TES Eléments de correction des exercices de révision pour l’évaluation n°1

De l’évaluation 1 de l’an dernier

Exercice 1 : Les relevés précédents permettent de considérer que le nombre d’hypermarchés enFrance augmente de 3,2% par an à partir de

1997.

On suppose que cette progression reste valide jusqu’en 2018.

Soit unle nombre d’hypermarchés en France en 1997 + n

1. Montrer que la suite (un )est une suite géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.

Le nombre d’hypermarchés en France augmente de 3,2% par an d'où, pour tout ndeIN , on a : un + 1= un(1 +100

2,3)

C'est-à-dire que pour tout n deIN un + 1= un1,032

On en déduit que la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,032 ( b=1,032)

De plus, son premier terme est u0 = 1112 (le nombre de super marchés en 1997)

2. Exprimer alors un en fonction de n.

Comme la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,032 ( b=1,032) et de premier terme est u0 = 1112 donc

pour tout n deIN u n = u0 × bn= 1112 × 1,032

n

3. Déterminer une estimation du nombre d’hypermarchés en France pour l’année 2012.

L’année 2012 correspond à n = 15

On cherche donc u15 = 1112 × 1,03215

≈1784

On conclut que le nombre d’hypermarchés en France pour l’année 2012 est estimé à 1784

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en

compte dans l’évaluation.

4. Déterminer à partir de quelle année le nombre d’hypermarchés en France dépassera 2 000.

On cherche le plus petit entier naturel n tel que un > 2000.

En utilisant la calculatrice, on obtient :

On utilise le mode Table : Y1 : 1112 × 1,032X

SET : Start 0 ; End 25, Step : 1

On remarque que cette suite (un )est croissante et de plus, 1112 × 1,03218

≈ 1960,4 et 1112 × 1,03219

≈ 2023,1

1112 × 1,03218

< 2000 et 1112 × 1,03219

> 2000

On en conclut que le plus petit entier ntel que un > 2000 est 19.

Or unle nombre d’hypermarchés en France en 1997 + n. On en déduit que ce nombre dépassera 200 à partir de l’année

1997+19 soit 2016

Exercice 2: Probabilités (5 pts)

« Un geste qui sauve : en France, chaque année, 55 000 personnes sont victimes d’un accident cardio-vasculaire. Sept

fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin. » (Source : TNS / Fédération Française de Cardiologie,

2009).

En 2009, environ 36% de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent.

PARTIE 1

Lors d’un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes qui

sauvent suit la proportion nationale.

La probabilité qu’un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de 0,25.

Lorsque l’accident cardio-vasculaire s’est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent, la probabilité que le

malade survive est 0,1.

Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007.

On appelle T l’évènement : «L’arrêt cardiaque s’est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent».

On appelle S l’évènement : « Le malade survit à l’arrêt cardiaque ».

On appelle T et S les évènements contraires à T et à S.

Rappel de notation : si A et B sont deux évènements donnés, p(A) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise

et pB(A) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.

1. Déterminer, d’après l’énoncé, p(T), pT(S) et T

Sp .

La probabilité qu’un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de

0,25 donc p ( T ) = 0,25.

Lorsque l’accident cardio-vasculaire s’est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent, la probabilité

que le malade survive est de 0,1 donc pT(S) = 0,1.

Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007 donc pT

(S) = 0,007.

2. En déduire p(T ∩ S).

p(T ∩ S) = p (T) pT(S) = 0,25 0,1= 0,025 d’oùp(T ∩ S) =0,025

la probabilité que le malade survive et que l’accident cardio-vasculaire se produit devant un témoin formé

aux gestes qui sauvent est égale à 0,025

3. Vérifier que la valeur arrondie au centième de p(S) est 0,03.

T et T forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales, on a :

p(S) = p( T ∩ S) + p( T ∩ S) = 0,025 + p( T ) pT

(S)

orp( T ) = 1 - p (T) = 1 – 0,25 = 0,75

d’où p(S) = 0,025 + 0,75 × 0,007 = 0,025 + 0,00525= 0,03225 0,03

La valeur arrondie au centième de p(S) est 0,03.

4. Justifier que le nombre de victimes d’accidents cardiaques survivant à cet accident peut s’estimer à environ 1650.

En France, chaque année, 55 000 personnes sont victimes d’un accident cardio-vasculaire. Or la probabilité qu’un

malade survive est d’environ 0,03.

On peut ainsi estimer le nombre de victimes d’accidents cardiaques survivant à cet accident :

55 000 × 0,03 = 1650

En France, chaque année, le nombre de victimes d’accidents cardiaques survivant à cet accident peut

s’estimer à environ 1650.

PARTIE 2

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte

dans l’évaluation.

En 2015 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux, ... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs, un

sondage montre qu’environ 71 % de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent. Si ce taux de

formation est atteint et tous les lieux publics équipés, on a calculé qu’alors 6490 vies supplémentaires pourraient être

sauvées.

1. Avec ces nouvelles hypothèses déterminer le pourcentage de malades qui survivent.

2. On admet que p(S) = 0,148.

De plus, on aurait :p(T) = 0,5 et pT(S) = 0,25.

En déduire la probabilité que l’accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent sachant

que le malade a survécu.

pS(T) = p(S∩T)

p(S) =

p(T) × pT(S)

p(S) =

0,5×0,25

0,148 =

0,125

0,148 =

125

148

La probabilité que l’accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent sachant

que le malade a survécu est de 125

148.

Exercice 3 :( 4 points) On considère une fonction f :

− définie, continue et dérivable sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [ ;

− strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2] ;

− strictement décroissante sur les intervalles [−1 ; 0] et [2 ; +∞ [.

On note f ′ la fonction dérivée de f.

La courbe C, tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.

Elle passe par les points A( − 1 ; 6), B(0 ; − 2), D(1 ; 2) et E(2 ; 6).

Elle admet au point D une tangente passant par le point G(0 ; − 4).

Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.

1. Déterminer f ′ (1) et f ′ (2). Justifier les réponses.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.

3. Montrer que sur l’intervalle [ − 1 ; 0], l’équation f (x) = 0 admet une unique solution que l’on noterax1.

D’après l’énoncé, la fonction f est continue sur l’intervalle [ − 1 ; 0], et strictement décroissante sur l’intervalle [ − 1 ; 0],

De plus : f( − 1 ) = 6 et f (0) = − 2 donc 0 est compris entre : f( − 1 ) = 6 et f (0) .

D’après toutes ces informations et et d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,

l’équation f (x) = 0 admet une unique solution x1 dans l'intervalle [ − 1 ; 0].

4. On admet que l’équation f (x) = 0 admet, sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [, deux autres solutionsque l’on notera x2 et x3, avec x2< x3.

Dresser le tableau de signes de la fonction f .( en justifiant)

x − 1 x1 0 x2 2 x3 +∞

Variation de f

0

0

0

Signe de f( x) + 0 − 0 + 0 −

5. Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente f′ .

Exercice 4: Etude de fonctions et économie. (6 points)

L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en

kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.

Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule3 2( ) 15 120 500 750C x x x x .

Le graphique de l’annexe donne la représentation graphique de la fonction C.

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes

PARTIE A : Etude du bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente

d’une quantité x est égale à ( )R x px . On suppose que toute la quantité produite est vendue.

1. Tracer sur le graphique de l’annexe la droite D1 d’équation y= 400x.

Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400

euros.

2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.

a. Tracer sur le graphique de l’annexe la droite D2 d’équation y= 680x.

Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues,

l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros.

b. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 10] parB(x) = 680 xC(x).

Conjecturer à l’aide de la calculatrice la quantité produite et vendue, pour laquelle le bénéfice réalisé par

l’entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice. Vous indiquerez la démarche utilisée.

PARTIE B : Etude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.

On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0 ; 10] par( )

( )M

C xC x

x .

1. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on aC’M(x)= 30 ( x – 5 ) ( x2

+ x + 5 )

x2

Première méthode : sur l’intervalle ]0 ; 10] par( )

( )M

C xC x

x .

Or, pour tout réel xde ] 0 ; 10], on a

Mode Graph :

Entrer l’expression de B(x)

Shift Window :

Xmin 0

X max : 10

Shift Zoom auto

Seconde méthode ; on commence par calculer, sur l’intervalle ]0 ; 10], ( )

( )M

C xC x

x

( )( )M

C xC x

x =

15 x3‒ 120x

2 + 500 x+750

x =

15 x3

x ‒

120 x2

x +

500x

x +

750

x = 15x

2 ‒ 120 x+ 500 + 750×

1

x

D’où '( )MC x = 30 x – 120 + 750×-1

x2 = 30 x – 120 +

-750

x2 =

30x3- 120 x

2 – 750

x2

De plus

2. a. Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10], déterminer le signe de '( )MC x .

En déduire les variations de la fonction CMsur l’intervalle] 0 ; 10].

b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum?

Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?

Du Bac blanc de l’an dernier

Exercice 2 : Probabilités (5 points)

Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants :

• 70% des ménages pratiquent le tri sélectif ;

• parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40% consomment des produits bio ;

• parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10% consomment des produits bio.

On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d’être choisis) et on note :

T l’évènement « le ménage pratique le tri sélectif » et T son évènement contraire ;

B l’évènement « le ménage consomme des produits bio» et B son évènement contraire.

Les résultats seront donnés sous forme décimale.

1. a. Donner sans justification la probabilité p (T) de l’évènement T.

p (T) = 70

100 = 0,7

b. Donner sans justification pT (B) et pT (B).

pT(B) = 40

100 = 0,4 et p

T(B) = 10

100 = 0,1

2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

3. a. Calculer la probabilité de l’évènement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ».

p(TB) = p(T) pT(B) = 0,7 0,4 p(TB) = 0,28

b. Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.

T et T forment une partition de l’univers Ω, donc d’après la formule des probabilités totales :

p(B) = p(TB) + p(TB)

p(B) = 0,28+ p(T) pT(B)

p(B) = 0,28 + 0,3 0,1

p(B) = 0,28 + 0,03

p(B) = 0,31

4. Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il consomme des produits bio (le

résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).

pB(T) = p(TB)

p(B) =

0,28

0,31 pB(T) =

28

31 0,90

B

(0,3) 0,1

0,7

0,4

T

T

B

B

B

(0,6)

(0,9)

5. Calculer la probabilité de l’évènement T B puis interpréter ce résultat.

p(T B) = p(T) + p(B)p(TB)

p(T B) = 0,7 + 0,31 0,28 p(T B) = 0,73

73% des ménages pratiquent le tri sélectif ou consomment des produits bio.

6. Cette ville décide de valoriser les ménages ayant un comportement éco-citoyen.

Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20 € aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de

10 € aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent

être cumulés).

Soit S la somme d’argent reçue par un ménage.

a. Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre S ? (on n’attend pas de justification).

si le ménage pratique seulement le tri sélectif , la somme donnée sera : S= 20,

si le ménage consomme seulement des produits bio , la somme donnée sera : S = 10,

si le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio, la somme donnée sera : S = 30,

sinon ( le ménage ne consomme ni de produits bio ni ne pratique le tri sélectif) , la somme donnée sera : S = 0

S{0 ; 10 ; 20 ; 30}

b. Donner la loi de probabilité de S.

p(S= 20) = p (TB) = 0,7 0,6 =0,42

p(S = 10) = p (TB)= 0,03

p(S = 30)= p(TB)=0,28

p(S = 0)= 1 p(TB) =1 0,73 = 0,27

D’où la loi de probabilité de la somme S.

xi 0 10 20 30

pi 0,27 0,03 0,42 0,28

c. Calculer l’espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

E(S) = i = 1

i = 4

xi pi

E(S) = 0 0,27 + 10 0,03 + 20 0,42 + 30 0,28

E(S) = 17,1

La somme moyenne que devra donner la ville sera de 17,10 € par ménage.

Exercice 4 : Etude de fonctions et économie. (6 points)

Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d’un certain produit, avec x appartenant à l’intervalle ]0 ; 6]. Le coût

moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où

C est la fonction définie par : C(x) = 0,01e

x + 2

x

1. À l’aide de la calculatrice :

a. Conjecturer en terme de variations l’évolution du coût moyen de fabrication sur l’intervalle ]0;6].

L'observation de la courbe représentative de la fonction C obtenue à la calculatrice, permet de conjecturer

les variations de la fonction C.

(Choisir comme fenêtre de la représentation : xmin = 0 ; xmax = 6 ; ymin = 0 et ymax = 6)

Tableau de variation :

b. Estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante.

Après le tracé de la courbe représentative de la fonction C, il est possible d'obtenir une estimation du

minimum de la fonction à l'aide de la calculatrice comme on peut le voir sur les copies d'écran ci-dessous :

Avec une calculatrice CASIO : sous-menu G-Solv (F5) puis MIN :

Avec une calculatrice TI : Menu calcul choisir l'option minimum

Borne inférieure : saisir 1 Borne supérieure : saisir 6 Estimation du minimum

Il semblerait que le coût moyen minimal soit d'environ 635 €, obtenu pour

une production mensuelle de 4,15 tonnes environ.

c. Dire s’il est possible d’atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode

utilisée.

La droite d'équation y = 4 coupe la courbe représentative de la

fonction C en un point donc l'équation C(x) = 4 admet au moins

une solution.

Il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros

pour une production mensuelle d'environ 0,504 tonnes.

2. On désigne par C'la fonction dérivée de la fonction C.

Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 6] :

C ' (x) = 0,01x ex − 0,01e

x − 2

x2 .

La fonction C est dérivable sur l'intervalle ]0 ; 6] comme quotient de deux fonctions dérivables.

C = u

v d'où C′ =

u′vuv′

v2 avec pour tout réel x∈]0 ; 6],

u(x) = 0,01ex + 2 d'où u′(x) = 0,01e

x et v(x) = x d'où v′(x) = 1

x 0 6

Variations

de C

|| || || || ||

C ()

Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 6], C ' (x) = 0,01x e

x (0,01e

x + 2)

x2

Soit C ' (x) = 0,01x e

x− 0,01e

x − 2

x2 .

3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 6] par :

f(x) = 0,01xex−0,01e

x−2.

On désigne par f 'la fonction dérivée de la fonction f.

a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 6] f '(x) = 0,01xex.

Sur l'intervalle ]0 ; 6] la fonction x ⟼ 0,01x e x

est dérivable comme produit u × v de deux fonctions

dérivables.

Sa dérivée est de la forme u′v + uv′ avec pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 6],

u(x) = 0,01x d'où u′(x) = 0,01

v(x) = e x

d'où v′(x) = e x

La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables

et pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 6], f '(x) = (0,01ex+ 0,01xe

x) 0,01e

x

Ainsi, f ′ est la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 6] par f ' (x) = 0,01x ex

b. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 6].

Pour tout nombre réel x strictement positif, x > 0 et e x > 0, par conséquent : x e

x > 0

f ' (x) >0 donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 6].

c. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une seule solution appartenant à l’intervalle [4;5].

La fonction f est dérivable sur l'intervalle [4 ;5] donc continue sur cet intervalle.

la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 6] donc sur [ 4 ; 5]

D'autre part, f (4) = 0,04e4 0,01e

4 2 = 0,03e

4 2 ≈ 0,36

f (5) = 0,05e5 0,01e

5 – 2 = 0,04e

5 – 2 ≈ 3,94

donc zéro est compris entre f (4) et f (5).

Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation f (x) = 0 admet une solution

unique α dans l'intervalle [4 ; 5].

Donner un encadrement de d’amplitude 10-2

puis en déduire la valeur arrondie au dixième de ce nombre.

A l’aide de la table de valeurs de la calculatrice, on obtient :

f (4,15) 1,8 10 3

et f (4,16) 0,025, donc 4,15 < < 4,16

On en déduit que : 4,2 à 0,1 près.

d. Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 ; 6].

x 0 6

Variations

de f

0

f (6)

4. À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une

production mensuelle de tonnes du produit.

C ' (x) = 0,01x ex − 0,01e

x − 2

x2 , soit avec les notations précédentes, C ' (x) = f (x)

x2

Or pour tout nombre réel x strictement positif, x2 > 0 donc sur l'intervalle ]0 ; 6],

C ' (x) est du même signe que f (x).

Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée, d'où le tableau des variations de C :

Le coût moyen de fabrication minimum est obtenu pour une production

mensuelle de α tonnes du produit (soit environ 4,2 tonnes).

x 0 6

Signe de C '(x) || || ||

| 0 |

+

Variations

de C

|| || || || ||

C ()