tesis doctoral análisis de los conocimientos geométricos

TESIS DOCTORAL

ANLISIS DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMTRICOS

PREUNIVERSITARIOS Y SU INFLUENCIA EN LA

FORMACIN DE LOS ALUMNOS DE LAS

ESCUELAS TCNICAS

TOMO I

por

Luis Mndez Valentn

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

presentada en la

Escuela Tcnica Superior

de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

de la

Universidad Politcnica de Madrid

para la obtencin del

Grado de Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Septiembre de 1.996

En relacin con mi Tesis Doctoral (1): r^us/s >g eos

mediante el presente escrito autorizo su (2):

n Consulta en Biblioteca. ) Reproduccin parcial por fotocopia de las pginas/Captulos ( ): { ) Reproduccin total mediante fotocopia,

con las dos condiciones que seguidamente se indican:

1. Que, por parte de la Direccin de la Biblioteca se me comunique a la direccin que indico al pie del presente escrito, el uso que a tenor de

cuanto queda autorizado en este escrito, haya sido objeto la mencionada Tesis Doctoral.

2. Que, en el caso de que alguna parte de su contenido sea, utilizado en alguna publicacin o trabajo de carcter cientfico o tcnico, se

cite el origen de la informacin.

Madrid, H_ de sePTeM&/le. de 1.9 ^ .

AUTOR DE LA TESIS:

Nombre: Lu^s, MENiie^ VAOEAST/M Domicilio ^.T^. j) /M?gA//e/ec73 i>e cu/Aros. C. Postal Z8o4:o Ciudad MAz/i/D Telf.: ^3QG^o/^

(1) Indicar el ttulo de la Tesis Doctoral. (2) Indicar con una "X" lo que proceda. (3) Indicar el nmero de los Captulos o pginas, que procedan.

TESIS DOCTORAL

ANLISIS DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMTRICOS

PREUNIVERSITARIOS Y SU INFLUENCIA EN LA FORMACIN DE LOS

ALUMNOS DE LAS ESCUELAS TCNICAS

por: D. Luis Mndez Valentn

DIRECTORES DE TESIS: D. Jos Manuel Martnez Simn

D. Carmen Oate Gmez

TRIBUNAL CALIFICADOR

Presidente: 1>- l~V -wdsc o G-occ^le^t Go^v^j i;

Vocales: ^ . H'JQV;,^( A^pel G"' ^'S-oc 1

, ^ =^-5 -cL.

Acuerda otorgrale la calificacin de APTO CUH LAOX>^ FOK

Madrid, N?de

PLANTEAMIENTO Y RESUMEN

Durante los ltimos aos existe una creciente y continua preocupacin

en los rganos Rectores de la Universidad Politcnica de Madrid por alcanzar

el mayor nivel de calidad de enseanza. Ello ha dado lugar a que se hayan

programado una serie de estudios al respecto, que estn siendo desarrollados

por parte de sus distintos estamentos y organizaciones. Entre los resultados

obtenidos en algunos de estos estudios, se ha detectado, a travs de los

factores de resultados asociados al rendimiento acadmico de los alumnos, la

existencia del inaceptable grado de fracaso escolar que se da entre ellos; as

como la influencia que en esta situacin tiene el nivel de conocimientos con

que dichos alumnos acceden a esta Universidad.

En la presente investigacin se particulariza esta circunstancia al caso

especfico de la asignatura de Dibujo Tcnico de primer curso, analizndose

la influencia que, en los porcentajes de alumnos que suspenden dicha

asignatura anualmente, tiene el nivel de conocimientos de Geometra con que

estos alumnos, al ingresar en la U.P.M. abordan el estudio de la misma.

A tal fin se realiza un examen de la estructuracin, cualitativa y

cuantitativa, que, el Sistema Educativo de la Ley General de Educacin de

1.970, presenta respecto a los contenidos geomtricos preuniversitarios. En

base a estos contenidos se elaboran unos cuestionarios de treinta preguntas

de respuesta mltiple, con los que medir y analizar el nivel de conocimientos

geomtricos de acceso de los alumnos de nuevo ingreso matriculados en la

U.P.M. durante los aos de 1.990 al 1.994.

Adems de analizar y determinar el nivel de los conocimientos

geomtricos, se fijan como otros objetivos, los anlisis de:

- La variacin que pueda experimentar dicho nivel entre 1.990 y 1.994.

- La incidencia que en l pueda tener la estructuracin de los contenidos

geomtricos del mencionado Sistema Educativo.

- Las diferencias que este nivel pueda presentar en las tres Geometras:

Mtrica Plana, Mtrica del Espacio y Descriptiva, que concurren en la

asignatura de Dibujo Tcnico; as como en la operatividad, razonamiento y

memorizacin de los conceptos geomtricos preuniversitarios.

- Las diferencias que este nivel pueda presentar segn que los alumnos

pertenezcan a Escuelas Tcnicas Superiores o a Escuelas Universitarias.

- La redaccin y propuesta de un cuestionario de Dibujo Tcnico a

travs del cual correlacionar el nivel de conocimientos de acceso con los

resultados obtenidos en esta asignatura al final del curso acadmico.

Como resultado de esta investigacin se establecen las siguientes

conclusiones respecto a los conocimientos geomtricos con los que la

poblacin considerada inicia su formacin tcnica universitaria en la U.P.M.:

- Caractersticas homogneas de la poblacin a lo largo de los cinco

aos de estudio.

- Un bajo nivel de conocimientos geomtricos bien adquiridos, junto con

un alto nivel de conocimientos errneamente adquiridos, y un nivel de

desconocimiento que raya en el lmite del mximo admisible.

- En Geometra Mtrica del Espacio es donde se dan tanto el menor

nivel de conocimientos bien adquiridos como el mayor nivel de conocimientos

errneos y el mayor nivel de desconocimiento; mientras que el menor nivel de

desconocimiento se da en Geometra Mtrica Plana, muy prximo al de

Geometra Descriptiva.

- Respecto a las capacidades intelectuales de los alumnos para

memorizar, operar y razonar sobre conceptos geomtricos, no existe un

marcado predominio de ninguna de las tres actividades sobre las otras dos.

- En los conceptos geomtricos de C.O.U. se dan, tanto el menor nivel

de conocimientos bien adquiridos como el mayor nivel de conocimientos

errneos; y en los de E.G.B., el mayor nivel de conocimientos bien adquiridos

y el menor nivel de conocimientos errneos.

- El nivel de conocimientos de los alumnos de las Escuelas Tcnicas

Superiores est ligeramente por encima del nivel de los alumnos de las

Escuelas Universitarias; aunque la diferencia entre ellos es poco significativa.

AGRADECIMIENTOS

Quiero en estas lneas expresar y dejar constancia de mi gratitud para

todos aquellos que, de una u otra manera, me han prestado su apoyo y aliento

durante el desarrollo de esta investigacin, entre ellos, mis compaeros de las

la Unidad de Docencia del rea de Expresin Grfica de la Escuela Tcnica

Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid: D. Francisco

Borras Marimn, D. Jos Antonio Fernndez Zapata, D. Jos Luis Garca

Calleja, D. Francisco Gonzlez Gmez, D. Rubn Martnez Marn y D. Enrique

Rojo Ramos, y muy particularmente, D. Carlos Gordo Murillo, por su ayuda

inestimable en la elaboracin de grficos.

Especial mencin para D. Jos Domnguez de Posada, tambin

compaero, y Profesor del rea de Expresin Grfica en la Universidad

Alfonso X El Sabio, por su desinteresada y diligente colaboracin en todo el

proceso informtico llevado a cabo para el tratamiento estadstico de datos;

as como a D . Carmen Oate Gmez, codirectora de esta tesis, por su

cooperacin en diferentes fases de su realizacin.

Por ltimo, mi agradecimiento ms profundo y emotivo a D. Jos

Manuel Martnez Simn, director de esta tesis, quien, haciendo gala de su

gran generosidad, dedicacin, entusiasmo y paciencia, ha contribuido de

forma notable a que este trabajo de investigacin se haya podido iniciar,

desarrollar y concluir felizmente.

A todos, sinceramente, gracias.

IV

NDICE

TOMO I

Pg.

PLANTEAMIENTO Y RESUMEN I

AGRADECIMIENTOS IV

NDICE V

LISTA DE SGLAS Y ABREVIATURAS XII

LISTA DE TABLAS XIII

LISTA DE CUADROS XV

CAPTULO 1: INTRODUCCIN 1

CAPTULO 2: EVOLUCIN HISTRICA DE LA GEOMETRA 8

2.0. INTRODUCCIN 8

2 .1 . LA GEOMETRA PREHELNICA 9

2.2. LA GEOMETRA EN GRECIA 13

2.3. LA GEOMETRA EN LA EDAD MEDIA 23

2.4. EL RENACIMIENTO DE LA GEOMETRA 25

2.5. LAS NUEVAS GEOMETRAS 28

2.5.1. Geometra Analtica 28

2.5.2. Geometra Descriptiva 33

2.5.3. Geometra Proyectiva 35

2.5.4. Geometras No-eucldeas 38

2.6. GEOMETRAS CONTEMPORNEAS 42

CAPTULO 3: LA GEOMETRA EN LOS PLANES

DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS 47

3.0. INTRODUCCIN 47

3.1. EL SISTEMA EDUCATIVO DE LA L.G.E. DE 1.970 48

3.2. PLAN DE ESTUDIOS DEL SISTEMA L.G.E. (PLAN 1.970) . . . 52

V

Pg.

3.2.1. Educacin General Bsica (E.G.B.) 52

3.2.2. Bachillerato Unificado Polivalente (B.U.P.) 53

3.2.3. Curso de Orientacin Universitaria (C.O.U.) 55

3.3. CONTENIDOS DE LAS MATERIAS EN RELACIN

CON LA GEOMETRA 57

3.3.1. Dibujo 57

3.3.1.1. Educacin General Bsica (E.G.B.) 57

3.3.1.2. Bachillerato Unificado Polivalente (B.U.P.) 60

3.3.1.2.1. Formacin Esttica: Dibujo 60

3.3.1.2.2. Actividades Tcnico-Profesionales

(E.A.T.P.): Diseo 62

3.3.1.2.2.1. Dibujo Tcnico 63

3.3.1.2.2.2. Fundamentos Artsticos del Diseo 70

3.3.1.3. Curso de Orientacin Universitaria (C.O.U.) 74

3.3.2. Matemticas 77

3.3.2.1. Educacin General Bsica (E.G.B.) 77

3.3.2.2. Bachillerato Unificado Polivalente (B.U.P.) 83

3.3.2.3. Curso de Orientacin Universitaria (C.O.U.) 86

3.4. ANLISIS DE LOS CONTENIDOS GEOMTRICOS 88

3.4.1. Educacin General Bsica (E.G.B.) 89

3.4.2. Bachillerato Unificado Polivalente (B.U.P.) 90

3.4.3. Curso de Orientacin Universitaria (C.O.U.) 94

3.4.4. Conclusiones 96

CAPTULO 4: LA GEOMETRA EN LA ASIGNATURA DE

DIBUJO TCNICO 99

4.0. INTRODUCCIN 99

4 .1 . LA GEOMETRA COMO BASE DE RAZONAMIENTO 100

4.2. LA GEOMETRA COMO BASE DE CONOCIMIENTO 108

VI

Pg.

4.3. CONTENIDOS GEOMTRICOS DE LAS ASIGNATURAS

GRFICAS 116

CAPTULO 5: LA DIDCTICA DE LA GEOMETRA 126

5.0. INTRODUCCIN 126

5.1. EL PROCESO EDUCATIVO 126

5.2. TEORAS DEL APRENDIZAJE 129

5.3. EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRA 137

5.3.1. Los niveles de razonamiento geomtrico de Van Hiele . . . 141

5.3.2. Etapas del aprendizaje de la Geometra 148

5.4. LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA 150

5.5. METODOLOGA EN LA ENSEANZA-APRENDIZAJE

DE LA GEOMETRA 155

5.5.1. La estructura de laboratorio 157

5.5.2. La resolucin de problemas geomtricos 159

CAPTULO 6: OBJETIVOS 162

CAPTULO 7: HIPTESIS 167

CAPTULO 8: METODOLOGA 170

8 .1 . POBLACIN 170

8.2. MUESTRA 172

8.3. PROCEDIMIENTO 177

8.4. CUESTIONARIOS 178

8.4.1. Caractersticas generales 178

8.4.2. Caractersticas particulares 180

8.4.2.1. Cuestionarios de Dibujo 181

8.4.2.2. Cuestionarios de Matemticas 184

vil

Pg.

CAPTULO 9: ANLISIS DE DATOS 188

9.0. INTRODUCCIN 188

9.1. JUSTIFICACIN ESTADSTICA DE LOS

CUESTIONARIOS DE DIBUJO 189

9.1.1. Fiabilidad 189

9.1.2. Anlisis de preguntas 191

9.1.2.1. Coeficiente de dificultad 192

9.1.2.2. Coeficiente de discriminacin 193

9.2. PROPUESTA DE CUESTIONARIO DE DIBUJO TCNICO . . . . 194

9.3. RESULTADOS ANUALES DE DIBUJO TCNICO 213

9.3.1. Respuestas al cuestionario de 1.990 213

9.3.1.1. rea de Conocimiento 214

9.3.1.2. rea de Actividad Mental 217

9.3.1.3. Referencia Cronolgica 220

9.3.1.4. Puntuacin global de la prueba 224
















Vil!

Pg.






9.4. RESULTADOS GLOBALES DE DIBUJO TCNICO 288

9.4.1. Anlisis interanual de preguntas repetidas 288

9.4.1.1. Preguntas de Geonnetra Mtrica Plana 291

9.4.1.2. Preguntas de Geometra Mtrica del Espacio 293

9.4.1.3. Preguntas de Geometra Descriptiva 298

9.4.2. Anlisis interanual por reas 304

9.4.2.1. Correlacin entre reas 304

9.4.2.2. Resultados globales por reas 307

9.4.2.2.1. rea de Conocimiento 308

9.4.2.2.2. rea de Actividad Mental 310

9.4.2.2.3. Referencia Cronolgica 312

9.4.3. Anlisis interanual por cuestionarios 318

9.5. RESULTADOS DE GEOMETRA ANALTICA 325

9.5.1. Anlisis interanual de preguntas repetidas 327

9.5.2. Anlisis interanual de resultados globales 332

CAPTULO 10: CONCLUSIOIMES 337

BIBLIOGRAFA 347

IX

NDICE DE ANEXOS

TOMO II

A. I . - DATOS GENERALES

TABLA A.1.1.- DISTRIBUCIN DE TEMAS Y HORAS DEDICADOS A

LA GEOMETRA EN EL SISTEMA EDUCATIVO L.G.E.

(PLAN 1.970).

TABLA A. 1.2.- ALUMNOS DE NUEVO INGRESO ADMITIDOS EN LA

U.P.M. DURANTE LOS AOS 1.990 AL 1.994.

TABLA A.1.3.- ALUMNOS MATRICULADOS EN LA U.P.M. DURANTE

LSANOS 1.990 AL 1.994.

TABLA A.1.4.- ALUMNOS DE NUEVO INGRESO MATRICULADOS EN

PRIMER CURSO EN LA U.P.M. DURANTE LOS AOS

1.990 AL 1.994.

TABLA A.1.5.- ALUMNOS MATRICULADOS EN LA U.P.M. EN LA

ASIGNATURA DE DIBUJO TCNICO DE PRIMER

CURSO DURANTE LOS AOS 1.990 AL 1.994.

TABLA A. 1.6.- NOTA MNIMA DE ACCESO EXIGIDA A LOS

ALUMNOS DE NUEVO INGRESO EN LA U.P.M.

DURANTE LOS AOS 1.990 AL 1.994.

TABLA A.1.7.- ALUMNOS DE NUEVO INGRESO ADMITIDOS EN LOS

CENTROS DE LA U.P.M. DONDE SE PASARON LAS

ENCUESTAS DURANTE LOS AOS 1.990 AL 1.994.

TABLA A.1.8.- ALUMNOS DE NUEVO INGRESO MATRICULADOS EN

LA U.P.M. QUE PARTICIPARON EN LAS ENCUESTAS

DURANTE LOS AOS 1.990 AL 1.994.

A.2.- DIBUJO TCNICO

A.2 . I . - CUESTIONARIOS ADMINISTRADOS DURANTE LOS AOS

1.990 AL 1.994.

TABLA A.2 . I . - DISTRIBUCIN DE LAS PREGUNTAS POR

REAS

A.2.2.- RESULTADOS POR PREGUNTAS

A.2.3.- RESULTADOS DE LAS PREGUNTAS REPETIDAS

A.2.4.- RESULTADOS ANUALES DISTRIBUIDOS POR REAS

A.2.5.- RESULTADOS GLOBALES DISTRIBUIDOS POR REAS

A.3.- GEOMETRA ANALTICA

A.3. I . - CUESTIONARIOS ADMINISTRADOS DURANTE LOS AOS

1.990 AL 1.994.

TABLA A.3.1.-DISTRIBUCIN DE LAS PREGUNTAS POR

REAS

A.3.2.- RESULTADOS POR PREGUNTAS

A.3.3.- RESULTADOS DE LAS PREGUNTAS REPETIDAS

A.3.4.- RESULTADOS ANUALES DISTRIBUIDOS POR REAS

A.3.5.- RESULTADOS GLOBALES DISTRIBUIDOS POR REAS

XI

LISTA DE SIGLAS Y ABREVIATURAS

a. de J.C.

B.U.P.

C.E.N.E.B.A.D

C.O.U.

d. de J.C.

E.A.T.P.

E.G.B.

E.P.

E.T.S.

E.U.

F.P.

G.A.

G.D.

G.M.E.

G.M.P.

I.C.E.

I.N.B.A.D.

INF.

L.G.E.

L.O.G.S.E.

M.E.C.

O.M.

OPE.

R.D.

RAZ.

SPSSX

U.N.E.D.

U.P.M.

Antes de Jesucristo.

Bachillerato Unificado Polivalente.

Centro Nacional de Educacin a Distancia.

Curso de Orientacin Universitaria.

Despus de Jesucristo.

Enseanza y Actividad Tcnico-Profesionales.

Educacin General Bsica.

Educacin Preescolar.

Escuela(s) Tcnica(s) Superior(es).

Escuela(s) Universitaria(s).

Formacin Profesional.

Geonnetra Analtica.

Geometra Descriptiva.

Geometra Mtrica del Espacio.

Geometra Mtrica Plana.

Instituto de Ciencias de la Educacin.

Instituto Nacional de Bachillerato a Distancia.

rea Informativa.

Ley General del Sistema Educativo de 1.970.

Ley Orgnica de Ordenacin General del Sistema

Educativo de 1.990.

Ministerio de Educacin y Ciencia.

Orden Ministerial.

rea Operativa.

Real Decreto.

rea de Razonamiento.

Statistical Package for Social Sciences.

Universidad Nacional de Educacin a Distancia.

Universidad Politcnica de Madrid.

XII

LISTA DE TABLAS

TABLA 3.1

TABLA 6.1

TABLA A. 1.1

TABLA A. 1.2.

TABLA A.I .3.-

TABLA A. I .4. -

TABLA A. 1.5.

TABLA A. 1.6.-

TABLA A.1.7.

TABLA A. 1.8.

Horas lectivas totales dedicadas a la enseanza de la

Geometra en el Plan de Estudios del Sistema Educativo de

la Ley General de Educacin de 1.970 (pg. 89).

Alumnos matriculados en la U.P.M. durante los aos

1.990 al 1.994: a) de nuevo ingreso; b) totales y

repetidores en la asignatura de Dibujo Tcnico de primer

curso (pg. 163).

Distribucin de temas y horas dedicados a la Geometra en

el Plan de Estudios del Sistema Educativo de la Ley

General de Educacin de 1.970 (Anexo A.1).

Alumnos de nuevo ingreso admitidos en la U.P.M. durante

los aos 1.990 al 1.994 (Anexo A.1).

Alumnos matriculados en la U.P.M. durante los aos

1.990 al 1.994 (Anexo A.1).

Alumnos de nuevo ingreso matriculados en primer curso

en la U.P.M. durante los aos 1.990 al 1.994 (Anexo A.1)

Alumnos matriculados en la U.P.M. en la asignatura de

Dibujo Tcnico de primer curso durante los aos 1.990 al

1.994 (Anexo A.1).

Nota mnima de acceso exigida a los alumnos de nuevo

ingreso en la U.P.M. durante los aos 1.990 al 1.994

(Anexo A.1).

Alumnos de nuevo ingreso admitidos en los Centros de la

U.P.M. donde se pasaron las encuestas durante los aos

1.990 al 1.994 (Anexo A.1).

Alumnos de nuevo ingreso matriculados en la U.P.M. que

participaron en las encuestas durante los aos 1.990 al

1.994 (Anexo A.1).

XIII

TABLA A.2.1.- Distribucin de las preguntas de ios cuestionarios de

Dibujo Tcnico por reas (Anexo A.2).

TABLA A.3.1.- Distribucin de las preguntas de los cuestionarios de

Geometra Analtica reas (Anexo A.3).

XIV

LISTA DE CUADROS

CUADRO 3.1

CUADRO 3.2

CUADRO 9.1

CUADRO 9.2

CUADRO 9.3

CUADRO 9.4

CUADRO 9.5

CUADRO 9.6

CUADRO 9.7

CUADRO 9.8

CUADRO 9.9

CUADRO 9.10

Organigrama del Sistema Educativo de la Ley General de

Educacin de 1.970 (pg. 49)

Porcentaje de horas lectivas destinadas a la enseanza de

la Geometra en el Sistema Educativo de la Ley General de

Educacin de 1.970 (pg. 97).

Coeficientes de dificultad de las preguntas de los

cuestionarios de Dibujo Tcnico (pg. 195).

Coeficientes de discriminacin de las preguntas de los

cuestionarios de Dibujo Tcnico (pg. 196).

Histograma de frecuencias del cuestionario de Dibujo

Tcnico del ao 1.990. Global U.P.M. (pg. 225).


Tcnico del ao 1.990. Escuelas Tcnicas Superiores

(pg. 226).


Tcnico del ao 1.990. Escuelas Universitarias (pg. 227).





(pg. 241).







(pg. 256).

XV

CUADRO 9.11

CUADRO 9.12

CUADRO 9.13

CUADRO 9.14

CUADRO 9.15

CUADRO 9.16

CUADRO 9.17

CUADRO 9.18

CUADRO 9.19







(pg. 271).


Tcnicodel ao 1.993. Escuelas Universitarias (pg. 272).





(pg. 286).


Tcnicodel ao 1.994. Escuelas Universitarias (pg. 287).

Porcentajes de respuestas acertadas, falladas y dejadas en

blanco relativas al total del cuestionario de Dibujo Tcnico

durante los aos 1.990 al 1.994 (pg. 321).

Porcentajes de respuestas acertadas y falladas relativas al

total del cuestionario de Dibujo Tcnico durante los aos

1.990 al 1.994; y nmero de preguntas de C.O.U.

incluidas en los mismos (pg. 323).

XVI

CAPITULO 1

INTRODUCCIN

Como una gran parte de los universitarios de mi generacin, llevado no

solo por la necesidad de contar con unos recursos econmicos que me

permitieran hacer mas llevadera la vida de estudiante, sino tambin para dar

satisfaccin a una vocacin que ya por aquella poca se estaba despertando

en m, durante mi poca de Universidad ejerc la docencia con alumnos de

Bachillerato de una forma liberal e individualizada.

A partir de entonces, y sin abandonar mi profesin de Ingeniero de

Caminos, he estado de una manera casi continua en contacto con la actividad

docente, lo cual ha propiciado que, desde hace casi dos lustros, forme parte

del colectivo de profesores del rea de Expresin Grfica de la Escuela de

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid, haciendo as posible

que, lo que hasta entonces haba sido un sueo, se haya podido convertir en

una realidad, que, hasta la fecha -he de confesar sinceramente- est siendo

altamente gratificante, sobre todo, en cuanto a los aspectos humanos y

docentes se refiere.

Desde aquellos comienzos, a finales de la dcada de los sesenta, hasta

ahora ha existido m una doble inquietud, que se haca patente cada vez que

tena que dar una clase: adquirir la mayor cantidad de conocimientos sobre la

materia que iba a explicar y transmitir esos conocimientos de la forma y modo

que ms se adecuaran al alumno que los reciba. Cuando comenc a impartir

clase de Dibujo Tcnico a los alumnos de primer curso de la Escuela Tcnica

Superior de Ingenieros de Caminos, colectivo por cierto bastante numeroso,

esa misma inquietud me hizo ver la necesidad de que, tanto la cantidad como

la calidad de las explicaciones que tena que dar, deban ajustarse a las

1

Cap. 1: Introduccin

exigencias que las caractersticas de dicho colectivo imponan.

En base a ello, mi sentido de la responsabilidad me impuso que,

aprovechando la oferta anual de Cursos y Seminarios para la Formacin

Permanente del Profesorado del Instituto de Ciencias de la Educacin (I.C.E.)

de la Universidad Politcnica de Madrid, participara en todos cuantos me fuera

necesarios. De estos cursos y seminarios aprend, conducido por la mano

maestra de su directora D . Rosa Mara Gonzlez Tirados, no solo en qu

consisten y como poner en prctica los mtodos y tcnicas ms avanzados

de la didctica moderna, sino que pude darme cuenta tambin del gran

esfuerzo que est realizando el Rectorado de nuestra Universidad para que

esta Institucin responda plenamente a las exigencias educativas, tcnicas y

de investigacin que el tipo de sociedad actual impone.

Un ndice, entre otros muchos, de dicho esfuerzo son los trabajos y

desvelos de este I.C.E. para que la calidad del Sistema Educativo de la

Enseanza Superior mejore da a da. Un claro ejemplo de ello es la extensa

documentacin publicada por dicho Instituto de los trabajos de investigacin

docente que ha realizado hasta ahora sobre distintos aspectos de la docencia

en la Universidad Politcnica de Madrid (U.P.M.).

Un largo camino se ha recorrido hasta la fecha desde finales del siglo

XVIII, en que nacen las Escuelas de Ingenieros en Espaa para formar

especialistas de alto nivel al servicio del Estado. Como ejemplos se pueden

citar la Academia de Ingenieros de la Armada, creada en 1.772 (actual Escuela

de Ingenieros Navales); la Escuela de Ingenieros de Minas, fundada en 1.777;

la de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, fundada en 1.802; la de

Ingenieros de Bosques (actualmente Montes), en 1.835; la de Ingenieros

Industriales, en 1.850; la de Ingenieros Agrnomos, en 1855; y ya en nuestro

siglo, las de Ingenieros de Telecomunicacin e Ingenieros Aeronuticos,

Cap. 1: Introduccin

fundadas en 1913 y 1929, respectivamente.

En todas ellas exista un mismo comn denominador, que era su

filosofa de actuacin, ya que todas funcionaban prcticamente como centros

de formacin de profesionales de alto nivel, destinados a satisfacer entonces

la demanda del sector pblico, y tambin, cada vez ms ahora, principalmente

la del sector privado.

Desde aquellos comienzos hasta ahora, las Escuelas de Ingenieros, que

a partir de la dcada de los setenta se aglutinan en Madrid como Universidad

Politcnica, han evolucionado, junto con el resto de las Universidades pblicas

y privadas de nuestra geografa, de una forma considerable. Remontndonos

simplemente a la mitad del siglo actual, se puede observar como hasta la

dcada de los sesenta la Universidad se conceba como una Institucin o

Centro destinado a conservar saberes, cuyos objetivos eran desarrollarlos y

transmitirlos a pocos ciudadanos que gozaban de una situacin de privilegio.

Durante la dcada de los sesenta se produjo, provocado tanto por la explosin

demogrfica como por el desarrollo econmico de aquellos aos, un

incremento de la demanda de estudios superiores, llegando a una situacin de

masificacin, que an perdura. Esto trajo consigo un cambio en los objetivos,

ya que haba que hacer frente a aquella nueva situacin, para lo cual se hizo

necesario modificar las viejas estructuras y metodologas del sistema

educativo existente, provocando todo ello un incremento del gasto destinado

a la educacin superior. Consecuentemente, en la dcada de los setenta la

estrategia econmica del Estado oblig a que fueran objetivos prioritarios la

contencin de dicho gasto y el freno a su tan inesperado crecimiento. Es en

la dcada de los ochenta cuando ya apareci una preocupacin por la calidad

de enseanza, con carcter general en todos los niveles educativos,

preocupacin que se fue incrementando con el paso de los aos hasta llegar

a la dcada actual, en la que, al pasar a considerar a la educacin superior

Cap. 1: Introduccin

como un factor del desarrollo tecnolgico y de crecimiento econmico, se

intensifican los esfuerzos por la consecucin de la calidad en los procesos

formativos universitarios, encaminados al logro de un incremento del

rendimiento econmico y social del pas y de la propia Institucin.

En esta nueva filosofa de actuacin, se puede observar como se

empieza a producir un cambio conceptual de la Universidad, de forma tal que

ahora es una Institucin que asume un compromiso de servicio hacia la

sociedad, a cuyas necesidades se han de adecuar los objetivos institucionales,

que ya no son nicamente los de avanzar en el conocimiento, transmitir

cultura y valores y capacitar profesionalmente, sino que, adems, aparecen

otros nuevos, entre los cuales pueden citarse: desarrollar tica, esttica y

socialmente a los estudiantes, potenciar su espritu innovador y creativo,

contribuir mediante la investigacin al anlisis y solucin de los problemas

sociales, adecuar la oferta educativa a la demanda de empleo, etc.

De la evaluacin del nivel de logro de dichos objetivos se puede

desprender si el grado de calidad obtenido en el proceso formativo es, o no,

el deseado. Dado lo ntimamente ligado que el rendimiento acadmico est a

la calidad de enseanza, una forma bastante habitual de analizar el nivel de

dicha calidad es mediante la evaluacin del rendimiento acadmico, realizada

a travs de los llamados factores de resultados, que segn Gonzlez Tirados

(1994) son:

1.- Nivel de logro de los objetivos educativos previstos por parte de

los estudiantes que se gradan.

2.- Relacin entre el nmero de estudiantes que se gradan y los

que inician los estudios.

Cap. 1: Introduccin

3.- Duracin media de la carrera.

4.- Tiempo medio consumido en la Universidad por aquellos

estudiantes que no logran graduarse.

5.- Garantas de progreso en funcin de capacidades reales y nivel

de esfuerzo de ios estudiantes.

En un estudio hecho por Gonzlez Tirados (1991) en nuestra

Universidad, estos factores de resultados indicaban que la situacin no era del

todo satisfactoria, ya que, por ejemplo, la relacin entre el nmero de

estudiantes que se gradan y los que empiezan sus estudios est en niveles

inferiores al cincuenta por ciento; asimismo, la duracin media de las carreras

de dos ciclos (seis aos nominales) vara entre 7,13 y 8,95 aos, y la de las

carreras de un ciclo (tres aos nominales) entre 4,32 y 6,73 aos. Estos

resultados se puede resumir en una sola frase: existe un alto nivel de fracaso

escolar en nuestra Universidad, lo cual es gravemente significativo, dado que

a esta Institucin acceden los estudiantes con mejores notas de todos los de

Enseanzas Medias, teniendo que admitir, por lo tanto, que nuestro Sistema

Educativo no funciona todo lo bien que sera deseable.

Como elemento integrante de dicho Sistema, y asumiendo la parte de

responsabilidad que me corresponde, todo lo hasta aqu expuesto me ha

hecho pensar sobre como podra yo contribuir a la mejora del Sistema.

Empec a vislumbrar la respuesta a raz de mi participacin en un Seminario

que, sobre Calidad de Enseanza Superior, imparti el I.C.E. en 1994. Uno de

los puntos tratados en este Seminario era el anlisis de los de ndices de

Calidad en la Enseanza Universitaria, que segn este Instituto son:

1.- ndice de calidad de elaboracin de planes de estudio.

Cap. 1: Introduccin

2.- ndice del nivel de acceso de los estudiantes.

3.- ndice de calidad del proceso enseanza-aprendizaje.

4.- ndice de calidad de resultados inmediatos.

5.- ndice de calidad de integracin.

6.- ndice de aceptacin y desenvolvimiento profesional.

Mi atencin se fij en los dos primeros ndices: los relativos a los planes

de estudio y al nivel de acceso de los estudiantes; ya que con respecto al

nivel de acceso, no era la primera vez que me preguntaba cual era la causa de

que unos alumnos de brillante expediente acadmico preuniversitario tuvieran

tanta dificultad para, no solo alcanzar los niveles exigidos al final del primer

curso de sus estudios tcnicos, sino tambin para, simplemente, poder

acceder al nivel inicial mnimo necesario para seguir con aprovechamiento las

clases de la asignatura de Dibujo Tcnico.

Animado tanto por mi Director de Tesis, tambin Profesor Titular de

dicha asignatura, como, adems, por las declaraciones del Secretario General

del Consejo de Universidades D. Miguel ngel Quintanilla (1994) respecto a

que "existe un desequilibrio entre docencia e investigacin, debido a que,

generalmente, los profesores han volcado sus esfuerzos en la tarea cientfica",

tom la decisin de que mi Tesis Doctoral fuera un trabajo de investigacin

docente sobre uno de los ndices de calidad de la Enseanza Universitaria: el

nivel de conocimientos con que acceden los alumnos de nuevo ingreso a la

U.P.M. Adems, buscando que los resultados del mismo pudieran tener una

aplicacin a la asignatura de Dibujo Tcnico, se consider conveniente centrar

su desarrollo en torno a uno de los dos aspectos mas significativos de la

Cap. 1: Introduccin

misma, como es el estudio de la Geometra; ya que el otro, la Visin Espacial,

fue analizado en 1.994 brillantemente por el profesor D. Jos Domnguez de

Posada en su Tesis Doctoral "Influencia de las Asignaturas Grficas sobre el

desarrollo de la Visin Espacial en los alumnos de las Escuelas Tcnicas

Superiores: Estudio Monogrfico en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos de Madrid".

CAPTULO 2

EVOLUCIN HISTRICA DE LA

GEOMETRA

2.O.- INTRODUCCIN.

El ser humano es eminentemente Imaginativo, cualidad sta que le

confiere una capacidad creativa, que es sin duda la manifestacin ms

fructfera del dilogo existente entre su espacio interior y el espacio exterior

que le rodea. Desde su aparicin sobre la Tierra hasta nuestros das, en el ser

humano se ha establecido este dilogo como consecuencia de la exploracin

que, de una forma continua y progresiva, ha ido realizando de ambos

espacios. Dicha exploracin ha generado el desarrollo de dos ciencias: la

Filosofa, cuyo objeto es el estudio de su espacio interior y la Geometra, cuyo

objeto es el estudio del espacio exterior.

Es por lo tanto correcto afirmar que la Geometra es tan antigua como

la propia humanidad, y que con ella ha ido evolucionando, progresando y

formando parte del conocimiento y del saber humano ?. No es fcil contestar

a esta pregunta ya que tampoco es fcil precisar los orgenes de la Geometra.

Esta es una cuestin que ha preocupado y sigue preocupando a los

historiadores de la Ciencia. Uno de ellos, el griego Herodoto en el captulo CIX

de su libro II, explicaba as el nacimiento de la Geometra en Egipto: Los

sacerdotes me dijeron, adems, que el faran Sesostris hizo el reparto de las

tierras, asignando a cada egipcio, por sorteo, partes cuadradas iguales, a

condicin, sin embargo, de que le pagaran todos los aos un cierto canon que

formaba parte de la renta real. Si una crecida del Nilo llevaba a alguien una

parte de su lote, ste iba a encontrarse con Sesostris para exponerle el

Cap. 2: Evolucin Histrica de la Geometra

accidente, y el faran enviaba al lugar a sus agrimensores^ para medir en

cuanto haba disminuido la propiedad, a fin de que pagara el canon convenido,

solamente, en la parte correspondiente al terreno que le haba quedado. Este

es, yo creo, el origen de la Geometra, que ha pasado de este pas a Grecia.

Por su parte Aristteles tambin fija los orgenes de la Geometra en

Egipto, cuyo nacimiento y desarrollo se vieron impulsados, no por una

necesidad prctica como argumenta Herodoto, sino por una clase sacerdotal

ociosa.

La no existencia de documentos de la poca prehistrica hace imposible

establecer una teora sobre sus conocimientos geomtricos, sin embargo los

estudios llevados a cabo sobre los dibujos del hombre neoltico revelan que

ste tena ya una cierta predisposicin por las relaciones espaciales, siendo

algunos de ellos claros ejemplos de simetras y proporciones geomtricas.

2.1. - LA GEOMETRA PREHELNICA.

Los ltimos descubrimientos hechos a principios del presente siglo

sobre algunos textos de la poca de Hamurabi, cuyo reinado, como

perteneciente a la primera dinasta de Babilonia, se fija hacia el ao 2.800

antes de J.C., han revelado la existencia de sus conocimientos geomtricos;

aunque no se sabe con certeza si dichos conocimientos son autctonos o

proceden de la meseta del Irn, ya que los sumerios, que habitaban el Cuerno

de Oriente desde el quinto milenio a. de J .C , fueron sojuzgados precisamente

en el ao 2.800 a. de J.C. por los caldeos.

Del estudio de los documentos histricos hallados se ha podido deducir

' La palabra agrimensor se utiliza aqu como traduccin de "arpedonapta", palabra griega, probable traduccin, a su vez, de otra egipcia, que significaba "tendedor o tensador de cuerda", oficio que segn Herodoto era genuino de Egipto, y que tuvo sus orgenes en el trazado de perpendiculares mediante una cuerda en la que se haban practicado once nudos equidistantes entre s y de los extremos.


cuales eran los conocimientos geomtricos babilnicos, tales como la divisin

de la circunferencia en trescientas sesenta partes iguales, que agrupadas de

sesenta en sesenta, permitan la construccin del hexgono regular y del

tringulo equiltero, lo cual posiblemente sea el origen de la actual numeracin

sexagesimal. Tambin saban calcular el rea del segmento circular a partir del

arco y de la cuerda, problema que resolvan tomando el valor 3 como razn

de la longitud de la circunferencia a su dimetro. Pero el conocimiento ms

notable puede que sea el clculo de la diagonal de un rectngulo a partir de

sus lados, y que posteriormente Pitgoras aplicara a los lados de un tringulo.

En resumen, los conocimientos geomtricos babilnicos tiene un rango

precientfico con tendencia a la cuantificacin, consecuencia lgica de la

condicin nmada de aquellos pueblos, cuyas urgencias biolgicas eran ms

compatibles con la necesidad de contar que con la de medir, y as, por

ejemplo, su unidad de medida de volumen no era el cubo de la unidad lineal,

sino un ladrillo que tena por base la unidad que utilizaban para medir

superficies y por altura la unidad que empleaban para medir alturas,

procedimiento hbrido que perturba el clculo de volmenes.

Tambin en la India se han encontrado vestigios que hablan de la

existencia de unos conocimientos geomtricos, que pueden ser

contemporneos con los babilnicos, o quiz derivados de ellos como

consecuencia del comercio practicado en Babilonia por los mercaderes

nmadas de India, Siria e incluso China.

El documento geomtrico indio mas antiguo que se conoce es el "Sulva-

Sutra"^de Apastamba, anterior al siglo Vil a. de J .C , en el que aparecen una

compilacin de conocimientos. Uno de ellos, que habla de como la ciencia

india estaba y evolucionaba en perfecta sincrona con su religin, es el empleo

sistemtico de tringulos rectngulos de lados enteros a partir de un

^ "Sulva-Sutra" quiere decir regias relativas a la Ciencia, que en este caso tiene el sentido restringido de Geometra.

10


rectngulo de lados proporcionales a 3 y 4, para la construccin de los altares,

cuyas secciones tenan forma de trapecios issceles. El rea de estos

trapecios lo calculaban transfornnndolos en rectngulos mediante la

transposicin de los dos tringulos rectngulos que se forman tomando como

hipotenusas los lados iguales y como catetos mayores la altura del trapecio.

Adems figuran proposiciones y propiedades tales como que el cuadrado

construido sobre la diagonal de un rectngulo equivale a la suma de los

cuadrados construidos sobre el lado mayor y el menor, o como que el

cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado es doble que ste.

Tambin aparecen procedimientos para la construccin de un cuadrado cuya

rea sea igual la suma del rea de otros dos o para transformar un rectngulo

en un cuadrado equivalente.

De China, sin embargo, son pocas las referencias que se tienen

respecto a sus conocimientos geomtricos. Parece probado que la primera

civilizacin china propiamente dicha existi hacia el ao 1.500 a. de J .C , pero

el documento geomtrico chino ms antiguo se posee es el "Tcheu-Pei"^, en

el que se encuentra la propiedad caracterstica del tringulo de lados 3, 4 y 5

como fundamento del nivel que permite "la medida de lo inaccesible: el cielo,

del mismo modo que la agrimensura para la tierra".

Egipto es sin duda el pueblo ms sabio del antiguo Oriente, cuya cultura

adquiere el mximo esplendor en la llamada poca de las pirmides con la

dinasta XVIII, bajo el reinado del faran Amenhotep II Neb-ma-Ra, hacia el

ao 1.500 a. de J.C. Es en dicha poca cuando Herodoto establece el

nacimiento de la Geometra como ciencia propiamente dicha, ya que a partir

de entonces se empiezan a sistematizar los resultados empricos conseguidos,

tomando los conocimientos geomtricos un carcter pragmtico y

constructvista, cuyo fin es el de atender a las necesidades de una artesana

^ La expresin "Theu-Pei" en chino quiere decir "seal en una circunferencia".

11


utilitaria, eliminando progresivamente toda alusin a lo religioso, mtico,

mstico o mgico, lo cual le confiere un rango positivo.

Los numerosos estudios realizados sobre los legados egipcios constatan

la validez de estas afirmaciones. Un claro ejemplo de ello es la terna 3 - 4 - 5 ,

que aparece ya en la pirmide de Keops, construida hacia al ao 3.000 a. de

J.C., cuya cripta faranica tiene dimensiones proporcionales a estos tres

nmeros; los cuales, segn Plutarco, representaban a los dioses Horus, Osiris

e Isis, respectivamente. De aqu, la gran importancia que los egipcios daban

al tringulo de lados 3, 4 , 5, al que consideraban como smbolo de la

renovacin perpetua de los faraones. Sin embargo, este tringulo, fuera de sus

connotaciones religiosas, tiene su aplicacin prctica en el trazado de

perpendiculares, tal como se indic anteriormente al hablar de los tensadores

de cuerdas.

Otro ejemplo del carcter prctico de la geometra egipcia es la

resolucin de los problemas del clculo de reas, surgido sin duda por la

necesidad de medir las tierras'^ antes y despus de las crecidas del Nilo. Es

sorprendente los diferentes grados de exactitud que tuvieron los egipcios en

el clculo de reas e incluso en el de volmenes. As, calculaban con toda

precisin el rea del tringulo issceles, multiplicando su base por su altura,

mediante su desdoblamiento en dos tringulos rectngulos iguales; sin

embargo es bastante errneo el clculo del rea de un cuadriltero cualquiera,

para lo cual multiplicaban las medias aritmticas de los pares de lados

opuestos; llegando a partir de aqu, como corolario, al clculo, tambin

incorrecto, del rea de un tringulo cualquiera como producto de un lado por

la semisuma de los otros dos.

En contraposicin a ello, es notable el alto grado de aproximacin que,

para la poca, tiene el clculo del rea del crculo como el cuadrado de las

ocho novenas partes del dimetro, lo cual equivale a tomar el valor 3,16 como

* Etimolgicamente la palabra Geometra quiere decir medida de la tierra, proviniendo de los vocablos griegos ge (tierral y metron (medida).

12


relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro. Con bastante

exactitud llegaron a calcular el rea de la semiesfera, siguiendo un camino que

no se conoci hasta Arqumedes; siendo totalmente exacto el mtodo que

utilizaban para el clculo del volumen del tronco de pirmide, cuya frmula

dara ms tarde Euclides.

Por ltimo, relacionado con la construccin de las pirmides, se puede

decir que empezaron a dar los primeros pasos por el campo de la

trigonometra, ya que resolvan el problema de que las cuatro aristas de la

pirmide tengan igual inclinacin respecto al suelo, utilizando lo que

denominaban "s-k-d", abreviatura de la palabra "seked", que significaba

inclinacin o pendiente, y que era el cociente entre la semidiagonal de la base

de la pirmide y su arista: es decir el coseno del ngulo formado por dicha

arista con la base.

2.2.- LA GEOMETRA EN GRECIA.

La historia de Grecia se remonta al segundo milenio a. de J .C , cuando

unos pueblos procedentes del Norte, desprovistos de cultura alguna, se

establecieron a lo largo de las costas del Mediterrneo. Fue, sin embargo, un

pueblo que aprendi rpido y mejor todo lo aprendido, como lo demuestra su

alfabeto, que, segn parece, se form a partir del fenicio, reduciendo el

nmero de consonantes y aadiendo vocales. Es lgico, pues, que sus

conocimientos geomtricos los importaran de Babilonia y de Egipto a travs

de los viajes que mercaderes y negociantes hacan a esas tierras.

As, dice la Historia, fue como el fenicio Thales (639-548 a. J.C),

considerado el primer gemetra y tambin el primero de los siete sabios

griegos, introdujo la Geometra en Grecia. Recibi de los sacerdotes egipcios

sus conocimientos geomtricos, probablemente libres de su connotacin

13


esotrica y religiosa, que procuraban no divulgar^. Dichos conocimientos

adquirieron en sus manos, con ayuda de la lgica y del razonamiento, rango

cientfico, imprimiendo en ellos la huella que an perdura^. De Egipto se

traslad a Mileto donde fund la Escuela Jnica, cantera de filsofos y sabios.

Aparte del teorema que lleva su nombre sobre la proporcionalidad de los lados

de tringulos semejantes, tambin conoca la propiedad de ser recto el ngulo

inscrito en una semicircunferencia. Utiliz la circunferencia para la medida de

ngulos, demostr la igualdad de los ngulos de la base de un tringulo

issceles, dio por evidente la igualdad de los ngulos opuestos por el vrtice

(que fue demostrada posteriormente por Euclides), as como que cualquier

dimetro divide a la circunferencia en dos partes iguales. Se le atribuye

tambin la deduccin de que la suma de los ngulos interiores de un tringulo

es igual a dos rectos, y la determinacin de un tringulo a partir de la base y

de sus ngulos adyacentes. Dentro de lo anecdtico, la historia cuenta como

hizo gala de sus conocimientos astronmicos prediciendo un eclipse solar, o

como dentro de su faceta de hbil hombre de estado se confesaba un

enfervorizado defensor del celibato.

A la muerte de Thales, su discpulo Anaximandro, presunto inventor de

los relojes de sol, se hizo cargo de la direccin de la Escuela Jnica, que

desapareci hacia el ao 400 a. de J .C, cuando fue destruida Mileto durante

la dominacin persa, siendo exilados o presos todos los intelectuales jnicos,

entre los que destaca como ltimo representante Anaxgoras de Clazomene,

a quien se le atribuye los primeros trabajos, ya en prisin, sobre la cuadratura

del crculo.

^ Segn dice la leyenda, maravill a sus maestros por su talento e inteligencia, causando gran asombro al faran Amasis al medir la altura de las pirmides de Menfis a partir de la longitud de su sombra.

^ Se le ha considerado a Thales como el padre de la organizacin deductiva de la Geometra, lo cual la da el carcter de ciencia racional independiente del empirismo del saber oriental. Es justo proclamar que fue el sembrador del germen del razonamiento geomtrico, que culminara con Euclides.

14


Desaparecida la Escuela Jnica, la ciencia geomtrica se desplaz

primeramente a Sicilia y ms tarde a las colonias de la Magna Grecia, al sur

de Italia, siendo en la ciudad de Crotona donde se estableci Pitgoras de

Samos despus de su estancia en la India y en Egipto, cuyos sacerdotes le

hicieron partcipe tanto de la ciencia exotrica como de la esotrica.

Hacia el ao 509 a. de J.C. Pitgoras fund lo que Aristteles llam la

Escuela Itlica, que en el fondo no fue sino una hermandad de tipo religioso,

cuyo smbolo era el pentgono estrellado y cuyo lema era "todo es nmero".

En ella sus adeptos se purificaban mediante la Geometra como ciencia y la

Msica como arte, y se les transmitan los conocimientos solamente bajo

juramento. A Pitgoras se le atribuye el teorema que lleva su nombre relativo

a los tringulos rectngulos, aunque, en parte por la prdida de documentos

de la poca y en parte por el carcter secreto de su Escuela, no se disponen

de datos que permitan saber cual fue la demostracin que dio del mismo. Sin

embargo, de los textos de los historiadores de la poca^ se desprende que l

o sus alumnos" descubrieron que la relacin entre el lado de un cuadrado y

su diagonal es un nmero cuyo cuadrado es 2, que llamaron irracional por no

comportarse como los nmeros hasta entonces conocidos, sino como un ente

de razn. Tambin se les atribuye el descubrimiento de propiedades como la

de ser el crculo y la esfera los cuerpos de mayor rea y volumen de todos los

de igual permetro y superficie, respectivamente. Y aunque no es opinin

generalizada, se les supone autores de la teora de la construccin de las

figuras csmicas, nombre que dieron a poliedros regulares tales como el

hexaedro, octaedro y dodecaedro.

Pitgoras fue una de las figuras ms influyentes en la historia de su

poca, haciendo que la Geometra jugara un importante papel en la forma de

' Segn el historiador Proclo, Pitgoras transform esta ciencia en una forma de educacin liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de forma inmaterial y intelectual. Asf descubri la teora de las proporciones y la construccin de las figuras csmicas.

La Escuela Pitagrica era de tipo comunal, por lo que los conocimientos y sus descubrimientos eran mantenidos en rgimen de comunidad y no se podan atribuir a ningn miembro en concreto.

15


vida y en la religin, y relacionndola ms con el puro amor por la sabidura

que con las exigencias de la vida prctica. Una revuelta de carcter poltico

le oblig a huir a Metaponte donde muri hacia el ao 500 a. de J.C.

Los ms eminentes sucesores de Pitgoras fueron Hipcrates de Chios,

contemporneo de Anaxgoras, y Arquitas de Tarento (428-355 a. de J.C).

En el primero es de destacar sus trabajos sobre la cuadratura de las lnulas,

figuras limitadas por arcos de circunferencias, y su contribucin a la resolucin

del problema de Dlos o de la duplicacin del cubo, transformndolo en el de

la doble media geomtrica entre dos segmentos, uno doble que el otro. En el

segundo es de destacar la solucin dada al problema de la duplicacin del

cubo, apoyndose en los trabajos de Hipcrates, mediante la interseccin de

un cono circular, un cilindro circular y una superficie trica. Tambin fue

decisiva su intervencin ante el tirano Dionisio para salvarle la vida a su amigo

Platn.

Con Platn (430-347 a. de J.C.) naci la llamada Escuela Ateniense y

con l comenz el auge de la Geometra en Grecia, adjudicndole el papel de

creador o introductor del mtodo de anlisis para la resolucin de los

problemas geomtricos. Viaj primeramente a Egipto, de cuyos sacerdotes

adquiri sus primeros conocimientos geomtricos. De vuelta a Atenas se hizo

discpulo de Scrates para posteriormente viajar a la Italia meridional, donde

estudi con los pitagricos. Despus de haber sido apresado y sentenciado a

muerte por Dionisio, prncipe de Siracusa, regres de nuevo a Atenas y fund

la Escuela Platnica, ubicada en el gimnasio de Akademo^ en cuyo centro

estaba el altar dedicado al dios Eros y en cuya puerta figuraba la famosa

inscripcin: "No entre aqu nadie que ignore la Geometra".

Tal como dice la historia, la contribucin especfica personal de Platn

fue ms significativa en el campo de la Filosofa que en el de la Geometra, a

la cual asign un papel central entre las cosas sensibles y las ideas, cuyo

^ De donde deriva la palabra Academia.

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mundo cre a imagen y semejanza de la clasificacin de las formas

geomtricas, proyectando al exterior el proceso interno de su espritu

filosfico.

En el "Timeo" expuso sus ideas sobre los "slidos regulares"

asocindoles a los cuatro elementos: fuego-tetraedro, tierra-cubo, aire-

octaedro y agua-icosaedro dejando el dodecaedro como smbolo del

universo^".

Influy notablemente en que la Geometra ocupara una parte esencial

del curriculum necesario para la formacin del hombre de Estado, y tuvo un

papel preponderante como inspirador y director de otros gemetras, entre los

que destacaron: Menecmo, que contribuy a la teora, apenas esbozada, de

las secciones cnicas; Dinostrato, hermano del anterior, que "resolvi" la

cuadratura del crculo a partir de la curva ideada por Hipias de Elea para la

triseccin de un ngulo, curva que a partir de entonces se conoci con el

nombre de "cuadratriz".

Sin duda fue Eudoxio de Cnido el discpulo ms aventajado y querido

de Platn, y a quien se deben entre otras, la demostracin de los teoremas

enunciados por Demcrito (460-370 a. de J.C.) sobre el volumen de la

pirmide y del cono, la demostracin sobre la proporcionalidad entre las reas

de los crculos y los cuadrados de sus dimetros, y sobre la gnesis de la

curva "hipopeda", hoy lemniscata, que defini como interseccin de una

esfera y un cilindro con una generatriz tangente a aquella. Segn el propio

Arqumedes, fue Eudoxio quien primero enunci el siguiente axioma que hoy

se conoce como "axioma de Arqumedes"": dadas dos magnitudes tales

que sean del mismo tipo y que ninguna de las dos sea cero, se puede

encontrar un mltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra. Con

' Los cinco poliedros regulares han sido llamados a menudo "cuerpos csmicos" o "slidos platnicos", si bien tres de ellos se deben a los pitagricos y el octaedro y el icosaedro a Teeteo, rico patricio del tica, amigo de Platn.

" Este axioma sirvi de base para el mtodo denominado por Gregoire de St. Vincent (1.584-1.667) como "mtodo de exhauscin", que es el equivalente griego del clculo integral.

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Eudoxio de Cnido se puede decir que termin la primera poca de la Geometra

griega, hacia el ao 300 a. de J .C, en que la creacin del Museo de

Alejandra atrajo a la mayora de los estudiosos griegos, convirtindolo en un

centro de enseanza durante aproximadamente tres siglos, en los que la

Geometra empez a perder el carcter emprico que tena hasta entonces para

asumir el rango de ciencia deductiva.

Con la dinasta de los Lgidas, fundada por Ptolomeo I, sucesores de

Alejandro Magno y protectores de sabios y artistas, la Geometra alcanz su

punto lgido con la figura del gran sabio Eucldes. Aunque no hay una opinin

unnime al respecto, la mayora de los historiadores fijan sus orgenes en

Grecia hacia el ao 330 a. de J .C, pasando de all a Alejandra, donde fund

la llamada Escuela de Alejandra.

Su obra mas conocida es los "Elementos", en la que estn recogidos

todos los conocimientos geomtricos anteriores de una forma sistemtica^^.

El andamiaje lgico de esta obra, libro de texto intemporal y el mayor "best-

seller" de la historia despus de la Biblia, habla de la influencia que en su

ejecucin tuvo Aristteles, para quien la Geometra era una ciencia deductiva

o racional, esto es: que puede adoptar la forma de un sistema de conclusiones

obtenidas de un cierto nmero de premisas fundamentales por medio de

sucesivos silogismos.

Los "Elementos" estn divididos en trece libros: del I al IV tratan de la

Geometra plana, el V de las proporciones, el VI de las magnitudes

inconmensurables, del Vil al IX de la Aritmtica de los nmeros racionales, el

X de la Aritmtica de los nmeros irracionales y del XI al XIII de la Geometra

del espacio. Estn estructurados de forma tal que empiezan dando

primeramente las definiciones de punto, lnea en general, lnea recta, plano,

ngulos, figura, crculo, tringulos, cuadrilteros y rectas paralelas. A las

'^ Algunos historiadores citan a Hipcrates de Chios como el primer autor de los "Elementos", a partir de los que Euclides escribi los suyos.

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definiciones siguen los seis postulados, continuando posteriormente con los

axiomas, a los que Euclides prefera llamar "nociones comunes", y cuyo grado

de evidencia es mayor que el de los postulados, para terminar la obra con los

teoremas y problemas, demostrados y resueltos apoyndose en los axiomas

y postulados con un rigor lgico^^ y cuyas soluciones se pueden obtener

mediante construcciones con regla y comps.

Otras obras de Euclides son: los "Porismas"^'*, los "Datos", la

"Divisin de Figuras", los "Fenmenos" y la "ptica", de las cuales merece

especial mencin la segunda, libro complementario de los "Elementos" y,

seguramente, escrita para ser usada en la Universidad de Alejandra, ya que

sus 95 proposiciones se pueden considerar como una gua para el anlisis de

los problemas de Geometra.

A Euclides le sigue cronolgicamente Arqumedes de Sircusa ( 287-

212 a. de J.C.), el sabio mas profundo y cientfico de la antigedad clsica.

En l se coordinan armoniosamente la visin exterior, que contempla la

Naturaleza para descubrir sus leyes, y la visin interior, que hace progresar la

Ciencia. Su nombre, en justicia, ha de figurar en las ms altas cimas de la

acepcin ms moderna de la ingeniera, de las Matemticas en general y de

la Geometra en particular. Su obra, impregnada de una gran originalidad,

desde las ideas hasta los mtodos, es una aportacin personal al

planteamiento de nuevas cuestiones que resuelve de una manera genial,

convirtiendo la Geometra esttica de Euclides en una Geometra cintica,

estableciendo una comunin perfecta entre la razn pura y la experiencia. Es

de lamentar que todo ello no pudiera contribuir a un avance mas rpido de la

'^ En estas demostraciones aparece por primera vez el mtodo de reduccin ai absurdo.

'* No se tiene el original de esta obra, pero sf las reconstrucciones que de ella hicieron primeramente Pappus y posteriormente Chasles. Segn Pappus un porisma era algo intermedio entre un teorema, en que se propone algo para ser demostrado y un problema, en que se propone algo para ser construido. Segn Chasles un tpico porisma euclfdeo podra ser la determinacin del lugar geomtrico de los puntos cuya suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos sea constante.

19


Geometra por haber sido ignorada su obra hasta casi la poca renacentista.

Arqumedes estudi en Alejandra y regres posteriormente a Siracusa,

donde consigui el favor y la proteccin del rey Hiern gracias a las

aplicaciones hechas de su saber terico al arte de la guerra. Adems de todas

sus aportaciones al mundo de la Fsica y la Mecnica, son de destacar, entre

su fecunda y vasta labor en pro de la Geometra, los mtodos generales,

basados en las aproximaciones sucesivas, para el clculo de las reas de las

figuras curvilneas y los volmenes de los cuerpos limitados por superficies

curvas, que aplic al crculo, a la elipse, al segmento parablico, del cual

obtuvo su cuadratura, a la superficie comprendida entre dos espiras sucesivas

de una hlice, al segmento esfrico, y al cilindro, cono, elipsoide, paraboloide,

hiperboloide y esfera.

Por ltimo, no se puede terminar de hablar de la obra de Arqumedes sin

hacer mencin a su mtodo para el clculo del nmero n, al estudio de los

poliedros semirregulares, y, como no, a la espiral que lleva su nombre. El

destino que una veces es cruel y otras caprichoso, cuando no ambas cosas

a la vez, hizo que una de las inteligencias mas preclaras y prodigiosas de la

Historia fuera vctima de la ignorancia, necedad y brutalidad de un soldado.

Apolonio de Prgamo, posterior a Arqumedes, fue el tercer gran

gemetra de la edad de oro de la Geometra griega y el ltimo de la antigedad

clsica. Aunque se sabe poco de su vida, se cree que vivi entre los aos 262

y 190 a. de J.C.. Estudi primeramente en la Universidad de su ciudad natal,

continuando en la de Alejandra, donde posteriormente se dedic a la

enseanza.

De Apolonio se puede decir que fue el primer gemetra especialista de

la historia, ya que sus esfuerzos estuvieron orientados exclusivamente al

estudio de las cnicas, sobre las que escribi ocho libros que configuran su

famoso "Tratado de las cnicas". De los ocho libros se conocen siete: el

primero trata de la generacin de la circunferencia, elipse, parbola e

20


hiprbola, a la que llama de las "secciones opuestas"; el segundo de los

dinnetros, ejes y asntotas rectilneas; el tercero de los teoremas necesarios

para la formacin de los "lugares slidos", que son aquellos cuya construccin

se obtiene cortando conos o cilindros; el cuarto de las intersecciones de las

cnicas entre s; el quinto trata de los mximos y mnimos; el sexto de las

condiciones de igualdad y semejanza de las secciones cnicas; el sptimo de

los teoremas necesarios para solucionar determinadas cuestiones, las cuales

se resuelven en el libro octavo reconstruido por Halley a principios del siglo

XVIII.

Apolonio tuvo la genial idea de estudiar las cnicas como secciones de

un mismo cono circular oblicuo por planos distintos, superando en ello a

Euclides y Arqumedes, que las estudiaban como secciones por un plano

perpendicular a una generatriz de un cono circular recto, cuyo ngulo cnico

fuese recto (parbola), agudo (hiprbola) u obtuso (elipse).

Es de resaltar la gran trascendencia que tuvo la obra de Apolonio en los

descubrimientos llevados a cabo posteriormente por Kepler y Newton, as

como en el estudio proyectivo de las cnicas realizado por Steiner veinte

siglos despus ms rigurosamente.

Con el fin de Apolonio comenz la decadencia de la Geometra griega.

Sus contemporneos y sucesores, antes astrnomos que gemetras, se

dedicaron ms a estudiar la obra hecha hasta entonces que a enriquecerla con

nuevas aportaciones. Entre ellos se deben citar a:

- Eratstenes (276-192 a. de J.C), director de la Biblioteca de

Alejandra e inventor de la famosa criba para la determinacin de los nmeros

primos, y del "mesolabio", instrumento ideado para resolver grficamente el

problema de la duplicacin del cubo.

- Nicomedes (250-150 a. de J.C), inventor de la concoide y del aparato

que permite dibujarla de forma continua, con la cual resolvi tanto el problema

de la duplicacin del cubo como el de la triseccin del ngulo.

21


- Diocles (250-100 a. de J.C), que invent la cisoide, curva de anloga

aplicacin que la concoide.

- Perseo (hacia el 130 a. de J.C), que, al intentar generalizar la teora

de las cnicas, invent las curvas espricas obtenidas como seccin de una

superficie trica por un plano.

- Hiparco ( hacia el 150 a. de J.C), el ms ilustre astrnomo griego,

que invent la trigonometra rectilnea y esfrica, y sent las bases de la

proyeccin estereogrfica.

- Hern de Alejandra (hacia el siglo I a. de J.C), que invent la famosa

frmula que lleva su nombre para hallar el rea del tringulo en funcin de sus

lados, y fue el ltimo representante de la primera etapa de la Escuela de

Alejandra, cuya decadencia coincidi con la desaparicin de la dinasta de los

Lgidas, el triunfo del cristianismo y el comienzo de la dominacin romana.

Bajo los cinco siglos del mandato de Roma, la Geometra empez a

estancarse, como consecuencia lgica del absoluto desprecio que los romanos

profesaban por las ciencias exactas^^; tal es as que, cuando tenan

necesidad de aplicarlas a los trabajos topogrficos y de construccin, recurran

a los cientficos griegos. Aunque tambin hubo algn tratadista terico digno

de mencin, como Vitrubio (63 a. de J.C.-14 d. de J.C), que escribi el

tratado 'De Architectura", en el que hay algunas indicaciones sobre la planta

y el alzado de los edificios.

No obstante, durante este perodo se puede hablar de la existencia de

una segunda y ltima etapa de la Escuela de Alejandra en la que destacaron

gemetras como:

- Menelao, durante el siglo I de nuestra era, que fue autor del "Tratado

de las Esfricas", donde hace un estudio profundo de los tringulos esfricos,

cuyos lemas y teoremas fueron posteriormente aplicados a los tringulos planos.

'^ Cicern da muestra de ello, celebrando, tal como se recoge en su obra, que sus conciudadanos no fueran como los helenos, que cultivaban desinteresadamente la Geometra.

22


- Ptolomeo, hacia el ao 125, que escribi el ''Al^nagesto"^^ tratado

de trigonometra rectilnea y esfrica, en el que figura la propiedad de que en

un cuadriltero Inscrito en una circunferencia el producto de las diagonales es

igual a la suma del producto de los lados opuestos. Tambin escribi

"Planisferio", obra en la que desarrolla, a partir de los trabajos de Hiparco, la

teora de la proyeccin estereogrfica, aplicada en cartografa.

- Pappus, hacia el ao 385, que escribi, entre otros, ocho libros

agrupados bajo el nombre de "Colecciones Matemticas", en los que figura la

determinacin del rea y del volumen de las superficies de revolucin a partir

del centro de gravedad de la lnea o de la superficie que los engendran, y que

sirvi ms tarde a Guldin para enunciar el teorema que lleva su nombre.

Tambin se recogen en ellos: la propiedad fundamental de la razn doble o

anarmnica, germen de la Geometra Proyectiva; el concepto de directriz de

las secciones cnicas; y la definicin, as como la utilizacin, de los mtodos

de anlisis y sntesis para la resolucin de un mismo problema geomtrico.

- Sereno de Lesbos, que obtuvo la elipse como seccin de un cilindro

por un plano.

- Proclo (412-485), ms filsofo que gemetra, a quien se le atribuye

la definicin de elipse como la trayectoria del punto de un segmento cuyos

extremos se desplazan sobre dos rectas que se cortan.

- Eutocio, hacia el ao 540, cuya obra "Comentarios", es el nico

testimonio de algunos de los trabajos de Arqumedes y Apolonio.

2.3.- LA GEOMETRA EN LA EDAD MEDIA.

Con la cada del Imperio Romano y la invasin rabe, hacia el ao 641,

desapareci, junto con su Biblioteca, la Escuela de Alejandra, comenzando

una poca gris para las Ciencias en general, y en la que, particularmente, la

' Almagesto etimolgicamente viene del vocablo rabe al y del griego megisto y significa muy grande.

23


Geometra vivi un largo y profundo letargo de casi mil aos de duracin. Sin

embargo, durante dicho milenio, aparecieron espordicamente figuras como

San Isidoro de Sevilla (560-636), en cuya enciclopedia hay una parte dedicada

a la Geometra, limitada nicamente a definiciones de las figuras planas y

espaciales, y, en la Marca Hispnica, el monje Gerberto (941-1.003),

posteriormente Papa Silvestre II, que escribi un tratado de Geometra, en el

cual se resuelve el problema de obtener los catetos de un tringulo rectngulo

a partir de su rea y de la hipotenusa.

Durante el siglo IX, se puede hablar de la existencia de una Escuela de

Bagdag que cultiv la Geometra, entre cuyos representantes estn:

- Joarizmi (830) y Tabit (835-901) que resolvieron geomtricamente las

ecuaciones de segundo y tercer grado respectivamente.

- Albateni, muerto en Bagdag hacia el ao 929 y apodado el Ptolomeo

rabe, que dio a la Trigonometra la forma simplificada actual.

- Abulguafa (933-998), que cultiv la Geometra de la regla y el

comps.

- Alhazen (987-1.038), que determin el volumen engendrado por la

rotacin de una parbola alrededor de su eje, y resolvi el problema de hallar

el punto de un espejo cncavo donde debe incidir un rayo luminoso para que

el reflejado pase por un punto dado.

Hacia el ao 1.085, el judo cataln Svasorda escribi el "Libro del

Tratado de la Medida y del Clculo", excelente recopilacin de Geometra

eucldea, que plagi el italiano Fibonacci (1.175-1.250), incluidos los

ejemplos numricos.

Tambin italiano. Campano de Novara, en el siglo XIII, coment y

ampli la traduccin latina que la Escuela de Traductores de Toledo haba

hecho de los "Elementos" de Euclides.

Hacia el ao 1.236, el alemn Jordano Nemorario inici una teora sobre

24


polgonos estrellados, completada por el ingls Toms de Bradwardino (1.290-

1.349).

Otros personajes dignos de mencin, por sus aportaciones a la

Geometra durante las ltimas centurias de la Edad Media, son:

- Nicols Oresme (1.323-1.382), francs, que dio los primeros pasos

en la representacin grfica de funciones".

- Nicols de Cusa (1.401-1.464), que cre un elegante mtodo para

rectificar un arco de circunferencia.

- Johann Miier, apodado Regiomontano (1.436-1.476), alemn, que

tradujo y coment las "Cnicas" de Apolonio.

- Lucas Paciol( 1.445-1.514), que escribi una enciclopedia matemtica

muy difundida gracias a la imprenta inventada por Gutemberg.

2.4.- EL RENACIMIENTO DE LA GEOMETRA.

A finales del siglo XV y principios del XVI tuvo lugar el movimiento que

se conoce como Renacimiento, que intent resucitar en la cultura europea los

valores formales y espirituales de la antigedad. Gracias a la posibilidad de

leer las traducciones de las obras de Euclides, Arqumedes y Apolonio, durante

este movimiento, se despert una nueva curiosidad por la Geometra, la cual

adquiri, despus del lento proceso de una etapa de asimilacin, el carcter

abstracto y general aportado por sus estudiosos, fundamentalmente

matemticos, cuya atencin se diriga especialmente al lgebra. Entre ellos

destacaron:

- Alberto Durero (1.471-1.525), alemn, que en su obra "Instituciones

Geomtricas" dio normas para construir y representar poliedros regulares y

semirregulares, as como su desarrollo sobre un plano, y anlogamente para

la hlice y otras curvas alabeadas.

' ' En su obra "Tractatus de latitudinibus formarum" ensea a representar geomtricamente las variaciones de una magnitud cualquiera haciendo intervenir el concepto de tiempo.

25


- Pedro Nuez (1.502-1.578), que encontr la curva loxodrmica,

demostrando que no es un crculo mximo sino una espiral esfrica con el polo

como punto asinttico.

- Francisco Viete (1.540-1.631), francs, que fue el primer introductor

del lgebra en la Geometra, construyendo grficamente las ecuaciones de

segundo y tercer grado. Viete restituy el tratado perdido de Apolonio "De

Tactionibus", relativo a las tangencias, resolviendo de una forma simple y

elegante el problema de hallar la circunferencia tangente a otras tres dadas.

En Trigonometra aport la teora del tringulo recproco para transformar un

tringulo esfrico en otro cuyos lados y ngulos se corresponden con los del

primitivo.

- Johann Kepler (1.571-1.630), alemn, que introdujo el uso del infinito

en la Geometra^^, as como algunas teoras sobre polgonos estrellados.

Generaliz los trabajos realizados por Arqumedes sobre los volmenes de los

esferoides y de los conoides. En 1.609 escribi "Astronoma Nova", donde

enunci las leyes que llevan su nombre sobre las rbitas planetarias y un

mtodo grfico proyectivo para determinar las circunstancias de los eclipses

de Sol en diferentes lugares de la Tierra.

- Paul Guldin (1.577-1.643), suizo, que a partir de las teoras de

Pappus, en su obra "Centrobaryca" enunci el teorema que lleva su nombre

sobre el volumen engendrado por una superficie plana que gira alrededor de

un eje que no la corta.

- Gregorio de San Vicente (1.584-1.667), belga, que escribi su obra

sobre la cuadratura del crculo y de las secciones cnicas, en la que descubri,

tambin a travs del mtodo de la exhaustin, que dicha cuadratura estaba

relacionada con los logaritmos.

- Girard Desargues (1.593-1.663), francs, arquitecto e ingeniero

militar, que escribi la obra "Borrador de un ensayo que trata de los resultados

'* A Kepler se debe la curiosa Idea de que la parbola tiene dos focos, uno de ellos infinitamente lejano.

26


de los encuentros de un cono con un plano", cuya idea central se deriva de

la perspectiva del arte pictrico renacentista. En ella, introduciendo el

concepto de rectas paralelas que se cortan en un punto del infinito y

suponiendo, como Kepler, que la parbola tiene un foco en el infinito, estudi

las cnicas por mtodos proyectivos, demostrando que dichas curvas forman

una familia con propiedades comunes. Se le considera como el precursor de

la Geometra Proyectiva, entre cuyas aportaciones estn: las propiedades

involutivas del cuadriltero inscrito en una cnica y la propiedad fundamental

de los tringulos homolgicos en el espacio. Tambin escribi sobre la

estereotoma de las piedras, la gnomnica y la perspectiva en generaP^.

- Bonaventura Cavalieri (1.598-1.647), italiano, discpulo de Galileo,

que escribi la obra "Geometra de los indivisibles", en la que calcul las

magnitudes geomtricas, reas y volmenes, como suma de sus elementos

geomtricos indivisibles, mtodo que, basado en el de exhaustin de

Arqumedes, sustituy durante casi medio siglo al clculo integral,

contribuyendo significativamente a la resolucin del problema de las

cuadraturas de las curvas. Es notable su idea para transformar los puntos de

la parbola de Apolonio en puntos de la espiral de Arqumedes.

- Giles Personne de Roberval (1.602-1.675), francs, que resolvi el

problema de la tangente a una curva con un enfoque cinemtico,

considerando a la curva como la trayectoria de un punto y a la tangente como

la direccin del movimiento de dicho punto. Aplicando estas consideraciones

a la cicloide, a la que l llamaba trocoide, descubri un mtodo para trazar la

tangente en uno de sus puntos, demostr que el rea encerrada bajo un arco

de cicloide es igual a tres veces el rea del crculo que la genera, y obtuvo el

volumen del cuerpo engendrado al girar dicha rea alrededor de su recta base,

de su eje de simetra o de la tangente en su vrtice.

- Pierre de Fermat (1.601-1.665), francs, de quien se han perdido gran

nmero de sus trabajos, ya que rara vez publicaba sus descubrimientos, e

'^ No en vano, Poncelet se refera a el como "el Gaspar Monge de su siglo".

27


incluso olvidaba anotar las demostraciones matemticas que haca. Complet

la labor de Arqumedes cuadrando las parbolas de todo orden, determinando

los volmenes y centros de gravedad de los paraboloides, y adems

rectificando la parbola cbica por un mtodo exclusivamente geomtrico,

anlogo al de exhaustin; aunque tambin dominaba los procedimientos

propios de la Geometra Analtica, que utiliz para obtener lugares planos y

slidos, como se ve en su obra "Isagoge ad locos planos et slidos". Resolvi

el problema del trazado de tangentes a una curva considerando a dicha

tangente como la posicin lmite de una secante cuando los puntos de corte

tienden a confundirse. Comparti con Pascal el honor de crear el clculo de

probabilidades. Aplic su teora de mximos y mnimos al fenmeno de la

refraccin de la luz, dando lugar a su famoso principio de la ptica geomtrica,

en cuyo campo tambin comparti honores con Descartes.

2.5.- LAS NUEVAS GEOMETRAS.

2.5.1.- GEOMETRA ANALTICA.

Con el francs Rene Descartes (1.596-1.650) naci una nueva

Geometra: la Geometra Analtica, que uni ntimamente el lgebra y la

Geometra hasta entonces conocidas, y sirvi para aplicar los mtodos

anteriores de una forma uniforme y general, al mismo tiempo que abri el

camino para la posterior creacin del Clculo Infinitesimal.

Descartes, escribi su obra "Geometra" ms como filsofo que como

matemtico, ya que su finalidad era presentarla como una muestra de la

validez de su teora filosfica, segn la cual la Matemtica no es un fin sino

un mtodo. De hecho, public dicha obra, compuesta por tres libros, dos de

Geometra y uno de lgebra, como un apndice de su "Discurso del Mtodo".

Estas teoras fueron acogidas por los gemetras con gran entusiasmo,

ya que con ellas se les ofreca un camino fcil y llano para resolver los

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problemas mediante un automatismo algebraico, sin necesidad del concurso

de la inspiracin y del ingenio que exiga el abierto por Eucldes, Arqumedes

o Apolonio. Todo ello trajo consigo un rpido progreso de la Geometra

Analtica pero supuso, sin embargo, un golpe funesto para la Geometra pura.

Entre las muchas aportaciones de Descartes al estudio de las curvas

est la de clasificarlas en geomtricas, tales como la concoide y la cisoide, y

mecnicas, como la espiral y la cicloide; as como, al igual que Fermat, la de

resolver el problema de la tangente, considerndola como posicin lmite de

una secante. Tambin es de destacar sus trabajos en ptica, donde enunci

las leyes que llevan su nombre sobre la reflexin y refraccin de la luz.

El francs Blas Pascal (1.623-1.663), encauzado por su padre Etienne

Pascal, tambin matemtico, hacia el mundo de las letras, destac como

gemetra por encima de todos sus antecesores. A los doce aos se inici de

forma autodidacta en los conocimientos de la Geometra, y a los catorce

acompaaba a su padre a las reuniones de los gemetras del Padre Mersenne

en Pars. A los diecisis aos escribi su "Ensayo sobre las cnicas", que

constaba de una sola pgina, aunque fue ampliado posteriormente, y en el que

aparece la propiedad del hexagrama mstico, enunciado ms tarde como

teorema del hexgono inscrito en una cnica, sin hacer alusin en l a

longitudes de segmentos ni a valores angulares, por lo que se le considera

como el iniciador de la Geometra moderna.

Pascal se ocup tambin de las reas, volmenes y centros de gravedad

de algunos cuerpos, as como de las propiedades de algunas curvas,

especialmente de la cicloide; a la que Galileo bautiz como la "Elena de la

Geometra" por su graciosa belleza, aconsejando incluso que se diera su forma

a los arcos de los puentes, lo cual se hizo durante algn tiempo.

Destacan tambin sus trabajos sobre los indivisibles y sobre el clculo

de probabilidades, as como los de hidrosttica, enunciando el principio que

lleva su nombre.

29


Sus inquietudes religiosas le condujeron a verse envuelto en las

disputas que existan, no solo en el terreno teolgico sino tambin en el

geomtrico, entre jansenistas y jesutas. Los primeros, seguidores del telogo

holands Cornelio Jansen (1.585-1.638), pretendan reformar los "Elementos"

de Euclides de acuerdo con las normas del nuevo arte de pensar de la poca,

exigiendo las demostraciones directas y rechazando el razonamiento por

reduccin al absurdo, en contra de los jesutas, seguidores de San Ignacio de

Loyola, que monopolizaban la enseanza en Francia y seguan fielmente ai

gemetra alejandrino.

Entre los jansenistas destacaron Antonio Arnauid (1.602-1.694), autor

de "Nuevos Elementos de Geometra", y Francisco Nicole (1.625-1.695);

mientras que por los jesutas lo hicieron Gasten Pardies (1.636-1.673), autor

de "Elementos de Geometra", en los que intent demostrar la existencia de

Dios por consideraciones sobre espacios asintticos; y el abate De la Chapelle

(1.710-1.792), autor de "Instituciones de Geometra", obra en la que defiende

el razonamiento por reduccin al absurdo. Estas luchas entre sectas religiosas

sirvieron para depurar algunos conceptos geomtricos despojndolos de una

buena parte de su ganga intuitiva.

La Geometra Analtica de Descartes fue dada a conocer en Inglaterra

por John Wallis (1.616-1.703) con su obra "Tractatus de sectionibus

conicis", y en Holanda por Franz van Schooten (1.615-1.661) con su

"Comentar!" a la "Geometra" de Descartes, siendo ste quien primero

extendi el mtodo cartesiano al espacio, y restituy los lugares planos de

Apolonio en sus "Exercitaciones Geometriae". Tambin en Holanda

destacaron: Johan de Witt (1.625-1.672), que escribi el primer tratado

sistemtico de Geometra Analtica titulado "Elementa curvarum linearum", y

el cannigo Rene de Sluse (1.622-1.658), que perfeccion la construccin de

las soluciones de una ecuacin por interseccin de curvas.

30


Aunque la invencin del Clculo Infinitesimal por Newton y Leibnitz hizo

ocupar a la Geometra un puesto subalterno respecto al Anlisis, no faltaron

gemetras que siguieron fieles a la tradicin griega, tales como:

- Christian Huygens (1.629-1.695), holands, autor del libro

"Horologium oscillatorium" en el que se recogen sus trabajos sobre la

cicloide^, la teora de las evolventes y evolutas, y las leyes de la fuerza

centrfuga, que sirvieron de introduccin a los "Principios" de Newton. En su

"Tratado de la luz" estudi la teora de las ondas y enunci el famoso principio

de ptica que lleva su nombre.

- Felipe de la HIre (1.640-1.718), francs, discpulo de Desargues y

arquitecto, escribi "Nuevos elementos de las secciones cnicas", en el que

expuso las propiedades mtricas de las cnicas a partir de las del crculo.

Posteriormente public el "Tratado de las secciones cnicas", donde, desde

un punto de vista proyectivo, estudi temas conocidos como: las propiedades

armnicas del cuadriltero completo, los polos y polares, las tangentes y

normales, y los dimetros conjugados. Tambin merecen destacarse sus

trabajos sobre la cicloide y epicicloide, as como su "Tratado de Gnomnica".

- Isaac Newton (1.642-1.727), ingls, dedic dos captulos de su obra

"Principia" a las secciones cnicas, que gener orgnicamente mediante

intersecciones de rectas mviles, y relacion con el cuadriltero completo^\

Tambin dedic su obra "Enumeratio linearum tertii ordinis", apndice de su

"ptica", al estudio de la representacin grfica de curvas planas, dibujando

y catalogando setenta y dos tipos de cbicas.

Durante el siglo XVIII la Geometra pura clsica cay en desuso, sin

embargo, hubo matemticos entre los seguidores de Newton, grupo insular.

^ Calific a la cicloide como curva tautcrona, pues si sobre un arco de cicloide invertida, se abandona un objeto a su propio peso, sin rozamiento, ste tarda el mismo tiempo en deslizarse hasta el punto mas bajo, independiente del punto de partida.

^' Se conoce como recta de Newton la que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadriltero y es el lugar geomtrico de los centros de las cnicas tangentes a sus lados.

31


y entre los seguidores de Leibnitz, grupo continental, que merecen ser citados

como gemetras. Entre los insulares destacaron:

- Edmundo Halley (1.656-1.742), que restituy el libro VIII de las

"Cnicas" de Apolonio.

- David Gregory (1.661-1.751), que escribi el libro "Exercitatio

Geomtrica" siguiendo los mtodos clsicos.

- Abraham Moivre (1.667-1.751), hugonote francs, que escribi

"Miscellanea analytica" en la que, adems de la teora de las probabilidades,

hace un desarrollo analtico de la trigonometra.

- Roger Cotes (1.682-1.716), cuyos trabajos, publicados despus de

su muerte bajo el titulo de "Harmona mensurarum", se pueden considerar

como el primer intento de una teora general de curvas.

- Colin Maclaurin (1 .698-1.746), que en su obra "Geomtrica orgnica"

complet las ideas de Newton sobre la generacin orgnica de las cnicas y

extendi a las cbicas las propiedades del cuadriltero inscrito, deducidas para

las cnicas.

- Tomas Simpson (1.710-1.748), a quien se debe la frmula para

calcular el rea limitada por una curva cualquiera, un eje y dos ordenadas

extremas.

Entre los gemetras continentales se distinguieron:

- Giovanni Ceva (1 .647-1.734); italiano, notable por el descubrimiento

de importantes teoremas sobre la teora de las transversales.

- Santiago Bemouilli (1.654-1.705), suizo, perteneciente a una vasta

familia de matemticos. IVIuy interesado en el estudio de curvas, demostr que

la parbola semicbica era una curva iscrona^^, que la cicloide era una

curva braquistcrona^^; descubri la lemniscata que lleva su nombre y varias

" Curva plana tal que un objeto que cae a lo largo de ella por su solo peso lo hace con una velocidad vertical uniforme.

^ Curva plana tal que un objeto que cae a lo largo de ella por su solo peso de un punto a otro no situad

tesis doctoral análisis de los conocimientos geométricos

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