teoria de màquines i mecanismes...laboratori de màquines 5 dep. d'enginyeria mecànica...

Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona

Teoria de Màquines i Mecanismes

Exàmens Curs 2017-2018

Equip de professors

Departament d’Enginyeria Mecànica

3

TEORIA DE MÀQUINES i MECANISMES Curs 2017-2018 31 d'octubre del 2017 – Contingut del sobre: Enunciat, 3 fulls quadriculats i 2 fulls en blanc. No es

repartirà més material. – Per realitzar els dos exercicis es disposa d’una hora i quart. – Pel que fa al material escrit només es pot disposar d’un full A4 manuscrit original. – A l’hora d’entregar introduïu els fulls quadriculats en el sobre.

– És pertinent el contingut del document Pautes per a la realització de les proves escrites i per a l’avaluació que es troba a Atenea.

Exercici 1 [6 punts]

A la figura es mostra una grapadora manual i l’esquema de símbols del seu

mecanisme. En el capçal, la corredora -martell- empesa per una molla impacta sobre

la grapa fent que aquesta es clavi. L’enllaç entre la corredora i la barra PQ

-esquematitzat mitjançant una articulació- prové d’un graó en la corredora que

allotja l’extrem de la barra. Una molla de torsió a P entre les barres PQ i PO tendeix

a incrementar l’angle j2 i un topall el limita a j2max. Quan la palanca gira en sentit

horari arrossega la corredora fins que j2 = j2max, moment en el qual la molla llança la

corredora contra la grapa. Per a l’estudi del mecanisme en la fase de compressió de la

molla s’utilitza el vector de coordenades generalitzades q = {j1, j2, h}T. Determineu: a) Les equacions d’enllaç geomètriques entre les coordenades generalitzades i la seva

matriu jacobiana. b) L’alçada màxima hmax. c) El centre instantani de rotació de la barra PQ. d) L’expressió de l’anàlisi de velocitats que dóna h i 2j en funció de q i 1j . e) La posició del martell després de l’impacte amb la grapa perquè en deixar anar la

palanca es rearmi la grapadora. Justifiqueu adequadament la resposta.

Palanca

Martell

Grapa e

O

P

Q

Q

l1

l2

h ϕ1

ϕ2

l1 = 20 mm l2 = 20 mme = 32 mm ϕ2max = 120º

4


En una línia d’emplenat de bidons, cal introduir 3 productes diferents en cadascun

d’ells. Un manipulador col·loca els bidons sobre una cinta transportadora que els fa

passar per sota dels dipòsits dels productes i un altre manipulador els recull al final. El

moviment de la cinta és cíclic de manera que alternativament està en repòs tr = 4 s i

avança l = 0,6 m en ta = 3 s. Tant la col·locació dels bidons sobre la cinta com la seva

recollida es fan just a l’inici dels trams de repòs de la cinta; la col·locació es fa abans

del primer dipòsit i la recollida es fa després de l’últim dipòsit.

a) Representeu esquemàticament, però de manera pulcra i posant de manifest els

trets més rellevants, el recorregut s(t) d’un bidó mentre està sobre la cinta.

Indiqueu clarament el recorregut st i el temps tt totals. b) Dissenyeu la llei de desplaçament de la cinta en un tram d’avanç utilitzant una

corba de Bézier de grau mínim per tal que la continuïtat global de la llei sigui C2.

Dibuixeu amb detall la llei de desplaçament i incloeu en aquest dibuix els punts de

control i altres elements que considereu útils de la corba de Bézier emprada. c) Determineu l’expressió analítica de la velocitat i de l’acceleració i els seus valors

màxims. Justifiqueu on és la velocitat màxima. L’acceleració màxima es produeix a

ua max = 0,211325 del domini de la corba de Bézier. Addicional d) Dibuixeu la velocitat i l’acceleració en els trams d’avanç. Incloeu en aquest dibuix

els punts de control i altres elements que considereu útils de les corbes de Bézier

emprades.

Cinta

Bidó

Dipòsits

l = 600 mmtr = 4 sta = 3 s

s

l l l

Laboratori de Màquines 5

Dep. d'Enginyeria Mecànica

Solució Exercici 1

a) Les equacions d’enllaç geomètriques s’obtenen imposant el tancament de l’anell OPQ,

OP PQ QO .+ + = 0

( )( ) ( )1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

cos cos 00

sin sin 0

l l e

l l h

j j j

j j j

ìï- + + + =ïï =íï- + + - =ïïîqF [1]

La matriu jacobiana s’obté derivant les equacions d’enllaç geomètriques respecte a les

coordenades generalitzades.

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 2 2 1 2

sin sin sin 0

cos cos cos 1

l l l

l l l

j j j j j

j j j j j

æ ö- + - + ÷ç ÷ç= ÷ç ÷- + + + -ç ÷çè øq qF [2]

b) L’alçada màxima hmax es té quan j2 = j2max, per tant pot determinar-se resolvent el

conjunt de equacions geomètriques d’enllaç per a j2 = j2max. S’obté

hmax = 13,27 mm, j1 = 7,482º.

Alternativament, hmax pot determinar-se analitzant el triangle OPQ i el triangle rec-

tangle d’hipotenusa OQ. Mitjançant el teorema del cosinus i el teorema de Pitàgores

es té

( )

( )

1 22 21 2 1 2 2max

1 22 2max

OQ 2 cos 34,64 mm

13,27 mm

s l l l l

h s e

j= = + - =

= - =

c) El centre instantani de rotació de la barra PQ es pot trobar per inspecció directa ja

que les direccions de les velocitats de P i Q són conegudes o mitjançant el teorema

dels tres centres prenent les ternes de sòlids:

i) bancada -0-, corredora -1- i barra PQ -2-

ii) bancada -0-, barra OP -3- i barra PQ -2-.

1 2

3

0

1 2

3

0

I30

I23

I12

O

P

Q

ϕ1

ϕ2

IPQ

O

P

Q

ϕ1

ϕ2

IPQ

I10→∞I20

6 Laboratori de Màquines


d) La velocitat de la corredora h i 2j es poden trobar derivant les equacions d’enllaç [1]

i resolent el sistema d’equacions que s’obtenen, o directament aplicant l’expressió de

l’anàlisi de velocitats ( ) 1d d i i

t

-= - +q qq q F F F( ) prenent j1 com a coordenada

independent.

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 2 2 1 2i d

sin sin sin 0

cos cos cos 1

l l l

l l l

j j j j j

j j j j j

æ ö- + - + ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç- + + + - ÷çè øq

q q

qF

F F

( )

( )

( )

( )

12 2 1 2 1 1 2 1 2

12 1 2 1 1 2 1 2

sin 0 sin sin

cos 1 cos cos

l l l

l l lh

j j j j j jj

j j j j j

-ì ü æ ö æ ö- + - +ï ï ÷ ÷ï ï ç çï ï ÷ ÷ç ç= -í ý ÷ ÷ç ç÷ ÷ï ï + - - + +ç ç÷ ÷ç çè ø è øï ïï ïî þ

e) Perquè es rearmi la grapadora l’extrem Q de la barra PQ ha d’introduir-se de nou en

el graó de la corredora. Suposant que la rotació de la palanca no és un límit - j1 pot

ser suficientment gran- el graó ha de ser accessible amb la màxima obertura de j2.

Així doncs, després de l’impacte el punt Q de la corredora ha de trobar-se com

màxim a una distància hmax per sota de l’horitzontal que passa per O. En aquest cas

de les equacions d’enllaç [1] s’obté j1 = 52,52º.

Solució Exercici 2

a) Per passar un bidó de l’entrada a la sortida, calen 4 cicles del moviment de la cinta:

punt on el primer manipulador situa el bidó 1r dipòsit; 1r dipòsit 2n dipòsit; 2n

dipòsit 3r dipòsit; 3r dipòsit punt on el segon manipulador recull el bidó. Així

doncs, st = 4·l = 2,4 m i tt = 4(tr + ta) = 28 s.

t [s]0 5 10 15 20 25 3028

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5s [m]

Dipòsit 1

Dipòsit 2

Dipòsit 3

2,4

b) Per garantir la continuïtat global de la llei de desplaçament s(t), cal garantir la

continuïtat en els punts d’unió dels trams de repòs amb els trams de canvi d’estació i

en l’interior d’aquests trams. Imposar la continuïtat C2 en cadascun dels punts



d’unió requereix com a mínim 3 punts de control del tram de canvi alineats amb els

trams de repòs, que són rectes. Per tant, cal un mínim de 6 punts de control; això fa

que la corba de Bézier de grau mínim per definir els trams de canvi d’estació sigui de

grau 5. La continuïtat interna queda garantida per la pròpia continuïtat de la corba

de Bézier i del tram recte.

s [m]

0

0,1

0,2

0,3

0,5

0,4

0,6

Punts de control Polígon de control Domini convex

t [s]0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

D’acord amb l’esquema del dibuix anterior i les propietats de les corbes de Bézier no

paramètriques, les ordenades de Bézier del tram de moviment són:

{ } { }0, 0, 0,1, 1, 1 amb 0,6 mis l l= =

L’expressió del desplaçament és, prenent t = 0 al començament del tram:

( )5

5

0 a

amb i ii

ts s B u u

t=

= =å

c) Les ordenades de Bézier vi de la velocitat són:

{ } { } { } { }a

15 0, 0, 1, 0, 0 amb 0, 0, 1, 0, 0 m/si iv l u u v

t= = =

La corba de Bézier que defineix la velocitat v és:

( )4

4

0i i

i

v v B u=

= å

La velocitat és màxima en el centre del tram de canvi d’estació com es posa de

manifest per la simetria dels punts de control o fent nul·la la seva derivada,

l’acceleració.

( ) 4màx 2

10,5 5 0, 3750 m/s

a

v v u l Bt

= = = =



Les ordenades de Bézier ai de l’acceleració són:

{ } { } { } { }2 2

a

14 5 0, 1, 1, 0 amb 0, 1, 333, 1, 333, 0 m/si ia l u u a

t= ⋅ - = = -

La corba de Bézier que defineix l’acceleració a és:

( )3

3

0i i

i

a a B u=

= å

L’acceleració és màxima a ua max = 0,211325 del domini de la corba de Bézier segons

es diu a l’enunciat i per tant

( ) ( )2

3 3 2màx 1 2

10,211325 4 5 0, 3849 m/s

a

a a u l B Bt

æ ö÷ç ÷= = = ⋅ - =ç ÷ç ÷çè ø

d) A la següent figura es mostren els gràfics de la velocitat i de l’acceleració.

v [m/s]

a [m/s2]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,5

–0,5

1

–1

1,5

– 1,5


t [s]0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

t [s]0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

9

TEORIA DE MÀQUINES i MECANISMES Curs 2017-2018 17 de gener del 2018 – Contingut del sobre: enunciats, full de marques òptiques, 4 fulls quadriculats i 3

fulls en blanc. No es repartirà més material. – Per realitzar l’examen es disposa de tres hores i mitja. – Pel que fa al material escrit només es pot disposar d’un full A4 manuscrit original. – A l’hora d’entregar introduïu els fulls quadriculats en el sobre.

– És pertinent el contingut del document Pautes per a la realització de les proves escrites i per a l’avaluació que es troba a Atenea.


A la figura es mostra la fotografia d’una rebladora manual i l’esquema de símbols del

seu mecanisme quan estira la tija del rebló. Determineu: a) El desplaçament –h(j)– i la velocitat – ( , )h j j – de la tija en funció del moviment

j i j del mànec.

b) La força Fm que s’ha de fer sobre el mànec per vèncer la força Fv que rep de la tija.

Dibuixeu (Fv/Fm)(j) per a 0º≤ j ≤ 25º de manera pulcra i incloent-hi els elements

-eixos, escales…- essencials. Considereu les resistències passives negligibles.

c) L’expressió de la força FS que la tija fa sobre el mànec.

ϕh

O

P Q

R

Tija

V

S

Fv

e

α

Fm

l

β

e = 14 mm l = 195 mmα = 140º β = 8º

Mànec

10


d

e

ls + rb

ϕ

J

O

B

A

rb

MA

rb = 30 mm h = 15 mme = 15 mm l = 55 mmF

A= 100 N μ = 0,2

FA

μ

s [mm]

ϕ [º]0 90 180 270 3600

5

10

15

Tija

Guia

ϕ [º]0 90 180 270 360

d [mm]

0

10

20

A la figura es mostra un mecanisme de lleva de rotació i palpador de translació pla.

Els gràfics que l’acompanyen són el desplaçament del palpador s(j) i la distància del

punt de contacte a l’eix de la tija d(j). El gruix de la tija i el frec entre la lleva i el

palpador es consideren negligibles. El mecanisme està accionat per un actuador que fa

un parell MA sobre la lleva i funciona en règim quasiestàtic; la tija ha de vèncer la

força axial FA. a) Dibuixeu el diagrama de cos lliure del palpador i el diagrama de cos lliure de la

lleva.

El valor de d és màxim quan j = 49,75º i en aquesta configuració s = 7,68 mm i

dmax = 16,40 mm. Determineu per a aquesta configuració: b) La força vertical VJ que la lleva fa sobre el palpador i el parell MA que l’actuador

fa sobre la lleva.

c) El coeficient de frec màxim mmax entre la guia i la tija per tal que no es produeixifalcament.

Segueix al darrera

11


Motor Reductor Receptor

0 4 π 8 π 12 π 16 π 20 π ϕ0

50

100

150

200

Τrec[Nm]

Τrp

Τpic

ϕc0,5 ϕc 0,8 ϕc

Τpic = 200 NmΤrp = 40 Nmnc = 10 voltes/ciclenrec = 400 min-1

τred = 1/13,7ηred = 0,8ηmot = 0,7Ired = 8·10-3 kg·m2

Irec = 48 kg·m2

El receptor d’una màquina està accionat per un motor elèctric a través d’un reductor i

realitza una tasca cíclica que es repeteix cada 10 voltes de l’eix d’entrada,

nc = 10 voltes/cicle. El parell Trec que cal aplicar a aquest eix és l’indicat a la figura,

on jc és l’angle girat per l’eix en un cicle i Trp és el parell necessari per vèncer les

resistències passives.

El rendiment electromecànic del motor i el seu controlador és hmot = 0,7. El reductor

té una relació de transmissió tred = 1/13,7, un rendiment hred = 0,8 i una inèrcia

reduïda al seu eix d’entrada Ired = 8·10–3 kg·m2. La inèrcia del receptor reduïda al seu

eix d’entrada és Irec = 48 kg·m2. La inèrcia del motor es considera negligible.

La màquina funciona en règim estacionari quan l’eix del receptor gira a

nrec = 400 min–1. Determineu:

a) La durada tc d’un cicle i la inèrcia de tota la màquina Imaq reduïda a l’eix

d’entrada del receptor.

b) L’energia Ecicle requerida pel receptor en un cicle i la potència mitjana requerida

Prec que representa.

c) El parell motor mitjà Tmot.

d) La potència elèctrica mitjana Pelec, en kW, que cal subministrar al motor i l’energia

elèctrica Eelec, en kW·h, que consumeix en td = 8 h de funcionament en règim

estacionari.

Durant l’arrencada, des del repòs fins que arriba a la velocitat nominal, la màquina no

realitza cap operació, només venç les resistències passives i s’accelera, i el regulador

del motor manté el parell constant i igual al determinat anteriorment, Tmot. Els

rendiments i les resistències passives es consideren independents de la velocitat.

Determineu:

e) L’acceleració angular arec de l’eix del receptor i el temps ta necessari per arribar al

règim estacionari.



Solució Exercici 1

a) La tija té moviment de translació vertical i el seu desplaçament h es determina

observant el triangle ORS. ( )( ) ( )tan 180º tanh e ea j a j= - + = - + [1] La velocitat de la tija s’obté per derivació d’[1]:

( )2

1

cosh e j

a j= -

+ [2]

b) Per determinar la força Fm es proposa emprar el mètode de les Potències Virtuals

prenent com sistema el mecanisme (tija exclosa) i realitzar un moviment virtual

compatible amb els enllaços per tal que no apareguin les forces d’enllaç en l’expressió

de les potències virtuals. ( )v m

sistema

0 cos 0P F h F l j b* * *= - - =å [3]

En ser el moviment virtual compatible amb els enllaços, la relació de velocitats

virtuals coincideix amb la de velocitats reals [2]. Per tant

( )

v 21

cosF e j

a j*

+ mF l j*- ( )

( ) ( )m v2

cos 0

cos cos

eF F

l

b

b a j

=

=+

[4]

En el gràfic adjunt es mostra (Fv/Fm)(j) per a 0º≤ j ≤ 25º.

c) Per trobar la força FS que la tija fa sobre el mànec es proposa analitzar-lo i emprar el

Teorema del Moment Cinètic prenent moments respecte al punt O. En la figura

adjunta, es mostra el diagrama de cos lliure del mànec.



ϕ

O

P Q

Sα

Fm

FS

β

Mànec

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2ext S m

Mànec 3

S m m2 2

O cos 0

cos coscos

F h e F l

llF F F

eh e

b

b a jb

+ - =

+= = -

+

å M

Solució Exercici 2 a) A la figura adjunta es mostren els diagrames de cos lliure del palpador i de la lleva. A

J la força és vertical ja que es fa la hipòtesi que el frec entre la lleva i el palpador és

negligible. La hipòtesi de joc entre la tija i guia permet concloure que el contacte

entre ells s’estableix en els punts A i B tal com s’indica ja que les altres forces que

actuen sobre el palpador tendeixen a fer-lo girar en sentit antihorari.

d

es + rb

ϕ

J

OB

A

rb

MA

FA

μ

l - (s + rb)

VJ

VJ

VO

HO

NA

NB

J

TA

TB

d

b) Per determinar la força vertical VJ que la lleva fa sobre el palpador i el parell MA que

l’actuador fa sobre la lleva cal aplicar els Teoremes Vectorials al palpador i a la lleva.

Per al palpador es té:

( )

A Bext

J A A Bpalp.

ext J B3palp.

0

0

A 0

N N

V F T T

V d N e

ìï - =ï íï - - - =ïî - =

å

å

F

M



Tenint en compte que entre la tija i la guia hi ha lliscament, TA = m NA i

TB = m NB. De la primera equació es té NA = NB = N, substituint a les altres dues

s’elimina N i s’obté:

J A2

eV F

e dm=

- i per a la configuració indicada J 177,7 NV = . [1]

Aplicant el Teorema del Moment Cinètic a la lleva prenent moments respecte a O es

té:

( )ext A J A J3lleva

O 0 2,915 NmM V d M V d - = = =å M [2]

c) A l’expressió de VJ s’observa que aquesta es fa infinita si e 2 m d = 0 és a dir quan

m = e/(2 d). Aquest és el coeficient de frec llindar a partir del qual es produeix

falcament per a un valor donat de d. Per garantir que el mecanisme no es falqui en

qualsevol configuració el coeficient de frec ha de ser menor que el llindar per a tot d i

aquest llindar és mínim quan d és màxim. En resum doncs

mmax = e/(2 dmax) = 0,4573.

Solució Exercici 3

a) El receptor realitza nrec/nc = 40 cicles per minut. Per tant tc = 1,5 s.

Per calcular la inèrcia total de la màquina Imaq reduïda a la rotació de l’eix d’entrada

del receptor, cal calcular primer l’energia cinètica total de la màquina en funció de la

velocitat angular de l’eix del receptor i posteriorment identificar-la de l’expressió de

l’energia cinètica.

2 2 2c red red rec rec red rec rec2

red

2maq red rec2

red

1 1 1 1

2 2 2

149,50 kg·m

E I I I I

I I I

w w wt

t

æ ö÷ç ÷= + = + ç ÷ç ÷ç ÷è ø

= + =

b) L’energia requerida pel receptor és l’energia que cal subministrar-li i per tant és el

treball fet pel parell que actua sobre el seu eix d’entrada.

( ) ( )cicle rec rec reccicle cicle

rp c pic rp c pic rp c

d d

10,5 0, 3 8, 042 kJ

2

E T t T

T T T T T

w j

j j j

= = =

+ - + - =

ò ò

La potència mitjana requerida s’obté dividint aquesta energia pel temps que tarda en

produir-se.



ciclerec

c

5, 362 kWE

Pt

= =

c) El parell motor mitjà és el que el motor ha de subministrar al reductor per tal que al

receptor li arribi la potència mitjana requerida. A partir de l’aplicació del principi de

conservació de l’energia en versió diferencial al sistema reductor, es té:

subministrada cedida acumuladaP P P= +

Com que el sistema funciona en règim estacionari Pacumulada = 0. Per tant:

( )subministrada cedida

mot dis red rec mot red rec

recmot red rec mot mot red rec mot

mot red

1

11,68 Nm

P P

P P P P P

PP P T P T

h

h w hw h

=

= + = - +

= = = =

d) La potència elèctrica mitjana és la que cal subministrar al motor per tal que al

receptor li arribi la potència mitjana requerida. A partir de l’aplicació del principi de

conservació de l’energia en versió diferencial al sistema format pel motor més el

reductor es té:

recelec

red mot

9, 574 kWP

Ph h

= =

L’energia elèctrica durant 8 h és:

elec elec d 76,60 kW·hE P t= =

e) En les condicions donades i tenint en compte que el sistema accelera, i que per tant

hi ha variació d’energia cinètica, l’aplicació del principi de conservació de l’energia al

sistema format pel reductor i el receptor estableix:

( )

subministrada cedida acumulada mot dis red dis rec c

mot mot red rp rec c mot red rp rec maq rec rec

redmot rp

2rec redmot red rp rec maq rec rec rec

red maq

1

1,778 rad/s

P P P P P P E

P P T E P T I

T T

T T II

h w h w w a

hw th w w a at

= + = + +

= - + + = +

-= + = =

En ser l’acceleració constant el temps d’arrencada és:

recreca

rec rec

223,56 s

60

nt

pwa a

= = =



Es podria considerar que el rendiment per trobar la potència dissipada s’aplica a la

potència subministrada menys l’acumulada (a causa de l’increment d’energia

cinètica), aleshores:

( )( )

( )

( )

mot mot c red red rp rec c

mot red c red red rp rec maq rec rec

redmot red rec rec red rp rec maq rec rec2

red

rec redmot red rec rec red rp rec rec rec rec2

red red

mot

rec

1

1

1

P P E T E

P E T I

IP T I

IT T I

T

h w

h h w w a

h w a h w w at

wh w a h w w a

t t

h

a

= - - + +

= - + +

= - + +

= + +

=

redrp

2redred

red rec2red

1,789 rad/s

T

I I

tht

-=

+

reca

rec

23, 42 stwa

= =

17

TEORIA DE MÀQUINES i MECANISMES Curs 2017-2018 5 d'abril del 2018 – Contingut del sobre: Enunciat, 3 fulls quadriculats i 2 fulls en blanc. No es

repartirà més material. – Per realitzar els dos exercicis es disposa d’una hora i quart. – Pel que fa al material escrit només es pot disposar d’un full A4 manuscrit original. – A l’hora d’entregar introduïu els fulls quadriculats en el sobre. – És pertinent el contingut del document Pautes per a la realització de les proves

escrites i per a l’avaluació que es troba a Atenea. Exercici 1 [6 punts]

A la figura es mostra un tamboret plegable i la seva representació en un esquema de

símbols. Per a l’estudi del mecanisme s’utilitza el vector de coordenades generalitzades

q = {j1, j2, j3, j4, s}T. Determineu:

Determineu: a) El nombre de graus de llibertat del mecanisme i la possible existència de

redundàncies. Justifiqueu adequadament les vostres afirmacions. b) El conjunt d’equacions d’enllaç geomètriques entre les coordenades generalitzades i

la seva matriu jacobiana Fq. c) El centre instantani de rotació de la pota ST. d) El valor de la coordenada s quan es troba en el seu màxim.

O ϕ1

ϕ3ϕ

2

ϕ4

l1l4

l3 l2

l5l6

P

R

S

T

Q

s

l1 = 170 mml2 = 75 mml3 = 77 mml4 = 173 mml5 = 300 mml6 = 300 mm

18

Exercici 2 [4 punts] En un nou model de rentadora, es desitja poder seleccionar la velocitat de centrifugat

entre quatre valors i de manera que s’aconsegueixi passar del repòs a la velocitat

seleccionada sense brusquetats. Un dels requeriments d’aquest procés de disseny és que

el temps per aconseguir la velocitat de centrifugat màxima nmax = 1200 min–1 sigui

ta = 24 s. Per aconseguir-ho, es proposa emprar corbes de Bézier de grau mínim. Per a

aquesta velocitat de centrifugat, a) Dibuixeu en detall, de manera pulcra i precisa, la llei temporal w(t) de velocitat en

aquest procés d’acceleració. Incloeu en aquest dibuix els punts de control i altres

elements útils de la corba de Bézier emprada. b) Determineu el valor de l’acceleració angular màxima, amax, en aquest procés de

centrifugat. c) Determineu el nombre de voltes, nv, que fa el bombo de la rentadora fins a assolir

la velocitat de centrifugat.


Dep. d’Enginyeria Mecànica

Solució Exercici 1

a) Si s’aplica el criteri de superposició de restriccions del moviment (Criteri de

Grübbler) dóna un número de Grübbler igual a 1.

ò ò4(s lids m bils) 3 5(articulacions) 2 1(piu-guia) 1 1´ - ´ - ´ =

Així doncs, el mecanisme té com a mínim 1 grau de llibertat, situació que es donarà

si no té redundàncies. Si s’atura la translació del punt T, 0s = , el punt P queda en

repòs ja que pertany al triangle OPT, de vèrtexs O i T fixos i llargades dels seus

costats constants; el punt Q queda en repòs per pertànyer a la barra OPQ; el punt S

queda en repòs per pertànyer a la barra TPS. Amb els punts S i Q aturats, el punt R

queda en repòs ja que pertany al triangle SRQ. Així doncs, el sistema té un grau de

llibertat ja que anul·lant la velocitat de translació de T tot el sistema queda en repòs.

El mecanisme no presenta redundàncies totals ja que coincideixen el nombre de graus

de llibertat i el número de Grübbler.

b) S’utilitzen 5 coordenades generalitzades – 1j , 2j , 3j , 4j , s– i el mecanisme té un

grau de llibertat; per tant, calen 4 equacions d’enllaç geomètriques, que es poden

trobar imposant la condició de tancament dels anells PQRSP i OPTO. La matriu

jacobiana s’obté derivant les equacions d’enllaç geomètriques respecte a les

coordenades generalitzades.

( )

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

6 1 5 4

6 1 5 4

cos cos cos cos 0

sin sin sin sin 00

cos cos 0

sin sin 0

l l l l

l l l l

l l s

l l

j j j j

j j j j

j j

j j

ì - - + =ïïïï + - - =ïïï =íï + - =ïïïï - =ïïî

qF [1]

( )

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

6 1 5 4

6 1 5 4

sin sin sin sin 0

cos cos cos cos 0

sin 0 0 sin 1

cos 0 0 cos 0

l l l l

l l l l

l l

l l

j j j j

j j j j

j j

j j

æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷÷- - -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷÷çè øç ÷

q qF

c) El centre instantani de rotació STI de la pota ST es pot trobar per inspecció directa

a partir de les velocitats dels punts P i T. Així doncs, STI es troba en la intersecció

de la prolongació de la pota OQ amb la recta vertical que passa per T, tal com es

mostra a la figura adjunta.



d) En la configuració en la qual s és màxima, les coordenades 1j i 4j són mínimes. En

aquesta configuració els punts S, R i Q es troben alineats. L’aplicació del teorema del

cosinus als triangles OPT i PQS porta a:

( )

( ) ( )

2 2 2max 5 6 5 6 1 4

2 2 22 3 1 4 1 4 1 4

2 cos

2 cos

s l l l l

l l l l l l

j j

j j

= + + +

+ = + + +

Així doncs

( )2 2 22 2 2 2 3 1 4max 5 6 5 6

1 4

max

22

265, 8 mm

l l l ls l l l l

l l

s

+ - -= + +

=

O ϕ1

ϕ3ϕ

2

ϕ4

l1l4

l3 l2

l5l6

v(P)

R

S

v(T)

Q

IST

s

O ϕ1

ϕ4

l4

l5l6

P

Ts

màx

l1

l3 l2RS Q


Dep. d’Enginyeria Mecànica

Solució Exercici 2

a) Per tal d’aconseguir un canvi de velocitat sense brusquetats, cal garantir la

continuïtat per a w(t) en els punts d’unió entre el repòs i la velocitat de centrifugat i

durant el procés d’acceleració. Per tant, la continuïtat mínima necessària és C1.

Imposar aquest nivell de continuïtat en els punts d’unió i emprant corbes de Bézier

de grau mínim requereix la utilització de 2 punts de control alineats amb els trams de

la velocitat desitjada, que són rectes. Així doncs, cal un mínim de 4 punts de control,

la qual cosa fa que el grau mínim de la corba de Bézier utilitzada sigui 3. La

continuïtat interna queda garantida per la pròpia continuitat de la corba de Bézier i

del tram recte. A la figura adjunta es mostra w(t) durant el tram d’acceleració, els

punts de control, el polígon de control i el domini convex de la corba de Bézier

emprada en la definició d’aquest tram.


ω [rad/s]

t/ta

0

ωmax

0 1/3 2/3 1

b) La corba de Bézier que descriu el canvi de velocitat ve donada per l’expressió:

3

3

0

( ) ( )i ii

t B u , essent max max0, 0, ,i , a

tu

t i

max max2

60n

max 125,7 rad/s .

En conseqüència, la corba d’acceleració angular ve donada per:

2

2

0

( ) ( )i ii

t B u , essent maxa

13 0, , 0 ambi u u

t.

L’acceleració angular és màxima en el centre del tram, tal com es posa de manifest

per la simetria dels punts de control o fent nul·la la seva derivada, la

sobreacceleració. Així doncs:



2max max 1 max

a a2

max

1 3 1( 0,5) 3 ( 0,5)

2

7, 854 rad/s

u B ut t

c) El nombre de voltes que fa el bombo de la rentadora fins a asssolir la velocitat de

centrifugat es pot obtenir a partir de conèixer l’angle girat durant aquest procés. El

valor d’aquest angle s’obté integrant la corba de velocitat angular w(t).

4

4

0

( ) ( )i ii

t B u , essent max max 1

0, 0, 0, ,4 2i u

L’angle girat durant aquest procés és el corresponent a l’angle girat quan s’ha assolit

wmax.

4maxa 4 v( 1) 1 480 rad 1508 rad 240.

2u t B u n

23

TEORIA DE MÀQUINES i MECANISMES Curs 2017-2018 21 de juny del 2018 – Contingut del sobre: enunciats, full de marques òptiques, 4 fulls quadriculats i 3

fulls en blanc. No es repartirà més material. – Per realitzar l’examen es disposa de tres hores i mitja. – Pel que fa al material escrit només es pot disposar d’un full A4 manuscrit original. – A l’hora d’entregar introduïu només els fulls quadriculats en el sobre. – És pertinent el contingut del document Pautes per a la realització de les proves

escrites i per a l’avaluació que es troba a Atenea. Exercici 1 [3 punts]

Un motor de corrent continu té les característiques indicades a la figura. El motor pot funcionar permanentment si ho fa en la zona marcada en el gràfic com de “funcionament continu”, però només pot funcionar intermitentment sense malmetre’s a la zona marcada com de “funcionament intermitent”. El model electromecànic d’aquest tipus de motor ve donat per les expressions:

( ) ( )0 b1

;T k I I U I Rk

= - = -w essent U la tensió d’alimentació, I el corrent d’alimentació, T el parell subministrat a l’eix i w la velocitat angular de l’eix. a) Dibuixeu la corba característica parell–velocitat quan la tensió d’alimentació és la

nominal.

b) Determineu la potència mecànica màxima que pot subministrar en règim de

funcionament intermitent.

c) Determineu la potència elèctrica consumida i el rendiment en el règim de

funcionament indicat pel punt B. Aquest motor s’utilitza per accionar un mecanisme d’inèrcia reduïda a l’eix del motor Ired = 1520·10–6 kg·m2 i de resistències passives, en principi, negligibles. Determineu: d) El temps mínim necessari per passar del repòs a una velocitat de rotació

nf = 5000 min–1 si només es permet que el motor treballi en la zona de

funcionament continu.

9000

405

6000nt00 n [min-1]

T [mN m]A

B

Funcionamentintermitent

Funcionament continu

Potènciaconstant

Constant de parell k = 38,5·10-3 Nm/ATensió nominal U = 24 VCorrent de buit I0 = 236 mAResistència en borns Rb = 103 mΩMoment d'inèrcia del rotor IG = 53,6·10-6 kgm2

24


O1 O2

O3

P

Q

G

R

s

d1 d2

hϕ1

ϕ2

ϕ3

l1

l3

l5

l2

l6

l4

g

l1 = 525 mm l3 = 875 mm l5 = 385 mm d1 = 770 mm h = 350 mml2 = 385 mm l4 = 700 mm l6 = 350 mm d2 = 1890 mm

A la figura es mostra una màquina excavadora i en l’ampliació el mecanisme que controla l’orientació de la pala. L’esquema del mecanisme està representat per a una alçada de la pala fixada. Per a l’estudi del canvi d’orientació de la pala s’empra el vector de coordenades generalitzades q ={j1, j2, j3, s}T. Determineu: a) El conjunt d’equacions d’enllaç geomètriques entre les coordenades generalitzades i

la seva matriu jacobiana Fq. Per a la configuració q1 ={95,06º, 13,65º, 0º, 1852mm}T, determineu: b) La velocitat angular 3j de la pala quan el cilindre O3R s’allarga amb una velocitat

25 mm/s.s = Nota: utilitzeu la matriu jacobiana següent, calculada a la configuració indicada substituint les longituds en mil·límetres.

c) La velocitat vertical del punt G indicat a la figura i considerat com el centre d’inèrcia de la càrrega de la pala.

d) La força Fch que ha de fer el cilindre hidràulic, a causa del pes de la càrrega de la pala, per mantenir el sistema en repòs.

e) La força FPQ a la qual està sotmesa la barra PQ.

1

6

906,5 206,5 700 0

80, 30 850, 3 0 0

1,944 10 0 0 3703,5

æ ö÷ç- - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷⋅ç ÷ç ÷è øç

qF

25


0

5

10

15

20

ψ [º]25

ϕ [º]60 120 180 240 300 360

ϕ

d

e

A

B

Fm=T0 - k (s-s0)

MAs

δ(ϕ)=γ + ψ(ϕ)

O

O’ l2

rc

βn

l1

0

ϕ [º]60 120 180 240 300 3600-30

-20

-10

0

10

β [º]20

δrp

J1

J2

l1 = 110 mm

l2 = 80 mm

e = 20 mm

rp = 70 mmT0 = 220 N

rc = 20 mm

μ

μ = 0,2

α

α =150

γ = 39,5

k = 1,4 N/mm

Fm

corró 1

corró 2

corba de pas

C2

C1

tija

θ

θ = 42

rc

l2

s0 = 10 mm

A la figura es mostra l’esquema d’un mecanisme de lleva que acciona un palpador de

rotació on s’hi articulen dos corrons de massa i inèrcia negligibles. El corró 2 acciona

un element en forma de T –que té moviment de translació i que venç la força Fm de la

molla lineal que garanteix el contacte entre ambdós. El gruix de la tija i tots els frecs

es consideren negligibles, excepte entre la tija i la guia. El mecanisme s’acciona amb

un actuador que imposa el parell MA sobre la lleva i funciona en règim quasiestàtic.

Les gràfiques mostren la llei de moviment y(j) del palpador de rotació dissenyada

amb corbes de Bézier i la variació de l’angle de pressió b(j) entre la lleva i el

palpador. a) Dibuixeu els diagrames de cos lliure de la lleva, del palpador amb corrons i de

l’element en forma de T. Indiqueu clarament els sentits i les orientacions de les

forces i moments. Per a j = 90º, el palpador ha girat un angle d = 62º, la força de la molla és

Fm = 215,9 N, el mòdul de l’angle de pressió és |b = 8º| i la distància horitzontal

entre l’eix de la tija fins al punt de contacte J2 és d = 12,06 mm. Determineu per a

aquesta configuració: b) El valor de la força vertical que el corró 2 fa sobre l’element en forma de T i el de

la força normal que la lleva fa sobre el corró 1.

c) El valor del coeficient de frec màxim mmax, quan dmax = 24,12 mm, per tal que la

tija de l’element en forma de T no es falqui a la guia.



Solució Exercici 1 a) Combinant les expresions del parell i

de la veloctat angular i elimnant-ne la

intensitat, s’obté l’exprssió del parell

en funció de la velocitat angular de

l’eix.

( )2

0 bb b

k kT U I R

R R= - - w

b) La potència mecànica màxima en règim de funcionament intermitent és la marcada a

la figura com “potència constant”. Es pot determinar a partir de les dades del punt

B: Pmax = T w = 254,5 W.

c) La potència elèctrica consumida es determina com Pelec = U I. Els valors de la tensió

i de la intesitat d’alimentació en el punt B s’obtenen a partir de les expressions del

parell i de la velocitat angular.

0 b elec10,76A 25, 30V 272,1WT

I I U k I R Pk

= + = = + = =w

El rendiment s’obté com el quocient entre la potècia mecànica i la potència elèctrica.

mec

elec

0,9353P

P= =h

d) Si s’aplica el principi de conservació de l’energia al sistema format pel rotor del motor

i el mecanisme

subministrada acumulada cedidaP P P= +

En ser les resistències passives negligibles el terme corresponent a Pcedida és nul. Per

tant:

subministrada acumulada subministrada c G red( )P P P E T I I= = = + w wa

G red( )

T

I I=

+a

Si només es permet que el motor treballi en la zona de funcionament continu, el

temps mínim per arribar a n = 5000 min–1 serà el corresponent al parell màxim

permès que és constant. Es tindrà, doncs, un moviment amb acceleració constant i el

temps per arribar a la velocitat desitjada vindrà donat per:

G red( )2, 034 s

I It

T

+= = =

wwa

8962

059470

T [mN m]

n [min-1]



Solució Exercici 2 a) El mecanisme té un grau de llibertat com es posa de manifest, per exemple, veient

que les barres O1P, PQ, QO2 i la bancada formen un quadrilàter articulat. Per altra

banda el mecanisme no presenta redundàncies ja que si s’aplica el criteri de

superposició de restriccions del moviment (Criteri de Grübbler) dóna un nombre de

Grübbler igual a 1.

ò ò3(s lids m bils) 3 4(articulacions) 2 1´ - ´ =

S’utilitzen 4 coordenades generalitzades i el mecanisme té un grau de llibertat; per

tant, calen 3 equacions d’enllaç, dues de les quals es poden trobar imposant la

condició de tancament de l’anell O1PQO2O1 i la tercera es pot obtenir, per exemple,

aplicant el teorema del cosinus al triangle O2RO3. La matriu jacobiana s’obté

derivant les equacions d’enllaç geomètriques respecte a les coordenades

generalitzades.

( )

( ) ( )

1 2 1 3 2 4 3 1

1 2 1 3 2 4 3

2 2 21 1 1

cos cos sin 0

sin sin cos 0 0

2 cos( ) 0

l l l l d

l l l l

s l d l d

ìï + + - - =ïïïïï + - - = =íïïïï - - - + =ïïî

j j j

j j j

j a

qF [1]

( )

( )

( )1 2 1 3 2 4 3

1 2 1 3 2 4 3

1 1

sin sin cos 0

cos cos sin 0

2 sin( ) 0 0 2

l l l l

l l l l

l d s

æ ö- + - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷+ç ÷ç ÷è ø

j j j

j j j

j aq qF [2]

essent 2 22d d h= + i

2arctan

h

d

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè øa .

b) Prenent s com a coordenada independent i fent la partició de la matriu jacobiana,

particularitzada a la configuració q1, en coordenades dependents i independents es

pot escriure l’equació de velocitats

1

1

2

63

906,5 206,5 700 0

80, 30 850, 3 0 0 ,

3703,51,944 10 0 0

s

-æ öì ü ì üï ï ï ï÷ç - - - ÷ï ï ï ïç ÷ï ï ï ïç ÷ï ï ï ïçï ï ï ï÷ç ÷= - - -í ý í ýç ÷ï ï ï ïç ÷ï ï ÷ ï ïç ÷ï ï ï ïç ÷ï ï ï ï⋅ç ÷ç ÷ ï ïï ï î þî þ è øç

j

j

j

d’on s’obté 3 33 2, 414 10 60, 34 10 rad/ss- -= ⋅ = ⋅ j .

c) La velocitat vertical de G en la configuració q1 es determina com v 3 5(G)v l= j i per

tant és vv(G) = 23,23 mm/s.



d) Prenent com a sistema tot el mecanisme i fent un moviment virtual compatible amb

els enllaços, les úniques potències virtuals no nul·les són les provinents de la força del

cilindre hidràulic Fch, definida positiva de repulsió, i del pes de la càrrega de la pala.

v

* *ch ch 5 30 g (G) 0 g 0P F s m v F s m l* * *= + = + =å j

Les velocitats virtuals s* i 3*j coincideixen amb s i 3j ja que el moviment virtual és

compatible amb els enllaços. Així doncs:

*5 3

ch *g 0,9292 g

lF m m

s= - = -

j

El signe negatiu és indicatiu que el cilindre hidràulic està fent una força d’atracció.

e) La força a la qual està sotmesa la barra PQ, a causa del pes de la càrrega de la pala,

té la direcció de la pròpia barra i es pot determinar a partir del diagrama de sòlid

lliure de la pala. Aplicant el Teorema del Moment Cinètic i prenent moments

respecte a l’articulació fixa O1:

( )ext 1Pala 3

PQ 4 2 5

5PQ

4 2

O 0

cos g 0

g 0,566 gcos

F l m l

lF m m

l

=

- - =

= - = -

å

j

j

M

El signe negatiu indica que en realitat la força FPQ va en sentit contrari. Això és

indicatiu que la barra PQ treballa a tracció.

Alternativament, també es pot determinar a partir del diagrama de sòlid lliure de la

barra O2Q.

Aplicant el Teorema del Moment Cinètic i prenent

moments respecte a l’articulació fixa O2

( )

( )

2

ext 2Barra O Q 3

PQ 1 2 1 2 ch 1

O 0

( )sin sin 0F l l F l

=

+ + - =

å

j j b

M

essent b l’angle que forma la direcció de la força Fch i la barra O2Q i que es pot

determinar a partir d’aplicar el teorema del cosinus al triangle O2O3R.

O2

FPQ

Fch

Q

R

V

H

O1

P

G

FPQ

V

Hm g



( )

2 2 2 21 2

1

1PQ ch ch

1 2 1 2

( )cos 89,69º

2

sin0,6091 0,566 g

( )sin

l s h d

l s

lF F F m

l l

+ - += =

= = = -+ +

b b

bj j

Solució Exercici 3 a) En fer la hipòtesi que els frecs són negligibles, les forces en els punts de contacte J1

(lleva-corró 1) i J2 (corró 2-element en forma de T) tenen la direcció normal a les

superfícies de contacte. Aplicant la hipòtesi de joc, adequada per analitzar el contacte

entre la tija de l’element en forma de T (d’ara en endavant “la T”) i la guia vertical,

es dedueix que el contacte entre aquests dos elements s’estableix en els punts A i B,

tal com s’indica a la figura, ja que la resta de forces que actuen sobre la T tendeixen

a fer-la girar en sentit antihorari.

b) Per determinar la força vertical N2 que el corró 2 fa sobre la T i la força normal N1

que la lleva fa sobre el corró 1 (que és la mateixa que el corró 1 fa sobre la lleva) es

poden aplicar els teoremes vectorials a la T i al palpador de rotació amb els corrons.

MAO

J1

VO

HO

N1

l2

l2

βn

J1

J2

N2

VO’

HO’

N1α

C2

C1 O’

δ

θ

l1

ηφ

ρ

d

e

Fm

s

J2

μ

N2

NA

NBTB

TA



ì - =ïïï íï + + - =ïïîå

A B

extm A B 2T

0

0

N N

F T T NF

( ) ⋅ - ⋅ =å ext 2 B3T

A 0N d N eM

Tenint en compte que entre la tija i la guia hi ha lliscament: TA = m NA i

TB = m NB. De la tercera equació, s’aïlla NB i susbtituint s’obté:

2 m A B 2

1 2

mFN F T T N

d

e

= + + =æ ö÷ç - ⋅ ⋅ ÷ç ÷çè ø

m [1]

=2 284 53 NN ,

Aplicant el teorema del moment cinètic per al palpador amb els corrons en el punt

O’, s’obté:

( ) ( ) ( )ext 2 2 1 23palpador

O ' sin cos 0N l N l ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ =å h bM

essent h = a – d + q –90.

Per tant:

( )( )

( )( )

- + -= = =1 2 2 1

sin sin 90 184,7 N

cos cosN N N N

h a d qb b

c) A l’expressió [1] obtinguda per a la determinació d’N2, s’observa que aquesta força es

fa infinita quan el denominador s’anul·la. Si s’avalua aquest denominador quan

dmax = 24,12 mm s’obté el valor del coeficient de frec màxim que es pot tenir sense

que es produeixi falcament.

max maxmax

11 2 0 0, 4146

2

d e

e d- ⋅ ⋅ = = =m m m

teoria de màquines i mecanismes...laboratori de màquines 5 dep. d'enginyeria mecànica...

Documents