TRANSMISIÓN DEL CALORCONDUCCIÓN

TAktQ

∇−=∆∆

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∆∆ k

zTj

yTi

xTAk

tQ (((Cartesianas

dxdTAk

tQ

−=∆∆

Fuente a T1 (cte)

T2

Calorímetro

Barra, k

Aislante térmico

Ley de Fourier

k: conductividad térmica

A: área, gradiente de TT∇

Característica: se produce sin movimiento de materia, se transmite agitación térmica de átomos y moléculas

Sólidos y líquidos muy

viscosos

k KmhCcal/

CorchoLana de vidrioMadera, AmiantoLadrillo hueco-comúnAguaHormigónFe-Cu

0,0610,064

0,20,3-0,4

0,50,65

55-330

AkxHTT

xTTAk

dxdTAkHcte

tQ

−=⇒−

−=−===∆∆

00

Geometría plana

Perfil de temperaturas

Régimen estacionario

T0 T1d

T1

T0

x

dTTAk

tQ 10 −−=∆∆

Aproximación de plano infinito

Geometría cilíndrica

∫∫ −=⇒−==∆∆ T

T

r

r

dTrdr

klH

drdTlrkH

tQ

02212π

π

( )2

002

ln2

ln2 r

rkl

HTTTTrr

klH

ππ−=⇒−−=

2

1

10

ln2

rrTTkl

tQ −=

∆∆

πr1

r2T0

T1

T0

T1

Perfil de temperaturas

Geometría esférica

∫∫ −=⇒−==∆∆ T

T

r

r

dTrdr

kH

drdTrkH

tQ

022

2

414π

π

( )

−−=⇒−−=

−

rrkHTTTT

rrkH 11

411

4 200

2 ππ

−

−=

∆∆

12

10

114

rr

TTktQ

π

r2

r1

T0

T1

T0

T1

Perfil de temperaturas

Combinación de geometrías planas

a

xa d

TTAkHtQ −

−==∆∆ 1

b

xb d

TTAkHtQ 2−

−==∆∆

AkdHTTa

ax =−1

AkdHTTb

bx =− 2

+=−

b

b

a

a

kd

kd

AHTT 21

b

b

a

a

kd

kd

TTAtQ

+

−=

∆∆ 21

∑

−=

∆∆

i

i

kdTTA

tQ 21

T1 Tx T2

da

db

ka kb

CONVECCIÓN

( )pa TTAhtQ

−=∆∆ Ley de Newton

A: área

h: coefficiente de convección

TTa Tp

x

TpTa

Capa límite

Característica: se produce por movimiento de porciones de materia

Fluídos

h Kcal/m2hCAire en reposoAires a veloc. VAgua en reposoAgua en movim.

5,55,5+3,6.v

500hasta 3000

Convección forzada

CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN

T1 T2

T3T4

( )

( )AhHTTTTAhH

tQ

AkdHTT

dTTAkH

tQ

AhHTTTTAhH

tQ

443434

3232

121211

=−⇒−==∆∆

=−⇒−

==∆∆

=−⇒−==∆∆

T2

T1

T4

T3h1

h4

k

d

++=−

4141

11hk

dhA

HTT

∑

+

−=

∆∆

i i

i

i

fi

kd

h

TTA

tQ

1

Tf

m, c, A, TiAplicaciones: masa m a Ti que se deja caer en masa de agua M a T0

Si M muy grande T0=TfMecanismo: convección (h)

TmcQ ∆=∆dtdTmc

dtdQ

=

TAhdtdQ ∆=

( ) 00 =−+ TTAhdtdTmc

∫∫ −=−

⇒−=−

tT

T

dtmcAh

TTdTdt

mcAh

TTdT

i 000

−=

−−

⇒

−=−−

tmcAh

TTTT

tmcAh

TTTT

i

i

exp

ln

0

0

0

0

( )

−−+= tmcAhTTTT i exp00

Ritmo de pérdida de energía de m

Lo que pierde m (por convección) lo gana el agua

RADIACIÓN Característica: es energía transportada como radiación electromagnética y puede propagarse en el vacío

Experimentalmente: todos los cuerpos a T emiten radiación electromag-nética 4T

tAQ∝

∆ A: área, t: tiempo

4 Ley de Stefan-Boltzman, e: emisividad (0-1), σ: cte. de Stefan Boltzman (5,67.10-8 W/m2K4)

TAetQ

σ=∆∆

Explicación Radiación electromagnética.Ondas en materia. Ondas electromagnéticas

L

A

t i e m p o / d i s t a n c ia

Am

pli

tud

2

2

22

2 1tA

vxA

∂∂

=∂∂

2

2

22 1

tE

cE

∂∂

=∇2

2

22 1

tA

vA

∂∂

=∇

Onda monocromática

2

2

22

2 1tE

cxE

∂∂

=∂∂Espectro electomagnético

(m)λ10-10 10-610-8 10-210-4 1021 104

rayo

s γ

rayo

s X

0,8.10-60,4.10-6

ultr

avio

leta

UV

infr

arro

jo

mic

roon

das

TV, F

M

onda

s de

radi

o

radi

ofre

cuen

cia

radición térmica

Interacción de onda y objeto es más efectiva cuando λ es del orden de las dimensiones del mismo

Definiciones

Sistema

Variables termodinámicas(VT)

Estado

Evolución, cambio de estado, transformación o proceso

Procesos reversibles o irreversibles

sistemamedio exterior

Macroscópicas: p, V, T, m,..

viv

ppi Caracterizado por conjunto

de valores de las VT

v vp1

1

pp2

v2

v1v

p

p1

p2

v2Ciclos

1er PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA Princ. de Conservac. de la Energía

Conocemos: conservación de la energía mecánica

cte si no existen fzas. disipativasEEEE PCMM =+==2

21 vm= ...,

21, 2xkhgm ∆∆=

Como trabajar donde no interesa ∆Ep ni ∆ Ec?: ej. granada, motor....

∆U: variación de energía interna (Joule): suma de todas las energías acumuladas (cinéticas y en la uniones químicas)(NO ∆m.c2)

Sistema intercambia energía con el medio exteriorMediante trabajo efectuado por o sobre el sisema (ordenadamente), ∆W

Mediante intercambio de calor (debido a fuentes térmicas) (desordenadamente), ∆Q

Como medir U?

TRABAJO∫ ∫ ∫=⋅=⋅= dVPldSdPldFW

ρρρρdldS

P

a

b

V

P

1

2( ) ( )∫ ∫≠

2

1ba dVPdVP

2

1

∫δ ≠ 0W

V

P

1

2W

δW no es un diferencial exacto W no es una función potencial

La energía intercambiada como trabajo en una evolución depende de cómo se realizó el proceso

W no es una función de estado

∫ == 0dVPW

0==

WcteV

W>0

W<0

P

Ta

Tb

V

F1 F2

TmcQ ∆=

1

2

c (calor específico) depende de la forma de la evolución

Para aumentar T de Ta a Tb

Por 1 (V cte) todo el Q se emplea en aumentar T

Por 2 (p cte) el Q se emplea en aumentar T y en expndir el sistema

∫ ∫≠1 2

dTmcdTmc

∫ ≠ 0Qδ

La energía intercambiada como calor en una evolución depende de cómo se realizó el proceso

Q no es una función de estado

CALOR

Q>0

Q<0

δQ no es un diferencial exacto Q no es una función potencial

Podemos determinar ∆U mediante Q y W, pero tenemos un pro-blema: Q y W no son variables de estado, dependen del proceso

a

b

P

V

c1

2 Al cabo de un cíclo (1-2-1), sistema en situación inicial => ∆U=0

Ej: pistón de motor de combustión

Se vuelve a condición de partida: ∆U=0⇒=∑∑ WQ

caca WWQQ +=+

cbcb WWQQ +=+baba WWQQ −=−

cteWQWQ bbaa =−=−

WQU ba −=∆ −sistema

Q> 0

Q< 0

W> 0

W< 0

Experiencia de Joule

P0

V0

T0

P1

V1

T0

WQU −=∆0=Q0 Gas se expande contra

vacío, no “obliga” a un límite (pistón, paredes, etc) a desplazarse

=WLo indica el calorímetro

0=∆⇒ U

Variarn V y P, pero T cte

=> U=f (T) en gases ideales

Aplicaciones

Motor eléctrico W1 elécrico W2 mecánico

Q calor

12 WWQ −=−

QWW −= 12 W entregado < W recibido; ∆ se pierde como calor (rozamientos)

1

1

1

2

WQW

WW −

==η

Motor térmico (de com-bustión) o celda solar Q1 entregado W producido

Q2 escape

WQQ =− 21

1

21

1 QQQ

QW −

==η Para que η máximo (=1) Q2 debería ser nulo

Para que η máximo (=1) Q debería ser nulo

Transformación isocórica (a V cte) (Recipiente cerrado)

TmcQ V ∆= P

VV1

P1

P2

T1

T2

∫ == 0dVPW

)( 12 TTmcU V −=∆

Transformación isobárica (a P cte) (Recipiente abierto)

P

V

T1 T2

V1 V2

P1

TmcQ P ∆=

( )∫ −== 121 VVPdVPW

( ) ( 12112 VVPTTmcU P −−−=∆ )

Relación entre cP y cV Trabajando con calores específicos molares

dTncdQ=dVPdUdWdUdQ +=+=

dTndTRn

TnU

TnVP

TnU

TnQc

PPPP

P +

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

=

TRnVP =

VV

V TnU

TnQc

∂∂

=

∂∂

=

( )VP T

UTUTfU

∂∂

=

∂∂

⇒=

Rcc VP =−

dTRndPVdVP =+

P

Ta

Tb

F1 F2

A V cte energía calienta el sistema, a P cte lo calienta y expandeSólidos y líquidos más comunes en

la tecnología

VPP

ccTV

=⇒≅

∂∂ 0 Gases monoatómicos cP=5/2, cV=3/2(xR)

gases diatómicos cP=7/2, cV=5/2(xR)

Para gases ideales

Idem para muchas sustancias sólidas

R=1,98 Cal/mol K

dTndQc =

Transformación Isotérmica (T cte)

P

V

T

V1 V2

P1

P2

cteTU ==∆ ,0

∫== dVPWQ

TRnVP =

∫= dVVTRnW

1

2lnVVTRnWQ ==

Transformación adiabática (Q cte) Importante pues cíclos de maquinas térmicas pueden aproximarse así WUQ −=∆⇒= 0

T Siempre para gases ideales

ncU V ∆=∆

0=+ dVPdTcn V

RndPVdVpdT

dTRndPVdVP+

=

=+

( )0

00

0

=+=++

=++

=+

+

dPVcdVPcdPVcdVPRcdVPRdPVcdVPc

dVPRndPVdVPcn

VP

VV

VV

V

0=+PdPc

VdVc VP

⇒=V

P

cc

γcteVP =γ

'1 cteVT =−γ

P

VV1 V2

P1

P2

0=Q ∫−=−=∆ dVPWU cteVP =γ

( ) ( )∫∫ +−+−− −+−

=−=−= 2

1

11

121

/V

VVVctedVVctedVVcteW γγγγ

γ

( )11

1

21+−+− −

+−=∆ γγ

γVVcteU

Ciclo Otto cd: compresión da: ingniciónab: trabajo bc: escape

1

21QQ

−=η

r: relación de compresión Vb= r.Va

( )( ) 0

0

2

1

<−=>−=

bcV

daV

TTmcQTTmcQ

111

111

)(

)(−−−

−−−

==

==γγγ

γγγ

acccdd

abbbaa

VrTVTVT

VrTVTVT

( ) ( )( ) 11 −− −=− γγacbada VrTTVTT

( )( )da

da

da

bc

TTrTT

TTTT

−−

−=−−

−=−1

11γ

η

P

V

a

d

c

b

Q1

Q2

1

11−

−=γ

ηr

Motores a nafta: r: 8-10, γ =1,4 (aire) => η= 54 %

Alternativa: aumentar r, pero eso aumenta T1 (pre-encendido, materiales)

W

Q1=W+Q2

Ciclo de motor Diesel

Ni hay combustible en el cilindro durante la etapa de compresión, no hay preignición

da: compresión ab: ingniciónabc: trabajo cd: escape

d

P

V

c

Q

Q2

a b1

Combustible se inyecta al final de la compresión mediante inyectores

Así r= 15-20 y con γ = 1,4 η = 65, 70 %

Diesel: mayor peso por unidad de potencia, complejidad de sistema de inyectores (mantenimiento), etc

Nafta: sistema de encendido, carburador, preignición, etc

Ciclo de CarnotCual es el cíclo de mayor rendimiento?. Existe uno?

da: compresión ab: ingnición(a)bc: trabajo cd: escape

c

d

a

b

VVTRnQ

VVTRnQ

ln

ln

22

11

=

=

P

Vc

a

b

d

Q1

Q2

T1

T2

Ciclo: dos etapas de trabajo y dos de intercambio térmico

Ciclo ideal: en etapas de trabajo no se tranfiera calor (adiabáticas) y donde hay Q que sea sin cambio de T (isotérmas)

1

2

1

1

1

2

1

1

−−

−−

=

=γγ

γγ

cb

da

VTVT

VTVT

c

d

b

a

VV

VV

=

1

2

1

2 11TT

QQ

−=−=η

T1

T2

WQ1

Q2

T1

T2

WQ1

Q2

Máquina térmica Máquina frigorífica

1

2

1

21

1

1QQ

QQQ

QW

−=−

==η21

22

QQQ

WQK

−==

T2>TV

TC>T1

evaporador condensador

T2 TV T1TC

Válvula expansión

compresor

Q2 Q1

2do Principio de la Termodinámica

T1

T2

Q

Es imposible construir una máquina cíclica cuyo único resultado se la conversión de Q totalmente en W

T

WQ

Es imposible construir una maquina cíclica cuyo único resultado sea la transmisión de calor de una fuente fría a una caliente

A

B

Son enunciados equivalentes

W

Q

T1 Si A es cierto

T2

Q

Q1= Conectándolo a una máquina

frigorífica2

Q1-Q2

T2

Q

Q2

T1

2

T2Se tiene B

Q2

Q2

T1

T2

Si B es cierto

Q2

WQ1 Conectándolo a una máquina térmicaW

Q

T1

Se tiene A

Ciclo de Carnot es el de máxima eficienciaSi no fuera así, supongamos una máquina térmica supereficiente con mayor rendimiento que el ciclo de Carnot, con el que alimentamos una máquina frigorífica de Carnot

T1

T2

Q1 W

Q2

Máquina térmica común

Máquina térmica supereficiente+∆+∆

Q2

W Q1

Aliementamos máquina frigorí-fica común

∆

Sobra ∆

T1

T2

Q(=∆ )

W(= ∆ )

Resultado neto: transformar totalmente Q en W

Prohibido por 2do

Principio

Otro enunciado del 2do Princ.: Operando entre T1 y T2 no existe máquina más eficiente que la de Carnot

2do. Princ.: afirmación de imposibilidades (es imposible....)

Como cuantificar estas leyes naturales?

Interés de la humanidad: obtener energía mecánica (y de allí W o Q)

Turbinas hidráulicas, eólicas, de mareas, etc: W (agua, viento)=>W (eléctrico)

Combustibles fósiles, energía nuclear: se produce primero Q y => W

W => Q totalmente en ciclo (ej. acción de mecha sin filo sobre metal)

Q => W totalmente en un ciclo; lo prohibe el 2do. P.

W: relacionado con procesos ordenados

Q: relacionado con procesos desordenados

Gota de tinta en vaso de agua

Gas en esquina de recipiente

Movimiento caótico de ~1023 entidades

Como cuantificar el desorden?

dVVTRndVPdWdQ ===En transformación isotérmica

TdQ

VdV

∝VdV Es una medida de desorden

Definimos una VTTdQdS = ∫=∆

TdQS

Definición válida solo para procesos rever-sibles(valoresdefinidos en todo punto por lo que puedo integrar)

Si ∆S > 0 aumenta el desorden (evolución espontánea: tinta en agua)

Si ∆S < 0 disminuye el desorden (aumenta el orden)(evolución inducida: creación de vida, de estructuras organizadas, etc)

Ejemplos

S: entrópía, variable de estado

Entropía en un ciclo de Carnot

En dos etapas adiabáticas: ∆S= 0

En dos etapas isotérmicas dVVTRndVPdWdQ ===

∫ ==∆i

f

VV

RnTdQS lnP

Vc

a

b

d

Q1

Q2

T1

T2

dcbaTotal SSS −− ∆+∆=∆

+=∆

c

d

a

bTotal V

VVVRnS lnln

c

d

b

a

VV

VVcteVT =⇒=−1γ

En adiabáticas

0=∆ TotalSEn un ciclo de Carnot (reversible) la S es una variable de estado

Pero todo ciclo reversible puede aproximarse como una sucesión de ciclos de Carnot en cada uno de los cuales ∆S= 0

0=∆ TotalS Para cualquier ciclo reversible

S es un diferencial exacto, depende solo de los estados iniciales y finales de una transformación reversible

Se tomo cualquier transformación reversible entre esos estados, por ej. a volumen constante y el ∆S debe ser el mismo

Que pasa si se tiene una evolución real, por ej. 1 Kg de Agua de 0 °C a 100 °C?, irreversible

P

V

Transform. reversible

Ciclos Carnot

Cálculo de S en diferentes transformaciones

V cte ∫=∆=TdTmcSdTmcdQ VV

i

fV T

TmcS ln=∆

P cte ∫ ∫+=∆+=+=VdVRn

TdTmcSdVPdTmcdWdUdQ VV

∫=∆TdQS

i

f

i

fV V

VRn

TT

mcS lnln +=∆

T cte ∫=∆==VdVRnS

VdVTRndWdQ

i

f

VV

RnS ln=∆

Q cte 0=dQ 0=∆S Transformación isoentrópica