen

las siguientes ecuaciones

𝑘 = 2𝜋

𝑇

2

𝑚 (4.8)

𝐸𝑐 =𝑘𝐻3

24𝐼𝑐 (4.9)

donde T es el periodo fundamental de la estructura estimado según los lineamientos de la

sección 4.3.1, y m es la masa estimada de la cubierta del edifico de un nivel. La k representa

la rigidez requerida del marco modelado.

55

En la Ec. (4.9) se asume que el módulo de elasticidad Ec, requerido para las columnas

del marco modelado, es estimado a partir de la rigidez calculada con la Ec. (4.8). La

dimensión H y el momento de inercia Ic pueden ajustarse para determinar las dimensiones de

las columnas del modelo, así como el módulo elástico requerido.

Cabe mencionar que es posible recalcular las propiedades de los modelos a escala, para

aproximar mejor el periodo fundamental del modelo al estimado para la estructura.

4.4.3 Ensayo de modelos sujetos a cargas de sismo

Una vez elaborados los modelos, serán ensayados en la mesa vibratoria para obtener su

respuesta dinámica. El ensayo consiste en montar el modelo sobre la mesa vibratoria e

inducir aceleraciones que representen la actividad sísmica registrada en el Valle de Juárez.

Las aceleraciones representarán los movimientos telúricos registrados en el Valle de

Juárez, para los cuales se realizará un arreglo de datos en formato AT2 que pueda ser

reproducido por la mesa vibratoria. Las aceleraciones serán inducidas desde un ordenador

(computadora) conectado al equipo de vibración, efectuando comandos en el programa

Matlab y ejecutando diagramas controladores desarrollados en Simulink. Estos diagramas

controladores también permiten registrar las aceleraciones en cada piso, mediante los

sensores de aceleración.

4.4.4 Determinación de la respuesta dinámica de las estructuras

Una vez realizados los ensayos de los modelos en la mesa vibratoria, y obtenido su respuesta

dinámica, está representara la respuesta dinámica de la estructura, en aceleración, velocidad y

desplazamiento.

56

La historia temporal de la estructura se representará mediante gráficos que indiquen la

amplitud de la aceleración, velocidad y desplazamiento en cada momento durante la

aplicación de aceleraciones en su base. Esta historia temporal también puede representarse

mediante una tabla con el formato de la Fig. 4.8.

Figura 4.8 Formato de historia temporal

57

5 RESULTADOS

5.1 Determinación de las Propiedades Mecánicas de los Modelos Flexibles

Las propiedades mecánicas se determinaron para cada uno de los marcos que conforman

cada uno de los pisos en los modelos a ensayar, en vibración libre y sujetos a cargas de

sismo.

5.1.1 Masas concentradas de cubierta

La cubierta consiste de una placa de plástico rígido, su geometría se muestra en el anexo B,

además debe considerarse la masa del acelerómetro ya que forma parte de la masa

concentrada en la cubierta. La Fig. 5.1 muestra el acelerómetro montado en la cubierta, así

mismo, muestra las conexiones con tornillos que unen la cubierta con las columnas.

Las masas concentradas de cubierta se determinaron en una báscula con aproximación

de ±1g, las masas obtenidas se muestran en la Tabla 5.1.

Modelo Flexible Cubierta (kg) Acelerómetro (kg) TOTAL (kg) Nivel 1 0.505 0.125 0.630 Nivel 2 0.505 0.125 0.630

Tabla 5.1 Masas concentradas en cada nivel del modelo flexible

Los pesos de los demás elementos que conforman el modelo flexible se muestran en

el anexo A.

Figura 5.1 Cubierta del modelo flexible de un nivel

58

5.1.2 Módulo de elasticidad de columnas

Se determinó experimentalmente la constante de rigidez de las columnas que conforman el

modelo flexible; las columnas son de una aleación de aluminio (5052 Aluminio-16 AWG), y

su geometría es la que se muestra en la tabla 5.2.

Elemento Espesor

(m) Ancho (m)

Altura total (m)

Altura Libre (m)

Área transversal

(m²)

Momento de inercia (m⁴)

Columna 0.00173 0.10800 0.50260 0.47793 1.8684E-04 4.65995E-11

Tabla 5.2 Geometría general de las columnas del modelo flexible

La geometría de los demás elementos que conforman el modelo flexible se muestra en

el anexo B.

Las columnas del modelo flexible de un nivel se muestran en la Fig. 5.2, donde se

observa también la forma de ejecución del experimento para la medición de los

desplazamientos inducidos en una de las columnas al ser sometida a una fuerza externa,

aplicada en el extremo superior a una altura de 47.793 cm, y medida con dinamómetro. Las

Fig. 5.3a y 5.3b muestran el dinamómetro empleado y su escala en Newtons respectivamente.

Figura 5.2 Forma de ejecución del experimento para la medición de desplazamientos en una columna del

modelo flexible

59

Los resultados de las mediciones de fuerza y desplazamiento obtenidas

experimentalmente, mediante mediciones con dinamómetro y vernier digital, se muestran en

la tabla 5.3. En el gráfico de la Fig. 5.4, la pendiente de la línea de tendencia representa la

constante de rigidez de la columna.

Fuerza (N) Desplazamiento x

(m) Fuerza / x (N/m)

0 0 - 1.96 0.03588 54.666 2.00 0.03548 56.370 2.50 0.04355 57.405 2.55 0.04515 56.474 2.94 0.05196 56.622 3.00 0.05255 57.088 3.53 0.06205 56.898 3.92 0.06696 58.584 4.00 0.06795 58.867 4.90 0.08260 59.364

Tabla 5.3 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos en el experimento

Figura 5.3 Dinamómetro empleado para medir la fuerza externa aplicada

a) Dinamómetro

a) Escala en Newtons

60

k Columnas = 57.8381 N/m

La Ec. que determina la constante de rigidez para una columna perfectamente

empotrada es (Paz, 1992)

𝑘 =3𝐸𝐼

𝐻3

de donde el Modulo de elasticidad de la columna es

𝐸 =𝑘𝐻3

3𝐼

donde k = 57.8381 N/m, H = 0.47793 m (longitud donde se aplicó la carga), I = 4.65995E-11

m4.

E Columnas = 4.516524634×1010

N/m2 = 45.16524634 Gpa

Figura 5.4 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento obtenidos en el experimento

Fuerza contra Desplazamiento

Línea de Tendencia

Fuerza contra Desplazamiento: Columnas del modelo Fuerza (N)

Desplazamiento (m)

61

5.1.3 Rigidez de marcos

Se determinó experimentalmente la constante de rigidez de cada uno de los marcos que

conforman el modelo flexible de dos niveles, mediante mediciones con dinamómetro y

vernier digital (Fig. 5.5), los resultados se muestran en las tablas 5.4 y 5.5 para los niveles 1

y 2 del modelo respectivamente. En los gráficos de la Fig. 5.6 y 5.7, la pendiente de la línea

de tendencia representa la constante de rigidez para los marcos de los niveles 1 y 2

respectivamente. La geometría del modelo flexible se muestra en el anexo B.



0 0 - 2.00 0.00428 467.290 2.94 0.00641 459.002 3.00 0.00638 470.219 3.92 0.00840 466.667 4.00 0.00855 467.836 4.90 0.01049 467.493 5.00 0.01066 469.043 5.88 0.01258 467.790 6.67 0.01420 469.627 6.87 0.01468 467.643 7.85 0.01677 467.859 8.83 0.01887 467.753 9.02 0.01914 471.390

Tabla 5.4 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el marco del nivel 1

Figura 5.5 Forma de ejecución del experimento para la medición de desplazamientos en un marco del

modelo flexible

62

k Marco 1 = 468.4869 N/m



0 0 - 3.00 0.00587 511.073 3.92 0.00796 492.814 4.00 0.00763 524.246 4.90 0.00976 502.408 5.00 0.00988 506.073 5.88 0.01176 500.357 6.86 0.01374 499.629

7.85 0.01563 501.958 8.83 0.01766 499.790

Tabla 5.5 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el marco del nivel 2

Desplazamiento (m)

Fuerza (N)


Línea de Tendencia

Figura 5.6 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento para el marco del nivel 1

Fuerza contra Desplazamiento: Marco del Nivel 1

63

k Marco 2 = 502.0713 N/m

La rigidez teórica del marco empotrado, de los modelos flexibles, se calculó con la

Ec. (4.7) determinada en la sección 4.3.5 de la presente tesis, y es

𝑘 =24𝐸𝐼

𝐻3

donde E Columna = 4.516524634×1010

N/m2, I Columna = 4.65995E-11 m

4 y H = 0.47793 m

(altura libre).

k Marco 1,2 = 462.7048 N/m

Fuerza (N)


Línea de Tendencia

Figura 5.7 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento para el marco del nivel 2

Desplazamiento (m)

Fuerza contra Desplazamiento: Marco del Nivel 2

64

5.2 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo Flexible de Una Planta

El ensayo de vibración libre para el modelo de una planta se efectuó sobre la mesa vibratoria,

lo que permitió capturar el registro de aceleraciones en la cubierta mediante diagramas

ejecutados en Simulink y MatLab. El equipo empleado para realizar el ensayo se muestra en

la Fig. 5.8, figura en la cual se muestra la deflexión inicial del marco en 2 cm.

La deflexión inicial del marco se realizó midiendo 2 cm (en éste caso) hacia uno de

los laterales del marco, tal como se muestra en la Fig. 5.9.

Figura 5.9 Deflexión del marco del modelo flexible de un nivel

a) Medición lateral

b) Deflexión del marco

c) Ajuste de deflexión

Figura 5.8 Marco deflexionado inicialmente en 2 cm para el ensayo de vibración libre

65

Los registros obtenidos de la vibración libre, para el modelo flexible de un nivel, se

muestran en los gráficos de las Fig. 5.10 y 5.11 para el desplazamiento estimado y la

aceleración medida en el ensayo respectivamente.

El amortiguamiento y periodo fundamental de vibración del modelo, que se obtienen a partir

de los gráficos anteriores, son:

ξ = 0.0035 (calculado a partir de la Ec. 4.6)

TD = 0.2304 segundos

Aceleración (g)

Tiempo (s)

Figura 5.11 Registro de vibración libre del marco de aluminio de un nivel en mesa vibratoria. Deflexión

inicial de 2 cm

Aceleración de Cubierta (g)

Desplazamiento (m)

Tiempo (s)

Figura 5.10 Registro de vibración libre del marco de aluminio de un nivel en mesa vibratoria. Deflexión

inicial de 2 cm.

Desplazamiento de Cubierta (m)

66

Las propiedades promedio de los marcos flexibles de una planta son:

Marco 1 m = 0.63 kg c = 0.12 N s/m k = 468.49 N/m T = 0.2304 s

Marco 2 m = 0.63 kg c = 0.12 N s/m k = 502.00 N/m T = 0.2226 s

Nota: el coeficiente de amortiguamiento se determinó con c = 2ξ√(mk), en base a la Ec. (2.9).

La relación de amortiguamiento de los marcos fue ξ = 0.0035.

67

5.3 Comparación de Resultados de Respuesta Dinámica con Programas de

Cómputo

Después de determinar las propiedades mecánicas del modelo flexible de una planta, se

obtuvo la respuesta dinámica del mismo mediante simulaciones en programas de cómputo

(Nonlin y rutinas en Excel). La respuesta obtenida en los ensayos se comparó con la obtenida

en los programas de cómputo.

La respuesta dinámica del modelo mediante simulaciones en Nonlin se obtuvo a partir

de los datos obtenidos en los ensayos anteriores, y se muestran en la carátula de la Fig. 5.12,

en la cual se observan los datos del peso de la cubierta, w, en N, relación de amortiguamiento

en porcentaje y la rigidez lineal del marco en N/m.

Figura 5.12 Carátula del programa Nonlin, para el análisis de respuesta dinámica de marcos

68

En la Fig. 5.13, la carátula muestra la excitación del suelo a la que fue sometido el

modelo de un nivel. Esta excitación es la misma que se emplea para ensayar el marco de un

nivel en mesa vibratoria, y se muestra en la Fig. 5.17.

La carátula de la Fig. 5.14 muestra la respuesta dinámica del modelo, en aceleración,

velocidad y desplazamiento, mediante simulaciones en Nonlin para la excitación del suelo

mostrada en la figura anterior.

Figura 5.13 Carátula que muestra la excitación del suelo (aceleración senoidal) a la que fue sometido el

modelo de un nivel

69

Se determinó la respuesta dinámica de los modelos, en la mesa vibratoria del

laboratorio de estructuras de la UACJ, para determinadas excitaciones horizontales en el

suelo. Algunas de estas excitaciones son aceleraciones que tienen la forma de una función

senoidal, mientras que otras representan registros sísmicos (acelerogramas). Es importante

mencionar que los acelerogramas representan sismos reales, sin embargo, algunos de éstos

fueron escalados en duración, lo cual implica modificar la duración y el desplazamiento

máximo del suelo, pero no la magnitud de las aceleraciones. Lo anterior se especifica en los

resultados pertinentes.

El equipo que se muestra en la Fig. 5.15 se utilizó para ensayar los modelos, el cual

consiste de la mesa vibratoria (sus componentes se muestran en el anexo C), un

amplificador de potencia (modelo Quanser UPM-180-25B), una tarjeta de transferencia de

Figura 5.14 Respuesta dinámica del modelo mediante simulaciones en Nonlin

70

datos (Quanser Q4) y un ordenador PC para ejecutar el software de control (en tiempo real)

en Simulink y Matlab.

El registro de aceleración total en la cubierta del marco de un nivel (Fig. 5.16),

sometido a la excitación en el suelo que se muestra en la Fig. 5.17, son comparados con los

registros obtenidos en Nonlin tal como se muestra en la Fig. 5.19, lo cual permite validar los

resultados obtenidos en la mesa vibratoria.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Figura 5.16 Registro de vibración del marco de aluminio de un nivel en mesa vibratoria

Figura 5.15 Modelo montado en el equipo de ensayo del laboratorio de estructuras de la UACJ

71

La respuesta relativa de la cubierta ẍr, es la que se obtiene de la relación

𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑇 − 𝑥 𝑔

donde ẍT es la aceleración total de cubierta, y ẍg es la aceleración del suelo. Por lo tanto la

respuesta relativa de la cubierta es la que se muestra en el gráfico de la Fig. 5.18.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Figura 5.18 Registro de vibración del marco de aluminio de un nivel en mesa vibratoria

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Figura 5.17 Excitación senoidal inducida en el suelo por la mesa vibratoria

72

Otras comparaciones que muestran los resultados de los registros, en velocidad y

desplazamiento para el mismo ensayo, se realizaron con resultados del programa nonlin y la

integral y doble integral del registro obtenido con acelerómetro en la mesa vibratoria. La

integral y doble integral representan velocidad y desplazamiento respectivamente. Las

comparaciones se muestran en los gráficos de las Fig. 5.20 y 5.21.

Los resultados obtenidos mediante la integración numérica (método del trapecio) ya

se muestran corregidos al eje de las abscisas (eje x), ya que los registros de aceleración en la

cubierta no son exactos y la integral y doble integral del registro de aceleración presentan

tendencias sobre el eje de las ordenadas (eje y).

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Comparación: Aceleración Relativa de Cubierta (m/s2)

Figura 5.19 Comparación de registros con mesa vibratoria y el programa Nonlin

Mesa vibratoria

Nonlin

73

Desplazamiento (m)

Tiempo (s)

Comparación: Desplazamiento Relativo de Cubierta (m)

Figura 5.21 Comparación de resultados en desplazamiento

2da Integración numérica del registro de aceleración

Nonlin

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

Comparación: Velocidad Relativa de Cubierta (m/s)

Figura 5.20 Comparación de resultados en velocidad

Integración numérica del registro de aceleración Nonlin

74

El registro de aceleración en la cubierta, para el ensayo en el cual se reprodujo un

sismo en la mesa vibratoria, se muestra en el gráfico de la Fig. 5.22. El sismo reproducido es

el acelerograma de la Fig. 5.23.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Comparación: Aceleración Total de Cubierta (m/s2)

Figura 5.22 Comparación de registros con mesa vibratoria y el programa Nonlin

Mesa Vibratoria

Nonlin

75

El sismo de Northridge fue escalado a un desplazamiento máximo del suelo de 6.35

cm para poder reproducirlo en la mesa vibratoria, el desplazamiento máximo registrado del

sismo real fue de 16 cm. Como consecuencia, se redujo el tiempo del registro a 18 segundos,

mientras que el tiempo real es de 31 segundos. La magnitud de las aceleraciones del registro

real contra el reproducido en la mesa vibratoria no fue escalada.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Acelerograma Escalado del Sismo Northridge (m/s2)

Figura 5.23 Acelerograma escalado del sismo Northridge: Northridge Earthquake-Sylmar Country

Hospital, 17 de Enero de 1994, Acelerograma corregido, canal 90°. Estación CDMG QN94A514. ISEE,

UC Berkeley, California.

76

5.4 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo Flexible de Dos Plantas

El equipo que se muestra en la Fig. 5.24 se utilizó para ensayar el modelo dos niveles, el cual

consiste de la mesa vibratoria (sus componentes se muestran en el anexo C), un amplificador

de potencia (modelo Quanser UPM-180-25B), una tarjeta de transferencia de datos (Quanser

Q4) y un ordenador PC para ejecutar el software de control (en tiempo real) en Simulink y

Matlab.

La Fig. 5.25 muestra la deflexión inicial del modelo en 2 cm respecto al eje vertical.

Figura 5.25 Modelo deflexionado en 2 cm respecto al eje vertical

Figura 5.24 Modelo montado en el equipo de ensayo del laboratorio de estructuras de la UACJ

77

Los registros obtenidos de la vibración libre, para el modelo flexible de dos niveles,

se muestran en los gráficos de las Fig. 5.26 y 5.27 para el nivel uno y dos respectivamente.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Cubierta: Nivel 2 (m/s2)

Figura 5.27 Registro de aceleración en la cubierta del nivel 2 del modelo flexible

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Cubierta: Nivel 1 (m/s2)

Figura 5.26 Registro de aceleración en la cubierta del nivel 1 del modelo flexible

78

5.5 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo Flexible de Dos

Plantas

Empleando la ecuación característica del sistema, Ec. (2.29), que es

𝑚₁𝑚₂ 𝜔𝑛⁴ − (𝑘₁𝑚₂ + 𝑘₂𝑚₁ + 𝑘₂𝑚₂)𝜔𝑛² + (𝑘₁𝑘₂) = 0

y sustituyendo con los datos determinados en los ensayos previos, m1 = 0.63 kg, m2 = 0.63kg,

k1 = 468.49 N/m y k2 = 502.00 N/m,

0.3969 𝜔𝑛⁴ − (927.6687)𝜔𝑛² + (235181.98) = 0

se encontró que los valores de ωn2 que satisfacen esta ecuación son:

𝜔𝑛1² = 289.3323 rad

2/s

2

𝜔𝑛2² = 2047.9375 rad

2/s

2

por lo tanto

𝜔𝑛1= 17.01 rad/s

𝜔𝑛2= 45.25 rad/s

y corresponden a las frecuencias naturales del sistema de 2 GL. El periodo fundamental de

vibración del sistema, basado en la Ec. (2.30), es:

𝑇 =2𝜋

𝜔𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟=

2𝜋

17.01= 0.3694 s

𝑇 = 0.3694 segundos.

A continuación, resolviendo la Ec. (2.25), que es

𝐊 − 𝜔𝑛2𝐌 𝝓 = 0

79

se encontraron las amplitudes ϕ1, ϕ2,…, ϕn del vector de formas modales, ϕ, para cada

frecuencia natural (ωn1 y ωn2). La ecuación anterior puede escribirse de forma matricial como

𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₂ 𝜙1

𝜙2 =

00

de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

(1) 𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ 𝜙1 − 𝑘₂𝜙2 = 0

(2) −𝑘₂𝜙1 + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚2 𝜙2 = 0,

y sustituyendo los valores de m1 = 0.63 kg, m2 = 0.63 kg, k1 = 468.49 N/m, k2 = 502.00 N/m

y ωn en el sistema de ecuaciones, se resuelve el sistema asumiendo que ϕ1 = 1 y calculando

ϕ2. De este modo, los vectores de formas modales del sistema son:

𝝓 = 1

1.5701 para ωn1

𝝓 = 1

−0.6369 para ωn2,

y la matriz de vectores modales del sistema de 2 GL será

𝚽 = 1 1

1.5701 −0.6369 .

Los dos modos normales obtenidos para el modelo flexible, correspondientes a cada

frecuencia natural, se representan en la Fig. 5.28, en la cual, se muestran los posibles

movimientos armónicos de vibración en que todas las masas de la estructura se mueven en

fase con la misma frecuencia, ya sea ωn1 o ωn2. Así mismo, se muestran las amplitudes

relativas de vibración, ϕ21/ϕ11 y ϕ22/ϕ12, que representan los modos normales correspondientes

a las frecuencias naturales.

80

El primer modo, o modo fundamental de la estructura, está asociado con la frecuencia

más baja, y los otros modos representan las armónicas altas. Siendo en estos modos de

vibración que la estructura se comporta esencialmente como sistemas con un solo grado de

libertad.

Por otro lado, la matriz normalizada de vectores modales, Φ, del sistema de 2 GL será

𝚽 = 1/α 1/β

1.5701/α −0.6369/β =

0.6768 1.06271.0627 −0.6768

donde α = (m1 ϕ112 + m2 ϕ21

2)1/2

y β = (m1 ϕ122 + m2 ϕ22

2)1/2

, y con los valores de m1 = 0.63

kg, m2 = 0.63 kg, ϕ11 = 1, ϕ21 = 1.5701, ϕ12 = 1 y ϕ22 = -0.6369, por tanto se tiene α = 1.4775

y β = 0.9410.

ωn2 = 45.25 rad/s ωn1 = 17.01 rad/s

ϕ12 = 1

ϕ22 = -0.6369

ϕ11 = 1

ϕ21 = 1.5701

Figura 5.28 Modos normales del modelo flexible de dos plantas

a) Primer modo b) Segundo modo

81

5.6 Matriz de Masa, Rigidez y Amortiguamiento del Sistema: Modelo

Flexible de Dos Plantas

5.6.1 Matriz de masa

La matriz de masa es una matriz diagonal que integra las masas concentradas en cada piso

del modelo, y es

M = 0.63 0

0 0.63 kg

5.6.2 Matriz de rigidez mediante ensayo de carga estática

Siguiendo el modelo matemático para el sistema masa-resorte-amortiguador, donde las

fuerzas dinámicas que actúan sobre las masas concentradas son escritas como ecuaciones, se

obtiene la matriz de rigidez para el sistema de 2 GL, y es

K = 𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

por tanto, la matriz de rigidez del sistema es

K = 970.49 −502−502 502

N/m

Los resultados del ensayo se muestran en la tabla 5.6, en la cual, se muestran las cargas

estáticas aplicadas en la cubierta de la segunda planta (Fig. 5.29), y las deflexiones medidas

para cada planta del modelo.

82

En la tabla 5.6, también se muestran las deflexiones teóricas para cada planta del

modelo, las cuales se obtuvieron a partir de la forma matricial de kx = fuerza del resorte, y es

𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

𝑥₁𝑥₂ =

𝑃₁(𝑡)𝑃₂(𝑡)

de donde el vector de deflexiones es

𝑥₁𝑥₂ =

𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

−1


donde P1(t) = 0 y P2(t) = F (ver Fig. 5.29).

F

Figura 5.29 Ensayo de carga estática aplicada en la cubierta de la segunda planta

a) Ensayo b) Esquema

Dinamómetro

H2

H1

x1

x2

Carga

83

Planta Carga F (N) Deflexiones medidas (cm) Deflexiones teóricas (cm) Nivel 1 5.6880 1.30 1.21 Nivel 2 5.6880 2.55 2.35 Nivel 1 7.0807 1.65 1.51 Nivel 2 7.0807 3.20 2.92 Nivel 1 9.0220 2.10 1.93 Nivel 2 9.0220 4.00 3.72

Tabla 5.6 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas

5.6.3 Matriz de amortiguamiento

La matriz diagonal de amortiguamiento modal, C*, para este sistema, en base a la Ec. (2.40)

es

𝐂∗ = 2𝜉1𝜔𝑛1

𝑚1 0


donde ωn1 = 17.01 rad/s, ωn2 = 45.25 rad/s, m1 = 1 kg y m2 = 1 kg (las masas son iguales a la

unidad), utilizando la matriz normalizada de vectores modales Φ. La relación de

amortiguamiento ξ1 y ξ2, según resultados de experimentos anteriores realizados con modelos

de propiedades similares (en De la Cruz, 2003), son ξ1 = 0.004 y ξ2 = 0.0015. Sustituyendo

los datos anteriores, la matriz de amortiguamiento modal queda como

𝐂∗ = 0.1361 0

0 0.1358 N s/m.

La matriz de amortiguamiento, C, para este sistema, en base a la Ec. (2.41) es

𝐂 = (𝚽𝑇)−1 𝐂∗ 𝚽−𝟏

84

donde ΦT es la transpuesta de la matriz normalizada de vectores modales, y Φ

-1 es la inversa

de la misma matriz normalizada de vectores modales. Sustituyendo las respectivas matrices

en la ecuación anterior

𝐂 = 0.6768 1.06271.0627 −0.6768

𝑇 −1

0.1361 0

0 0.1358

0.6768 1.06271.0627 −0.6768

−𝟏

𝐂 = 0.085583 9.012 × 10−5

9.012 × 10−5 0.085667 N s/m

Las propiedades promedio del modelo flexible de dos plantas son:

M = 0.63 0

0 0.63 kg 𝐂 = 0.085583 9.012 × 10−5

9.012 × 10−5 0.085667 N s/m

K = 970.49 −502−502 502

N/m T = 0.36940.1389

s

85

5.7 Determinación de las Propiedades Mecánicas de los Modelos a Escala

De Una Planta

Las propiedades mecánicas se determinaron para los modelos de uno y dos niveles, los cuales

se ensayarán en vibración libre y ante cargas de sismo. El modelo de un nivel consiste en un

sistema de dos marcos transversales, conectados monolíticamente por medio de una cubierta

(losa de concreto) que actúa como diafragma rígido, tal como se muestra en la Fig. 5.30. El

modelo de dos niveles consiste en dos plantas de un nivel, cada planta con las propiedades y

geometría del modelo de un nivel (ver anexo D que muestra la geometría de los modelos a

escala).

Los modelos a escala reducida de uno y dos niveles fueron elaborados con una pasta

de arena-agua-cemento que alcanzó una resistencia a compresión f´c de 350 kg/cm2 a los 28

días (el anexo F muestra la dosificación empleada en base al criterio general de diseño de

mezclas por el método del American Concrete Institute, ACI). La estructura de acero de

refuerzo de los modelos se muestra en el anexo E, y fue elaborada con varillas de alambrón

de diámetro igual a ¼ de pulgada unidas mediante conexiones soldadas.

Figura 5.30 Modelo de concreto a escala reducida de una estructura de un nivel

a) Lado A b) Lado B

Lado A Lado B

86

5.7.1 Masas concentradas de cubierta

La cubierta consiste en una losa de concreto reforzado (el acero de refuerzo del modelo a

escala se muestra en el anexo E), su geometría se muestra en el anexo D, además debe

considerarse la masa del acelerómetro ya que forma parte de la masa concentrada en la

cubierta. La tabla 5.7 muestra las masas concentradas en la cubierta de cada nivel del

modelo, considerando que el peso específico del modelo es de 2320 kg/m3.

Modelo a Escala Cubierta (kg) Acelerómetro (kg) TOTAL (kg) Nivel 1 3.912 0.125 4.037 Nivel 2 3.912 0.125 4.037

Tabla 5.7 Masas concentradas en cada nivel del modelo a escala

El peso total del modelo de concreto con acero de refuerzo es de 13 kg, y el peso de la

estructura de acero de refuerzo es tan solo de 1.39 kg.

5.7.2 Rigidez de marcos

Se determinó experimentalmente la constante de rigidez del modelo de una planta, del lado A

y del lado B, mediante mediciones con dinamómetro y vernier digital (Fig. 5.31a y 5.31b

para el lado A y lado B respectivamente), los resultados se muestran en las tablas 5.8 y 5.9

para el lado A y lado B respectivamente. En los gráficos de las Fig. 5.32 y 5.33, para el lado

A y lado B, la pendiente de la línea de tendencia representa la constante de rigidez para cada

lado ensayado modelo.

87

Los resultados de los ensayos de rigidez de las tablas 5.8 y 5.9 se obtuvieron mediante

la aplicación de cargas estáticas laterales al modelo de una planta, en ambos lados de su

geometría, y registrando los desplazamientos con el vernier digital.



0 0 - 9.807 0.00019 51615.789 14.711 0.00029 50727.586 19.614 0.00039 50292.308 24.518 0.00049 50036.327 29.421 0.00057 51615.789 34.325 0.00066 52006.818 39.228 0.00078 50292.308 44.132 0.00085 51919.412 49.035 0.00098 50035.714

Tabla 5.8 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el lado A del modelo a escala

Figura 5.31 Medición de desplazamientos con vernier digital

a) Lado A b) Lado B

Lado A

88

k Lado A = 50 889.6125 N/m

Fuerza (N) Desplazamiento X

(m) Fuerza / X (N/m)

0 0 - 9.807 0.00020 49035.000 14.711 0.00030 49867.797 19.614 0.00042 47262.651 24.518 0.00051 48550.099 29.421 0.00060 49035.000 34.325 0.00072 47672.917 39.228 0.00083 47549.091 44.132 0.00091 48442.920 49.035 0.00101 48549.505

Tabla 5.9 Fuerzas aplicadas y desplazamientos medidos para el lado B del modelo a escala

k Lado B = 48 262.7903 N/m


Línea de Tendencia

Fuerza contra Desplazamiento: Lado B del Modelo a escala Fuerza (N)

Desplazamiento (m)

Figura 5.33 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento: Lado B del modelo a escala

Figura 5.32 Línea de tendencia de los puntos Fuerza-Desplazamiento: Lado A del modelo a escala


Línea de Tendencia

Fuerza contra Desplazamiento: Lado A del Modelo a escala Fuerza (N)

Desplazamiento (m)

89

5.8 Respuesta a la Vibración Libre del Modelo a Escala de Una Planta

El ensayo de vibración libre para el modelo de una planta se efectuó sobre la mesa vibratoria,

lo que permitió capturar el registro de aceleraciones en la cubierta mediante diagramas

ejecutados en Simulink y MatLab. El equipo empleado para realizar el ensayo se muestra en

la Fig. 5.34, figura en la cual se muestra la deflexión inicial del modelo en 0.5 cm.

La deflexión inicial del modelo se realizó midiendo 0.5 cm (en éste caso) hacia uno

de los laterales del mismo, tal como se muestra en la Fig. 5.35.

Figura 5.35 Deflexión lateral del modelo a escala de un nivel

a) Medición lateral

b) Ajuste de deflexión lateral

Figura 5.34 Modelo deflexionado inicialmente en 0.5 cm para el ensayo de vibración libre

90

Los registros de aceleración obtenidos de la vibración libre, para el modelo a escala

de un nivel, se muestran en los gráficos de las Fig. 5.36 y 5.37 para el experimento en el lado

A y el lado B respectivamente.

El amortiguamiento y periodo fundamental de vibración del modelo en el lado A, que se

obtienen a partir del gráfico anterior, son:



Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Cubierta en el Lado A (m/s2)

Figura 5.36 Registro de vibración libre en el lado A del modelo a escala de un nivel en mesa vibratoria.

Deflexión inicial de 0.5 cm

91

El amortiguamiento y periodo fundamental de vibración del modelo en el lado B, que se

obtienen a partir del gráfico anterior, son:



Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Cubierta en el Lado B (m/s2)

Figura 5.37 Registro de vibración libre en el lado B del modelo a escala de un nivel en mesa vibratoria.

Deflexión inicial de 0.5 cm

92

Las propiedades promedio del modelo a escala de una planta son:

Lado A m = 4.037 kg c = 44.96 N s/m k = 50 889.61 N/m T = 0.0680 s

Lado B m = 4.037 kg c = 55.62 N s/m k = 48 262.79 N/m T = 0.0640 s

Nota: el coeficiente de amortiguamiento se determinó con c = 2ξ√(mk), en base a la Ec. (2.9).

La relación de amortiguamiento del modelo fue ξ = 0.0496 para el lado A y ξ = 0.0630 para

el lado B.

Cabe mencionar que los periodos teóricos para el lado A y lado B son 0.0560 s y

0.0570 s respectivamente, los cuales se obtuvieron por medio de las Ec. (2.10) y (2.11).

93

5.9 Frecuencias Naturales y Modos Normales del Modelo a Escala de Dos

Plantas en el Lado A


𝑚₁𝑚₂ 𝜔𝑛⁴ − (𝑘₁𝑚₂ + 𝑘₂𝑚₁ + 𝑘₂𝑚₂)𝜔𝑛² + (𝑘₁𝑘₂) = 0

y sustituyendo con los datos determinados en los ensayos previos, m1 = 4.037 kg,

m2 = 4.037 kg, k1 = 50 889.61 N/m y k2 = 50 889.61 N/m,

16.2974 𝜔𝑛⁴ − (616324.0667)𝜔𝑛² + (2589752406) = 0


𝜔𝑛1² = 4814.988274 rad

2/s

2

𝜔𝑛2² = 33002.33637 rad

2/s

2

por lo tanto

𝜔𝑛1= 69.39 rad/s

𝜔𝑛2= 181.67 rad/s



𝑇 =2𝜋


2𝜋

69.39= 0.0905 s



𝐊 − 𝜔𝑛2𝐌 𝝓 = 0

94



𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₂ 𝜙1

𝜙2 =

00


(1) 𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ 𝜙1 − 𝑘₂𝜙2 = 0

(2) −𝑘₂𝜙1 + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚2 𝜙2 = 0,

y sustituyendo los valores de m1 = 4.037 kg, m2 = 4.037 kg, k1 = 50 889.61 N/m,

k2 = 50 889.61 N/m y ωn en el sistema de ecuaciones, se resuelve el sistema asumiendo que

ϕ1 = 1 y calculando ϕ2. De este modo, los vectores de formas modales del sistema son:

𝝓 = 1

1.6180 para ωn1

𝝓 = 1

−0.6182 para ωn2,


𝚽 = 1 1

1.6180 −0.6182 .

Los dos modos normales obtenidos para el modelo a escala, correspondientes a cada






95




libertad.


𝚽 = 1/α 1/β

1.6180/α −0.6182/β =

0.2617 0.42330.4233 −0.2617

donde α = (m1 ϕ112 + m2 ϕ21

2)1/2

y β = (m1 ϕ122 + m2 ϕ22

2)1/2



y β = 2.3622.

ωn2 = 181.67 rad/s ωn1 = 69.39 rad/s

ϕ12 = 1

ϕ22 = -0.6182

ϕ11 = 1

ϕ21 = 1.6180

Figura 5.38 Modos normales del modelo a escala de dos plantas en el lado A


96


a Escala de Dos Plantas en el Lado A



del modelo, y es

M = 4.037 0

0 04.037 kg

5.10.2 Matriz de rigidez en ensayo de carga estática


fuerzas dinámicas, que actúan sobre las masas concentradas, son escritas como ecuaciones,

de las cuales se obtiene la matriz de rigidez para el sistema de 2 GL, y es

K = 𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂


K = 101 779.22 −50 889.61−50 889.61 50 889.61

N/m




97



𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

𝑥₁𝑥₂ =



𝑥₁𝑥₂ =

𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

−1



F



Dinamómetro

H2

H1

x1

x2

Carga

98

Planta Carga F (N) Deflexiones medidas (mm) Deflexiones teóricas (mm) Nivel 1 19.614 0.36 0.38 Nivel 2 19.614 0.50 0.77 Nivel 1 29.421 0.58 0.58 Nivel 2 29.421 0.83 1.15 Nivel 1 39.228 0.80 0.77 Nivel 2 39.228 1.17 1.54

Tabla 5.10 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas en lado A



es

𝐂∗ = 2𝜉1𝜔𝑛1

𝑚1 0




amortiguamiento ξ1 y ξ2, tomando como referencia resultados de experimentos anteriores (en

De la Cruz, 2003), se asumen ξ1 = 0.0566 y ξ2 = 0.0213. Sustituyendo los datos anteriores, la

matriz de amortiguamiento modal queda como

𝐂∗ = 7.8549 0

0 7.7391 N s/m.


𝐂 = (𝚽𝑇)−1 𝐂∗ 𝚽−𝟏

99


-1 es la inversa



𝐂 = 1.0566 1.70911.7091 −1.0566

𝑇 −1

7.8549 0

0 7.7391

1.0566 1.70911.7091 −1.0566

−𝟏

𝐂 = 31.3771 0.20910.2091 31.5861

N s/m

Las propiedades promedio del modelo a escala de dos plantas, en el lado A, son:

M = 4.037 0

0 4.037 kg 𝐂 =

31.3771 0.20910.2091 31.5861

N s/m

K = 101 779.22 −50 889.61−50 889.61 50 889.61

N/m T = 0.09050.0346

s

100


Plantas en el Lado B


𝑚₁𝑚₂ 𝜔𝑛⁴ − (𝑘₁𝑚₂ + 𝑘₂𝑚₁ + 𝑘₂𝑚₂)𝜔𝑛² + (𝑘₁𝑘₂) = 0

y sustituyendo con los datos determinados en los ensayos previos, m1 = 4.037 kg,

m2 = 4.037 kg, k1 = 48 262.79 N/m y k2 = 48 262.79 N/m,

16.2974 𝜔𝑛⁴ − (584510.6497)𝜔𝑛² + (2329296899) = 0


𝜔𝑛1² = 4566.4482 rad

2/s

2

𝜔𝑛2² = 31298.8217 rad

2/s

2

por lo tanto

𝜔𝑛1= 67.58 rad/s

𝜔𝑛2= 176.91 rad/s



𝑇 =2𝜋


2𝜋

67.58= 0.0930 s



𝐊 − 𝜔𝑛2𝐌 𝝓 = 0

101



𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₂ 𝜙1

𝜙2 =

00


(1) 𝑘₁ + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚₁ 𝜙1 − 𝑘₂𝜙2 = 0

(2) −𝑘₂𝜙1 + 𝑘₂ − 𝜔𝑛²𝑚2 𝜙2 = 0,

y sustituyendo los valores de m1 = 4.037 kg, m2 = 4.037 kg, k1 = 48 262.79 N/m,

k2 = 48 262.79 N/m y ωn en el sistema de ecuaciones, se resuelve el sistema asumiendo que

ϕ1 = 1 y calculando ϕ2. De este modo, los vectores de formas modales del sistema son:

𝝓 = 1

1.6180 para ωn1

𝝓 = 1

−0.6180 para ωn2,


𝚽 = 1 1

1.6180 −0.6180 .

Los dos modos normales obtenidos para el modelo a escala, correspondientes a cada






102




libertad.


𝚽 = 1/α 1/β

1.6180/α −0.6180/β =

0.2617 0.42330.4233 −0.2616

donde α = (m1 ϕ112 + m2 ϕ21

2)1/2

y β = (m1 ϕ122 + m2 ϕ22

2)1/2



y β = 2.3620.

ωn2 = 176.91 rad/s ωn1 = 67.58 rad/s

ϕ12 = 1

ϕ22 = -0.6180

ϕ11 = 1

ϕ21 = 1.6180

Figura 5.40 Modos normales del modelo a escala de dos plantas en el lado B


103


a Escala de Dos Plantas en el Lado B



del modelo, y es

M = 4.037 0

0 04.037 kg

5.12.2 Matriz de rigidez en ensayo de carga estática


fuerzas dinámicas, que actúan sobre las masas concentradas, son escritas como ecuaciones,

de las cuales se obtiene la matriz de rigidez para el sistema de 2 GL, y es

K = 𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂


K = 96 525.580 −48 262.79−48 262.79 48 262.79

N/m




104



𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

𝑥₁𝑥₂ =



𝑥₁𝑥₂ =

𝑘₁ + 𝑘₂ −𝑘₂−𝑘₂ 𝑘₂

−1



F



Dinamómetro

H2

H1

x1

x2

Carga

105

Planta Carga F (N) Deflexiones medidas (mm) Deflexiones teóricas (mm) Nivel 1 19.614 0.38 0.40 Nivel 2 19.614 0.55 0.81 Nivel 1 29.421 0.61 0.60 Nivel 2 29.421 0.87 1.21 Nivel 1 39.228 0.79 0.80 Nivel 2 39.228 1.15 1.62

Tabla 5.11 Comparación de deflexiones medidas contra teóricas en lado B



es

𝐂∗ = 2𝜉1𝜔𝑛1

𝑚1 0




amortiguamiento ξ1 y ξ2, tomando como referencia resultados de experimentos anteriores, (en

De la Cruz, 2003), se asumen ξ1 = 0.0719 y ξ2 = 0.0271. Sustituyendo los datos anteriores, la

matriz de amortiguamiento modal queda como

𝐂∗ = 9.7180 0

0 9.5885 N s/m.


𝐂 = (𝚽𝑇)−1 𝐂∗ 𝚽−𝟏

106


-1 es la inversa



𝐂 = 1.0564 1.70931.7093 −1.0568

𝑇 −1

9.7180 0

0 9.5885

1.0564 1.70931.7093 −1.0568

−𝟏

𝐂 = 38.8594 0.22720.2272 39.1014

N s/m

Las propiedades promedio del modelo a escala de dos plantas, en el lado B, son:

M = 4.037 0

0 4.037 kg 𝐂 =

38.8594 0.22720.2272 39.1014

N s/m

K = 96 525.58 −48 262.79−48 262.79 48 262.79

N/m T = 0.09300.0355

s

107

5.13 Respuesta Dinámica de los Modelos a Escala

La excitación del suelo para la cual se determinó la respuesta dinámica de los modelos a

escala, representativa de la actividad sísmica en el Valle de Juárez, se muestra en la Fig. 5.42,

figura en la cual se observa el tiempo de duración desde las 16:26:11 horas hasta

aproximadamente las 17:26:30 horas, intervalo en el cual el estrato es inestable. La magnitud

máxima es de 0.15 g y la mínima es de -0.10 g.

Los datos generales del sismo son:

Fecha del evento: 2011/05/23 16:26

Magnitud: 4.8 grados Richter

Distancia al epicentro (152 km)

Estación: KIDD.EP.LHE en la universidad de UTEP

Fuente: Pagina del IRIS Seismic Query (http://www.iris.edu/SeismiQuery/sq-

eventsmag.htm, accesado el día 18 de Marzo del 2012).

Figura 5.42 Acelerograma del sismo registrado en el Valle de Juárez (Fuente:

http://www.iris.edu/SeismiQuery/sq-eventsmag.htm)

g

Hora

0.15

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10

Sismo registrado en el Valle de Juárez por la estación KIDD.EP..LHE en la universidad de UTEP

http://www.iris.edu/SeismiQuery/sq-eventsmag.htm

http://www.iris.edu/SeismiQuery/sq-eventsmag.htm

108

5.13.1 Respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en lado A

Para efectos del presente estudio solo se tomaron los primeros 15 segundos, ya que es el

intervalo de tiempo en el que se presenta la mayor magnitud de respuesta dinámica de las

estructuras modeladas. La respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en el lado A

se muestra en las Fig. 5.43, 5.44 y 5.45 para aceleración, velocidad y desplazamiento en la

cubierta respectivamente.

Figura 5.43 Respuesta dinámica en aceleración del modelo a escala de una planta en el lado A

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)


109

Figura 5.45 Respuesta dinámica en desplazamiento del modelo a escala de una planta en el lado A

Desplazamiento (m)

Tiempo (s)

Desplazamiento de Cubierta en el Lado A (m)

Figura 5.44 Respuesta dinámica en velocidad del modelo a escala de una planta en el lado A

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

Velocidad de Cubierta en el Lado A (m/s)

110

5.13.2 Respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en lado B

La respuesta dinámica del modelo a escala de una planta en el lado B se muestra en las Fig.

5.46, 5.47 y 5.48 para aceleración, velocidad y desplazamiento en la cubierta

respectivamente.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)


Figura 5.46 Respuesta dinámica en aceleración del modelo a escala de una planta en el lado B

111

Desplazamiento (m)

Tiempo (s)

Desplazamiento de Cubierta en el Lado B (m)

Figura 5.48 Respuesta dinámica en desplazamiento del modelo a escala de una planta en el lado B

Figura 5.47 Respuesta dinámica en velocidad del modelo a escala de una planta en el lado B

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

Velocidad de Cubierta en el Lado B (m/s)

112

5.13.3 Respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en lado A

La respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en el lado A se muestra en las Fig.

5.49 y 5.50 para el primer y segundo nivel respectivamente.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Entrepiso en el Lado A (m/s2)

Figura 5.49 Respuesta dinámica en aceleración de la primer planta del modelo a escala de dos niveles, en

el lado A

113

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)


Figura 5.50 Respuesta dinámica en aceleración de la segunda planta del modelo a escala de dos niveles,

en el lado A

114

5.13.4 Respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en lado B

La respuesta dinámica del modelo a escala de dos plantas en el lado B se muestra en las Fig.

5.51 y 5.52 para el primer y segundo nivel respectivamente.

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)

Aceleración de Entrepiso en el Lado B (m/s2)

Figura 5.51 Respuesta dinámica en aceleración de la primer planta del modelo a escala de dos niveles, en

el lado B

115

Aceleración (m/s2)

Tiempo (s)


Figura 5.52 Respuesta dinámica en aceleración de la segunda planta del modelo a escala de dos niveles,

en el lado B

116

6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

6.1 Propiedades de los Modelos Flexibles

Las propiedades mecánicas de los modelos flexibles, tales como módulo elástico de las

columnas de los marcos, masas concentradas de cubierta, coeficiente de rigidez de los

marcos, y las propiedades dinámicas, tales como el coeficiente de amortiguamiento y periodo

fundamental de vibración, en conjunto con los registros de respuesta dinámica de los

modelos, mediante ensayos en la mesa vibratoria, se realizó la comparación de resultados de

respuesta dinámica con programas de cómputo (Nonlin y rutinas de Excel). La respuesta

obtenida en los ensayos con la mesa vibratoria se comparó con la obtenida en los programas

de cómputo, empleando las propiedades mecánicas y dinámicas de los modelos flexibles, con

la finalidad de calibrar los sensores de aceleración (acelerómetros) de modo que los registros

de respuesta dinámica fueran muy aproximados a los que teóricamente se obtienen de los

programas de cómputo.

Este análisis realizado para los modelos de una planta también permitió determinar

teóricamente las propiedades dinámicas de los modelos de dos plantas (matriz de

amortiguamiento, frecuencias naturales y modos normales de vibración), lo que amplía

posteriormente el análisis de respuesta dinámica.

6.2 Vibración Libre de los Modelos Flexibles

El ensayo de vibración libre para los modelos flexibles permitió determinar sus propiedades

dinámicas, periodo fundamental de vibración y amortiguamiento de la estructura, tal como lo

muestran las Fig. 5.10 y 5.11. Estas propiedades dinámicas dependen del conjunto de

propiedades mecánicas, ya que debido a ello, una estructura tiene mayor o menor ductilidad.

117

6.3 Propiedades de los Modelos a Escala

Las propiedades mecánicas se determinaron para los modelos de una planta, los cuales se

ensayaron en vibración libre con la finalidad de determinar el periodo fundamental de

vibración y su amortiguamiento. El modelo de un nivel, consiste en un sistema de dos marcos

transversales, conectados monolíticamente por medio de una cubierta (losa de concreto) que

actúa como diafragma rígido.

Para el modelo de dos niveles se determinaron teóricamente las propiedades

dinámicas, asumiendo que la rigidez de cada planta es igual a la rigidez que presenta el

modelo de una planta. Dichas propiedades dinámicas permiten describir el movimiento de

cada plana para determinar la respuesta dinámica de la estructura.


Plantas

Las frecuencias naturales y los modos normales del modelo a escala de dos plantas se

determinaron en base a la teoría de la sección 2.3.4, así mismo, se obtuvo el periodo

fundamental de estructura modelada, el cual resultó ser de 0.0905 seg. para lado A y 0.093

seg. para el lado B.

6.5 Estimación de Relación de Amortiguamiento para los Modelos a Escala

La relación de amortiguamiento estimada para el tipo de estructuras a analizar, que es el tipo

de vivienda representativa de la zona, depende de la condición actual del a estructura, la cual

se describe como: Estructura de concreto reforzado con grietas considerables, que trabaja a

un nivel de esfuerzo no mayor que ½ del límite de fluencia. Por lo tanto, la relación de

amortiguamiento estimada para la estructura, según la tabla 2.1, es del orden de 5 %. Este

118

amortiguamiento fue el parámetro de diseño de los modelos, los cuales, tienen relación de

amortiguamiento aproximadamente del mismo orden.

Es importante considerar que los valores de amortiguamiento individuales para

cada nivel, ξ1 y ξ2, pueden ser estimados tomando en cuenta el tipo de estructura y de los

materiales que la componen, así como tomar de referencia los valores obtenidos en estudios

de estructuras ya existentes.

6.6 Respuesta Dinámica de los Modelos a Escala

Para las aceleraciones del suelo registradas en el Valle de Juárez, se obtuvo la respuesta

dinámica de los diferentes modelos a escala (uno y dos niveles), asimismo para ambos lados

de su geometría. En los gráficos de las Fig. 5.43 y 5.46 se tiene la respuesta dinámica en

aceleración del modelo a escala de una planta, para el lado A y B respectivamente, los cuales

presentan variaciones poco considerables debido a que la rigidez del modelo es bastante

elevada en ambos sentidos, de modo que no se ve afectada considerablemente por las

aceleraciones del suelo a las cuales se sometieron los modelos.

Las aceleraciones de entrepiso y de cubierta de los modelos de dos niveles, de las

Fig. 5.49 y 5.50 para el lado A y Fig. 5.51 y 5.52 para el lado B, presentan pequeñas

variaciones debido a que los coeficientes de la matriz de rigidez característica son bastante

altos, y no son afectados considerablemente por las aceleraciones del suelo a las cuales se

sometieron los modelos.

Ahora, analizando la respuesta obtenida para el modelo de una planta y las

obtenidas para entrepiso y cubierta del modelo de dos plantas, se observa como las

magnitudes para el modelo de dos plantas es casi del doble de la magnitud de respuesta del

119

modelo de una planta. Lo anterior se debe a que las fuerzas de inercia debidas a las masas

concentradas son de mayor magnitud para el modelo de dos grados de libertad que para el de

un solo grado de libertad.

6.7 Daños Observados en los Modelos a Escala

Las columnas de las estructuras modeladas, representativas de las estructuras reales de la

zona, presentan algunos daños, como grietas en la unión de las columnas con la losa de

cubierta, lo cual indica una posible falla por flexión. La Fig. 5.53 muestra el detalle del

daño.

Figura 5.53 Detalle del daño observado en modelos a escala

120

CONCLUSIONES

Conforme al análisis llevado a cabo en este trabajo, se puede afirmar que para edificios

ubicados en la zona del Valle de Juárez, ante aceleraciones del suelo del orden de 0.10g a

0.15g, donde g es la aceleración de la gravedad (9.807 m/s2), los desplazamientos máximos

serán del orden de 0.40 mm en la cubierta, para estructuras de dos plantas con altura

promedio de 5 m, y del orden de 0.23 mm en la cubierta, para estructuras de una planta con

altura promedio de 2.5 m.

Por otra parte, las columnas de las estructuras modeladas, representativas de las

estructuras reales de la zona, presentan cierto grado de daño, como grietas en la unión de las

columnas con la losa de cubierta, lo cual indica una posible falla por flexión. La estimación

de los daños mediante la modelación permite determinar, en este caso, que las estructuras

deben ser reforzadas con refuerzo transversal en espiral, y el refuerzo longitudinal deberá

amarrarse adecuadamente con el refuerzo longitudinal de las vigas y/o las losas, además de

incrementar la resistencia del concreto utilizado. Con esto, se puede dar mayor seguridad a

las estructuras de la zona, ya que los daños pudieran causar fallas importantes si no existen

conexiones monolíticas entre elementos estructurales, refuerzo de acero suficiente o un

concreto bien dosificado.

En este trabajo también se comprobó numérica y experimentalmente, que la

magnitud de la respuesta dinámica (desplazamiento, velocidad y aceleración) es directamente

proporcional a la magnitud de las aceleraciones en el suelo, mientras las propiedades

dinámicas de la estructura no se modifiquen, es decir, que ésta permanezca en el rango

elástico.

121

RECOMENDACIONES

Se recomienda realizar sondeos frecuentes en caso de ocurrencia de eventos sísmicos en la

zona, y verificar el estado actual de las condiciones estructurales de las estructuras de la zona

en estudio. Es importante recordar que en presencia de aceleraciones producidas por un

evento sísmico, la magnitud de la fuerza lateral equivalente aplicada al entrepiso y a la

cubierta, puede generar fuerzas cortantes de magnitud importante.

Para efectos de análisis, se recomienda profundizar en el diseño de los elementos

estructurales de los modelos representativos de edificios reales, de modo que permitan

aproximar mejor la respuesta dinámica de las estructuras a evaluar. También deben realizarse

estudios para determinar las propiedades mecánicas de las estructuras reales, ya que de esto

dependerán sus propiedades dinámicas, las cuales serán características de los modelos a

escala.

La respuesta dinámica de las estructuras, determinada mediante modelos a escala

que tienen las propiedades dinámicas de una estructura real, deberían ser comparadas con

resultados de análisis en programas de cómputo (NONLIN, MS Excel, entre otros) para dar

mayor confiabilidad al análisis.

122

BIBLIOGRAFÍA

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[2] Caselles, J. O., Espinoza, F., Muñoz, F., Lana, X., Sánchez, J., Navarro, M., Chourak, M.,

De la Cruz, S. T. (1999) 1er Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Memoria 8.03.-

Variabilidad del periodo propio de los edificios de hormigón armado según sus

características constructivas. Murcia. España. 619-624 pp.

[3] Chopra, A. K. (1995) Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake

Engineering. Prentice Hall. Estados Unidos de América. 3-22, 25, 44-50, 415-424 pp.

[4] De la Cruz C., S. T. (2003) Contribution to the Assessment of the Efficiency of Friction

Dissipaters for Seismic Protection of Buildings. Tesis de Doctorado. Barcelona, España.

Departamento de Ingeniería del Terreno, Cartográfica y Geofísica. Universidad

Politécnica de Catalunya. 166-187 pp.

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México. 21-22 pp.

[6] Dyke, S. J., Betancourt, S., Caicedo, J. M. (2007) Instructor’s Guide. Introduction to

Dynamics of Structures. Washington University in Saint Louis. 1-6 pp.

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Ushuaia, Argentina.

[8] Paulay, T., Priestley, M. J. N. (1992) Seismic design of reinforced concrete and masonry

buildings. John Wiley & Sons. Canadá. 62, 69-70 pp.

[9] Paz, M. (1992) Dinámica Estructural, Teoría y Cálculo. REVERTÉ. Barcelona, España.

219-242, 285-295 pp.

[10] Perles, P. (2003) Temas de Estructuras Especiales. nobuKo. Argentina. 69, 74 pp.

[11] Reglamento de Construcción del Municipio de Juárez, Chihuahua-2004, que

establece el método para la determinación de cargas por sismo.

[12] Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318S-05), que establece

los criterios de evaluación de la resistencia de estructuras existentes, y las disposiciones

especiales para el diseño sísmico.

[13] Sáez, A. (2011) Apuntes de análisis dinámico: Estructuras III E.T.S. Capitulo 2. Sevilla,

España. 20 pp.

[14] Yang, B. (2005) Stress, Strain, and Structural Dynamics. Elsevier. Estados Unidos de

América. 353-354 pp.

123

ANEXO A

Peso de los Elementos del Modelo Flexible de Uno y Dos Niveles

Modelo Flexible Cubierta (kg) Acelerómetro (kg) Columna Izq. (kg) Columna Der. (kg) Nivel 1 0.505 0.125 0.237 0.237 Nivel 2 0.505 0.125 0.237 0.237

ANEXO B

Geometría de los Modelos Flexibles

0.173 cm

5

5

6

3 4

1 2

1 2

1.207 cm

1.26 cm

47.793 cm

Modelo de un nivel Modelo de dos nivel

50.26 cm

30.84 cm 10.80 cm

124

Nomenclatura de los elementos que conforman los modelos flexibles

ID #

Elemento Espesor

(m) Ancho

(m)

Altura total (m)

Altura Libre (m)

Largo (m)

Área transversal

(m²)

Momento de inercia

(m⁴)

1 Columna

1 0.00173 0.10800 0.50260 0.47793 -

1.8684E-04

4.65995E-11

2 Columna

2 0.00173 0.10800 0.50260 0.47793 -

1.8684E-04

4.65995E-11

3 Columna

3 0.00173 0.10800 0.50260 0.47793 -

1.8684E-04

4.65995E-11

4 Columna

4 0.00173 0.10800 0.50260 0.47793 -

1.8684E-04

4.65995E-11

5 Cubierta

1 0.01207 0.10800 - - 0.30840

1.3036E-03

1.58200E-08

6 Cubierta

2 0.01207 0.10800 - - 0.30840

1.3036E-03

1.58200E-08

ANEXO C

Componentes de la Mesa Vibratoria

Nomenclatura de los componentes de la mesa vibratoria

ID # Elemento ID # Elemento

1 Mesa de ensayo 9 Circuito de los sensores

2 Base 10 Sensor de límite izquierdo

3 Motor 11 Sensor de posición al centro

4 Tornillo Sinfín 12 Sensor de límite derecho

5 Anillo transportador 13 Conector del motor

6 Ajustador manual 14 Conector del circuito de sensores

7 Rieles guías de acero 15 Acelerómetro

8 Bloques de ensamble 16 Conector del acelerómetro

125

Componentes de la mesa vibratoria

126

3.00 cm 35.50 cm

ANEXO D

Geometría de los Modelos a Escala de Edificios

35.50 cm

3.00 cm 2.50 cm

3.00 cm

35.50 cm

3.00 cm

2.50 cm


35.50 cm

3.00 cm

19.00 cm

2.50 cm

35.50 cm

19.0 cm

127

ANEXO E

Estructura de Acero de Refuerzo de los Modelos a Escala


Varilla de acero de refuerzo con diámetro = 6.35 mm (1/4 in)

128

ANEXO F

Dosificación de la Mezcla Empleada en el Modelo a Escala

En base al criterio de diseño de mezclas de concreto del American Concrete Institute (ACI).

En la mezcla de concreto se empleó solamente material fino (arena), ya que para la

geometría del modelo a colar, no era posible emplear material grueso (grava). La resistencia

de diseño a los 28 días fue para un f’c = 350 kg/cm2.

Diseño de los especímenes

La dosificación de la mezcla es medida al peso tentativo del concreto fresco.

Para dosificar un metro cubico de concreto de resistencia f’c = 350 kg/cm2 a los 28 días, con

revenimiento de 75 a 100 mm, se empleará cemento Portland tipo 1.

Datos obtenidos en laboratorio

El agregado fino tiene módulo de finura de 3.0

El porcentaje de absorción de la arena es 0.9 %

Peso volumétrico (aparente) de arena es 2349.34 kg/m3

También se asume para fines de diseño un tamaño máximo de agregado de 3/8 in (9.5 mm).

Procedimiento:

1. Se determinó que la cantidad de agua por m3 en función al tamaño máx. de agregado

(9.5 mm) y del revenimiento (75 a 100 mm) es

Peso del agua = 202 kg/m3 de concreto (se toma de la tabla propuesta por el ACI)

.

129

2. La relación agua / cemento estimada para una resistencia media de 350 kg/cm2, medida

a los 28 días es

Peso del agua / peso del cemento = 0.40 (se toma de la tabla propuesta por el ACI)

3. El contenido de cemento será

Peso del cemento = 505 kg/m3 de concreto

4. El volumen aparente del agregado grueso, en función del módulo de finura del agregado

fino (3.0) y del tamaño máx. del agregado grueso (9.5 mm) es

Volumen aparente de grava = 0.44 m3

Peso del material a usar = (0.44 m3) (2349.34 kg/m3) = 1033.71 kg/m3 de concreto

5. Determinación del peso tentativo del concreto fresco

PVCF = 2200 kg/m3 (se toma de la tabla propuesta por el ACI)

6. Determinación del peso de agregado fino

PVCF = Peso del agua + Peso del cemento + Peso de la grava + Peso de la arena

Peso de la arena = PVCF - Peso del agua - Peso del cemento - Peso de la grava

Peso de la arena = 2200 kg – 202 kg -505 kg – 1033.71 kg

Peso de la arena = 459.29 kg/m3 de concreto

La dosificación de la mezcla, para un metro cúbico de la misma, es la siguiente

Material Peso (kg)

Agua 202.00

Cemento 505.00

Material fino

a utilizar

1033.71 + 459.29 = 1 493

130

7. Corrección por absorción

Absorción del material fino a utilizar = ( 𝟎.𝟗%

𝟏𝟎𝟎 )*(peso de arena) = (

𝟎.𝟗%

𝟏𝟎𝟎 )*(1 493 kg)

13.44 kg de agua por metro cúbico de la mezcla.

La dosificación corregida de la mezcla es

Material Peso (kg)

Agua 215.44

Cemento 538.60

Material fino

a utilizar 1446.00

131

GLOSARIO

Acelerograma. Registro de las a aceleraciones ocurridas durante un sismo, y representa las

magnitudes de aceleración y las frecuencias de las cuales se compone un sismo durante el

evento.

Amortiguamiento. Es la capacidad del edificio a neutralizar o suprimir la vibración, y por lo

tanto, a disipar energía.

Amortiguamiento Crítico. Es la menor cantidad de amortiguamiento que produce que un

sistema vuelva a su posición de equilibrio sin oscilar.

Amortiguamiento Modal. Se define como el cociente del amortiguamiento crítico ccr para

cada modo de vibración.

Amortiguamiento Viscoelástico. Es la clase de amortiguación del movimiento que existe en

un líquido viscoso ideal. Al incluir este tipo de amortiguación, la propiedad lineal de las

ecuaciones diferenciales del movimiento no se altera.

Ductilidad. Es aquella propiedad que bajo la acción de una fuerza externa, puede deformarse

sosteniblemente sin llegar a la ruptura.

Frecuencia Fundamental. Frecuencia que tiene mayor factor de participación en una

estructura ante excitaciones en su base.

Frecuencia Natural. Frecuencia a la cual la estructura puede vibrar libremente.

Frecuencias Altas. Representan los periodos cortos en los llamados modos armónicos.

Modo Fundamental. Modo de vibración que tiene mayor factor de participación en una

estructura ante excitaciones en su base.

Modos Normales. Corresponden a cada frecuencia natural, y son los posibles movimientos

armónicos de vibración en que todas las masas de la estructura se mueven en fase con la

misma frecuencia ωn.

tesis respuesta dinÁmica de edificios sujetos a cargas de sismo

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