teoria de colas

5/16/2018 Teoria de Colas - slidepdf.com

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Hugo Felipe Salazar Escuela Ing Industrial

TEORIA DE COLAS

TEORIA DE COLAS Y LINEAS DE ESPERA

Modelos matemáticos que sirven para saber como se presta un servicio; los

cuales nos arrojan información sobre el comportamiento del sistema para la toma

objetiva de decisiones.

• Una cola es una línea de espera

• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la

capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen

sistemas de líneas de espera particulares

• El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una

capacidad de servicio apropiada

• Existen muchos sistemas de colas distintos

• Algunos modelos son muy especiales

• Otros se ajustan a modelos más generales

• Se estudiarán ahora algunos modelos comunes

• Otros se pueden tratar a través de la simulación

Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola, La

instalación del servicio. Los clientes o llegadas vienen en forma individual para

recibir el servicio estos pueden ser: Personas, Automóviles, Máquinas que

requieren reparación, Documentos entre muchos otros tipos de artículos.

Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir elservicio; Si no, se une a la cola; es importante señalar que la cola no incluye a

quien está recibiendo el servicio.

Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la

cola generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido p ero pueden

haber otras reglas o colas con prioridades.



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing IndustrialLAS LLEGADAS

• El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de

colas se llama tiempo entre llegadas

• El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable

• El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media

de llegadas ()

• El tiempo esperado entre llegadas es 1/

• Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es = 20 clientes por hora

• Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3

minutos

• Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos

entre llegadas

• Generalmente se supone una distribución EXPONENCIAL

• Esto depende del comportamiento de las llegadas

• La forma algebraica de la distribución exponencial es:

• Donde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de

tiempo (horas, minutos, etc.)

• La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos

entre llegadas pequeños

• En general, se considera que las llegadas son aleatorias

t et serviciodetiempoP

1)(



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing Industrial• La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente

LLEGADAS POISSON

• Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir

el patrón de las llegadas a un sistema de colas

• Su forma algebraica es:

• Donde:

• P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo

• : tasa media de llegadas

e = 2,7182818…

LA COLA

• El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el

servicio

• El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan

en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio

!)(

k

ek P

k



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing Industrial• La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar

en la cola

• Generalmente se supone que la cola es infinita

• Aunque también la cola puede ser finita

• La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los

miembros de la cola para comenzar el servicio

• La más común es PEPS: primero en llegar, primero en servicio

• Puede darse: selección aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras.

EL SERVICIO• El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples

• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente

• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()

• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/

• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora

• Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4

minutos

• Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos

de servicio

• Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:

• La distribución exponencial (=media)

• Tiempos de servicio constantes (=0)

• Una distribución intermedia es la distribución ERLANG

Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación

estándar:

mediak

1




• Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial

• Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución

degenerada con tiempos constantes

• La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

ESTADO DEL SISTEMA

• Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable

(nivel normal de operación)



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing Industrial• Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)

• Lo que interesa es el estado estable

• Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:

• El número de clientes que esperan en la cola

• El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo

asociado a la espera por ese servicio.

TEORIA ANALITICA

Herramientas de los modelos de líneas de espera

Estadística

Muestreo

Análisis descriptivo

Análisis de bondad y ajuste (para ver el

comportamiento que se tiene)

Probabilidad(distribuciones)

EJEMPLO DE UN SISTEMA

BANCO

Costos

Tasa de

servicio

Costo de

espera

Costo

total Costo

del

servicio

Tasa

óptimade

servicio

C o l a 2

C o l a 1SERVICIO

Llegadas Salidas

C o l a 3




MEDIDAS EN EL MODELO

NOMENCLATURA

1. Llegadas

: Rata de llegadas (Constante: Se conoce el número de clientes)

(1,2,3,………, N)

n: (n: Número de clientes en el sistema) (1,2,3,………, ∞)

(Variable: No se conoce el número de clientes)

Comportamiento de las llegadas

Exponencial (Describe tiempos entrellegadas)

Markoviano

(M)

Numero promedio de clientes la cola LcNumero promedio de clientes en el sistema LsNumero promedio de clientes en cola no vacía LnTiempo promedio por cliente de espera en la cola WcTiempo promedio por cliente de espera en elsistema

Ws

Tiempo promedio de una cola no vacía Wn



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing IndustrialPoisson (describe número de clientes que

llegaron)

2. Servicioµ: Tasa de servicio, servicio por tiempo (por cada servidor) constante

µn: Variable

Comportamiento

M: Markoviano D: Deterministico (Tiempo constante)

G: General

EK: Earlang

S: Servidores en paralelo

3. Salidas

Medidas de rendimiento: ni, Pn, Lc, Ls, Wc, Ws

Descripción

Lc: Numero promedio de clientes en la cola o longitud de la cola

Ls: Numero promedio de clientes en el sistema

Ln: Longitud promedio de la cola no vacia. (Llena)

Wc: Tiempo promedio de espera por cliente en la cola

Ws: Tiempo promedio de espera por cliente en el sistema

Wn: Tiempo promedio de espera en la cola no vacía (Llena)

Notación: Kendall – Lee – Taha (C1, C2, C3; C4, C5, C6); (Para servidores en

paralelo)



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing IndustrialC1: Comportamiento de la llegadas

C2: Comportamiento de los servicios

C3: Numero de servidores en paralelo (S: 1 o más)

C4: Disciplina de servicio

PEPS Primero en entrar, Primero en salir

Servicio General UEPS Ultimo en entrar, Primero en salir

(SG) RANDOM Aleatorio

P Prioritarios

C5: Tamaño máximo de la cola (N-S)

C6: Tamaño de la población potencial (limitada N o ilimitada ∞)

EJEMPLO DE MODELOS

C1 C2 C3 C4 C5 C6

(M, M, 1; SG, ∞, ∞)

(M, M, 1; SG, N, ∞) Limitando tamaño de la cola (# de clientes en el sistema) (M, M, 1; SG, N, M) Limitando # de clientes en el sistema (población)

(M, M, S; SG, ∞, ∞) Varios servidores en paralelo

(M, M, S; SG, N, ∞) Varios servidores; cola limitada

(M, G, 1; SG, ∞, ∞) Servicio general

(M, M, ∞; SG, ∞, ∞) Número de servidores infinito (Autoservicio)

FORMULAS DISTRIBUCIONES

*Poisson (Describe las llegadas por unidad de tiempo, es discreta)




En donde x representa en número de llegadas, e la tasa media de llegadas y P(x)

la probabilidad de que el número de llegadas sea igual a x.

*Exponencial (Estudia tiempo entre cada una de las llegadas, es continua)

Función de densidad de la distribución exponencial

En donde t representa el tiempo de servicio y ì la tasa media de servicio. Ladensidad exponencial se presenta en la siguiente figura. En general nos interesaráencontrar P(T < t), la probabilidad de que el tiempo de servicio T sea inferior oigual a un valor específico t. Este valor es igual al área por debajo de la función dedensidad.

MODELO BASICO

(M, M, 1; SG, ∞, ∞)

*Llegadas tienen comportamiento Poisson - exponencial con parámetro

* Servicios tienen distribución Poisson - exponencial con parámetro



Hugo Felipe Salazar Escuela Ing IndustrialDIAGRAMA DE ESTADO

ECUACIÓN ESTADO- BALANCE

Transferencia de estado: Los incrementos en el estado del sistema (n) son

discretos y estacionarios.

La probabilidad de que un cambio sea mayor o igual a 2 en un espacio de tiempo

es cero.

P ((N (t)) ≥2)= 0

n= y µn= µ

Sistema Estable

Número de llegadas = Número de salidas

ECUACIONES

ESTADO ECUACION

0 µ1*P1 = 0*P0

1 0*P0 + µ2*P2= µ1*P1+ 1*P1

2 1*P1 + µ3*P3= µ2*P2+ 2*P2

0 1 2 n-1 n n+1




P1= * P0

P2= * P0

P3= * P0

TEOREMA

Pn= * P0

∑ -1

RELACIONES BASICAS

Ws = Wc +

Ls = ∑

Ls = Ws *




Lc = Wc *

Ws * = Wc * +

Ls = Lc + Pn

ρ= Debe ser menor a 1 para que cumpla condición de estabilidad en

sistemas de cola infinita

= F Factor de utilización del sistema

MODELO 1 SERVIDOR SERVICIO GENERAL, SISTEMA ∞, POBLACION ∞.

(M,M,1;SG,∞,∞)

DIAGRAMA DE ESTADO

()

0 1 2 n-1 n n+1




MODELO MULTICANAL

(M,M,S;SG,∞,∞)

DIAGRAMA DE ESTADO

0 1 2 s-1 s s+1

n-1 n n+1




Para n=1,2,3,4…S

Para n=S,S+1,S+2…..S+n

Para n menor que S

Para n mayor que S

. /

MODELO 1 SERVIDOR, SERVICIO GENERAL, SISTEMA LIMITADO,POBLACION ∞.

(M,M,1;SG,N,∞)

DIAGRAMA DE ESTADO

0 1 2 n-1 n N-1




Para N=n y 0 para n>N

Solo si

Si

* + Solo si

Si

Solo si

Si

MODELO S SERVIDORES, SERVICIO GENERAL, SISTEMA LIMITADO,POBLACION INFINITA.

(M,M,S;SG,N,∞)

DIAGRAMA DE ESTADO

10 N-1nn-12

Nµ(N-1)µnµ(n-1)µ3µ2µ




Para

Para

* + Para

Para

{∑ ⁄

⁄ }Para

,∑

-Para

* + { } Para

⌊ ⌋ Para

̅

̅

̅




MODELO 1 SERVIDOR, SERVICIO GENERAL, SISTEMA LIMITADO,

POBLACION LIMITADA.

(M,M,1;SG,N,M)

Para nN

Para N<n

{ [

]

}

* +

10 N-1nn-12

Mλ (M-1)λ (M-2)λ (M+1-N)λ (M-N)λ (M+1-n)λ (M-n)λ




MODELO S-SERVIDORES, SERVICIO GENERAL, SISTEMA LIMITADO,

POBLACION LIMITADA.

(M,M,S;SG,N,M)

Para

Para

Para

Para

{

}

(

)

2µ

0 1 2 n-1 n N-1

3µ (n-1)µ nµ (N-1)µ Nµ

Mλ (M-1)λ (M-2)λ (M+1-n)λ (M-n)λ (M+1-N)λ (M-N)λ

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