Seminar SE 2 st.Uni Klagenfurt: 814.005 und TU Wien: 187.234

Mathematische Modellbildung und Simulation

Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output Modelle sowie agent-based systems

http://peter.fleissner.org/MathMod/web.htm https://campus.aau.at/studien/lvkarte.jsp?sprache_nr=35&rlvkey=74505

Veronika Gaube und Peter FleissnerVeronika.Gaube@aau.at und fleissner@arrakis.es

Termine immer dienstags, von 09:00 bis13:00 Uhr (pünktlich)

Vorbesprechung:

Dienstag, 02.10.2012, 09:00 bis10:00 Uhr, SR5

1. Block: Dienstag, 09.10.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

=> 2. Block: Dienstag, 30.10.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

3. Block: Dienstag, 13.11.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

4. Block: Dienstag, 27.11.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

5. Block: Dienstag, 04.12.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

6. Block: Dienstag, 11.12.2012, 09:00 bis 13:00 Uhr, SR5

7. Block: Dienstag, 22.01.2013, 09:00 bis13:00 Uhr, SR5, Prüfung

Alle Termine finden am IFF, Schottenfeldgasse 29, 1070 Wien, statt.

Inhalt des Seminars (optional)

Teil 1 • Grundzüge der mathematischen Modellierung (Sozialkybernetik)• Modellierungspraxis mit dem Softwarepaket STELLA anhand kleiner

Projekte

Teil 2 • Grundzüge der Input-Output-Analyse, Mehrebenenökonomie• Datensammlung/Parameterschätzung (Grundzüge der Ökonometrie)

Teil 3• Anwendungen auf volkswirtschaftliche Modelle, Stoffstromrechnung

Teil 4• Agent-based modelling• Praktische Beispiele, Projektarbeit

Abschluss• Prüfung

websites

Allgemeineshttps://campus.aau.at/studien/lvkarte.jsp?sprache_nr=35&rlvkey=74505

Laufende Ereignisse, Skripten, Terminehttp://peter.fleissner.org/MathMod/web.htm

Meine persönliche websitehttp://members.chello.at/gre/fleissner/default.htm

Software VENSIM: http://www.vensim.com/freedownload.html STELLA: http://www.iseesystems.com

Einige Wirtschaftsmythen

Österreich ist eine Insel der SeligenWir sitzen alle im selben Boot Jeder der arbeiten will, erhält ArbeitWir leben über unsere VerhältnisseAlle müssen ohne Schulden auskommenDie Unternehmer investieren nicht, weil sie zu

niedrige Gewinne machenDie Staatsschulden sind die Ursache der KriseDie Griechen sind faul!

Übersicht• Ein alternativer Blick auf die Wirtschaft• Zur Lage der lohnarbeitenden Menschen in

ÖsterreichBeschäftigungEinkommensverteilung in Österreich

• Zur Lage der nicht-lohnarbeitenden Menschen in ÖsterreichVermögensverteilungFinanzkapital

• Die Vorschläge des FoSoG für ein gerechteres Steuersystem

GH

Übersicht• Ein alternativer Blick auf die Wirtschaft• Zur Lage der arbeitenden Menschen in

ÖsterreichBeschäftigungEinkommens- und Vermögensverteilung in

ÖsterreichVermögensverteilungFinanzkapital

• Die Vorschläge des FoSoG für ein gerechteres Steuersystem

GH

Ökonomische Realität – eine komplexe Konstruktion

Gebrauchswerte kollektive Produktion/Aneignung

Tauschwerte/Arbeitswertpreisemarktförmige Güter/Dienste

ProduktionspreiseArbeitsmarkt

Steuern, Subv., Transfers,Sozialvers

Kleine Waren-produktion

Physische Basis

Geld-, Kredit-, Aktien-, Finanzmärkte

Staatsaktivitäten

Gegenwärtiger Kapitalismus (beobachtet) Ist-Preise

Konkurrenzkapitalismusmit fixem Kapital

Informationsgesellschaft

Information als Ware

FinanzkapitalNeoliberale Globalisierung

7

6

5

4

3

2

1

„kleine“ Warenproduktion

Physische Basis

Kapitalismus mit vollkommener Konkurrenz und fixem Kapital

7

6

5

4

3

2

1

Historisches: Emergenz

Logisches: Dom

inanz

älter

jünger

Inspiriert durch Hofkirchner , W. (2002): Projekt Eine Welt: Kognition – Kommunikation – Kooperation.LIT-Verlag Münster-Hamburg-London. S. 166

Ökonomische Realität – eine komplexe Konstruktion

Geld-, Kredit-, Aktien-, Finanzmärkte

Staatsaktivitäten

Gegenwärtiger Kapitalismus Ist-Preise

Informationsgesellschaft

Information als Ware

FinanzkapitalNeoliberale Globalisierung

Reproduktionskreislauf

Produktion Konsum

Kleine Waren-ProduzentInnen.Geld

Arbeit

Waren+Dienste

Kapitalistische Realwirtschaft

Produktion Konsum

Arb.Ang.

Unter-nehmer

Industr.Profite

Löhne

Kapitalistische Realwirtschaft + Finanzkapital

Produktion Konsum

Arb.Ang.

Unter-nehmer

Industr.Profite

Finanz-Kapital.

FinanzProfite

FinanzProfite

Löhne

Kapitalistische Realwirtschaft + Finanzkapital

Produktion Konsum

Arb.Ang.

Unter-nehmer

Industr.Profite

Finanz-Kapital.

FinanzProfite

FinanzProfite

Löhne

Öff. Hand

Übersicht• Ein alternativer Blick auf die Wirtschaft• Zur Lage der lohnarbeitenden Menschen in

ÖsterreichBeschäftigungEinkommensverteilung in Österreich

• Zur Lage der nicht-lohnarbeitenden Menschen in Österreich Vermögensverteilung Finanzkapital

• Die Vorschläge des FoSoG für ein gerechteres Steuersystem

GH

Reallöhne und Arbeitsleistung in Österreich

In der folgenden Abbildung wird das reale Einkommen (real = nach Abzug der Preissteigerungen) der letzten zehn Jahre nach Geschlechtern getrennt mit der realen pro Kopf Produktionsleistung der Beschäftigten verglichen.

Die Grafik weist gleichzeitig auf drei Missstände hin: • Einerseits hat sich der Lohnunterschied zwischen Männer und Frauen in

diesen Jahren nicht verringert, sondern die Männer verdienen nach wie vor um die Hälfte mehr als die Frauen.

• Andererseits zeigt sich, dass die Einkommen der Lohnabhängigen real etwa gleich geblieben sind, während sich

• die Leistung pro Beschäftigten um rund ein Drittel erhöhte. Man kann daher in Österreich wirklich nicht davon sprechen, dass sich

Arbeitsleistung lohnt. Obwohl die Beschäftigten immer mehr leisten, bliebt ihr Lohn bzw. Gehalt in etwa gleich.

Netto-Reallöhne und ArbeitsproduktivitätQuellen: Produktionswert zu Herstellungspreisen nach ÖNACE-Abteilungen, lfd Preise, Tab. 46_7609; verkettete Volumenindizes, Tab. 47_7609; Erwerbstätige (Inlandskonzept, Vollzeitäquivalente) nach Wirtschaftsbereichen Tab. 11_7609. Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen 1978-200.9Nettojahreseinkommen der unselbständig Erwerbstätigen 1997 bis 2009 (online)Reallöhne mittels harmonisiertem VPI (2005 = 100) berechnet.

Die Einkommen sind sehr ungleich verteilt: Das ärmste Fünftel erhält nur 2,2 Prozent aller Einkommen, das reichste Fünftel mit 46,7 Prozent beinahe die

HälfteQuelle: Die Presse, 26.1.2009

Netto-Bezüge der ArbeitnehmerInnen insgesamt  

Unselbständig Beschäftigte mit pragmatisierten Beamten  

Verteilung der Netto-Nettobezüge bezüge

1995 2008 1995-2008Anteile Reale1)

in % Veränderung in %1. Quintil 3,4 2,7 -22,42. Quintil 12,1 10,9 -12,73. Quintil 18,2 18,4 -2,14. Quintil 24,2 24,4 -2,15. Quintil 42,1 43,6 0,5

Oberste 5% 16,7 17,3 0,2Oberste 1% 4,0 6,0 4,4

Insgesamt 100,0 100,0 -2,6

1) Referenzjahr 2005, auf Basis von Vorjahrespreisen.  Quelle: Statistik Austria, Lohnsteuerstatistik; WIFO-Berechnungen,nach M. Marterbauer, Zahlen bitte, S. 195

 

•Österreicher verdienen 35.474 Euro brutto. Fraueneinkommen liegen um 19 Prozent unter jenen von Männern. Teilzeitarbeit ist ein Grund für den Gehaltsunterschied. Am besten gestellt sind Beamtinnen, sie verdienen sogar etwas mehr als ihre Kollegen. (Quelle: Die Presse, 7.12.2011, S. 19)

Quelle: Bericht über die soziale Lage 2003 – 2004, Bundesministerium für soziale Sicherheit, Generationen und Konsumentenschutz, Wien 2004, S. 266und Bundesministerium für Soziales und Konsumentenschutz, Sozialbericht 2007-2008, S. 262 (für 1999 bis 2006)

WKÖ: Übernahme von Zeitarbeitern in die Stammbelegschaften wird zurückgehen. Im dritten und vierten Quartal 2011 gab es eine regelrechte „Übernahmewelle“. Im langjährigen Durchschnitt werde etwa ein Viertel der Zeitarbeiter in die Stammbelegschaft übernommen..("Die Presse", Print-Ausgabe, 31.01.2012)

Geringfügig Beschäftigte in Österreich• Von 1987 bis 2011 hat sich die Zahl der geringfügig Beschäftigten (weniger als

376,26 Euro brutto/Monat) fast verdoppelt: • 316.584 Minijobber gab es im November des Vorjahres in Österreich. Auch in

den kommenden Jahren erwartet das Sozialministerium einer Studie zufolge einen Zuwachs von drei bis vier Prozent. Zwei von drei geringfügig Beschäftigten sind Frauen.

• 35 Prozent gelten als armutsgefährdet, • 19 Prozent fühlen sich vom Arbeitgeber nicht ausreichend informiert. • Sie sind nicht automatisch sozialversichert, sondern nur unfallversichert.

Freiwillige Kranken- und Pensionsversicherung um 53,10 Euro/Monat möglich (Opting in)

• Quelle: Die Presse, 31.1.2012 http://diepresse.com/home/wirtschaft/boerse/meingeld/728164/Geringfuegige-Beschaeftigung_Rechtliche-Randfigur-Minijobber?from=suche.intern.portal

Sozialmärkte: Trauriger Aufschwung • Immer mehr Bedarf bei Vinzi-Märkten• Derzeit 60 in Österreich, Bedarf nicht gedeckt• Zunehmend „working poor“ als Kundschaft• Einkommensgrenze für Registrierung angehoben: von 850

auf 900 Euro, Paare: 1350 Euro• In Wien ca. 40.000 Kunden registriert• In Wien wurde im April 2012 ein siebter Sozialmarkt

eröffnet

• Quelle: Die Presse, 27.2.2012 http://diepresse.com/home/panorama/oesterreich/735293/Sozialmaerkte_Trauriger-Aufschwung?from=suche.intern.portal

Brutto-Lohnquote in Österreich in % des Volkseinkommens

Quelle: Bundesministerium für Soziales und Konsumentenschutz, Sozialbericht 2007-2008, S. 262 (1990-2005)

http://bmsk2.cms.apa.at/cms/site/attachments/4/5/5/CH0107/CMS1232705650368/sozialbericht_mitcover.pdf

„Die wichtigsten Ursachen für diesen Rückgang der Lohnquote und damit für die Änderung in der funktionellen Verteilung bilden die Zunahme der Arbeitslosigkeit und das starke Wachstum der Vermögenseinkommen. Das rasante Wachstum der Vermögenseinkommen steht in einem Zusammenhang mit der Reorientierung der Geldpolitik und der Liberalisierung der Finanzmärkte seit Beginn der achtziger Jahre.“ Quelle: Alois Guger, Markus Marterbauer (2009): Die langfristige Entwicklung derEinkommensverteilung in Österreich, WIFO, S. 257

Quelle: Lohnquote: Arbeitnehmerentgelt als Anteil am Netto-Nationaleinkommenin Prozent, Statistik Austria, Tabelle: verteilung_des_bip_nominell_019719-2.xslx

Übersicht• Ein alternativer Blick auf die Wirtschaft• Zur Lage der lohnarbeitenden Menschen in

ÖsterreichBeschäftigungEinkommensverteilung in Österreich

• Zur Lage der nicht-lohnarbeitenden Menschen in Österreich

VermögensverteilungFinanzkapital

• Die Vorschläge des FoSoG für ein gerechteres Steuersystem

GH

Gewinn- und Investitionsquoten in Österreich (in Prozent des BIP)

Quelle: Statistik Austria: Volkswirtschaftliche

Gesamtrechnungen 1978-2009; online Daten für 2010

Gewinnquote = Brutto-Betriebsüberschuss und Selbständigeneinkommen / BIP

Investitionsquote =Brutto-Investitionen / BIP

Zur Lage der Reicheren in Österreich• 19 Milliardäre (-familien) verfügen über 75 Mrd Euro („Trend" 2010)• In Österreich gibt es 74.000 Euro-MillionärInnen mit einem Vermögen von 230

Milliarden Euro. • Gesamtvermögen der privaten Haushalte in Österreich etwa 1.400 Milliarden Euro

(davon 880 Milliarden Immobilienvermögen und etwa 440 Milliarden Finanzvermögen). Mit einem Siebtel davon wären die rund 200 Milliarden Staatsschulden gedeckt.

• Ein Prozent der Bevölkerung besitzt 27% des Geldvermögens und 22% des Grundvermögens, 10% haben 54% des Geldes und 61% der Immobilien, die untere Hälfte hat nur 8% des Geldvermögens und nur 2% an Grund und Boden. (Quelle: OENB, Geldvermögenserhebung 2004, Grundvermögenserhebung 2008)

• Die Umverteilung von unten nach oben, die Konzentration von Reichtum an der Spitze der Einkommenspyramide, also die massiv wachsende Ungleichheit in der Gesellschaft gefährden den sozialen Zusammenhalt und fördern den Aufstieg rechtspopulistischer Parteien.

Immobilien und Erbschaften in Österreich 2006Knapp die Hälfte des Aufkommens der Erbschafts- und Schenkungssteuer entfiel vor ihrer Aufhebung auf 1,3 Prozent der Erbfälle. Konkret sorgten im Jahr 2006 811 Erben für 50 Prozent des Steueraufkommens (bei einer Gesamtzahl von 62.399 Erben!). Das größte Problem der alten Erbschaftssteuerregelung in Österreich war die niedrige Bemessungsgrundlage von Grundvermögen (Einheitswert) und die zahlreichen Ausnahmen von Aktien bis zu Spareinlagen.

Eine reformierte Erbschaftssteuer (inklusive Erfassung von Bankeinlagen und von Grundvermögen mit realem Verkehrswert) könnte entsprechend einem Vorschlag der GPA mit einem großzügigen Freibetrag (EUR 400.000 oder höher) und Steuersätzen zwischen vier und 20 Prozent ausgestattet sein.

Quelle: http://diepresse.com/home/wirtschaft/international/678799/Stresstest_Der-Euro-ist-der-neue-Kriegsschauplatz?from=suche.intern.portal

!!2010 betrug das Engagement österreichischer Banken in Osteuropa 358 Mrd. EUR!!

• Quelle: Der Standard, 17. 1. 2012, S. 16

Maria Fekter: „Wir haben ja mehrere Sorgenkinder“:Verstaatlichte Banken:

• Österreichische Volksbanken AG (ÖVAG)1 Mrd EUR

• Kommerzbank Benötigt weitere500 Mio bis 1,5 Mrd EURBad Bank: KAFinanzbisher 4,35 Mrd,zusätzlich 800 Mio EUR wegen Griechenland

• Hypo Alpe Adriabisher 1,5 Mrd plus 18,5 Mrd HaftungenAndrosch sagt: zusätzlich4 Mrd. EURO

Maastricht-Level

• Verschuldung der Bundesländer und der Gemeinden erfordert unter heutigen Bedingungen weiteren Sparkurs => Verschlechterung der Infrastrukturen bei Wohnen, Transport, Bildung, Gesundheit, Pflege

Quelle: Der Standard, 21. November 2011, S. 6.

Neue Studie der ÖNB:• Das Nettovermögen in Österreich ist ausgesprochen ungleich verteilt.

Das geht aus einer aktuellen Studie der Österreichischen Nationalbank (OeNB) hervor, wie der "Standard" berichtet.

• "Ausgeprägte Rechtsschiefe" der Vermögensverteilung • schreiben die Studienautoren. So haben annähernd 40 Prozent der

Haushalte ein Nettovermögen zwischen 0 und 50.000 Euro, elf Prozent aber ein Vermögen von mehr als 500.000 Euro.

• Ungleiche Verteilung bei "Obersten" und "Untersten“:• Auch die Analyse der "obersten" und "untersten" zehn Prozent der

Haushalte zeigt die ungleiche Verteilung der Vermögen: Die untersten zehn Prozent der Haushalte verfügen über ein Nettovermögen von weniger als 1000 Euro. Am anderen Ende der Skala besitzen zehn Prozent der Haushalte hingegen jeweils mehr als 542.000 Euro Nettovermögen. Die Hälfte der Haushalte besitzt weniger als 76.000 Euro.

Grundelemente der

Volkswirtschaftlichen Gesamtrechung

Babylonische TabellePlimpton 322, dated from between 1900 and 1600 B.C.

Volkswirtschaftliche Gesamtrechung: Grundschema

Endnachfrage

Wertschöpfung

Vorleistungen Bruttoproduktion

Volkswirtschaftliche Gesamtrechung: Entstehung

Endnachfrage

Wertschöpfung

Sek

tor

n1

Sek

tor

n2

Sek

tor

n…

…..

= BIP=n1+n2+………=

Vorleistungen Bruttoproduktion

Volkswirtschaftliche Gesamtrechung: Verwendung

Endnachfrage

= BIP=c+g+i+ex-im =Wertschöpfung

Priv

ater

Kon

sum

c

Öffe

ntl.

Kon

sum

g

Inv

estit

ione

n i

Exp

orte

ex

min

us Im

port

e im

Sek

tor

n1

Sek

tor

n2

Sek

tor

n…

…..

= BIP=n1+n2+………=

Vorleistungen Bruttoproduktion

Volkswirtschaftliche Gesamtrechung: Verteilung

Endnachfrage

WertschöpfungP

rivat

er K

onsu

m c

Öffe

ntl.

Kon

sum

g

Inv

estit

ione

n i

Exp

orte

ex

min

us Im

port

e im

Löhne v

Unv. Gewinne pr

Abschreibungen d

Eink Selbständiger s

Ind Steuern min Sub

= BIP=c+g+i+ex-im =

= BIP=v+pr+s+ind+d =

= BIP=n1+n2+………=

BruttoproduktionVorleistungen

National Economic Accounting: Input-Output Scheme

Endnachfrage

WertschöpfungP

rivat

er K

onsu

m c

Öffe

ntl.

Kon

sum

g

Inv

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ione

n i

Exp

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ex

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Löhne v

Unv. Gewinne pr

Abschreibungen d

Eink Selbständiger s

Ind Steuern min Sub

= BIP=c+g+i+ex-im =

= BIP=v+pr+s+ind+d =

= BIP=n1+n2+………=

BruttoproduktionVorleistungen Bruttoproduktion

Current prices: Example Austria 1976

million ATS

Sector j=1 j=2 j=3 final dmd Y

Output

X

i=1 18396,73 77305,34 11773,13 4724,80 112200,00

i=2 19404,07 210142,46 75713,31 307308,15 612568,00

i=3 9569,20 72819,19 99498,56 361828,05 543715,00

sum 1+2+3 47370,00 360267,00 186985,00

value added

64830,00 252301,00 356730,00

output 112200,00 612568,00 543715,00

Direct labor

Persons 369610 1207657 1594369

VorleistungsmatrixZ = { Zij }

End-nach-frage

Brutto-Produk-

tion

Wertschöpfung V

Bruttoproduktion X‘

Empirical view: matrix notation [monetary units]

Z = { Zij } Y = { Yi }

Endnachfrage

V = { Vj }

Wertschöpfung

Vorleistungen Bruttoproduktion

X = { Xi }

X‘ = { Xj }

Zeilen: Z 1 + Y = X Spalten: 1’Z + V = X’Symbols in caps!!

How can we characterize the I-O system?

Try to find invariants which will increase the understanding of the economy and allow also for comparisons -> standardize the figures

Easy procedure: divide each figure of the intermediary table by the corresponding output of the sector. Be aware of the units of measurement!

The figures of one column are divided by the same numbers:

aij = zij/xj

Result: Matrix A = {aij } of technical coefficients: input needed for the production of one unit of output

(in this case in monetary units, e.g. Euro or ATS)

Standardized I-O: Example Austria 1976ATSi per

ATSj

Sector j=1 j=2 j=3

i=1 0,16 0,13 0,02

i=2 0,17 0,34 0,14

i=3 0,09 0,12 0,18

sum 1+2+3 0,42 0,59 0,34

value added/

output

0,58 0,41 0,66

Stand.

output

1,00 1,00 1,00

l = labor/

output

Persons per mill ATS

3,29 1,97 2,93

Technol. coeffmatrix A = { aij}

Anmerkungen zu Matrix-Operationen 1/3Eine Matrix besteht aus mehreren Zahlen, die in einem Rechteck oder Quadrat angeordnet sind. Sie besteht aus Reihen, die Zeilen (waagrecht) und Spalten (senkrecht) genannt werden. Die einzelnen Elemente einer Matrix werden durch Indizes unterschieden. Die

Matrix A besitzt die Elemente Aij, wobei i der erste Index, der Index der Zeile ist,

und j der Index der Spalte, in der das Element steht. Man schreibt symbolisch:

A = { Aij }, i = 1….m, j = 1…n

d.h. der Zeilenindex läuft von 1 bis m, der Spaltenindex j läuft von 1 bis n. d.h. die Matrix hat m Zeilen und n Spalten. m und n heißen die Dimensionen der Matrix. Man schreibt sie in eckiger Klammer: [ m x n]. Sind alle Elemente einer Matrix Null, heißt sie Nullmatrix.Besteht eine Matrix nur aus einer Reihe, nennt man sie Vektor. Besteht sie aus einer Zeile, heißt sie Zeilenvektor, besteht sie aus einer Spalte, heißt sie Spaltenvektor. Ein Vektor aus lauter Einsen heiß Einsvektor 1.Üblicherweise bezeichnet man Matrizen mit fetten Großbuchstaben, Vektoren mit fetten Kleinbuchstaben. Ein Vektor ist normalerweise als Spaltenvektor definiert.Enthält eine Matrix nur von Null verschiedene Zahlen in der Hauptdiagonale (auf der Verbindungslinie der linken oberen Ecke mit der rechten unteren), heißt sie Diagonalmatrix. Ist der Vektor, der als Diagonale verwendet wird, a, wird die zugehörige Diagonalmatrix als â (gesprochen als a Dach) oder diag(a) angeschrieben. Die Diagonalmatrix diag(1) mit lauter Einsen in der Hauptdiagonale heisst Einheitsmatrix E.

Anmerkungen zu Matrix-Operationen 2/3

Ähnlich wie mit Zahlen lassen sich mit Matrizen Operationen ausführen. Die Addition zweier Matrizen erfolgt durch elementweise Addition der an der gleichen Stelle innerhalb der Matrix stehenden Zahlen.

C = A + B = { aij } + { bij } = { aij + bij } = { cij }

Die Subtraktion erfolgt analog.

Die Multiplikation mit einem Skalar wird durch die elementweise Multiplikation aller Elemente der Matrix mit dem Skalar durchgeführt:

F = G = { gij } = { * gij } = { fij }

Multiplikation zweier Matrizen A und B: n

C = A.B = { aik }.{ bkj } = { aikbkj } = { cij }

k=1

Anleitung: Paarweise Multiplikation der Elemente der jeweiligen i-ten Zeile mit dem entsprechenden Element der j-ten Spalte und Summation der einzelnen Produkte ergibt das neue Element der Matrix C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte.Ist A=1 oder B=1, führt die Multiplikation zur Summation der Elemente der Spalten von B bzw. der Elemente der Zeilen von A.

Anmerkungen zu Matrix-Operationen 3/3

Achtung! Die Multiplikation zweier Matrizen A und B ist nicht kommutativ (vertauschbar). A.B ist üblicherweise ungleich B.A

AB = BA(der Punkt für die Matrix-Multiplikation kann auch weggelassen werden)

Die Inverse Matrix A-1einer Matrix A beantwortet die Frage: Welche Matrix Z ergibt mit der Matrix A multipliziert die Einheitsmatrix E?

Es gibt zwei mögliche Gleichungen: A A-1 = E oder A-1 A = E =>Die Matrix A-1 ist mit der Matrix A vertauschbar. Die inverse Matrix steht analog für die Division bei reellen Zahlen. Computerprogramme (z.B. EXCEL) berechnen inverse Matrizen relativ schnell (wenn die Matrizen nicht zu groß sind).

Die Inverse der Matrix (E-A) ist manchmal aus einer Reihe von Multiplikationen und Additionen der Matrix A berechenbar, über die sogenannte Von-Neumann Reihe:(E – A)-1 = E + A + A A + A A A + A A A A + …… = E + A + A2 + A3 + A4 + ……

Diese Formel ist ähnlich der aus der Mittelschule bekannte Formel der Summe der unendlichen Reihe: 1 + a + a.a + a.a.a + a.a.a.a +… = 1/(1-a) = (1-a)-1

Idealized view: matrix notation [amounts, unit prices]

Z = { pi aij xj } =

Y = { piyi } =

Endnachfrage

V = { vj xj } =

Wertschöpfung

Vorleistungen Bruttoproduktion

X = {pixi}

x…amount (Stück, Anzahl), (column)p…unit price, v…unit value added (row)

Zeilen: Ax + y = x Spalten: pA + v = pSummen: pAx + vx = px

X‘ = {pjxj}

^xA

^p yp

^

^

xv

Inverse view

Z = { pi aij xj } =

Y = { piyi } =

Endnachfrage

V = { vj xj } =

Wertschöpfung

Vorleistungen Bruttoproduktion

X = {pixi}

Zeilen: x = (E – A)-1y Leontief-Inverse (E – A)-1=

E + A + A2 + A3 +..Von Neumann ReiheSpalten: p = v(I – A)-1

^xA

^p yp

^

^

xv

Aristoteles (“De Rep.” l. i. c. 9, ~ 350 BC):

„Die eine hängt wesentlich vom Gegenstand selbst ab, die andere nicht, wie Sandalen, die getragen werden, auch getauscht werden können. Beide sind Verwendungen der Sandalen, denn auch derjenige, der die Sandalen gegen Geld oder gegen Nahrungsmittel austauscht, die er benötigt, gebraucht die Sandalen als Sandalen, jedoch nicht auf ihre natürliche Art.“Adam Smith (The Wealth of Nations, 1776):

„Man sollte festhalten, dass das Wort Wert zwei unterschiedliche Bedeutungen besitzt. Manchmal drückt es die Nützlichkeit eines bestimmten Gegenstandes aus, und manchmal seine Kraft, andere Güter zu erwerben. Die erste Bedeutung kann man ‚Gebrauchswert’ nennen, die zweite ‚Tauschwert’“. Karl Marx (Das Kapital, Band 1, 1867):

„Der Reichtum der Gesellschaften, in welchen kapitalistische Produktionsweise herrscht, erscheint als eine ‚ungeheure Warensammlung’, die einzelne Ware als seine Elementarform. Unsere Untersuchung beginnt daher mit der Analyse der Ware.“

Zwei Aspekte der Ware

Grundbegriffe der Marxschen Wirtschaftstheorie

• Ware• Gebrauchswert• Tauschwert

• (Arbeits)wert• konstantes Kapital• variables Kapital• Mehrwert

• Mehrwertrate/Ausbeutungsrate• Organische Zusammensetzung des

Kapitals • Profitrate

Die Wertgröße w einer Ware,gemessen in Arbeitszeit

neu geschaffener Wert(lebendige Arbeit)

n

cübertragener Wert(vorgetane Arbeit)

w = c + n

Die Wertgröße einer Ware bezieht sich nicht auf den individuellen Arbeitszeitaufwand, sondern auf den gesellschaftlich notwendigen Durchschnittswert, der am Markt hergestellt wird.Der Markt wirkt wie das Jüngste Gericht: Er bestraft die Bösen (Unproduktiven) mit Verlust und belohnt die Guten mit Gewinn.Arbeitssparende Technologiensenken den Wert einer Ware

Produktion Konsum

Kleine Waren-ProduzentInnen.

Geld

Arbeit

Waren+Dienste

Höchste Abstraktionsstufe:Eine idealtypische Wirtschaft von kleinen WarenproduzentInnenBauern, kleine Selbst-ständige, Handwerker

Es gibt Gütermärkte, aber (noch) keinen KapitalismusDer Wert (=Preis) der Waren wird über den Markt voll realisiert.

Einfache Reproduktion: Gleicher Warenberg zu Beginn und am Ende der Produktionsperiode

Erweiterte Reproduktion: es entsteht ein Mehrprodukt, ein Überschuss über den obigen Warenberg. Dieses Mehrprodukt (Gebrauchswert) ist die Voraussetzung für den Mehrwert (Arbeitswert) und damit für den Kapitalismus.Dienstleistungen erzeugen in der Regel kein Mehrprodukt, und daher keinen Mehrwert

Die Wertgröße w im Kapitalismus

(mit Lohnarbeit)

neu geschaffener

Wert(lebendige

Arbeit)

n

übertragener Wert

(vorgetane Arbeit)

w = c + n =c + v + m

m

c

v

c

konstantesKapital

(fixes und zirkulierendes

Kapital)

variablesKapital(Löhne)

Mehrwert(Gewinn)

c

v

m

Empirische Evidenz: Struktur des Butto-Outputs in Österreich (Ist-Preise) c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert

Österreich 2006: 57 Sektoren (in Prozent)

29 Rückgewinnung (Recycling)

30 Energieversorgung

31 Wasserversorgung

32 Bauwesen

33 Kfz-Handel; Reparatur v. Kfz; Tankstellen

34 Handelsvermittlung u. GH (ohne Handel mit Kfz)

35 EH (o. Kfz, o. Tankstellen); Reparatur v. Gebrauchsgütern

36 Beherbergungs- und Gaststättenwesen

37 Landverkehr; Transport in Rohrfernleitungen

38 Schifffahrt

39 Flugverkehr

40 Hilfs- u. Nebentätigkeiten für den Verkehr; Reisebüros

41 Nachrichtenübermittlung

42 Kreditwesen

43 Versicherungswesen

44 Mit dem Kredit- u. Versicherungswesen verbund. Tätigk.

45 Realitätenwesen

46 Vermietung beweglicher Sachen ohne Personal

47 Datenverarbeitung und Datenbanken

48 Forschung und Entwicklung

49 Erbringung von unternehmensbezogenen DL

50 Öffentliche Verwaltung, Sozialversicherung

51 Unterrichtswesen

52 Gesundheits-, Veterinär- u. Sozialwesen

53 Abwasser- u. Abfallbeseitigung u.sonstige Entsorgung

54 Interessenvertretungen, Vereine

55 Kultur, Sport und Unterhaltung

56 Erbringung von sonstigen DL

57 Private Haushalte

Nr Wirtschaftszweige01 Landwirtschaft, Jagd

02 Forstwirtschaft

03 Fischerei und Fischzucht

04 Kohlenbergbau, Torfgewinnung

05 Erdöl- und Erdgas-, Erzbergbau (1)

06 Gewinnung von Steinen und Erden, sonstiger Bergbau

07 H. v. Nahrungs- u. Genussmitteln und Getränken

08 Tabakverarbeitung

09 H. v. Textilien und Textilwaren (ohne Bekleidung)

10 H. v. Bekleidung

11 Ledererzeugung und -verarbeitung

12 Be- u. Verarbeitung von Holz (ohne H. v. Möbeln)

13 H. u. Verarbeitung von Papier und Pappe

14 Verlagswesen, Druckerei, Vervielfältigung

15 Kokerei, Mineralölverarbeitung

16 H. v. Chemikalien und chemischen Erzeugnissen

17 H. v. Gummi- und Kunststoffwaren

18 H. u. Bearbeitung v. Glas, H. v. W. a. Steinen u. Erden

19 Metallerzeugung und -bearbeitung

20 H. v. Metallerzeugnissen

21 Maschinenbau

22 H. v. Büromaschinen, EDV-Geräten

23 H. v. Geräten der Elektrizitätserzeugung, -verteilung

24 Rundfunk-, Fernseh- u. Nachrichtentechnik

25 Medizin-, Mess- u. Regelungstechnik; Optik

26 H. v. Kraftwagen und Kraftwagenteilen

27 Sonstiger Fahrzeugbau

28 H. v. sonstigen Erzeugnissen

Bestimmung der ArbeitswerteAlle Sektoren wertbildend

A... Matrix der technischen KoeffizientenC... Matrix des unit Konsums R… Reproduktionsmatrix, R = A + Cn... Zeilenvektor lebendiger Arbeitw... Zeilenvektor ArbeitswerteE.... Einheitsmatrix

w… „klassische“ Arbeitswerte: alle Branchen sind wertbildend

w = n (E – A)-1

Struktur der ArbeitswerteAlle Sektoren wertbildend

c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - MehrwertÖsterreich 2006: 57 Sektoren (in Prozent)

c

v

m

Dienstleistungen als wertverbrauchend und gewinnvermittelnd gesehen

• Wesentlicher Unterschied zwischen Gütern (materiell/stoffliche Produkte) und Dienstleistungen

• Dienstleistungen können direkt nichts zum Mehrprodukt beitragen, daher auch nicht zum Mehrwert. Als solche können sie weder wiederverkauft noch investiert noch gelagert werden. Sie werden zum Zeitpunkt der Produktion konsumiert.

• Im „Das Kapital“, Band I, behandelte Marx nur materielle Produkte, wo entsprechend seiner Arbeitswertlehre das Prinzip des Äquivalententausches (= Güter werden entsprechend ihrem Gehalt an direkt und indirekter gesellschaftlich notweniger Arbeit getauscht) gilt

• Wenn Dienste Profite vermitteln, ist das Prinzip des Äquivalententausches verletzt und die Arbeitswerttheorie von Band I ist nicht länger anwendbar. Marx spricht dann von Wertmodifikation

Struktur der ArbeitswerteNur stoffliche Sektoren wertbildend

c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - MehrwertÖsterreich 2006: 57 Sektoren (in Prozent)

c

vm

Drei Produktivitätsmaße

• Produktivität(1), Gebrauchswertproduktivität = Anzahl von Gebrauchswerten pro Arbeitsstunde (unabhängig von den Produktionsverhältnissen)

• Produktivität(2), Arbeitswertproduktivität = 1 oder 0, je nachdem, ob Arbeit mehrproduktbildend ist oder nicht. Entspricht dem Begriff produktiver Arbeit von Adam Smith. Wichtig für die Charakterisierung des Unterschiedes zwischen Waren und Diensten.

• Produktivität(3), Profitproduktivität = Profit je geleisteter Arbeitsstunde. Die Profitproduktivität ist eine Maßzahl für den Kapitalismus.

Drei zentrale ökonomische Kenngrößen

neu geschaffener

Wert(lebendige

Arbeit)

n

übertragener Wert

(vorgetane Arbeit)

m

c

v

c

konstantesKapital

(fixes und zirkulierendes

Kapital)

variablesKapital(Löhne)

Mehrwert(Gewinn)

Mehrwertrate = m / v

Organische Zusammensetzung des Kapitals = v / (c + v)

Profitrate= m / (c + v)

Profitrate= Mehrwertrate *Organische Zusammensetzung= m / v * v / (c + v)

rate of profit rate of surplus value

organic composition

Marxian indicators rate of surplus value, organic composition of capital, rate of profit

Austria 2003: 57 industries (percent)

Weniger abstrakt: Kapitalistische Realwirtschaft

Produktion Konsum

Arb.Ang.

Unter-nehmer

Akk

umul

atio

nR

eproduktion

Durch die Konkurrenz und durch die daraus resultierende Kapitalwanderung in Richtung höherer Profitraten wird der an der Oberfläche erscheinende Preis modifiziert -> „Transformationsproblem“. Arbeitswertpreise werden zu „Produktionspreisen“ mit ausgeglichenen Profitraten.

ArbeiterInnenAngestellte

Unter-nehmerInnen

Industrie-Profite

Löhne Gehälter

Marxsche Lösung: Produktionspreisec - constant capital, v - variable capital, m - surplus value

Austria 2006: 57 industries (percent)

v

c

m

von Bortkiewicz: Produktionspreise c - constant capital, v - variable capital, m - surplus value

Austria 2006: 57 industries (percent)

v

c

m

c

v

m

Empirische Evidenz: Struktur des Butto-Outputs in Österreich (Ist-Preise) c - konstantes Kapital, v - variables Kapital, m - Mehrwert

Österreich 2006: 57 Sektoren (in Prozent)

Empirischer Test:Brutto-Produktionswert, Arbeitswert, und Produktionspreise mit und ohne fixem Kapital

Österreich 2006: 57 Sektoren (Mio EUR)

Korrelationen der unterschiedlichen Preissysteme (Österreich 2003 und 2006, 57 Branchen)

mit den empirischen Werten

EmpirischeWerte im

Jahr

Arbeitswerte

klassisch

Arbeitswerte

stofflich

ProdPreise

Marx

ProdPreiseBortkiewiczohne FixKap

ProdPreiseBortkiewiczmit FixKap

2006 0.819 0.710 0.832 0.941 0.862

2003 0.883 0.802 0.901 0.952 -

Transformation von Arbeitswerten in Produktionspreise (Transformationsproblem)

Marxsche Lösungpp(0) = w oder w* (Arbeitswerte klassisch oder stofflich)pp(1) = pp(0) R [1 + r(i)], R = A + C1 + r(i) = pp(i) x / [pp(i) R x]

Problem: Inputpreise ≠ Outputpreise

von Bortkiewicz Lösung Zwei identische Lösungen

a) Eigenvektor Lösung: pp ... Links-Eigenvektor von Rpp R (1 + r) = pp, größter Eigenvektor von R: λ=1/(1+r)

b) iterative Lösung: i -> ∞pp = pp(∞)pp(i) = pp(i-1) R [1 + r(i-1)], 1 + r(i) = pp(i) x / [pp(i) R x]

unter der Nebenbedingung pp(i) x = const für alle Preissysteme => Ort aller Preisvektoren beschreibt eine Ebene im n-dimensionalen Raum

Geometrische Interpretation der Input-Output Indikatoren

p

w

x

O

pp, Produktionspreise

1

2

3

Hyperebene aller möglichen nicht-negativen Preissysteme

p x = const

Der Gesamtwert des Umsatzes sei invariant bzgl. Preisänderungen

Correlation coefficient between actual prices and production prices (i-th iteration)

0,8

0,82

0,84

0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Iteration Correlation

1 0,80200000

2 0,90131617

3 0,94169690

4 0,95211631

* 5 0,95373425

6 0,95349443

7 0,95306224

8 0,95273999

9 0,95253944

10 0,95242360

11 0,95235923

Transformation problem iterative solution 2003

Video

Preise und Arbeitswerte(Hyperebene px = const)

Marx‘ solution of the transformation problem

: von Bortkiewicz‘ solution of the transformation problem

Wie ist es mit den Dienstleistungen?Es gibt zwei Arten von Gebrauchswerten, die sich in ihren

ökonomischen Effekten grundlegend unterscheiden:

• Materielle ProdukteSie bleiben erhalten, auch wenn die Produktion abgeschlossen ist

• DienstleistungenSie verschwinden nach der Produktion inm Akt des Konsums

Für den Markt gibt es ein Problem mit Dienstleistungen. Sie können nur einmal verkauft werden, sie sind flüchtig, und können weder gespeichert noch akkumuliert werden. Sie fügen nichts zum Mehrprodukt hinzu.

Ein großer Teil menschlicher Tätigkeiten besteht aus kulturellen Aktivitäten (Sprechen, Singen, Tanzen, Schreiben, Dichten, Forschen, Programmieren, Planen, Malen, Musizieren etc.). Sie sind zunächst reine Gebrauchswerte, die in direkter Interaktion konsumiert werden.

Kommerzialisierung und Kommodifizierung von Informationsaktivitäten

KommerzialisierungDer Markt dehnt sich in ein neues Feld menschlicher Aktivitäten aus (Sprache, Information, Kommunikation, Wissen, und viele andere kulturelle Tätigkeiten der Menschen) und transformiert sie in Dienstleistungen: Beispiel: Mobilkommunikation

KommodifizierungTechnologie and Recht transformieren Informationsaktivitäten in Waren, die über den Markt verkauft werden können:

• Informationsgüter erhalten einen Preis und werden teuer • aber auch Verbesserung der Qualität möglich• künstliche Knappheit für die Menschen – • zugunsten von meist großen Unternehmungen • Widerstand ist nötig und beginnt schon

Beispiel: Digitale Güter -> Wie funktioniert das?

Die Rolle digitaler Medien in der Informationsgesellschaft

Digitale Medien erlauben wie in einer Zeitmaschine in großem Umfang kulturspezifische Aktivitäten auf Datenträgern einzufrieren (Vergegenständlichung) und später wiederzubeleben (Reanimation). Sie transformieren Gebrauchswerte, die aus Diensten bestehen, in Gebrauchswerte, die aus stofflichen/energetischen Produkte bestehen bzw. in ihnen aufbewahrt werden (DVD, Video, CD-ROM, HardDisk etc.)

Digitale Medien erlauben aber auch, sehr billig Kopien von diesen Gebrauchswerten anzufertigen und diese weltweit zu verteilen. Auf dieser Basis kann kein Markt aufgebaut werden. Tauschwert kann sich nicht entwickeln.

Ergebnis: Die kapitalistischen Länder und die EU entwickelten Gesetze und Technologien, um die Kopiermöglichkeit zu verhindern.

Die Rolle des Rechts in Verbindung mit Technologie

Durch das Zusammenwirken von Technologie und Recht entstehen aus Gebrauchswerten mit Dienstleistungscharakter materielle Produkte, die alle Eigenschaften von Waren haben, also auch Tauschwert.

Durch ID Codes, Lizenzen, Schlüssel etc. werden die einzelnen Versionen von Informationsgütern individualisiert und können dadurch kostenpflichtig vervielfacht werden, als ob sie traditionelle Waren mit stofflich/materiellem Charakter wären.

Kommerzialisierung und Kommodifizierung in der Informationsgesellschaft

Output

Kein Markt,

(inter-) personale Tätigkeiten

Markt

Güter= materielle Produkte

Dienst-leistungen

Digitale Dienste: Mobilkommunikation, aber auch Kochen, Singen, Tanzen und Arbeiten

Digitale Waren: eBooks, CDs, DVDs, Software, Design, Patente

Vergegen-ständlichung durch ICT

Kommerzialisierung

Kommerzialisierung

digitale Güter

Kommodifizierung

Eine zweite „Great Transformation“

• Durch Kommerzialisierung und Kommodifizierung wird ein weiterer wichtiger Sektor menschlicher Tätigkeit, der Kultur, des Wissens, der Künste, und der Unterhaltung dem Markt zugänglich gemacht, mit allen Konsequenzen des eingeschränkten Zugangs für die Mehrheit der Menschen.

• -> Künstliche Verknappung des Überflusses• Diese Entwicklung der Kommerzialisierung von

Informationsgütern ist vergleichbar mit der Kommerzialisierung der Arbeitskraft, die Karl Polanyi in seinem Buch „The Great Transformation“ (1944) beschrieben worden ist und die erstmalig in England in der ersten Hälfte des 19. Jhdts. zur Herausbildung der „kapitalistischen Gesellschaft“ in geführt hat.

• -> Eine zweite „Great Transformation“ geht vor sich

Widerstand

Im Unterschied zu den traditionellen Klassenkämpfen betrifft die Auseinandersetzung um den Zugang zu kulturellen Leistungen der Menschen nicht nur die Arbeiter alleine, sondern auch die Mittelschichten, Künstler, Intellektuell, ja auch Teile der Kapitalistenklasse selbst. Entsprechend sieht man den Widerstand gegen einschränkende Regelungen der kulturellen Entwicklung auf vielen Ebenen gleichzeitig und in verschiedenen Gebieten wachsen:

Freie/libre software, open source, der Kampf um vernünftige geistige Eigentums- und Urheberrechte (creative commons, GNU Lizenzen), die gegenwärtige Auseinandersetzung um ein Patent auf Software in der Europäischen Union, um die Patentierung von Lebewesen etc. verbindet die verschiedensten Strömungen und lässt ihre Widerstandskraft wachsen.

Veränderte Rahmenbedingungen ökonomischer Prozesse – Neue Herausforderung an die Werttheorie

• Neuere wissenschaftliche Methoden berücksichtigen! Postmoderne Theorien/Konstruktivismus (Heinz von Foerster) Stochastische und evolutionäre Wende (Farjoun-Machover: Laws of Chaos) Aggregationsproblem in der Wirtschaftswissenschaft (Mikro-Makro-Modelle) Gleichgewichtsannahmen aufgeben!

• Hoher Dienstleistungsanteil Unterscheidung zwischen wertbildender/wertverbrauchender Arbeit

• Globalisierung, internationales Finanzkapital und Wertbildung Elmar Altvater, Joachim Bischoff…

• Neue Technologien Eine zweite „Great Transformation“ (Karl Polanyi) durch IKT, neue Ethik

• Feministische Theorie Einbeziehung marktferner Arbeit (Hardy Hanappi/Edeltraud Hanappi-Egger)

• Ökologische Probleme Einbeziehung von Umweltbelastungen und –reparatur (Wassily Leontiew)

• Diskurse zum Sozialismus im/des 21. Jahrhunderts Arbeitswerte als Preise: Heinz Dieterich / Paul Cockshott / Allin Cottrell Grundrisse: Ende des Wertes als Grundlage des Reichtums, „disposable time“

….stellen neue Herausforderungen für die Arbeitswerttheorie dar ….und ergeben ein neues Arbeitsprogramm

Ökonometrische ModelleDefinitionen

• „tools for measurement used in forecasting, which extrapolate from statistics.“

– workinfonet.bc.ca/lmisi/Making/APPEND/APPENDB.HTM

• „a probabilistic model consisting of a system of one or more equations that describe the relationship among a number of economic and time series variables.“

– www.pestmanagement.co.uk/library/gloss_e1.html

• A model whose equations are estimated using statistical procedures

– wps.aw.com/aw_mishkin_finmkts_4/0,6251,226589-,00.html

• Vergegenständlichung einer Widerspiegelung ökonomischer Aktivitäten auf einer speziellen Aggregationsebenen und ihrer Ursache-Wirkungs- und Bilanzbeziehungen mittels mathematischer und statistischer Methoden

– eigene Definition

Ökonometrische ModelleMathematische Form: Lineare oder nicht-lineare Gleichung bzw.

Gleichungssystem

y1 = f1(x1, x2, …. xk; y1, y2, …. yn ),y2 = f2(x1, x2, …. xk; y1, y2, …. yn ), …. yn = fn (x1, x2, …. xk; y1, y2, …. yn ),

wobeiyi…endogene Variablen, i = 1…nxj…exogene Variablen, j = 1…k

Jede Variable besitzt eine bestimmte Bedeutung/Qualität, die durch eine Definition beschrieben/festgelegt wird.

Die quantitativen Werte der endogene Variablen werden im Modell berechnet Die quantitativen Werte der exogenen Variablen werden extern vorgegeben Man sagt: endogene Variablen werden durch das Modell „erklärt“Günstig wäre eine kausale Erklärung, ist aber nicht immer gegeben

Strukturell/ontologisch gesprochen enthalten ökonometrische Modelle neben definitorischen Zusammenhängen Kausal- und Bilanzbeziehungen

Ökonometrische ModelleWelche Funktionen werden verwendet?

a. Lineare Modelle (Typ des „stochastischen Gesetzes“)

Einzelgleichung, n Beobachtungen (Zeitpunkte oder Querschnittsdaten)Idealisierte Sicht der „Wirklichkeit“:

y1 = x11 1 + x12 2 + … + x1k k + u1

y2 = x21 1 + x22 2 + … + x2k k + u2 y = f(x1, x2, …. xk) …

yn-1 = xn-1,1 1 + xn-1,2 2 + … + xn-1,k k + un-1 yn = xn1 1 + xn2 2 + … + xnk k + un

wobeiui…Störglieder, i = 1…nj…Parameter, j = 1…k

y = X + u in Matrixschreibweise

y1 x11 x12 … x1k 1 u1

y2 x21 x22 … x2k 2 u2 y = … , X = … , = … , u = … . yn-1 xn-1, xn-1,2 … xn-1,k k-1 un-1

yn xn1 xn2 … xnk k un

Ökonometrische ModelleWelche Funktionen werden verwendet?

b. Linearisierte Modelle

Nichtlineare Gleichungen werden so transformiert, dass lineare Strukturen herauskommen

Besipiel 1: Trend mit konstanter Wachstumsrate g, (b = 1+ g)

Yt = a . bt . vt

Transformation durch Logarithmieren und Substituieren

log (Yt) =log ( a . bt . vt) -> log (Yt) = log (a) + t . log (b) + log (vt) = 1. 1 + xt . 2 + ut = yt

Beispiel 2: halblogarithmische Transformation (Störglied u bzw. v weggelassen)

Ergebnis der Differenzialgleichung dY/dX=b/X

Yt = a . bXt

yt = log (Yt) = log (a) + Xt log (b) + log (vt) = 1. 1 + xt . 2

Ökonometrische ModelleBeispiel 3: Veränderungsraten g in Zeitreihen mit äqudistanten Punkten

g(Yt) = Yt / Yt-1 – 1 = (Yt - Yt-1) / Yt-1 =~ dY/dt . 1/Y =~ d( log(Y) ) / dt =~ log(Yt) - log(Yt-1)

d.h. Lineare Gleichungen in Veränderungsraten sind auf der Ebene der Originalzeitreihe doppeltlogarithmische Funktionen:

g(Yt) = a + b. g(Xt) = d( log(Yt) ) / dt = a + b.d( log(Xt) ) / dt

Integration über die Zeit ergibtlog(Yt) = a.t + b.log(Xt) + c

Exponentieren führt zuYt = exp(c). exp(a.t) . Xt

b

(Produkt aus einer Konstanten, einem exponentiellen Trend und der potenzierten Variablen)

Dies ist eine typische Transformation von Zeitreihen in Veränderungsraten, die in der Ökonometrie häufig angewendet wird, um den gemeinsamen Trend herauszufiltern, der Scheinkorrelation erzeugt.

Ökonometrische Verfahren: nichtlinear, mit Polynom in xBeispiel Parabel: y = a + b.x + c. x2

6,E+00

7,E+00

8,E+00

9,E+00

19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

20

03

20

04

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

Parabolic Trend

Host Count

Number of Hosts advertised in the Domain Name System(logarithmic scale)

Source: Internet Systems Consortium, Internet Domain Survey, http://www.isc.org/index.pl?/ops/ds/reports/2004-01/

Exkurs: Parameterschätzung

Ökonometrische Verfahren: linear

Exkurs: Parameterschätzung

Ökonometrische Verfahren: linear

y = alfa + beta.x

Exkurs: Parameterschätzung

x

y

alfa

beta = tan()

Kriterium für optimale Lage der Geraden gesucht.3 Möglichkeiten: Distanz senkrecht, waagrecht oder normal zur Gerade gemessenBest Fit Kriterium: Summe der Absolutbeträge oderSumme der Quadrate der Abweichungen = Methode der kleinsten Quadrate

y = alfa + beta.x

x

y

alfa

beta = tan()

Wenn wir die senkrechte Distanz wählen:Gleichung für jeden einzelnen Punkt mit den Koordinaten (xi , yi): yi = alfa + beta xi + ei Minimierung der Summe der Quadrate der Fehler

y = alfa + beta.x

xalfa

beta = tan()

beta.xi

ei

xi

yi = (xi , yi)

02/

02/

1

^^

1

2

1

^^

1

2

2

1

^^

1

2^

1

2

n

iiii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

xyxe

xye

xyyye

?

?

Bestimmung der Parameter der Geraden durch

Minimierung der Fehlerquadratensumme

Notwendige Bedingung für Minimum: Partielle Ableitungen nach den Parametern = Null

?

?

2 Gleichungen in 2 Unbekannten, alfa und beta

n

i

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

ixxyx

xny

1

2^

1

^

1

1

^^

1

xy^^

Aus Gleichung 1 erhält man nach Division durch n eine Beziehung zwischen den Mittelwerten von y und x

Aus Gleichung 2 erhält man nach Einsetzen von alfa in Gleichung 1 den Wert für beta.

2

11

^

/

n

iii

n

ii xxyyxx ?

Regressionsgerade geht durch die Mittelwerte von y und x

Kleiner Ausflug in die empirische Statistik+ Neuinterpretation der Kleinstquadratenmethode

Mittelwert (ar. Mittel von x)

Varianz var(x) = s2 Kovarianz cov(x,y)

Standardabweichung s

Korrelationskoeffizient r Bestimmtheitsmaß r2

n

iixn

x1

1 1

1

2

n

xxs

n

ii

n

iii yyxx

nyx

1

2

1

1),cov(

n

ii xx

nsx

1

22

1

1)var(

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxx

yx

yxyxr

1

2

1

2

1

)var()var(

),cov(),(

Was bedeuten diese Kenngrößen?

Dazu müssen wir eine Blickwechselübung machen…

Alternative Interpretation einer Zeitreihe oder von Querschnittsdaten

BIP real zu Preisen 1995 in Mrd EURO

150

160

170

180

190

200

210

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

BIP real zu Preisen 1995 in Mrd EURO

150

160

170

180

190

200

210

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

l ist proportional der

Standard-Abweichung s

Alternative Interpretation einer Zeitreihe oder von Querschnittsdaten

wobei der Ursprung des Koordinatensystems in den Punkt

gelegt wird xxx ... ... ,,x

Die ganze Zeitreihe

wird als Punkt im n-dimensionalenRaum betrachtet,

nn xxxxxx ,,....,, 1321 x

?

xx

BIP real zu Preisen 1995 in Mrd EURO

150

160

170

180

190

200

210

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

x

Ot=1

t=3

t=2

x

Was bedeutet die Länge l

des Vektors in statistischen Begriffen?

22

2

2

1 ... xxxxxxl n xx

Lineares Regressionsmodell

Matrixschreibweise

Verallgemeinertes lineares Modell in Matrixschreibweise

y1 = x11 1 + x12 2 + … + x1k k + u1

y2 = x21 1 + x22 2 + … + x2k k + u2 …..…..

yn-1 = xn-1,1 1 + xn-1,2 2 + … + xn-1,k k + un-1

yn = xn1 1 + xn2 2 + … + xnk k + un

k Parameter, k-1 exogene Variablen, n Zeitpunkte, i = 1 … n,Üblicherweise wird die erste exogene Zeitreihe als Vektor angenommen, der aus n Einsen besteht. Warum?

y = X+ u

Schreibweise: Matrizen als fettgedruckte Großbuchstaben Vektoren als fettgedruckte Kleinbuchstaben

Matrixalgebra im Schnellverfahren

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Elementen. Sie kann als Verallgemeinerung einer einzelnen Zahl aufgefasst werden.Ihre Elemente sind in Reihen, in

• Zeilen [rows] (horizontal) oder • Spalten [columns] (vertikal)

angeordnet.Besitzt eine Matrix n Zeilen und k Spalten, besitzt sie n.k Elemente.Man sagt, sie ist von der Ordnung (oder Dimension) n mal k, n x k.Das Element am Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Matrix A wird repräsentiert durch aij

Will man Zugriff auf die Indizes, kann man schreiben:

A = { aij }

Aus Konvention wird der erste Index als Zeilenindex, der zweite als Spaltenindex angesehen

Matrixalgebra im SchnellverfahrenEine Matrix der Ordnung 1 x k besteht aus einer einzigen Zeile von Elementen. Wir nennen eine solche Matrix einen Zeilenvektor

Beispiel: p = [ p1, p2, … pk-1, pk ] = { pj }, j = 1 … k

Eine Matrix der Ordnung n x 1 besteht aus einer einzigen Spalte von Elementen. Wir nennen eine solche Matrix einen Spaltenvektor

Beispiel:

i

n

n

x

x

x

x

x

1

2

1

...x

Matrixoperationen im SchnellverfahrenWir gehen von den Matrizen A = { aij }, B = { bij } und C = { cij } aus.

Gestürzte (transponierte) Matrix [transposed matrix]:(Zeilen und Spalten werden vertauscht)

A‘ = AT = { aji }

Addition/Subtraktion zweier Matrizen

A + B = { aij } + { bij } = { aij + bij } = { cij } = CA - B = { aij } - { bij } = { aji - bij } = { cij } = C

Gleichheit zweiter Matrizen

Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie von der selben Ordnung sind und in allen ihren Elementen übereinstimmen.

A = B aij = bij für alle i,j, wobei i = 1 … n, j = 1 … k

Matrixoperationen im SchnellverfahrenWir gehen von den Matrizen A = { aij }, B = { bij } und C = { cij } aus.

Multiplikation zweier Matrizen: A ist von der Ordnung n x q B von der Ordnung q x mErgebnis: Matrix C von der Ordnung n x m

Achtung: Im Allgemeinen nicht kommutativ (vertauschbar). A B ungleich B A.Spaltenzahl der ersten Matrix muss gleich der Zeilenzahl der zweiten sein!Faustregel: Gliedweise Multiplikation der Zeilenelemente der ersten Matrix mit den Spaltenelementen der zweiten Matrix mit nachfolgender Summierung

CBA

m

kkjikkjik baba

1

.

Matrixoperationen im Schnellverfahren

Beispiel 1:

Beispiel 2:

14113

1674

605

412

213,

23

52

11

50

17

12

13 ,

32

21

C

BA

ABC

BA

?

??

Spezielle MatrizenDiagonalmatrix D besitzt nur Elemente ≠ 0 in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten), sonst Nullen

Einheitsmatrix I besitzt nur Einsen in der Hauptdiagonale sonst Nullen

I = { eij }, eij = 1 für i = j; eij = 0 für i ≠ j(Andere Schreibweise mit Deltafunktion: eij = ij )

Skalarmatrix besitzt einen Skalar in der Hauptdiagonale, sonst nur Nullen

S = { sij }, sij =. ij

Vektor y als Diagonalmatrix ŷŷ = { yij }, yij = yi . ij

Spezielle Matrizen bzw. Kenngrößen

Einsvektoren (hilfreich zur Summierung von Reihen):Eins-Zeilenvektor (nur von links in Multiplikation)

1 = [ 1, 1, ….1, 1 ]Eins-Spaltenvektor (nur von rechts in Multiplikation)

1T

Symmetrische Matrix Y = { yij }, wenn yij = yji

Schiefsymmetrische Matrix Z = { zij }, wenn zij = -zij für i ≠ jInverse Matrix A-1 als Lösung der Gleichung A-1A = I oder AA-1 = I, A muss quadratisch sein

Spur [trace] ist die Summe aller Hauptdiagonalelemente

Zu beweisen: tr(AB) = tr(BA) Wie geht das?

n

iiiatr

1

)(A

Skalarprodukt zweier Vektoren

x´y = x1y1+ x2y2 + … + xn-1yn-1+ xnyn

Gehen wir zunächst nur von einem Vektor x aus. Die Länge l eines Vektors haben wir schon berechnet.

Zur Erinnerung

Dies ist nichts anderes als die Wurzel aus dem Skalarprodukt x´x des Vektors x mit sich selbst.

Was geschieht, wenn wir den Vektor x skalar durch seine Länge dividieren? Länge des neuen Vektors x* = x / l ?

n

iixl

1

2

Was bedeutet das Skalarprodukt räumlich?

x = y + zz = x – y

z´z = (x – y)´(x – y) =x´x + yý – 2 xý

Nach dem Kosinussatz gilt(http://www.mathewissen.de/klasse10/kosinus.php)

z´z = x´x + yý – 2 l(x) l(y) cos

Also gilt

cos = x´y / ( l(x) l(y) )

t=1

t=3

t=2

z

xy

Anmerkung 1: Diese Formel kennen wir schon. Was bedeutet sie?Anmerkung 2: für x‘y = 0 x und y stehen zueinander rechtwinkelig

Der cos des Winkels zwischen x und y ist nichts anderes als der Korrelationskoeffizient r

Zur Erinnerung: Ursprung des Koordinatensystems liegt im Punkt xxx ... ... ,,x

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxx

yx

yxyxr

1

2

1

2

1

)var()var(

),cov(),(

y

t=1

t=3

t=2

x

x

r (x,y) = cos

Partielle Ableitung nach den Komponenten eines Vektors

Partielle Ableitung des Skalarprodukts a‘x nach den xi (a und x sind Spaltenvektoren)

∂(a‘x)/ ∂x = a

Partielle Ableitung der „quadratischen Form“ x‘Ax nach den x i

∂(x‘Ax)/ ∂x = 2Ax (Spaltenvektor)

oder (!)

∂(x‘Ax)/ ∂x = 2x‘A (Zeilenvektor)

je nach Kontext

Das allgemeine lineare Modell

Es geht wieder um die Minimierung der Summe der Fehlerquadrate, diesmal in Matrixschreibweise, zur Bestimmung der k Parameter T

y1 = x11 1 + x12 2 + … + x1k k + u1

y2 = x21 1 + x22 2 + … + x2k k + u2 …..

yn-1 = xn-1,1 1 + xn-1,2 2 + … + xn-1,k k + un-1

yn = xn1 1 + xn2 2 + … + xnk k + un

Konvention: Variablen, die empirisch bestimmt werden, tragen ein Dach („Schätzwerte“)

y = X+ u

kk

^^^^^

β,β,...β,ββ 121

Idealtypisches Modelly = X+ u

u ist eine (vektorielle) Zufallsvariable mit Erwartungswert 0

E(u) = 0

mit statistisch unabhängigen Elementen und mit gleicher Varianz für alle Zeitpunkte

E(u.u´) = 2 In

Die Elemente von X sind fixe Zahlen

Der Rang der Matrix ist k<n (bleibt unerklärt)

Schätzverfahren für die Parameter

eXy ^

Kleinstquadratensumme e´e -> Minimum

^^^' ''2)()( βXX'βyX'βyyβXyβXyee

^^''

0βX2X'yX'ee'β

^

^

2)(

yX'X)(X'β 1^

?? ?

Konsequenzen

Heben wir 2X‘ heraus und fassen zusammen, ergibt sich

X´e = 0

d.h. der Fehlervektor e ist zu allen Vektoren der exogenen Variablen x orthogonal.

Ist (wie üblich) die erste Spalte von X, x1 = 1, ergibt sich

0βX2X'yX'ee'β

^

^

2)(

01

n

iie

Einsetzen des idealtypischen Modells in die Schätzformel für die Parameter

Berechnung der Erwartungswerte ergibt, dass die Schätzfunktion „unverzerrt“ [unbiased] ist, also im Mittel genau den „wahren“ Parameter ergibt, denn

uX'X)(X'β

u)(XβX'X)(X'yX'X)(X'β1

11^

ββ^

)(E

Einsetzen des idealtypischen Modells in die Schätzformel für die Parameter

Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix

Schätzfunktion ist die bestmögliche mit kleinsten (Co-)varianzen [best estimator], aber auch erwartungstreu: best linear unbiased estimator = BLUE estimator

111

11^^^

X)(X'X)X(X'uu'X'X)(X'

X)X(X'uu'X'X)(X'βββββ

2)(

)'()()var(

E

EE

uX'X)(X'β

u)(XβX'X)(X'yX'X)(X'β1

11^

Schätzung der Residuen u und σ2 durch e

Der Schätzer der Residuen ist erwartungstreu. A ist symmetrisch: A‘ = A und idempotent: A2 = A

Wie = kommen wir zu einer Schätzung für σ2 ?

E(e‘e) = E(u‘A‘Au) = E(u‘Au) = σ2 Spur [In-X(X‘X)-1X‘] = σ2 (n - k)

0uAAue

AuuX)X'X(X'IuX)X'X(X'u

u)(XβX'X)(X'XuXββXye

n

1^

)()()( EEE

Bestimmtheitsmaß r2 und Varianzanalyse

Varianz der Schätzungen (erklärter Teil) r2 =

Varianz der Beobachtungen

Das Bestimmtheitsmaß drückt den Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz ausEs gilt weiters: 0 <= r2 <= 1 und

für die Berechnung in Excel (Beweis?)

t

n

ii

n

ii

yn

ynr

1

2

1

2

2

))(/1(

))(/1(

yy'

yX'β^

Klassische ökonometrische Parameterschätzung

= (X‘X)-1 X‘y

:

x

Intuitive Interpretation im n-dimensionalen Raum

x2

x x1

y

y =

> xx

Korrelations-Koeffizientr = cos()

>

y = y +

> >

>

>

var(y) >= var(y)

>

> >

Intuitive Interpretation im n-dimensionalen Raum

y = y + e

Nach Pythagoras istl2(y) = l2(y) + l2(e)var(y) = var(y) + var(e)y ist die orthogonale Projektion von y auf die Ebene, die von den exogenen Vektoren aufgespannt wirde steht auf alle xi senkrecht und auf y

r2 = (cos2 = l2(y) / l2(y) = var(y) / var(y)

^

^

y

^

y

y

y e

^

^

^

^

^

^

VarianzanalyseNach Pythagoras gilt im rechtwinkeligen Dreieck:

Die Varianz der Beobachtungen = Summe ausVarianz der Schätzungen (erklärter Teil der Varianz) und Varianz der Residuen (nicht erklärter Teil der Varianz)

Es gilt aber auch für die Quadratsummen: (Beweis nachstehend)

yy'yX'X)X(X'2y'yX'X)X(X'2y'yy'

yX'X)X(X'X'y)'X'X)((X'

yX'X)X(X'y'yy)'X'X)(X(X'yy'

y)X'X)(X(X'y)'X'X)(X(X'

)βX(y)'βX(y)β(X)'β(X

ee' y'yyy'

11

11

11

11

^^^^

^^

Regressionsanalyse

Testen von Hypothesen

T-Test und F-Test

Testen von HypothesenBisher keine Annahme über spezielle

Verteilungsform der Zufallsvariablen

Nun wird Normalverteilung angenommen

u ist N(0, σ2In)

Wahrscheinlichkeit für die Stichprobenwerte ist:

)2

)()'(exp(

)2(

1

)2

exp(

)2(

1

222

222

XβyXβy

uu'

n

nL

Testen von HypothesenVerteilung der Schätzfunktionen von β und von u?Als lineare Funktionen von normalverteilten Zufallsvariablen

sind sie ebenfalls normalverteilt. Ihre Kovarianz ist Null, daher sind sie ebenfalls unabhängig voneinander verteilt.

Anders ist es für die Schätzfunktion von σ2. Ohne Beweisstellen wir fest, dass dieser Schätzer χ2-verteilt ist, mit (n-k) Freiheitsgraden.

Die Student‘sche t-Verteilung ist eine Verteilung, die –salopp gesprochen – aus dem Quotienten einer normalverteilten Variablen (u)und der Quadratwurzel einer χ2-verteilten Zufallsvariablengebildet wird

/ ist also t-verteilt

^

β

^^

^

β

^^

Testen von Hypothesent-Verteilung mit n-k Freiheitsgraden

aii ist das

i-te Diagonal-

element von

(X‘X)-1

Zum Testen der Hypothese, dass βi = 0 ist (dies ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass von der Variablen von xi kein linearer Einfluss auf y ausgeht), substituieren wir den Wert von βi in die obige Formel. Wir verwerfen die Hypothese βi = 0, wenn t größer („überkritisch“) ist als der Wert, der für ein bestimmtes Sicherheitsniveau (z.B. 95%) und für eine bestimmte Zahl von Freiheitsgraden in der t-Tabelle steht.

ii

n

ii

ii

akne

t

1

2

^

)/(

T-Verteilung

Testen von Hypothesen: KonfidenzintervallEine andere Art von Test geht über dasKonfidenzintervall, das mit einer bestimmtenSicherheitswahrscheinlichkeit den unbekannten ParameterÜberdeckt

aii ist dasi-te Diagonal-element von(X‘X)-1

Als Sicherheitswahrscheinlichkeit wählt man üblicherweise95% oder 99% (in der obigen Formel bedeutet є = 1-Sicherheitswahrscheinlichkeit resp. 5% bzw. 1%). Da die Verteilung zwei Schwänze besitzt, wird Є durch 2

dividiert.Übliche Werte aus der Tabelle von tє/2 für 20 Freiheitsgrade sind

2.086 (95%) bzw. 2.845 (99%).

ii

n

ii

i akn

et

1

2

2/

^

Testen von Hypothesen: F-Test

Will man die Hypothese testen, dass alle Parameter (ohneKonstante) gleich Null sind (also die Gleichung nichts erklärt) empfiehlt sich der F-Test. Die F-Verteilung besteht aus dem Quotienten zweier χ2-Verteilungen mit (k-1) bzw. (n-k) Freiheitsgraden.

Vereinfacht lässt sich F mit Hilfe des Bestimmtheitsmaßes (Quadrat des Korrelationskoeffizienten) berechnen

n

ii

n

iii

kne

kF

1

2

2

2*^

*

)/(

)1/()(

)/()1(

)1/(2

2

knr

krF

Erzeugen eines Regressionsprogramms in Excel

1. , n, k

2. y = X, e = y – y,

3. Testen auf Parametereinfluss i = 0

4. Testen auf Einfluss der ganzen Gleichung

)/()1(

)1/(2

2

knr

krF

yX'X)(X'β 1^

n

ii

n

ii

yn

ynr

1

2

1

2

2

))(/1(

))(/1('

yy'

yX'β^

^ ^^

ii

n

ii

ii

akne

t

1

2

^

)/(

Ein Beispiel zur Illustration(aus Johnston, J. (1963): Econometric Methods, McGraw-Hill, New York etc, p.127)

Drei Zeitreihen (von 1948 bis 1956)

Exogene Variablen– Index des BNP für UK, Preise von 1948– Quotient des Importpreisindex/Preisindex des BNP

Endogene Variable– Index der importierten Güter und Dienstleistungen

(UK, Preise von 1948)

Gleiches Beispiel wird später mit einem neuronalen Netz geschätzt

Beispielangaben

JahrIndex des BIP (UK,

Preise 1948)

Importpreisindex durch BIP-

Preisindex (UK)

Index der importierten Güter

und Dienstleistungen (UK, Preise 1948)

x2 x3 y

1948 100 100 100

1949 104 99 106

1950 106 110 107

1951 111 126 120

1952 111 113 110

1953 115 103 116

1954 120 102 123

1955 124 103 133

1956 126 98 137

Wichtigste Ergebnisse

Parameter Beta/sigma t-Wert Untere Grenze

Obere Grenze

-49,341339

(Konstante)

-2,05068662 -0,08616009 -108,216211 9,533533362

1,36423789 (Koeff von

x2)

9,52993542 0,000076168 1,013955347 1,714520436

0,11388062 (Koeff von

x3)

0,79429259 0,45728186 -0,23694206 0,464703310

R2= 0,93850 F-Wert= 45,78245

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Nächster Termin: 3. Block:

Dienstag, 13. November 2012

am IFF, Seminarraum 5

Nachtrag zu Input-Output-Modellen

Effekte technischer

Veränderungen

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1yLösung in erster Näherung

x = (E-A)-1(Ax + y)

• Veränderungen der A-Matrix ...… A und/oder• veränderungen der Nachfrage … y ->• Veränderungen im Output ……… x ->• Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->• Veränderungen der Lohnsumme ->• Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1)

Wie komme ich dazu?

….ein wenig Mathematik

x0 = (E-A0)-1y0x1 = (E-A1)-1y1

y1 = y0 + y; A1 = A0 + A; x1 = x0 + x

Substitution ergibt

x1 = (E-A1)-1y1 = [E - (A0+A)]-1(y0 + y) =….

[E - (A0+A)]-1 = (Von Neumann Reihe) =

E+(A0+A)+(A0+A)2+(A0+A)3+…Substitution: B anstelle von A

E+(A+B)+(A+B)2+(A+B)3+…=

• E +• A + BE • A2 + BA + ABE + B2

• A3 + BA2 + ABA + A2BE + AB2 + B2A+ BAB+ B3

• A4 + BA3 + ABA2 + A2BA + A3BE + ….• A5 + BA4 + ABA3 + A2BA2 + A3BA + A4BE +• +….

=(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1 + …

Terme von B höher als erster Ordung werden vernachlässigt

(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1+…=

= (E + B + AB + A2B + A3B +…) (E-A)-1 =

= [E + (E + A + A2 + A3 +…….)B] (E-A)-1 =

= [E + (E-A)-1 B] (E-A)-1

Rücksubstitution: A anstelle von B ergibt

[E-(A+A)]-1= (E-A1)-1 ~ [E + (E-A)-1A](E-A)-1

Zu zeigen war, dass aus x1 = (E-A1)-1y1

in erster Näherungx = (E-A)-1(Ax + y) folgt.

x1 = x0 + x = [E-(A0 + A)]-1(y0 + y) == [E + (E-A0)-1A] (E-A0)-1(y0 + y) == x0 + (E-A0)-1A x0 + (E-A0)-1y + (E-A0)-1A (E-A0)-1y

=>x = (E-A0)-1 (A x0 + y)

q.e.d.

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1yLösung in erster Näherung

x = (E-A)-1(Ax + y)

• Veränderungen der A-Matrix ...… A und/oder• veränderungen der Nachfrage … y ->• Veränderungen im Output ……… x ->• Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->• Veränderungen der Lohnsumme ->• Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1)

Anwendungsprobleme der Marxschen Theorie

Marx nahm an, dass sich die Profitraten durch Kapitalwanderung in der Tendenz angleichen (Marx, Das Kapital Bd. 2).

• Empirisch lässt sich dies nicht zeigen, im Gegenteil, die Profitraten folgen einer über die Zeit konstanten Potenzverteilung (Farjoun & Machover 1982, Nils Fröhlich 2009)

Marx formulierte ein Gesetz von der tendenziell fallenden Profitrate (eine sehr dialektische Formulierung). Grossmann (1929) interpretierte Marx so, dass die Profitrate wegen der fallenden organischen Zusammensetzung gegen Null gehen würde -> Zusammenbruchstheorie des Kapitalismus

• Mathematisch folgt dies aber nicht, da sowohl der Zähler als auch der Nenner der Profitrate gegen Null gehen würden. Null dividiert durch Null ergibt einen endlichen positiven Wert

Ein konkreteres Transformationsproblem

• Nutzenfunktion: Nj = d1j log( C1j )+ d2j log( C2j )+ lamdaj ( wj – p1 C1j – p2 C2j ), j = 1,2

• Nachfragefunktion: Cij = vj xj bij / pi = diag-1(p) B diag(v) diag(x)

• Mit 2 Sektoren erhält man: p1 / [ p1 a11 + p2 a21 + v1 (b11 + b21)] = p2 / [ p1 a12 + p2 a22 + v2 (b12 + b22)]

• Direkte Lösung oder iterative Lösung für Preise und Mengen

x2 x0 x1 x1

xi+1 = f( xi ) - xi

x2 x0 x1 x1

xi+1 = - ( f( xi ) - xi )

Arbeitswerte Produktionspreise Zwei Lösungen des “konkreten”

Transformationsproblems

Marx Marx Bortkiewicz Hochpreislösung Niedrigpreislösung

(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)

sector1 sector2 sector1 sector2 sector1 sector2 sector1 sector2 sector1 sector2

unit prices 10 1 10,417 0,958 10,539 0,946 10,494 0,941 3,641 0,308

volumes 10 100 10 100 10 100 9,928 101,78 21,835 390,69

turnover 100 100 104,17 95,83 105,39 94,61 104,18 95,82 79,50 120,50

profit rates 1,000 1,174 1,083 1,083 1,139 1,139 1,128 1,128 0,221 0,221

labour 70 70 70 70 70 70 69,49 71,25 152,84 273.48

wages 20 16 20 16 20 16 19,85 16,28 43,63 62,46

consumptionmatrix

0,83311,67

0,6679,333

0,83311,67

0,6679,333

0,83311,67

0,6679,333

0,78812,305

0,64710,093

4,99882,589

7,15118,22

utility 1,357 1,134 1,357 1,134 1,357 1,134 1,365 1,167 3,245 3,604

Arbeitswerte, Produktionspreise und Preise des „konkreten“ Transformationsproblems

Vergleich der Ergebnisse

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Nächster Termin: 18. Jänner, 15:00 Uhr

am IFF, Seminarraum 5

Einfache und komplizierte Arbeit

Österreich 2003

nachMichael Schlegel und Christian Szolarz :

Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung mit Input-Output-Tabellen unter Berücksichtigung der

Kompliziertheit der Arbeit, Bakkarbeit,Wien 2008

ISCED „International Standard Classification of Education“ von der UNESCO zur Klassifizierung und Charakterisierung von Schultypenund Schulsystemen entwickelt.

Formale Bildung

1Universitäten und Hochschulen

2 Fachhochschulen

3Berufs- und lehrerbildende Akademie

4Kollegs und Abiturientenlehrgänge

5Berufsbildende höhere Schule

6Allgemein bildende höhere Schule

7Berufsbildende mittlere Schule

8 Lehrlingsausbildung

9Allgemein bildende Pflichtschule

Wirtschaftszweig

A, BLand- und Forstwirtschaft & Fischerei und Fischzucht

CBergbau und Gewinnung von Steinen und Erden

D Sachgüter-erzeugung

EEnergie- und Wasser- versorgung

F Bauwesen

G

Handel; Instandhaltung und Reparatur von Kraftfahrzeugen und Gebrauchsgütern

HBeherbergungs- und Gaststätten- wesen

IVerkehr und Nachrichten- übermittlung

JKredit- und Versicherungs- wesen

K

Realitätenswesen, Unternehmens- bezogene Dienstleistungen

L Öffentliche VerwaltungM Unterrichts-wesen

NGesundheits-, Veterinär- und Sozialwesen

O

Erbringung von sonstigen öffentlichen und persönlichen Dienstleistungen

P Private Haushalte

Wieviel ist die Bildung wert? Statistische Ergebnisse (Österreich 2003)Quelle: Bakkarbeit von MichaelSchlegel und Christian Szolarz : Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung mit Input-Output-Tabellen unter Berücksichtigung der Kompliziertheit der Arbeit, Wien 2008