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MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 1
Matemática Computacional
Introducción a la Teoría de Grafos
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MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 2
Logro
El alumno, al término de la unidad, será capaz de manejar los distintos tipos de aplicaciones concernientes a la teoría de grafos, así como saber utilizar los algoritmos que resuelven problemas de camino más corto y redes de transporte.
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Contenido
• Conceptos básicos asociados a los grafos.• Representación matricial de un grafo.• Caminos, conexión y componentes conexas.
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INTRODUCCIÓN
¿Es posible recorrer los siete puentes de la ciudad de Königsberg pasando por todos ellos una única vez, partiendo y llegando al mismo sitio?
L. Euler, en 1 736, resolvió este problema proponiendo el concepto de grafo.
MA475 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
grafo
C
B
DA
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APLICACIONES
MA475 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
Tiempo de vuelos aéreos
Madrid
Coruña
Valencia
Barcelona
Sevilla
Santander2 2
1
4
12
23
2
Planificación de tareas (Pert/CPM)
inicio A(3)
B(2)
D(2)
C(4) E(3) finalI(1)
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APLICACIONES
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Arquitectura de redes de telefonía móvil
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CONCEPTO DE GRAFO
Un grafo G = (V, E) está compuesto de:
V : conjunto de vértices o nodos
E : conjunto de aristas o arcos que conectan los vértices en V.
Una arista e = (v, w) está formada por dos vértices v y w, en los cuales v es el nodo origen y w es el nodo destino.
Ejemplo:
MA475 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
a b
d e
cV = { a, b, c, d, e}E = { (a, b), (a, c), (a, d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e) }
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GRAFO DIRIGIDO Y NO DIRIGIDO
Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual las aristas tienen una dirección definida, mientras que el grafo no dirigido es aquel en el que las aristas conectan a los nodos en ambas direcciones.
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MULTIGRAFOUn multigrafo es un grafo que tiene aristas múltiples; es decir, aristas que relacionan los mismos nodos. De esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más de una arista (en la figura se muestran 3 aristas que conectan Bogotá con Cúcuta).
Grafo que representa vuelos sin escala entre ciudades de Colombia
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MATRIZ DE ADYACENCIA
La matriz de adyacencia de un grafo G = (V, E) ,
donde V = {v1, v2,…, vn}, es una matriz A={aij} tal
que aij = 1 si (vi, vj) E, y aij = 0 en caso contrario.
Matriz de adyacencia de un grafo dirigidoOBS. Si el grafo es no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica
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EJEMPLO
Determine la matriz de adyacencia de los siguientes grafos:
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MATRIZ DE INCIDENCIA
Se llama matriz de incidencia de un grafo de n nodos y m aristas, a la matriz B de orden n x m en la que la entrada bij = 1 si la arista j-ésima es incidente
(termina en el nodo) en el nodo i-ésimo y bij = 0, en caso contrario.
Ejemplo: Veamos la matriz de incidencia del grafo con vértices {1,2,3,4,5} y aristas {A,B,C,D,E,F,G,H}
Matriz de incidencia de un grafo
A
B C
DE
FG
H
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CAMINOS Y CICLOS
Un camino es una secuencia finita de vértices, en la cual cada par de vértices consecutivos son adyacentes entre sí.
Un ciclo es un camino donde el vértice inicial y final coinciden.
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MATRIZ DE CAMINOS
Se llama matriz de caminos asociada a un grafo a aquella matriz
A={aij} tal que aij = 1 si existe un camino que une vi con vj, y aij
= 0 en caso contrario.
Esta matriz se representa por:
Ejemplo: En el grafo mostrado vemos que los vértices 1 y 5 no son adyacentes pero existe un camino para llegar desde 1 hasta 5
Matriz de caminos de un grafo
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ALGORITMO PARA CALCULAR LA MATRIZ DE CAMINOSPaso 1: Se calcula la matriz de adyacencia asociada al grafo
Paso 2: Se marcan todos los 1 existentes en la diagonal de la matriz de adyacencia.
Paso 3: Se selecciona, en orden, una fila I de la matriz que aún no ha sido trabajada.
• Se toma el primer 1 «no marcado» de la fila I, y dicho 1 corresponderá a la columna J.
• Se ubica la fila que tiene al vértice J como origen.• Se copian todos los 1’s de la fila J hacia la fila I.• Se marca el 1 correspondiente a la fila I, columna J
Paso 4:
Ir al paso 4 hasta que todos los 1’s de la fila seleccionada se encuentren marcados ó hasta que toda la fila contenga 1’s.
Paso 5:
Ir al paso 3 hasta que se hayan trabajado todas las filas existentes.
Paso 6:
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EJEMPLO
Determine la matriz de caminos asociada al grafo:
SOLUCIÓN:
Paso 1: Se calcula la matriz de adyacencia asociada al grafo
ℳ𝑅=¿
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Paso 2: Se marcan todos los 1 existentes en la diagonal de la matriz de adyacencia.
En este caso, no hay ningún 1 para marcar.
Paso 3: Se selecciona, en orden, una fila I de la matriz que aún no ha sido trabajada.
Primero seleccionamos la fila 1
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Paso 4: • Se toma el primer 1 «no marcado» de la fila I, y dicho 1 corresponderá a la columna J (en este caso la columna 2).
• Se ubica la fila que tiene al vértice J como origen (en este caso la fila 2).
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• Se copian todos los 1’s de la fila J hacia la fila I. (Es decir, de la fila 2 hacia la fila 1).
• Se marca el 1 correspondiente a la fila I, columna J.
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Ir al paso 4 hasta que todos los 1’s de la fila seleccionada se encuentren marcados ó hasta que toda la fila contenga 1’s.
Paso 5:
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Ir al paso 3 hasta que se hayan trabajado todas las filas existentes.
Paso 6:
Continuando el proceso, llegamos a la matriz de caminos:
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EJERCICIOS
Determine la matriz de caminos asociada a cada uno de los siguientes grafos:
12
4
3
51
2
4
3
5