teoria de control observabilidad y controlabilidad

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROLES II

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

4. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DEL

ESPACIO DE ESTADOS

Los conceptos de controlabilidad y

observabilidad introducidos por

Rudolf E. Kalman (1960), así como

los métodos de optimización de R.

Belman (1957) y L. Pontryagin

(1962), fueron el origen de la teoría

del control óptimo, basada en la descripción de un sistema según el

enfoque del espacio de estados.

Estos conceptos juegan un papel fundamental en el diseño de los

sistemas de control usando las técnicas del espacio de estados. En

efecto, las condiciones de controlabilidad y de observabilidad

determinan la existencia de una solución completa para el problema

del diseño de un sistema de control. Tal vez no exista una solución a

este problema si el sistema estudiado es no controlable. Aunque la

mayoría de los sistemas físicos son controlables y observables, los

modelos matemáticos correspondientes pueden no tener la

propiedad de controlabilidad o de observabilidad. En tal caso, es

esencial conocer las condiciones bajo las cuales un sistema

controlable y observable. Veremos primero la controlabilidad y

dejaremos el análisis de la observabilidad para el final. Se acompaña

estos conceptos con algunas simulaciones realizadas en Matlab y

Simulink.




CONTROLES II


4.1 MATRIZ DE CONTROLABILIDAD

Se dice que un sistema es controlable en el instante si es posible

llevarlo de cualquier estado inicial a cualquier otro estado,

empleando un vector de control no acotado, en un lapso finito.

A continuación, se obtendrá primero la condición para la

controlabilidad completa del estado y enseguida se determinará la

condición para la controlabilidad de la salida.

4.1.1. CONTROLABILIDAD COMPLETA DEL ESTADO PARA

SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

Consideremos al sistema en tiempo continuo:

= Ax + Bu en donde x = vector de estado (vector de orden n)

u = vector de control ( de orden r)

A = matriz de orden n x n

B = matriz de orden n x r

Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado

controlable en si es posible construir r señales de control sin

restricción alguna que transfieran un estado inicial a cualquier otro

estado finito en un intervalo de tiempo finito ≤ t ≤ . Si todos los

estados son controlables, se dice que el sistema es de estado

completamente controlable.




CONTROLES II


Ahora obtendremos la condición para una controlabilidad completa

del estado. Sin perder la generalidad, suponemos que el estado final

es el origen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero,

o .

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces el

rango de la matriz M de n filas y n columnas es igual al orden del

sistema.

La matriz M recibe el nombre de matriz de controlabilidad.

Pero, qué es el rango de una matriz?

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o

columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se

puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no

se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Por ejemplo sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

Podemos reducir la matriz multiplicando la fila uno por -3 y

sumándola a la fila dos.




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Intercambiamos fila 2 con fila 3

Podemos ver que las líneas son linealmente independientes. Por lo

tanto su rango es 3, y escribimos rang(A)=3.

Otro ejemplo podría ser hallar el rango de la matriz B dada por

Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila dos.

Intercambiando filas tenemos:

Tiene dos líneas linealmente independientes por lo tanto su rango es

dos y escribimos rang(B)=2.

Como se analiza la controlabilidad de un sistema? Veamos un

ejemplo:




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Analizar la controlabilidad de

=

Aplicando , tenemos

Su rango es 2, por lo tanto el sistema no es completamente

controlable.

Otro ejemplo es analizar la controlabilidad del sistema

=

Para este caso tenemos

El rango de la matriz M es 3, por lo tanto ahora se trata de un

sistema completamente controlable.

Esto se puede facilitar un poco usando Matlab.




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EJEMPLO 1

Determine si el sistema es completamente controlable.

=

>> A=[1 2 0 ; 0 -1 0; 2 2 0]

>> B=[-4; 0; -5]

>> M=ctrb(A,B)

>> rank(M)

Como el rango de M es menor que n, el sistema no es controlable de

estado completo.

EJERCICIOS

Analice la controlabilidad para:

a.

b.

Condición para la controlabilidad completa de estado en el

dominio de s:

La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea

en términos de las funciones de transferencia o las matrices de

transferencia.




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Una condición necesaria y suficiente para una controlabilidad

completa de estado es que no ocurra una cancelación en la función

de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre dicha

cancelación el sistema no puede ser controlado en la dirección del

modo cancelado.

Ejemplo: Consideremos la función de transferencia siguiente:

Es obvio que ocurre una cancelación del factor en el

numerador y en el denominador de esta función de transferencia

(Por tanto se debería representar mediante una matriz A de orden

2). Debido a dicha cancelación el sistema de tercer orden no es de

estado completamente controlable.

4.1.2. CONTROLABILIDAD DE LA SALIDA DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO

En el diseño práctico de un sistema de control se pretende

normalmente controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una

controlabilidad completa de estado no es necesaria ni suficiente para

controlar la salida del sistema. Por dicha razón es útil definir una

controlabilidad completa de la salida por separado.

Considerar el sistema descrito por:

En donde




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x = vector de estado (vector de orden n)

u = vector de control (de orden r)

y = vector de salida (de orden m)

A = matriz del sistema de orden n x n

B = matriz de control de orden n x r

C = matriz de salida de orden m x n

D = matriz de transmisión directa de orden m x r

Se dice que el sistema dado es de salida completamente controlable

si es posible construir un vector de control u(t) no acotado, tal que

transfiera cualquier salida inicial determinada a cualquier salida

final en un intervalo de tiempo finito ≤ t ≤ .

La condición para una controlabilidad completa de la salida es la

siguiente: el sistema descrito es de salida completamente

controlable si y sólo si la matriz de orden m x (n + 1)r.

Es de rango m.

Veamos un ejemplo con MATLAB:




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>>A=[0 1 -1 0; 0 -5 3 0; 0 -6 4 0; 0 0 0 -1]

>>B=[2; 1; 1; -2]

>>C=[0 -10 10 0]

>>D=0

>> rank([C*B C*A*B C*A*A*B C*A*A*A*B D])

No es controlable a la salida.

>> ctrb(A,B)

No es completamente controlable.

4.2. OBSERVABILIDAD

Se dice que un sistema es observable en el tiempo si, con el

sistema en el estado , es posible determinar dicho estado a

partir de las mediciones de la salida con un retaso finito de tiempo.

Analizaremos ahora la observabilidad de los sistemas lineales.

Consideremos el sistema sin excitación descrito por las ecuaciones

siguientes:

= Ax

y = Cx

en donde

x = vector de estado (vector de orden n)

y = vector de salida (de orden m)

A = matriz del sistema de orden n x n

C = matriz de salida de orden m x n




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Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t)

se determina a partir de la medición de y(t) durante un intervalo de

tiempo finito ≤ t ≤ . Por tanto el sistema es completamente

observable si todas las transiciones de estado afectan eventualmente

a todos los elementos del vector de salida. El concepto de

observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir señales o

variables de estado no medibles a partir de variables que si son

medibles en un tiempo lo menor posible. En estas notas trataremos

con sistemas lineales e invariantes en el tiempo; por lo que sin

perder generalidad supondremos que to es 0.

Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada

variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. En otras

palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las

variables de estado de las mediciones de las salidas y las entradas.

Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las

mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y

el sistema no es completamente observable, o simplemente no

observable.

Así, el sistema es completamente observable si el rango de la matriz

de nm filas y n columnas es n.

La matriz N recibe el nombre de matriz de

observabilidad.

http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml




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EJEMPLO 1

Determine la observabilidad del sistema del ejemplo anterior:

>> A=[1 2 0 ; 0 -1 0; 2 2 0]

>> C=[1 0 0]

>> N = obsv(A,C)

>> rank(N)

El sistema no es observable.

EJERCICIOS

Analice la observabilidad de los siguientes sistemas:




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4.3. TRANSFORMACION DE MODELOS DE SISTEMAS

Consideremos la transformación del modelo del sistema basado en

su función de transferencia al espacio de estados y viceversa.

Se escribe la función de transferencia en lazo cerrado como

Una vez que se tiene la expresión, la orden de MATLAB

[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)

Producirá una representación en el espacio de estados.

EJEMPLO 1

Supongamos que un sistema lineal de una sola entrada y una sola

salida (SISO) viene dado por la función de tranferencia:

Escribamos dicho sistema en su forma canónica controlable.

>>num=[0 -6 -30 144]

>>den=[1 14 56 160]

>>[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)




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Defina la matriz

y aplique:

>>[a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T) %para pasar de un modelo de estado

a otro del mismo tipo

MATLAB calcula la forma canónica diagonal aplicando el comando

canon con la opción ¨modal¨.

>>[aa, bb, cc, dd, TT]=canon(a,b,c,d,’modal’)

TT es la matriz de transformacion para darle la forma modal.

MATLAB puede calcular la forma canónica observable con la

instrucción ¨companion¨.

>>[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,´companion´)

EJERCICIOS:

Exprese cada sistema en las diferentes formas: canónica controlable,

canónica observable y canónica diagonal.

a.

b.

c.

d.




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4.4. ANALISIS EN EL ESPACIO DE ESTADO MEDIANTE MATLAB

Simulación 1

Obtener el espacio de estados del sistema definido por:

3 2

3 2

2 2( )

4 5 2

s s sG s

s s s

Los comandos Matlab a utilizar son:

>> num=[2 1 1 2];

>> den=[1 4 5 2];

>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

A = -4 -5 -2

1 0 0 0 1 0

B =

1 0

0

C =

-7 -9 -2

D = 2

Por lo que la ecuación de estado y de salida son:

1 1

2 2

3 3

1

2

3

4 5 2 1

1 0 0 0

0 1 0 0

7 9 2

x x

x x u

x x

x

y x

x




CONTROLES II


Simulación 2

Obtener la función de transferencia del sistema definido por:

1 1

2 2

3 3

1

2

3

1 1 0 0

1 1 1 0

0 1 2 1

1 0 0

x x

x x u

x x

x

y x

x

Los comandos Matlab a utilizar son:

>> A=[-1 1 0; 0 -1 1; 0 0 -2];

>> B=[0; 0; 1];

>> C=[1 0 0];

>> D=[0];

>> [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

num =

0 0 -0.0000 1.0000

den = 1 4 5 2

Por lo que la función de transferencia es:

3 2

1( )

4 5 2G s

s s s

Simulación 3

Dibuje el diagrama de bloques para el sistema:




CONTROLES II


Discuta la controlabilidad y la observabilidad del sistema a partir

de las matrices y verifique sus resultados manipulando las

matrices. Encuentre los valores de para los cuales el sistema

puede ser no controlable o no observable y determine los modos

correspondientes.

Vamos a dibujar el diagrama de bloques del sistema anterior con

la ayuda de matlab (simulink).

Primero que todo vamos a definir las variables de estado del

sistema esto quedaría así.

Teniendo las ecuaciones de estado pasamos al manejo de simulink

para elaborar el diagrama de bloques y así obteniendo el siguiente

resultado.

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA

Se le asigno a=2 para probar si el sistema tiene una buena

respuesta.




CONTROLES II


Asigne un valor a=0 y a=1 y verifique la controlabilidad y

observabilidad del sistema:

CONTROLABILIDAD

A=[-1 1 0;0 -2 1;0 0 -3]

B=[0;0;1]

M=ctrb(A,B)

rank(M)

A =

-1 1 0

0 -2 1 0 0 -3

B =

0 0

1

M = 0 0 1

0 1 -5 1 -3 9

ans = 3




CONTROLES II


OBSERVABILIDAD

si a=1

A=[-1 1 1;0 -2 1;0 0 -3]

C=[1 0 0]

N=obsv(A,C)

rank(N)

A = -1 1 1

0 -2 1 0 0 -3

C =

1 0 0

N =

1 0 0 -1 1 1

1 -3 -3

ans = 2

Simulación 4

Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el

espacio de estados de sistemas definidos por su función de

transferencia. Estas formas se denominan forma canónica

controlable, forma canónica observable y forma canónica de

Jordan. Utilizaremos Matlab para hallar cada una de ellas.

Estas formas son muy importantes cuando se realiza diseño de

sistemas de control mediante el método de asignación de polos.




CONTROLES II


La función de transferencia de un sistema G(s) viene dada por:

a. Encuentre la forma canónica controlable, la forma canónica

observable y la forma canónica de Jordan.

Forma canoníca controlable

num=[0 1 7 10]

den=[1 8 19 122]

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

T=[0 0 1;0 1 0;1 0 0]

[a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T)

num = 0 1 7 10

den = 1 8 19 122

A =

-8 -19 -122

1 0 0

0 1 0

B =

1

0

0

C = 1 7 10

D = 0

Forma canoníca observable

[a,b,c,d]=canon (A,B,C,D,'companion')

a = 0 0 -122

1 0 -19

0 1 -8

b = 1

0

0

c = 1 -1 -1

d = 0




CONTROLES II


Forma canónica de Jordan.

La forma canoníca de Jordan es lo mismo que la forma

canoníca diagonal por lo tanto aplicando matlab tenemos:

num=[0 1 7 10]

den=[1 8 19 122]

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

num =

0 1 7 10

den =

1 8 19 122

A =

-8 -19 -122

1 0 0

0 1 0

B =

1

0

0

C =1 7 10

D = 0




CONTROLES II


[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal')Con esta función

obtendremos las matrices a, b, c y d correspondientes a la

representación en la forma canoníca diagonal.

a =

-7.6099 0 0

0 -0.1950 3.9992

0 - 3.9992 -0.195

b =

-2.5336

-0.9484

1.8995

c = -0.0814 -0.0906 0.3726

d = 0

EJERCICIOS

1. Considere el sistema definido por

Obtenga la representación en el espacio de estados en la forma

canónica controlable, en forma canónica observable y en la forma

canónica diagonal.

2. Dadas las matrices de estado, encuentre las ecuaciones de estado,

la función de transferencia y el diagrama de bloques de estado.




CONTROLES II


3. Determina la controlabilidad y observabilidad de cada uno de los

siguientes sistemas:

a.

b.

4. Considere el sistema definido mediante

=

y=

Con excepción de una elección obvia , encuentre

un ejemplo de un conjunto de , , que haga no observable el

sistema.

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