Teoria de CodigosMatemáticas DiscretasDiego Guzmán 12-0849

Fuandamentos

La Teoría de la Codificación Algebraica es una de las aplicaciones más recientes del algebra. Se suele fijar su nacimiento en el año 1948 con los trabajos de Claude Shannon sobre la Teoría Matemática de la Información.

Richard Hamming, uno de los creadores de la teoría de códigos, cuenta la siguiente anécdota:

Cuando trabajaba para Bell Lavoratories, en los años cuarenta, tena acceso a los computadores solo los fines de semana. Sola dejar corriendo ciertos programas en el ordenador y cuando volva, el fin de semana siguiente, encontraba que alguno de los programas que más necesitaba no habían sido ejecutados

(cuando el ordenador detecta un error en un programa, suele detener su realización y pasa a otro que este en la cola de espera). Esto ocasionaba importantes atrasos a su trabajo y le llevó a plantearse el problema de acondicionar de algún modo la información que maneja el ordenador de tal suerte que no solo fuera capaz de detectar un error y pararse, sino que pudiera corregir los errores.

Uno de los objetivos de la Teoría de Códigos es conseguir aumentar todo lo que se pueda la probabilidad de que el mensaje correcto pueda ser recuperado a pesar de los posibles errores, siempre que el número de estos sea razonable. La teoría de los datos (Teoría de claves o tipografía), ayuda a reducir los efectos de la distorsión. La información redundante ayuda a proteger los mensajes contra los errores. No hay seguridad absoluta, pero sí una gran probabilidad de conseguirla con este sistema.

Antes de profundizar debemos tener claro varios elementos

El mensaje: unidad básica de información (Sucesión finita de un alfabeto finito).

Ruido: perturbaciones en el canal de transmisión que pueden generar distorsión en la data (Se originan por fenómenos físicos).

Variable K: servirá para representar el número de errores que se detecten

Peso: cantidad de veces que se repite un elemento (con esto se toma el elemento de peso y el código referente a este).

Información redundante: dentro de ciertos límites razonables, se utiliza por los códigos detectores de errores para que en caso de que alguno ocurra pueda ser detectado por el receptor.

Los siguientes ejemplos ayudarán a entender mejor lo antes planteado

Supongamos que deseamos transmitir los mensajes si o no. Podemos

asignar al mensaje si el 1 y al no el 0.

Si transmitimos el mensaje (si) codificado como un 1, un error provoca que el receptor reciba 0 e interprete (decodifique) 0 como el mensaje incorrecto (no). Vemos que un error nos hace perder el mensaje.

Este contratiempo tiene una fácil solución

Codificamos el mensaje (si) como 11111 y el (no) como 00000.

Ahora, si queremos transmitir por el canal de comunicación el mensaje, enviaremos el mensaje codificado 11111. Si hay dos errores o menos de dos, se recibe un mensaje que consiste en una cadena de 5 ceros y uno que contiene al menos 3 unos. El receptor decodifica el mensaje recibido como (si). Simplemente, interpreta que se han producido uno o dos errores en la transmisión y que el mensaje enviado era realmente 11111.

Es decir, con este código (código binario de repetición de longitud 5) el receptor decodifica el mensaje recibido con 1 o 0, dependiendo del peso (en este caso, como se trata de el conjunto de binarios se toma como peso la cantidad de veces que el numero 1 aparezca). en el mensaje que recibe. Parece muy razonable, pues no es muy probable que al enviar el mensaje 11111 o el 00000 se produzcan K o más de K errores.

Otro ejemplo interesante y simple es el siguiente (usado en cintas magnéticas para computadores):

Para representar 32 símbolos distintos se emplean los enteros de 0 a 31 en el sistema binario. Son cadenas de ceros y unos de longitud 5. Se añade un digito redundante de modo que la cadena de longitud 6 resultante (mensaje codificado) tenga un numero par de unos. Puede producirse, aunque con pequeña probabilidad, un error ocasional en uno de los bits. El resultado es que el numero de unos en la cadena codificada será impar. En este caso la maquina se para porque ha detectado un error.

Este es un ejemplo de lo que llamaremos códigos capaces de detectar un único error.

Escuela de Ingeniería en Tecnologías de la

Información y Comunicación