2.1Terminología

Función matemática

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural(incluyendo el cero):

... 

−2 → +4, 

−1 → +1, 

0 → 0,   

  +1 → +1, 

+2 → +4, 

+3 → +9, 

... 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B a → f(a),

Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N k → k2, o sencillamente f(k) = k2;g: V → A p → Inicial de p;

Si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

2.2 Tipos de Funciones (clasificación)

Funciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícita

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícita

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constante

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadrática

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendente

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométrica

Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

2.3 composición de funciones

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ». 

 

 

 Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x). 

 Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

 Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.  Ejercicio:� Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.  Resolución:

 

 

       

 · La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es: 

 ‚ Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:a) (g o f ) (x)b) (f o g ) (x)c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)d ) El original de 49 para la función g o f.

 Resolución: 

 

 

 

                                                                      

 

 

 

 

                                                                        

 

 c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores: 

 

 (g o f ) (x) = 3x2 + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación. 

2.4 OPERACIONES CON FUNCIONES

 Suma de funcionesSean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por 

                                           Resta de funcionesDel mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función 

                                           Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. 

Producto de funcionesSean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por 

                                           Cociente de funcionesDadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por 

                                                 (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una funciónDado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por 

                                               Ejercicio: Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución:  La función f + g se define como(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.  (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

                                                          Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Resolución: 

  

  Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.  

 Resolución: 

 Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. 

 

 Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g. 

 Resolución: 

 La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula. 

2.5 Sistema de funciones

un sistema iterativo de funciones (SIF) sobre   (se puede generalizar a cualquier espacio

métrico completo) se define a partir de un conjunto finito de contracciones   

con  . El carácter contractivo de estas funciones implica que:

Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente los anteriores aplicaciones contractivas

(iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF).

Estas aplicaciones inducen una aplicación sobre el conjunto de partes del espaico métrico:

Una propiedad fundamental de los SIFs es que existe un "punto fijo" o que es un conjunto

compacto E tal que:

Observamos que esta condición nos indica que el conjunto es igual a la unión de copias de sí

mismo de menor tamaño. Por esa razón, frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y

su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del

sistema:

El conjunto de Cantor puede obtenerse como el "punto fijo" de un sistema iterativo de

funciones. Dadas las dos funciones contractivas:

De hecho, el conjunto de Cantor es el único conjunto compacto tal que:

Y por tanto su dimensión fractal puede calcularse fácilmente:

2.6 Funciones monótonas (crecientes y decrecientes)

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del intervalo. .

Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de

números x1,x2 del intervalo,  .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La

siguiente es la representación gráfica de f en el

intervalo[a,b]. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Sea f una función continua en el intervalo cerrado   y derivable en el intervalo

abierto  .

1. Si   es creciente en 

2. Si   es decreciente en 

3. Si   es constante en 

ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x)

= 1 / 2(x2 − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) =

(x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.

Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 <

0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es

decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha

función:

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 +

(1 / x2) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) =

[2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)] / x3

Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x −

1)(x + 1)] / x3 > 0 y

f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el

intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .

Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el

intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Funciones crecientes y decrecientes, por WikiMatematica.org 

2.7 Función escalón (step function)

Función escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:1 2 3

que se define de esta forma:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.

Definiciones alternativas

función escalón considerando H(0) = 1/2.

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor H(0), que es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) = 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

Definición como límite de otras funciones.

Aproximaciones Analíticas

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística

donde una k más grande corresponde a una transición más afilada en x = 0. Si tomamos H(0) = ½, la igualdad se establece en el límite:

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón.4 Entre las posibilidades están:

Estos límites se mantienen para todo punto 5  así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.6

en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un

parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_de_Heaviside

2.8 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.

Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de

papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta

algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de

la función:

Continuidad en un punto

Continuidad lateral

Continuidad en un intervalo http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-discontinuas/

2.9 Función de variación limitada

2.10 Intervalos. Tipos (ejemplos)

Los intervalos son subconjuntos que representa el inicio y el final de una recta real

de los elementos que incluye el subconjunto.

Los tipos de acotamientos son:

Si se tiene un paréntesis a la par del número es que no pertenece o volita vacía,

pero si tiene un corchete es que pertenece o volita llena.

Intervalo abierto 

Está formado por los números comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se

expresa: 

Intervalo cerrado  ==

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se

expresa 

Intervalo abierto a la derecha 

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluido a. Se

expresa 

Intervalo abierto a la izquierda 

Está formado por los números comprendidos entre a y b, incluido b. Se

expresa 

Intervalo Semi abierto 

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se

expresa 

Intervalo Semi cerrado 

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se

expresa 

Intervalo Semi abierto 

Está formado por los números comprendidos entre a hasta el infinito. Se

expresa 

Intervalo Semi cerrado 

Está formado por los números comprendidos entre -\infinito y hasta b. Se

expresa 

EjemplosEjemplo 1

Ejemplo 2

Intervalos, por WikiMatematica.org 

2.11 Secuencias de números reales.

Secuencias numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series, aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en Matemática. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de números enteros de la que tenemos algunos términos o se nos indica la regla de formación. La secuencia puede ser ascendente o descendente.

Algunos ejemplos:

1)

La regla de formación es sumar 50, por lo tanto los números que completan la secuencia son: 

2)

La regla de formación es restar 100, por lo tanto los números que completan la secuencia son: 

2.11.1 crecientes.

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

2.11.2 Decreciente

Sucesiones monótonas decrecientes

Se dice que una sucesión de números reales es monótona decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente. Es decir los términos van disminuyendo su valor o, a lo sumo, son iguales.

Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van bajando.

an³an+1

2.- Recorre la sucesión y observa que en este ejemplo se cumple la condición y la sucesión es monótona decreciente.(Usa la escala, O.x y O.y para ver mejor la representación de otros términos).

Si, como ocurre en el ejemplo, la sucesión no tiene términos iguales, se dice que la es una sucesión estrictamente decreciente.

n+1a>na

2.11.3 Monótona

Sucesiones monótonas

Se dice que una sucesión de números reales es monótona si es monótona creciente o si es monótona decreciente.

3.- Busca un ejemplo de una sucesión que no sea monótona.