FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

Teorija odluivanja For dummies

L.

2

Sadraj Predgovor prvom izdanju ..................................................................................................................................... 4

1. OSNOVE TEORIJE ODLUIVANJA ....................................................................................................................... 5

1.1. Sistemski pristup odluivanju ..................................................................................................................... 5

1.2. Opte karateristike odluka ......................................................................................................................... 5

1.3. Priroda procesa odluivanja ....................................................................................................................... 5

1.4. Pojmovi i definicije .................................................................................................................................... 6

1.5. Tipologija odluka ....................................................................................................................................... 7

1.6. Faze procesa odluivanja ........................................................................................................................... 7

1.7. Modeli i modeliranje ................................................................................................................................. 8

1.8. Modeli odluivanja .................................................................................................................................... 9

1.9. Izbor metoda i tehnika ............................................................................................................................... 9

1.10. Primena modela odluivanja .................................................................................................................. 10

1.11. Podruje odluivanja.............................................................................................................................. 10

2. ANALIZA ODLUIVANJA .................................................................................................................................. 11

2.1. Model analize odluivanja i njegovi koraci................................................................................................. 11

2.1. Analiza odluivanja bez apriori verovatnoda .............................................................................................. 13

MAXIMIN kriterijum - kriterijum pesimizma ................................................................................................. 13

MAXIMAX kriterijum - kriterijum optimizma, sve ili nita ........................................................................... 13

MINIMAX kriterijum aljenja, Savageov kriterijum ........................................................................................ 14

Kriterijum maksimalne verodostojnosti ....................................................................................................... 14

LaPLACE-ov kriterijum................................................................................................................................. 15

2.2. Analiza odluivanja sa apriori verovatnoda ................................................................................................ 15

Kriterijum oekivane novane vrednosti (ONV) ............................................................................................ 16

Kriterijum oekivanih aljenja/oekivanih gubitaka prilike ............................................................................ 16

Oekivana vrednost perfektne informacije (OVPI) ........................................................................................ 16

2.3. Analiza odluivanja sa uzorkovanjem ........................................................................................................ 17

2.3.1. Prikupljanje informacija i izraunavanje aposteriori verovatnoda ............................................................. 17

2.3.2. Odreivanje optimalne akcije za datu veliinu uzorka ............................................................................. 18

Primena kriterijuma oekivanog aljenja kod sluaja sa aposteriori verovatnodama ....................................... 19

2.3.3. Optimalna strategija ili optimalni plan odluivanja.................................................................................. 19

Oekivani rizik optimalne strategije................................................................................................................. 19

Oekivana vrednost informacije uzorka ........................................................................................................... 20

Oekivana ista dobit od uzorkovanja ............................................................................................................. 20

3

Odluka o preduzimanju uzorkovanja ............................................................................................................... 20

Optimalni plan uzorkovanja ............................................................................................................................ 20

3. ANALIZA RIZIKA.............................................................................................................................................. 22

5.1. Scenario analize rizika - postupak primene analize rizika ............................................................................ 22

5.2. Tradicionalne metode za evaluaciju projekta............................................................................................. 24

5.3. Prednosti i mane analize rizika ................................................................................................................. 25

4. TEORIJA KORISNOSTI ...................................................................................................................................... 26

4.1. Funkcija korisnosti ................................................................................................................................... 26

4.2. Matematike funkcije u teoriji korisnosti .................................................................................................. 27

4.2. Vieatributivna teorija korisnosti .............................................................................................................. 28

4.3. Struktura funkcije korisnosti..................................................................................................................... 29

4.4. Metod vieatributivne korisnosti sa aditivnom formom ............................................................................. 29

5.1. Osnovni pojmovi iz teorije upavih skupova .............................................................................................. 30

Definicija fuzzy skupa.................................................................................................................................. 30

Osnovne osobine fuzzy skupova .................................................................................................................. 31

Operacije nad fuzzy skupovima ................................................................................................................... 31

Fuzzy relacija:............................................................................................................................................. 31

5.2. Fuzzy broj ............................................................................................................................................... 31

Osnovni oblici fuzzy broja ........................................................................................................................... 32

5.3. Fuzzy matametiko programiranje............................................................................................................ 32

5.4. Fuzzy linearno programiranje ................................................................................................................... 33

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao slobodni lanovi u ogranienjima .................................. 33

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao koeficijenti u ogranienjima.......................................... 35

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao koeficijenti u funkciji cilja ............................................. 36

5.5. Fuzzy logika............................................................................................................................................. 36

5.6. Grubi skupovi .......................................................................................................................................... 37

Osnovne operacije teorije grubih skupova ................................................................................................... 37

Funkcija grube pripadnosti .......................................................................................................................... 38

Redukcija znanja i zavisnosti ....................................................................................................................... 38

Faktor verodostojnosti................................................................................................................................ 38

4

Predgovor prvom izdanju Ova Skripta je napravljena kao pomod u razumevanju knjige Odluivanje dr. Milutina E. upida i dr.

Milije M. Sukanovida. Sva prava autora su zadrana. Skripta prati poglavlja u knjizi, ali numerisanja unutar jednog poglavlja nisu identina sa onim iz knjige. Iz

prostog razloga to je neto skradeno, a neto preureeno.

U Skripti je obraeno prvih pet poglavlja knjige. esto poglavlje se odnosi na Viekriterijumsko odluivanje i na metode reavanja zadataka koje smo obradili na vebama. Ukoliko znate da reavate

zadatke ovo poglavlje vam ni ne treba. Moete ga proitati ukoliko elite. Sedmo poglavlje se odnosi na Grupno odluivanje koje smo takoe obradili na vebama kroz zadatke. Meutim, za razliku od estog poglavlja, sadri i teorijski deo koji ranije nismo spominjali na vebama. Razlog zbog kojeg ta teorija nije ubaena u Skriptu je taj to se ovaj deo najede ne javlja na ispitu, a i zato to se autor smorio. Ukoliko ba insistirate, nauite ovaj deo iz knjige. Lagan je i lako se ita. U drugom izdanju moda i on bude ubaen. Kroz sopstveno i tue iskustvo tvrdim da je ova skripta dovoljna. ak i za 10. Kao to dete uskoro videti, Skripta je vrlo slikovita. Pre nego to ponete trebalo bi da znate znaenje

odreenih simbola koji se nalaze u Skripti:

- Definica koja sledi je u potpunosti (od rei do rei) preuzeta iz knjige. Ako zvui ne logino znate koga da krivite.

- Definicija ili objanjenje koje sledi je izuzetno vano za

razumevanje stvari koje tek dolaze. Preporuuje se da se odmah zapamti (sa razumevanjem).

- Deo lekcije namenjen za trebere. Nije neophodan za opte

razumevanje tematike, ali moe znaiti ukoliko jurite desetku.

I za kraj - ukoliko naiete na neku greku u kucanju nemojte mi zameriti. Ipak je trebalo iskucati skoro 40 strana. Ako vam nije problem skrenite mi panju na greku kako bi skripta bila lepa za sledede generacije.

Hvala.

Sredno u daljem radu, Va Autor.

5

1. OSNOVE TEORIJE ODLUIVANJA

1.1. Sistemski pristup odluivanju - Sistem: Celina sastavljena od skupa delova, sa odreenim vezama izmeu tih delova i

njihovim atributima, koji slue za zadovoljenje neke funkcije. - Organizacija: Sistem ovek-maina (vidi sliku radi razjanjenja), sa specijalnim osobinama

zbog psiholoke i socioloke prirode oveka. - Teorija odluivanja se bavi reavanjem sloenih problema (donoenjem kompleksnih odluka) od najvedeg

interesa za organizaciju koji se ne mogu reiti konvencionalnim metodama. - Osnova svih kvantitativnih procesa odluivanja se sastoji iz slededih koraka:

1. Definisanje sistema (ili problema) i njegovih parametara 2. Utvrivanje kriterijuma odluivanja, odnosno ciljeva koji se ele postidi (najvaniji korak) 3. Formulisanje veza izmeu parametara i kriterijuma, tj. modela 4. Generisanje alternativa, odnosno akcija 5. Izbor akcije koja najvie zadovoljava postavljene kriterijume

1.2. Opte karateristike odluka

1. Vanost odluke - utie na nain donoenja odluke i metodu koja de koristiti 2. Vreme i trokovi donoenja odluke

- vrednost odluke ne sme biti manja od trokova nastalih pri njenom donoenju 3. Stepen sloenosti - raste ako je za njeno donoenje potrebno:

- Razmatrati vedi broj promenljivih - Operisati sa strogo zavisnim promenljivim - Koristiti nekompletne ili nepouzdane podatke koji opisuju promenljive.

1.3. Priroda procesa odluivanja - Dilema: Da li je ODLUIVANJE = PROCES (reavanje problema)?!?!? - Nije! Izmeu reavanja problema i donoenja odluke ne sme se staviti znak jednakosti, iako se u praksi ova dva

pojma svode na isto. Generalno posmatrano, reavanje problema je iri proces od donoenja odluka. Odluka je samo jedna faza kompletnog procesa reavanja problema.

- Proces reavanja problema obuhvata sledede faze:

1. Postati svestan problema 2. Definisati problem 3. Ustanoviti kriterijume odluivanja 4. Razviti alternativna reenja 5. Analizirati podatke 6. Izabrati najbolju akciju - doneti odluku

6

STRATEKE ODLUKE

TAKTIKE ODLUKE

OPERATIVNE ODLUKE

1.4. Pojmovi i definicije Odluivanje je izbor jedne, iz skupa mogudih akcija (alternativa), pri emu skup mora raspolagati sa najmanje 2 akcije. Taj izbor je mogude napraviti na razliite naine koristedi:

1. Tehnike odluivanja - procedure za reavanje problema u procesu donoenja odluka; 2. Pravila odluivanja - prethodno definisani vodii sa prosuivanje; 3. Vetine odluivanja - koridenje neijeg znanja u reavanju problema.

Donosilac odluke: Moe biti svako ko radi u nekom delu poslovnog okruenja i ko snosi odgovornost za njega. Zbog svog predvidivog ponaanja, donosioci odluka se mogu svrstati u nekoliko kategorija:

1. Ekonomski DO (zanimaju ga samo one odluke koje su korisne i praktine), 2. Estetiari (njegove vrednost lee u harmoniji, individualnosti, pompi i modi), 3. Teoretiari (zainteresovani za otkrivanje istine), 4. Socijalni (vole ljude, pitaju za miljenje, nesebini i simpatini), 5. Politiki (zainteresovani za mod i uticaj), 6. Religiozni (spiritualnost).

- Analitiari: Ljudi u senci koji vre pripremu odluivanja (sve ono to prethodi neposrednom inu odluivanja),

koji su osposobljeni da uoavaju karakteristike problema i da potom vre njegovo modeliranje i reavanje . - Cilj: Ono to elimo da postignemo naom odlukom (eljeno stanje sistema, eljeni izlaz). Ciljevi se ostvaruju

uzimajudi u obzir ogranienja prirode sistema, resursa, tehnikih i tehnolokih karakteristika maine i druga. Skup ogranienja se najede daje u vidu jednaina/nejednaina u kojima se nalaze iste nepoznate kao i u funkciji cilja.

- Odluke mogu biti:

1. Strateke - Znaajnije i sa dugoronim posledicama. Odnose se na planiranje i programiranje razvoja. Osnovni kriterijum njihovog vrednovanja je efektivnost sistema. Donosi ih najvie poslovno rukovodstvo.

2. Taktike - Obezbeuju realizaciju stratekih odluka. Osnovni kriterijum njihovog vrednovanja je efektivnost sistema. Donosi ih srednje rukovodstvo.

3. Operativne - Svakodnevne odluke, kojie donosi operativno rukovodstvo. Njima se obezbeuje osnova za realizaciju obaveza i promena iniciranih na viim nivoima odluivanja.

- Akcija (alternativa): Ono to donosiocu odluke stoji na raspolaganju kao mogudnost izbora prilikom odluivanja.

Skup takvih odluka se naziva strategijom.

- Uslovni izlaz jedne akcije: rezultat koji donosilac odluke oekuje od izabrane akcije. U literaturi se esto nazivaju pladanjima. Bitno je napomenuti da donosilac odluke predvia razliite rezultate u zavisnosti od stanja koje mogu nastupiti u bududnosti. Matrica koja prikazuje zavisnost uslovnih izlaza od stanja prirode naziva se tabelom pladanja.

Pladanja: Posledice koje nastaju izborom pojedinih akcija (alternativa) pri odigravanju svih mogudih stanja. Najede se iskazuju tabelarno, u vidu tabele pladanja. aljenje: Apsolutna vrednost razlike pladanja jedne akcije, koja se posmatra za izabrano stanje, i pladanja koje se dobije za najbolju akciju pri istom stanju. Drugim reima, aljenje je proputeni profit zbog neizbora najbolje akcije u sluaju odigravanja pojedinog stanja.

7

OBAVETAVANJE

PROJEKTOVANJE

IZBOR

PRIMENA

}

}

MIS/EOP

MT/OI

SPO

Druge discipline ukljuene u pojedine faze odluivanja: MIS Menadment informacioni sistemi EOP Elektronska obrada podataka MT Menadment teorija OI Operaciona istraivanja SPO Sistemi za podrku u odluivanju

Postoje tri vrste odluivnja u klasinoj teoriji odluivanja: 1. PRI IZVESNOSTI - sluaj kada znamo sa sigurnodu koje de se stanje prirode odigrati . 2. PRI RIZIKU - sluaj kada je stanje prirode (ne)poznato ali postoji objektivna ili empirijska evidencija koja

donosiocu odluke omoguduje da razliitim stanjima prirode dodeli odgovarajude verovatnode nastupanja. 3. PRI NEIZVESNOSTI - stanje prirode nepoznato i nepoznate sve informacije na osnovu kojih bi se mogle

dodeliti verovatnode nastupanja pojedinih stanja.

1.5. Tipologija odluka - SIMON:

1. Programirane rutinske odluke koje se stalno ponavljaju i moe se definisati procedura koju treba koristiti za njihovo donoenje.

2. Neprogramirane su nove (nesvakodnevne) nestruktuirane i znaajne odluke. Ne postoje metode za koje se unapred zna da mogu biti koridene, jer su i odluke nove.

- DELBECQ: 1. Rutinske 2. Kreativne 3. Pregovarake

- MINTZBERG: 1. Preduzimake 2. Aditivne 3. Odluke planiranja

- HARRISON: 1. Proraunske 2. Strategije na bazi procena 3. Kompromisne 4. Inspiracione startegije

1.6. Faze procesa odluivanja Faze procesa odluivanja po SIMON-u:

1. Obavetavanje - o problemu za koji se donosi odluka (istraivanje okruenja, prikupljanje i obrada podataka, ostala potrebna istraivanja radi identifikacije problema);

2. Projektovanje - u smislu odreivanja, razvoja i analize mogudih alternativa ili akcija (proces razumevanja problema, generisanja reenja i testiranje dozvoljivosti reenja);

3. Izbor - odreene akcije iz skupa raspoloivih. 4. Nakon Simona je izdvojena Primena kao 4. faza.

Faze procesa odluivanja po autorima knjige:

1. Evidentiranje problema (predpostavlja se da ih ima vie) 2. Rangiranje problema (prema vanosti) 3. Definicija problema (nivo detaljisanja, kriterijumi..) 4. Sakupljanje injenica (formiranje baze podataka) 5. Predvianje bududnosti 6. Formiranje modela 7. Reavanje problema (modela) 8. Vrednovanje rezultata (da li se razultati modela

poklapaju sa oekivanim rezultatima relanog sistema) 9. Donoenje odluke 10. Kontrola izvrenja odluke 11. Analiza posledica tog izvrenja.

8

1.7. Modeli i modeliranje - Jedna od faza u procesu donoenja odluke pripada i formiranju modela za probleme koji se reavaju. - Modeli: Sintetska apstrakcija realnosti tj. uprodena slika objektivne stvarnosti iz razloga to modeli treba da

obuhvataju samo relevantne karakteristike pojave koju predstavljaju. - Prednosti koridenja modela:

1. Omogudavaju analizu i eksperimentisanje sa sloenim problemima 2. Obezbeuju efikasno upravljanje resursima koji se koriste za analizu date pojave 3. Vreme za analizu date pojave se znaajno smanjuje 4. Naglaavaju se bitne karakteristike pojave.

- Faza modeliranja je jedna od najkritinijih u procesu odluivanja, jer ukoliko se ispusti neka od bitnih

karakteristika pojave koja se tim modelom opisuje, dobijamo njegovu iskrivljenu sliku. Zbog toga RIVET ide korak dalje u definisanju modela i kae da su modeli skup logikih relacija koje de zajedno povezati relevantne karakteristike stvarnosti bitne za problem koji se reava. Ta logika relacije se simboliki moe iskazati kao:

f(x1,x2,...,xm; y1,y2,...,yn)

Vrste modela prema karakteristikama:

KARAKTERISTIKE MODELA MODELI

1. FUNKCIJE a) Deskriptivni b) Prediktivni c) Normativni

2. STRUKTURA a) Ikoniki b) Analogni c) Simboliki

3. STEPEN SLUAJNOSTI

a) Deterministiki b) Rizik c) Neizvesnost d) Konflikt

4. VREMENSKA ZAVISNOST a) Statiki b) Dinamiki

5. OPTOST a) Specijalizovani b) Opti

6. STEPEN KVALIFIKACIJE

a) Kvalitativni b) Kvantitativni

- statistiki - optimizacioni - heuristiki - simulacioni

7. DIMENZIONALNOST a) Dvodimenzionalni b) Viedimenzionalni

8. ZATVORENOST a) Zatvoreni b) Otvoreni

9

1.8. Modeli odluivanja - U teoriji odluivanja, modeli se najede prikazuju kao skup vektora:

a) alternativa (akcija ili strategija) b) mogudih okolnosti (stanja prirode)

- Tako definisan model se najede prikazuje tzv. matricom efikasnosti:

ALTERNATIVE MOGUE OKOLNOSTI (STANJA PRIRODE)

s1 s2 ... sn

a1 e11 e12 ... e1n

a2 e21 e22 ... e2n ... ... ... ...

... ... ... ... am em1 em2 ... emn

- Izbor odreenje akcije ai (i = 1,2,...,m), u datim okolnostima sj (j=1,2,...,n) rezultira efektom eij.

1.9. Izbor metoda i tehnika Kao to je u prethodnim poglavljima ved reeno, reavanje formulisanih problema se najede vri uz pomod odgovarajudih metoda i tehnika. U literaturi se pojmovi metoda i tehnika najede koriste kao sinonimi, iako se meusobno razlikuju:

- Metoda je skup pravila u izvoenju ili obavljanju nekog posla ija primena omogudava ostvarenje nekog cilja. - Tehnika je skup pravila u izvoenju ili obavljanju nekog posla, naroito s obzirom na upotrebu tehnikih

sredstava. Koraci u izboru metoda i tehnika su slededi:

1. Identifikovanje kljunog donosioca odluke 2. Odreivanje kriterijuma za reenja problema 3. Specificiranje problema 4. Ispitivanje korisnosti dostupnih podataka 5. Izbor kataloga primenljivih metoda ili tehnika 6. Poreenje primenljivih metoda ili tehnika sa kriterijumima izbora 7. Predstavljanje inicijalnog modela upravljau 8. Prikupljanje primarnih podataka 9. Razvoj modela za testiranje 10. Predstavljanje rezultata upravljau 11. Provera, i ako je potrebno ispravka modela.

10

1.10. Primena modela odluivanja - Primena modela je uspena ako donosilac odluke koristi model pri odluivanju i ako mu model daje korisne

informacije, odnosno ukoliko model povedava efikasnost odluivanja. - Da li de jedan model biti uspeno primenjen zavisi od vedeg broja elemenata, koji se nazivaju elementima

sistema primene. Ako bilo koji element nije u skladu sa ciljem, primena modela nede dati optimalno reenje. - Elementi sistema primene i njihove meusobne veze su prikazani na slici:

1. Problem, 2. Donosilac odluke, 3. Organizaciono okruenje, 4. Analitiar i 5. Model

1.11. Podruje odluivanja Odluivanje se odigrava na nekoliko nivoa:

1. Na nivou pojedinaca - individualno odluivanje Ove odluke mogu imati neke zajednike karakteristike, ali u zavisnosti od nivoa obrazovanja, iskustva i steenih vetina, razliiti donosioci odluka de se u istim situacijama ponaati razliito.

2. Grupno odluivanje Prednosti: Nedostaci: (1) lake sagledavanje problema (2) laka mogudnost dolaska do alternativa (3) odluka de pogodovati vie drutvu ili organizaciji

nego pojedincu.

(1) sporost u odluivanju (2) prirodna nesklonost grupe ka inicijativi (3) tekode oko definisanja strategija.

3. Organizaciono odluivanje

Odluivanje koje se sprovodi na nivou organizacije i koje ima sline karakteristike kao individualno odluivanje.

4. Globalno ili metaorganizaciono odluivanje Posmatra se ukupnost svih organizacija (jedne zemlje) kao sistem preduzeda. Odluke koje se donose na tom nivou, orjentisane su ka optoj dobrobiti potroaa, optimalnoj alokaciji resursa i proizvodnji i distribuciji dobara i usluga. Odluke se donose na nivou celokupnog drutva, a cilj je zadovoljenje socijalnog blagostanja graana.

ANALITIAR

ORGANIZACIONO

OKRUENJEDONOSILAC

ODLUKE

USPENA PRIMENA MODELA

MODEL PROBLEM

11

2. ANALIZA ODLUIVANJA Okruenje u kome donosilac odluke odluuje, po pravilu je izuzetno kompleksno i dinamiko, i donosiocu odluke je izuzetno teko da sagleda sve inioce koji utiu na alternative odluivanja za posmatrani problem. U tim situacijama on koristi analizu odluivanja koja daje okvir za reavanje problema odluivanja sistematskim logikim uravnoteenjem svih inilaca koji utiu na odluku. Analiza takoe obezbeuje i praktian metod za prikupljanje dodatnih informaciju u cilju smanjivanja neizvesnosti vezanih za problem i nalaenje optimalne strategije u svetlu tih novih informacija. Najvaniji koraci procesa analize odluivanja su sistematsko strukturiranja, granienje problema, odreivanje neizvesnosti i rizika i izbor optimalne akcije:

- Struktuiranje problema predstavlja odreivanje svih mogudih alternativa, kao i stanja bududnosti i njihovo prikazivanje u vidu drveta odluivanja. Pod drvetom odluivanja se podrazumeva skup povezanih grana, gde svaka grana predstavlja ili alternativu odluivanja ili stanje. Po uobiajenoj konvenciji vor iskazan kvadratom predstavlja alternativu odluivanja (vor odluivanja) a kruid predstavlja stanje (vor mogudnosti).

- Granienje problema je nain analize gde se krede od jednostavnog problema odluivanja (sa malim brojem stanja i alternativa), a potom se uvode nove pretpostavke (alternative i stanja) i ispituje njihov uticaja na optimalnu odluku.

- Analiza neizvesnosti predstavlja dodeljivanje verovatnoda svim stanjima koja se odnose na posmatrani problem. Verovatnode moraju da odraavaju verovanja, informacije i ocene donosioca odluke (zato su subjektivne).

- Izborom pojedine akcije nastaju posledice koje se nazivaju pladanjima koje opisuju uticaj od strane donosioca odluke pri razliitim stanjima, a koje se odnose na problem.

Neki kriterijumi koji se koriste za izbor optimalne akcije:

- Kriterijum oekivanih korisnosti - predstavlja kriterijum izbora najbolje akcije, kada donosilac odluke dodeljuje svoje vrednosti koristi (preferencija) svim posledicama, rauna oekivanu korisnost i bira akciju za koju je ona najveda.

- Kriterijum oekivane novane vrednosti - primenjuje se kada se donosilac odluke ne izlae rizinom ponaanju prema posledicama. On tada moe izraunati oekivane novane vrednosti ishoda svake akcije i izabrati onu za koju je ta vrednost maksimalna.

- Vrednosna analiza vremenskih preferencija - predstavlja postupak kojim se utvruje struktura vremenskih preferencija, tako to se rauna sadanja vrednost posledica, a zatim se primenjuje kriterijum oekivanih novanih vrednosti ili kriterijum oekivanih korisnosti za nalaenje najbolje akcije.

2.1. Model analize odluivanja i njegovi koraci

1. Struktuiranje problema - definisanje mogudih alternativa ai, stanja sj i odreivanje pladanja pij . 2. Analiza neizvesnosti - dodeljivanje verovatnoda svim mogudim stanjima V(sj). 3. Analiza korisnosti i preferencija - dodeljivanje preferencija za rizine posledice. 4. Izbor optimalne akcije - koridenjem odgovarajudeg kriterijuma. 5. Prikupljanje novih informacija - radi smanjenja neizvesnosti.

- Ukoliko se donosilac odluke ne izlae rizinom ponaanju prema posledicama, izbor najbolje odluke treba da

sledi korake (1), (2) i (4). Taj proces se naziva analizom odluivanja sa apriori verovatnodama.

12

- Ako donosilac odluke nije u mogudnosti da dodeli apriori verovatnode stanjima prirode, onda izbor optimalne akcije vri uz pomod nekih metoda koje mu stoje na raspolaganju. Ovaj proces se naziva analizom odluivanja bez apriori verovatnoda.

- Ako se donosilac odluke izlae rizinom ponaanju prema posledicama, izbor najbolje odluke treba da sledi korake (1), (2), (3) i (4). Taj proces se naziva analizom odluivanja sa korisnostima.

- Ukoliko se donosilac odluke upusti u proces prikupljanja novih informacija u cilju smanjenja neizvesnosti, onda treba da sledi korake (1), (2), (4) i (5). Taj proces se naziva analizom odluivanja sa uzorkovanjem.

- Takoe postoji i odluivanje pri izvesnosti tj. proces donoenje odluka kada su poznate sve injenice vezane za stanja prirode problema, tj. kada postoji samo jedno stanje (ili vedi broj poznatih stanja od kojih se sa punom sigurnodu zna koje de se odigrati).

- U slededem dijagramu su prikazane sve vrste analiza odluivanja koje de naknadno biti detaljno objanjene.

Analiza Odluivanja (AO)

Analiza odluivanj bez uzorkovanja

AO bez apriori verovatnoda

MAXMIN

MINIMAX

MAXIMAX

Princip maksimalne verodostojnosti

LaPlace

AO sa apriori verovatnodama

Kriterijum oekivane novane

vrednosti

Kriterijum oekivanih aljenja

Analiza odluivanja sa uzorkovanjem

Kriterijum oekivanih aljenja

Kriterijum oekivane novane

vrednosti

13

2.1. Analiza odluivanja bez apriori verovatnoa - Ova analiza se koristi za izbor najbolje akcije (alternative) kada donosilac odluke nije u mogudnosti da pojedinim

bududim stanjima dodeli odgovarajude verovatnode.

Tabela pladanja (profita)

ALTERNATIVE MOGUE OKOLNOSTI (STANJA)

s1 s2 ... sm

a1 p11 p12 ... p1m

a2 p21 p22 ... p2m ... ... ... ...

... ... ... ... an pn1 pn2 ... pnm

- Za objanjenje svih metoda demo koristiti ovu tabelu. - Ukoliko posmatramo neku proizvodnu organizaciju, pod posledicom jedne akcije se najede

podrazumeva profit koja ona donosi, ili trokovi koji se stvaraju.

MAXIMIN kriterijum - kriterijum pesimizma

Izabrati akciju za koju je minimalni profit (po alternativama) maksimalan:

- Donosilac odluke zausima pesimistiki stav i predpostavlja da de se odigrati najgore stanje bududnosti. I onda

odabira onu alternativa koja pri ostvarenju najgoreg stanja bududnosti donosi najvedi mogudi dobitak tj. najmanji mogudi gubitak.

- Konkretan postupak:

(1) Za svaku alternativu se izabere najmanje povoljan rezultat (profit) min pij (2) Zatim se odabira se ona alterniva kod koje je min pij najvede, tj. max min pij

MAXIMAX kriterijum - kriterijum optimizma, sve ili nita

Izabrati akciju za koju je maximalni profit (po alternativama) maksimalan:

- Donosilac odluke zausima krajnje optimistiki stav i predpostavlja da de se odigrati najbolje stanje bududnosti.

Bira se ona alternativa koja daje mogudnost ostvarenja najvedeg mogudeg dobitka, bez obzira na mogudi gubitak. - Konkretan postupak:

(1) Za svaku alternativu se izabere najpovoljniji rezultat (profit) max pij (2) Zatim se odabira se ona alterniva kod koje je max pij najvede, tj. max max pij

ai - alternative sj - moguda stanja u bududnosti pij - posledica (rezultat) izbora odreene akcije ai,

ako se odigralo stanje sj.

i = 1,...,n j = 1,...,m

ai sj

ai sj

ai sj

ai sj

14

MINIMAX kriterijum aljenja, Savageov kriterijum

Izabrati akciju za koju je maksimalno aljenje (po alternativama) minimalno:

- Kriterijum aljenja je definisan kao poboljanje i dopuna u odnosu na maximin kriterijum. Ovaj kriterijum bira

akciju koja nije iskljuivo ni pisimistika ni optimistika, to ga ini znaajno uravnoteenijim u odnosu na prethodna dva kriterijuma.

- Savageov kriterijum se bazira na principu da je potrebno svesti na minimum mogudu tetu. - aljenje se definie kao proputeni profit zbog neizbora najbolje akcije u sluaju odigravanja pojedinog stanja.

Ukoliko donosilac odluke izabere akciju ai, a odigra se stanje sj tada se aljenje rauna po formuli:

gde je Mj maksimalni profit sa stanje sj.

Proirena tabela pladanja

ALTERNATIVE MOGUE OKOLNOSTI (STANJA)

s1 s2 ... sm

a1 p11 p12 ... p1m

a2 p21 p22 ... p2m

... ... ... ...

... ... ... ...

an pn1 pn2 ... pnm Mj: max pij max pi1 max pi2 max pnm

- Konkretan postupak:

(1) Od standardne tabele pladanja (sa prethodne stane) se kreira tabela aljenja tako to se umesto svakog iznosa profita pij upie iznos aljenja ij.

(2) Za svaku alternativu se izabere najvede aljenje max ij (3) Zatim se odabira se ona alterniva kod koje je max ij najmanje, tj. min max ij

Kriterijum maksimalne verodostojnosti

Izabrati akciju za koju je profit maksimalan, gde ta akcija mora da odgovara stanju koje ima maksimalnu verovatnodu odigravanja:

Pri tom je sj* stanje koje ima najvedu verovatnodu odigravanja.

- Konkretan postupak:

(1) Donosilac odluke dodeljuje verovatnode nastupanja svim stanjima; (2) Zatim nalazi stanje sa maksimalnom verovatnodom pojavljivanja; (3) Na kraju, DO odabira onu alternativu koja pri datom stanju donosi najvedi profit.

ai sj

ai

15

LaPLACE-ov kriterijum

Izabrati akciju za koju je oekivani profit maksimalan

- LaPlace-ov kriterijum polazi od pretpostavke da ako donosilac odluke ne vodi rauna o verovatnodama

odigravanja pojedinih stanja moe prema njima ponaati kao da de se odigrati sa podjednakom verovatnodom. - Kada bacamo kockicu, veorvatnoda da de nam pasti neki od brojeva (1,2,3,4,5,6) iznosi 1/6, pa tako i verovatnoda

da de se odigrati jedno od m mogudih stanja sj iznosi:

- Sada raunamo za svaku alternativu raunamo njen oekivan profit (u statistici bi ovo bilo matematiko

oekivanje, tj. oekivana vrednost) po slededoj formuli:

- Konkretan postupak:

(1) Za svaku alternativu raunamo njen oekivan profit (2) Zatim biramo alternativu iji je oekivani profit najvedi

- Ovaj postupak u stvari predstavlja primenu kriterijuma oekivane novane vrednosti koji de biti

objanjen u slededem delu.

2.2. Analiza odluivanja sa apriori verovatnoa - Ova analiza se koristi za izbor najbolje akcije (alternative) kada su donosiocu odluke poznate verovatnode

pojedinih stanja bududnosti.

Tabela pladanja (profita)

ALTERNATIVE

(AKCIJE)

MOGUE OKOLNOSTI (STANJA)

s1 s2 ... sm

V(s1) V(s2) ... V(sm)

a1 p11 p12 ... p1m

a2 p21 p22 ... p2m ... ... ... ...

... ... ... ... an pn1 pn2 ... pnm

- U analizi odluivanja sa apriori verovatnodama predpostavljamo da je donosilac odluke neutralan u odnosu na rizik.

ai

ai - alternative sj - moguda stanja u bududnosti V(sj) - verovatnode pojavljivanja stanja sj pij - posledica (rezultat) izbora odreene akcije ai,

ako se odigralo stanje sj.

i = 1,...,n j = 1,...,m

16

Kriterijum oekivane novane vrednosti (ONV)

Kriterijum oekivanih aljenja/oekivanih gubitaka prilike

- Kriterijum O daje iste rezultate kao i kriterijum ONV, ali prednost njegove primene lei u injenici da nam on omogudava da izraunamo taan iznos koji je potreban radi prikupljanja dodatnih informacija u cilju smanjenja neizvesnosti u posmatranom problemu. Izraunavanje tog iznosa se vri uz pomod promenljive koja se zove Oekivana vrednost perfektne informacije.

- Tabela aljenja, sa vrednostima eljenja za svaku akciju se kreira isto kao kod MIN IMAX kriterijuma aljenja.

Oekivana vrednost perfektne informacije (OVPI)

OVPI = Oekivano aljenje najbolje akcije O(ai*) OVPI predstavlja iznos koji uprava moe potroiti u cilju pribavljanja najbolje informacije radi

smanjenja neizvesnosti. esto se naziva i cena neizvesnosti.

Ako je promenljiva stanja s diskretna i ako uzima vrednosti s1,s2,...,sm sa raspodelom apriori verovatnoda V(s1), V(s2),...,V(sm), tada se oekivana novana vrednost akcije ai obeleena sa ONV(ai) moe definisati kao:

Na osnovu ove definicije donosilac odluke bira onu akciju za koju je oekivana novana vrednost optimalna. Ukoliko su nam u tabeli pladanja dati profiti, onda biramo akciju za koju je ONV(ai) maksimalno, a ukoliko su nam dati trokovi biramo onu akciju za koju je ONV(ai) minimalno.

Primena ONV kriterijuma: 1. Odreivanje alternativa odluivanja ai i svih mogudih stanja sj. 2. Odreivanje pladanja (profita/trokova) pij. 3. Dodeljivanje apriori verovatnoda V(sj) svim stanjima. 4. Raunanje oekivanih novanih vrednosti za svaku alternativu ONV(ai). 5. Primena ONV kriterijuma i izbor optimalne akcije.

Ako je promenljiva stanja s diskretna i ako uzima vrednosti s1,s2,...,sm sa raspodelom apriori verovatnoda V(s1), V(s2),...,V(sm), respektivno i ako ij predstavlja aljenje ako se izabere akcija ai a desi se stanje sj, tada se oekivano aljenje akcije ai obeleeno sa O(ai) moe definisati kao:

Na osnovu ove definicije donosilac odluke bira onu akciju ai* za koju je oekivano aljenje minimalno:

ai

17

2.3. Analiza odluivanja sa uzorkovanjem - Kao to je prikazano u prethodnom delu, Oekivana vrednost perfektne informacije nam ukazuje na iznos koji

moemo iskoristiti radi pribavljanja novih podataka (putem marketinkih istraivanja, anketa, panel grupa). Uz pomod tih novih podatak moemo da izvrimo reviziju apriori verovatnoda koje su do sada koridenje, i izraunamo aposteriori verovatnode koje imaju vedu verodostojnost tj. daju donosiocu odluke bolji uvid u bududa stanja i mogudnost donoenja ispravne odluke.

- Celokupna analiza izbora optimalne odluke u svetlu novih informacija se naziva analizom odluivanja sa uzorkovanjem.

2.3.1. Prikupljanje informacija i izraunavanje aposteriori verovatnoa - Napomena: radi lakeg razumevanja postupka odreivanja aposteriori verovatnoda i donoenja odluka na

osnovu njih, koristidu se primerom iz knjige , koji naravno ne morate da znate napamet.

- Predpostavimo da jedna kompanija treba da se odlui da li da lansira novi proizvod ili ne. Ukoliko koristimo analizu odluivanja bez uzorkovanja (tj. sa apriori verovatnodama) tabela pladanja de izgledati ovako:

Tabela pladanja sa apriori verovatnodama

ALTERNATIVE (AKCIJE)

MOGUE OKOLNOSTI (STANJA) s1 s2 s3

V(s1) V(s2) V(s3)

a1 p11 p12 p13 a2 p21 p22 p23

- Ukoliko donosilac odluke rei da eli da smanji rizik koji sa sobom nosi odluka doneena na osnovu apriori verovatnoda on moe pristupi prikupljanu novih informacija, to se najede ini odgovarajudim marketinkim istraivanjem ili ispitivanjem panel grupe (koja predstavlja sluajan uzorak potencijalnih kupaca).

Primena O kriterijuma, i izraunavanje OVPI: 1. Odreivanje alternativa odluivanja ai i svih mogudih stanja sj. 2. Odreivanje aljenja (gubitka prilike) ij. za svaku akciju ai i stanje sj. 3. Dodeljivanje apriori verovatnoda V(sj) svim stanjima. 4. Raunanje O(ai) za svaku akciju ai. 5. Izabrati O koje je minimalno u odnosu na sva aljenja dobijena u koraku 4. 6. Izraunati OVPI.

a1 - lansiranje novog proizvoda as - nelansiranje novog proizvoda s1 - niska potranja za proizvodom s2 - srednja (najverovatnija) potranja za proizvodom s3 - visoka potranja za proizvodom V(sj) - apriori verovatnode pojavljivanja stanja sj pij - posledica (rezultat) izbora odreene akcije ai,

ako se odigralo stanje sj. i = 1,2 j = 1,2,3

18

- Za na primer o lansiranju novog proizvoda, do informacija moemo da doemo tako to bi panel grupi dali nov proizvod na koridenje i traili od njih da nam kau da li bi oni taj proizvod kupili ili ne. Na osnovu tih podataka moemo bolje da procenimo kakva de biti prodaja tog proizvoda i samim tim doneti kvalitetniju odluku.

- Oznaimo sa Xk (k = 1,...,r) informacije koje smo dobili ispitivanjem panel grupe, i to: X1 - niska prodaja novog proizvoda, X2 - srednja, X3 - visoka.

- Logiki posmatrano, X1 (niska prodaja) ukazuje da je verovatnije realizovanje stanja s1 (niska potranja za proizvodom) u odnosu na s2 ili s3. To znai da de V(X1|s1) biti vede od V(X1|s2) i V(X1|s3), gde je V(X1|s1) je uslovna verovatnoda slabe prodaje (X1) za dato stanje slabe potranje s1, itd.

- Sve uslovne verovatnode su date u slededoj tabeli:

Tabela uslovnih verovatnoda

Informacija uzorka

Moguda stanja s1 s2 s3

X1 V(X1|s1) V(X1|s2) V(X1|s3) X2 V(X2|s1) V(X2|s2) V(X1|s3) X3 V(X3|s1) V(X3|s2) V(X3|s3)

E V(Xk|sj) 1 1 1

- Sada kada su poznate sve uslovne verovatnode, donosilac odluke mora da primeni Bayes-ovu teoremu u cilju

odreivanja aposteriornih verovatnoda koje se obeleavaju sa V(s j|Xk). One se nazivaju i revidiranim verovatnodama. Bayes-ova teorema za opti sluaj glasi:

2.3.2. Odreivanje optimalne akcije za datu veliinu uzorka - Odreivanje optimalne akcije (alternative) kod analize odluivanja sa uzorkovanjem je isto kao i kod analize

odluivanja bez uzorkovanja tj. primenjujemo metode ONV i O. Jedina razlika je u tome to se ovde koriste aposteriorne verovatnode za dato Xk, umesto apriori verovatnoda.

- Rezultati uzorkovanja X1, X2 i X3 su nezavisni. Svaki od ovih rezultata donosilac odluke posmatra posebno i rauna najbolju akciju u svetlu samo jednog rezultata uzorkovanja. Na primer, ako rauna najbolju akciju u svetlu rezultata uzorkovanja X1, onda demo umesto apriori verovatnoda V(s1), V(s2) i V(s3), koristiti aposteriori verovatnode V(s1|X1), V(s2|X1) i V(s3|X1). Nakon to je DO odredio optimalne akcije za svaki rezulat uzorkovanja, on moe da definie strategiju koja se naziva optimalnom strategijom ili optimalnim pravilom odluivanja.

Tabela pladanja sa aposteriori verovatnodama

ALTERNATIVE (AKCIJE)

Moguda stanja s1 s2 s3

V(s1|Xk) V(s2|Xk) V(s3|Xk)

a1 p11 p12 p13

a2 p21 p22 p23

- V(sj|Xk) - aposteriori verovatnode pojavljivanja stanja sj ako je rezultat uzorkovanja Xk.

19

Primena kriterijuma oekivanog aljenja kod sluaja sa aposteriori verovatnoama

- Odabir najbolje akcije u svetlu rezultata uzorkovanja Xk, se moe dobiti primenjujudi i O i ONV kriterijum, meutim prednost se daje O kriterijumu jer njegovim koridenjem moemo da naemo i vrednost informacije uzorka, to je znaajna prednost. Iz tog razloga de biti detaljnije opisana samo njegova primena.

- Ako je promenljiva stanja s diskretna i ako uzima vrednosti s1,s2,...,sm sa raspodelom aposteriori verovatnoda

V(s1|Xk), V(s2|Xk),...,V(sm|Xk), respektivno i ako ij predstavlja aljenje ako se izabere akcija ai a desi se stanje sj, tada se oekivano aljenje akcije ai posle dobijenog Xk obeleeno sa O(ai|Xk) moe definisati kao:

Na osnovu ove definicije donosilac odluke bira onu akciju ai* za koju je oekivano aljenje minimalno:

2.3.3. Optimalna strategija ili optimalni plan odluivanja - U naem primeru preduzeda koje treba da odlui da li da lansira novi proizvod ili ne , moemo zakljuiti da ukoliko

se kao rezultat uzorkovanja dobiju X2 (srednja prodaja proizvoda) ili X3 (visoka prodaja proizvoda), preduzede de odabrati alternativu a1 tj. lansiranje novog proizvoda. Suprotno, ukoliko se ostvari X1 (niska prodaja proizvoda), preduzede de odabrati alternativu a2. Ovaj zakljuak moemo prikazati u obliku funkcije koja se naziva optimalnim pravilom odluivanja (PO) ili optimalnom strategijom:

Oekivani rizik optimalne strategije

OR(PO*, n) - oekivani rizik optimalne strategije. O(PO*, n) - oekivano aljenje optimalne strategije. O (ai */ Xk) - oekivano aljenje najbolje akcije ai, ako se prethodno dogodi Xk V(Xk) verovatnoda pojavljivanja Xk n obim uzoraka

- Oekivani rizik optimalne strategije OR(PO*,n) je mogude uiniti manjim ako se obim uzorka *n+

poveda.

ai

20

Oekivana vrednost informacije uzorka - Oekivana vrednost informacije uzorka je veliina koja nam ukazuje na prednost pri odluivanju koju DO ima ako

se odlui da pristupi prikupljanju dodatnih informacija. - Predstavlja razliku izmeu oekovanog aljenja pre i posle uzorkovanja. Logino je da de oekivano aljenje posle

uzorkovanja biti manje, jer zahvaljujudi novim informacijama koje smo prikupili moemo da donese mo kvalitetniju odluku, sa manjim aljenjem. Dakle, oekivana vrednost informacije uzorka indicira da li postoji bilo kakva korist (dobit) prilikom sticanja informacija iz uzorkovanja. Takoe. obezbeuje meru koliko tano treba platiti trokove uzorkovanja.

OVIU(n) - Oekivana vrednost informacije uzorka OVPI= O(ai*) - ekivano aljenje najbolje akcije, sa apriori verovatnodama O(PO*, n) - Oekivano aljenje optimalne strategije sa aposteriori verovatnodama

Oekivana ista dobit od uzorkovanja - Oekivana ista dobit od uzorkovanja predstavlja rezultat dodatne analize u cilju sagledavanja da li de

uzorkovanje obezbediti istu dobit. - OVIU u svoju veliinu ne ukljuuje trokove uzorkovanja tj. trokove prikupljanja i analiziranja novih podataka.

Zbog toga je logino oekivati da razlika izmeu OVIU i trokova uzorkovanja treba da ukae da li iz informacije uzorkovanja moemo oekivati istu dobit.

ODU(n) - oekivana ista dobit od uzorkovanja T(n) - trokovi uzorkovanja sa (n) opservacija

Odluka o preduzimanju uzorkovanja Sada kada imamo sve potrebne podatke moemo da odluimo da li demo uopte preduzeti uzorkovanje radi dobijanja novih informacija:

- Ako je uzorkovanje je opravdano i poeljno;

- Ako je uzorkovanje ne treba sprovoditi.

Optimalni plan uzorkovanja

- Optimalni plan uzorkovanja se odnosi na odreivanje optimalne veliine uzorka (n). - Odreivanje optimalne veliine uzorka zavisi od ODU(n). Kao to je ved reeno, uzorkovanje je opravdano kada

je ODU(n) 0. I sa povedanjem uzorka (n) moe se primetiti da ODU(n) najpre raste, a zatim poinje da opada. Optimalna veliina uzorak n* se nalazi upravo u taki gde je ODU(n) maksimalno, to je i prikazano na sledede dve slike.

21

Zato ODU(n) prvo raste pa onda opada: - Kao to znamo ODU(n) = OVIU(n) - T(n) - S druge strane OVIU(n) = OVPI - OR(OP*,n) - Kako je OVPI konstanta (ne zavisi od n), iz dobijene jednaine vidimo da ponaanje krive ODU(n) zavisi samo od

OR(PO*, n) i T(n), ije ponaanje moemo da vidimo na drugoj slici: - Kao to moemo videti, OR(PO*,n) opada ako se (n) povedava - to je vei uzorak, tj. to vie informacija

posedujemo to je oekivani rizik optimalne strategije manji. - S druge strane T(n) raste sa porastom (n) - to je vedi uzorak, to su naravno vedi i trokovi uzorkovanja tj.

prikupljanja i obrade informacija. Da bi odredili optimalnu veliinu uzorka moramo nadi ravnotenu taku izmeu ova dva konfliktna cilja:

- Dodajudi OR(PO*,n) na T(n) dobija se ukupni rizik za PO* za datu veliinu uzorka n. Ako se taj ukupni rizik od PO* obelei sa UR(PO*,n) tada imamo UR(PO*,n) = OR(PO*,n) + T(n).

- Kada n raste, oekivani rizik OR(PO*,n) de opadati, a trokovi uzorkovanja T(n) de rasti. To ukazuje da ukupni rizik UR(PO*,n) u poetku opada, a posle izvesne vrednosti (n*) poinje da raste. U toj taki (n*), ukupni rizik je minimalan i zbog toga se ta vrednost bira kao optimalna veliina uzorka.

n*

ODU(n)

OVIU(n)

T(n)

OVPI

n*

T(n)

OR(PO*,n)

UR(PO*,n)

22

3. ANALIZA RIZIKA Napomena: Analiza rizika de biti objanjena na problemu evaluacije projekta.

Rizik predstavlja mogudnost realizacije neeljene posledice nekog dogaaja. Rizik podrazumeva dve osnovne komponente:

1. Neeljenji gubitak ili posledicu; 2. Neizvesnost u odigravanju neeljenih posledica.

Analiza rizika se bavi neizvenodu koja postoji u posmatranom problemu. Ona obe zbeuje logiku

kvantitativnu proceduru u proceni neizvesnosti i evaluaciji projekata.

Kako se primenjuje analiza rizika? Predpostavimo da vrimo evaluaciju nekog projekta na osnovu profita koji de nam on doneti. Sada moemo da definiemo kritinu taku, kao granicu izmeu dobitka i gubitka. Iznad ove take projekat ostvaruje profit, a ispod nje dolazi do gubitaka. Poto je bududnost neizvesna i poto ne znamo koja de se od ove dve situacije ostvariti, mi odreujemo verovatnodu da li de projekat ostvariti dobitak ili gubitak. Verovatnoda da de se desiti neeljen dogaaj, odnosno verovatnoda da projekat nede ostvariti profit, predstavlja rizik. Na bazi te verovatnode se vri evaluacija projekta (ukoliko je verovatnoda da de se ostvariti gubitak veda od verovatnode dobitka, logino je da nedemo nastaviti sa realizacijom projekta, ali opet to zavisi i od preferenci donosioca odluke).

- Neeljeni dogaaj se ne mora samo definisati na osnovu profita. Neeljeni dogaaj moe biti i prekoraenje trokova, prekoraenje vremena izgradnje, preveliko zagaenje okoline i sl.

5.1. Scenario analize rizika - postupak primene analize rizika 1. Identifikovanje kriterijuma i relavantnih promenljivih - Primenjujudi tehniku analize rizika najpre je potrebno definisati kriterijmsku promenljivu tj. onu na osnovu koje

vrimo evaluaciju projekta (ved smo napomenuli da to moe biti profit, trokovi, zagaenje okoline i slino). - Koja de se kriterijumska promenljiva koristiti zavisi od vrste projekta koji se posmatra. Ako se radi o lansiranju

novog proizvoda logino je da demo odluku donositi na osnovu profita. S druge strane, ako se radi o projektu izgradnje saobradajnice (projekat koji nije namenjen za generisanje profita) odluku demo doneti na bazi trokova.

- U vedini sluajeva, vedi broj faktora utie na kriterijumsku promenljivu (na profit utiu potranja za proizvodom, veliina prodaje, trokovi proizvodnje, cena proizvoda, porezi itd.). Zbog toga je potrebno identifikovati i izmeriti sve faktore, koji po pravilu u sebi nose neizvesnost. Zato ih treba posmatrati kao sluajne promenljive.

2. Istraivanje mera zavisnosti - nezavisnosti - U prethodnom koraku smo ustanovili da kriterijumska promenljiva zavisi od nekoliko nazavisnih promenljivih,

izmeu kojih je mogude ustanoviti i funkcionalnu zavisnost tipa - Sada treba da odredimo da li su promenljive sa desne strane meusobno zavisne ili ne:

1. Ukoliko su sve promenljive sa desne strane nezavisne medjusobno (to bi bio idealna sluaj) onda bi koridenjem njihovih raspodela i raznih statistikih alata, jednostavno mogli da odredimo raspodelu verovatnodu same kriterijumske promenljive.

23

Identifikovanje kriterijuma i relevantnih

promenljivih

Istraivanje mera zavisnosti-

nezavisnosti

Dodela raspodela

verovatnoda relevantim

promenljivim

Ocena raspodela verovatnoda za kriterijumske promenljive

Monte Carlo simulacija

Raspodela verovatnoda za kriterijumske promenljive

Da li je ova raspodela zadovolja-

vajuda

Raspodela verovatnoda za kriterijumske promenljive

Evaluacija projekta

2. Ukoliko se neke od tih promenljivih meusobno zavisne, odreivanje raspodela varovatnode za kriterijumsku promenljivu je onda znatno tee i zahteva primenu Monte Carlo simulacije.

3. Dodela raspodela verovatnoa relevantnim promenljivim - Donosilac odluke moe koristiti sopstvena ubeenja i procene prilikom ocenjivanja

raspodela verovatnoda, jer je do objektivnih podataka izuzetno teko dodi. Mogude je koristiti i procene i miljenja eksperata iz pojedinih oblasti.

- Koridenje subjektivnih ulaznih podataka, kao integralnog dela procesa evaluacije je jedna od osobina analize rizika.

- Meutim, ukoliko raspolaemo objektivnim podacima postoji nekoliko metoda za ocenu raspodela verovatnoda:

1. Direktna metoda Podrazumeva ocenu pojedinanih verovatnoda za sve mogude rezultate. Moe se koristiti samo ako su raspodele verovatnoda diskretne i ako su rezultati koji se odnose na raspodele konani.

2. Parametarska metoda Poznato je da je svaka raspodela verovatnoda okarakterisana izvesnim parametrima. Kada znamo ili kada je mogude proceniti parametre raspodele verovatnode, tada je i sama raspodela poznata u potpunosti. Npr, normalna raspodela ima dva parametra (srednju vrednost i standardnu devijaciju ), eksponencijalna raspodela ima parametar , a uniformna raspodela parametre i .

3. Metoda ocene pet taaka

Ovom metodom se najpre ocenjuje pet vrednosti odreene promenljive: najmanja, 25%, 50%, 75% i najveda a potom se odreuje odgovarajuda kumulativna raspodela verovatnoda.

4. Delphi metoda - Metoda za struktuiranje procesa grupnih komunikacija takvih da se proces smatra

efektivnim ako omogudava grupi pojedinaca, kao celini da reava sloeni problem. - Od lanova grupe se na prvom sastanku trai da pojedinano daju miljenje i razloge

za svoju procenu o vrednosti parametara raspodele. Informacija se prikuplja i obrauje, a ako je postignut konsenzus proces se nastavlja. Ako nije kopija obrade se dostavlja svakom pojedincu koji treba da izvre reviziju svojih procena. Proces se nastavlja kroz vie iteracija dok se ne doe do konsensusa.

Primer 1 - Ako poznajemo ili moemo proceniti srednju vrednost ekonomske mere povradaja i njenu standardnu

devijaciju , moemo u potpunosti opisati stohastiko ponaanje ekonomske mere povradaja sredstava.

Primer 2 Ako poznajemo pesimistiku, najverovatniju i optimistiku procenu trokova konstrukcije, moe se oceniti i

odgovarajuda trouglasta raspodela verovatnoda.

DA

NE

24

4. Ocena raspodela verovatnoa za kriterijumske promenljive Poznato je da kriterijumska promenljiva zavisi od vedeg broja drugih, po pravilu sluajnih promenljivih:

Tim promenljivim je mogude dodeliti raspodele verovatnoda koristedi neku od prethodno objanjenih metoda. Sada raspodelu kriterijumske promenljive odreujemo na slededi nain:

Promenljive sa desne strane su meusobno

nezavisne

1. Normalna, Binomna i Poissonova raspodela poseduju osobinu reproduktivnosti. To znai da ako sve promenljive sa desne strane imaju neku od pomenutih raspodela, onda de i kriterijumska promenljiva imati istu tu raspodelu.

2. Ako sve promenljive sa desne strane imaju eksponencijalnu raspodelu sa parametrom , tada de kriterijumska funkcija imati Gama raspodelu sa parametrima i n.

Nisu sve promenljive sa desne strane

meusobno nezavisne

- Ova situacija je znatno tea za izraunavanje raspodele kriterijumske promenljive - Najede se koristi Monte Carlo simulaciona tehnika za dobijanje raspodele

verovatnode kriterijumske promenljive.

5. Monte Carlo simulacija Monte Carlo tehnika je simulaciona tehnika koja koristi nekoliko uzoraka relevantnih promenljivih pri raznim stanjima i kombinuje rezultate radi generisanja raspodele verovatnode za kriterijumsku promenljivu. Raspodela koja se dobije mora da bude konzistentna sa uverenjima i procenama donosioca odluke. Kada se ona dobije, donosilac odluke moe da koristi punu informaciju koju u sebi nosi raspodela kriterijumske promenljive radi evaluacije projekta.

6. Evaluacija projekta Nakon izvrenih svih koraka dobili smo raspodelu verovatnoda kriterijumske promenljive. To znai da sada posedujemo informaciju o verovatnodi nastupanja neeljenog dogaaja tj. informaciju o mogudem riziku. Ukoliko smatramo da je projekat suvie rizian nedemo nastaviti dalje sa njegovom realizacijom , i obrnuto.

5.2. Tradicionalne metode za evaluaciju projekta - Ovde demo da opiemo neke tradicionalne metode za evaluaciju projekta kako bi kasnije mogli da ih uporedimo

za analizom rizika. - I ovde donosimo odluku na osnovu odabranog kriterijuma (recimo da se opet radi o profitu), koji zavisi od vie

promenljivih (karakteristika). Samo to ovde rukovodilac projekta procenjuje najverovatnije vrednosti spomenutih promenljivih (na osnovu svog iskustva, znanja, predpostavki..) i onda samo izrauna vrednost kriterijuma (profita) na osnovu koga donosi odluku. Ukoliko je dobijena vrednost profita pozitivna, projekat de biti prihvaden.

25

1. Konzervativna metoda prilagoavanja Kod ove metode je rukovodilac projekta zabrinut zbog rizika vezanog za sam projekat, pa ne koristi nabolje (najverovatnije) procene promenljivih, ved one malo konzervativnije (rigoroznije). Rukovodilac eli da sazna da li de projekat biti prihvatlji i sa ovim konzervativnim procenama.

2. Pesimistiko-optimistika metoda Kod ove metode se koriste pesimistike, najverovatnije i optimistike procene za sve ili samo neke promenljive koje su relevantne za projekat. Pesimistika procena se odnosi na zbivanje neeljenih posledica, a optimistika se odnosi na zbivanje eljenih posledica. To znai da rukovodilac projekta izraunava pesimistiku, najverovatniju i optimistiku vrednost kriterijuma na osnovu koga donosi konanu odluku.

3. Rizik-popust metoda Podrazumeva koridenje kamatne stope koja treba da reflektuje stepen rizika koji se odnosi na posmatrani projekat. to je rizik vedi, bide veda i kamatna stopa. Ovde rukovodilac projekta u proraun ubacuje vedu kamatnu stopu nego to realno jeste, i posmatra efekte ove promene na vrednost profita od projekta.

4. Metoda oekivane novane vrednosti Krieterijum oekivane novane vrednosti (ONV) je ranije detaljno objanjen. Ovde se koristi tako to se odabira projekta sa najvedom oekivanom novanom vrednodu. Poto ovakav odabir nije pouzdan i moe dovesti do izbora projekta sa neeljenim posledicama, preporuljivo je i ukljuivanje standardne devijacij e (ukoliko nam je ta informacija na raspolaganju) u proces evaluacije projekta.

5. Metoda oekivanje-varijansa Procedura metode oekivanje-varijansa podrazumeva ukljuenje u evaluaciju projekta i oekivane vrednosti i standardne devijacije. Za svaki projekat se rauna veliina V definisana kao: V = - A gde su:

V vrednost: oekivanje-varijansa, oekivana novana vrednost, standardna devijacija,

A koeficijent averzije prema riziku, pri emu je on jedank A = *k()+ , gde je k f-ja korisnosti.

Projekat de biti prihvaden ako je V0, dok je u sluaju izbora izbeu vie projekata najbolji onaj koji ima maksimalnu vrednost za V.

5.3. Prednosti i mane analize rizika Prednosti: Primena analize rizika obezbeuje:

1. Koridenje procenjenih raspodela svih relevantnih promenjivih koje utiu na kriterijumsku promenljivu, odreivanje raspodele verovatnode te iste kriterijumske promenljive i mogudnosti primene pune informacije sadrane u raspodeli u cilju evaluacije projekta. Zbog toga je za evaluaciju projekta analiza rizka mnogo pogodnija nego metode koje evaluacioni proces baziraju samo na pojedinanim ocenama.

2. Efektivan nain uklapanja subjektivnih ulaza u proces analize. 3. Okvir za identifikovanje faktora koji utiu na projekat. 4. Efikasnu komunikaciju izmeu vie ljudi (ukljuenih u evaluaciju projekta) koje moraju meusobno

saraivati u procesu procenjivanja raspodela verovatnoda.

Mane: Sama evaluacija projekta se vri na osnovu raspodele verovatnode kriterijumske promenljive, koje smo dobili putem analize rizka. Donosilac odluke ne razmatra odreene posledice projekta eksplicitno na formalan nain. On moe imati svoje preference za neke posledice, ali ih ne procenjuje na osnovu funkcija preferenci ili funkcija korisnosti. Zbog toga ih ne moe ukljuiti u analizu i evaluaciju projekta.

26

4. TEORIJA KORISNOSTI Oslanjanje iskljuivo na statistiku moe biti nepogodno jer se nede uvek dobiti prihvatljivi rezultati. Donosilac odluke, bazirajudi svoje odluke samo na statistici, moe biti podstaknut da napravi izbore koji nisu u skladu sa njegovim psiholokim perferencama i odnosom prema riziku. Donoenje odluke je zavrni in procesa odluivanja i njime se verifikuje sav obavljeni pripremni posao. To je posao koji izvrava sam donosilac odluke i koji je iz tog razloga optereden dozom subjektivizma. Naime, razliite linosti suoene sa situacijama vrenja izbora mogu razliito reagovati iz vie razloga, a neki od njih su:

1. Davanje prednosti nekoj alternativi moe zavisiti iskljuivo od ukusa pojedinca; 2. Razne linosti mogu razliito proceniti verovatnodu nastupanja dogaaja; 3. Ono to je za jednu osobu velika dobit ili veliki gubitak, za drugu moe znaiti samo malenkost.

ta je korisnost: Predstavlja numeriki iskaz ukusa ili preferenci donosioca odluke prema odreenim vrednostima, koja se formira u situacijama suoavanja DO sa rizikom.

4.1. Funkcija korisnosti Funkcija korisnosti - karakterie stav donosioca odluke prema problemu donoenja odluke pri riziku i neizvesnosti.

Oblici funkcije korisnosti

1. Kada je f-ja korisnosti donosioca odluke konkavnog oblika, onda je re o osobi sa averzijom prema riziku.

2. Kada je f-ja korisnosti donosioca odluke konveksnog oblika, onda je re o osobi koja rado ulazi u rizik, odnosno o osobini sklonosti ka riziku.

3. Postoji situacija kada je donosilac odluke sklon riziku pri manjim novanim iznosima, ali se potom ponaa saglasno averziji prema riziku.

Korisnost

Novana vrednost

Korisnost

Novana vrednost

Korisnost

Novana vrednost

27

4.2. Matematike funkcije u teoriji korisnosti U realnim problemima odluivanja est je sluaj da krive koje predstavljaju funkcije korisnosti podleu nekoj matematikoj zakonitosti, to je vrlo korisna osobina, zbog povedane preciznosti koja se tom prilikom ostvaruje. Matematike krive, koje se najede javljaju u praksi, su eksponencijalna, kvadratna i naroito logaritamska funkcija.

Eksponencijalna funkcija korisnosti

ili

gde su:

x dimenzija vrednosti k pozitivna const. e = 2,71828

Averzija prema riziku:

gde su:

K(x) i K(x) - prvi i drugi izvod funkcije korisnosti

Logaritamska funkcija korisnosti

gde su: x dimenzija vrednosti b const.

Kvadratna funkcija korisnosti

K(x) = a + bx cx

gde su: x dimenzija vrednosti a,b,c const. pri emu je c>0

28

4.2. Vieatributivna teorija korisnosti Atribut - sredstvo merenja (evaluacije) nivoa dostizanja nekog kriterijuma, odnosno cilja. Donoenje odluka u prisustvu viestrukih, obino protivrenih kriterijuma, podrazumeva pristup tzv. viekriterijumskog odluivanja. Jedan specifian deo viekriterijumskog odluivanja ini vieatributivna teorija korisnosti koja de ovde biti objanjena.

- S obzirom na kompleksnost vieatributivne funkcije korisnosti, cilj dosadanjeg teorijskog rada u ovoj oblasti je usmeren ka istraivanju mogudnosti pojednostavljenja procedure za njenu procenu. Osnove ovog teorijskog istraivanja su:

1. Modeli dekompozicije koristi 2. Vievalentne strukture preferenci 3. Analiza merenja indiferentnosti 4. Mere rizika 5. Nelinearna korisnost vremenskih preferenci grupnih odluka.

Model dekompozicije korisnosti

- Cilj ovog modela je da ustanovi aksiome nezavisnih atributa, koji bi dali izvesne funkcionalne forme. - Postoji vie modela dekompozicije.

1. Aditivna tj. zbirna dekompozicija korisnosti

gde je: Ki(Ai) - marginalna funkcija korisnosti definisana za atribut Ai ci - koeficijent koji garantuje konzistentnost merenja preko atributa.

2. Multiplikativna dekompozicija korisnosti

gde je: a const. koja zavisi od koeficijenata c1, c2, ..., cn.

3. Multilinearna dekompozicija korisnosti

Polazi od pretpostavke da je za svako i=1,2,...,n atribut Ai nezavisno koristan od ostalih atributa.

29

Vievalentne strukture preferenci

- Ovaj pristup se zasniva na podeli svakog atributa na klase, na osnovu ekvivalentnih, uslovnih nizova preferenci.

Analiza merenja indiferentnosti

- Neto bolje rezultate od dekompozicije korisnosti i vievalentne strukture preferenci daje analiza merenja

indiferentnosti, koja definie funkcionalni prikaz celog prostora ishoda i trai procenu samo jednoatributivnih marginalnih funkcija korisnost.

4.3. Struktura funkcije korisnosti

- U analizi vieatributivnih problema, znaajni problem je utvrditi da li je korisnost svakog atributa nezavisna od vrednosti ostalih atributa. Ako jeste, tada je problem procene korisnosti znatno laki.

- Promenljiva A1 je nezavisna u odnosu na A2, ako relativne preference od A1 nisu zavisne od vrednosti za A2.

- Nezavisnost izmeu A1 i A2 moe biti jednosmerna ili reciprona. Jedmosmerna nezavisnost je sluaj kada je korisnost jedne promenljive nezavisna od vrednosti druge, ali je korisnost druge zavisna od prve.

4.4. Metod vieatributivne korisnosti sa aditivnom formom

gde su: - kompozitna(aditivna) korisnost i-te akcije;

- teina (znaaj) j-tog atributa;

- pojedinana korisnost kombinacije i-te akcije i j-tog atributa.

Koraci:

1. Definisanje cilja problema; 2. Definisanje skupa atributa; 3. Rangiranje atributa; 4. Dodeljivanje teina pojedinim atributima; 5. Normalizovanje teina (ako je potrebno); 6. Definisanje graninih vrednosti (ogranienja) za sve atribute; 7. Definisanje krivih korisnosti za svaki atribut; 8. Enumeracija performansi atributa za svaku posmatranu akciju - kreiranje matrice performansi atibuta, u

kojoj vidimo stepen zadovoljenja ogranienja (definisanih u koraku 6) za svaki atribut; 9. Pretvaranje vrednosti performansi atributa (iz koraka 8) u odgovarajude korisnosti za akcije koje nisu

eliminisane na osnovu naruavanja ogranienja iz koraka 6; 10. Raunanje kompozitne korisnosti za svaku alternativu; 11. Biranje alternative sa maksimalnom kompozitnom sigurnodu.

30

5. FUZZY (UPAVI) SISTEMI

- Teorija Fuzzy skupova predstavlja pogodan matematiki aparat za modeliranje razliitih procesa u kojima dominira neizvesnost, vieznanost, subjektivnost, neodreenost. Prvi rad posveden fuzzy skupovima objavio je 1965. ameriki profesor Lotfi Zadeh.

- Teorija fuzzy skupova omogudava tretiranje onih nedovoljno preciznih, tanih, kompletnih pojava koje se ne mogu modelirati samo teorijom verovatnode ili intervalnom matematikom.

- Kada neodreenost potie od nepreciznosti u komunikacij meu ljudima ovakve se neodreenosti modeliraju teorijom fuzzy skupova.

5.1. Osnovni pojmovi iz teorije upavih skupova

- Za razliku od klasine teorije skupova, koja veoma precizno definie granicu koja razdvaja elemente koji pripadaju odreenom skupu od elemenata koji mu ne pripadaju, teorija fuzzy skupova nedovoljno dobro definie granicu razdvajnja.

Definicija fuzzy skupa

- Fuzzy skup A se definie kao skup ureenih parova {X, A(x)}, gde je:

X - konaan skup X=x1+x2++xn (+ oznaava uniju elemenata, a ne sabiranje), A(x) - funkcija pripadnosti (stepen pripadnosti elementa x skupu A).

- Pripadnost elemenata x skupu A se u teoriji fuzzy skupova opisuje funkcijom pripadnosti A(x) na slededi nain:

- Funkcija koja moe uzeti bilo koju vrednost iz intervala *0,1+. Ukoliko je vede, utoliko ima vie istine

u tvrenju da x pripada skupu A.

Skup A i elementi x, y, z i p - Kada je skup X konaan skup (kao u polaznoj predpostavci), fuzzy skup A definisan na njemu se prikazuje u

obliku:

- U sluaju da X nije konaan skup, fuzzy skup se definie kao:

x* z*

y*

p*

Na slici se moe se videti da je A(x) = 1, A(y) = 1, A(z) = 1 i A(p) = 0

31

Osnovne osobine fuzzy skupova

1. Jednakost fuzzy skupova

Fuzzy skupovi A i B, definisani na skupu X, su jednaki (A=B) akko za svako vai 2. Podskup fuzzy skupova

Fuzzy skup A je podskup fuzzy skupa B )( BA akko za svako vai

3. Visina fuzzy skupa Predstavlja najvedu vrednost stepena pripadnosti .

4. Normalizovan fuzzy skup Ima stepen pripadnosti bar jednog svog elementa jednak 1, tj. visina tog fuzzy skupa je jednaka 1.

5. Komplementnost fuzzy skupa

Komplement fuzzy skupa A je fuzzy skup , takav da je . 6. Konveksnost fuzzy skupa

Fuzzy skup A je konveksan akko vai , za svako , i za svako

Operacije nad fuzzy skupovima - Presek fuzzy skupova A i B je najvedi fuzzy skup koji se istovremeno sadri u A i B tj.

- Unija fuzzy skupova A i B je najmanji fuzzy skup koji istovremeno sadri i A i B tj.

- Dekartov proizvod fuzzy skupova A1, A2, ..., Ai definisanih na skupovima X1, X2, ..., Xi respektivno, je fuzzy skup koji se oznaava kao A1*A2, ...*Ai , sa funkcijom pripadnosti:

Fuzzy relacija: Fuzzy skup definisan na A*B, pri emu ureeni parovi (a,b) pripadaju tom skupu sa stepenom pripadnosti koji se nalazi u intervalu od 0 do 1 pradstavlja fuzzy relaciju izmeu skupova A i B.

5.2. Fuzzy broj - Fuzzy broj predstavlja normalizovan i konveksan fuzzy skup koji karakterie interval poverenja [a1, a2] i stepen

sigurnosti ( moe biti u intervalu *0,1+).

a1 a2

1

32

a1 a2 a3

1

Osnovni oblici fuzzy broja

1. Trouglasti fuzzy broj je uslovljen oblikom funkcije pripadnosti i definisan je oblikom A = (a1, a2, a3), gde su:

a1 donja (leva) granica fuzzy broja. a2 vrednost fuzzy broja sa najvedim stepenom pripadnosti i a3 gornja (desna) granica fuzzy broja.

2. Trapezoidni fuzzy broj je definisan oblikom A = (a1, a2, a3, a4), sa oblikom prikazanim na slici

- Nad fuzzy brojevima su definisane i osnovne operacije: sabiranje, oduzimanje, mnoenje i deljenje, tako da za rasplinute brojeve sa stepenom sigurnosti : i , vai:

gde je

5.3. Fuzzy matametiko programiranje - Predpostavimo da u nekom optimizacionom problemu postoji jedna ili vie kriterijumskih funkcija. - Oznaimo sa G fuzzy skup definisanosti skupa kriterijumskih funkcija, a sa C fuzzy skup definisanosti

skupa ogranienja. Neka su fuzzy skupovi G i C definisani na skupu X. - Reenje datog problema je fuzzy skup D koji istovremeno zadovoljava i skup kriterijumskih funkcija i skup

ogranienja tj. predstavlja presek skupova G i C (vidi sliku). - Funkcija pripadnosti skupa D glasi . g

a1 a2 a3

1

a4

b a xf

C(x) G(x)

D(x)

1

- Neka je definisana funkcija cilja iskazana tenjom da se eli postidi da x bude znatno vede od b. Zbog skupa ogranienja sa druge strane more da bude ispunjen uslov da x treba da bude manje od a. Podsetimo se da je cilj okarakterisan fuzzy skupom G, a ogranienje fuzzy skupom C.

- Finalno reenje treba traiti iz skupa D, i skup finalnih reenja je definisan slededim oblikom:

33

5.4. Fuzzy linearno programiranje

- Prilikom reavanja primera fuzzy linearnog programiranja (LP), mogudi su slededi sluajevi: 1. Kada su fuzzy brojevi slobodni lanovi u ogranienjima 2. Kada su fuzzy brojevi koeficijenti u ogranienjima 3. Kada su fuzzy brojevi koeficijenti u funkciji cilja (kriterijuma).

- Zadaci koje demo ovde obraditi se poklapaju zadacima Linearnog programiranja koje smo radili iz

Operacionih Istraivanja. Jedina razlika je to se ovde u okviru ogranienja ili funkcije cilja javljaju fuzzy brojevi, to ceo postupak reavanja zadataka Linearnog programiranja ini malo komplikovanijim.

- Kao i kod operacionih istraivanja i ovde demo imati dopustivo i optimalno reenje, samo to de ovde ta reenja predstavljati fuzzy skupove: dopustivo fuzzy reenje i optimalno fuzzy reenje.

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao slobodni lanovi u ogranienjima Postavka zadatka: Treba odrediti X=(x1, x2, ..., xn) tako da se makzimzira funkcija cilja:

p.o.

Korak 1: Odrediti funkcije pripadnosti fuzzy brojevima za svako ogranienje Kao to vidimo u ovom zadatku se fuzzy brojevi bi nalaze sa desne strane ogranienja, i kao prvi korak treba da odredimo funkcije pripadnosti ovim fuzzy brojevima za svako ogranienje. Fuzzy broj koji bi odgovarao slobodnom lanu ogranienja bi se moe izraziti kao fuzzy skup manje od priblino b i, odnosno funkcija pripadnosti fuzzy broju ogranienja ima slededi oblik i izgled:

Korak 2: Odrediti dopustivo renje Za proizvoljno reenje X=(x1, x2,..., xn) mogu se izraunati vrednosti sa leve strane u sistemu ogranienja, i to na slededi nain:

Zatim je mogude izraunati stepen zadovoljenja i-tog ogranienja koji odgovara reenju x, kao funkciju pripadnosti fuzzy skupu manje od priblino bi .

1

Bi(x)

bi bi + pi

34

Na taj nain je na Dekartovom proizvodu Rn definisan fuzzy skup d koji odgovara stepenu zadovoljenja i-tog ogranienja.

Dopustivo reenje celog problema je fuzzy skup u kome se funkcija pripadnosti rauna na osnovu stepena zadovoljenja pojedinanih ogranienja. To je skup D koji predstavlja presek svih fuzzy skupova manje od priblino bi.

Korak 3: Odrediti optimalno reenje - Da bi sada odredili optimalno reenje, odnosno stepen pripadanja dopustivog reenja x fuzzy skupu optimalno

reenje, potrebno je izraunati najvedu (ZU) i najmanju (ZL) vrednost kriterijumske funkcije Z. - Gornja granica ZU se dobija kada se rei klasian zadatak LP u kome se na desnim stranama ogranienja umesto

fuzzy brojeva bi nalaze njihove najvede dozvoljene vrednosti bi + pi. - Donja granica ZL se dobija kada se rei klasian zadatak LP u kome se na desnim stranama ogranienja nalaze

vrednosti bi . - Sada moemo da odredimo funkciju pripadnosti skupu optimalno fuzzy reenje, koja ima slededi oblik: Napomena: Definisana funkcija cilja je oblika z = cx, pa je onda g(z)= g(x).

Korak 4: Odrediti konano reenje Konano reenje ovog zadatka je ono koje je u navedoj meri dopustivo i optimalno, tj. ono koje ima najvedu mogudu pripadnost preseku fuzzy skupova dopustivo i optimalno reenje. Praktino, treba da nadjemo x tako da slededa funkcija bude maksimalna:

Korak 5: Formulisati klasian zadatak linearnog programiranja Ovaj ceo zadatak fuzzy linearnog programiranja, sada moemo da formuliemo kao klasian LP zadatak na slededi nain:

p.o.

1

ZL ZU Z

g(Z)

35

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao koeficijenti u ogranienjima U ovom tipu zadatka, za koeficijente u ogranienjima (A) i za slobodne lanove ogranienja (B) se kroiste trouglasti fuzzy brojevi definsani sa tri take:

A=(lij, sij, dij) - fuzzy broj koji predstavlja koeficijente B=(pi, qi, ri) - fuzzy broj koji predstavlja slobodne lanove

Postavka zadatka: Treba odrediti X=(x1, x2, ..., xn) tako da zadovoljava funkciju cilja:

p.o.

Podsetimo se ranije iznetog stava o poreenju fuzzy brojeva:

- Ako su A i B fuzzy brojevi onda je A B ako i samo ako je .

Kako su u ovom zadatku i leva i desna strana ogranienja fuzzy brojevi, koridenjem pravila mnoenja fuzzy brojeva konstantom i stav o poreenju trouglastih fuzzy brojeva, ovaj zadatak se direktno transformie u standardni LP u kome treba odrediti X=(x1, x2, ..., xn) tako da:

p.o.

36

Zadatak fuzzy LP kada se fuzzy brojevi pojavljuju kao koeficijenti u funkciji cilja Za definisanje koeficijenata u funkciji cilja fuzzy modela, najede se koristi trapezoidni fuzzy broj koji se opisuje sa etiri take Cj = (cjl, cj1, cj2, cjd). Postavka zadatka: Treba odrediti X=(x1, x2, ..., xn) tako da se makzimzira funkcija cilja:

p.o.

Korak 1: Oblik konane vrednosti funkcije cilja, imajudi u vidu da su njeni koeficijenti trapezoidni, bide takoe trapezoidni fuzzy broj:

p.o.

Korak 2: Definisani jednokriterijumski model se prevodi u viekriterijumski model (ogranienja ostaju ista) prevashodno zbog taaka koje su opisale trapezoidni fuzzy broj. Ovakav model se reava nekom od metoda vieciljnog odluivanja. Predlae se Metoda teinskih koeficijenata koja zahteva aktivno uestvovanje DO u proceduri reavanja problema i definisanja vektora preferenci po svakoj kriterijumskoj funkciji, pa opti model ima slededi oblik:

5.5. Fuzzy logika Fuzzy logika kao osnova fuzzy sistema omoguduje donoenje odluka na osnovu nepotpunih informacija, a modeli zasnovani na fuzzy logici se sastoje od tzv. IF-THEN pravila.

Ulazne promenljive u fuzzy sisteme predstavljaju tzv. lingvistike promenljive (mali broj ljudi u redu, dugo vreme ekanja, visoka cena itd.). Izlazni rezultat se daje u kontinulanoj formi. Svim mogudim vrednostima izlazne promenljive se pridruuje odgovarajudi stepen pripadnosti. Na osnovu stepena pripadnosti pojedinih vrednosti izlazne promenljive vri se defazifikacija tj. izbor jedne vrednosti izlazne promenljive.

Fuzzy logika se najede koristi za modeliranje sloenih sistema u kojima je primenom drugih metoda veoma teko utvrditi meuzavisnosti koje postoje izmeu pojedinih promenljivih u modelu.

37

Primer: IF-THEN pravilo IF vrednost promenljive x VELIKA THEN vrednost promenljive y MALA

5.6. Grubi skupovi Koncept gurbih skupova se zasniva na predpostavci da se svaki objekat opisuje pomodu svojih podataka. I ako vie objekata moemo opisati pomodu istih podataka, onda su oni nerazberivi tj. meusobno slini, nerazdvojivi, ekvivalentni. Relacija nerazberivosti predstavlja matematiku osnovu teorije grubih skupova. Predpostavimo da se poseduju osnovne informacije o objektima Univerzuma. Na osnovu ovih informacija se formiraju relacije nerazberivosti nad objektima Univerzuma. Bilo koji skup nerazberivih objekata se naziva elementarni skup, a bilo koji skup elementarnih skupova formira ili precizan ili grubi skup. Dakle, grubi skup predstavlja skup objekata, kao delova Univerzuma, povezanih relacijama nerazberivosti (oznaavaju se sa I). Ovde je bitno naglasiti da se svaki grubi skup ima svoje granine elemente, tj. one objekte Univerzuma koji ne mogu sa sigurnodu da se klasifikuju kao lanovi skupa ili njegovog komplementa. Takoe, svaki grubi skup se karakterie parom preciznih skupova nazvanih donja i gornja aproksimacija. Donja aproksimacija sadri sve objekte koji sigurno pripadaju skupu, a gornja aproksimacija sadri sve objekte koji verovatno pripadaju skupu, tj. za koje se ne moe sa sigurnodu redi da li pripadaju skupu ili ne (granini elementi).

Osnovne operacije teorije grubih skupova - Dve osnovne operacije grubih skupova su donja i gornja aproksimacija, gde je U konaan skup objekata nazvan

Univerzum, a x je podskup U:

- Razlika izmeu gornje i donje aproksimacije je granina oblast grubog skupa BN I(X). Ako je granina oblast

prazan skup (BNI(X)=0), onda X predstavlja precizan skup, a ako granina oblast nije prazan skup, X predstavlja grubi skup.

- Moemo zakljuiti da to je granina oblast skupa veda, to je skup vie grub.

Neke od osobina navedenih aproksimacija:

1. 2. 3. 4.

5. Ako je onda je , i 6. 7. 8. 9.

38

Funkcija grube pripadnosti

Kao to je ved reeno, za granine elemente jednog grubog skupa se ne moe sa sigurnodu redi da li pripadaju tom skupu ili ne. Funkcija grube pripadnosti predstavlja koeficijent koji izraava pripadanje graninog elemenata x grubom skupu. F-ja grube pripadnosti se moe definisati preko relacije nerazberivosti I i ima slededi oblik:

Funkcija grube pripadnosti moe uzeti vrednosti iz skupa (0,1) na slededi nain:

- Ako je