Student:

Danijel Rujević 223/06

Teorija izrTeorija izračunljivostiačunljivosti

Profesor:

Zoran Ognjanović

Svojstva regularnih jezikaSvojstva regularnih jezika

Teorema 1Teorema 1

• Klasa regularnih jezika je zatvorena za:Klasa regularnih jezika je zatvorena za:

• uniju,uniju,

• presek,presek,

• nadovezivanje,nadovezivanje,

• zatvorenje (Klinijevu zvezdicu) izatvorenje (Klinijevu zvezdicu) i

• komplementiranje.komplementiranje.

DokazDokaz

• UnijaUnija– Ako imamo dva regularna jezika iAko imamo dva regularna jezika i– I odgovarajuI odgovarajuće nedeterminističke automate će nedeterminističke automate

i i

– – tada posmatramo kon. autom. tada posmatramo kon. autom.

takav da važi i takav da važi i– automat automat MM nedeterministički bira da li da nedeterministički bira da li da

pređe u stanje ili pa oponaša rad ili pređe u stanje ili pa oponaša rad ili – odatle je jasno da akkoodatle je jasno da akko

)( 1ML )( 2ML

11111 ,,,, AFsSM 22222 ,,,. AFsSM 21 SS

21 SSS )},,(),,,{( 2121 SSSS ,,,},{ 2221 AFFssSSM

1S 2S 1M 2M

)()( 21 MLML )(ML

DokazDokaz

• NadovezivanjeNadovezivanje– identično kao malopre definiše se novi kon. identično kao malopre definiše se novi kon.

aut. aut. MM na osnovu i na osnovu i – ali ovde će iz završnog stanja preći u ali ovde će iz završnog stanja preći u

početno stanje . To će izvesti čitanjem početno stanje . To će izvesti čitanjem prazne reči.prazne reči.

1M 2M

1M

2M

DokazDokaz

• ZatvorenjeZatvorenje– neka je za novi neka je za novi

automat izgleda ovako automat izgleda ovako – f-jaf-ja prelaza se definiše tako što se iz prelaza se definiše tako što se iz čitanjem čitanjem

prazne reči prelazi u pošto je stanje prazne reči prelazi u pošto je stanje ujedno i završno možemo pročitati praznu reč.ujedno i završno možemo pročitati praznu reč.

)( 1MLL 11111 ,,,, AFsSM ,},{,},{ 11 AsFssSM

s1s s

DokazDokaz

• KomplementiranjeKomplementiranje– neka je za , tada neka je za , tada

komplement jezika se prihvata komplement jezika se prihvata automatom automatom

)( 1MLL 11111 ,,,, AFsSM LA \* L11111 ,,\,, AFSsSM

DokazDokaz

• PresekPresek– Zatvorenost za presek je posledica Zatvorenost za presek je posledica

zatvorenosti za uniju i komplement, odnosnozatvorenosti za uniju i komplement, odnosno:: ))\*()\*\((* 2121 LALAALL

Teorema 2Teorema 2

• Svaki regularan jezik se moSvaki regularan jezik se možže dobiti e dobiti konakonaččnim brojem primena operacija unije, nim brojem primena operacija unije, nadovezivanja i Klinijeve zvezdice na nadovezivanja i Klinijeve zvezdice na konakonaččne jezike.ne jezike.

DokazDokaz

• Neka je regularan jezik i Neka je regularan jezik i i konačni automat tako da je . i konačni automat tako da je . Uvodimo skupove svih reči , Uvodimo skupove svih reči , tako da se iz tako da se iz stanjastanja uuččitavanjem reitavanjem rečči i prelazi u stanje prelazi u stanje , a da se pri tom ne na, a da se pri tom ne nađđe e u stanjuu stanju za za

• tačnije itačnije i

• Kako važi , važi i polazno Kako važi , važi i polazno tvrđenje.tvrđenje.

L ,,,},,...,{ 11 AFqqqM n

)(MLL kjiR , *A

iq jq

lq kl k

jkk

kkkkiji RRRR ,11,11,

0, *)( )*)(( ,11,11,,

1,

kjk

kkk

kki

kji

kji RRRRR

njFq RML

i ,1)(

Jezici koji nisu regularniJezici koji nisu regularni

Teorema 3 (pumping lemma)Teorema 3 (pumping lemma)

• Neka je beskonačan regularan jezik. Neka je beskonačan regularan jezik. Tada postoje reči Tada postoje reči xx, , yy i i zz tako da važi tako da važi i za svaki .i za svaki .

• PoPoššto regularnih jezika ima prebrojivo to regularnih jezika ima prebrojivo mnogo, a svih jezika neprebrojivo, jasno jemnogo, a svih jezika neprebrojivo, jasno je da postoje jezici koji nisu regularni. Ova da postoje jezici koji nisu regularni. Ova teorema nam daje kriterijum za teorema nam daje kriterijum za utvrđivanje da jezik nije regularan.utvrđivanje da jezik nije regularan.

Ly

0kLzxyk

DokazDokaz

• Neka je Neka je deterministideterminističčki ki konakonaččni automat sani automat sa nn stanja za koji je stanja za koji je

• Pošto je Pošto je LL beskonačan, postoji reč beskonačan, postoji reč da je da je

• NajduNajdužži put u konai put u konaččnom automatu u kome nom automatu u kome se svaki se svaki ččvor javljavor javlja najvinajvišše jednom sadre jednom sadržži i najvinajvišše e n−1 n−1 ivicu, pa se prilikom ivicu, pa se prilikom prihvatanja prihvatanja automatautomat mora naći bar dva mora naći bar dva puta u istom stanju.puta u istom stanju.

• Označimo to stanje sa . Označimo to stanje sa . ZnaZnačči da postojii da postoji podrepodrečč yy re reččii koja kad se čita od stanja koja kad se čita od stanja dolazi u nekom trenutku ponovo do njega. dolazi u nekom trenutku ponovo do njega.

,,,},,...,{ 11 AFqqqM n

)(MLL aa ...1

n

q q

DokazDokaz

• odatle možemo predstavitikao tako odatle možemo predstavitikao tako dada

• TakoTakođđe je oe je oččigledno da isti automatigledno da isti automat prihvata i reprihvata i reččii bez prolaženja kroz bez prolaženja kroz petlju petlju (q(q) za ) za kk=0=0, a proizvoljan broj puta , a proizvoljan broj puta za kza k>0>0..

xyzFqqzqzqyzqyzqqy MMM '),,'(|),(),,(|),(),,(|),(, 1

zxyk

PrimerPrimer

• Imamo jezik koji je beskonačan. Imamo jezik koji je beskonačan. Kada bi ovaj jezik bio regularan važilo biKada bi ovaj jezik bio regularan važilo bi za i proizvoljne za i proizvoljne

• uzmimo da je , onda mora biti i uzmimo da je , onda mora biti i

• očigledno bi smo naduvavanjem ove reči očigledno bi smo naduvavanjem ove reči dobili reč sa više 0 nego 1, koj ne pripada dobili reč sa više 0 nego 1, koj ne pripada jeziku.jeziku.

• slično je i sa , a sa dobija se reč slično je i sa , a sa dobija se reč u kojoj se neke 1 nalaze levo od 0, tako ad ni u kojoj se neke 1 nalaze levo od 0, tako ad ni ona ne pripada jeziku ona ne pripada jeziku LL

}0:10{ nnn

Lzxyk 0k zyx ,,

qy 0 qx 1 srz 10

qy 1 qpy 10

Regularni izraziRegularni izrazi

DefinicijaDefinicija

• Regularni izrazi nad alfabetom Regularni izrazi nad alfabetom AA se se definišu na sledeći način:definišu na sledeći način:

• prazna reč prazna reč , prazan skup , prazan skup i svi znaci i svi znaci alfabeta alfabeta AA su regularni izrazi, su regularni izrazi,

• ako suako su i i regularni izrazi, regularni regularni izrazi, regularni izrazi suizrazi su

• regularni izrazi se dobijaju samo konačnom regularni izrazi se dobijaju samo konačnom primenom prethodna dva korakaprimenom prethodna dva koraka

*),(),(

• Regularni izrazi Regularni izrazi predstavljaju jedan vid za predstavljaju jedan vid za opis regularnih jezka, odnosno opis regularnih jezka, odnosno predstavljaju generatotre odgovarajućeg predstavljaju generatotre odgovarajućeg jezika.jezika.

• Prvila koja važe za pridruživanje Prvila koja važe za pridruživanje regularnog izraza jeziku suregularnog izraza jeziku su::

•

•

AaaaLLL }{)(,)(},{)(

*))((*)(),()()(),()()( LLLLLLLL

PrimerPrimer

• Izraz predstavlja generator Izraz predstavlja generator reči koje počinju na 0, iza čega idereči koje počinju na 0, iza čega ide k k znakova 0 ili znakova 0 ili l l z nakova 1 zaz nakova 1 za

• za njega važiza njega važi::

)1*)1*0((0

0, lk

0}.lk, : 101 1,{00

)L(1)*)·L(1*)L(0)·((L(0))L(1*))·L(1*)L(0)·((L(0

1*)·L(1))*L(0)·(L(01*)·1)*L(0)·L((01*)·1)*·((00(

lk

L

0}l k, : b{a*·({b})*({a}) **·L(b)L(a)*·b*)L(a lk

0}.n : {(ab) *({ab})}{(L(a·b))*}{ b)*) · L((a)L((a·b)*)L( n

Teorema 4Teorema 4

• Za svaki konačan jezik Za svaki konačan jezik LL postoji regularan postoji regularan izraz tako da je .izraz tako da je .

)(LL

Teorema 5Teorema 5

• Jezik L je regularan ako i samo ako postoji Jezik L je regularan ako i samo ako postoji regularan izrazregularan izraz tako da vaˇzi L = L(). tako da vaˇzi L = L().

PrimerPrimer

• Regularni izrazRegularni izraz predstavlja jezikpredstavlja jezik

• Izrazu se konaIzrazu se konaččni automat pridruni automat pridružžuje na uje na sledesledećći nai naččin:in:

*)( aabab*))()(()*)(( aabLabLaababL

aa

a fs

bb

b fs

bb

baa

a fsfs

'''''''' bb

baa

aaa

a fsfsfs

PrimerPrimer

''''''''

1

bb

baa

aaa

a

bb

baa

a

fsfsfs

s

fsfs

''''''''

1

bb

baa

aaa

a

bb

baa

a

fsfsfs

ss

fsfs

PrimerPrimer

• PočPočetno stanjeetno stanje je je ss, dok su zavr, dok su završšna stanja na stanja ss, , i i

TakoTakođđe je zbog dokazanih ekvivalentnosti e je zbog dokazanih ekvivalentnosti mogumogućće izvesti i obrnuto pridrue izvesti i obrnuto pridružživanje,ivanje, tj. tj. za svaki konaza svaki konaččan automat postoji an automat postoji ekvivalentan regularni izraz.ekvivalentan regularni izraz.

'bb ff