Teoria dos GrafosAula 7 - Conceitos Básicos

Profª. Alessandra Martins Coelho

março/2013

Distância entre vértices

• Caminho de menor comprimento capaz de ligar 2 vértces.

Índice de Wiener

• Uma das mais tradicionais aplicações da teoria de grafos no campo da química

• Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2.

Índice de Wiener

• Soma das distâncias entre todos os pares de vértices, dividido por 2.

Em (1) = 14

Em (2) = 33

Em (3) = 53

Grafo ciclo

• Um Grafo Cn é um grafo com n vértices formado por apenas um ciclo passando por todos os vértices.

Excentricidade ou afastamento –Ex(v)

• Ex(v) de um vértice v pertencente a N é a maior distância entre v e w, para todo w pertencente a N.

• Ela pode ser pensada como o quanto um nó édistante do nó mais distante dele no grafo.

Excentricidade ou afastamento –Ex(v)

• Qual a excentricidade de cada vértice?.

7

6

5

4

3

2

1ExcentricidadeVértice

Raio de G – Rad(G)

• É o menor valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N.

• Menor dos afastamentos

Diâmetro de G - Diam(G)

• É o maior valor de excentricidade para todo vértice v pertencente a N.

• Maior distância entre qualquer par de vértices. • Para achar o diâmetro de um grafo, primeiro encontre o

caminho mínimo entre cada par de vértices. O maior comprimento de qualquer um desses caminhos é o diâmetro do grafo.

Centro de G – Centro(G)

• É o subconjunto dos vértices de menor excentricidade.

• Conjunto de vértices nessas condições

Centro de G – Centro(G)

7

6

5

4

3

2

1

ExcentricidadeVértice

Centro de G – Centro(G)

• .

37

36

25

24

23

32

31

ExcentricidadeVértice

Mediana ou Centróide

• É um vértice para o qual a soma das distâncias aos demais vértices é mínima em relação a V.

• Existem problemas que tem como solução uma única mediana (um único vértice), chamada de 1-mediana.

Mediana ou Centróide• No município de Rio Pomba, um restaurante ficou responsável para fazer a

entrega do almoço aos funcionários de algumas empresas. A justificativa para tal atitude é que nessas empresas, muitos funcionários tem um curto espaço de tempo para o horário do almoço, pois fazem um horário diferenciado, tornando-se inviável que se desloquem das fábricas para fazer sua refeição. Sendo assim, o restaurante deve fazer a entrega dos almoços a cinco empresas, que estão distribuídas como na figura. O veiculo que faz a entrega é pequeno, tendo o motorista que ir e voltar a cada entrega para reabastecer o veículo.

• O gerente do negócio, preocupado com os gastos, deseja descobrir qual é o melhor local para se instalar. Vamos admitir que a instalação do restaurante possa ser feita em qualquer um destes pontos ou muito próximos a eles, de forma que a soma das distâncias percorridas para fazer as entregas dos almoços seja a menor possível.

Mediana ou Centróide

• Solução:

• obter a matriz das distâncias mínimas do grafo.

• fazer a soma de todas as linhas, e verificar em qual delas ocorre a menor soma, se este valor mínimo ocorre na linha i então este será o ponto onde podemos instalar o negócio, com a melhor opção de forma a minimizar a soma dos caminhos.

Mediana ou Centróide

• Solução:

Mediana ou Centróide• Problema 2 – Considere-se o grafo abaixo, que

representa uma área urbanizada de uma cidade, onde se deseja instalar uma “facility”. Uma comissão estuda o melhor local para instalar um deposito de mercadorias, a fim de abastecer diversos clientes, de forma que a distância percorrida para atende-los seja a menor possível. Já que os meios de transporte são de pequeno porte, para cada entrega o veículo sai do depósito, descarrega e retorna para reabastecer. Os vértices a, b, c, d e e representam os clientes, ou seja, pontos onde demandas de serviços são geradas diariamente e são indicadas através dos valores entre parênteses próximos aos vértices de onde são originados. O comprimento dos vários segmentos são indicados em km, representando a distância de uma localidade a outra. Onde deveria estar localizado este depósito de mercadorias, para minimizar a média da soma das distâncias?

Mediana ou Centróide

• Solução: • construir a matriz dos caminhos mínimos

entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir.

• Com a matriz já montada, devemos multiplicar cada coluna pelo peso do vértice j, e ainda fazer a soma de todas as linhas. O resultado destas operações pode ser observado na matriz D(1).

Mediana ou Centróide

• Solução: • construir a matriz dos caminhos mínimos

entre todos os pares de vértices. Esta matriz esta apresentada a seguir.

Mediana ou Centróide

Anticentro

• É um vértice cuja menor distância em relação a algum outro vértice é máxima

Corte

• É uma operação que, através da remoção de vértices ou da remoção de arestas, resulta no aumento do número de componentes conexas de G.

• Alguns autores associam o conceito de corte somente à remoção de arestas

Corte em Vértices

• O conjunto minimal de vértices cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas

Corte em Arestas

• Conjunto minimal de arestas cuja remoção torna G desconexo e composto por duas componentes conexas

Matriz de corte

• É a matriz obtida pelas condições: qij = 1 se a aresta j pertence ao corte i e qij =0 caso contrário.

Matriz de Cortes Fundamentais

• Dado um subgrafo gerador conexo e acíclio de G, isto é, uma árvore geradora T de G, um corte fundamental em G éaquele que remove apenas uma aresta de T.

Bloco

• É um subgrafo 2-conexo maximal ou um subgrafo maximal formado por uma aresta.

• Um subgrafo de G é um bloco quando:– For não separável – não pode ser tornado desconexo

pela eliminação de um vértice;– For maximal em G.

Rank de um grafo - r

• O rank ou posto de um grafo G com n vértices e c componentes conexas é dado por

• r = n-c

Nulidade de um Grafo - r

• Nulidade L de um grafo G com m arestas, n vértices e c componentes conexas, édefinida como:

• L=m-n+c-m-r

Número ciclomático

• O número ciclomático ou rank de ciclos éo menor número de arestas que devem ser removidas de G para que o mesmo não apresente ciclos.

• γ=m-n+1

Grafo bipartido

• Um grafo G é bipartido quando seu conjunto de vértices N pode ser dividido em dois conjunto N1 e N2, tais que

N1 ∩ N2 =∅ e N1 ∪ N2 = N e somente existem arestas em G ligando algum vértice de N1 com algum vértice de N2 e vice-versa

Grafos 3-partidos

Grafo Completo - Kn

• Um Grafo G é completo se existe uma aresta associada a cada par de vértices de G.

• No caso orientado isso significa a existência de um arco para cada par ordenado de vértices.

Grafo Bipartido Completo Kp,q

• Cada vértice do conjunto N1, com p vértices é adjacente a todos os q vértices do conjunto N2 e vice-versa.

Grafo Clique

• É um subgrafo completo de G

Grafo Torneio

• Um grafo é dito torneio quando cada par de vértices em G é ligado exatamente por um arco (um grafo completo e direcionado).

Grafo regular

• Todos vértices possuem o mesmo grau

Cruzamento de arestas – Cross(G)

• É o menor número de cruzamentos de arestas possíveis no traçado de um grafo G.

Isomorfismo

• Os grafos G1 e G2 são ditos isomorfos se épossível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices e arestas, bem como entre suas relações vértices versus arestas.

• Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:N1 � N2 tal que (i,j) éelemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.

Grafos Isomorfos

• Dois grafos são isomorfos se existe uma função unívoca f:N1 � N2 tal que (i,j) éelemento de M1 sss (f(i),(f(j)) é elemento de M2.

Homeomorfismo

• Inserção de vértices – operação que permite adicionar um vértice em qualquer aresta de G, criando consequentemente duas novas arestas em G.

• Fusão de arestas – operação que permite suprimir um vértice e G se d(v) – 2, eliminando-se as arestas que incidem sobre v suprimindo-o e criando uma nova aresta que liga os vértices que se encontravam originalmente conectados ao vértice v eliminado.

Grafo Homeomorfo

• Dois grafos são homeomorfos se são isomorfos ou podem ser feitos isomorfos por aplicações repetidas de operações de inserção de vértices ou fusão de arestas.

Grafo Minor

• Gafo minor ou menor é um grafo que pode ser obtido por uma sequência finita de contrações de arestas de G

Grafo dual

• Um grafo e dito dual de um grafo planar G quando é obtido de G pela seguinte operação:

1 – atribuir um vértice a cada região do grafo planar, incluindo a região externa.

2 – se duas regiões possuem uma aresta em comum (aresta e), ligar o nó interior a cada região por uma aresta s que cruze a aresta e.

Grafo complementar

• Contém as ligações (arestas) que não estão em G

Operação de Adição de Arestas(join)

Operação de União Total deGrafos

• Pode resultar em multigrafos

Produto Cartesiano de Grafos