tesis brenis

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA

Modelo matricial de Leslie para describir el

crecimiento poblacional por edad especıfica

Tesis

Para optar al tıtulo profesional de

Licenciado en Matematicas

Presentado por:

Bach. Mat. Brenis Parraguez Jorge Alberto

Bach. Mat. Moreno Barrera Daniel Fabian

Asesor

Mag. Mat. Sanchez Garcıa Dolores

Lambayeque - Peru

2015




Los firmantes, por la presente certifican que han leıdo y recomien-

dan a la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas la aceptacion

de la tesis titulada “Modelo matricial de Leslie para descri-

bir el crecimiento poblacional por edad especıfica” presen-

tada por el Bach. Mat. Brenis Parraguez Jorge Alberto y

el Bach. Mat. Moreno Barrera Daniel Fabian, en el cumpli-

miento parcial de los requisitos necesarios para la obtencion del

tıtulo Profesional de Licenciado en Matematicas.

Presidente Jurado de Tesis

Secretario Jurado de Tesis

Vocal Jurado de Tesis

Fecha de defensa: 2015

2




“Modelo matricial de Leslie para describir el

crecimiento poblacional por edad especıfica”.

Bach. Brenis Parraguez Jorge Alberto

Autor

Bach. Moreno Barrera Daniel Fabian

Autor

Mag. Mat. Sanchez Garcıa Dolores

Asesor

Lambayeque - Peru

2015

3

Agradecimiento

Agradezco a Dios, por haberme guiado todo este tiempo, por ser mi apoyo,

mi luz y mi camino. Por haberme dado la fortaleza para seguir adelante en

aquellos momentos de debilidad. A mis padres Norma y Jose, por todo el

apoyo brindado a lo largo de mi vida, a mis hijos Noriel y Thiago y a mi

queridısima esposa Pamela, por estar siempre a mi lado alentandome para

poder realizar esta tesis. .


A dios por ser mi apoyo todo este tiempo, A mis padres y mis hermanos por

apoyarme en toda mi Formacion profesional. A mi querida esposa Carla

falla de los Santos por todo su apoyo y comprension para poder realizar esta

tesis. A mi hijo Josue el gran amor de mi vida por ser mi motor y mi

motivo.


1

Dedicatoria

A mis padres: Norma Yolanda Parraguez Capitan,

Jose Brenis Ventura, con todo mi carino

y mi amor que hicieron todo en la vida

para que yo pudiera lograr mis suenos.

A mi esposa: Pamela Emperatriz Piscoya Santisteban,

a tu paciencia y comprension, preferiste sacrificar tu tiempo

para que yo pudiera cumplir con el mıo. Por tu bondad y

sacrificio me inspiraste a ser mejor para ti,

gracias por estar siempre a mi lado.

A mis hijos: Noriel Brenis Piscoya

Thiago Alexander Brenis Piscoya,

porque son lo mas importante en mi

vida para seguir siempre adelante.


2

A Dios por ser mi apoyo todo este tiempo,

A mis padres y mis hermanos por apoyarme en toda

mi formacion profesional.

A mi querida esposa Carla Falla de los Santos

por todo su apoyo y comprension para poder

realizar esta tesis.

A mi hijo Josue el gran amor de mi

vida por ser mi motor y mi motivo.


3

Resumen

Uno de los modelos mas comunes del crecimiento poblacional, usado por

los demografos es el llamado modelo de LESLIE, desarrollada en la decada

de 1940.

En este trabajo de tesis nos concentraremos sobre el analisis del modelo de

proyeccion lineal e invariante en el tiempo, mas concretamente en el MODE-

LO MATRICIAL DE LESLIE, la cual se investiga el crecimiento a lo largo

del tiempo de una poblacion femenina que esta dividida en clases de edad,

donde cada clase de edad tendra la misma duracion y escogemos ademas la

unidad de tiempo con la que se haran las proyecciones de tal manera que

sea igual a la longitud del intervalo de cada clase de edad. Para ello, primero

se presenta un estudio sobre teorıa de matrices, valores y vectores propios,

diagonalizacion y dinamica poblacional.

Para alcanzar los objetivos propuestos en esta tesis se divide el estudio del

problema general en dos situaciones: En primer lugar, desarrollamos la ob-

tencion de la matriz de LESLIE, incluyendo los conceptos involucrados en

ella valores propios, vectores propios.

Una vez analizado en su totalidad esta primera situacion, se procede a ver la

utilidad del MODELO MATRICIAL DE LESLIE para obtener el crecimiento

poblacional con respecto al tiempo de una poblacion femenina, el comporta-

miento en el lımite para dar un cuadro general de la dinamica del proceso

de crecimiento y se presentan algunos ejemplos que ilustran aplicacion del

modelo.

I

Abstract

One of the most common models of the population growth used by the

demographers is the so called model of LESLIE, developed in the decade of

1940.

In this work of thesis we will center on the analysis of the model of

linear projection and unvariant in the time, more concretely in the MATRIX

MODEL OF LESLIE, which investigates the growth throughout the time of

a feminine population who is divided in classes of age, where every class of

age will have the same duration and we choose in addition the unit of time

with which the projections will be done in such a way that it is equal to the

length of the interval of every class of age.

For it, first one presents a study on theory of counterfoils, values and

own vectors, diagonalizacion and population dynamics. To reach the aims

proposed in this thesis there is divided the study of the general problem

in two situations: First, we develop the obtaining of LESLIE’s counterfoil,

including the concepts involved in her own values, own vectors.

Once analyzed in its entirety this first situation, one proceeds to see the

usefulness of the MATRIX MODEL OF LESLIE to obtain the population

growth with regard to the time of a feminine population, the behavior in the

limit to give a general picture of the dynamics of the process of growth and

they present some examples that illustrate application of the model.

II

Introduccion

Cuando la variacion de una poblacion se realiza en funcion del tiempo,

obtenemos un proceso (continuo o discreto) que recibe el nombre de dinami-

ca de poblacion. El objetivo de la dinamica de poblaciones es estudiar los

cambios numericos que sufren las poblaciones, determinar sus causas, prede-

cir sus comportamientos y analizar sus consecuencias ecologicas. Estudiamos

en esta tesis un importante modelo de dinamica de poblaciones denominado

“MODELO DE LESLIE” en honor al autor del metodo, el fisiologo Patrick

Holt Leslie (1900-1974).

Los modelos que estudian el crecimiento de poblaciones independientemente

de la densidad de dichas poblaciones, corresponde a los casos mas simples.

Existen dos procesos que afectan al cambio del tamano de la poblacion: los

nacimientos y las migraciones, que aumentan su tamano, y las defunciones

y emigraciones que la disminuyen. En los modelos mas simplistas podemos

suponer que estamos estudiando una poblacion en la que no intervienen nin-

guno de esos procesos. Las hipotesis mas simplistas que podemos plantear

serian del tipo:

[∗] Todos los individuos son iguales (especialmente lo que hace referencia

a la natalidad y a la supervivencia)..

[∗] Los recursos disponibles son ilimitados.

El trabajo ha sido dividido en tres capıtulos:

En el capıtulo I se introducen las nociones basicas que permitiran compren-

III

der sin dificultad el resto del trabajo. Nociones basicas de matrices y sus

propiedades, matrices especiales, determinantes, valores y vectores propios,

matrices diagonalizables y dinamica poblacional.

En el capıtulo II se describe como se obtiene el modelo de Leslie clasificando

a las hembras por edades en intervalos de igual numero de anos y estudia-

mos el comportamiento en el lımite para determinar un cuadro general de la

dinamica del proceso de crecimiento.

Finalmente en el capıtulo III nos basaremos en la aplicacion de la matriz

de Leslie en el crecimiento poblacional por edad especıfica para una mayor

comprension.

Los tesistas

IV

Indice general

Resumen I

Abstract II

Introduccion III

1. Matrices 1

1.1. Matrices, Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Multiplicidad algebraica y geometrica . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Modelo matricial de Leslie 36

2.1. Modelo de Leslie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Obtencion de la matriz Leslie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3. Comportamiento en el lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.3. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Aplicacion de la matriz de Leslie 47

3.1. Calculo de los valores y vectores propios de L . . . . . . . . . 53

V

Conclusiones 58

Sugerencias 59

Bibliografıa 60

VI

Capıtulo 1

Matrices

1.1. Matrices, Propiedades

Definicion 1.1. Se llama matriz de orden ”m×n” a un conjunto rectangular

de elementos (aij) dispuestos en ”m” filas y en ”n” columnas. El orden de

una matriz tambien se denomina dimension o tamano, siendo m y n numeros

naturales.

Las matrices se denotan con letras mayusculas: A,B,C, . . . y los elementos de

las matrices con letras minusculas y subındices que indican el lugar ocupado:

a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , amn. Un elemento generico que ocupe la

fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento generico aparece entre

parentesis tambien representa a toda la matriz: A = (aij)m×n.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... aij...

am1 am2 · · · amn

Ejemplo 1.1. A =

[4 −3 5

7 6 4

]2×3

1

donde sus filas son: [4 −3 5

]y

[7 6 4

]y las columnas son: [

4

7

];

[−3

6

]y

[5

4

]

y sus elementos son: a11 = 4; a12 = −3; a13 = 5; a21 = 7; a22 = 6; a23 = 4

Definicion 1.2 (Multiplicacion de un escalar por una matriz). Sea λ ∈ Run escalar y A una matriz de orden m×n definimos el producto de λ por

A como

λ·A = B con bij = λaij

como cada elemento de la matriz A es multiplicada por λ, el producto λ·A es

por consiguiente otra matriz de orden m× n.

Ejemplo 1.2. Sea λ =√2 y A =

[ √2 1

0 −√2

]entonces

λ·A =√2·

[ √2 1

0 −√2

]=

[ √2(√2)

√2(1)

√2(0)

√2(−

√2)

]=

[2

√2

0 −2

]

�

Recordemos que habitualmente no usaremos la notacion λ ·A para el pro-

ducto, al que indicaremos simplemente λA, sin ningun sımbolo adicional. Es

decir, emplearemos para el producto entre un numero y una matriz la misma

convencion que para el producto entre numeros.

Propiedades del Producto de un escalar por una matriz

Sean α y β dos escalares y A, B dos matrices del mismo orden, entonces:

1) (αβ)A = α(βA)

2

2) α(A+B) = αA+ αB

3) (α+ β)A = αA+ βA

4) 1.A = A

5) 0.A = 0

Definicion 1.3 (Suma de matrices). Sea A = [aij]m×n y B = [bij]m×n dos

matrices de orden m × n, la suma de las matrices A y B es otra matriz

C = [cij]m×n de orden m × n, en donde cada elemento de la matriz C es la

suma de los elementos correspondientes de A y B; es decir:

cij = aij + bij ∀i, j

Por lo tanto: A+B = [aij]m×n + [bij]m×n = [aij + bij]m×n = [cij]m×n = C

∴ A+B = [cij]m×n = C

Ejemplo 1.3. Sean A =

1 1

20

1 2 −1

0 −1√2

y B =

0 1

2−1

2 2 0

1 −2 2

, entonces

A+B =

1 1

20

1 2 −1

0 −1√2

+

0 1

2−1

2 2 0

1 −2 2

=

1 + 0 1

2+ 1

20− 1

1 + 2 2 + 2 −1 + 0

0 + 1 −1− 2√2 + 2

=

1 1 −1

3 4 −1

1 −3√2 + 2

�

Propiedades de la suma de matrices:

Consideremos las matrices A,B y C del mismo orden y λ un escalar, entonces:

[S1] [Conmutativa] A+B = B + A.

3

[S2] [Asociativa](A+B

)+ C = A+

(B + C

)[S3] [Neutro de la suma] Existe una matriz O tal que A+O = O + A = A

[S4] [Distributiva] λ(A+B) = λA+ λB

Definicion 1.4 (Producto de matrices). Consideremos la matriz A = [aij]m×n

de orden m× n y la matriz B = [bij]n×r de orden n× r, el producto A por B

es otra matriz C = [cij]m×r de orden m× r, donde cij es el producto escalar

de la i - esima fila por la j - esima columna es decir:

cij =n∑

h=1

aihbhj , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , r

El siguiente esquema ayuda a recordar la forma de realizar la operacion:

A =

a11 a12 . . . a1n...

... . . ....

...... . . .

...

ai1 ai2 . . . ain...

... . . ....

am1 am2 . . . amn

;B =

b11 . . . b1j . . . b1r

b21 . . . b2j . . . b2r... . . .

... . . . . . .

bn1 . . . bnj . . . bnr

4

AB =

a11 a12 . . . a1n...

... . . ....

...... . . .

...

ai1 ai2 . . . ain...

... . . ....

am1 am2 . . . amn

b11 . . . b1j . . . b1r

b21 . . . b2j . . . b2r... . . .

... . . . . . .

bn1 . . . bnj . . . bnr

=

c11 c12 . . . c1j . . . c1r

c21 c22 . . . c2j . . . c2r... . . .

... . . . . . ....

ci1 ci2 . . . cij . . . cir... . . .

... . . . . . ....

cm1 cm2 . . . cmj . . . cmr

= C

donde: cij =n∑

h=1

aihbhj , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , r

Ejemplo 1.4. Sea A =

[2 −1

0 2

]y B =

[1 2

−1 3

]calculemos su producto

[2 −1

0 2

][1 2

−1 3

]=

[2·1 + (−1)(−1) 2(2) + (−1)3

0·1 + 2(−1) 0·2 + 2·3

]=

=

[3 1

−2 6

]

Ejemplo 1.5. Sean A =

[2 1 −1 0

2 1 2 −1

]y B =

1 2

2 1

1 1

1 0

. El producto

5

de A por B es:

[2 1 −1 0

2 1 2 −1

]1 2

2 1

1 1

1 0

=

[2·1 + 1·2 + (−1)1 + 0·1 2·2 + 1·1 + (−1)1 + 0·02·1 + 1·2 + 2·1 + (−1)1 2·2 + 1·1 + 2·1 + (−1)0

]

=

[3 4

5 7

]Propiedades del producto de matrices:

AB = BA.

(AB)C = A(BC)

A(B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA+ CA

λ(AB) = A(λB), λ es un escalar

1.2. Matrices especiales

[1] Matriz fila: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden

1× n.

Ejemplo 1.6. [7 2 −5

]1×3

[2] Matriz columna: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo

su orden m× 1.

Ejemplo 1.7. 2

7

5

3×1

6

[3] Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A

a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las

columnas. Se representa por At o AT .

Si es A = [aij]m×n su transpuesta es: AT = [aji]n×m.

Ejemplo 1.8. Sea A =

[2 1 5

3 −4 7

]entonces su transpuesta es:

AT =

2 3

1 −4

5 7

[4] Matriz nula: Si todos sus elementos son cero. Tambien se denomina

matriz cero y se denota por 0m×n

Ejemplo 1.9.

A =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3×4

[5] Matriz cuadrada: Se dice que una matriz A es cuadrada cuando el

numero de filas es igual al numero de columnas. Am×n es cuadrada si

y solo si m = n, en este caso se dice que A es de orden (n × n) y se

representa por An×n.

Ejemplo 1.10. La matriz A =

[1 1

1 1

]es cuadrada, mientras que

B =

[1 1 0

1 1 1

]no lo es.

En una matriz cuadradaA de orden (n×n), los elementos a11, a22, . . . , ann,

forman la diagonal principal de la matriz. A la suma de los elementos

de la diagonal principal se le llama traza de una matriz cuadrada

y se denota por traz(A).

7

Ejemplo 1.11. Observese que en la matriz cuadrada

A = [aji]3×3 =

1 −3 4

0 4 −2

−3 −5 −7

los elementos de la diagonal principal, son: a11 = 1, a22 = 4, a33 = −7

y su traza es: traz(A) = 1 + 4− 7 = −2.

[6] Matriz diagonal: Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera

de la diagonal principal son ceros, es llamada matriz diagonal.

Ejemplo 1.12.

A =

2 0 0

0 4 0

0 0 3

y B =

2 0 0

0 0 0

0 0 3

[7] Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos

de la diagonal principal son iguales, en la que se verifica: a11 = a22 =

· · · = ann = k, osea que es una matriz de la forma:

A =

k 0 0 · · · 0

0 k 0 · · · 0

0 0 k · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · k

Ejemplo 1.13.

M =

5 0 0

0 5 0

0 0 5

es una matriz escalar.

[8] Matriz identidad: Es una matriz escalar en la que k = 1

8

Ejemplo 1.14.

[1]

;

[1 0

0 1

];

1 0 0

0 1 0

0 0 1

; etc.

Se acostumbra denotar a la matriz identidad de orden n× n por In×n.

[9] Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada que tiene todos

los elementos por debajo de la diagonal principal nulos.

Ejemplo 1.15.

A =

1 9 −6

0 2 1

0 0 5

[10] Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada que tiene todos

los elementos por encima de la diagonal principal nulos.

Ejemplo 1.16.

A =

1 0 0

4 2 0

−1 4 5

[11] Matriz singular: Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero.

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Ejemplo 1.17.

A =

[3 2

6 4

]de donde el det(A) = 3(4)− 6(2) = 0

[12] Matriz simetrica: Es una matriz cuadrada que es igual a su trans-

puesta. es decir: A = AT . Para que una matriz A sea simetrica debe

cumplir: aij = aji para i = j

9

Ejemplo 1.18. Si A =

1 0 1

0 2 4

1 4 3

⇒ AT =

1 0 1

0 2 4

1 4 3

= A

[13] Matriz Antisimetrica: Una matriz cuadrada A se dice que es una

matriz antisimetrica si A = −AT

Ejemplo 1.19. Si A =

[0 −1

1 0

]entonces

AT =

[0 1

−1 0

]= −

[0 −1

1 0

]= −A

Como A = −AT entonces A es una matriz antisimetrica.

[14] Matriz ortogonal: Una matriz cuadrada A se llama ortogonal, si se

verifica:

A · AT = AT · A = I

Ejemplo 1.20. Comprobar que la matriz dada es ortogonal:

A =

cosα − senα 0

senα cosα 0

0 0 1

A · AT =

cosα − senα 0

senα cosα 0

0 0 1

cosα senα 0

− senα cosα 0

0 0 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= I

Como A · AT = I entonces A es ortogonal.

10

Observacion:

• Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible:

A−1 = AT es decir la inversa de una matriz ortogonal es una

matriz ortogonal.

• El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.

• El determinante de una matriz ortogonal vale +1 o -1.

[15] Matriz inversa: Una matriz cuadrada A, se llama invertible, si existe

una matriz cuadrada B tal que: AB = BA = I, entonces a la matriz

B se llama inversa de A y se denota por B = A−1.

Ejemplo 1.21. Hallar la matriz inversa de: A =

[2 −3

5 −4

].

Sea A−1 =

[a b

c d

]la matriz inversa por calcular. Entonces se tiene:

A · A−1 = I, de donde:

A · A−1 =

[2 −3

5 −4

][a b

c d

]=

[1 0

0 1

]

=

[2a− 3c 2b− 3d

5a− 4c 5b− 4d

]=

[1 0

0 1

]

Por igualdad se tiene:

2a− 3c = 1

2b− 3d = 0

5a− 4c = 0

5b− 4d = 1

al resolver el sistema se tiene: a = −47, b = 3

7, c = −5

7, d = 2

7.

Luego:

A−1 =

[−4

737

−57

27

]

11

1.3. Determinantes

Definicion 1.5. El determinante viene a ser una funcion que aplicada a

una matriz cuadrada da un unico valor numerico. Sea Mn×n el conjunto de

todas las matrices cuadradas de orden n, entonces la definicion queda de la

siguiente manera:

| | : Mn×n → R(o C)

A → |A|

Notacion:

Sea A una matriz cuadrada, entonces el determinante de la matriz A se

representa por |A| ; det(A) o detA.

Determinante de una matriz cuadrada de orden 2

Sea A una matriz cuadrada de orden 2× 2

A =

[a11 a12

a21 a22

]Su determinante se define mediante la formula:

|A| =

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Ejemplo 1.22. Sea la matriz cuadrada de orden 2 × 2; A =

[5 8

10 3

],

calcular el det(A).

Solucion:

|A| =

∣∣∣∣∣ 5 8

10 3

∣∣∣∣∣ = 5(3)− 10(8) = −65

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 3× 3

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

12

Su determinante se define mediante la formula:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12

Ejemplo 1.23. Sea la matriz cuadrada de orden 3 × 3; A =

1 2 3

3 2 1

2 1 3

,calcular el det(A).

Solucion:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

3 2 1

2 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1)(2)(3)+(2)(1)(2)+(3)(3)(1)−(2)(2)(3)−(1)(1)(1)−(3)(3)(2) = −12

Calculo del determinante de orden n, por los adjuntos

Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no

es facilmente aplicable y entonces utilizamos el metodo de los adjuntos, que

reduce el orden en una unidad cada vez que la utilizamos. Para ello vamos a

definir dos nuevos conceptos:

Menor complementario

Dada una matriz An×n se llama menor complementario de un elemento aij

al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j

en la matriz An×n: se llama mij.

Adjunto de un elemento

Al producto de (−1)i+j por el menor complementario mij de aij se llama

adjunto de un elemento aij y se escribe Aij.

Aij = (−1)i+jmij

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un deter-

minante: el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los

13

productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjun-

tos.

|A| =n∑

i,j=1

aij × Aij = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

= a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj

Ejemplo 1.24. Calcular el valor del determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 2 0

1 2 0 1

−1 1 4 −1

3 −1 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar

el calculo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 2 0

1 2 0 1

−1 1 4 −1

3 −1 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1.A11 + 0.A12 + 2.A13 + 0.A14

= 1.(−1)1+1.

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 1

1 4 −1

−1 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣+ 2.(−1)1+3.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1

−1 1 −1

3 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣= −51

Propiedades

1. Para toda matriz An×n se tiene detA = det(At).

2. El determinante de una matriz An×n cambia de signo si dos filas o dos

columnas se intercambian.

3. Si la matriz Bn×n se obtiene de la matriz An×n trasladando una de sus

filas o columnas k lugares, entonces, |B| = (−1)k|A|.

4. Si una matriz An×n se tiene que una fila o columna es multiplo de otra

fila o columna, entonces el determinante de dicha matriz vale CERO.

14

5. Si en una matriz An×n todos los elementos de una matriz fila o columna

son CEROS entonces su determinante vale CERO.

6. Si una matriz An×n todos los elementos de una fila o columna son

multiplos por un escalar K, entonces el valor del determinante tambien

queda multiplicado por K.

7. Si a una fila o una columna de una matriz An×n se le suma el multiplo

de otra fila o columna, se tendra que el valor del determinante An×n no

varıa.

8. Si los elementos de una fila o columna cualquiera consta de dos termi-

nos, el determinante puede expresarse como la suma de otros dos de-

terminantes.

9. El determinante de la matriz identidad es igual a la unidad.

10. Sea D = [dij] una matriz diagonal de orden n× n, entonces

|D| = d11 · d22 · d33 . . . dnn

11. El determinante de una matriz triangular superior o triangular inferior

es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

12. En forma general el determinante de una suma de matrices es diferente

de la suma de los determinantes de cada matriz, es decir:

det(A+B) = det(A) + det(B)

13. 13. El determinante de un producto de matrices es igual al producto

de los determinantes de las matrices, es decir:

det(A×B) = det(A)× det(B)

15

1.4. Valores y vectores propios

Definicion 1.6. Dada una matriz cuadrada A diremos que un numero λ ∈ Ro C es un valor propio(o autovalor) de A si existe un vector no nulo

v = 0, tal que , Av = λv

v se llama vector propio (o auto vector) asociado al valor propio λ, λ es un

valor propio si y solo si es raız de la ecuacion caracterıstica det(A−λI) = 0.

Observese que la condicion v = 0 es necesaria para evitar el caso trivial:

cualquier numero real λ verifica la condicion A0 = λ0. Por tanto v = 0 no es

ningun vector propio. Por el contrario, los valores propios si pueden tomar

el valor 0. Los valores y vectores propios tienen las siguientes propiedades

basicas.

Propiedades:

1. Todo vector propio esta asociado a un unico valor propio.

2. Un valor propio tiene asociado infinitos vectores propios. De hecho, se

puede demostrar que el conjunto de los vectores propios asociados a

un mismo valor propio λ junto con el vector nulo 0 tiene estructura de

subespacio vectorial.

3. Si A es una matriz de orden n, existen a lo sumo n valores propios

distintos de A.

Teniendo en cuenta la segunda propiedad, podemos dar la siguiente defini-

cion:

Definicion 1.7. Para un valor propio λ de una matriz cuadrada A de orden

n, se denomina subespacio propio correspondiente a λ al subconjunto:

Eλ = {v/Av = λv} = {v/(A− λI)v = 0} = ker(A− λI)

16

Proposicion 1.1. Cada subespacio propio Eλ tiene estructura de subespacio

vectorial de Rn y dim(Eλ) = n− rango(A− λI)

Definicion 1.8. El polinomio caracteristico de una matriz A es el polinomio

det(A− λI).

Ejemplo 1.25. Calcular los valores y vectores propios de la matriz

A =

[5 −7

2 −4

].

a) La construccion del polinomio caracterıstico:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣ 5− λ −7

2 −4− λ

∣∣∣∣∣= (5− λ)(−4− λ)− (−7)(2)

= λ2 − λ− 6

= (λ− 3)(λ+ 2)

b) Los valores propios se hallan con la condicion:

det(A− λI) = 0

(λ− 3)(λ+ 2) = 0

λ1 = 3 ∧ λ2 = −2

por lo que A tiene valores propios 3 y −2.

c) Los vectores propios se hallan resolviendo los sistemas homogeneos:

17

i) Si λ1 = 3

(A− λI)v1 = 0[5− 3 −7

2 −4− 3

][x

y

]=

[0

0

][2 −7

2 −7

][x

y

]=

[0

0

][

2x− 7y

2x− 7y

]=

[0

0

]⇒ 2x− 7y = 0 ⇒ 2x = 7y

Sea y = α

v1 =

[x

y

]=

[72α

α

]=

α

2

[7

2

]⇒ v1 =

α

2

[7

2

]

luego el vector propio v1 es:

[7

2

]ii) Si λ2 = −2

(A− λI)v2 = 0[5 + 2 −7

2 −4 + 2

][x

y

]=

[0

0

][7 −7

2 −2

][x

y

]=

[0

0

][

7x− 7y

2x− 2y

]=

[0

0

]⇒ 7x− 7y = 0 ⇒ x = y

⇒ 2x− 2y = 0 ⇒ x = y

Sea y = α

v2 =

[x

y

]=

[α

α

]= α

[1

1

]⇒ v2 = α

[1

1

]

18


[1

1

]

entonces los valores propios de la matriz son: {v1; v2}

Ejemplo 1.26. Calcular los valores y vectores propios de la matriz:

A =

3 0 2

1 3 1

0 1 1

a) La construccion del polinomio caracterıstico:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣3− λ 0 2

1 3− λ 1

0 1 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (3− λ)

∣∣∣∣∣ 3− λ 1

1 1− λ

∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣ 1 3− λ

0 1

∣∣∣∣∣= (3− λ)[(3− λ)(1− λ)− 1] + 2

= (3− λ)2(1− λ)− 3 + λ+ 2

= (3− λ)2(1− λ)− 1 + λ

= (1− λ)[(3− λ)2 − 1]

= (1− λ)(9− 6λ+ λ2 − 1)

= (1− λ)(λ2 − 6λ+ 8)

= (1− λ)(λ− 4)(λ− 2)

b) Los valores propios se hallan con la condicion:

det(A− λI) = 0

(1− λ)(λ− 4)(λ− 2) = 0

1 = λ ; λ = 4 ; λ = 2

λ1 = 1 ; λ2 = 4 ; λ3 = 2

por lo que A tiene valores propios 1 ; 4 y 2.

19

c) Los vectores propios se hallan resolviendo los sistemas homogeneos:

i) Si λ1 = 1

(A− λI)v1 = 03− 1 0 2

1 3− 1 1

0 1 1− 1

x

y

z

=

0

0

0

2 0 2

1 2 1

0 1 0

x

y

z

=

0

0

0

2x+ 2z

x+ 2y + z

y

=

0

0

0

⇒ 2x+ 2z = 0 ⇒ x = −z

⇒ x+ 2y + z = 0 ⇒ y = 0

⇒ y = 0

Sea z = α

v1 =

x

y

z

=

−α

0

α

= α

−1

0

1


−1

0

1

20

ii) Si λ2 = 4

(A− λI)v2 = 03− 4 0 2

1 3− 4 1

0 1 1− 4

x

y

z

=

0

0

0

−1 0 2

1 −1 1

0 1 −3

x

y

z

=

0

0

0

−x+ 2z

x− y + z

y − 3z

=

0

0

0

⇒ −x+ 2z = 0 ⇒ x = 2z

⇒ x− y + z = 0

⇒ y − 3z = 0 ⇒ y = 3z

Sea z = α

v2 =

x

y

z

=

2α

3α

α

= α

2

3

1

⇒ v2 = α

2

3

1


2

3

1

21

iii) Si λ3 = 2

(A− λI)v3 = 03− 2 0 2

1 3− 2 1

0 1 1− 2

x

y

z

=

0

0

0

1 0 2

1 1 1

0 1 −1

x

y

z

=

0

0

0

x+ 2z

x+ y + z

y − z

=

0

0

0

⇒ x+ 2z = 0 ⇒ x = −2z

⇒ x+ y + z = 0

⇒ y − z = 0 ⇒ y = z

Sea z = α

v3 =

x

y

z

=

−2α

α

α

= α

−2

1

1

⇒ v2 = α

−2

1

1


2

3

1

Entonces los vectores propios de la matriz son: {v1; v2; v3}

1.5. Multiplicidad algebraica y geometrica

Ahora introducimos dos cantidades importantes asociados a un valor pro-

pio de la matriz cuadrada A de orden n.

22

Definicion 1.9. Sea λ un valor propio de una matriz cuadrada A de orden n.

La multiplicidad algebraica del valor propio λ es la multiplicidad de λ como

una raız del polinomio caracterıstico det(A−λI). La multiplicidad geometrica

del valor propio λ es la dimension del subespacio propio Eλ.

Tenemos la siguiente relacion entre estas dos multiplicidades.

Lema 1.1. Sea λ un valor propio de una matriz cuadrada A de orden n.

Entonces

1 ≤ multiplicidad geometrica de λ ≤ multiplicidad algebraica de λ

Demostracion:

Por la definicion de un valor propio, hay al menos un vector propio v con va-

lor propio λ, y ası Eλ contiene el vector no nulo v, y por lo tanto dim(Eλ) ≥1. Por la definicion 1.9. multiplicidad geometrica de λ = la dimension del

subespacio propio Eλ ⇒ multiplicidad geometrica de λ ≥ 1. Para la prue-

ba de que multiplicidad geometrica de λ ≤ multiplicidad algebraica de λ

supongamos que la multiplicidad geometrica de λ es h, es decir, Eλ es un

espacio de dimension h, con {u1, . . . , uh} una base del mismo. Ampliemos la

base anterior a una base del espacio total (que suponemos de dimension n),

y sea A la matriz de la aplicacion en dicha base. Por construccion, A es de

la forma:

A =

λ

. . . A′

λ

0 A′′

pues los primeros h vectores de la base son vectores propios. Si ahora calcu-

23

lamos el polinomio caracterıstico de A,

|A− µIn| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ− µ. . . A

′

λ− µ

0 A′′ − µIn−h

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (λ− µ)h|A′′ − µIn−h|

donde |A′′ − µIn−h| es un polinomio de grado n − h. Por tanto λ es una

raız de multiplicidad al menos h, es decir multiplicidad algebraica de λ ≥multiplicidad geometrica de λ.

Ejemplo 1.27. Consideremos la matriz:2 2 3

0 2 2

0 0 2

Calculamos su polinomio caracteristico:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣2− λ 2 3

0 2− λ 2

0 0 2− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (2− λ)

∣∣∣∣∣ 2− λ 2

0 2− λ

∣∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣∣ 0 2

0 2− λ

∣∣∣∣∣+ 3

∣∣∣∣∣ 0 2− λ

0 0

∣∣∣∣∣det(A− λI) = (2− λ)3

Luego A tiene un unico valor propio λ1 = 2 cuya multiplicidad algebraica de

λ1 = 3.

24

Veamos cual es su multiplicidad geometrica:

multiplicidad geometrica de λ1 = n− rango(A− λI)

= 3− rango(A− 2I)

= 3− rango

0 2 3

0 0 2

0 0 0

= 3− 2

= 1

Luego: multiplicidad geometrica de λ1 ≤ multiplicidad algebraica de λ1.

Corolario 1.1. Sea λ un valor propio de una matriz A cuadrada de orden

n y supongamos que λ tiene multiplicidad algebraica 1. Entonces λ tambien

tiene multiplicidad geometrica 1.

Demostracion:

En este caso, aplicando el lema 1.1., tenemos:

1 ≤ multiplicidad geometrica de λ ≤ multiplicidad algebraica de λ = 1

ası multiplicidad geometrica de λ = 1

Observacion 1.1. Sea A una matriz cuadrada n×n. Entonces su polinomio

caracterıstico det(A− λI) tiene grado n. En el campo complejo:

det(A− λI) = −(λ− λ1)m1(λ− λ2)

m2 . . . (λ− λk)mk

donde λ1, λ2, . . . , λk son las k raıces diferentes del polinomio caracterıstico,

y m1,m2, . . . ,mk son sus multiplicidades respectivas.

Se tiene: m1 +m2 + · · ·+mk = n

Lema 1.2. Sea A una matriz cuadrada de orden n; las siguientes condiciones

son equivalentes:

25

1. multiplicidad geometrica de (λ) = multiplicidad algebraica de (λ), pa-

ra cada valor propio λ de A.

2. La suma de las multiplicidades geometricas de los valores propios de A

es igual a n

Demostracion:

1 ⇒ 2

Si A tiene valores propios λ1, λ2, . . . , λm. Para cada i = 1,m, sea

di = multiplicidad geometrica(λi) y

ri = multiplicidad algebraica de (λi)

. Entonces por el lema 1.1., di ≤ ri para cada i, y por la observacion 1.1,m∑i=1

ri = n. Como di = ri para cada i, entoncesm∑i=1

di = n.

2 ⇒ 1m∑i=1

di = n. Ademas, puesto que para cada i se verifica: di ≤ ri se tiene:

n = d1 + d2 + · · ·+ dm ≤ t1 + t2 + · · ·+ tm ≤ n

con lo que ha de ser forzosamente:

di = ri ; ∀i = 1,m

r1 + r2 + · · ·+ rm = nm∑i=1

ri = n

Luego: multiplicidad geometrica(λi) = multiplicidad algebraica(λi)

Proposicion 1.2. .

(1) Sea a1, a2, . . . , am valores propios distintos de A (i.e., ai = aj para

i = j). Para cada i entre 1 y m, sea vi su vector propio asociado.

Entonces {v1, v2, . . . , vm} es un conjunto linealmente independiente de

vectores.

26

(2) Mas en general, sea a1, a2, . . . , am valores propios distintos de A. Para

cada i entre 1 y m, sea Si un conjunto linealmente independiente de

vectores propios asociados a ai. Entonces S = S1 ∪ . . . ∪ Sm es un

conjunto linealmente independiente de vectores.

Demostracion:

(1) Supongamos que tenemos una combinacion lineal

0 = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm

Tenemos que demostrar que αi = 0 para cada i. Para ello, empezamos con una

observacion: Si v es un vector propio de A asociado al valor propio a, y b es

cualquier escalar, entonces (A−bI)v = Av−bv = av−bv = (a−b)v.(Tenemos

en cuenta que esta respuesta es 0 si a = b y distinto de cero si a = b.)

Ahora vamos a trabajar, multiplicando nuestra relacion original por (A −amI). Por supuesto, (A− amI)0 = 0, ası:

0 = (A− amI)(α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm)

0 = α1(A− amI)v1 + α2(A− amI)v2 + · · ·αm−2(A− amI)vm−2

+αm−1(A− amI)vm−1 + αm(A− amI)vm

0 = α1(a1 − am)v1 + α2(a2 − am)v2 + · · ·αm−2(am−2 − am)vm−2

+αm−1(am−1 − am)vm−1

Ahora multiplicamos esta relacion por (A−am−1I). De nuevo, (A−am−1I)0 =

0, ası:

0 = (A− am−1I)(α1(a1 − am)v1 + α2(a2 − am)v2 + · · ·αm−2(am−2 − am)vm−2

+αm−1(am−1 − am)vm−1)

0 = α1(a1 − am)(A− am−1I)v1 + α2(a2 − am)(A− am−1I)v2 + · · ·

+αm−2(am−2 − am)(A− am−1I)vm−2 + αm−1(am−1 − am)(A− am−1I)vm−1

0 = α1(a1 − am)(a1 − am−1)v1 + α2(a2 − am)(a2 − am−1)v2 + · · ·

+αm−2(am−2 − am)(am−2 − am−1I)vm−2

27

Procedemos de esta manera, hasta que en el ultimo paso multiplicamos por

(A− a2I). Obtenemos entonces:

0 = α1(a1 − a2) . . . (a1 − am−1)(a1 − am)v1

Pero v1 = 0, ya que por definicion un vector propio es distinto de cero.

Ademas, el producto (a1 − a2) . . . (a1 − am−1)(a1 − am) es un producto de

numeros distintos de cero y por lo tanto es distinto de cero. Por lo tanto,

debemos tener α1 = 0.

Procediendo de la misma manera, multiplicando nuestra relacion original por

(A−amI), (A−am−1I), . . . , (A−a3I), y finalmente por (A−a1I), obtenemos

c2 = 0, y, procediendo de esta manera, obtenemos ci = 0 para todo i, y ası el

conjunto {v1, v2, . . . , vm} es linealmente independiente.

(2) Para evitar notacion complicada, simplemente vamos a probar esto cuan-

do m = 2. Ası, sea m = 2, sea S1 = {v1,1, . . . , v1,i1} un conjunto linealmente

independiente de vectores propios asociados al valor propio a1 de A, y sea

S2 = {v2,1, . . . , v2,i2} un conjunto linealmente independiente de vectores pro-

pios asociados al valor propio a2 deA. Entonces S = {v1,1, . . . , v1,i1 , v2,1, . . . , v2,i2}.Queremos demostrar que S es un conjunto linealmente independiente. Supon-

gamos que tenemos una combinacion lineal:

α1,1v1,1 + · · ·+ α1,i1v1,i1 + α2,1v2,1 + · · ·+ α2,i2v2,i2 = 0

Entonces:

α1,1v1,1 + · · ·+ α1,i1v1,i1 + α2,1v2,1 + · · ·+ α2,i2v2,i2 = 0

(α1,1v1,1 + · · ·+ α1,i1v1,i1) + (α2,1v2,1 + · · ·+ α2,i2v2,i2) = 0

v1 + v2 = 0

donde v1 = α1,1v1,1 + · · · + α1,i1v1,i1 y v2 = α2,1v2,1 + · · · + α2,i2v2,i2 . Pero v1

es un vector en Ea1 , ası Av1 = a1v1; del mismo modo, v2 es un vector en Ea2 ,

28

ası Av2 = a2v2. Entonces, como en la demostracion de la parte (1),

0 = (A− a2I)0 = (A− a2I)(v1 + v2) = (A− a2I)v1 + (A− a2I)v2

0 = (a1 − a2)v1 + 0 = (a1 − a2)v1

ası v1 = 0; del mismo modo, v2 = 0. Pero 0 = v1 = α1,1v1,1 + · · · + α1,i1v1,i1

implica que α1,1 + · · · + α1,i1 = 0, como, por hipotesis, {v1,1, . . . , v1,i1} es un

conjunto linealmente independiente; del mismo modo; v2 = 0 implica que

α2,1 + · · · + α2,i2 = 0. Ası, α1,1 = · · · = α1,i1 = α2,1 = · · · = α2,i2 = 0 y S es

linealmente independiente, como afirmamos.

Definicion 1.10. Dos matrices cuadradas A y B son semejantes si existe

una matriz P invertible con A = PBP−1

1.6. Matrices diagonalizables

Definicion 1.11. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si A es semejante

a una matriz diagonal.

Definicion 1.12. Una matriz cuadrada A, n × n, se dice diagonalizable si

existe una base de Cn(es decir n vectores linealmente independientes) forma-

da exclusivamente con vectores propios de A.

Aquı esta el resultado principal de esta seccion.

Teorema 1.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n.

A es diagonizable si y solo si

multiplicidad geometrica(λi) = multiplicidad algebraica(λi) ; para cada i = 1,m

para todo valor propio λi de A.

Demostracion:

Sea la multiplicidad geometrica(λi) = di y la multiplicidad algebraica(λi) =

29

ri.

⇒] Si A es diagonalizable, entonces existe una base de Cn formada exclusi-

vamente con vectores propios de A, es decir:

d1 + d2 + · · ·+ dm = n

Ademas, puesto que para cada i se verifica di ≤ ri se tiene:

n = d1 + d2 + · · ·+ dm ≤ r1 + r2 + · · ·+ rm ≤ n

con lo que ha de ser forzosamente: di = ri ; ∀i = 1,m.

⇐] Si para cada valor propio λi de A;∀i = 1,m se cumple que: di = ri y por

el lema 1.2.

d1 + d2 + · · ·+ dm = n

Por la definicion 1.11. A es diagonalizable. En este teorema, A = PJP−1

donde J es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios,

cada uno que aparece de acuerdo con su multiplicidad algebraica, y P es

una matriz cuyas columnas son los vectores propios que forman bases para

el espacio caracterıstico asociado.

Corolario 1.2. Sea A una matriz cuadrada de orden n, sobre los numeros

complejos que tiene todos sus valores propios distintos (es decir, cuyo poli-

nomio caracterıstico no tiene raıces repetidas) entonces A es diagonalizable.

Demostracion:

Si A tiene n valores propios distintos en Cn, entonces todas las raıces del

polinomio caracterıstico estan en Cn, puesto que siendo este de grado n tiene

como maximo n raıces distintas.

Ademas, en tal caso , cada autovalor tendra multiplicidad algebraica ri = 1,

con lo cual para cada i se verifica: 1 ≤ di ≤ ri = 1 y por tanto di = ri.

Aplicando el teorema 1.1. A es diagonalizable.

30

En adelante se considerara a la multiplicidad geometrica(λi) = di y la

multiplicidad algebraica(λi) = ri.

El problema de la diagonalizacion queda entonces estructurado de la si-

guiente forma:

[Paso 1:] Se calcula el polinomio caracterıstico det(A− λI)

[Paso 2:] Descomponiendo el polinomio caracterıstico se calculan sus raıces. Si

alguna de ellas es compleja, la matriz no sera diagonalizable en R, peroposiblemente sı en C. Tenemos de esta forma los valores propios y sus

multiplicidades algebraicas.

[Paso 3:] Se calculan las multiplicidades geometricas, di = n− rango(A− λiI).

[Paso 4:] Se aplica el criterio de diagonalizacion. Si para algun i se tiene di = ri,

entonces la matriz no es diagonalizable. En caso contrario, si di = ri

para todo i, la matriz es diagonalizable y su forma diagonal es la matriz

J cuya diagonal esta formada por los valores propios repetidos cada uno

segun su multiplicidad.

[Paso 5:] Obtenemos bases de los subespacios propios Eλi= ker(A− λiI)

[Paso 6:] Ası pues la matriz de cambio de base, cuyas columnas son las coor-

denadas de estos vectores propios, es la matriz de paso, esto es: una

matriz regular P cumpliendo que: A = PJP−1

Veamos en un ejemplo el proceso completo:

Ejemplo 1.28. Sea A la matriz3 1 1

1 3 1

1 1 3

31

Su polinomio caracterıstico es:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣3− λ 1 1

1 3− λ 1

1 1 3− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (3− λ)

∣∣∣∣∣ 3− λ 1

1 3− λ

∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣ 1 1

1 3− λ

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ 1 3− λ

1 1

∣∣∣∣∣det(A− λI) = (3− λ)[(3− λ)2 − 1]− (3− λ) + 1 + 1− (3− λ)

det(A− λI) = (3− λ)3 − 3(3− λ) + 2

det(A− λI) = 27− 27λ+ 9λ2 − λ3 − 9 + 3λ+ 2

det(A− λI) = −λ3 + 9λ2 − 24λ+ 20

det(A− λI) = −(λ− 2)2(λ− 5)

Ası pues, los valores propios de A y sus multiplicidades algebraicas son:

λ1 = 2 ; r1 = 2

λ2 = 5 ; r2 = 1

Calculamos ahora las multiplicidades geometricas:

d1 = 3− rango(A− λI)

= 3− rango(A− 2I)

= 3− rango

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= 3− rango

1 1 1

0 0 0

0 0 0

= 3− 1

= 2

Para d2, aplicando el lema 1.1. tenemos que: 1 ≤ d2 ≤ r2 = 1, obtenemos

directamente que d2 = 1. Tenemos por tanto:

32

λ1 = 2 r1 = 2 d1 = 2

λ1 = 5 r2 = 1 d2 = 1

Ahora, puesto que d1 = r1 y d2 = r2, la matriz A es diagonalizable y su

forma diagonal sera:

J =

2 0 0

0 2 0

0 0 5

Para calcular la matriz de paso, necesitaremos bases de los subespacios pro-

pios:

(a) Eλi= ker(A− λiI) ⇒ E2 = ker(A− 2I)

A− 2I =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

(x, y, z) ∈ E2 ⇔

1 1 1

1 1 1

1 1 1

x

y

z

=

0

0

0

⇔ x+ y + z = 0

Sea y = α y z = β, luego:

E2 ≡

x = −α− β

y = α

z = β

y de aqui obtenemos la base de E2

{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}

(b) Eλi= ker(A− λiI) ⇒ E5 = ker(A− 5I)

A− 5I =

−2 1 1

1 −2 1

1 1 −2

33

(x, y, z) ∈ E5 ⇔

−2 1 1

1 −2 1

1 1 −2

x

y

z

=

0

0

0

⇔

−2x+ y + z = 0

x− 2y + z = 0

x+ y − 2z = 0

Este sistema es equivalente al sistema reducido:x− z = 0 ⇒ x = z

y − z = 0 ⇒ y = z

Sea z = α, ası pues

E5 ≡

x = α

y = α

z = α

y por tanto una base es {(1, 1, 1)}.En consecuencia una base formada por vectores propios es:

{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}

Es importante que los vectores de esta base esten en el mismo orden en

que figuran los valores propios correspondientes en la forma diagonal.

Finalmente la matriz de paso sera:

P =

−1 −1 1

1 0 1

0 1 1

En este momento hemos acabado y solo restara comprobar que efecti-

34

vamente A = PJP−1 :

PJP−1 =

−1 −1 1

1 0 1

0 1 1

2 0 0

0 2 0

0 0 5

−13

23

−13

−13

−13

23

13

13

13

=

−2 −2 5

2 0 5

0 2 5

−13

23

−13

−13

−13

23

13

13

13

=

3 1 1

1 3 1

1 1 3

PJP−1 = A

35

Capıtulo 2

Modelo matricial de Leslie

2.1. Modelo de Leslie.

En las matematicas aplicadas, la matriz de Leslie es un modelo discreto,

con estructura de edades de crecimiento de la poblacion que es muy popular

en la ecologıa de la poblacion. Fue inventado por y el nombre de Patrick H.

Leslie. La matriz de Leslie es una de las mejores maneras conocidas para des-

cribir el crecimiento de las poblaciones, en el que una poblacion esta cerrado

a la migracion y donde se considera un solo sexo, por lo general la hembra.

La matriz de Leslie se utiliza en la ecologıa para modelar los cambios en una

poblacion de organismos durante un perıodo de tiempo. En un modelo de

Leslie, la poblacion se divide en grupos basados en las clases de edad.

El modelo de Leslie se basa en las siguientes hipotesis:

− La tasa de mortalidad depende de la edad de los individuos.

Ello es natural ya que en un individuo de edad avanzada tendra mas

posibilidades de morir que uno mas joven.

− La fecundidad depende de la edad de los individuos.

Efectivamente los individuos muy jovenes o muy viejos no tendran la

misma capacidad reproductora que los que se encuentran en la madurez.

36

− El numero de hembras y machos en la poblacion es similar.

Ello sucede en la mayorıa de especies animales en el cual el comporta-

miento reproductivo depende fundamentalmente de las hembras.

Teniendo en cuenta estas hipotesis, estudiaremos la evolucion de la poblacion

de hembras agrupandolas en clases que sean homogeneas a efectos reproduc-

tivos y de supervivencia. Como suponemos que la fertilidad y mortalidad

depende de la edad, el modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte

femenina de una poblacion clasificando a las hembras por edades en interva-

los de igual numero de anos.

Como ya hemos comentado, normalmente el numero de descendientes pro-

ducidos depende de la edad de los adultos. Por ejemplo, en una poblacion

humana la mujer adulta con un promedio de edad de 50 anos tendra menos

hijos que la mujer con un promedio de 21 anos. A fin de superar esta dificultad

es necesario introducir un modelo que permita el agrupamiento por edades

con diferentes tasas de fertilidad. Este es el modelo que mas comunmen-

te utilizan los demografos para el crecimiento de una poblacion (humana o

animal). Como en muchas de las poblaciones estudiadas es muy difıcil deter-

minar la paternidad, ya hemos mencionado tambien antes que entonces, por

regla general, solo se analiza la evolucion de la poblacion de hembras. Cuan-

do la poblacion que tenemos que estudiar es tal que el numero de hembras y

machos es muy diferente, entonces esta hipotesis supone una gran restriccion

sobre el modelo, pero por lo general, esta circunstancia no suele darse en la

mayorıa de los casos. Por tanto, el modelo de Leslie describe el crecimiento

de la parte femenina de una poblacion clasificando a las hembras por edades

en intervalos de igual numero de anos.

37

2.2. Obtencion de la matriz Leslie

Supongamos que la edad maxima alcanzada por una hembra de una po-

blacion sea “L” anos y que esta poblacion la dividimos en “n” clases de

edades. Cada clase es evidente que tendra “Ln” anos de duracion.

0 Ln

2Ln

3Ln

· · · nLn= L

Clase 1 Clase 2 Clase 3 · · · Clase n Por lo tanto di-

vidimos a la poblacion de hembras en los siguientes grupos o clases:

• Clase 1: Incluye a las hembras que tienen entre 0 y Lnano.

• Clase 2: Incluye a las hembras que tienen entre Lny 2L

nanos.

• Clase 3: Incluye a las hembras que tienen entre 2Lny 3L

nanos.

...

• Clase n: Incluye a las hembras que tienen entre (n− 1)Lny nL

nanos.

Es evidente que si la edad maxima es L, no necesitamos considerar mas clases.

Supongamos que conocemos el numero de hembras que hay inicialmente (t =

0) en cada una de las clases.

Llamaremos Ci0 al numero de hembras existentes en el momento inicial (t =

0). Inicialmente tenemos:

Inicialmente tenemos

C10 hembras en la clase 1

C20 hembras en la clase 2

C30 hembras en la clase 3...

Cn0 hembras en la clase n

De igual modo, llamaremos Ci donde i = 1, 2, 3..., n , es el vector que

determina la poblacion de hembras en cada clase en el periodo i,

ie: Ci0 = (C10, C20, C30, ..., Cn0)

38

A partir de esta informacion pretendemos analizar la evolucion del vector de

distribucion inicial con el tiempo.

El modelo de Leslie exige para ello los siguientes requisitos:

• Estudiaremos la poblacion en periodos de tiempo, de longitud igual al

tamano de las clases, es decir examinaremos la poblacion cada Lnanos.

De esta forma, tendremos la siguiente situacion.

Tras el 1er periodo Tras el 2do periodo Tras el k-esimo periodo

de Lnanos. de L

n· · · de L

n

Instante T = Ln

Instante T = 2Ln

Instante T = kLn

tendremos tendremos tendremos

C11 hembras en la C12 hembras en la · · · C1k hembras en la

clase 1 clase 1 clase 1


clase 2 clase 2 clase 2


clase 3 clase 3 clase 3...

......

Cn1 hembras en la Cn2 hembras en la · · · Cnk hembras en la

clase n clase n clase n

Denotamos con X1, X2, X3, . . . , Xk a las columnas que obtenemos dispo-

niendo en forma de vectores la informacion correspondiente a cada periodo,

tenemos:

X1 =

C11

C21

C31...

Cn1

;X2 =

C12

C22

C32...

Cn2

;X3 =

C13

C23

C33...

Cn3

; . . . ;Xk =

C1k

C2k

C3k...

Cnk

Donde Xj tal que j = 1, k determina la poblacion de hembras en cada una

de las clases en el periodo j.

39

Debemos entonces determinar el valor de los vectores columnaX1, X2, X3, . . . , Xk

a partir del vector inicial:

X0 =

C10

C20

C30...

Cn0

• Para calcular el numero de hembras en cada clase en periodos sucesivos,

precisamos la siguiente informacion:

X La fertilidad. Los nacimientos son una de las dos principales causas

que varıa el numero de individuos de la poblacion. Basandonos en las

hipotesis que hemos fijado, sabemos que el numero de crıas que tiene

una hembra depende de su edad, es decir, depende de la clase a la que

pertenezca, por tanto, necesitamos saber:

El numero promedio de hijas que tienen una hembra de la clase 1 = a1

El numero promedio de hijas que tienen una hembra de la clase 2 = a2

El numero promedio de hijas que tienen una hembra de la clase 3 = a3...

El numero promedio de hijas que tienen una hembra de la clase n = an

X La tasa de supervivencia. A medida que transcurren los periodos,

las hembras van envejeciendo, pasan tras cada periodo, de una clase a

la siguiente. Sin embargo, no todas consiguen sobrevivir al cabo de un

periodo debido a muertes por enfermedad, accidentes, etc. Las hem-

bras de cada clase tendran posibilidades diferentes de sobrevivir para

llegar a la clase siguiente por lo que es necesario contar con la siguiente

informacion:

40

El tanto por uno de hembras de la clase 1 que pasan a la clase 2 = b1

El tanto por uno de hembras de la clase 2 que pasan a la clase 3 = b2

El tanto por uno de hembras de la clase 3 que pasan a la clase 4 = b3...

El tanto por uno de hembras de la clase n - 1 que pasan a la clase n = bn−1

Como la edad maxima es L, sabemos que no hay clase n+ 1 y por tanto

tampoco tenemos un coeficiente bn+1 donde: 0 < b < 1 con i = 1, 2, 3, ..., n−1.

El caso bi = 0, no puede ocurrir ya que esta supondrıa que ninguna hembra

vivirıa mas alla de la clase i.

Con todo esto podemos plantear ya el modelo que nos permita calcular

X1, X2, X3, . . . , Xk que contiene la informacion sobre el numero de hembras

en periodos sucesivas. Para ello intentaremos calcular los datos del periodo

k+ 1, a partir de los datos del periodo k. Supongamos entonces que conoce-

mos el numero de hembras que hay en cada clase al final del periodo k, es

decir conocemos los valores de C1k, C2k, C3k, . . . , Cnk. El siguiente esquema

muestra como se moverıa las hembras entre las distintas clases en el trans-

curso del periodo siguiente:

Son evidentes los siguientes hechos que aparecen reflejados en este dia-

grama:

a) Al pasar un periodo completo, todas las hembras de una clase pasaron

a la siguiente salvo las que mueren. Los coeficientes b1, b2, b3, . . . , bn

41

determinan el tanto por uno de hembras que sobreviven; por lo tanto,

si en la clase i - esima tenemos Cik hembras en el periodo k, la cantidad

de ellos que pasara a la clase i+1 al transcurrir un periodo vendra dada

por: biCik , es decir: C(i+ 1)k+1 = biCik , luego se tiene que:

C2k+1 = b1C1k;C3k+1 = b2C2k;C4k+1 = b3C3k; . . . ;Cnk+1 = b(n−1)C(n−1)k

b) Las hijas de las hembras de cada clase, al tener la menor edad, pasaran

directamente a integrar la clase 1. Quiere decir el numero de hembras

de la primera clase en el tiempo tk+1 vendra dado, unicamente por las

nacidas entre los tiempos tk y tk+1 . Los coeficientes a1, a2, a3, . . . , an

indican el numero de hijas que tienen las hembras de cada clase de

modo que en total, si conocemos el numero total de las clases, el total

de hijas que pasaran a integrar la clase 1 en el siguiente periodo sera:

C1k+1 = a1.C1k + a2.C2k + a3.C3k + · · ·+ an.Cnk

Por tanto las ecuaciones que permiten calcular el numero de hembras

en cada clase en el periodo k + 1 a partir de las que tenemos en el

periodo k son:

C1k+1 = a1.C1k + a2.C2k + a3.C3k + · · ·+ an.Cnk

C2k+1 = b1.C1k

C3k+1 = b2.C2k...

Cnk+1 = bn+1.C(n− 1)k

Si traducimos estas ecuaciones a la forma matricial tenemos:

42

C1k+1

C2k+1

C3k+1

...

Cnk+1

=

a1 a2 a3 an

b1 0 0 . . . 0

0 b2 0 . . . 0...

. . ....

0 0 0 bn−1 0

C1k

C2k

C3k...

Cnk

de lo cual se deduce:

que es lo mismo:

Xk+1 = L.Xk

Xk+1 = Lk+1.X(0)

Donde la matriz L, que es la matriz de transicion para este problema, es lo

que se denomina matriz de Leslie y viene dada por:

L =

a1 a2 a3 an

b1 0 0 . . . 0

0 b2 0 . . . 0...

. . ....

0 0 0 bn−1 0

2.3. Comportamiento en el lımite

La ecuacion Xk+1 = L0Xk = LkX0 escrita de esta manera, no nos aporta

de entrada, un cuadro general de la dinamica del crecimiento. Para ello, debe-

mos recurrir al estudio de los valores y vectores propios de la matriz de Leslie.

Recordemos que los autovalores son las raıces de la ecuacion caracterıstica:

P (λ) = |L− λI| =

a1 − λ a2 a3 an−1 an

b1 −λ 0 . . . 0 0

0 b2 −λ . . . 0 0...

. . ....

0 0 0 bn−1 0 −λ

43

Si desarrollamos este determinante aplicando la definicion, obtenemos:

λn − a1λn−1 − a2b1λ

n−2 − a3b1b2λn−3 − · · · − anb1b2 . . . bn−1 = 0....(1)

Para resolver la ecuacion (1), es conveniente introducir una nueva ecuacion:

q(λ) =a1λ

+a2b1λ2

+a3b1b2λ3

+ · · ·+ anb1b2 . . . bn−1

λn.....(2)

Observemos que la ecuacion P (λ) = 0 es equivalente a la q(λ) = 1. Si dibu-

jamos esta funcion q(λ) se observa que:

X q(λ) decrece monotonamente para los valores de λ > 0, ya que si:

0 < λ1 < λ2 → q(λ2) < q(λ1)

X lımλ→0

q(λ) = +∞

X lımλ→0

q(λ) = 0

Por todo lo anterior, existe un unico valor λ1 positivo, tal que q(λ) = 1.

Esto es, la matriz de Leslie, L tiene un unico autovalor λ1 positivo para el

cual q(λ) = 1. Ademas λ1 es simple, esto es, su grado de multiplicidad es 1

(ya que q′(λ1) = 0).

Sabemos que un autovalor λ1 es aquel vamos no nulo que cumple, Lv1 = λ1v1,

siendo v1 el autovector asociado al autovalor λ1, en nuestro caso este vector

propio asociado, puede calcularse y es:

v1 =

(1,

b1λ1

,b1b2λ21

,b1b2b3λ31

, . . . ,b1b2b3 . . . bn−1

λn−11

)44

Es evidente que al tratarse de un valor propio unico λ1 el subespacio de S1

de vectores propios sera unidimensional, y en consecuencia, cualquier otro

vector propio asociado a λ1 sera un multiplo de v1.

Estos resultados, podemos resumirlos en el siguiente:

2.3.1. Propiedad

Una matriz de Leslie L, tiene un unico valor propio positivo λ1. Este valor

propio es simple y tiene un vector propio asociado v1 cuyas coordenadas son

todas positivas.

A continuacion intentaremos justificar que el comportamiento a largo

plazo de las edades de la poblacion quedara determinado por este valor propio

λ1 y su vector propio v1 asociado. Para ello veremos que λ1 es un valor propio

dominante.

2.3.2. Propiedad

Si λ1 es el unico valor propio de una matriz de Leslie L y si λ1 es cualquier

otro valor propio (real o complejo) de L, entonces:

|λi| < λ1

Para el estudio que estamos realizando se requiere que |λi| < λ1 para

todos los valores propios de L; en este caso, ya sabemos que por lo anterior

que λ1 sera un valor dominante de L. es posible encontrar situaciones en

las que la matriz de Leslie no tiene valor propio dominante. Sin embargo, el

siguiente resultado garantiza que en la mayorıa de los casos λ1 sera un valor

propio dominante.

2.3.3. Propiedad

Si dos entradas consecutivas ai, ai+1 de la primera fila de la matriz de

Leslie son diferentes de cero, el autovalor positivo de L es dominante.

45

En consecuencia, si la poblacion femenina tiene dos clases de edad fertil

sucesivas, entonces la matriz de Leslie correspondiente tiene un autovalor

positivo dominante. Esto en realidad, si los intervalos son suficientemente

pequenos sucedera siempre. De ahora en adelante supondremos que se dan

estas condiciones. Ahora bien, como consecuencia de todos los calculos sobre

valor propio dominante y el metodo de las potencias, puesto que v1 es el

vector propio dominante tenemos que:

X(k+1) ≃ λk+11 X0 y X(k+1) ≃ λ1Xk

Es decir, para valores grandes de tiempo, obtenemos las siguientes conclusio-

nes:

• Cada vector de la distribucion de las edades es un multiplo escalar de

la distribucion inmediatamente anterior, siendo esta constante el valor

propio positivo dominante de la matriz de Leslie.

• La proporcion de hembras en cada una de las clases sera constante.

46

Capıtulo 3

Aplicacion de la matriz de

Leslie

Este es un modelo sencillo que puede servir para predecir (aproximada-

mente) el numero de individuos de una poblacion durante un periodo de

tiempo a partir de su tasa de crecimiento o decrecimiento.

El problema que queremos abordar ahora es un poco mas complejo. Muchas

veces, estamos interesados en estudiar una poblacion estructurada en edades,

es decir distinguimos dentro de la poblacion entre varios segmentos de edad

o generaciones, y se quiere estudiar la evolucion de esta poblacion en cada

uno de estos grupos de edad. Evidentemente, para poder hacer este estudio,

necesitamos disponer de cierta informacion sobre cada grupo. Todo esto se

formaliza a continuacion.

En primer lugar, eligimos un periodo de tiempo adecuado y dividimos a sus

individuos en varios grupos de edad definidos por ese periodo de tiempo.

Para cada grupo de edad o intervalo de proyeccion, necesitamos disponer de

dos tipos de informacion:

• Tasa de supervivencia: Porcentaje de individuos que sobreviven y

pasan por tanto al siguiente grupo de edad.

47

• Tasa de natalidad: Numero medio de nuevos individuos que genera

cada uno de ellos, en ese periodo de tiempo. A partir de esta informa-

cion, estaremos interesados en dar respuesta a diferentes cuestiones que

se pueden agrupar de la siguiente forma:

X Evolucion a corto plazo de la poblacion:

A partir de una composicion inicial de la poblacion. ¿Cuantos

individuos de cada grupo habra(aproximadamente) al cabo de

1, 2, 3, . . . periodos de tiempo?

X Evolucion a largo plazo de la poblacion:

¿Que ocurre con la poblacion a largo plazo?¿Es razonable esperar

algun tipo de estabilizacion en su evolucion? En caso afirmativo,

¿Se puede saber de alguna manera sencilla?.

En las siguientes aplicaciones, vamos a trabajar de la siguiente forma: en pri-

mer lugar; plantearemos las ecuaciones de evolucion de la poblacion a partir

de las tasa de supervivencia y de natalidad. Despues utilizaremos la repre-

sentacion matricial de estas ecuaciones, y veremos que las herramientas del

calculo matricial ayudan enormemente a estudiar la evolucion de la pobla-

cion, tanto a corto como a largo plazo.

Aplicacion 1:

Supongamos que la edad maxima alcanzada por las hembras de una pobla-

cion animal es de 20 anos y que esta poblacion se divide en cuatro clases de

edades iguales con intervalos de 5 anos.

Supongamos que la matriz de crecimiento de Leslie viene dado por:

L =

0 1 3 2

14

0 0 0

0 12

0 0

0 0 110

0

48

Si inicialmente hay 100 hembras en la primera clase, 60 en la segunda, 20 en

la tercera y 10 en la cuarta ¿podemos estudiar la evolucion de la poblacion

para los proximos anos?.

En efecto:

El vector inicial es P0 = (100, 60, 20, 10), ahora calcularemos: P1, P2, P3, P4.

Entonces el polinomio caracterıstico de L es:

P1 = LP0 =

0 1 3 2

14

0 0 0

0 12

0 0

0 0 110

0

100

60

20

10

=

140

25

30

2

P2 = LP1 =

0 1 3 2

14

0 0 0

0 12

0 0

0 0 110

0

140

25

30

2

=

119

35

12, 5

3

P3 = LP2 =

0 1 3 2

14

0 0 0

0 12

0 0

0 0 110

0

119

35

12, 5

3

=

78, 5

29, 75

17, 5

1, 25

P4 = LP3 =

0 1 3 2

14

0 0 0

0 12

0 0

0 0 110

0

78, 5

29, 75

17, 5

1, 25

=

84, 75

19, 63

14, 85

1, 75

Por lo tanto despues de 20 anos (4 periodos), aproximadamente habra 85

hembras en la primera clase, 20 en la segunda clase, 15 en la tercera clase y

2 en la cuarta.

En la siguiente aplicacion, observaremos que no toda matriz de leslie posee

un eigenvalor dominante de acuerdo a la propiedad 2.3.2.

49

Aplicacion 2:

Sea:

L =

0 0 6

12

0 0

0 13

0

Entonces el polinomio caracterıstico de L es:

P (λ) = |λI − L|

P (λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

−

0 0 6

12

0 0

0 13

0

∣∣∣∣∣∣∣∣

P (λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

λ 0 −6

−12

λ 0

0 −13

λ

∣∣∣∣∣∣∣∣

P (λ) = λ(λ)2 − 0 +−6(1

6)

P (λ) = λ3 − 1

λ3 − 1 = 0

λ3 − 1 = (λ− 1)(λ2 + λ+ 1) = 0

⇒ λ1 = 1;λ2 + λ+ 1 = 0

λ =−1±

√1− 4

2

λ =−1±

√−3

2

λ2 =−1

2+

√3

2i ; λ3 =

−1

2−

√3

2i

Por tanto los valores propios son:

λ1 = 1 ; λ2 =−1

2+

√3

2i ; λ3 =

−1

2−

√3

2i

Los tres eigenvalores tienen valor absoluto 1, por lo que el eigenvalor positivo

λ1 = 1 no es dominante.

50

Advertir que esta matriz tiene la propiedad que L3 = I. Esto significa que

para cualquier eleccion de la distribucion por edades inicial x(0) se tiene:

x(0) = x(3) = x(6) = · · · = x(3k) = · · ·

Ası el vector de distribucion por edades oscila con un periodo de tres unida-

des de tiempo. Estas oscilaciones no podrıan ocurrir si λ1 fuera dominante.

Aplicacion 3:

Supongamos que una determinada poblacion esta estructurada segun 3 pe-

riodos de edad equitemporales correspondientes a intervalos de 5 anos. Su-

pongamos tambien que la distancia entre 2 tiempos sucesivos de observacion

es de 5 anos. Las tasas (ordenadas) de fecundidad asociadas a cada sector

vienen dadas por la siguiente lista { 112, 8, 10} y las tasas de supervivencia aso-

ciadas a la transicion de un periodo al siguiente vienen dadas por { 148, 110}.

Finalmente, el tamano inicial de la poblacion por periodo es:

X(0) =

144

60

20

Pretendemos estudiar la evolucion temporal de la poblacion con estas ca-

racteristicas. Para ello, podemos comenzar escribiendo las ecuaciones que

describen como se ha modificado el tamano de cada uno de los periodos de

edad (x1, x2, x3) en el momento de la primera observacion (es decir, al cabo

de 5 anos):

X(1)1 =

1

12(144) + 8,60 + 10(20) = 692

X(1)2 =

1

48(144) = 3

X(1)3 =

1

10(60) = 1

Observese que los superindice que afectan a cada uno de los sectores de edad

hacen deferencia al momento en que se produce la observacion, por lo que

51

P(t)i significa que estamos midiendo el tamano del i-esimo sector al cabo de

1 unidad de tiempo (5 anos). Escrito en terminos matriciales, el sistema de

ecuaciones anterior es el siguiente:

X(1) = L.X(0), donde L =

112

8 10

148

0 0

0 110

0

Es la matriz de Leslie asociada a este modelo y donde hemos denotado (ge-

nericamente)

X(n) =

x(n)1

x(n)2

x(n)3

Supongamos que ahora estuviesemos interesados en conocer como ha evo-

lucionado esta poblacion transcurridos 50 anos (es decir, transcurridos 10

periodos de tiempo de 5 anos; en otras palabras queremos calcular el vector

p(10)). Es facil comprender que, en terminos de la poblacion inicial p(0), se

tiene en general que: X(n) = Ln.X(0)

En nuestro caso particular, bastarıa con calcular la decima potencia de

la matriz L para obtener x(10).

Para ello nos serviremos del hecho de que la matriz de Leslie L es diagonali-

zable, esto es admite una descomposicion de la forma L = Q.D.Q−1, donde D

es la matriz diagonal cuyos unicos elementos (posiblemente no nulos) son los

valores propios de L,Q es la matriz invertible cuyas columnas son vectores

propios de L y donde Q−1 denota la matriz inversa de Q.

52

3.1. Calculo de los valores y vectores propios

de L

Hallaremos los valores propios de L:

|L− λI| = 0∣∣∣∣∣∣∣∣

112

8 10

148

0 0

0 110

0

− λ

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

112

− λ 8 10

148

−λ 0

0 110

−λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

λ2(1

12− λ) +

1

48+

λ

6= 0

4λ2 − 48λ3 + 1 + 6λ = 0

48λ3 − 4λ2 − 6λ− 1 = 0

(2λ− 1)(4λ+ 1)(48λ+ 8) = 0

Los valores propios de la matriz de Leslie son: λ1 =12, λ2 = −1

4, λ3 =

16.

Ahora calculamos los vectores propios asociados a sus valores propios.

(A) Vector propio asociado al valor propio λ1 =12.

(L− λI)x = 0− 5

128 10

148

−12

0

0 110

−12

x1

x2

x3

=

0

0

0

1

48x1 −

1

2x2 = 0 ⇒ x1 = 24x2

1

10x2 −

1

2x3 = 0 ⇒ x3 =

x2

5

v1 =

x1

x2

x3

=

24x2

x2

x2

5

= x2

24

1

15

∀x2 ∈ R

53

Sea x2 = 5 ⇒

120

5

1

(B) Vector propio asociado al valor propio λ2 = −1

4.

(L− λI)x = 013

8 10

148

14

0

0 110

14

x1

x2

x3

=

0

0

0

1

48x1 +

1

4x2 = 0 ⇒ x1 = −12x2

1

10x2 +

1

4x3 = 0 ⇒ x3 = −2

5x2

v2 =

x1

x2

x3

=

−12x2

x2

−25x2

= x2

−12

1

−25

∀x2 ∈ R

Sea x2 = −5 ⇒

60

−5

2

(C) Vector propio asociado al valor propio λ3 = −1

6.

(L− λI)x = 014

8 10

148

16

0

0 110

16

x1

x2

x3

=

0

0

0

1

48x1 +

1

6x2 = 0 ⇒ x1 = −8x2

1

10x2 +

1

6x3 = 0 ⇒ x3 = −3

5x2

v3 =

x1

x2

x3

=

−8x2

x2

−35x2

= x2

−8

1

−35

∀x2 ∈ R

54

Sea x2 = −5 ⇒

40

−5

3

Luego podemos elegir como columnas de la matriz Q los siguientes:

120

5

1

;

60

−5

2

;

40

−5

3

Por tanto:

Q =

120 60 40

5 −5 −5

1 2 3

; D =

12

0 0

0 −14

0

0 0 −16

y ya sabemos calcular Q−1

Q−1 =

1

2007

100120

1100

− 425

−25

− 1200

3100

920

Finalmente, el vector que pretendemos calcular x(10), se obtiene del siguiente

modo:

x(10) = L10.P 0 = Q.D10.Q−1.P (0)

=

120 60 40

5 −5 −5

1 2 3

11024

0 0

0 11048576

0

0 0 160466176

1200

7100

120

1100

− 425

−25

− 1200

3100

920

144

60

20

=

0, 000489227 0, 00975047 0, 00972797

0, 0000202666 0, 00040816 0, 000410018

0, 00000410018 0, 000080879 0, 0000801459

144

60

20

=

0, 85036

0, 0356084

0, 00704608

55

Revisando el ejemplo completo podemos apercibirnos de las caracterısticas

fundamentales de los modelos de Leslie:

~ La matriz de Leslie tiene un unico valor propio positivo.

~ Si existen dos tasas de fecundida consecutivas que sean estrictamente

positivas (en nuestro caso las tres lo son), entonces la matriz de Leslie

tiene un valor propio estrictamente dominante.

En nuestro caso: ∣∣∣∣12∣∣∣∣ > ∣∣∣∣−1

4

∣∣∣∣ > ∣∣∣∣−1

6

∣∣∣∣por lo que claramente el valor propio (estrictamente dominante) es

λ1 =12. Dicho valor propio rige la dinamica completa del sistema.

~ El hecho de que el valor propio dominante sea estrictamente menor que

1 nos informa de que la especie tendera hasta la extincion (esto es algo

que se intuia ya tras el caculo anterior P (10)).

~ Por otra parte, el valor propio dominante es una medida aproximada

de la tasa o ritmo al que se estabiliza el crecimiento de cada sector de

edad de la poblacion ası como el de la poblacion completa.

~ El vector propio dominante, en nuestro caso:

v1 =

120

5

1

Informa sobre la proporcion de la poblacion total que representa cada

uno de los sectores de edad una vez que ha transcurrido el tiempo

suficiente como para que se haya estabilizado su crecimiento, en efecto,

medida en tanto por una la informacion es la siguiente:

X El primer sector de edad representa una fraccion: 120120+5+1

= 0, 952381

del total (que en esta escala es la unidad).

Es decir, un 95,2365% del total.

56

X El segundo sector de edad representa una fraccion: 5120+5+1

=

0, 0596825 del total.


X El tercer sector de edad representa una fraccion: 1120+5+1

= 0, 00793651

del total.


Observese que estos porcentajes se perciben ya practicamente es-

tabilizados. En nuestra observacion P (10), toda vez que:

X El primer sector de edad representa una fraccion: 0,8500360,850036+0,0356084+0,00701608

=

0, 952218 del total.


X El segundo sector de edad representa una fraccion: 0,03560840,850036+0,0356084+0,00701608

=

0, 0398889 del total.


X El tercer sector de edad representa una fraccion: 0,007046080,850036+0,0356084+0,00701608

=

0, 00789308 del total.

Es decir, un 0, 789308%

57

Conclusiones

1. La matriz de Leslie, determina la poblacion futura de hembras de una

poblacion determinada.

2. La primera fila de la matriz de Leslie representa por clases, el numero

promedio de hijas que tiene una hembra.

3. Si el valor propio dominante es estrictamente menor que 1, nos informa

de que la especie tendera hacia la extincion.

4. El valor propio dominante es una medida aproximada de la tasa o

ritmo al que se estabiliza el crecimiento de cada sector de edad de la

poblacion, asi como el de la poblacion completa.

58

Sugerencias

1. Se sugiere continuar con el estudio del “MODELO MATRICIAL DE

LESLIE PARADESCRBIR EL CRECIMIENTO POBLACIONAL POR

EDAD ESPECIFICA” y sus aplicaciones para una poblacion determi-

nada.

59

Bibliografıa

[1] Anton hodwar, introduccion al algebra lineal, mexico, editorial limus

1991.

[2] Chavez vega carlos, algebra lineal, editorial moschera S.R.L. ; 2005.

[3] Dinamica de la poblacion, Chen Chi - Yi, picouet michel, cova Nicasio

collab, palumbo Giovanna,paelinck roseline.

[4] Grimaldy, matematica discreta y combinatorio, editorial Prentice - hall,

Espana 1997.

60

tesis brenis

Science