teoria de exponentes y radicales
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LIBRO DE MATEMATICATRANSCRIPT
25 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
TEORIA DE
EXPONENTES 2
El último teorema de Pierre de Fermat, es uno de los teoremas más famosos de la historia de la matemática; cuyo enunciado es: No existen números enteros x; y; z que verifiquen la ecuación:
, cuando n es mayor que dos
CAPACIDADES
Al estudiar este capítulo el
alumno será capaz de:
Identificar los elementos de la
potenciación.
Reconocer las propiedades de
los exponentes.
Analizar las propiedades de la
teoría de exponentes y
radicales.
Aplicar las propiedades de la
teoría de exponentes en la
solución de ejercicios y
problemas.
Identificar y comprobar los
teoremas de radicación.
Aplicar las propiedades de las
ecuaciones exponenciales.
Reconocer las expresiones con operaciones que se repiten indefinidamente.
Realizar operaciones de
multiplicación, potenciación,
división y radicación.
El enunciado de este teorema quedó anotado en un margen de su
ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría traducida al latín
por Bachet publicado en 1621. La nota de Fermat fue descubierta
póstumamente por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica
este Libro con las numerosas notas marginales de Fermat.
Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La
Aritmética de Bachet lo siguiente: “Es imposible descomponer un
cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general,
una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del
mismo exponente. He encontrado una demostración realmente
admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla”
Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles demostró este
teorema. Por dicha demostración se ofrecieron cifras millonarias
durante años.
Wiles nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge182, Inglaterra.
Según afirma el propio Wiles, su interés por este teorema surgió
cuando era muy pequeño.
26 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
2. TEORÍA DE EXPONENTES
Son fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones
algebraicas de un solo término en las operaciones de multiplicación,
división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.
Definiciones previas
CASO DEFINICIONES EJEMPLOS
Exponente natural
Exponente nulo
Todo número diferente de cero
elevado al exponente cero es igual a la unidad.
( )
(√ )
Exponente negativo
Todo número diferente de cero elevado a un exponente negativo se invierte.
(
)
(
)
Exponente fraccionario
√
Se expresa equivalentemente como los radicales donde el numerador de dicho exponente es el exponente del radicando y el denominador representa al índice del radical.
√
√
𝑏𝑛 𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑏 𝑏…𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑛
n veces
El exponente natural indica las
veces que se repite la base.
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación , , , , Aunque la palabra raíz proviene
del latín radix, la radicación fue
conocida por los hindúes y por
los árabes mucho antes que por
los romanos. Las reglas para
extraer raíces cuadradas y
cúbicas aparecieron por primera
vez en textos hindúes.
27 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo
un número llamado base (b) tantas veces como indica otro número
llamado exponente(n). Su algoritmo se expresa por:
exponente
base potencia
𝒃𝒏 𝑷 𝑏𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 … 𝑏 𝑃
n veces
( ) ( )
2.1. Ley de los signos de la
potenciación:
I) Si la base es positiva, la
potencia es positiva así el
exponente sea par o impar.
Ejemplo:
a) ( )
b) ( )
II) Si la base es negativa, la
potencia es positiva si el
exponente es par:
Ejemplo
a) ( )
b) ( )
II) Si la base es negativa, la
potencia es negativa si el
exponente es impar:
Ejemplo
a) ( )
b) ( )
2.2. Observación del teorema 5
2.1. Potenciación
Teoremas Fundamentales de la potenciación
TEOREMA GENERALIZACIÓN EJEMPLOS
1. Producto de Potencias de Igual Base
1)
2)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
1)
2)
3. Producto de Potencias de Diferente Base
( ) 1) ( )
2) ( )
4. Cociente de Potencias de Diferente Base
(
)
1)
(
)
2)
(
)
5. Potencia de Potencia (Ver 2.1)
{[( ) ] } 1) {[( ) ] }
2) {[( ) ] }
28 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
Es la operación aritmética inversa a la potenciación que consiste en hallar un número “r” llamado raíz (en la potenciación se llama base), que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad b, llamado radicando. Su algoritmo se expresa por:
TEOREMA GENERALIZACIÓN EJEMPLOS
6. Exponente de
exponente
(
)
(
)
√
7. Potencia de una raíz
(√
) √
(√
)
√
2.3. Ley de los signos de la
radicación:
I) Si el radicando es positivo, la
raíz es positiva así el índice sea
par o impar.
Ejemplo:
a) √
b) √
II) Si el radicando es negativo y
el índice es impar, la raíz es
negativa.
Ejemplo
a) √
b) √
III) Si el radicando es negativo y
el índice es par, la raíz no existe.
Ejemplo
a) √
b) √
.
Teoremas Fundamentales (continuación)
𝑏𝑚𝑛𝑝 𝑏𝑚𝑛𝑝 x
y
𝑏𝑚𝑥 𝑏𝑦
2.2. Radicación
Teoremas Fundamentales de la radicación
radicando
índice de la raíz
símbolo de la raíz
√𝒃𝒏
𝒓 ⇔ 𝒓𝒏 𝒃 𝒏 𝒏 𝟐
raíz
TEOREMA GENERALIZACIÓN EJEMPLOS
8. Raíz de un producto
√
√
√
√
√
√
9. Raíz de un cociente
√
√
√ √
√
√
29 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√√√
√√ √
√
√
2.4. Observación del teorema N° 10
2.5. Algunas propiedades de la
radicación
√
√
√
√
√
,
√
,
√
| |,
√ √
Teoremas Fundamentales de la radicación (continuación)
TEOREMA GENERALIZACIÓN EJEMPLOS
10. Raíz de una raíz (Ver 2.4)
√√√
√
√√√
√
11. Raíz de raíz con
radicando
√ √ √
√
√ √ √
√
Son aquellas operaciones con exponentes y radicales que se repiten
indefinidamente y que tienen una regla de formación.
CASO GENERALIZACIÓN
1
√ √ √ …
√
√ √ √ …
√
√
Ejemplo:
2 √
√
√
…
√
√
√
√
…
√
Ejemplo:
3
√ ( ) √ ( )
√ √ √
Ejemplo:
√ √ √
2.3. Casos especiales
30 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
CASO GENERALIZACIÓN
4 √ ( ) √ ( )
√ √ √
√ √ √
Ejemplo:
5
√
√
Ejemplo:
6
√ √
√
√ √
√
Ejemplo:
7
√ √
√
√ √
√
Ejemplo:
8 √ √ √ …
√
√ √ √ …
√
Ejemplo:
9 √ √ √ …
√
√ √ √ …
√
Si “n” es par
Si “n” es impar
¿Alcanzaría todo el trigo
del mundo para pagar el
juego de ajedrez?
El ajedrez tiene su origen en un
juego hindú denominado
Chaturanga, que posiblemente
se fusionó con otro juego griego
denominado Petteia, ambos
juegos existen desde la
antigüedad, las primeras
apariciones del juego actual son
de los alrededores del año 500
de nuestra era, y llegó a Europa
a través de los árabes.
Cuenta la leyenda que el rey
indio Iadava acababa de perder a
su hijo en una batalla y un
ciudadano (Sessa) que se enteró
quiso alegrarlo enseñándole el
juego del ajedrez. Parece ser
que el rey quedó fascinado con
el juego y era tan grande su
agradecimiento que ofreció a
Sessa para que él pidiese lo que
quisiera.
Lo único que pidió Sessa fue
trigo. Le pidió al rey que le diera
un grano de trigo por la primera
casilla del ajedrez, dos por la
segunda, cuatro por la tercera, y
así sucesivamente multiplicando
por dos, hasta llegar a la última
casilla, la número 64.
El número de granos de trigo
solicitado sería: S = 1 + 2 + 22 +
23 + ... + 263
S = 1 8 44 6 74 4 07 3 70 9
55 1 615( Dieciocho trillones
cuatrocientos cuarenta y seis mil
setecientos cuarenta y cuatro
billones setenta y tres mil
setecientos nueve millones
quinientos cincuenta y un mil
seiscientos quince).
Casos especiales (continuación)
31 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE EXPONENTES
1. Si
y (
)
Halla A+B
Solución:
… ⏟
… ⏟
… ⏟
… ⏟
… ⏟
… ⏟
2. Reducir:
Solución:
(
)
,
( )
( )
3. Reducir: (
) ,
Solución:
Factorizando
Producto de extremos y medios
√
4.Simplificar:
Solución:
32 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√
√
√
5. Reducir:
√
Solución:
√
=
:
6. Simplificar:
Solución:
(
√ √
√
√( )
)
(
)
(√ √
√ ) (
)
√
√
7. Simplificar:
(√ √
√
√(
) ) (
)
Solución:
√ √
√ √
√ √
√ √
8. Efectuar:
Solución:
=√
√
33 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9. Si
Hallar:
Solución:
P=
Remplazando:
en P
P=
√ √ √
10. Si √ √ √
Y √ √ √
Hallar: √
Solución:
(Por casos especiales 3)
(remplazando el valor de S en V)
√ √ √
(√
)
Finalmente: √
√
√ √ √ √
…
√ √ √ …
√
√ √ √ √
…
√
11. Si √ √ √ …
Hallar:
Solución: (Por casos especiales 1)
Luego:
√
√
12. Si:
;
Hallar:
Solución: (Por casos especiales 5)
Si:
Si:
Luego: (√
)
34 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√
√
√
√
√( )
√
13. Reducir:
Solución:
14. Si
Calcular: P=
Solución:
Remplazando en P
P=
P = 27
√ √ √ √√√
√ √ √ √√√
√
√
√
√
√
15. Simplificar:
Solución:
√
16. Si se cumple:
Calcula: R=
Solución:
De
Remplazando en R
R=
R = 3 + 3 + 9 + 27 = 42
35 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
APLICA TUS CONOCIMIENTOS
( )
1) Calcular:
Respuesta: 1
√
2) Hallar:
Respuesta: 6
(
)
3) Hallar el valor de:
Respuesta: 2
[(
) (
) (
)
]
4) Reducir:
Respuesta: 5
36 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
[( )
]
[( )
]
5) Reducir:
Respuesta: 1
[
] [
]
6) Calcula:
Respuesta: 1
7) Hallar x en:
Respuesta: 3
√ √ √ √ √
8) Reducir:
Respuesta: 7
37 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√ √ √ √
√ √ √ √
9) Hallar el valor de N:
Respuesta: 1
√ √ √ √ √
10) Simplificar:
Respuesta: 7
√ √
√
…
√
√
√
…
11) Hallar el valor de:
Respuesta: 1
√
12) Reducir:
Respuesta: 24
38 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√
13) Reducir:
Respuesta: y
√ √ √
√ √ √ …
14) Hallar: ( ) Si:
√ √ √
L √ √ √ …
Respuesta: 1
15)Hallar S en:
Respuesta: 10
16) Si ,
Respuesta: 256
39 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
( ) ( )
√ √
√
√
√
√
√
√
2.6. Algunas observaciones y
propiedades importantes
√
√
√ √
Si
= n
√ √
√
√
Son aquellas ecuaciones que llevan la incógnita en el exponente de una
potencia, o puede encontrarse como base de la potencia.
2.4. Ecuaciones exponenciales
CASO GENERALIZACIÓN EJEMPLOS
M O
N Ó
M I
C A
S
1.
Igu
ald
ad d
e b
ases
,
Si
Resolver: Solución: -Expresando el segundo miembro como potencia
-Igualando exponentes y resolviendo la ecuación
2.
Igu
ald
ad d
e
exp
on
ente
s
Si ( , )
( ) ( )
Resolver:
Solución: -Igualando las bases y resolviendo la ecuación
3.
Igu
ald
ad d
e b
ase
y ex
po
nen
te
(ecu
acio
ne
s t
rasc
en
de
nta
les)
Si
Resolver:
Solución: Descomponiendo el exponente en el segundo miembro
-Igualando las bases y exponentes para luego resolver
4.
An
alo
gía
de
térm
ino
s
O si
√
Resolver:
Solución: Expresando el segundo miembro como exponente fraccionario
T R
I N
Ó M
I C
A S
5.
Cam
bio
de
vari
able
Son ecuaciones con tres términos y mediante un cambio de variable se convierte a una ecuación de segundo grado
,
Resolver:
Solución:(Usando las propiedades de las potencias
Haciendo el cambio de variable
(resolviendo)
Sustituyendo y por e igualando exponentes
x= 0; x= -1
40 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
1. Resolver:
Solución: Igualando exponentes(caso 1)
3x+5 = 6x + 20
Resolviendo la ecuación
6x -3x = -20 + 5
3x = -15
x=
x= - 5
( )
( )
2. Resolver:
Solución: Factorizando
3. Resolver:
Solución: Por cambio de variable ( caso 5 )
Haciendo un cambio de variable y ordenando
Resolviendo la ecuación: y = 4 , y = -5
Sustituyendo “y” por e igualando exponentes
En el primer caso
(cumple la igualdad)
En el segundo caso
(no cumple la igualdad)
(
)
(
)
4. Resolver:
Solución: Factorizando
41 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
( )
5. Resolver:
Solución: Igualando las bases para igualar los exponentes y
resolver la ecuación
6. Resolver:
Solución: Expresando en bases iguales e igualando
exponentes
√
7. Resolver:
Solución:
Preparando en el segundo miembro para aplicar la
analogía de términos (caso 4)
Resolver:
Solución: Aplicando el caso 2 de igualdad de exponentes
Para que las bases sean iguales consideramos el exponente igual a cero
42 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
1) Demostrar que:
)
√
b)
√
c) √
2) Resolver:
Respuesta: x=
3) Resolver:
Respuesta:
4) Resolver:
Respuesta:
APLICA TUS CONOCIMIENTOS
43 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
5) Hallar a en:
Respuesta: a= 11
:
6) Resolver:
Respuesta: C.S={ }
7) Resolver: √
Respuesta: x= 9
8) Resolver:
Respuesta x= 5
44 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9) Resolver:
Respuesta: x=
10) Resolver:
√
Respuesta: x=
11) Si
hallar el valor de √
Respuesta:√
12) Resolver: Si
Dar el menor valor de x
Respuesta:
45 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
13) Hallar “n” en:
Respuesta: n = 2
14) Resolver: (
)
√
Dar el valor de
Respuesta:
15) Resolver: √ √
Respuesta: x=
16) Resolver: √ √
√
Respuesta: x= √
46 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√ √ √
( )
RECUERDA
*
{[( ) ] }
*√
√ √
√ √
√
TAREA DOMICILIARIA
1) Reducir: (
)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
2) Simplificar:
a) 100 b) 130 c) 4090 d) 6000 e) 7290
3) Simplificar: √√√
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
4) Si Hallar
a) 2 4 b) 36 c) 128 d) 256 e) 512
5) Simplificar: √ √ √ √ …
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
47 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
6) Efectuar: √ √ √
+ √ √
√
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11
7) Reducir:
( )
a) 1 b) 2 c)
d)
e) 15
8) Calcular: [(
)
]
√
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9) Resolver:
a) 1 b) 2 c)
d)
e) 15
10) Resolver:
√
a) 1 b) 2 c)
d)
e) 15
11) Simplifique: √ √ √ √ √
a) √
b) √
c) √
d) √
e) √
√ √ √
√ √ √
√ ( )
√ √ √
√ ( )
RECUERDA
*En los radicales sucesivos
Si las bases son iguales
En el producto se tiene:
(todos los signos son
positivos)
En el cociente
Se tiene:
(los signos son intercalados)
48 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO