teoria de filtros 2011
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SISTEMAS ELECTRNICOS DE CONTROL
TEORA DE FILTROS Introduccin
Diagramas de Bode Filtros Elctricos
Filtro Pasivos y Activos Analgicos Consideraciones Generales Sobre los Filtros
Diseo de un Filtro Pasa bajo Diseo de un Filtro Pasa alto
Diseo de un Filtro Pasa banda Diseo de un Filtro Elimina Banda
Tablas de Coeficientes
6 B ELECTRNICA 2011
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El filtro elctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por Estados Unidos y por K. W. Wagner1910 1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920, Campbell y otros desarrollaron el estos filtros se les llama filtros pasivosdcada de 1930, S. Darlingtonnecesaria para disear filtros pasivos. El filtro Wireles Engineering en 1930.
Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, en un filtro elctrico, al filtro se le llama relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros activos RC prcticos se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en un escrito clsico de R. P. Sallen
Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas lineales. Las grficas logartmicas se denominan quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Telephone durante las dcadas de 1930 y 1940.
En los diagramas de Bode se represpuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de amplitud o mdulo. El diagrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.
Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el cual la magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas amplintervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal.
A continuacin se observa un filtro pasa bajo pasivo y su funcin de transferencia:
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1. INTRODUCCIN El filtro elctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por George Campbell
K. W. Wagner en Alemania. Con el surgimiento de la radio en el periodo 1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el
radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920, Campbell y otros desarrollaron el filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A
filtros pasivos debido a que se componen de elementos pasivos. En la S. Darlington, S. Butterworth y E. A. Guillemin desarrollaron la teora
a para disear filtros pasivos. El filtro pasa bajo tipo Butterworth se di a conocer en en 1930.
Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, en un filtro elctrico, al filtro se le llama filtro activo. Puesto que los inductores son relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros
os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en R. P. Sallen y E.L. Key (Sallen y Key, 1955).
2. DIAGRAMAS DE BODE Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas
s. Las grficas logartmicas se denominan Diagramas de Bode en honor de quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la
durante las dcadas de 1930 y 1940. En los diagramas de Bode se representa en forma separada, el mdulo de la funcin de
respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de
agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.
Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se
representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas amplintervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal.
A continuacin se observa un filtro pasa bajo pasivo y su funcin de transferencia:
Figura 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1 orden.
ssCRsC
R
sCV
V
IN
OUT
.+11
=
..+11
=
.
1+
.
1
=
Electrnica 2
George Campbell en on el surgimiento de la radio en el periodo
1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920,
filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A debido a que se componen de elementos pasivos. En la
desarrollaron la teora tipo Butterworth se di a conocer en
Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, . Puesto que los inductores son
relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros
os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en
Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas en honor de H. W. Bode,
quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell
resenta en forma separada, el mdulo de la funcin de respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de
agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.
Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se
representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas ampla el
A continuacin se observa un filtro pasa bajo pasivo y su funcin de transferencia:
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El mdulo de la funcin de transferencia es:
El mdulo INOUT VVaproximadamente igual a 0,1 cuando figura 2 para realizar una aproximacin asinttica del diagrama.
La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente con el eje de frecuencias, y otra con una pendiente de frecuencia recibe el nombre de octava) o de abscisa 1= , llamada pulsacin de corte.
El diagrama de fase para el filtro calculado segn la siguiente ecuacin:
Figura 2
El diagrama de fase es mucho ms difcil de aproximar ylineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.
Como regla general, todo polo real produce una cada de cambiado de signo, y todo cero real produce una elevacipartir de su valor cambiado de signo.
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Donde js = , 1-=j y =.CR
El mdulo de la funcin de transferencia es: 21
=INOUT VV
1 cuando 1,0= , es igual a 0,707 cuando e igual a 0,1 cuando 10= . Estos puntos son utilizad
para realizar una aproximacin asinttica del diagrama. La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente
l eje de frecuencias, y otra con una pendiente de -6dB/octava (cada duplicacin de frecuencia recibe el nombre de octava) o -20dB/dcada la cual corta a la otra recta en el punto
, llamada pulsacin de corte.
e fase para el filtro pasa bajo o cualquier otra funcin de transferencia es calculado segn la siguiente ecuacin:
=
=
1.
ImRe 11 tgtg
Figura 2.- Diagrama de Bode de un filtro pasa bajo pasivo.
El diagrama de fase es mucho ms difcil de aproximar ya que la funcin tangente no es lineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.
Como regla general, todo polo real produce una cada de -6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo, y todo cero real produce una elevacin de la pendiente en +6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo.
Electrnica 3
( )2.+1
, es igual a 0,707 cuando 1= y es . Estos puntos son utilizados en la grfica de la
La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente 6dB/octava (cada duplicacin de
20dB/dcada la cual corta a la otra recta en el punto
o cualquier otra funcin de transferencia es
a que la funcin tangente no es lineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.
6dB/octava a partir de su valor n de la pendiente en +6dB/octava a
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Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa spartes. Una parte se deja pasar sin modificacin a la salida; la otra se elimina. En otras palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro.entender cmo opera un filtro elctric
Esta entrada consiste en una suma de diferente. (Por ejemplo, los voltajes peridicos pueden representarse de esta manera utilizando la serie de Fourier). El filtro separa elcomo base de la separacin. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, consiguiente, son diversos los tipos de filtros idealestipos de filtros que existen.
Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su funcin de red obtenemos:
A la frecuencia c se la llama frecuencia de corte. La frecuencia de corte separa el intervalo de frecuencias en dos bandas, la banda de paso, en donde corte, en donde > c. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias estn dentro dbanda de paso experimentan una ganancia unitaria y un desplazamiento de fase nulo. Estos trminos se dejan pasar, sin modificacin, a la salida del filtro. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias estn en la banda de corte experimentan una gantrminos se eliminan o suprimen. Un filtro ideal separa su entrada en dos partes: los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso y los trminos cuyas frecuencias estn en la
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3. FILTROS ELCTRICOS Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada
como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa su voltaje de entrada en dos partes. Una parte se deja pasar sin modificacin a la salida; la otra se elimina. En otras palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro.entender cmo opera un filtro elctrico, considrese el siguiente voltaje de entrada
( ) ttttvent ++= 321 coscoscos Esta entrada consiste en una suma de seales senoidales, cada una en una frecuencia
diferente. (Por ejemplo, los voltajes peridicos pueden representarse de esta manera utilizando ). El filtro separa el voltaje de entrada en dos partes, utilizando la frecuencia
como base de la separacin. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, consiguiente, son diversos los tipos de filtros ideales. En la figura 3 se muestran los
.
Figura 3.- Filtros ideales.
Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su funcin de red obtenemos:
( )
>
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banda de corte. La salida del filtro consta dede paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son aproximaciones a los ideales.
4. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOSUn filtro analgico, como su nombre l
analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como resistencias, bobinas, capacitores y
Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, pueutilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de all la nec
En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacioeliminndose las bobinas y obtenindose
La bobina es el elemento que ms aleja al filtro de bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del mismo.
Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando por lo tanto muy buena capacidad de aislamiede clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente.
Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad importante para seales de bajo nivel.
Factor de calidad relativamente grande, Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.
Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respect Necesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido. Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de
la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la cosalida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen dinmico est limitado a unos 120 dB.
Muy sensibles a los cambios de temperatuproducen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia, con la posibilidad de tornar inestable al circuito.
Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general MHz.
En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir bobinas de alto Q.
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banda de corte. La salida del filtro consta de los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son aproximaciones a los ideales.
. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOSUn filtro analgico, como su nombre lo indica, es un filtro que funciona con componentes
analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como istencias, bobinas, capacitores y amplificadores operacionales. Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, puesto que para su implementacin se
utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de all la necesidad de contar con filtros sin inductores.
En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacioeliminndose las bobinas y obtenindose las siguientes ventajas:
La bobina es el elemento que ms aleja al filtro de su comportamiento ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del
Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando por lo tanto muy buena capacidad de aislamiento, permitiendo la conexin en cascada de clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente. Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad
para seales de bajo nivel. Factor de calidad relativamente grande, alcanzando valores de hasta Q = 500.Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.
Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respectNecesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido.Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la cosalida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen dinmico est limitado a unos 120 dB. Muy sensibles a los cambios de temperatura y al envejecimiento de componentes, que producen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia, con la posibilidad de tornar inestable al circuito. Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general
En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir
Electrnica 5
los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son
. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOS o indica, es un filtro que funciona con componentes
analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como
sto que para su implementacin se utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas
esidad de contar con filtros sin inductores. En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacionales,
su comportamiento ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del
Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando nto, permitiendo la conexin en cascada
de clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de
Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad
hasta Q = 500. Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.
Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respecto a los pasivos: Necesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido. Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la corriente de salida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen
ra y al envejecimiento de componentes, que producen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia,
Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general ms all de 1
En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir
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Figura 4
5. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS El circuito RC que se observa en la figura 5
implementar.
Su funcin de transferencia es la siguiente:
La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando
Con el objeto de analizar el problema de una forma de frecuencia compleja s
De donde:
La frecuencia de corte del circuit
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Figura 4.- Filtro pasa bajo de segundo orden pasivo y activo.
CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS RC que se observa en la figura 5, constituye el filtro pasa bajo ms simple de
Figura 5.- Filtro pasa bajo pasivo de 1 orden.
erencia es la siguiente:
CRsCR
s
CRsA
..+11
=
.
1+
.
1
=)(
La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando
CRjjA ..+11
=)(
Con el objeto de analizar el problema de una forma ms general, normalizaremos la variable por la siguiente definicin:
c
n
ss
=
n
cc
sjffjj ===
La frecuencia de corte del circuito de la figura 5 viene dada por:
CRf c
...21
=
pi.
Electrnica 6
de segundo orden pasivo y activo.
CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS FILTROS , constituye el filtro pasa bajo ms simple de
La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando s por j . As:
ms general, normalizaremos la variable
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Por lo tanto Rssn ..=manera:
Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en las seales senoidales de entrada obtenemos:
Para >> 1, es decir parade -20dB por dcada de frecuencia o
Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar pasa bajo en cascada, como
Figura 6
La expresin de la funcin de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:
A
donde los coeficientes 1, la ganancia disminuye entonces transferencia posee n polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasaRC pasivos de orden n. Si se coneccorte desacoplados, se tiene:
Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual filtro completo multiplicada
En la figura 7 se muestra se obtuvo de la conexin en cascada de cuatro filtros pasacada filtro individual es de llega a -80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada
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C. y la funcin de transferencia puede reescribirse de la siguiente
nssA
+11
=)(
Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en idales de entrada obtenemos:
2+11
=)(
jA
es decir para f >> fc, |A| = 1/; esto corresponde a una reduccin de ganancia 20dB por dcada de frecuencia o -6dB por octava.
Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar pasa bajo en cascada, como se observa en la figura 6.
Figura 6.- Filtro pasa bajo pasivo de cuarto orden.
La expresin de la funcin de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:
).+1)...(.+1).(.+1(1
=)(21 nnnn
n ssssA
, 2, 3 son reales y positivos. Para >> 1, |A| es proporcional ala ganancia disminuye entonces n x 20 dB por dcada. Se puede ver que la funcin de
polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasa. Si se conectan en cascada filtros pasa bajo de idnticas frecuencias de
corte desacoplados, se tiene:
1-2==...== 21 nn
Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual filtro completo multiplicada por el factor 1/.
se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 4 orden, que se obtuvo de la conexin en cascada de cuatro filtros pasa bajo de 1 orden. La atenuacin de cada filtro individual es de -20 dB/dcada (curva 1), mientras que la atenuacin total del filtro
80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada , es decir = f/fc.
Electrnica 7
y la funcin de transferencia puede reescribirse de la siguiente
Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en
; esto corresponde a una reduccin de ganancia
Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar n filtros
La expresin de la funcin de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:
es proporcional a 1/n; por dcada. Se puede ver que la funcin de
polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasa bajo tan en cascada filtros pasa bajo de idnticas frecuencias de
Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual a la del
de un filtro pasa bajo de 4 orden, que bajo de 1 orden. La atenuacin de
a atenuacin total del filtro 80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se
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Nota: Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4
Figura 7.- Respuesta
La funcin de transferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:
=)(sA
Donde an y bn son reales y positivos. Para Existen diferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede
optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientesAl originarse polos complejos
pasivos RC. Una manera de obtenerfrecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems de ser difciles de obtener, tienen malas propiedadebobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a la
En los siguientes apartados se va aoptimizaciones ms importantes
5.1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTHLos filtros pasa bajo de
frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms alto.
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Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4 orden ideal.
Respuesta amplitud-frecuencia un filtro pasivo RC pasa bajo de 4 orden.
nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:
++1)...(++1).(++1( 2222110
sbsasbsasbsaA
nn
son reales y positivos. Para n de orden impar, el coeficientediferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede
optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientescomplejos conjugados, stos no se pueden obtener con
. Una manera de obtener polos complejos conjugados es el uso defrecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems de ser difciles de obtener, tienen malas propiedades elctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a las redes RC. Tales circuitos se llaman filtros activos.
En los siguientes apartados se va a analizar brevemente la respuesta en frecuenciams importantes, cuyo diseo e implementacin se explicaran ms adelante.
.1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTH Los filtros pasa bajo de Butterworth tienen una respuesta horizontal o plana
frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms
Electrnica 8
Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4
bajo de 4 orden.
nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:
)2s
de orden impar, el coeficiente b1 es cero. diferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede ser
optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientes an y bn. obtener con elementos
polos complejos conjugados es el uso de redes RLC. En frecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems
s elctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo
RC. Tales circuitos se llaman filtros activos. la respuesta en frecuencia de las
se explicaran ms adelante.
tienen una respuesta horizontal o plana de amplitud-frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms
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Figura 8.- Respuesta
5.2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSLos filtros pasa bajo de
los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la tiene una ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los Butterworth.
Figura 9.- Respuesta
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Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Butterworth.
.2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSHEV Los filtros pasa bajo de Chebyshev tienen una cada en su ganancia an ms abrupta que
los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la na ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por
encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los
Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Chebys
Electrnica 9
tro pasa bajo de Butterworth.
tienen una cada en su ganancia an ms abrupta que los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la ganancia vara y
na ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los filtros de
de un filtro pasa bajo de Chebyshev.
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5.3 FILTRO PASA BAJO DE BESSELLos filtros pasa bajo de
subyacente es que el retardo de gposible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta, La respuesta amplitud-frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como los filtros de Butterworth o Chebyshev.
La figura 7 muestra las respuestas amplitudsiendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. puede ver que el filtro pasa bajo de de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una ondulacin en la banda de paso de la respuesta amplitudreduce gradualmente, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable
Figura 10.- Comparacin de la respuesta amplitud
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.3 FILTRO PASA BAJO DE BESSEL Los filtros pasa bajo de Bessel dan la ptima respuesta de onda cuadrada. La condicin
subyacente es que el retardo de grupo es constante en el margen de frecuencia ms amplio posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta,
frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como de Butterworth o Chebyshev.
La figura 7 muestra las respuestas amplitud-frecuencia de los tres tipos de filtro descsiendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase.
ue el filtro pasa bajo de Chebyshev tiene la ms abrupta transicin desde la banda de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una ondulacin en la banda de paso de la respuesta amplitud-frecuencia. Como esta on
te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable
Comparacin de la respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa baj
Electrnica 10
dan la ptima respuesta de onda cuadrada. La condicin rupo es constante en el margen de frecuencia ms amplio
posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta, frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como
frecuencia de los tres tipos de filtro descritos, siendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. Se
hev tiene la ms abrupta transicin desde la banda de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una
frecuencia. Como esta ondulacin se te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de
Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable sobre impulso.
un filtro pasa bajo de 4 orden.
-
2011
Figura 11.- Comparacin de la respuesta
6. DISEO DE UN FILTRO La siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro
pasa bajo.
=)(sA
Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:
Las etapas de 1 y 2 orden constituyen los blde un orden mayor.
La figura 12 muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo criterio se utiliza para filtros de orden superior.
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Comparacin de la respuesta de fase de un filtro pasa bajo de 4 orden.
. DISEO DE UN FILTRO PASA BAJOLa siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro
++1)...(++1).(++1( 2222110
sbsasbsasbsaA
nn
Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:
sa
AsA
1
0
+1=)(
Las etapas de 1 y 2 orden constituyen los bl oques bsicos para la construccin de filtros
muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo
terio se utiliza para filtros de orden superior.
Electrnica 11
de un filtro pasa bajo de 4 orden.
PASA BAJO La siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro
)2s
Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente b siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:
oques bsicos para la construccin de filtros
muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo
-
2011
Figura 12.- Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden
6.1 FILTRO PASA BAJOLa figura 13 y 14 muestran un filtro
inversora, respectivamente.
Figura 13.-
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Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden superior.
PASA BAJO DE 1 ORDEN muestran un filtro pasa bajo de 1 orden en s u configuracin
respectivamente.
- Filtro pasa bajo de 1 orden en configuracin no inversora
Electrnica 12
Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden
u configuracin no inversora e
de 1 orden en configuracin no inversora .
-
2011
Figura 14
La funcin de transferencia de estos circuitos es:
sCRRR
sAc ...+1
+1=)(
11
3
2
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendr
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
3
20 +1= R
RA
111 ..= CRa c
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fcircuito (A0) y el valor de Ccalcular R1 y R2.
1
11
...2=
Cfa
Rcpi
)1-.(= 032 ARR
El coeficiente a1 se obtiene los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este coeficiente toma valores diferentes a 1.
Ejemplo 1. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa bajo
R =1
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14.- Filtro pasa bajo de 1 orden en configuracin inversora.
La funcin de transferencia de estos circuitos es:
y sA+1
=)(
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
y 0 -=A
y 1 =a c
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (f) y el valor de C1 que ser definido de antemano. Con estos datos solo nos resta
y 2.2
=R
y 1 =R
se obtiene por tabla (ver apartado 10). Para los filtros de 1 orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este
valores diferentes a 1.
Diseo de un filtro pasa bajo de 1 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de 1 orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz y C
pipi
kFHzCf
a
c
38,3=10.47.10.1..2
1=
...2 9-311
Electrnica 13
de 1 orden en configuracin inversora.
sCRRR
c ...+
-
12
1
2
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en emos la seal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
1
2-
RR
12 .. CRc
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del antemano. Con estos datos solo nos resta
1
1
... Cfa
cpi
0
2-=
AR
. Para los filtros de 1 orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este
de 1 orden con ganancia unitaria. = 1 kHz y C1 = 47 nF.
-
2011
Cuando la ganancia del amplificador esamplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa en la siguiente figura:
Figura 15.- Filtro
6.2 FILTRO PASA BAJOExisten dos topologas para los filtros
controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topologa de filtro emltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuacin analizaremos
6.2.1 Topologa SallenLa topologa Sallen-Key general, para un filtro
y su funcin de transferencia se muestra a continuacin:
+1=)(sA
c
Si el circuito de la figura 15obtenemos el circuito de la figura 1
)(sA
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transde un filtro pasa bajo, podemos obtener los coeficientes
Definiendo C1 y C2 distintos, los valores de Recuaciones con dos incgnitas dado por
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Cuando la ganancia del amplificador es unitaria, la configuracin no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa
Filtro pasa bajo de 1 orden no inversor, con ganancia unitaria.
BAJO DE 2 ORDEN Existen dos topologas para los filtros pasa bajo de 2 orden, la Sallen -
controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topologa de filtro es la llamada de Rauch o de realimentacin mltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, A0 es negativa, y por lo tanto, produciendo un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuacin analizaremos en detalle la topologa Sallen-Key.
.2.1 Topologa Sallen-Key Key general, para un filtro pasa bajo, se puede observar en la figura 1
y su funcin de transferencia se muestra a continuacin:
212
210211
0
...+]..).-1(+)+.(.[ CRRsCRARRCA
cc
a figura 15 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria, obtenemos el circuito de la figura 16, cuya funcin de transferencia es la siguiente:
22121
2211 .....+).+.(.+1
1=)
sCCRRsRRC cc
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de trans, podemos obtener los coeficientes A0, a1 y b1.
1=0A
)+.(.= 2111 RRCa c
21212
1 ....= CCRRb c
distintos, los valores de R1 y R2 se obtiene resolviendo el sistema de dos aciones con dos incgnitas dado por a1 y b1.
21
21122
2121
2,1....4
...4-..=
CCfCCbCaCa
Rcpi
Electrnica 14
unitaria, la configuracin no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa
de 1 orden no inversor, con ganancia unitaria.
-Key o red con fuente controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a
s la llamada de Rauch o de realimentacin es negativa, y por lo tanto, produciendo
un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A
, se puede observar en la figura 15
221 .. sCC
lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria, , cuya funcin de transferencia es la siguiente:
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general
se obtiene resolviendo el sistema de dos
-
2011
Para obtener valores reales dentro de la raz, C
Figura 1
Figura 17.- Filtro pasa bajo
Ejemplo 2. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa bajo
y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a
Chebyshev con 3 dB de ripple.
Si definimos C1 = 22nF
C2
Con el valor de C1 y C2
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Para obtener valores reales dentro de la raz, C2 debe satisfacer la siguiente condicin:
21
112
.4.
a
bCC
16.- Filtro pasa bajo de 2 orden de topologa Sallen- Key.
pasa bajo de 2 orden de topologa Sallen- Key con ganancia unitaria.
Diseo de un filtro pasa bajo de 2 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de Chebyshev de 2 orden con una frecuencia de cort e f
y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a1 y b
Chebyshev con 3 dB de ripple. 0650,1=1a
9305,1=1b = 22nF podemos determinar el valor de C2 como sigue:
nFnFa
bC 1500650,1
9305,1.4.10.22.4. 29-2
1
112 =
2 podemos determinar el valor de R1 y R2.
Electrnica 15
debe satisfacer la siguiente condicin:
Key.
Key con ganancia unitaria.
de 2 orden con ganancia unitaria. de Chebyshev de 2 orden con una frecuencia de cort e fc = 3 kHz
y b1 para un filtro de
-
2011
R10.150.0650,1
=
-9
1
R10.150.0650,1
=2
Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:
Figura 18.- Filtro
En la topologa Sallen-C. En tal caso, la funcin de transferencia queda de la siguiente
1)(sA
+=
Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un filtro pasa bajo, podemos obtener los coeficientes a
Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de R.
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pi 10.150.10.22.10.3..4150.10.22.9305,1.4-)10.150.0650,1(-
9-9-3
-92-9-9
pi 10.150.10.22.10.3..4150.10.22.9305,1.4-)10.150.0650,1(+10
9-9-3
-92-9-9
Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:
Filtro pasa bajo de Cebyshev de 2 orden con ganancia unitaria.
Tabla 1.- Coeficientes para un filtro de 2 orden.
-Key, puede darse el caso especial en el que R1 . En tal caso, la funcin de transferencia queda de la siguiente forma:
220
0
.)..().3.(.. sCRsACRA
cc + con 0 1=A
Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un , podemos obtener los coeficientes a1 y b1.
)3.(.. 01 ACRa c = 2
1 )..(= CRb c Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de
Cfb
Rc ...2
=1
pi y Qb
aA 13-31
10 ==
Electrnica 16
k26,1=10.150 -9
k30,1=10.150 -9
Cebyshev de 2 orden con ganancia unitaria.
= R2 = R y C1 = C2 =
3
4+1RR
Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un
Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de
-
2011
El circuito de la figura 1variando la relacin R4/R3.
Figura
6.3 FILTRO PASA BAJOPara necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente
abrupta en la regin de atenuacin de laque pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2 orden para cascada uno de primer orden para producto de las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para tres secciones idnticas, esto no es correcto porque el filtro resultante corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama logartmico sumamos tres respuestas iguales.
Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de filtros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia de corte y caractersticas deseadas.
Ejemplo 3. Diseo de un filDisear un filtro pasa bajo
kHz. En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de
5 orden.
Filtro 1
Filtro 2
Filtro 3
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El circuito de la figura 19, permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R.
Figura 19.- Filtro pasa bajo de 2 orden con ganancia unitaria.
PASA BAJO DE ORDEN SUPERIOR Para necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente
abrupta en la regin de atenuacin de la banda debern emplearse filtros de un orden superior, que pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2 orden para n par, y agregando a la cascada uno de primer orden para n impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al
las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para n = 6, conectar en cascada tres secciones idnticas, esto no es correcto porque el filtro resultante tendr una frecuencia de corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama logartmico sumamos tres respuestas iguales.
Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo
que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia de corte y caractersticas deseadas.
Diseo de un filtro pasa bajo de 5 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de Butterwoth de 5 orden con una frecuencia de cor te f
En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de
ai bi
Filtro 1 a1 = 1 b1 = 0
Filtro 2 a2 = 1,6180 b2 = 1
Filtro 3 a3 = 0,6180 b3 = 1
Electrnica 17
, permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R4, es decir
de 2 orden con ganancia unitaria.
Para necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente banda debern emplearse filtros de un orden superior,
par, y agregando a la impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al
las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar , conectar en cascada
tendr una frecuencia de corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama
Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo
que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia
de 5 orden con ganancia unitaria. de Butterwoth de 5 orden con una frecuencia de cor te fc = 50
En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de
-
2011
A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro orden.
Figura
Si establecemos el valor de C
=R.21 pi
Figura
Para la segunda etapa definimos C
CC 2
Con C1 y C2 calculamos el valor de R
R10.5,1.618,1
=1
R10.5,1.618,1
=2
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A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro
Figura 20.- Filtro pasa bajo de 1 orden con ganancia unitaria.
Si establecemos el valor de C1 en 1nF.
== kFCf
a
c
16,318,310.1.10.50..2
1..
9-31
1
pipi
Figura 21.- Filtro pasa bajo de 2 orden con ganancia unitaria.
Para la segunda etapa definimos C1 = 820pF.
nFnFFa
bC 5,126,1618,1
1.4.10.820.4. 2
12-22
21 ==
calculamos el valor de R1 y R2 con la siguiente frmula:
21
21122
2121
2,1....4
...4-..=
CCfCCbCaCa
Rcpi
pi 10.5,1.10.820.10.50..410.5,1.10.820.1.4-)10.5,1.618,1(-10
9-12-3
-9-122-9-9
pi 10.5,1.10.820.10.50..410.5,1.10.820.1.4-)10.5,1.618,1(+10
9-12-3
-9-122-9-9
Electrnica 18
A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro pasa bajo de 1
de 1 orden con ganancia unitaria.
k16
de 2 orden con ganancia unitaria.
nF
k87,1=-9
k42,4=-9
-
2011
Para el clculo de la tercera etapa se procede de la misma con la diferencia de que los coeficientes a utilizar sern aetapa definimos C1 = 330pF y obtenemos C
CC 2Con C1 = 330pF y C2 = 4,7nF, los valores de R
La figura 22 muestra el circuito definitivo.
Figura 22.- Filtro pasa bajo
7. DISEO DE UN FILTRO Los filtros normalizados
altos cambiando la variable normalizada sgrfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la respuesta amplitud-frecuencia del filtro ganancia A0 en bajas frecuencias se convierte en A
Figura 23.- Respuesta amplitud
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Para el clculo de la tercera etapa se procede de la misma manera que en la etapa anterior, con la diferencia de que los coeficientes a utilizar sern a3 y b3 en lugar de a
= 330pF y obtenemos C2.
nFnFFa
bC 7,446,3=
618,01.4
.10.330=.4
. 212-
22
21
= 4,7nF, los valores de R1 y R2 son:
kkR 47,145,1=1
kkR 53,451,4=2 muestra el circuito definitivo.
pasa bajo de Butterworth de 5 orden con ganancia unitaria y f
. DISEO DE UN FILTRO PASA ALTOLos filtros normalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados s cambiando la variable normalizada sn por 1/sn. Este cambio de variable significa en el
grfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la cuencia del filtro pasa bajo, como se observa en la figura
en bajas frecuencias se convierte en A o ganancia en alta frecuencia.
Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa alto comparada con la de un filtro
Electrnica 19
manera que en la etapa anterior, en lugar de a2 y b2. Para esta
nF
de Butterworth de 5 orden con ganancia unitaria y f c = 30kHz.
PASA ALTO pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa
. Este cambio de variable significa en el grfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la
, como se observa en la figura 23. La o ganancia en alta frecuencia.
comparada con la de un filtro pasa bajo.
-
2011
La funcin de transferencia general de un filtro
)(sA
Como suceda en los filtros coeficiente b es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:
7.1 FILTRO PASA ALTOLa figura 24 y 25 muestran un filtro
inversora, respectivamente.
Figura 24.-
Figura 25
La funcin de transferencia de estos circuitos es:
CR
RR
sA
c
1.
..
1+1
+1=)(
11
3
2
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La funcin de transferencia general de un filtro pasa alto queda de la siguiente forma:
)++1)...(++1).(++1(=)
2222
211
s
bs
a
s
bs
a
s
bs
a
Ann
Como suceda en los filtros pasa bajos de 1 orden, en un filtro pasa altoes cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente
s
a
AsA
1
+1=)(
PASA ALTO DE 1 ORDEN muestran un filtro pasa alto de 1 orden en su configuracin no inversora e
inversora, respectivamente.
- Filtro pasa alto de 1 orden en configuracin no inversora.
25.- Filtro pasa alto de 1 orden en configuracin inversor
La funcin de transferencia de estos circuitos es:
s
1 y sA+1
=)(
Electrnica 20
queda de la siguiente forma:
pasa alto de 1 orden el es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente
de 1 orden en su configuracin no inversora e
de 1 orden en configuracin no inversora.
de 1 orden en configuracin inversor a.
sCR
RR
c
1.
..
1+
11
1
2
-
2011
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
3
2 +1= R
RA
El coeficiente a1 es el mismo para ambos circuitos.
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fcircuito (A) y el valor de Ccalcular R1 y R2.
)1-.(= 32 ARR
7.2 FILTRO PASA ALTOPara un filtro pasa alto
pasa bajo de 2 orden, la SallenRauch o de realimentacin mltiple.
7.2.1 Topologa SallenLa topologa Sallen-Key gene
su funcin de transferencia se muestra a continuacin:
12
.
+.(+1
=)( CCRsA
c
Figura
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El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
y =A
es el mismo para ambos circuitos.
111
..
1= CRa c
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (f) y el valor de C1 que ser definido de antemano. Con estos datos solo nos resta
111
....21
= CafR cpi
y 2 =R
PASA ALTO DE 2 ORDEN de 2 orden se utilizan las mismas dos topologas q ue para los filtros
de 2 orden, la Sallen -Key o red con fuente controlada y la topologa llamada de Rauch o de realimentacin mltiple.
.2.1 Topologa Sallen-Key Key general, para un filtro pasa alto, se puede observar en la figura 2
su funcin de transferencia se muestra a continuacin:
22121
22121
212 1.
....
1+
1.
....
)1(.+)sCCRRsCCRR
CRCc
con
Figura 26.- Filtro pasa alto de 2 orden de topologa Sallen
Electrnica 21
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
1
2-
RR
Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del no. Con estos datos solo nos resta
1.-R= A
de 2 orden se utilizan las mismas dos topologas q ue para los filtros Key o red con fuente controlada y la topologa llamada de
, se puede observar en la figura 26 y
con 3
4+1=RR
de 2 orden de topologa Sallen -Key.
-
2011
Si el circuito de la figura 21), y C1 = C2 = C obtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.
A
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencde un filtro pasa alto, podemos obtener los co
Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores podemos encontrar el valor de R
Figura 27.- Filtro pasa alto
7.3 FILTRO PASA ALTOAl igual que los filtros
conectando en cascada etapmismos que para los filtros
Ejemplo 5. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa alto
coeficientes del filtro se obtienen
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ito de la figura 26 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitariaobtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.
2221
21
1.
...
1+
1.
..
2+1
1=)(
sCRRsCR
sA
cc
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferenc, podemos obtener los coeficientes A, a1 y b1.
1=A
CRa c ..2
=
11
221
21...
1=
CRRb
c
Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores podemos encontrar el valor de R1 y R2.
11
...
1=
aCfR cpi
1
12
....4= bCf
aR
cpi
pasa alto de 2 orden de topologa Sallen- Key con ganancia unitaria.
PASA ALTO DE ORDEN SUPERIOR Al igual que los filtros pasa bajo, los filtros pasa alto de orden superior son diseados
conectando en cascada etapas de filtros de 1 y 2 orden. Los coeficientes utilizados son los que para los filtros pasa bajo, los que se obtienen por tabla (apartado 10).
Diseo de un filtro pasa alto de 3 orden con ganancia unitaria.pasa alto de Bessel de 3 orden con una frecuencia de corte f
coeficientes del filtro se obtienen por tabla (ver seccin 10).
Electrnica 22
lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria ( = obtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general
Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores
Key con ganancia unitaria.
de orden superior son diseados as de filtros de 1 y 2 orden. Los coeficientes utilizados son los
por tabla (apartado 10). orden con ganancia unitaria. orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz. Los
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2011
Filtro 1
Filtro 2
A partir de estos coeficientes y especificando el valor de las resistencias en cada etapa.
Si establecemos el valor de C
=
CafR c ....21
11 pi
Para la segunda etapa definimos C = 100nF.
=
aCfR c ...1
1 pi
=
bCfa
Rc ....41
2 pi
La figura 24 muestra el
Figura 28.- Filtro pasa alto
8. DISEO DE UN FILTRO Un filtro pasa banda puede ser implementado conectando en serie un filtro
filtro pasa alto con frecuencias de corte fnormalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados cambiando la variable normalizada s
En este caso, el filtro pasa bajodel filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como sobservar en la figura 29.
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ai bi
Filtro 1 a1 = 0,756 b1 = 0
Filtro 2 a2 = 0,996 b2 = 0,4772
A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa.
Si establecemos el valor de C1 en 100nF.
==
kFHzC
105,210.100.756,0.10.1..2
193
1 pi
Para la segunda etapa definimos C = 100nF.
==
kFHza
18,3756,0.10.100.10.1.
193
1 pi
==
kFHzb
67,14772,0.10.100.10.1..4
9996,093
1 pi
La figura 24 muestra el circuito definitivo.
pasa alto de Bessel de 3 orden con ganancia unitaria y f
. DISEO DE UN FILTRO PASA BANDApuede ser implementado conectando en serie un filtro
ecuencias de corte f1 y f2, respectivamente. Asimismo, los filtros s pueden ser convertidos en filtros normalizados
cambiando la variable normalizada sn por:
+
ss
1.
1
pasa bajo es transformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como s
Electrnica 23
de los capacitores, calculamos el valor
k1,2
k16,3
k65,1
de Bessel de 3 orden con ganancia unitaria y f c = 1kHz.
PASA BANDA puede ser implementado conectando en serie un filtro pasa bajo y un
, respectivamente. Asimismo, los filtros s pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa banda
nsformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como se puede
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2011
Figura 29.- Transformacin de un filtro
La frecuencia de corte del filtro inferior y superior del filtro el ancho de banda normalizado:
En analoga con un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin entre la frecuencia media o mitad (f
Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro conectando en cascada un filtro la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores.
Por otro lado, si conectaalto de 1 orden, obtendremos un filtro conectamos filtros pasa bajoorden.
8.1 FILTRO PASA BANDAPara obtener la respuesta de un filtro
transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro orden.
A(
De esta manera obtenemos la funcin de transferencia de un filtro
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Transformacin de un filtro pasa bajo en un filtro pasa banda
ecuencia de corte del filtro pasa bajo, se transforma entonces en la frecuencia de corte inferior y superior del filtro pasa banda. La diferencia entre ambas frecuencias es definida como el ancho de banda normalizado:
12 = n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin
la frecuencia media o mitad (fm) y el ancho de banda (B).
=
=
==
111212 ff
fBfQ mm
Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro ctando en cascada un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto, lo que es un criterio valido para
la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores.
Por otro lado, si conectamos en cascada un filtro pasa bajo de 1 orden con un filtro de 1 orden, obtendremos un filtro pasa banda de 2 orden, de la misma forma, si
pasa bajo y pasa alto de 2 orden, obtendremos un filtro
PASA BANDA DE 2 ORDEN Para obtener la respuesta de un filtro pasa banda de 2 orden, aplicaremos la
transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro
s
As
+=
1)( 0 reemplazando s por
+
ss
1.
1
De esta manera obtenemos la funcin de transferencia de un filtro pasa banda
Electrnica 24
pasa banda.
, se transforma entonces en la frecuencia de corte . La diferencia entre ambas frecuencias es definida como
n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin
Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro pasa banda es , lo que es un criterio valido para
la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de
de 1 orden con un filtro pasa de 2 orden, de la misma forma, si
de 2 orden, obtendremos un filtro pasa banda de 4
de 2 orden, aplicaremos la transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro pasa bajo de 1
pasa banda de 2 orden.
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2011
Cuando diseamos un filtro son la ganancia en la frecuenciaselectividad del filtro pasa banday por 1/Q obtenemos:
8.1.1 Topologa SallenEl circuito pasa banda
siguiente funcin de transferencia:
Figura
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro pasa banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Frecuencia media:
Ganancia interna:
Ganancia en la frecuencia media:
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20
.1..)(
ss
sAsA
++
=
Cuando diseamos un filtro pasa banda, los parmetros a tener en cuenta para el diseo son la ganancia en la frecuencia mitad (Am) y el factor de calidad Q, el que representa la
pasa banda. Por lo tanto, reemplazando en la ecuacin anterior A
211)(
ssQ
sQA
sA
m
++=
.1.1 Topologa Sallen-Key pasa banda, de topologa Sallen-Key, que se observa en la figura 29
siguiente funcin de transferencia:
2222...).3.(..1
....)(sCRsGCR
sCRGsA
mm
m
++=
Figura 30.- Filtro pasa banda de topologa Sallen-Key.
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general , podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Frecuencia media: CR
fm...2
1pi
=
Ganancia interna: 1
21RRG +=
Ganancia en la frecuencia media: G
GAm
=
3
Electrnica 25
, los parmetros a tener en cuenta para el diseo ) y el factor de calidad Q, el que representa la
. Por lo tanto, reemplazando en la ecuacin anterior A0 por Am
, que se observa en la figura 29 tiene la
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general
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2011
Factor de calidad:
La configuracin Sallenvariado a travs de la ganancia interna (G) sidesventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Aindependientemente. Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la ganancia Am pasa a ser infinit
Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fvalores calculamos el valor de R.
Debido a la dependencia entre Q y ADefinir el valor de la ganancia en la
O definir el valor de Q:
9. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDAUn filtro de eliminacin de banda o supr
un sumador analgico un filtro frecuencia de corte f2.
Al igual que para un filtro banda se puede hallar a partir de la respuesta una adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable normalizada sn por:
Donde tiene la misma definicique suprime.
Al igual que en el caso de un filtro orden del filtro. As, aplicando la transformacin a un filtro resultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente expresin:
En este caso, el filtro pasa bajodel filtro y luego es espejado parapuede observar en la figura 31
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Factor de calidad: G
Q
=
31
La configuracin Sallen-Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (fdesventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas
Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la pasa a ser infinita, lo que provoca que el circuito comience a oscilar.
Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor de R.
CfR m ...21
pi=
Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el clculo de Refinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:
m
m
AA
R+
=
11.2
2
QQR 1.22
=
. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDAUn filtro de eliminacin de banda o supresin de banda puede implementarse conectando a
or analgico un filtro pasa bajo con frecuencia de corte f1 y un filtro
Al igual que para un filtro pasa banda, el diagrama de Bode de un filtro de eliminacin debanda se puede hallar a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajouna adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable
ss
1+
tiene la misma definicin que para un filtro pasa banda, referido aqu a la banda
Al igual que en el caso de un filtro pasa banda, la transformacin de frecuencia duplica el orden del filtro. As, aplicando la transformacin a un filtro pasa bajos de 1 orden da porresultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente
2
20
.1)1.()(ss
sAsA
+++
=
pasa bajo es transformado en la mitad inferior de la banda del filtro y luego es espejado para formar la mitad superior de la banda puede observar en la figura 31.
Electrnica 26
Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser n modificar la frecuencia media (fm). Como
no pueden ser ajustadas Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la
lo que provoca que el circuito comience a oscilar. ) y el valor de C y a partir de estos
os posibilidades para el clculo de R2.
. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDA esin de banda puede implementarse conectando a
y un filtro pasa alto con
, el diagrama de Bode de un filtro de eliminacin de pasa bajos utilizando
una adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable
, referido aqu a la banda
, la transformacin de frecuencia duplica el s de 1 orden da por
resultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente
de la banda suprimida de la banda suprimida, como se
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2011
Figura 31.- Transformacin de un filtro
Tomando la funcin de transferencia anterior y reemplazando
9.1 FILTRO ELIMINA BANDA En la figura 32 se observa una red
incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de un amplificador, convirtindose as en un filtro elimina banda activo,figura 33.
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Transformacin de un filtro pasa bajo en un filtro elimina banda.
Tomando la funcin de transferencia anterior y reemplazando por 1/Q nos queda:
2
20
.
11
)1.()(ssQ
sAsA
++
+=
.1 FILTRO ELIMINA BANDA EN T PARALELO se observa una red T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para
incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de onvirtindose as en un filtro elimina banda activo, como se observa en la
Figura 32.- Seccin T pasiva.
Electrnica 27
en un filtro elimina banda.
por 1/Q nos queda:
T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de
como se observa en la
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La funcin de transferen
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Frecuencia media:
Ganancia interna:
Ganancia en la frecuencia media:
Factor de calidad:
La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuenpodemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Aindependientemente.
Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fvalores calculamos el valor de R.
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Figura 33.- Filtro elimina banda activo.
La funcin de transferencia del circuito de la figura 32 es la siguiente:
2
2
).2.(21)1.()(
ssksk
sA++
+=
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Frecuencia media: CR
fm...2
1pi
=
Ganancia interna: 1
21RRG +=
Ganancia en la frecuencia media: GA =0
Factor de calidad: )2.(21
GQ
=
La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (fmpodemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas
Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos lor de R.
CfR m ...21
pi=
Electrnica 28
Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general
La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado m). Como desventaja
no pueden ser ajustadas
) y el valor de C y a partir de estos
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Debido a la dependencia entre Q y ADefinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:
O definir el valor de Q:
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Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el clculo de RDefinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:
102 )1( RAR =
= QRR .2
11.12
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, existen dos posibilidades para el clculo de R2.
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10. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES
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. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES FILTROS
Tabla 2.- Coeficientes de Butterworth.
Electrnica 30
. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES
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Tabla
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Tabla 3.- Coeficientes de Chebyshev para 0,5 dB de ripple.
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hebyshev para 0,5 dB de ripple.
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Tabla
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Tabla 4.- Coeficientes de Chebyshev para 1 dB de ripple.
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Tabla
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Tabla 5.- Coeficientes de Chebyshev para 2 dB de ripple.
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Tabla
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Tabla 6.- Coeficientes de Chebyshev para 3 dB de ripple.
Electrnica