UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

ICEA

Economa

Teora de juegos

Silvia Chvez Rocha Cristina Yaolli Mendoza Perea Anahi Ramrez lvarez

Pachuca de Soto Hgo., Mayo de 2011.

CONTENIDO

+JUEGOS DE DOS PERSONAS a) Con suma cero b) Con punto silla

+JUEGOS DE N PERSONAS

+ TORNEOS

INTRODUCCINEl presente trabajo tiene como finalidad exponer, el tema central de la materia, la teora de juegos. A continuacin se presentan temas como: juegos de dos personas, juegos de N personas y torneos, as como problemas que ejemplifican cada tema. Cabe mencionar que la teora de juegos son situaciones donde los participantes pueden beneficiarse o perder al mismo tiempo. Se desarrolla un juego cada vez que unos individuos se relacionan con otros. Todas las ciencias sociales son subdisciplinas de la teora de juegos. La teora de juegos, tal como se desarrolla ahora, se ocupa sobre todo de qu ocurre cuando los individuos se relacionan de forma racional. Debido a lo anterior, la teora de juegos es un tema bastante importante. Considerando que la teora de juegos es un tema de grandes aplicaciones para el rea econmica, es relevante analizar con profundidad, los principales teoremas que la fundamentan. Es necesario mencionar que la teora matemtica de los juegos, fue inventada por el matemtico hngaro John Von Neumann y por Oskar Morgenstern, en 1944. Los objetivos originales de la teora consistan en encontrar los principios generales del comportamiento racional. Se esperaba que este resultara ptimo contra un comportamiento racional. Se analizaban entonces experimentos imaginarios entre jugadores perfectamente racionales y que saban que sus oponentes tambin lo eran, y que usaran su estrategia similar. Con esto se dan las bases fundamentales de la teora de juegos y siguen su desarrollo hasta la actualidad.

TEORA DE JUEGOS El objeto de estudio de la Teora de Juegos son los juegos. Un juego es un proceso en que dos o ms personas toman decisiones y acciones, la estructura de las cuales est inscrita en un conjunto de reglas (que pueden ser formales o informales), a fines de obtener beneficio. Cada combinacin de decisiones y acciones determina una situacin particular, y dado que las decisiones y acciones de los agentes involucrados pueden ser combinadas de numerosas

formas, las situaciones generadas tambin sern numerosas y su magnitud igual a las de las combinaciones de decisiones y acciones de los agentes. El conjunto total de situaciones posibles ser denominado Cuadro Situacional del Juego. Siguiendo con el razonamiento anterior, encontramos que cada situacin (es decir, cada punto del cuadro situacional) genera una combinacin de premios determinada. El premio que le da a un jugador una situacin particular puede ser comparado con los premios que le ofrecen las otras situaciones. Una regla de oro del anlisis de juegos es la siguiente: "cada jugador buscar su mximo bienestar posible". De esta forma, cuando estudiemos el proceder de un jugador, sabremos que ste deber calificar cada situacin y perseguir siempre las situaciones particulares que ofrezcan el mayor bienestar. Un concepto importante es el del pago. Como se dijo, cada situacin particular ofrece una combinacin de premios, de la manera siguiente: si se trata de dos jugadores, la situacin ofrece un premio para el primero y otro para el segundo. Si se trata de tres jugadores, la situacin genera un premio para cada jugador. sta es la lgica de los premios y las situaciones. A cada premio se le llama pago. Otro concepto central es el de la funcin de utilidad. La funcin de utilidad convierte a los pagos en bienestar. Por ejemplo, si se consigui un pago de veinticinco unidades de dinero, ste pago podra generar un bienestar de veinticinco unidades de bienestar, y estaramos hablando de una funcin identidad. Si la funcin de utilidades fuese una raz cuadrada, el pago de veinticinco unidades correspondera slo a un bienestar de cinco unidades de bienestar. En este documento nos ocuparemos principalmente de funciones de utilidad identidad. Cuando se requiera tratar funciones de utilidad diferentes (como la raz cuadrada), presentar los criterios de tratamiento de tales funciones.

La Teora de Juegos, consiste en estudiar las estrategias ms beneficiosas en campos como la economa, el comercio, la poltica medioambiental o el terreno militar. Para el comportamiento humano, la Teora de Juegos propone un caso

muy representativo, el llamado dilema del prisionero, un juego cuyas reglas son las que siguen: Dos individuos han sido detenidos por cometer un crimen, y son interrogados por separado. Cada uno de ellos tiene dos opciones: declararse culpable o inocente. Entonces la combinacin de las declaraciones de los dos detenidos puede ser de tres formas: 1. Si ambos niegan haber cometido el delito ser muy difcil que se demuestre su culpabilidad, y por tanto es fcil que salgan libres o sufran una pena mnima. 2. Si los dos reconocen su culpa, recibirn la compensacin por su arrepentimiento y cumplirn una pena corta, aunque mayor que la anterior. 3. Sin embargo, si uno se declara inocente y el otro confiesa, la pena para el primero ser mucho mayor que para el segundo. En este juego cada preso se enfrenta a su dilema Es decir, lo ms cmodo para cada uno de ellos individualmente sera declararse culpable, porque al no saber lo que dir el otro, la pena ser menor que si se declara inocente y el amigo hace lo contrario, es lo que se llama desertar, y no conseguir tan buen resultado como si ambos se declaran inocentes, lo que se llamara cooperar, pero la pena ser aceptable. Por el contrario, si uno coopera y el otro deserta, la pena ser la mayor para el primero. Por tanto, parece claro que lo mejor en este caso es desertar, sin embargo, podemos imaginarnos que ambos jugadores pasan por una serie de partidas consecutivas, de forma que cada uno sabe lo que ha hecho el otro en las anteriores y basa su comportamiento en ello. Adems a cada uno de los resultados posibles se le asigna una puntuacin que se va acumulando. Estas puntuaciones podran ser: Si ambos cooperan cada uno recibe 3 puntos. Si ambos desertan cada uno recibe 1 punto. Si uno deserta y el otro coopera, el primero se lleva 5 puntos y el segundo ninguno. Suponemos que estos puntos se traducen en dinero, y cabe preguntarse cul es la estrategia adecuada para ganar ms en este juego del dilema del prisionero repetido. Cooperar a menudo puede provocar que el rival deserte a menudo y obtenga mucho dinero a nuestra costa. Desertar a menudo causa

que el competidor tambin lo haga y el beneficio para ambos sea muy inferior a la colaboracin continuada. Es claro que la cooperacin encadenada entre ambos es lo mejor para los dos, pero el peligro de traicin es evidente.

JUEGOS DE DOS PERSONAS.a) JUEGOS BILATERALES DE SUMA CERO Un Juego de Suma Cero (Zero Sum Game) describe una situacin en la cual la ganancia de un participante est balanceada exactamente con la prdida de los dems. Se llama suma cero porque si la ganancia est representada por un nmero positivo y la prdida por un nmero negativo, la suma de todas stas a la finalizacin del juego es cero. Se llama Juego de Suma Cero porque la idea fue desarrollada dentro de la disciplina Teora de Juegos en Matemticas. El pker es un juego de suma cero: hay un pozo y al final del juego un jugador lo gana, los dems pierden lo que apostaron. La suma de ganancias y prdidas da cero. Compartir una pizza de ocho porciones entre cuatro amigos es un juego de suma cero. El ingreso a una universidad prestigiosa es un juego de suma cero: hay 100 vacantes y 1.000 aspirantes. Si ests rindiendo el examen de ingreso, ests compitiendo por un lugar contra los dems aspirantes. La vacante que ganes, la pierde otra persona. Suma cero describe una situacin en la que la ganancia o prdida de un participante se equilibra con exactitud con las prdidas o ganancias de los otros participantes. Se llama as; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta las prdidas totales el resultado es cero. El ajedrez es un ejemplo de juego de suma cero - es imposible que los dos jugadores ganen. La suma cero es un caso especial del caso ms general de suma constante donde los beneficios y las prdidas de todos los jugadores suman el mismo valor.

Sera irracional que John actuara habitualmente bajo la hiptesis paranoica utilizada cuando se calcula el nivel de seguridad. Por qu tiene que suponer que Mary quiere hacerle dao? Si Mary es racional, buscar maximizar su beneficio en lugar de minimizar el de John. Hay juegos, sin embargo, en los que ser paranoico es completamente racional. Estos se dan cuando los intereses de Mary son diametralmente opuestos a los de John. En este caso, maximizar el pago de Mary equivale a minimizar el de John. Estos juegos son llamados de suma cero. Preferencias diametralmente opuestas Un juego de suma cero es un juego en el que los pagos siempre suman cero. En el caso de dos jugadores, la condicin es ( ) Para todo del conjunto ( )

de resultados finales. Como anteriormente,

representan las funciones de utilidad de Von Neumann y Morgenstern de los jugadores. Un juego G de dos jugadores y de suma cero es necesariamente estrictamente competitivo. Esto no es completamente obvio cuando el juego contiene sucesos al azar. En este caso ambos jugadores deben tener preferencias opuestas, no slo sobre resultados finales, sino tambin sobre loteras. Sin embargo, si ( ) ( ) ( ) ( ) . As, ( ) ( )

En ocasiones, el modelar algunos problemas como juegos de suma cero, se olvidan las actitudes de los jugadores hacia el riesgo.

Hay una clase importante de juegos bilaterales que admiten un anlisis mucho ms exhaustivo que los de tipo general .Estos son los llamados de suma constante. Incluyen entre ellos muchos de los juegos bilaterales que usualmente se conciben como tales en el uso cotidiano del trmino (juegos de cartas, ajedrez ,competiciones deportivas).La caracterstica fundamental

de estos juegos es que la suma de los pagos de los jugadores se mantiene constante para cualquier perfil de estrategia de ambos .En particular, es

especialmente natural centrarse (sin ninguna prdida de generalidad),en el caso en que esta suma es idnticamente cero .Formalmente la definicin de tales juegos de suma cero es como sigue: Un juego bilateral ( ) ( ) {* +* +* + es de suma cero si satisface que

para todo s

Problema: Demuestre que un juego en el que se gana, se pierde o se empata no es un juego de suma cero si cada jugador obtiene una utilidad = 1 por la victoria, utilidad = 0,5 por un empate y utilidad = -1 por la derrota. Qu puede decirse sobre un juego de suma cero que ordene las tres alternativas de la misma manera? Solucin Segn los datos facilitados ui (gana 1) = 1 - 1 = 0 ui (gana 2) = -1 + 1 = 0 ui (empatan) = 0,5 + 0,5 = 1 Luego no es un juego de suma cero (en principio). No obstante, observemos que: Gana 1 >1 Empatar >1 Ganar 2, Gana 1