tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218
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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
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Dar (la posición) como una función
de (el tiempo):
De ahí deducimos las velocidad , la
energía, la cantidad de movimiento, etc.
x
t
x t
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0 0
0
20
La fuerza es igual a cero
La posición está dada a todo tiempo como:
La velocidad está dada a todo tiempo como:
1La energía es siempre
2
t
x t x v t
t
v t v
E mv
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20 0
0
2
La fuerza es constante
La posición está dada a todo tiempo como:
1
2La velocidad está dada a todo tiempo como:
1La energía es
2
t
x t x v t at
t
v t v at
E mv t
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max
La posición está dada a todo tiempo como:
cos 2
donde la frecuencia está dada como
1 1
2
donde es el periodo.
t
x t x ft
f
kf
m T
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max
2 2 2max
La velocidad está dada a todo tiempo como:
2 sin 2
La energía es:
1 1 1
2 2 2
t
x t fx ft
E t mv t kx t kx
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2
En este caso la fuerza es la de la
ley de la gravitación de Newton:
Resultan las leyes de Kepler.
La posición como función del tiempo
La velocidad como función del tiempo
La energía
mMF G
r
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Todas las variables dinámicas (posición, tiempo, velocidad, cantidad de movimiento, energía, energía cinética, energía potencial, momento angular) son reales, es decir; todas las variables dinámicas son continuas.
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, ,10
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,, ,
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Si , entonces proponemos
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2
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22
22
d xV x x E x
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22
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d xV x x E x
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0
0 0
x
V x x a
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22
22
0 0 0
d xE x
m dx
x x a
![Page 43: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/43.jpg)
22
2
22 2
2 2
22
2
2
2 donde
0
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogenea con
coeficientes constantes.
d xE x
m dx
d x mEk x k
dt
d xk x
dt
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2 2
1 2
La ecuación característica es: 0
Las raices son: y
y por tanto las dos soluciones linealmente
independientes son exp y exp
y la solución general es
ikx
k
ik ik
ikx ikx
x Ae B
ikxe
2
22
0d x
k xdt
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Las condiciones iniciales son:
0 0
0 0
y
2 sin
0 =0 y =0
ikx ikx ikx ikx
x x
x
x A B B A
x Ae Ae A e e A
a
i kx
2
22
0 ikx ikxd xk x x Ae Be
dt
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0
2 sin 0
Ojo, esto implica que,
donde
Las condiciones iniciales son: 0 =0 y =0
1, 2,3,...
x a
x a iA ka
ka n
x x a
n
2
22
0 2 sind x
k x x iA kxdt
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2 22
2¡¡¡¡¡¡¡
2 y 1, 2,3,...
así qu
1, 2,3,... !!!!!!!!
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mEk ka
m
n
n na
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0d x
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2 22
2 1, 2,3,...
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2 22
2 1, 2,3,...
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3 100
100
10 m 37.58 10 eV
10 m 37.58 eV
a E
a E
![Page 50: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/50.jpg)
2 2
0 0
0
4 sin 4 sin
4 1 4cos sin 2 1
2 2 2
La condición de renormalizació
1
:
2
n 1
a n
n
n aAA x dx AA d
a n
AA a AA a nAA
x x dx
an n
A ia
2
22
0 2 sind x n
k x x iA xdt a
![Page 51: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/51.jpg)
22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
0
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin
donde 1, 2,3,...
d xk x
dt
a
nx x
a a
n
![Page 52: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/52.jpg)
1
21 sinn x x
a a
![Page 53: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/53.jpg)
2
2 22 sinn x x
a a
![Page 54: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/54.jpg)
3
2 33 sinn x x
a a
![Page 55: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/55.jpg)
4
2 44 sinn x x
a a
![Page 56: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/56.jpg)
24
2 2424 sinn x x
a a
![Page 57: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/57.jpg)
124
2 124124 sinn x x
a a
![Page 58: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/58.jpg)
![Page 59: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/59.jpg)
2 2
2
1
2V x m x
dV xF x m x
dx
![Page 60: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/60.jpg)
22 2
2 2
2
2
2
2 22
4
4
co 2
2
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d xm m xdt
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dtx t L t
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![Page 61: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/61.jpg)
2 22 2
2
1/ 4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
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dm x E
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m m m xx H x
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![Page 63: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/63.jpg)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
![Page 64: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/65.jpg)
r
eV
2
![Page 66: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/66.jpg)
2 22
2
eV E V
m r
2 2 2 22 2
2 2
2 sinsin sin sin 0
mr er E
r r r
![Page 67: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/67.jpg)
2 2 2 22 2
2 2
4
2 2
2 sinsin sin sin 0
, , , ( ) , exp
donde
1 con 1, 2,...
2
nnlm nl lm
n
mr er E
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Er t R r Y i t
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n
![Page 68: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/68.jpg)
4
2 2
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1,2,...
n
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n
n
![Page 69: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/69.jpg)
Se obtiene limpiamente el espectro del átomo de hidrógeno
![Page 70: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/70.jpg)
•¿Y la intensidad de la líneas?
•La teoría de Schrödinger calcula la intensidad de manera correcta utilizando la probabilidad de transición entre los diferentes estados
•Se calcula también la vida media de los estados excitados
![Page 71: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/71.jpg)
La ecuación de Schrodinger funciona hasta para moléculas complejas. Desde luego, los cálculos deben ser numéricos por la gran complejidad del problema
![Page 72: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/72.jpg)
La ecuación de Schrödinger “está bien”. Sin embargo,
•No es relativista
•No toma en cuenta el espín
•La ecuación de Dirac
•La electrodinámica cuántica
![Page 73: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/73.jpg)
V
mti
2
2
2
Funciona “a todo dar”. Con las versiones relativistas, se explica perfectamente la estructura de los átomos. Se calculan las energías de los niveles, las líneas espectrales, sus intensidades, reglas de transición, etc., pero ….
![Page 74: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/74.jpg)
22
2i V
t m
?x t v t
¿Dónde están y
No aparecen como solución de la
ecuación de Schrodinger, en su
lugar aparece
![Page 75: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/75.jpg)
¿Qué es
(la ahora muy famosa)
?
![Page 76: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/76.jpg)
es la amplitud de probabilidad
es la probabilidad de encontrar
a la partícula en el intervalo ,
es la densidad de probabilidad
dx
x x dx
![Page 77: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/77.jpg)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
![Page 78: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/78.jpg)
1 1
2 2
3 4
4 4
Los estados propios de la energía:
.......
E
E
E
E
![Page 79: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/79.jpg)
2
2
2
1/ 4
220
31/ 4
221
51/ 42 22
2
1 1
2
3 12
2
5 2 12 1
2 2
x i t
x i t
x i t
h x e e
h x xe e
h x x e e
![Page 80: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/80.jpg)
4
2 2
1
2
1,2,...
n n
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n
n
![Page 81: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/81.jpg)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
![Page 82: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/87.jpg)
![Page 88: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/88.jpg)
![Page 89: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/89.jpg)
Clásicamente es imposible que la pelota se salga de la caja
![Page 90: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/90.jpg)
Cuánticamente la probabilidad de encontrar a la pelota fuera de la caja es diferente de cero
![Page 91: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/91.jpg)
Canica
Cerrito
![Page 92: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/92.jpg)
![Page 93: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/94.jpg)
10
Un electrón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 3 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.588
0.412
a
T
R
![Page 95: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/95.jpg)
10
18
Un protón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.374 10
0.999999999999
a
T
R
![Page 96: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/96.jpg)
•Las reacciones nucleares
•La desintegración radiactiva
•La conductividad
![Page 97: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/97.jpg)
•La física del estado sólido
Semiconductores
Diodo de efecto túnel
Transistores
Materiales nuevos
•El microscopio de barrido de efecto túnel
![Page 98: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/98.jpg)
6
14 146 7 C N
protones 7 protones
8 neutrones 7 neutrones
• La vida media del C14 es de 5730 años
• La probabilidad de que un átomo de C14 decaiga en 5730 años es de ½
•¿Cómo sabe o cómo decide el átomo cuando decaer?
![Page 99: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/99.jpg)
14 146 7C N
![Page 100: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/100.jpg)
141 kg de C
5730 años
14
14
1
21
2
kg de
kg de
C
N
14 146 7C N
![Page 101: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/101.jpg)
Un átomo particular de C14 puede decaer en 10 segundos o en diez mil años, como se le de la gana
Einstein: “…Él no tira los dados.”
14 146 7C N
The theory yields a lot, but it hardly brings us any closer to the secret of the Old One. In any case I am convinced that He does not throw dice.
--Einstein, writing to Max Born, 4 December 1926.
![Page 102: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/102.jpg)
235 23192 90U Th
• La vida media del U235 es de 704 millones de años
• La probabilidad de que un átomo de U235 decaiga en 704 millones de años es de ½
• ¿Cómo sabe o cómo decide el átomo decaer?
![Page 103: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/103.jpg)
![Page 104: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/104.jpg)
![Page 105: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/105.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 106: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/106.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
202 2
2 2
22 2
2 2
En la región II:
2
En las regiones I y III:
2
m V Ed
dx
d mE
dx
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 107: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/107.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
1 1
En la región I:
exp exp
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
I
II
III
x A i x B i x
x i x R i x
x A x B x
x T i x
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 108: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/108.jpg)
0 1
0
1
I
II
x R
x A B
R A B
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i i x i R i x
x A x B x
x i T i x
0 1
0
1
I
II
x i R
x A B
i R A B
![Page 109: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/109.jpg)
exp exp
exp
exp exp exp
II
III
x a A a B a
x a T i a
A a B a T i a
exp exp
exp
exp exp exp
II
III
x a A a B a
x a i T i a
A a B a i T i a
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
exp exp
exp exp
exp
I
II
III
x i i x i R i x
x A x B x
x i T i x
![Page 110: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/110.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
Condiciones en 0 :
1
1
Condiciones en :
exp exp exp
exp exp exp
x
R A B
i R A B
x a
T i a A a B a
i T i a A a B a
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 111: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/111.jpg)
1
exp exp exp 0
exp exp exp 0
A B R
A B i R i
A a B a T i a
A a B a i T i a
Condiciones en 0 :
1
1
Condiciones en :
exp exp exp
exp exp exp
x
R A B
i R A B
x a
T i a A a B a
i T i a A a B a
![Page 112: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/112.jpg)
1 1 1 0 1
0
0 0
0 0
a a i a
a a i a
A
i B i
e e e R
e e i e T
1
exp exp exp 0
exp exp exp 0
A B R
A B i R i
A a B a T i a
A a B a i T i a
![Page 113: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/113.jpg)
:= C
1 0 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 1 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 1 0 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 0 14 I e
( ) I a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
![Page 114: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/114.jpg)
2 2
2exp
sinh 2 cosh
iT i a
a i a
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
![Page 115: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/115.jpg)
2 2 2 2
2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
2 22 22 2 2 2 22
2 2
sinh 2 cosh sinh 2 cosh
4
sinh 4 cosh
4
sinh 4 1 sinh
4 1
sinh 4sinh 1
2
i iTT
a i a a i a
a a
a a
aa
T
2 2
2exp
sinh 2 cosh
iT i a
a i a
![Page 116: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/116.jpg)
02 22 2 22 2
2
21 2
sinh 12
m V E mE
a
T
12 22 20
0 0 0
2
0 0
4 12 4
1
sinh1
4 / 1 /
V E E
E V E V V
a
E V E V
T
![Page 117: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/117.jpg)
:= C
1 0 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 1 0 02 e
( ) a( ) I
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 1 0 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
0 0 0 14 I e
( ) I a
2 I e( ) a 2
e( ) a
2 I e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a 2
e( ) a
![Page 118: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/118.jpg)
2 2 2 20 0
2 2 2 2 22 2 2 20 0 0 00
2 2 2 2 20 0
2 2 2 2 20 20 0 0 0
20
2
02
2 sinh 2 sinh
2sinh 8 82sinh 1 8 8
2 sinh 2 sinh sinh42sinh 8 8 2sinh 8
sinh
sinh4
sinh
V a V aRR
V a V E EV VV a E EV V
V a V a aE E VV a E EV V a E E V
aV
aE V
a
2 220
0 0 02 2
202
0 000
sinhsinh
4 4 / 1 /
sinh1sinh 1
4 / 1 /4
V aa
E V E E V E V
E V aa
E V E VE V EV
R
2 V2
cosh 2 m ( ) V E
h2
a
2
1
V2
cosh 2 2 m ( ) V E
h2
a 8 E2
8 E V V2
![Page 119: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/119.jpg)
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sinh
4 / 1 / 21 ; ;
sinh sinh1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m V E
a a
E V E V E V E V
T R
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 120: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/120.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
En la región I:
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
II
III
x i x R i x
x A x B x
x T i x
022
22
2
2
m V E
mE
![Page 121: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/121.jpg)
0
0
2
0
2
Si tenemos que
2=
y por lo tanto es imaginario.
2Escribimos .
Como sinh sin
E V
m V E
m E Vi i
i i x
02 22 2
2 2
m V E mE
![Page 122: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/122.jpg)
2
0 02 2
0 0 0 0
022
sin
4 / 1 /1 ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
2
a
E V E V
a a
E V E V E V E V
m E V
T R
Región I Región II Región III
0x x a
0V
![Page 123: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/123.jpg)
0
0 0 Región I
0 Región II
0 Región III
x
V x V x a
x a
En la región I:
exp exp
En la región II:
exp exp
En la región III:
exp
I
II
III
x i x R i x
x A i x B i x
x T i x
022
22
2
2
m E V
mE
![Page 124: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/124.jpg)
0
0
(a) Puede ocurrir reflexión aun cuando .
Es un efecto enteramente cuántico.
Es claro que si ,
1 y 0
E V
E V
T R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
![Page 125: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/125.jpg)
0
0
(b) Puede ocurrir transmisión aún cuando .
Es un efecto enteramente cuántico.
Es claro que si ,
0 y 1
E V
V E
T R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sinh
4 / 1 / 21 ; ;
sinh sinh1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m V E
a a
E V E V E V E V
T R
![Page 126: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/126.jpg)
0(c) Para , existe un conjunto de energías de
la "partícula" incidente para las cuales =1 y
0; es decir, a esas energías la barrera es
transparente.
E V
T
R
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
![Page 127: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/127.jpg)
2
0 0
2
0 0
1Están dadas por 1
sin1
4 / 1 /
sinÓ sea 0; es decir, con 1, 2,3,... ó
4 / 1 /
1
2
Es decir, cuando el ancho de la barrera es múltiplo de la mitad de la
longitud
n
n
a
E V E V
aa n n
E V E V
na n
T
de onda de de Broglie dentro de la barrera.
2
0 0 022 2 2
0 0 0 0
sin
4 / 1 / 21 ; ;
sin sin1 1
4 / 1 / 4 / 1 /
a
E V E V m E V
a a
E V E V E V E V
T R
![Page 128: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/128.jpg)
El electronvoltio, abreviado como eV, es una unidad de energía equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio. Dicho valor se obtiene experimentalmente por lo que no es una cantidad exacta.1eV = 1,602176462 × 10-19 J
![Page 129: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/129.jpg)
El electronvoltio es una unidad de energía, equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio.
A single atom is such a small thing that to talk about its energy in joules would be inconvenient. But instead of taking a definite unit in the same system, like 10−20 J, [physicists] have unfortunately chosen, arbitrarily, a funny unit called an electronvolt (eV) ... I am sorry that we do that, but that's the way it is for the physicists.http://home.att.net/~numericana/answer/feynman.htm
![Page 130: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/130.jpg)
![Page 131: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/131.jpg)
10
Un electrón con una energía de 10 eV.
Una barrera cuya altura es 20 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.146
0.854
a
T
R
![Page 132: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/132.jpg)
10
Un electrón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 3 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.588
0.412
a
T
R
![Page 133: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/133.jpg)
10
18
Un protón con una energía de 1 eV.
Una barrera cuya altura es 2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.374 10
0.999999999999
a
T
R
![Page 134: Tercera clase el jueves 26 de enero de 2012 de 15:00 a 16:30 en el salón 2218](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020922/5665b43e1a28abb57c9054b7/html5/thumbnails/134.jpg)
10
Un protón con una energía de 0.18 eV.
Una barrera cuya altura es 0.2 eV
y cuyo ancho es 10 m:
0.0029
0.9971
a
T
R