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Teoria da DecisãoAbordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério
Prof. Lucas S. Batista
www.ppgee.ufmg.br/∼lusoba
Universidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Brasil
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
A abordagem clássica Bellman-Zadeh é aplicada para tomadade decisão em ambientes fuzzy para o tratamento de problemasmulticritério;
Nessa abordagem, cada função objetivo Fp(x) pode ser substi-tuída por uma função objetivo fuzzy ou conjunto fuzzy Ap;
Uma solução fuzzy D é obtida a partir da interseção D =⋂q
p=1 Ap;
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
A função de pertinência de D é definida como:
D(x) = ∧qp=1Ap(x) = min
p=1,...,qAp(x), x ∈ L
Esta função permite determinar a solução x com maior pertinên-cia à solução fuzzy D:
max D(x) = maxx∈L
minp=1,...,q
Ap(x)
O problema de decisão torna-se então:
x∗ = arg maxx∈L
minp=1,...,q
Ap(x)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Exemplo
As funções de pertinência de três funções objetivo fuzzy A1(x), A2(x)e A3(x) são apresentadas a seguir:
Figura : Funções de pertinência de funções objetivo fuzzy
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Exemplo
A solução fuzzy D(x) é apresentada a seguir, a qual fornece a soluçãox∗ = 5.
Figura : Função de pertinência de uma solução fuzzy
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Ao considerar problemas multiobjetivo:
para obter x∗ é necessário construir as funções de pertinênciaAp(x), p = 1, ...,q;
cada função de pertinência deve refletir o grau de aproximaçãodo próprio ótimo para Fp(x), x ∈ L, p = 1, ...,q.
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Para funções objetivo de minimização:
Ap(x) =[
maxx∈L Fp(x)− Fp(x)maxx∈L Fp(x)−minx∈L Fp(x)
]λp
Para funções objetivo de maximização:
Ap(x) =[
Fp(x)−minx∈L Fp(x)maxx∈L Fp(x)−minx∈L Fp(x)
]λp
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Existem diferentes operadores de agregação que podem ser usa-dos no lugar do operador min;
Assim, D(x) pode ser obtido da seguinte forma geral:
D(x) = agg(A1(x), A2(x), ..., Aq(x)), x ∈ L
Entretanto, essa escolha é baseada na experiência do DM.
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Bellman-Zadeh
Apresentação
Além do operador min, o operador produto também tem sidomuito empregado em problemas de tomada de decisão;
Nesse caso, tem-se:
D(x) =q∏
p=1
Ap(x), x ∈ L
max D(x) = maxx∈L
q∏p=1
Ap(x)
x∗ = arg maxx∈L
q∏p=1
Ap(x)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
A abordagem clássica define inicialmente uma matriz de compro-misso considerando as alternativas de projeto e possíveis esta-dos de natureza (cenários), em que
alternativas: Xk , k = 1, 2, ...,K ;
cenários: Ys, s = 1, 2, ...,S;
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Matriz de compromisso
A matriz de compromisso quantifica os efeitos (consequências) dasações Xk , k = 1,2, ...,K nos possíveis cenários Ys, s = 1,2, ...,S.
Figura : Matriz de compromisso
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
A análise da matriz de compromisso e a escolha de uma soluçãoracional são baseados em critérios de escolha;
Os critérios de escolha mais utilizados são os critérios de Wald,Laplace, Savage e Hurwicz;
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Matriz de compromisso com estimativas de características
Os critérios de escolha permitem incorporar estimativas de caracte-rísticas à matriz de compromisso:
Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Estimativas de características
Nível máximo da função objetivo:
F max(Xk ) = max1≤s≤S
F (Xk ,Ys)
Este nível é determinado para uma dada solução e representa:
a estimativa mais otimista quando deseja-se maximizar F , ou
a estimativa mais pessimista quando deseja-se minimizar F .
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Estimativas de características
Nível mínimo da função objetivo:
F min(Xk ) = min1≤s≤S
F (Xk ,Ys)
Este nível é determinado para uma dada solução e representa:
a estimativa mais pessimista quando deseja-se maximizar F , ou
a estimativa mais otimista quando deseja-se minimizar F .
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Estimativas de características
Nível médio da função objetivo:
F (Xk ) =1S
S∑s=1
F (Xk ,Ys)
Este nível é determinado para uma dada solução e representa umaestimativa média da sua qualidade em relação aos cenários possíveis.
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Estimativas de características
Nível máximo de risco:
rmax(Xk ) = max1≤s≤S
r(Xk ,Ys)
em que r(Xk ,Ys) é uma medida de risco (arrependimento),
r(Xk ,Ys) = F max(Ys)− F (Xk ,Ys), se deseja-se maximizar F
r(Xk ,Ys) = F (Xk ,Ys)− F min(Ys), se deseja-se minimizar F
em que,
F max(Ys) = max1≤k≤K
F (Xk ,Ys) e F min(Ys) = min1≤k≤K
F (Xk ,Ys)19 / 50
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Abordagem Clássica para tratamento de Incerteza
Apresentação
Matriz de risco
Calculando o nível de risco para todo Xk , k = 1,2, ...,K e Ys, s =1,2, ...,S, obtém-se a matriz de risco a seguir:
Figura : Matriz de risco
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Critérios de Escolha
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Critérios de Escolha
Apresentação
Os critérios de escolha de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz sãobaseados nas estimativas de características F max(Xk ), F min(Xk ),F (Xk ) e rmax(Xk );
Nos próximos slides, os critérios de escolha são definidos consi-derando que se deseja maximizar a função objetivo F .
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Wald
O critério de Wald se baseia em F min(Xk ):
max1≤k≤K
F min(Xk ) = max1≤k≤K
min1≤s≤S
F (Xk ,Ys)
Critério de Laplace
O critério de Laplace se baseia em F (Xk ):
max1≤k≤K
F (Xk ) = max1≤k≤K
1S
S∑s=1
F (Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Savage
O critério de Savage se baseia em rmax(Xk ):
min1≤k≤K
rmax(Xk ) = min1≤k≤K
max1≤s≤S
r(Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Hurwicz
O critério de Hurwicz se baseia em F min(Xk ) e F max(Xk ):
max1≤k≤K
[αF min(Xk ) + (1− α)F max(Xk )] =
max1≤k≤K
[α min
1≤s≤SF (Xk ,Ys) + (1− α) max
1≤s≤SF (Xk ,Ys)
]em que α ∈ [0,1] é o índice “pessimismo-otimismo” (usualmente, α =0.75).
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
A abordagem Bellman-Zadeh pode ser aplicada para a soluçãode problemas de tomada de decisão multiobjetivo;
Esta abordagem clássica pode ser generalizada a partir da maxi-mização de D(x);
Nesse caso, ao lidar com q funções objetivo, q matrizes de com-promisso deverão ser geradas e analizadas;
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
A matriz de compromisso modificada (normalizada) relacionadaao p-ésimo critério fica da seguinte forma:
Figura : Matriz de compromisso normalizada
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
A disponibilidade das q matrizes de compromisso modificadaspermite a construção da matriz de compromisso agregada:
Figura : Matriz de compromisso agregada com estimativas de características
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
Estimativas de características
Função de pertinência de nível máximo (estimativa otimista):
Dmax(Xk ) = max1≤s≤S
D(Xk ,Ys)
Estimativas de características
Função de pertinência de nível mínimo (estimativa pessimista):
Dmin(Xk ) = min1≤s≤S
D(Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
Estimativas de características
Função de pertinência de nível médio:
D(Xk ) =1S
S∑s=1
D(Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Generalização da Abordagem Clássica
Apresentação
Estimativas de características
Risco de nível máximo:
r(Xk ,Ys) = Dmax(Ys)− D(Xk ,Ys)
em que,
Dmax(Ys) = max1≤k≤K
D(Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Modificação dos Critérios de Escolha
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Modificação dos Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Wald modificado
O critério de Wald é definido como:
max1≤k≤K
D(Xk ) = max1≤k≤K
min1≤s≤S
min1≤p≤q
Ap(Xk ,Ys)
Critério de Laplace modificado
O critério de Laplace é definido como:
max1≤k≤K
D(Xk ) = max1≤k≤K
1S
S∑s=1
min1≤p≤q
Ap(Xk ,Ys)
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Modificação dos Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Savage modificado
O critério de Savage é definido como:
min1≤k≤K
rmax(Xk ) =
min1≤k≤K
max1≤s≤S
[max
1≤k≤Kmin
1≤p≤qAp(Xk ,Ys)− min
1≤p≤qAp(Xk ,Ys)
]
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Modificação dos Critérios de Escolha
Apresentação
Critério de Hurwicz modificado
O critério de Hurwicz é definido como:
max1≤k≤K
[α min
1≤k≤KD(Xk ) + (1− α) max
1≤k≤KD(Xk )
]=
max1≤k≤K
[α min
1≤k≤Kmin
1≤p≤qD(Xk ,Ys) + (1− α) max
1≤k≤Kmin
1≤p≤qD(Xk ,Ys)
]
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Modificação dos Critérios de Escolha
Apresentação
Embora a abordagem apresentada considere os critérios de Wald,Laplace, Savage e Hurwicz, outros critérios disponíveis na litera-tura podem ser aplicados;
Entretanto, estes outros critérios frequentemente assumem a dis-ponibilidade de certos tipos de informação sobre os estados denatureza;
Além disso, existem inúmeros trabalhos que sugerem o pontecialdos critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz.
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Exemplo de Aplicação
Sumário
1 Abordagem Clássica para Tomada de Decisão MulticritérioAbordagem Bellman-ZadehAbordagem Clássica para tratamento de IncertezaCritérios de EscolhaGeneralização da Abordagem ClássicaModificação dos Critérios de EscolhaExemplo de Aplicação
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
A abordagem geral para tomada de decisão multicritério sobincerteza envolve três etapas:
Fase 1:
Construção das q matrizes de compromisso a partir das funçõesFp(Xk ,Ys);
Nesta etapa pode ser necessário resolver modelos 〈X,M〉 para ageração de soluções factíveis;
Alternativamente, um conjunto de soluções viáveis pode ser for-necido diretamente pelo DM;
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Fase 2:
Análise das matrizes de compromisso;
O procedimento geral pode conduzir a mais de uma solução (or-dem parcial);
Esta etapa ajuda a avaliar tanto os riscos particulares quantoagregados em relação a cada alternativa de projeto;
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Fase 3:
Construção e análise de modelos 〈X,R〉 para a contração subse-quente do domínio de incerteza de decisão;
Os modelos 〈X,R〉 permitem considerar índices quantitativos equalitativos baseados no conhecimento, experiência e intuiçãodos especialistas;
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Considere o seguinte problema multiobjetivo:
min F1(x) = [2.70,3.30]x1 + [11.70,14.30]x2 + [7.20,8.80]x3
min F2(x) = [5.40,6.60]x1 + [3.60,4.40]x2 + [4.50,5.50]x3
sujeito às restrições:
0 ≤ x1 ≤ 100 ≤ x2 ≤ 120 ≤ x3 ≤ 14
x1 + x2 + x3 = 36
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso do critério F1:
Figura : Matriz de compromisso do critério F1
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso com estimativas de características de F1:
Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características de F1
Os critérios de Wald, Laplace, Savage e Hurwicz sugerem X3.
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso do critério F2:
Figura : Matriz de compromisso do critério F2
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso com estimativas de características de F2:
Figura : Matriz de compromisso com estimativas de características de F2
Os critérios de Wald, Laplace e Savage sugerem X1, enquanto o cri-tério de Hurwicz indica X4. Formalmente, X1 e X4 são indiferentes.
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Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso normalizada de F1:
Figura : Matriz de compromisso normalizada de F1
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso normalizada de F2:
Figura : Matriz de compromisso normalizada de F2
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Exemplo de Aplicação
Apresentação
Exemplo de aplicação
Matriz de compromisso agregada com estimativas de características:
Figura : Matriz de compromisso agregada com estimativas de características
Os critérios de Wald, Laplace e Hurwicz sugerem X4, enquanto o cri-tério de Savage indica X3. Este resultado requer uso da fase 3.
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Abordagem Clássica para Tomada de Decisão Multicritério Literatura Especializada
Literatura Especializada
W. Pedrycz, P. Ekel, R. Parreiras, Fuzzy Multicriteria Decision-Making: Models,Methods and Applications, John Wiley & Sons, 2011. (section 4.5 and chapter 8)
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