teoria de errores unidad 2
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Teoria de Errores Unidad 2TRANSCRIPT
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 1
Tipos de Error
Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero
es importante descubrir cual es la exactitud real y como se generan los
diferentes errores en las mediciones. Un estudio de los errores es el
primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer
la exactitud de los resultados finales.
Lo errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo general se
clasifican en tres categorías principales:
Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como la mala
lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada,
así como equivocaciones en los cálculos.
Errores Sistemáticos: se deben a fallas de los instrumentos, como
partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo
del usuario.
Errores Aleatorios: ocurren por causas que no se pueden establecer
directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en
los sistemas de medición.
Cada uno de estos tipos de errores se analizan brevemente y se
sugieren algunos métodos para su reducción o eliminación.
Errores Graves
Se deben principalmente a fallas humanas en la lectura o en la
utilización de los instrumentos, así como en el registro y cálculo de los
resultados de las mediciones. Cuando el hombre participa en las
mediciones, se comete inevitablemente algunos errores graves.
Aunque probablemente es imposible la eliminación total de éstos se
debe anticiparlos y corregirlos. Algunos de estos errores se detectan
con facilidad pero otros son muy evasivos. Un error común y frecuente
entre principiantes es el uso inapropiado de un instrumento. En
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Teoría de Errores Página 2
general las condiciones de funcionamiento de los instrumentos
indicadores cambian cuando se conectan a un circuito de tal modo que
la cantidad medida se altera según el método empleado.
Por ejemplo un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura
errónea cuando se conecta a través de dos puntos en un circuito de
alta resistencia (ejemplo 1). El mismo dispositivo conectado en un
circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable
(ejemplo 2). Estos casos indican que el voltímetro adquiere un “efecto
de carga” en el circuito, lo cual altera el estado original en el proceso
de medición.
Ejemplo 1
En un voltímetro con sensibilidad de 1000 /V se lee 100V, en su
escala de 150 V conectado a través de una resistencia desconocida
en serie con un miliamperímetro. Cuando el miliamperímetro indica
5mA, calcúlese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b)
el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto
de carga del voltímetro.
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Teoría de Errores Página 3
Solución
Planteamiento del Problema
Inciso a
La resistencia total del circuito equivale a
10020
5
TT
T
V VR k
I mA
Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la
resistencia desconocida es 20xR k
Inciso b
La resistencia del voltímetro equivale a
1000 150 150VR V kV
Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia
desconocida, cabe escribir.
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20 15023.07
130
T Vx
V T
R RR k
R R
Inciso c
23.07 20% 100% 100%
23.07
% 13.23%
real aparente k kError
real k
Error
Ejemplo 2
Repítase el ejemplo 1 pero ahora el miliamperímetro indica 800mA y
en el voltímetro se lee 40 V en su escala 150 V.
Solución
Planteamiento del Problema
Inciso a
La resistencia total del circuito equivale a
4050
0.8
TT
T
V VR
I A
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Teoría de Errores Página 5
Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la
resistencia desconocida es 50xR
Inciso b
La resistencia del voltímetro equivale a
1000 150 150VR V kV
Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia
desconocida, cabe escribir.
50 15050.1
149.95
T Vx
V T
R R kR
R R k
Inciso c
50.1 50% 100% 100%
50.1
% 0.2%
real aparenteError
real
Error
Los errores debidos al efecto de carga del voltímetro se evitan
utilizándolo inteligentemente.
Un gran número de errores graves son atribuidos a descuidos o malos
hábitos como lecturas inapropiadas de un instrumento, registro de los
resultados en forma diferente a las lecturas obtenidas o ajuste
incorrecto de los instrumentos. Considérese el caso de un voltímetro
de escalas múltiples que usa un solo conjunto de marcas de escalas
con diferentes números de designación para varias escalas de voltaje.
Es fácil emplear una escala que no corresponde a la establecida en el
selector de escala del instrumento.
Otro grave error puede ocurrir cuando el instrumento no esta ajustado
a cero antes de tomar la medición; entonces todas las lecturas están
mal.
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Teoría de Errores Página 6
Errores como estos no se pueden tratar a nivel matemático; se evitan
teniendo cuidado en la lectura y registro de los datos de medición. Una
buen practica es efectuar mas de una lectura de la misma cantidad, de
preferencia por diferentes observadores. Nunca dependa solo de una
lectura, tómese un mínimo de tres lecturas separadas,
preferentemente en condiciones en que los instrumentos se enciendan
para hacer la medición.
Errores sistemáticos
Por lo general se dividen en dos categorías:
1) Errores instrumentales, referentes a los defectos de los
instrumentos, y
2) Errores ambientales, debidos a las condiciones externas que
afectan las mediciones.
Los errores instrumentales son inherentes a los instrumentos de
medición a causa de su estructura mecánica. Por ejemplo, en el
galvanómetro D’Arsonval, la fricción de los cojinetes de varios
componentes móviles puede causar lecturas incorrectas. La tensión
irregular de los resortes o estiramiento del mismo; así como una
reducción de la tensión debido al manejo inapropiado o sobrecarga del
instrumento causa errores.
En esta clasificación también se incluyen los de calibración, lo que
hace que el instrumento de lecturas altas o bajas a lo largo de toda la
escala. (El descuido al no ajustar el dispositivo a cero antes de
efectuar una medición tiene un efecto semejante).
Hay muchas clases de errores instrumentales, según el tipo de
instrumento empleado. El experimentador siempre debe tomar
precauciones para asegurarse de que el aparato se use y se opere
correctamente y no contribuya con errores excesivos para sus
propósitos. Las fallas en los instrumentos se pueden detectar
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Teoría de Errores Página 7
verificando si hay comportamiento errático, así como la estabilidad y la
reproducibilidad de los resultados. Una forma rápida y fácil de verificar
un instrumento es compararlo con otro de las mismas características o
con uno más exacto.
Los errores instrumentales se pueden evitar:
1. Al seleccionar el instrumento adecuado para la medición
particular.
2. Al aplicar los factores de corrección después de definir la
cantidad del error instrumental, y
3. Al calibrar el instrumento con un patrón.
Los errores ambientales se deben a las condiciones externas que
afectan la operación del dispositivo de medición incluyendo las
condiciones del área circundante del instrumento, como los efectos de
cambio de temperatura, humedad, presión barométrica o de campos
magnéticos y electrostáticos; por ejemplo, un cambio de la
temperatura ambiente a la cual se usa el instrumento altera las
propiedades elásticas del resorte en el mecanismo de bobina móvil y
afecta la lectura del instrumento.
Las medidas correctivas para reducir estos efectos incluyen aire
acondicionado sellado y hermético en ciertos componentes del
instrumento, asilar el equipo de campos magnéticos, etcétera.
Los errores sistemáticos también se pueden subdividir en estáticos o
dinámicos. Los primeros se originan por las limitaciones de los
dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su
comportamiento. Un error estático se introduce en un micrómetro
cuando se aplica presión excesiva al eje al girarlo. Los errores
dinámicos se producen cuando el instrumento no responde con
suficiente rapidez a los cambios de la variable medida.
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Errores aleatorios
Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los
errores sistemáticos se han considerado. En experimentos bien
diseñados por lo general se presentan pocos errores aleatorios pero
llegan a ser importantes en trabajos de gran exactitud.
Supóngase que se monitorea un voltaje con un voltímetro, el cual lee
cada media hora.
Aunque el instrumento es operado en condiciones ambientales ideales
y se calibro antes de la medición, las lecturas varían ligeramente
durante el periodo de observación. Esta variación no se puede corregir
por ningún método de calibración u otro método de control conocido y
no se puede explicar sin una investigación minuciosa.
La única forma de compensar estos errores es incrementar el número
de lecturas y usar medios estadísticos para obtener la mejor
aproximación del valor real de la cantidad medida.
Análisis Estadístico
El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común
ya que permite obtener una determinación analítica de la
incertidumbre del resultado final. El resultado de un método de
medición se puede predecir con base al muestreo de datos sin tener
información detallada de todos los factores de perturbación. Para
realizar métodos estadísticos e interpretaciones claras, generalmente
se necesita un gran número de mediciones.
También los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación
con los errores residuales o errores aleatorios, ya que el tratamiento
estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en
las mediciones.
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Teoría de Errores Página 9
Media Aritmética
El valor más probable de una variable medida es la media aritmética
del numero de lecturas tomadas. Cuando el número de lecturas de la
misma cantidad es muy grande, se obtiene la mejor aproximación. En
teoría, un número infinito de lecturas daría el mejor resultado, aunque
en la practica solo se puede ejecutar un número finito de mediciones.
La media aritmética esta dada por la siguiente expresión:
1 2 3 4 .... n
xx x x x xx
n n
(1)
Donde
1 2 3
media aritmética
, , lecturas tomadas
número de lecturas
x
x x x
n
El siguiente ejemplo presenta el uso de la media aritmética.
Ejemplo 3
Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones
independientes de voltaje, que se registraron como:
117.02
117.11
117.08
117.03
V
V
V
V
Calcúlese:
a. Voltaje Promedio
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b. Rango del error
Solución
Planteamiento del Problema
Inciso a
1 2 3 4
117.02 117.11 117.08 117.03117.06
4
promedio
E E E EE
N
V
Inciso b
max 117.11 117.06 0.05promedioRango E E V
Pero también
min 117.06 117.02 0.04promedioRango E E V
El rango promedio de error equivale a
0.05 0.040.045 0.05
2V V
Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de
exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos
exacta.
Desviación de la medida
Desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media
aritmética. Si la desviación de la primera lectura, 1x , se llama
1d , y de
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Teoría de Errores Página 11
la segunda lectura, 2x , es
2d y así sucesivamente, entonces, las
desviaciones de la media se expresan como:
1 1 2 2 n nd x x d x x d x x (2)
Nótese que la desviación de la media puede tener un valor positivo o
negativo y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser
cero.
El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de las desviaciones.
Ejemplo 4
Seis observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes
de corriente y los registraron como 12.8 mA, 12,2 mA, 12.5 mA, 13.1
mA, 12,9 mA y 12.4 mA. Hay que calcular a) media aritmética; b)
desviaciones de la media.
Solución
Planteamiento del Problema
Inciso a
Con la ecuación (1), la media aritmética es igual a
12.8 12.2 12.5 13.1 12.9 12.412.65
6x mA
Inciso b
Con la ecuación (2) las desviaciones son:
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1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
12.8 12.65 0.15
12.2 12.65 0.45
12.5 12.65 0.15
13.1 12.65 0.45
12.9 12.65 0.25
12.4 12.65 0.25
d x x d mA mA mA
d x x d mA mA mA
d x x d mA mA mA
d x x d mA mA mA
d x x d mA mA mA
d x x d mA mA mA
Nótese que la suma algebraica de todas las desviaciones equivale a
cero.
Desviación Promedio
La desviación promedio es una indicación de la precisión de los
instrumentos usados en las mediciones. Los instrumentos altamente
precisos producen una desviación promedio baja entre lecturas. Por
definición, la desviación promedio es la suma de los valores absolutos
de las desviaciones, entre lecturas. El valor absoluto de la desviación
es el valor sin respetar el signo. La desviación promedio se puede
expresar como:
1 2 3 ....... n
dd d d dD
n n
(3)
Ejemplo 5
Calcúlese la desviación promedio para los datos del ejemplo 4.
Solución
Planteamiento del Problema
0.15 0.45 0.15 0.45 0.25 0.250.283
6D mA
Desviación estándar
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Teoría de Errores Página 13
En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática
de las desviaciones o desviación estándar es una ayuda muy valiosa.
Por definición, la desviación estándar de un número infinito de datos
es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas
individuales, divididas entre el número de lecturas. Expresada en
términos matemáticos:
22 2 2 2
1 2 3 ......... nndd d d d
n n
(4)
En la práctica, el número posible de observaciones es finito. La
desviación estándar de un numero finito de datos esta dada por
22 2 2 2
1 2 3 .........
1 1
nndd d d d
n n
(5)
La ecuación (5) se utiliza en el ejemplo 6.
Otra expresión esencialmente para la misma cantidad es la varianza o
desviación cuadrática media, la cual es semejante a la desviación
estándar excepto que no se le extrae la raíz cuadrada. Por lo tanto
2varianza( ) desviación cuadratica mediaV
La varianza es una cantidad de gran utilidad en la realización de
muchos cálculos, ya que las varianzas son aditivas. La desviación
estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable,
lo que facilita la comparación de magnitudes. La mayoría de los
resultados científicos se expresan en términos de desviación estándar.
Probabilidad de Errores
Distribución normal de errores
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Teoría de Errores Página 14
En la tabla 1 se presentan 50 lecturas de voltaje tomadas durante
pequeños intervalos de tiempo en que se registraron los más cercanos
a 0.1 V. El valor nominal de las mediciones de voltaje fue de 100V.
Tabla 1. Registro de lecturas de voltaje
Voltaje leído (voltios) Número de lecturas
99.7 1
99.8 4
99.9 12
100.0 19
100.1 10
100.2 3
100.3 1
Total de lecturas 50
Figura 1. El histograma presenta la frecuencia de ocurrencia de
las 50 lecturas de voltaje de la tabla 1. La curva punteada
99.7 99.8 99.9 100 100.1 100.2 100.3
Numero de Lecturas 1 4 12 19 10 3 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Numero de Lecturas
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 15
representa el límite de casos del histograma cuando se toma un
gran número de lecturas en pequeños incrementos.
El resultado de la serie de mediciones puede ser presentado
gráficamente como diagrama de bloques o histograma, en el cual el
numero de lecturas observadas se grafica cada lectura de voltaje. El
histograma de la figura 1, representa los datos de la tabla 1.
La figura 1 muestra que al mayor numero de lecturas (19) coincide con
el valor central de 100V, mientras las otras lecturas se localizan mas o
menos en forma simétrica en uno u otro lado del valor central. Si se
toman más lecturas con menores incrementos, digamos 200 lecturas a
intervalos de 0.05V, la distribución de observaciones quedaría
aproximadamente simétrica alrededor del valor central y el histograma
sería caso igual al anterior. Con más datos, tomados en incrementos
más y más pequeños, el contorno del histograma sería una curva
continua, como la indicada por la línea punteada en la figura 1.
Esta curva con forma de campana se conoce como curva de Gauss.
En lo más pronunciado y estrecho de la curva, un observador puede
establecer que el valor mas probable de lectura real es el valor central
o lectura media.
La ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio
analítico de los efectos aleatorios. Aunque el tratamiento matemático
de estos temas va más allá del alcance de estas notas, las siguientes
proposiciones se basan en la ley de distribución normal:
a. Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de
distorsión, llamados errores aleatorios.
b. Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos.
c. Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o
negativos.
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 16
Por lo tanto cabe esperar que las observaciones de mediciones
incluyan más o menos errores en más o menos cantidades iguales, de
forma que el error total seria pequeño y el valor medio seria el valor
real de la variable medida.
Las posibilidades, así como la forma de la curva de distribución de
error se pueden establecer de la siguiente manera:
a. Son más probables los pequeños errores que los grandes
b. Los errores grandes son muy improbables.
c. Hay igual probabilidad que ocurran errores positivos y negativos,
de manera que la probabilidad de un error dado será simétrica
alrededor del valor cero.
La curva de distribución de error de la figura 2 se basa en la ley de
distribución normal y presenta una distribución simétrica de errores.
Esta curva normal se considera como la forma que limita el histograma
de la figura 1, en la cual el valor más probable del voltaje real es el
valor medio igual a 100V.
Figura 2. Curva para la ley de distribución normal. Las regiones
sombreadas indican la región de error probable, donde
0.6745r
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Teoría de Errores Página 17
Error Probable
El área bajo la curva de probabilidad de Gauss de la figura 2, entre los
límites y , representa los casos en que difiere de la media por
no mas que la desviación estándar. La integración del área bajo la
curva dentro de los límites da el número total de casos dentro de
estos límites. Para datos distribuidos normalmente, y según la
distribución de Gauss, alrededor del 68% de todos los casos queda
entre los límites de y de la medida. La tabla 2 expone los
valores correspondientes para otras desviaciones, expresados en
términos de .
Por ejemplo, si se mide un gran numero de resistencias con un valor
nominal de 100 y el valor medio encontrado es 100.00 , con una
desviación estándar (DE) de 0.20 , el 68% (o dos tercios
aproximadamente) del total de las resistencias tiene valores entre los
limites de 0.20 a partir de la media. Entonces, hay
aproximadamente una probabilidad de dos a una que cualquier
resistencia, seleccionada al azar, este dentro de estos limites. Si se
requiere tener mayor numero de resistencias de cierta desviación se
puede ampliar a un limite de 2 , en este caso 0.40 . De acuerdo
con la tabla 2, se incluye el 95% de todos los casos. Y esto da una
probabilidad de diez a uno de que alguna resistencia seleccionada al
azar quede dentro de 0.40 del valor medio de 100.0
Tabla 2. Área bajo la curva de probabilidad
Desviación , Fracción del área total incluida
0.6745 0.5000
1.0 0.6828
2.0 0.9546
3.0 0.9972
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 18
La tabla 2 también indica que la mitad de los casos se incluyen en los
limites de desviación de 0.6745 . La cantidad r se llama error
probable y se define como
error probable = 06745r (6)
El valor es probable en cuanto que hay igual probabilidad de que
alguna observación tenga un error aleatorio no mayor que r . El error
probable fue utilizado en trabajos experimentales, sin embargo,
actualmente se prefiere la desviación estándar en trabajos
estadísticos.
Ejemplo 6
Diez mediciones de una resistencia dan:
101.2 ,101.7 ,101.3 ,101.0 ,101.5 ,101.3 ,101.2 ,101.4 ,101.3 y 101.1
Supóngase que únicamente están presentes errores aleatorios;
calcúlese a) media aritmética, b) desviación estándar de las lecturas;
c) error probable.
Solución
Planteamiento del Problema
Con un numero grande de lecturas una simple tabulación de los datos
es muy conveniente y evítese confusiones y equivocaciones.
Lectura x Desviación
d 2d
101.2 -0.1 0.01
101.7 0.4 0.16
101.3 0.0 0.00
101.0 -0.3 0.09
101.5 0.2 0.04
101.3 0.0 0.00
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 19
101.2 -0.1 0.01
101.4 0.1 0.01
101.3 0.0 0.00
101.1 -0.2 0.04
1013.0x 1.4d 2 0.36d
Inciso a
Media aritmética, 1013.0
101.310
xx
n
Inciso b
Desviación estándar, 2 0.36
0.21 9
d
n
Inciso c
Error probable = 0.6745 = 0.6745 0.2 0.1349
En la mayoría de los instrumentos de indicación, la exactitud esta
garantizada por un cierto porcentaje de la lectura en plena escala. Los
componentes de un circuito (como capacitores, resistores, etc.) están
garantizados dentro de cierto porcentaje de su valor nominal. Los
límites de las desviaciones de valores especificados se conocen como
errores límite o errores de garantía. Por ejemplo, si una resistencia
esta dada como 500 10% , el fabricante garantiza que la resistencia
queda dentro de los limites de 450 y 550 ; no se especifica una
desviación estándar ni un error probable, peor promete que el error no
será mayor que los limites establecidos.
Ejemplo 7
Medición e Instrumentación
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Un voltímetro de 0 150V tiene una exactitud garantizada de 1% de
lectura a plena escala. El voltaje medido por este instrumento es 83V.
Calcúlese el error límite en porcentaje.
Solución
Planteamiento del Problema
La magnitud del error límite es
0.01 150 1.5V V
El porcentaje de error en la indicación del medidor de 83 V es
1.5100% 1.81%
83
Es importante observar que un medidor esta garantizado para tener
una exactitud mucho mayor que el 1% de la lectura a plena escala;
pero cuando el medido lee 83 V el error limite se incrementa al 1.81%.
Así pues cuando se mide un voltaje más pequeño, el error limite
aumenta. Si el medidor indica 60V , el porcentaje de error límite es
1.5 / 60 100 2.5% ; si el medidor lee 30 V, el error límite es
1.5 / 30 100 5% . El incremento en porcentaje del error límite se fija en
una cantidad basada en la lectura de deflexión a plena escala del
medidor. El ejemplo 7 representa la importancia de hacer mediciones
tan cercanas a la deflexión total como sea posible.
Las mediciones o cálculos, combinando errores de garantía, se
realizan con frecuencia. El ejemplo 8 ilustra dicho caso.
Ejemplo 8
El voltaje generado por un circuito es igualmente dependiente del valor
de tres resistencias y esta dado por la siguiente ecuación:
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 21
1 2
3
salida
R RV I
R
Si la tolerancia de cada resistencia es 0.1% , ¿Cuál es el error máximo
del voltaje generado?
Solución
Planteamiento del Problema
El voltaje obtenido mas alto se tiene cuando 1R y
2R están en el
máximo valor permitido por la tolerancia, mientras 3R tiene el valor
más pequeño permitido por esta. No hay necesidad de conocer el
valor real, basta el relativo.
Para una variación de 0.1% el valor más alto de un resistor es 1.001
veces el valor nominal, mientras que el más bajo es 0.999 veces el
valor nominal. Con el máximo valor de 1R y
2R el mínimo para 3R se
obtiene el valor más grande para resultanteV a partir de:
1 2
resultante
3
1.001 1.001.003
0.999
R RV
R
El voltaje resultante mas bajo se presenta cuando el valor de 3R es el
mas alto y 1R y
2R tienen el mas bajo. El voltaje resultante es
1 2
resultante
3
0.999 0.9990.997
1.003
R RV
R
La variación total del voltaje resultante es 0.3% , la cual es la suma
algebraica de las tres tolerancias. Esto es verdadero en la primera
aproximación. El máximo error es ligeramente distinto de la suma de
las tolerancias individuales. Por otra parte es poco probable que los
tres componentes de este ejemplo tengan el máximo error y en tal
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 22
caso produzcan el máximo o mínimo voltaje. Por tanto, se deben
utilizar los métodos estadísticos mencionados anteriormente.
Ejemplo 9
La corriente que circula por una resistencia de 100 0.2 es
2.00 0.01A . Con la relación 2P I R , calcúlese el error límite del valor
de disipación de potencia.
Solución
Planteamiento del Problema
Al expresar los límites garantizados tanto de corriente como de
resistencia en porcentajes en lugar de
unidades se tiene:
Si se emplea la peor combinación posible de errores para el calculo de
potencia, es decir, el valor de la resistencia mas alto y el mayor valor
de la corriente, la disipación de potencia es
22 21 0.005 1.002 1.012P I R I R
Para la disipación mas baja
22 21 0.005 1 1.002 0.988P I R I R
El error es 1.2% , el cual es dos veces el 0.5% de error de la corriente
mas el 0.2% de error de la resistencia. Esto se debe a que el termino
I de la ecuación aparece esencialmente dos veces en ella. Esto se
puede observar rescribiendo la ecuación
2P I I R I R
2.00 0.01 2.00 0.5%
100 0.2% 100 0.2%
I A
I
Medición e Instrumentación
Teoría de Errores Página 23