l

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INTRODUCCIÓN.- aproximadamente hacia el año 4000 a.c. en los inicios de la historia escrita, las personas comenzaron a pensar en los números como conceptos abstractos. Esto es se percataron de que dos frutas y dos piedras tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la cual era independiente de los objetos. La percepción de esta cantidad estaba probablemente auxiliada por el proceso de contar; un ejemplo del concepto matemático de la correspondencia uno a uno.

Con la finalidad de definir una correspondencia uno a uno entre conjuntos de objetos, el hombre prehistórico señaló con una marca cada objeto o evento registrado.

En distintas culturas se han ideado diferentes métodos de conteo, así por ejemplo los incas hacían nudos en una cinta o cuerda para levantar el censo; los chinos usaban guijarros o varitas en sus cálculos y los ingleses utilizaban pequeños palos con marcas como comprobantes de los impuestos recibidos.

Como resultado del esfuerzo humano de mantener un registro de las cantidades se inventaron los primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo.

Los babilonios y egipcios conciben, alrededor del año 2000 a.c. una aritmética en la que ya utilizan fracciones. Con Pitágoras en el año 525 a.c. los griegos descubren la necesidad de adoptar números irracionales como √2. En el año 375 a.c. Eudoxio presenta la teoría de los inconmensurables para representar irracionales como límite de magnitudes racionales.

Los números negativos, que aparecen en la solución de diversos problemas se consideran como absurdos, y solo se manejan libremente a partir del siglo XVII. No es sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que Cantor, Dedekind y Weistrass desarrollan teorías rigurosas del número real, incluyendo racionales e irracionales.

DESCRIPCIÓN DE LOS DIVERSOS CONJUNTOS DE NÚMEROS.- Los Hindúes fueron los inventores de los símbolos que hoy los conocemos como números; los cuales colocados de la siguiente forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … se lo conoce como la sucesión de números naturales; donde los puntos suspensivos señalan que la sucesión se prolonga en forma indefinida hacia la derecha.

Si dicha sucesión la colocamos entre llaves: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . } obtenemos el conjunto de los números naturales, el cual fue el primer conjunto de números conocido por el hombre. Y se lo nombra así:

N = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , . . . }

Este conjunto descrito de esta manera posee las siguientes características:

1. La sucesión no termina ni se ramifica, es decir el conjunto N es infinito. 2. Comienza con un elemento que es conocido como uno, “Elemento neutro

multiplicativo”. 3. No se cierra la sucesión sobre si misma; como ocurre con los números de la

esfera de un reloj. 4. En la sucesión de números naturales no existe elemento que siga

inmediatamente a dos distintos.

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5. No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, peor aún excluidos de ella; es decir que partiendo de 1 y pasando en forma reiterada al elemento siguiente se obtienen todos los números naturales.

Ahora si tomamos de la sucesión dos números cualesquiera como: a ∈ N y b ∈ N, donde a=2 y b=5 y realizamos las operaciones básicas, se tiene que:

Adición Multiplicación Sustracción División

2 + 5 = 7 ∈ N 2 . 5 = 10 ∈ N 2 – 5 = -3 ∉ N 2 : 5 ∉ N

Se observa que en la adición y multiplicación los resultados son números que pertenecen a la sucesión, es decir son también números naturales. Mientras que en la sustracción o diferencia si el minuendo es menor que el sustraendo el resultado no pertenece a los números naturales. El caso, que pertenezca a los números naturales ocurre únicamente cuando el minuendo es mayor que el sustraendo, así por ejemplo: 8 - 3 = 5 ∈ N.

Entonces se puede generalizar, diciendo; que no siempre la diferencia ocurre en los números naturales.

De modo similar se presenta en la división. Únicamente cuando el numerador es múltiplo del denominador el resultado será un número natural, como 10

5 = 2 ∈ N y en

caso contrario no será número natural. Luego como ocurre en la diferencia, también no siempre es posible la división en los números naturales.

Regresando a la adición y multiplicación; se tiene que estas operaciones siempre serán posibles en el conjunto N, ya que en sus resultados se obtienen también números naturales. Cuando esto ocurre, a dichas operaciones se las conoce como operaciones binarias.

En el caso del conjunto N serán operaciones binarias la adición y multiplicación; mientras que la diferencia y la división no lo serán.

Entonces, en general, cuando se tiene una operación binaria se puede representar por:

a * b ⇨ se lee: a operación binaria b. donde a y b son números.

Definición de Operación Binaria.- Para un conjunto cualquiera S={ a, b, a . . . } la operación " * " es una operación binaria en S , si y solamente si a cada par ordenado ( a, b ), donde a y b ∈ S le corresponde un solo elemento que es a * b " a operación binaria b " que pertenece también a S.

Es decir: ( a, b ) ⇨ a * b

Donde a y b ∈ S y a * b ∈ S.

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Características de la Operación Binaria.-

1. El orden de a y b es muy importante, porque ( a, b ) es un par ordenado distinto de ( b, a ) y ocurre entonces que: a * b ≠ b * a

2. La operación binaria tiene que estar definida para todos los pares ordenados ( a, b ); donde a y b ∈ S.

3. El elemento resultante a* b debe pertenecer a S.

Propiedades de las Operaciones Binarias:

1. Propiedad Conmutativa: Para todo par ordenado de elementos ( a, b ) ∈ S, se tiene :

a. Adición.- b. Multiplicación.- a + b = b + a a . b = b . a

Si a= 3 y b= 5 3 +5 = 5 + 3 3 . 5 = 5 . 3

8 = 8 1 5 = 1 5 Luego: La operación binaria es conmutativa en el conjunto S si y solo si para cada par ordenado de elementos ( a, b ) se cumple que: a * b = b * a

2. Propiedad Asociativa: Para toda terna ordenada de elementos ( a, b, c) ∈ S, entonces:

a. Adición b. Multiplicación a+(b+c)=(a+b)+c a.(b.c)=(a.b).c

Si a = 3 , b = 5 y c = 4 3+(5+4) = (3+5)+4 3.(5.4) = (3.5).4

3+9 = 8+4 3 . 20 = 15 . 4 12 = 12 60 = 60

Luego: La operación binaria es asociativa en el conjunto S si y solo si para cada terna de elementos ( a, b, c ) se cumple q u e : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

3. Propiedad Conmutativa General:

a. a * (b * c) = (a * b) * c = c * (a * b)

= (c * a ) * b ó también b. a * (b * c) = (a * b) * c

= (b * c)* a = b * (c * a)

Entonces: La operación binaria en el conjunto S posee la propiedad conmutativa general si y solo si todas las expresiones siguientes existen, están definidas y son iguales:

a * b * c a * c * b b * q * c b * c * a c * a * b c * b * a

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Conclusión General: Si * es una operación binaria del conjunto S y posee la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa, entonces posee también la propiedad conmutativa general.

Propiedades de los Números Naturales.-

P1: La suma y la multiplicación son operaciones binarias en el conjunto de los números naturales: es decir que la suma y la multiplicación son operaciones cerradas dentro del conjunto de los números naturales.

P2: La suma y la multiplicación son operaciones binarias conmutativas.

P3: La suma y la multiplicación son operaciones binarias asociativas.

P4: Para todo número n ∈ N, existe y es único un número llamado el uno ( 1 ∈ N ) que cumple con la siguiente condición: De que n . 1 = 1 . n = n ; propiedad que es conocida como: Propiedad de idéntico multiplicativo.

P5: Propiedad distributiva ( de la multiplicación con respecto a la suma ).- Para toda terna de elementos ( a, b, c ) donde , a ∈ N , b ∈ N y c ∈ N se cumple que

a . ( b + c ) = a . b + a . c Así, s i : a = 3 , b = 2 y c = 5 se tiene: 3 . ( 2 + 5 ) = 3 . 2 + 3 . 5

3 . 7 = 6 + 1 5 21 = 21

La operación de distribución de la suma con respecto al producto, no se cumple. Es decir: a + (b . c) ≠ (a + b) . (a + c)

Así, s i : a = 3 , b = 2 y c = 5 se tiene : 3 + (2 . 5) ≠ (3 + 2) . (3 + 5) 3 + 1 0 ≠ 5 . 8

13 ≠ 40

P 6 : Propiedad de cerradura de la suma.- Si se suman dos números naturales, se obtiene como resultado otro número natural. Es decir el conjunto de los números naturales, es un conjunto cerrado ante la suma.

P 7 : Propiedad de cerradura de la multiplicación.- Si se multiplican dos números naturales, se obtiene como resultado otro número natural. Es decir el conjunto de los números naturales, es un conjunto cerrado ante la operación multiplicación.

Representación geométrica.- Para representar un número natural en la escala numérica o en el eje llamado de abscisas, se sigue el siguiente proceso:

1. Se coloca horizontal un eje o escala numérica, llamado de abscisas.

2. Se toma como referencia o como segmento unidad el segmento AB���� .

3. Se escoge un punto sobre la escala, que será el punto designado como “ 0 ” cero; que será el origen, desde donde comenzarán a aparecer en la escala los números naturales.

4. Se une A con “ cero ” , y luego por B trazamos una paralela al segmento A0���� , y el punto donde que corte dicha paralela al eje de abscisas, representara a número uno “ 1 ” que será el primer natural en la recta numérica.

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5. Luego, unimos A con 1, y trazamos una paralela por el punto B del segmento unidad al segmento A1����, y el punto donde corte esta paralela al eje de abscisas, representará al número dos “ 2 ” . Y así iremos colocando, todos los números naturales hacia la derecha en la recta numérica.

Para un par de números naturales ( a, b ) se verifica necesariamente: a < b , a = b ó a > b

Lo cual se interpreta en la recta numérica como: 1. Si a < b, entonces el punto que corresponde a a está a la izquierda del punto

que corresponde a b. Es decir que b – a es un número natural (positivo). 2. Si a = b , entonces los puntos que corresponden a a y a b coinciden. 3. Si a > b , entonces el punto que corresponde a a está a la derecha del punto

que corresponde a b. Es decir que a – b es un número natural (positivo).

Obsérvese que la relación es menor o igual que definida en el conjunto N, es una relación de orden. Se dice entonces que el conjunto N está totalmente ordenado por la relación ≤.

Cuántos números naturales hay entre dos de ellos: Se consideran los siguientes casos:

1. Si a ∈ N está a la izquierda de b ∈ N, ( a < b )y además son consecutivos: Entonces no hay números naturales entre ellos. O sea n(N) = 0

2. Si a ∈ N está a la izquierda de b ∈ N, ( a < b )y además no son consecutivos: Entonces el número de números naturales, se calcula con la siguiente relación: n(N) = b – a – 1 Ejemplos: 1. Si a = 1 y b = 7 ; entre a y b existen 5 números naturales; que lo confirmamos con la relación obtenida antes, es decir: n(N) = 7 – 1 – 1 = 5. 2. Si a = 125 y b = 13537 , entonces, el número de naturales entre estos dos números será: n(N) = 13537 – 125 – 1 = 13411 números naturales, que hay entre los dos dados como datos.

Conclusión: Siempre entre dos números naturales existe un número definido de naturales, es decir hay un número finito de números naturales; por esta razón se dice que el conjunto de los números naturales es un conjunto DISCRETO.

A B

0 1 2 3

AB���� = 01���� = 12���� = 23����

Eje de las abscisas (x) Recta numérica

a Cuántos naturales hay b

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Principio de Divisibilidad.- Un número a ∈ N es divisible para b ∈ N , ó también se dice, a ∈ N es múltiplo de b ∈ N , que se representa así ( a = b* ) ; si y solo si existe otro x ∈ N tal que a = b . x . El principio de divisibilidad se representa de la siguiente forma:

a = b* ↔ ∃x ∈ N/ a = b . x

Ejemplo: 1. 36 es divisible para 4 porque existe un x = 9 tal que 36 = 4 . 9 2. 36 no es divisible por 5 porque: ∀x ∈ N , 36 ≠ 5 . x

Números Primos.- Un número x ∈ N es primo si y solo si es divisible para si mismo y para la unidad, excepto x = 1; así entonces el conjunto de los números primos que representamos por Np estará formado por:

Np ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ... }

Características de los números primos: 1. Es un conjunto infinito. 2. El único número primo par es el 2.

Números Compuestos.- Son aquellos que además de ser divisibles para si mismos y para la unidad, son divisibles para otros números naturales; y se los representa por N c , donde:

N c = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, ... }

Características de los números compuestos: 1. Es un conjunto infinito. 2. Está formado por números pares e impares.

Conclusiones: 1. Los conjuntos de números primos y compuestos son mutuamente disjuntos, por lo que: N p ∩ N c = Ø

2. Si se unen los siguientes conjuntos Np , Nc y {1} se obtiene en conjunto de los números naturales N. Luego:

Np ∪ Nc ∪ {1} = N

Descomposición de un número natural en factores primos.- Un número natural distinto de 1 se puede descomponer en factores primos, los cuales pueden variar o diferenciarse únicamente en el orden. Ejemplo: Descomponer en factores primos el número 15120

15120 2 Luego: 15120 = 24. 33. 5. 7= 33. 24. 5. 7= 24. 5. 7. 33 7560 2 3780 2 1890 2

945 3

315 3

105 3

35 5

7 7

1

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Continuando con la descripción de los conjuntos numéricos; ya se ha indicado que la adición y multiplicación se pueden realizar siempre dentro del conjunto de los números naturales, no así la diferencia que no siempre se puede realizar en el conjunto N de los números naturales. Pero nuestro objetivo es determinar conjuntos más amplios, donde se pueda efectuar siempre en este caso la operación diferencia.

Entonces para que sea siempre posible la operación diferencia, se crea o se idea otro conjunto que se llama el conjunto de los números Enteros I. Para tal efecto debemos partir de lo que ya conocemos previamente, así:

Para cada uno de los n ∈ N , existe y es único, un elemento que es “ – n ” que se llama el opuesto de n ; que cumple con la propiedad de que:

n + (- n ) = (- n ) + n = 0 Donde al elemento “ 0 ” se le conoce como el elemento cero, que es el que aparece en este momento y además se llama idéntico aditivo o neutro para la suma. Que lo colocaremos dentro de llaves y lo llamaremos el conjunto M; luego M = { 0 } . Donde este elemento a su vez debe cumplir con la propiedad de que:

n + 0 = 0+ n = n que se llama Propiedad de neutro aditivo ó de idéntico aditivo.

El siguiente cuadro, muestra los opuestos para cada número natural.

n ∈ N Opuesto de n → (- n ) 1 – 1 2 – 2 3 – 3 4 – 4 5 – 5 . . . . . . . .

Si colocamos estos nuevos números de la siguiente forma: . . . -4, -3, -2, -1 se obtiene lo que se conoce como la sucesión de números enteros negativos. Y si los colocamos dentro de llaves, se obtiene el conjunto de los números enteros negativos, y que se los representa por I–.

Así: I– = {... – 4, –3, –2, –1 } Entonces se ha creado el conjunto de los números enteros negativos.

Este conjunto, si lo unimos al conjunto de los naturales o enteros positivos y al conjunto formado por el elemento cero, es decir el conjunto M, se obtiene el conjunto llamado el de los enteros I, que es:

I = I– ∪ M ∪ N = {... – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} , donde en este nuevo conjunto, ya se puede realizar siempre la operación diferencia; y además las operaciones que son binarias en el conjunto de los números naturales. Así, si se toma el par (a, b) de este conjunto, donde por ejemplo: a= - 3 ∈ I, b = 7 ∈ I, y si realizamos las operaciones de suma, multiplicación y diferencia, tendremos:

Suma Multiplicación Diferencia a + b = -3 + 7 = 4 ∈ I a . b =( - 3 ). 7 = - 21 ∈ I a - b = (- 3 )–( 7 )=-10 ∈ I

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Donde se pueden observar, que también los nuevos números obtenidos, son números enteros, es decir están como elementos, dentro del conjunto I. Consecuentemente la diferencia, se puede efectuar siempre en este conjunto numérico; y las operaciones de suma, multiplicación y diferencia ahora son operaciones Binarias. Es decir que estas tres operaciones son conocidas como operaciones enteras.

Definición de Diferencia.- Con lo explicado antes, ya podemos definir la operación diferencia.

La diferencia entre dos elementos a ∈ I, y b ∈ I, que se representa por a – b es la suma del entero a más el opuesto del entero b. O sea: a – b = a + (- b )

Características del conjunto de los números enteros.-

1. El conjunto I es infinito. 2. La diferencia es operación binaria en el conjunto I. 3. El conjunto de los números naturales N es subconjunto de los enteros I; luego las

operaciones que se presentan en los naturales, también serán operaciones de los enteros; es decir las operaciones de suma y multiplicación.

Propiedades de los números enteros.- Como el conjunto de los números naturales N es subconjunto de los I, entonces las 7 propiedades de los naturales, también serán válidas en el conjunto de los números enteros, es decir que las 7 propiedades en mención, serán propiedades de los números enteros.

Además, se considerarán en este conjunto las siguientes:

P8: Propiedad de Idéntico Aditivo.- Existe y es único el elemento “0” cero, que es llamado como elemento idéntico aditivo o neutro aditivo; que cumple con la propiedad de que: n + 0 = 0 + n = n

P9: Propiedad de Opuesto.- Para todo n ∈ I, existe y es único otro número que también es entero (-n ) ∈ I, llamado el opuesto de n, que cumple con la propiedad, de que: n + (-n) = (-n)+n = 0

P10: Lev de Tricotomía.- Para todo entero n ∈ I, se debe cumplir una y solo una de las siguientes proposiciones:

a.- n es positivo: es decir n > 0, b.- -n es positivo; es decir n < 0, c.- n = 0

Así, entonces los enteros tendrán tres conjuntos disjuntos, que serán: I –, I +, y el conjunto M formado por el elemento cero.

Luego; I – ∩ I + ∩ M = Ø ; y si realizamos la unión entre ellos se tendrá el conjunto de todos los enteros I.

I = I – ∪ I + ∪ M

Representación geométrica de los números enteros.- La representación geométrica, se lo realiza igual a la de los números naturales indicada anteriormente, sino que siguiendo el mismo procedimiento, también se deben

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representar en la recta numérica, a la izquierda del cero y así se completan todos los enteros.

Para un par de números enteros ( a, b ) se verifica necesariamente: a<b , a = b ó a>b

Lo cual se interpreta en la recta numérica como: 1. Si a < b, entonces el punto que corresponde a a está a la izquierda del punto

que corresponde a b. Es decir que b – a es un número entero positivo. O también que b está a la derecha de a, es decir b > a .

2. Si a = b , entonces los puntos que corresponden a a y a b coinciden. 3. Si a > b , entonces el punto que corresponde a a está a la derecha del punto

que corresponde a b. Es decir que a – b es un número entero positivo. O también b está a la izquierda de a, es decir b < a .

Obsérvese que la relación es menor o igual que, definida en el conjunto I es una relación de orden. Se dice entonces que el conjunto I está totalmente ordenado por la relación ≤.

Cuántos números enteros hay entre dos de ellos: Se consideran los siguientes casos: 1. Si a ∈ I está a la izquierda de b ∈ I, (a<b) y además son consecutivos: entonces

no hay números enteros entre ellos. O sea n( I ) = 0 2. Si a ∈ I está a la izquierda de b ∈ I, (a<b) y además no son consecutivos:

Entonces el número de números enteros, se calcula con la siguiente relación: n(I) = b – a – 1

Ejemplos: 1. Si a = - 3 y b = 7 ; entre a y b existen 9 números enteros; que lo confirmamos con la relación obtenida antes, es decir. n(I)= 7 – ( -3) – 1 = 9. 2. Si a = -251 y b = 15337 , entonces, el número de enteros entre estos dos números será: n(I) = 15337 – (-251) – 1 = 15587 números enteros, que hay entre los dos dados como datos.

Conclusión: Siempre entre dos números enteros existe un número definido de enteros, es decir hay un número finito de números enteros; por este motivo se dice que el conjunto de los números enteros es un conjunto DISCRETO.

Teorema en los enteros: Para cada par de números enteros ( a, b ), existe y es único otro número entero x tal que a + x = b ; es decir:

Si a ∈ I, b ∈ I, ∀(a,b) ; ∃x ∈ I / a + x = b

Demostración: La demostración de este teorema, tiene dos partes que son: 1. La existencia del elemento entero x y 2. Que este elemento entero es único, es decir debe cumplir el Principio de Unicidad.

1. Existe un x: Partimos de la relación a + x = b; luego: Demostración Justificación a + x = b Dato a + x + (- a) = b + (- a) suma del opuesto de a [a+ (-a)]+x = b + (- a) propiedad conmutativa y asociativa 0 + x = b + (- a) propiedad de opuesto 0 + x = b – a definición de diferencia x = b – a propiedad de idéntico aditivo

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Luego si existe un x que es igual a b – a y además es entero.

2. Principio de unicidad.- x es único: Suponemos que existen dos x ; un x1 y un x2 , y debemos probar que estos x son los mismos, y así se dirá que es único. Luego; si en la relación a + x = b reemplazamos los x1 y x2 entonces se tiene:

Demostración Justificación a + x1 =b y a+x2=b Sustitución a+x1 = a + x2 Igualdad a + (-a) + x1 = a + (- a) + x2 suma del opuesto de a y p. conmutativa [a + (-a)] + x1 = [a + (- a )] + x2 propiedad asociativa 0 + x1 = 0 + x2 propiedad de opuesto x1 = x2 propiedad de idéntico aditivo

Luego: x1 = x2 = x , que es único. Los enteros poseen otro principio que es de mucha importancia, especialmente para realizar ciertas demostraciones de fórmulas que se cumplen solamente dentro del conjunto de los números enteros, y es:

Principio de Inducción Matemática: Que consiste en: Dado un conjunto de enteros A = { n / n ≥ a } y una fórmula de la forma: Para todo n de A , P(n). Podemos demostrar la verdad de esta fórmula estableciendo los siguientes pasos:

1. P(a) es verdadera. ( Empleamos el símbolo P(a) para denotar la proposición que se obtiene cuando se sustituye n por a) 2. Para todo k de A, Si P(k) es verdadera, implica que P(k + 1) también sea verdadera.

Entonces, si se cumple estos dos pasos, se dice que la fórmula o proposición dada es correcta, y así se ha demostrado ésta aplicando el principio o método de demostración de Inducción Matemática dentro del conjunto de los enteros.

A continuación, se ilustra el proceso, mediante algunos ejemplos.

Ejemplos:

1. Demostrar que: Para todo entero n ≥ 1 se cumple que:

P(n): 1+2+3+4+5+6+7+.....+n = n(n+1)2

Demostración:

Pasos:

1. Si a = 1 entonces P(I) : 1= 1(1+1)2

= 1

Si a = 2 entonces P(2): 1+2 = 2(2+1)2

= 3

Si a = 5 entonces P(5): 1+2+3+4+5= 5(5+1)2

= 15

En consecuencia, el primer paso si se cumple.

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2. Si P(k): 1+2+3+4+5+6+7+....+ k= k(k+1)2

es verdadera, entonces

P(k+1): 1+2+3+4+5+6+7+....+ k+1 =(k+1)(n+2)2

también debe ser Verdadera.

Entonces, para demostrar lo anotado, se debe partir de P(k) y llegar a P(k+1).

Así: A P(k) sumamos k+1 en los dos miembros, luego se tiene

1+2+3+4+5+6+7+....+ k + k+1 = k(k+1)2

+ k+1

= k(k+1)+2(k+1)

2

= k2+k+2k+2

2

= k2+3k+2

2 = (k+1)(k+2)

2 que es el segundo miembro

de P(k+1); luego P(k+1)es también verdadera.

Consecuentemente la fórmula dada se ha demostrado que es verdadera. Si por ejemplo n = 3543, entonces la suma de los 3543 términos será igual a:

1+2+3+4+5+6+7+8+ ............ +3543 = 3543 (3543+1)2

=6278196

2. Demostrar que: Para todo entero n ≥ 1, se cumple:

P(n): 1+4+7+10+13+....+(3n - 2) =n(3n−1)2

Demostración:

Pasos:

1. a= 1 P(1): 1 = 1(3−1)2

= 1

a = 3 P(3): 1+4+7 = 3(3 . 3−1)2

= 12

a = 4 P(4): 1+4+7+10 = 4(3 . 4−1)2

= 22

El primer paso, si se cumple.

2. S i P (k): 1+4+7+10+13+....+(3k – 2) = k(3k−1)2

es verdadera, →

P(k+1): 1+4+7+10+13+....+(3k-2)+(3k+1) = (k+1)(3k+2)2

debe ser también verdadera.

Luego, demostramos: A P(k) sumamos 3k+1 a los dos miembros, entonces se tiene:

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1+4+7+10+13+….+(3k – 2)+(3k+1) = k(3k−1)2

+ 3k+1

= k(3k−1)+2(3k+1)

2

= (3k2−k+6k+2)

2

= (3k)2+5(3k)+62 . 3

= (3k+3)(3k+2)2 . 3

= (k+1)(3k+2)2

Lo cual prueba que P(k+1) es verdadera, y así queda demostrada que la fórmula dada es correcta.

3. Demostrar que: Para todo entero n ≥ 1 ; se cumple que: P(n): 32n – 1 es divisible para 8.

Demostración:

Pasos:

1. a = 1 P(1 ): 32 – 1 = 8 que es divisible para 8. a = 3 P(3): 3 6 – 1 = 728 que es divisible para 8. a = 5 P(5): 310 – 1 = 59048 que es divisible para 8.

El primer paso, se cumple.

2. Para todo entero k≥1, Si P(k): 32k -1 es divisible para 8, entonces P(k+1): 32(k+1) – 1 es divisible para 8. Partimos de P(k) para llegar a probar P(k+1); así:

P(k) será divisible para 8 si 32k – 1 = 8x , donde x es cualquier entero, operamos, y 32k = 8x + 1 , ahora para tener el primer miembro de P(k+1), multiplicamos la expresión anterior por 32 ambos miembros, entonces:

32. 32k = 32.(8x + 1) 32k+2 = 9 . 8x + 9 = 9 . 8x + 8 + 1 pasamos el 1 al miembro de la izquierda, y así tendremos P(k+1) que también debe ser divisible para 8.

Entonces: 32k+2 -1 =9. 8x + 8 = 8(9x+l) 32k+2 -1 = 8y ; donde y = 9x + 1 y además y es entero,

ya que x al ser entero, también lo será 9x + 1. Luego concluimos que P(k+1) también es divisible para 8.

Con lo cual se ha probado que la expresión, 32n - 1 es divisible para 8.

Continuando con la ampliación de los conjuntos numéricos, sintetizando podemos manifestar que: La operación división sigue siendo aún imposible en el conjunto de

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los enteros; solamente ocurrirá esta operación dentro del conjunto de los enteros, si el numerador es múltiplo positivo o negativo del denominador.

Pero si en la división, el numerador y el denominador no cumplen con esta característica el resultado no es un número entero. Pero nuestro afán es el que deseamos que la operación división siempre sea posible efectuarla, razón por la cual debemos crear o idear un nuevo conjunto numérico, que lo llamaremos como el de los números racionales.

Partiendo de lo que conocemos hasta el momento; es decir de los enteros, que lo representamos generalizados como n ∈ I , obtenemos otros números que se los llama inversos de n, que se los representará como

n– 1 = 1n . Estos números deben cumplir con la siguiente propiedad:

n– 1 . n = 1n . n = n . n– 1 = 1

Donde el elemento “ 1 ” es conocido como idéntico multiplicativo, el cual a su vez cumple con la propiedad, de que: n . 1 = 1 . n = n

Entonces, partiendo de los n ∈ I conocidos, obtenemos los n– 1 así:

n ∈ I n– 1 (Inversos de n) . . .

.

.

.

-5 −15

-4 −14

-3 −13

-2 −12

-1 −11 = −1

0

No hay como (ya que no hay el inverso de cero; por definición). Entonces como consecuencia, no hay división para cero.

1 11 = 1

2 12

3 13

4 14

.

.

.

.

.

.

15

Y al colocarlos de la siguiente forma:

⋯⋯− 15

,−14

,−13

,−12

,−1, 1, 12

, 13

, 14

, 15

,⋯⋯ Se obtiene una sucesión de una parte de este gran conjunto llamado de los racionales.

A partir de esta sucesión podemos encontrar todos los números de la forma ab,

donde tanto a como b son números enteros.

Entonces al conjunto formado por todos los números de la forma ab, se lo conoce

como El conjunto de los números Racionales. Y se los representa con Q. El cuál por comprensión queda determinado como:

Q = {x/x = 𝐚𝐛, a, b ∈ l, b≠0 }

Entonces, la operación división siempre será ahora posible dentro del conjunto de los números racionales, excepto división para cero.

Definición de División.- La división entre dos elementos a y b que pertenecen al conjunto de los enteros, que se representa por a

b es la multiplicación de a por el

inverso de b , es decir: ab = a . 1

b

Características de los racionales.- 1. El conjunto Q es infinito 2. El conjunto Q tiene cuatro operaciones binarias, a saber: adición, diferencia,

multiplicación y división, excepto división para cero. Consecuentemente se dice que las cuatro operaciones son racionales.

Propiedades de los números racionales.- Como los conjuntos de los números naturales y enteros son subconjuntos de los racionales, entonces las 10 propiedades dadas para los enteros, se cumplirán automáticamente en los racionales. Entonces el conjunto de los números racionales Q cumple con las 10 propiedades ya vistas, y además con la siguiente:

P11: Propiedad de inverso.- Para todo número racional n , existe y es único otro número también racional, que es n– 1 = 1

n , tal que n . n– 1 = n . 1

n = 1

CONCLUSIONES:

1. Cualquier conjunto que cumpla con las propiedades dadas, excepto las propiedades P6, P7 y P10 , se llama un CAMPO o CUERPO.

2. Cualquier conjunto que cumpla con las 11 propiedades que se han indicado, se llama CAMPO o CUERPO ORDENADO. Entonces el conjunto de los números racionales Q es un Campo o Cuerpo Ordenado.

Tipos de Racionales.-

1. Racionales que son enteros: Por ejemplo, todos los números de la forma

q = ab , donde q sea un entero; así: si a= 1 5 y b = 5 , entonces

q = 155

= 3 que es un entero.

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2. Racionales que son números decimales finitos: Por ejemplo:

q1 = 𝟑𝟒 = 0.75

q2 = 𝟓𝟒 = 1.25

3. Racionales que son números decimales infinitos y periódicos: Así por ejemplo:

q3 = 𝟏𝟎𝟑

= 3.3333333..., que se puede representar también así q 3 =𝟑.𝟑�, ya que el 3 después del punto se repite en forma indefinida, es decir el 3 es periódico.

q4 = 𝟏𝟔 = 0.16666666... = 𝟎.𝟏𝟔�

q5 = 𝟏𝟐𝟏𝟑

= 0.9230769230769230... = 𝟎.𝟗𝟐𝟑𝟎𝟕𝟔�����������

Teoremas de los números racionales.- 1. Para todo a y b ∈ I, existe y es único un x ∈ Q , talque b x = a

2. Si ab y c

d son números racionales, entonces a

b+ c

d= ad+bc

bd

3. Si ab y c

d son números racionales, entonces a

b. cd

= a cb d

Representación geométrica de números racionales.- Para representar números racionales, es imprescindible conocer previamente lo que son rectas concurrentes.

Rectas concurrentes.- Son aquellas rectas que tienen un mismo origen, es decir se intersecan, formando entre ellas un ángulo entre cero y noventa grados.

Si a una recta horizontal, la llamamos A1 y a otra recta inclinada y concurrente con la anterior la llamamos A 2 , entonces representamos un número racional geométricamente de la forma siguiente: Señalamos el numerador del número en el eje o recta A1 y luego señalamos el denominador del número en el eje o recta A 2 , luego unimos con una recta los dos puntos señalados, a continuación por el punto que representa a la unidad en el eje A2 y empleando regla y escuadra y trazando paralelas a la recta anterior, vamos representando los números racionales que se deseen.

Número de racionales entre dos de ellos.- Si m y n ∈ Q y además m<n y si suponemos que un q1 está en la mitad entre m y n entonces se tiene que

q1 – m = n – q1 donde q1= m+n2

también es otro número racional.

Si seguimos así, en adelante suponiendo que un q2 está entre q1 y n , un q3 entre q2 y n y así sucesivamente se tendría en cada caso:

q2= 𝐧+𝐪𝟏𝟐

, q3= 𝐧+𝐪𝟐𝟐

hasta llegar a qn= 𝐦+𝐪𝐧−𝟏𝟐

donde todos ellos son también números racionales. De modo similar, se irían obteniendo muchos racionales en el resto de intervalos entre m y n .

Luego, como consecuencia se llega a establecer la siguiente conclusión: Que entre dos números racionales cualesquiera existe un número indefinido o infinito de

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números racionales, motivo por el cual el conjunto de los números racionales es un conjunto DENSO.

Siguiendo con la ampliación de los conjuntos numéricos, tenemos ahora lo siguiente: Si queremos resolver la ecuación por ejemplo: x2 - 2 = 0 dentro del conjunto de los números racionales, se observa que dicha ecuación no tiene solución en el conjunto numérico indicado.

Para probar esto, suponemos que la ecuación x2 - 2 = 0 si tiene solución en el conjunto de los números racionales, es decir que:

√2 ≈ 𝑎𝑏→ �2 = �𝑎

𝑏�2

= 𝑎2

𝑏2 ∧ 𝑎2 = 2𝑏2� → 𝑎2 es un numero par y a=2p1 ( el cuadrado de

los números enteros pares es par) → a2 = (2p1)2 = 4p12 → 4p12=2b2 → ( 2p12= b2 ∧ b es un número entero par) entonces a y b son números primos entre sí, lo cual contradice la hipótesis, por tanto √2 ∉ Q.

Los números como √2, que no se pueden escribir como el cociente de dos números enteros, se llaman Números Irracionales.

El conjunto de los números irracionales se representa así: Q', por tanto:

Q' = { x / x ≠ 𝑎𝑏, a, b ∈ I }

x pertenece al conjunto de los números irracionales, si y sólo si para todo número a y todo número b, elementos del conjunto de los enteros, tales que b es diferente de cero, se cumple que x no se puede expresar como cociente de enteros.

Según se enunció anteriormente los números racionales se caracterizan porque su escritura posicional termina, o si no termina, es periódica. Los números irracionales se caracterizan porque su escritura posicional no termina y no es periódica.

Los números 34 y 1

3 son números racionales; la escritura posicional de 3

4 que es 0.75

termina; la escritura posicional de 13

que es 0.3333. . . . no termina, pero es periódica.

√2 = 1.41421356 . . . ..

𝜋 = 3.14159265358979323846. . ..

Los números √2 y 𝜋 son números irracionales y su escritura posicional es indefinida y no periódica,

La proposición 𝜋 = 3.14159 es falsa, porque 𝜋 es un número irracional y 3.14159 es un número racional cuya escritura posicional termina. Se dice entonces que 3.14159 es una aproximación racional del número 𝜋 hasta los cienmilésimos.

Los números irracionales no se pueden escribir en forma posicional; cualquier escritura posicional de un número irracional es una mera aproximación racional.

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Representación geométrica de los números irracionales.- La representación de los números irracionales sobre una recta se puede obtener por medio de construcciones geométricas de triángulos rectángulos y trasportando sobre la línea recta la medida de la hipotenusa de cada triángulo que se construya; así por ejemplo, si el primer triángulo que se construye tiene como medida de sus catetos 1 y 1 , el valor de la medida de la hipotenusa es √𝟐 ; si para otro triángulo sus catetos son √𝟐 y 1 , entonces la medida de su hipotenusa es √𝟑 , que también es un número irracional.

El conjunto de los números racionales Q y el conjunto de los números irracionales Q' son conjuntos disjuntos, por lo que Q ∩ Q' = Ø . Pero la unión del conjunto de los números racionales Q , con el conjunto de los números irracionales Q' se llama El Conjunto de los Números Reales y se denota por la letra mayúscula R. Por consiguiente: R = Q ∪ Q'

Definición de Números Reales.- Son todos los números, que son decimales finitos o infinitos, positivos, negativos o el número cero.

Características del conjunto de los números reales.-

1. El conjunto de los números reales R , es un conjunto infinito. 2. Las cuatro operaciones básicas, excepto división para cero, son operaciones

binarias en el conjunto R de los números reales. 3. Entre dos números reales, existen infinitos números reales. 4. El conjunto de los números reales es superconjunto de los conjuntos numéricos

estudiados anteriormente. Consecuentemente todas las propiedades que se cumplen en dichos conjuntos serán también propiedades de los números reales.

Propiedades.- Las 11 propiedades dadas anteriormente son propiedades de los números reales; luego este conjunto es un CAMPO ORDENADO. Al conjunto de los números reales se le conoce como un conjunto COMPLETO.

Teoremas sobre los números reales,-

1. Para todos los números reales a, b y c ; si a = b entonces:

a. a + c = b + c b. a – c = b – c c. a . c = b . c d. a/c = b/c , c ≠ 0

2. Para todo número real a , se cumple que a . 0 = 0

3. Para todos los reales a y b ; si a . b = 0 entonces a = 0 ∨ b = 0

4. Para todo número real a , se cumple que (-1) . a = - a

5. ∀a, b ∈ R , y si a = b → -a = -b

6. ∀a ∈ R , y si a≠0 → 0𝑎 = 0

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7. ∀a, b, c ∈ R , y si a+c = b+c → a = b

8. ∀a, b ∈ R , y si a + b = 0 → b = -a

9. ∀b ∈ R , ∃a ∈ R, si (a . b=1 ∧ a≠0) → b = 1𝑎

10. ∀a ∈ R, → -(-a) = a

11. (-1)(-1) = 1

12. ∀a ∈ R, → (-1)(-a) = a

13. ∀ a, b ∈ R y si a≠0 y b≠0, → 1𝑎

= 1𝑏

14. ∀ a, b ∈ R, → (-a) . b = (-b) . a

15. ∀ a, b ∈ R, → -(a – b) = -a + b