teoria campos compresiones en hormigon
TRANSCRIPT
Máster Universitario en Ingeniería de Estructuras
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN
HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su
aplicación en el diseño a cortante de elementos de hormigón armado
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
Autor: Alejandro Mateo Hernández Díaz Directora: Dª Luisa María Gil Martín Co-director: D. Enrique Hernández Montes
ÍNDICE
Pág.
1. INTRODUCCIÓN 3 2. ESTADO DE LA CUESTIÓN 9
2.1 Distribución de tensiones tangenciales en el hormigón 10 2.2 La analogía de la celosía 12 2.3 Teoría del Campo de Compresiones 18
2.3.1 Comportamiento a compresión del hormigón fisurado 22
2.4 Teoría Modificada del Campo de Compresiones 28
2.4.1 Interacción Flexión-Cortante: analogía de la celosía modificada 31 2.4.2 Comportamiento del hormigón a tracción 33 2.4.3 Estudio a nivel de grieta en la TMCC 38 2.4.4 Recientes simplificaciones de diseño en la TMCC 44
2.5 Rotating Angle – Softened Truss Model 49
2.5.1 Ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas 52
2.6 Teoría Unificada del Campo de Compresiones 58
3. METODOLOGÍA 62
3.1 Introducción 63 3.2 Justificación del problema a analizar 69 3.3 Plan de ensayo 82 3.4 Definición del modelo estructural de análisis 86
4. RESULTADOS 95 5. CONCLUSIONES 117 6. ANEXO 1 123 7. BIBLIOGRAFÍA 143
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
3
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
4
El alma agrietada de una viga de hormigón armado trasmite el cortante de forma
compleja. Primeramente aparece una familia de grietas y según se incrementa la carga
aparecen nuevas grietas mientras que las iniciales se propagan y cambian de inclinación.
Dado que la sección transversal de dicha viga está sometida a un esfuerzo cortante y un
momento flector, las deformaciones longitudinales, y por consiguiente, la inclinación y
separación de las grietas, variarán con la profundidad de la viga. La formulación de una
ecuación que determine la resistencia a cortante de una viga de hormigón armado
requiere previamente del conocimiento de la inclinación de dichas fisuras (Fig. 1.1).
Fig. 1.1: Alma agrietada de una viga con rotura por cortante1
Pese a las afirmaciones de Mörsch en 1922, quien aseguraba la imposibilidad de
determinar matemáticamente la pendiente de las grietas secundarias con la que poder
diseñar una viga de hormigón armado frente a cortante, en 1929 un ingeniero alemán,
H.A. Wagner, resolvía con éxito un problema similar en perfiles metálicos de alma
débil; según Wagner, una vez que el alma del perfil metálico cedía, éste continuaba
resistiendo el cortante mediante un campo diagonal de tracciones apoyado en las partes
superior e inferior de la viga, puesto que la parte lateral había cedido y no ofrecía
resistencia suficiente. Para determinar el ángulo de inclinación de las tracciones
diagonales en el alma de la viga, Wagner consideró las deformaciones del sistema; él
asumió que el ángulo de inclinación de los esfuerzos de tracción en el alma coincidiría 1 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1378
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
5
con el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción. Así surgieron
las denominadas teorías de los campos diagonales de tracción.
Teniendo en cuenta que, en el caso del hormigón, las fisuras son siempre
perpendiculares a las direcciones principales de tracción, una vez determinada la
orientación de las deformaciones principales a tracción quedaría resuelto el problema de
la inclinación de las fisuras en el alma de la viga de hormigón. Pues bien, basándose en
el planteamiento de Wagner, y trasladándolo al estudio del hormigón, se han formulado
aproximaciones conocidas como “teorías del campo de compresiones”, las cuales
determinan el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción, y por
consiguiente, de los esfuerzos diagonales de tracción, a partir de las deformaciones de
la armadura transversal, de la armadura longitudinal y del propio hormigón.
La figura 1.2 muestra el patrón de agrietamiento observado en un panel de
hormigón armado que fue sometido a tracción uniaxial combinada con cortante, y que
solo contenía armadura en la dirección de aplicación de la tracción. Las primeras
fisuras presentaban inclinaciones en torno a 71º respecto al eje horizontal. A medida que
la carga aplicada iba aumentando, nuevas grietas se formaban con orientaciones cada
vez más próximas a la dirección de armado, mientras el ancho de dichas grietas
aumentaba progresivamente. Finalmente, la rotura del elemento se alcanzó mediante
una rápida propagación de las últimas fisuras producidas, las cuales en el momento del
colapso presentaban inclinaciones aproximadas de 33º respecto al eje horizontal. En este
caso, la dirección principal de tensión aplicada difería hasta 20 º respecto de la dirección
principal de deformación observada (Bhide y Collins, 1989).
La inclinación estimada, basada en la hipótesis de Wagner de que la dirección
principal de tensión coincide con la dirección principal de deformación, queda a medio
camino entre la dirección de deformación observada y la dirección de tensión aplicada.
Para elementos con armadura longitudinal y transversal (Fig. 1.3), la dirección principal
de tensión en el hormigón difiere hasta un máximo de 10 º respecto la dirección
principal de deformación (Vecchio y Collins, 1986). Basándose en estos resultados, los
precursores de las teorías de campo de compresiones en hormigón consideraron que la
determinación de la inclinación de los esfuerzos principales en el hormigón a partir de la
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
6
hipótesis de Wagner constituía una simplificación “razonable”.
Fig. 1.2: Variación de la inclinación de la fisuración por incremento de la carga aplicada en un elemento
de hormigón armado2
Por otra parte, Thomas T.C. Hsu realizaba en 1996 la siguiente aseveración en
relación a su teoría RA-STM (“Rotating-Angle Softened Truss Model”):
After initial cracking, the change in direction of the subsequent cracks are due to
changes in the direction of the principal tensile stresses in the concrete, which, in turn,
are dependent on the relative amount of steel in the longitudinal and transverse
directions.
En base a la cual, se puede afirmar que el fenómeno de disparidad entre los
ángulos del campo principal de tensiones y el campo principal de deformaciones
constituye un fenómeno de alguna forma “paliable” desde el diseño del propio elemento
de hormigón armado.
Así pues, el objetivo general del presente trabajo es el de analizar en qué
medida, y bajo qué condiciones de funcionamiento, la aplicación de la hipótesis de
Wagner constituye una simplificación asumible en el diseño a cortante del hormigón
2 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
7
armado. Dicho objetivo general se concreta en los siguientes objetivos específicos:
Fig. 1.3: Desviación de la dirección principal de tensión θ respecto de la dirección principal de
deformación θc en hormigón armado 3
a) Definir y justificar una metodología de análisis que permita cuantificar la
disparidad de ángulo entre las direcciones principales de tensión y deformación
en hormigón armado, bajo diferentes condiciones de solicitación.
b) Analizar, en base a lo indicado por el profesor Hsu, qué parámetros de diseño
del hormigón armado pueden contribuir, mediante su modificación, a reducir la
desviación observada entre las direcciones principales de tensión y deformación.
c) Evaluar en qué medida la efectividad de las modificaciones indicadas en el
apartado b) depende de la deformación del elemento, y por tanto, de su nivel de
degradación por cortante.
d) Adoptar, sobre la base de las teorías de cortante actualmente en vigor, soluciones
de compromiso entre ciencia y técnica, a fin de que los resultados obtenidos
3 Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 224
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
8
puedan gozar de una utilidad práctica, y servir de apoyo al ingeniero a la hora de
abordar nuevos problemas de diseño.
En un primer estudio de las cuestiones anteriormente planteadas se ha
prescindido de experimentación específica al respecto, sirviéndonos exclusivamente del
análisis de las ecuaciones aportadas por las teorías de cortante actualmente en vigor;
dicho análisis se aplicará a un ejemplo particular de una viga de hormigón armado, y a
partir de los resultados numéricos obtenidos para dicho caso, y de los resultados
existentes en relación a la experimentación con otro tipo de elementos similares, se
emitirán un conjunto de conclusiones sobre los objetivos específicos propuestos.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
9
CAPÍTULO 2
ESTADO DE LA CUESTIÓN
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
10
Se puede afirmar que todavía se está buscando una teoría que explique el
comportamiento del hormigón sometido a esfuerzos cortantes. Dentro de las teorías de
cortante existe un grupo, conocido como “teorías del campo de compresiones”, que
resultan muy útiles para el estudio del hormigón estructural. A continuación se va a
proceder a una revisión de las diferentes teorías de campo de compresiones, abordando
los distintos modelos que, a lo largo de la historia, definen y justifican el
comportamiento resistente a cortante del hormigón estructural.
2.1 Distribución de tensiones tangenciales en el hormigón
En Resistencia de Materiales, la distribución de tensiones tangenciales en la
sección de una viga sometida a cortante obedece a la Ley de Colignon, cuya ecuación
recordamos a continuación:
w
VSb I
τ = (2.1)
Donde τ es la tensión rasante, V es el esfuerzo cortante, S es el momento estático
respecto de la fibra neutra del área de la sección situada por encima de la fibra
longitudinal considerada, I es el momento de inercia de la sección respecto de su fibra
neutra y bw es el ancho del alma de la viga.
En un primer análisis, la ley anterior podría ser aceptable en pre-fisuración pero
no es aplicable cuando el hormigón está fisurado. No obstante, existen otras
particularidades que llevan a no poder considerar de forma general la distribución de
Colignon; a continuación se enumeran algunas de ellas:
- El hormigón armado no es un material homogéneo.
- El hormigón armado es un material compuesto donde uno de los materiales
integrantes presenta retracción, lo que impide considerarlo como un medio
elástico, y fluencia, con la consiguiente alteración de la distribución de
tensiones en el tiempo.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
11
- El hormigón armado no presenta una separación clara entre la zona fisurada
y la no fisurada, lo que dificulta la cuantificación de sus propiedades
mecánicas fundamentales.
Debido a lo expuesto anteriormente se hace necesario considerar una
distribución de tensiones tangenciales distintas. En 1902, Mörsch obtuvo la distribución
de tensiones rasantes para una viga de hormigón armado con fisuras de flexión. Según
Mörsch, la tensión tangencial alcanzaría su valor máximo en la fibra neutra,
permaneciendo constante desde dicho punto hasta la armadura longitudinal a flexión
(Fig. 2.1). La ecuación propuesta por Mörsch fue la siguiente:
w
Vb z
τ =
(2.2)
Donde ‘z’ es el brazo mecánico a flexión o distancia entre los centros de
gravedad de la zona de compresiones y la armadura longitudinal de tracción. Según
Mörsch, para vigas con cuantías estándar de armado, la zona a compresión no fisurada
sólo resistiría en torno a un 30 % del cortante total, lo que equivale a considerar que la
mayor parte de la tensión cortante se trasmite a través de las grietas de flexión.
Fig. 2.1: Tensiones de cortante en la fibra neutra1
1Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 226.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
12
Dada la incertidumbre existente al respecto de la distribución real de tensiones
tangenciales debidas al cortante y a la imposibilidad de una evaluación analítica de la
misma en hormigón armado, en los años cincuenta la ecuación 2.2 pasó a considerarse
únicamente como un indicador “nominal” del nivel de cortante en sección, y se
denominó esfuerzo cortante nominal.
2.2 La analogía de la celosía
El hormigón, bajo cargas muy pequeñas, presenta grietas orientadas
perpendicularmente a la dirección principal de tracción. Una vez que aparecen estas
grietas, la resistencia a tracción del hormigón en el punto de fisuración queda anulada
completamente, y a partir de ese momento, los principios de la Mecánica de Medios
Continuos dejan de ser aplicables.
En 1899, Ritter explica el comportamiento interno de una viga de hormigón
armado en términos de un modelo en celosía en la que los elementos a compresión
(cordón superior y diagonales) están constituidos por el hormigón presente en la viga, y
los elementos a tracción están constituidos por la armadura longitudinal inferior
actuando como tirante y la armadura transversal actuando como montante (Fig. 2.2).
Fig. 2.2: Esquema original de Ritter sobre la analogía de la celosía2
En 1902, Mörsch explica y desarrolla el modelo de la celosía con mayor nivel de
detalle, afirmando que, si bien los montantes de la celosía se encuentran concentrados
en la armadura vertical, no ocurre lo mismo con las diagonales comprimidas, las cuales
forman un continuo a lo largo de toda la masa de hormigón (Fig. 2.3). 2Adaptado de: Ritter, W. (1899), Die Bauweise Hennebique (Construction Techniques of Hennebique), Schweizerische Bauzeitung, Zürich
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
13
Fig. 2.3: Analogía de la celosía de Mörsch3
Tanto Ritter como Mörsch obviaron los esfuerzos de tracción en el hormigón
fisurado, asumiendo que, tras el agrietamiento del hormigón, se generaría un campo de
compresiones formando un ángulo de 45 º con la horizontal; en la dirección
perpendicular a estas bielas de compresión el hormigón se encuentra agrietado y como
consecuencia de ello deja de resistir a tracción. Si consideramos un campo de esfuerzos
cortantes uniformemente distribuido en un área efectiva de cortante de ancho ‘bw’ y
profundidad ‘z’, entonces la fuerza total diagonal de compresión ( /wf b z⋅ ⋅2 2 ) debe
ser igual a V2 (Fig. 2.4), quedando lo siguiente:
w
Vfb z
=22 (2.3)
Donde V es la fuerza cortante y f2 es la tensión principal de compresión en el
alma de la viga en cuestión.
La componente longitudinal de la fuerza diagonal de compresión será igual a V.
Dicha fuerza debe ser contrarrestada por una fuerza igual de tracción, Nv, aplicada en la
armadura longitudinal. Por consiguiente, la fuerza de tracción causada por el cortante en
la armadura longitudinal vendrá dada por la siguiente relación:
vN V= (2.4)
Así mismo, se puede observar que la fuerza diagonal de compresión, referida a
la separación entre estribos ‘s’ ( /wf b s⋅ ⋅2 2 ), tiene una componente vertical
( /wf b s⋅ ⋅2 2 ) la cual debe ser equilibrada por una fuerza de tracción en los
estribos, Avfv, donde Av es la sección transversal de una barra estribo y fv es la tensión
3 Adaptado de: Mörsch, E. (1909), Concrete Steel Construction, McGraw-Hill Book Company, New York, 368 pp.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
14
de tracción en dicha barra (Fig. 2.4). A partir de la ecuación 2.3, se obtiene:
v vA f Vs z
= (2.5)
Fig. 2.4: Condiciones de equilibrio para la analogía de la celosía a 45º4
Según el modelo de bielas a 45º, el cortante máximo se alcanzará cuando los
cercos alcancen la tensión de cedencia (Fig. 2.5), lo que corresponde a una determinada
tensión de cortante τ cuyo valor se puede deducir a partir de la ecuación 2.5
correspondiente al equilibrio de fuerzas verticales, tal y como se indica a continuación:
v yv y w v y
w
A fhA f b h fs b s
τ τ ρ= → = = (2.6)
Donde el brazo mecánico ‘z’ se ha aproximado por el canto ‘h’ de la viga, y
donde fy es la tensión de cedencia del acero y ρv es la cuantía de armadura transversal. 4 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 260.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
15
Fig. 2.5: Estribos a 90º y bielas a 45º 5
La idea inicial de Ritter fue posteriormente modificada ya que la aplicación
estricta del método de la celosía conducía a valores de tensiones en las armaduras de
cortante claramente superiores a los obtenidos en los ensayos. Esto se debe a que
existen otros mecanismos que colaboran en la resistencia a cortante; en el caso de una
viga sin armadura de cortante el modelo de Ritter supone que la resistencia a cortante es
nula y sin embargo la experimentación al respecto ha demostrado que no es así .Por otro
lado, si sólo se considera el mecanismo de la celosía, el acero quedará tensado en
exceso. Además, en el modelo de Ritter las bielas comprimidas forman 45º con la
horizontal y, en general, se ha comprobado que en hormigón armado este ángulo es
ligeramente inferior. Se concluye, por tanto, que los modelos de celosía de Ritter y
Mörsch resultan excesivamente conservadores pues el cortante que resiste una viga
según el modelo de la celosía es, en cualquier caso, inferior al que en realidad resiste
dicha viga.
A continuación se plantea la analogía de la celosía con una orientación genérica
θ de las bielas de compresión. En este caso, la condición de equilibrio exige que la
resultante D (Fig. 2.6) del campo de tensiones principales de compresión en el alma de
la viga, f2, sea igual a V/senθ. Por definiciσn, D es igual a coswf b z θ2 , luego la tensión
principal de compresión f2 viene dada por:
( )tan cotw w
V Vfb z sen cos b z
θ θθ θ
= = +21 (2.7)
5 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 256.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
16
La componente longitudinal de la fuerza diagonal de compresión D será igual a
V·cotθ. Al igual que ocurría en el modelo de Ritter, dicha fuerza debe ser contrarrestada
por una fuerza igual de tracción, Nv, aplicada en la armadura longitudinal. Por
consiguiente, la fuerza de tracción causada por el cortante en la armadura longitudinal
vendrá dada por la siguiente relación:
cotvN V θ= (2.8)
Igualmente, la fuerza diagonal de compresión, referida a la separación entre
estribos ‘s’ ( wf b s senθ⋅2 ) tiene una componente vertical ( wf b s sen θ⋅ 22 ) la cual debe ser
equilibrada por una fuerza de tracción en los estribos, v vA f (Fig. 2.6). A partir de la
ecuación 2.7, se obtiene:
tanv vA f Vs z
θ= (2.9)
Fig. 2.6: Condiciones de equilibrio para la analogía de la celosía bajo una inclinación genérica θ6
6 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 260.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
17
En 1922, Mörsch realizaba la siguiente afirmación en relación a la
determinación del ángulo de inclinación de la biela de compresión en hormigón7
We have to comment with regards to practical application that is absolutely impossible to
mathematically determine the slope of the secondary inclined cracks according to which one can design
the stirrups. For practical purposes one has to make a possibly unfavorable assumption for the slope θ
and therefore, with tan2 θ=∞, we arrive at our usual calculation for stirrups which presumes θ=45º.
Originally this was derived from the initial shear cracks which actually exhibit this slope.
Las fisuras secundarias a las que se refiere Mörsch son aquéllas de menor
inclinación que se forman al final de la vida de servicio de la viga. Si se tomara la
inclinación de dichas fisuras como ángulo de biela de diseño, se conseguiría reducir la
cuantía de armadura transversal necesaria de forma sustancial. Las anteriores
ecuaciones de equilibrio (2.7, 2.8, 2.9) no son suficientes para calcular el campo de
esfuerzos en una viga sometida a cortante, pues el número de variables a determinar (el
esfuerzo principal de compresión f2, la tracción en la armadura longitudinal Nv, la
tensión en la armadura transversal fv, y el ángulo de inclinación θ de las bielas de
compresión) asciende a cuatro, razón por la cual Mörsch afirmaba la imposibilidad
matemática de determinar la inclinación de las bielas de compresión.
Fig. 2.7: Estribos a 90º y bielas a una inclinación genérica θ 8
7 Mörsch, E. (1922), Der Eisenbetonbau (Reinforced Concrete Construction), Verlag von Konrad Wittwer, Sttutgart, West Germany, 460 pp.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
18
Para el caso de una inclinación genérica θ de las bielas de compresión, la
ecuación 2.6 adopta la siguiente expresión (Fig. 2.7):
cotv yfτ ρ θ= (2.10)
2.3 Teoría del Campo de Compresiones (TCC)
Antes de formular una ecuación basada en los mecanismos de biela para
determinar la resistencia a cortante de una viga o para diseñar los estribos, resulta
preciso conocer el ángulo de inclinación de las bielas, θ. En 1929, un ingeniero alemán,
H.A. Wagner, resolvió con éxito un problema similar al analizar la resistencia a
cortante, después de la cedencia del alma, de perfiles armados de vigas metálicas (Fig.
2.8). A la vista de las deformaciones observadas, Wagner dedujo que el alma débil del
perfil no resistía a compresión y que, por el contrario, el cortante era resistido por un
campo diagonal de tracciones apoyado en las alas de la viga y en los rigidizadores
transversales.
Fig. 2.8: Campo diagonal de tracciones en un perfil metálico de alma débil.
Para determinar el ángulo de inclinación de la tracción diagonal, Wagner
consideró que el ángulo de inclinación de la tensión diagonal de tracción coincidía con
el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción. Así surgieron las
denominadas “teorías de los campos diagonales de tracción”.
8 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 256.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
19
Basándose en el planteamiento anterior y trasladándolo al estudio del hormigón
se han formulado aproximaciones conocidas como “teorías del campo de
compresiones”. Éstas determinan el ángulo de inclinación de las bielas (θ) considerando
las deformaciones de la armadura transversal, de la armadura longitudinal y del
hormigón. A partir de las teorías del campo de compresiones se puede estudiar la
respuesta carga-deformación de una sección sometida a cortante; para ello se plantean
las condiciones de equilibrio, las condiciones de compatibilidad y las relaciones
tensión-deformación tanto para la armadura como para el hormigón agrietado.
Las teorías de los campos de deformaciones están formuladas en la mecánica del
continuo, considerando deformaciones medias, esto es, comunes a acero y hormigón y
medidas sobre una longitud suficiente que incluya varias fisuras (Fig. 2.9a). Si la
armadura longitudinal sufre un alargamiento medio εx, la armadura transversal un
alargamiento medio εt, y el hormigón en la dirección principal de compresión un
alargamiento medio ε2, a partir del círculo de Mohr de deformaciones (Fig. 2.9b) se
puede deducir la dirección principal de deformación a compresión, mediante la
siguiente expresión:
x
t
Tan ε εθ
ε ε−
=−
2 2
2
(2.11)
Donde:
εx = deformación longitudinal del alma (positiva)
εt = deformación transversal (positiva)
ε2 = deformación principal a compresión (negativa)
Para un valor dado de θ, la ecuación 2.11 puede ser considerada como una
relación de compatibilidad entre las tres deformaciones del sistema, ε2, εx y εv.
A partir del círculo representado en la figura 2.9b, se puede deducir la
deformación media principal a tracción ε1 en función de otras deformaciones, mediante
la siguiente relación:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
20
( ) cotx t x xε ε ε ε ε ε ε θ= + − = + − 21 2 2 (2.12)
Si hubiera armadura activa, se cumplirá además que
p x pε ε ε= + ∆ (2.13)
Donde εp es la deformación unitaria de la armadura activa y Δεp es la
deformación impuesta por el sistema de pretensado.
Fig. 2.9a: Deformaciones medias en un elemento agrietado
Fig. 2.9b: Círculo de deformaciones medias9
El significado físico de la ecuación 2.11 reside básicamente en el hecho de que
para bajas inclinaciones de grieta, la armadura transversal se encontrará altamente
deformada, mientras que para altas inclinaciones de grieta será la armadura longitudinal
la que experimente mayores deformaciones.
9 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 258.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
21
Si consideramos una viga de hormigón armado, con armadura simétrica, y
sometida a cortante, se puede deducir que para una determinada solicitación de cortante
V, existe un total de cinco incógnitas: los esfuerzos medios de tracción en las barras
longitudinales, fx; los esfuerzos medios en los estribos, fv; el esfuerzo principal de
compresión en el hormigón, f2; y la inclinación θ de las bielas de compresión. Para
determinar estas cinco incógnitas disponemos de otras cinco ecuaciones, a saber: tres
ecuaciones de equilibrio (2.7, 2.8 y 2.9), dos ecuaciones de compatibilidad (2.11 y
2.12), y las relaciones constitutivas del acero y el hormigón. Así pues, la respuesta
carga-deformación de un elemento de hormigón armado sometido a cortante queda
completamente definida. Este último desarrollo constituye la primera de las teorías de
campos de compresiones y se denomina Teoría del Campo de Compresiones (Collins y
Mitchell, 1974).
El comité 445 sobre cortante y torsión perteneciente al ASCE-ACI define en su
texto “Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete” las ecuaciones de
equilibrio de la TCC en su forma simplificada (Fig. 2.10):
tanv sv cyf f vρ θ= = (2.14)
cotx sx cxf f vρ θ= = (2.15)
( )tan cotf v θ θ= +2 (2.16)
Donde ρx y ρv son las cuantías de armadura transversal y longitudinal,
respectivamente, v es la tensión cortante, fcx y fcy son los esfuerzos medios de
compresión en el hormigón en las direcciones horizontal y vertical, y fsx y fsy son los
esfuerzos medios de tracción en las armaduras longitudinal y transversal,
respectivamente.
Para esfuerzos de compresión relativamente pequeños se puede asumir que
ε2=f2/Ec, y en el caso de esfuerzos cortantes inferiores a aquellos que provocan la
cedencia del acero, se puede deducir, a partir de las ecuaciones 2.11, 2.14, 2.15 y 2.16,
la siguiente expresión para el ángulo de biela a compresión, θ:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
22
tan x
v
n
n
ρθ
ρ
+=
+
4
11
11 (2.17)
Donde n es el cociente entre los módulos de deformación del acero (Es) y el del
hormigón (Ec), n=Es/Ec, con Ec=fc/εc, donde fc es la resistencia a compresión del
hormigón ensayado en probeta cilíndrica y εc es la deformación asociada a fc.
Fig. 2.10: Estudio del equilibrio para la Teoría del Campo de Compresiones (TCC)10
2.3.1 Comportamiento a compresión del hormigón fisurado
Las tensiones y deformaciones están relacionadas mediante los modelos tensión-
deformación de los materiales. Para el hormigón a compresión el modelo habitual es
aquel que reproduce el comportamiento del hormigón en el ensayo a compresión en
probeta cilíndrica; en este caso, la única deformación a tracción que experimenta el
hormigón es la debida al efecto Poisson. Sin embargo, el caso que nos ocupa es bien
distinto dado que ahora el hormigón está solicitado a compresión en una dirección
principal al mismo tiempo que traccionado según la otra dirección principal y además
está agrietado.
La principal característica de la ley constitutiva a compresión del hormigón
agrietado por cortante es la considerable disminución de la tensión pico de compresión
10 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1378.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
23
en relación a la obtenida en el ensayo en probeta cilíndrica. Dicho fenómeno de
reducción fue descubierto inicialmente por Robinson11, quien desafortunadamente no
pudo determinar el conjunto de variables que afectaban al coeficiente de disminución de
la tensión pico, pues el alma de las vigas ensayadas estaba sometida a un complejo
campo de tensiones y deformaciones inducidas por la flexión y el cortante. A fin de
solucionar este problema, Robinson y Demorieux12 decidieron trabajar con paneles de
hormigón sometidos a tensión bi-axial, confirmando así la disminución de la resistencia
a compresión del hormigón debido a la presencia de esfuerzos de tracción en la
dirección perpendicular.
A fin de investigar las características tenso-deformacionales del hormigón
fisurado a cortante, Vecchio y Collins ensayaron una serie de paneles de hormigón
armado sometidos a cortante puro en el denominado “Shear Rig” de la Universidad de
Toronto (Fig. 2.11), el cual les permitió salvar algunas de las dificultades técnicas de
experimentación hasta entonces encontradas. A partir de los resultados obtenidos, y
como ya habían adelantado Robinson y Demorieux, se dedujo que la tensión principal
de compresión en el hormigón, f2, no era función exclusiva de la deformación principal
de compresión, ε2, sino que además dependía de la deformación principal a tracción
coexistente (Fig. 2.12 y 2.13). Vecchio y Collins propusieron a tal efecto la siguiente
relación:
max
max .
c c
cc
f f
ff f
ε εε ε
ε
= −
= ≤+
2
2 22 2
21
2
0 8 170
(2.18)
Siendo f2max al resistencia máxima por aplastamiento a compresión del
hormigón.
Belarbi y Hsu, a partir de una campaña de ensayos en condiciones similares a los
anteriores y realizados en la Universidad de Houston, sugirieron la siguiente expresión
11 Robinson, J.R. (1961): Essais a l’Effort Tranchant de Poutres a Ame Mince en Beton Arme, Annales des Ponts et Chausses, V.131, No.2, Paris, pp. 225-255 12 Robinson, J.R., Demorieux, J.M. (1968):Essai de Traction-Compression sur Modeles d’Armes de Poutre en Beton Arme – Part I, Institut de Recherches Appliquees du Beton Arme, Paris, 43 pp.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
24
para la resistencia f2max:
max. cff
ε=
+21
0 91 400
(2.19)
La cual, bajo condiciones de cortadura pura, depende igualmente de la
deformación principal a tracción coexistente.
Fig. 2.11: Universidad de Toronto: módulo de ensayo de paneles de hormigón (TMCC)13
Así mismo, los autores de la ecuación 2.19 desarrollaron el siguiente modelo
tenso-deformacional a compresión del hormigón armado y/o pretensado sometido a
cortante y torsión:
,
/ , /
ce c e c e c
e cc
e e c
f f
f f
σ
σ
ε ε εζ
ζ ε ζ ε ζ ε
ε ζ ε εζ
ζ ζ ε
= − ≤ − = − > −
2
2 2 22 0
0 0 0
2
2 0 22 0
0 0
2 1
11 1
2 1
(2.20)
Donde, para cargas “proporcionales” (i.e., ε1 y ε2 se incrementan
simultáneamente):
. y eσζ ζε ε
= =+ +0 0
1 1
0 9 11 400 1 500
13 Fuente: Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 223
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
25
Y para cargas “secuenciales” (i.e., primero se aplica ε1 y después se incrementa
ε2):
. y eσζ ζε
= =+0 0
1
0 9 11 250
Ya que el alma fisurada de una viga de hormigón armado está sometida a
esfuerzos cortantes crecientes, tanto la deformación principal de compresión ε2 como
la deformación principal a tracción ε1 aumentan simultáneamente. La figura 2.14a
muestra como las relaciones correspondientes a las ecuaciones 2.18 y 2.20 presentan
comportamientos similares para el caso en que la razón ε1 / ε2 permanezca
aproximadamente constante. Por su parte la figura 2.14b compara dichas relaciones bajo
la hipótesis menos realista de que ε1 permanezca constante, mientras ε2 aumenta; en
cualquiera de los dos casos, las ecuaciones definidas presentan comportamientos
similares.
Mediante el uso de las condiciones de equilibrio anteriormente descritas, las
condiciones de compatibilidad y las correspondientes relaciones constitutivas, es
posible predecir no sólo la resistencia sino también la respuesta tenso-deformacional de
elementos de hormigón armado sometidos a cortante. No obstante, dado que la TCC
desprecia la contribución a tracción del hormigón fisurado, las deformaciones son
sobrestimadas, con lo que los valores de resistencia a cortante finalmente obtenidos
resultan excesivamente conservadores.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
26
Fig. 2.12: Relación tensión-deformación para el hormigón agrietado en compresión14
Fig. 2.13: Influencia de la deformación principal a tracción en la resistencia a compresión del hormigón 15
14 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 263. 15 Adaptado de: Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Title no. 83, No. 2, p. 225
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
27
Fig. 2.14a: Relación tenso-deformacional a compresión del hormigón: “cargas proporcionales”
Fig. 2.14b: Relación tenso-deformacional a compresión del hormigón: “cargas secuenciales”16
16 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1380
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
28
2.4 Teoría Modificada del Campo de Compresiones
La figura 2.15 muestra el alma de una viga de hormigón armado antes y después
de la fisuración. Antes de producirse la fisuración el cortante es resistido por tracciones
y compresiones diagonales en el hormigón actuando a 45º, donde f1 y f2 son las
tensiones principales de tracción y compresión, respectivamente. Una vez que se
produce la fisuración, tiene lugar una reducción sustancial de la resistencia a tracción
del hormigón; según la TCC, una vez fisurado, el hormigón pierde totalmente su
resistencia a tracción, y por tanto, a partir de ese instante, f1 = 0. No obstante, el
hormigón sí contribuye después de fisurado, y por consiguiente, debe considerarse una
resistencia media del hormigón a tracción entre grietas. De esta forma surge la
denominada Teoría Modificada del Campo de Compresiones (TMCC).
Fig. 2.15: Diferencia entre la TCC y la TMCC
La tensión principal de tracción en el hormigón fisurado varía en magnitud
desde cero en la localización de la grieta hasta un valor máximo entre grietas. Dado que
las ecuaciones de equilibrio son obtenidas por integración del campo de tensiones en la
totalidad de la sección transversal, se puede trabajar con valores medios de los esfuerzos
de tracción a la hora de formular dichas ecuaciones de equilibrio; éstas han sido
planteadas para una viga simétrica de hormigón con armadura pasiva y activa, supuesto
que la tensión de cortante viene dada por la ecuación 2.2.
A partir del círculo de Mohr de tensiones medias (Fig. 2.16), se puede deducir la
siguiente relación para el esfuerzo principal de compresión, f2:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
29
( )tan cotw
Vf fb z
θ θ= + −2 1 (2.21)
La descompensación de la proyección vertical de resultantes de las tensiones
principales f2 y f1 debe ser equilibrada por una fuerza de tracción en la armadura
transversal (Fig. 2.17), tal y como se indica a continuación:
( )cosv v wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1 (2.22)
Si el esfuerzo axil que solicita la sección es nulo, la descompensación de la
proyección longitudinal de las resultantes de las tensiones principales f2 y f1 debe ser
equilibrada mediante una fuerza de tracción en la armadura longitudinal, tal y como se
indica a continuación:
( )cossx x p p wA f A f f f sen b zθ θ+ = −2 22 1 (2.23)
Donde Asx es el área total de la armadura longitudinal pasiva, Ap es el área total
de la armadura longitudinal activa, y fp es la tensión media en la barra de pretensado.
Fig. 2.16: Círculo de tensiones medias del hormigón17
17 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 261.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
30
Fig. 2.17: Estudio del equilibrio para la Teoría Modificada del Campo de Compresiones (TMCC)18
Sustituyendo el valor de f2 de la ecuación 2.21, la ecuación 2.23 adopta la
siguiente expresión:
cotsx x p p wA f A f V f b zθ+ = − 1 (2.24)
Así mismo, sustituyendo el valor de f2 de la ecuación 2.21 en la ecuación 2.22,
se obtiene la siguiente relación:
cot cotv vw
A fV f b z zs
θ θ= +1 (2.25)
La ecuación 2.25 expresa la resistencia a cortante de un elemento de hormigón
armado como la suma de la contribución del hormigón (Vc), la cual depende de la
distribución de esfuerzos de tracción en el hormigón, y la contribución del acero (Vs), la
cual depende del esfuerzo medio de tracción en los estribos; por otro lado, existe una
analogía formal entre la formulación así obtenida y la propuesta a tal efecto por la
norma ACI (V = Vc+Vs).
18 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 261.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
31
En lo que a la ecuación de comportamiento del acero se refiere, tanto la TCC
como la TMCC consideran relaciones bilineales de tensión-deformación, tal y como se
muestra a continuación:
, ,
, , x s x x y v s t t y
x y x y v y t y
f E f E
f f
ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
= ≤ = ≤
= > = > (2.26)
Fig. 2.18: Relaciones tensión-deformación del acero (TCC y TMCC)19
2.4.1 Interacción Flexión-Cortante: Analogía de la Celosía Modificada
Considérese una viga como la de la figura 2.19, con la armadura transversal
dispuesta según un ángulo α con la horizontal. Si se practica un corte a la misma por
una sección siguiendo la inclinación de las bielas de hormigón, se obtendrán las
siguientes ecuaciones de equilibrio:
cotcotcot cot
v c s
h s
o c s s
F V V V
F C T Vz zM M C z V z V V
α
θθ α
→ = +
→ = +
→ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
∑∑∑ 2 2
(2.27)
19 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 264.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
32
En las ecuaciones anteriores se ha supuesto que el cortante V es resistido por el
hormigón en la zona de compresiones (Vc) y por la armadura de cortante (Vs). Si se
sustituye Vc de la primera ecuación en la tercera, y C de la segunda en la tercera, se
obtiene lo siguiente:
( )cot cot cot cot cots s s
T
V V VMM z T V T Vz
θ α θ θ α
∆
= − − + → = + − + 2 2 214444244443
(2.28)
Fig. 2.19: Esquema de viga según analogía de la celosía20
Como se puede observar, el valor de T no es igual únicamente a M/z, según
establece la teoría clásica de vigas, sino que aparece un incremento de tracción adicional
‘ΔT’ como consecuencia de haber considerado la contribución a cortante del hormigón
(Vc). Este nuevo comportamiento se denomina analogía de la celosía modificada. Dicha
componente longitudinal no compensada, producida por las tensiones diagonales en el
hormigón, es la responsable del “decalaje de la ley de flectores” que la norma EHE-08
establece en su artículo 44.2.3.4.2
20 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 247.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
33
2.4.2 Comportamiento del hormigón a tracción
El hormigón es un material que resiste muy poco a tracción y que, por tanto,
rompe bajo tensiones de tracción muy pequeñas. No obstante, para deformaciones
superiores a la correspondiente a la resistencia media de tracción del hormigón fctm, la
contribución del hormigón no es despreciable. Una vez que aparece la primera grieta el
hormigón deja de contribuir en la zona de la grieta pero continúa contribuyendo en la
zona entre grietas. En consecuencia, la deformación total experimentada por la barra de
acero, aun cuando existan numerosas grietas, será menor que la que experimentaría la
misma barra aislada.
Justo antes de que se forme la primera grieta, la tensión del hormigón es fctm, y
su deformación es εctm. Una vez formada la primera grieta, la tensión media de tracción
en el hormigón disminuye, y decrecerá tanto más cuantas más grietas se produzcan, es
decir, conforme aumente la deformación principal a tracción en el hormigón. Vecchio y
Collins (1986), a partir de un conjunto de paneles de hormigón armado ensayados a
cortante puro, propusieron la siguiente relación tenso–deformacional a tracción para el
hormigón fisurado (Fig. 2.19):
,
,
c ctm
ctmctm
f Eff
ε ε εα α
ε εε
= ≤
= >+
1 1 1
1 21 1
11 500 (2.29)
Donde:
α1 Coeficiente en función de la adherencia acero-hormigón
1 para barras corrugadas
0.7 para barras lisas, cables y cordones con muescas
0 para barras sin adherencia
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
34
α 2 Coeficiente en función del tipo de carga
1.0 para carga rápida no cíclica
0.7 para cargas duraderas o repetitivas
Fig. 2.19: Relación tensión-deformación media para el hormigón a tracción21
El fenómeno de la contribución a tracción del hormigón se denomina
tensorrigidez. La tensorrigidez no afecta a toda el área de la sección transversal
sometida a tracción sino sólo a una parte situada en el entorno de la barra de acero (Fig.
2.20). Al área afectada se le denomina área eficaz ‘Ac,ef’, y equivale a la zona
rectangular en torno a la barra de acero a una distancia no superior a 7.5Ø, siendo Ø el
diámetro de la barra en cuestión.
Fig. 2.20: Área eficaz de hormigón a tracción22
21 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 264.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
35
Durante los últimos años diferentes autores han propuesto distintas expresiones
para la relación tenso-deformacional del hormigón fisurado a tracción. En 1982 Vecchio
propuso una primera relación a este respecto, la cual funcionaba particularmente bien
para los elementos de hormigón armado ensayados en el ‘Toronto Panel Tester’ de la
Universidad de Toronto, y cuya ecuación venía dada por la siguiente expresión:
ctmffε
=+1
11 200 (2.30)
Algunos años más tarde, en 1987, Vecchio y Collins mejoraron el anterior
modelo de ensayo experimental, obteniendo la ya indicada ecuación 2.29. Una tercera
contribución en este sentido fue la de Belarbi y Hsu, también en 1987, obtenida a partir
de la ecuación inicialmente propuesta por Tamai et al., y cuya expresión viene dada por:
.
, .
, .
.
c
ctm
f Eff
ε ε
εε
= ≤
= >
1 1 1
1 10 41
0 00008
0 00008
0 00008
(2.31)
En la figura 2.21 se comparan las tres ecuaciones anteriores, y tal y como se
puede observar, la rigidez a tracción del hormigón fisurado varía sensiblemente de un
caso a otro. Según Bentz (2005), la razón de la diferencia entre las distintas relaciones
propuestas reside en el efecto de la adherencia hormigón-acero, y propone definir la
rigidez a tracción del hormigón fisurado como una función de las características de
adherencia de la armadura.
En aquellos puntos donde el hormigón armado está compuesto por barras de
acero de bajo diámetro y muy próximas entre sí, se prevén mejores características de
adherencia que en aquellos otros donde la distancia entre barras de mayor diámetro es
superior. Por tanto, un parámetro apropiado para medir la adherencia hormigón-acero es
aquel que resulta de dividir el área eficaz de hormigón a tracción entre la suma de
perímetros de todas las barras adheridas a dicha área, tal y como se indica a
22 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 272.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
36
continuación:
,c ef
b
AM
d π=
∑ (2.32)
Donde M es el parámetro de adherencia (mm), y db es el diámetro de la barra
adherida al hormigón. En la figura 2.22 se muestran las características de las secciones
ensayadas en cada uno de los tres casos comentados anteriormente, y sus respectivos
parámetros de adherencia.
Si se representa el coeficiente del denominador en las tres relaciones anteriores
frente al parámetro de adherencia de las secciones a partir de las cuales han sido
obtenidas, se puede observar que para elementos con características pobres de
adherencia (i.e, altos valores de M), la rigidez a tracción del hormigón es más baja (Fig.
2.23). Los puntos representados en la figura 2.23 se ajustan claramente a una recta de
pendiente 3.6; sin embargo, si se representan los mismos coeficientes en función de la
cuantía de armado en lugar del parámetro de adherencia, la dispersión obtenida es
notablemente mayor, razón por la cual Bentz propone la siguiente relación tenso-
deformacional para el hormigón a tracción:
,
.ctm
c ef
b
ffM
AM
d
ε
π
=+
=∑
111 3 6
(2.33)
En el caso de elementos solicitados bi-axialmente, las propiedades de adherencia
suelen ser distintas entre la armadura transversal y la longitudinal, en cuyo caso Bentz
recomienda adoptar como parámetro de adherencia global del elemento el menor de los
dos parámetros resultantes; así pues, la rigidez a tracción del hormigón fisurado quedará
definida por la dirección con mejores propiedades de adherencia.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
37
Fig. 2.21: Distintas relaciones tenso-deformacionales del hormigón fisurado a tracción23
Fig. 2.22: Características de adherencia de distintas secciones ensayadas a cortante24
23 Fuente: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423 24 Adaptado de: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
38
Fig. 2.23: Coeficiente de rigidez a tracción vs. Parámetro de adherencia25
2.4.3 Estudio a nivel de grieta en la TMCC
Por ahora sólo se han tratado tensiones y deformaciones medias, teniendo en
cuenta que éstas varían de un punto a otro, especialmente entre las grietas y las zonas
entre grietas. Así pues, en el punto de fisuración la tracción en el hormigón es nula
mientras que la tensión en la armadura es máxima.
Para pequeños valores del esfuerzo cortante, la tracción se trasmite a través de
las grietas mediante aumentos locales en la tensión de las barras de acero. Sin embargo,
a ciertos niveles de cortante la tensión en la armadura del alma podría alcanzar el valor
de cedencia, en cuyo caso un aumento posterior del esfuerzo cortante requeriría de la
aparición de unas tensiones de cortante locales τci en el hormigón, a fin de poder
trasmitir el incremento de tracción a través de la grieta (Fig. 2.24), puesto que, según el
modelo bi-lineal de comportamiento del acero correspondiente a la TMCC, después que
la armadura alcanza su límite elástico ya no absorbe más tensión.
25 Fuente: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
39
Fig. 2.24: Tensiones locales en la grieta de una viga sometida a cortante26
A partir del círculo de tensiones de la figura 2.25, los esfuerzos en grieta de las
armaduras transversal y longitudinal, fsycr y fsxcr, respectivamente, vienen expresados
por:
tan tan
cot cotv sycr ci
x sxcr ci
f v
f v
ρ θ τ θ
ρ θ τ θ
= −
= + (2.34)
Fig. 2.25: Círculo de tensiones medias a nivel de grieta (TMCC)27
26 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 267. 27 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
40
Donde se puede observar que la tensión tangencial τci reduce el esfuerzo en la
armadura transversal a nivel de la grieta, pero lo incrementa en la armadura
longitudinal.
La capacidad de la interfase de la grieta para trasmitir estas tensiones locales
dependerá del ancho de grieta ‘w’ y del tamaño de árido ‘a’. El valor máximo de τci
viene dado por la expresión (Bhide y Collins, 1989):
.
.
cci
fw
a
τ ≤+
+
0 18240 3
16
(2.35)
Donde τci se mide en MPa y ‘a’ y ‘w’ se miden en mm. En la ecuación 2.35 no
se han tenido en cuenta los efectos favorables producidos por compresiones locales en
la interfase de la grieta.
Así pues, vamos a trabajar paralelamente con dos familias de tensiones
equivalentes; por un lado, las tensiones medias calculadas según la formulación de la
TMCC, y por otro, las tensiones locales a nivel de grieta (Fig. 2.26). Las dos familias de
tensiones de la figura 2.26 deben de ser estáticamente equivalentes; por tanto, ambas
componentes verticales deben ser iguales, tal y como se indica a continuación:
tan tan tanw
v v v y ci wb zz zA f A f b z
s sσ τ
θ θ θ + = +
1 (2.36)
De donde se puede deducir el valor de la tracción trasmitida por el hormigón a
través de la grieta, σ1:
( )tan vci y v
w
A f fsb
σ τ θ= + −1 (2.37)
El ancho de fisura ‘w’ se puede obtener como el producto de la deformación
principal a tracción por el espaciamiento medio de las grietas smθ, según se indica a
continuación:
mw s θε= 1 (2.38)
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
41
Donde:
cosm
mx mv
s sens s
θ θ θ=
+
1
En la expresión anterior smx y smv son las separaciones entre grietas en las
direcciones de la armadura longitudinal y transversal, respectivamente (Fig. 2.27)
Fig. 2.26: Tensiones medias calculadas y tensiones locales a nivel de grieta28
El código modelo CEB-FIP propone una formulación para estimar las
separaciones entre grietas, la cual fue deducida en relación al ancho de fisura en
superficie, y donde cx y cv son las distancias del centro de gravedad de la sección bruta a
la armadura longitudinal y vertical, respectivamente (Fig. 2.28):
x bxmx x
x
bvmv v
v
s ds c k k
dss c k k
ρ
ρ
= + +
= + +
1 2
1 2
210
210
(2.39)
28 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 267.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
42
Siendo:
k1 = {0.4; barras corrugadas; 0.8; barras lisas o tendones}
k2 = 0.25
ρv=Av/(bws)
ρx=(Asx + Ap)/( bwz)
Fig. 2.27: Separación entre grietas29
Un último límite del valor de la resistencia a cortante viene dado por la tensión
de cedencia de la armadura longitudinal. Las componentes horizontales de la familia de
tensiones medias y la familia de tensiones locales deben verificar la siguiente
29Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 269.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
43
inecuación:
( ) cotvsx y p p sx x p p w y v w
w
AA f A f A f A f b z f f f b zb s
σ θ
+ ≥ + + + − −
21 1 (2.40)
Donde el límite elástico fy de la armadura pasiva, y el límite elástico fp de la
armadura activa se alcanzan a nivel de la grieta.
Las ecuaciones del estudio a nivel de grieta de la TMCC introducen tantas
incógnitas nuevas como ecuaciones en el proceso de diseño a cortante, si bien sólo
modifican el comportamiento a tracción del hormigón (Fig. 2.29); a partir de las
ecuaciones 2.35 y 2.37, y suponiendo que la armadura transversal han alcanzado su
tensión de cedencia (fv=fy), se deduce la siguiente expresión límite para f1:
. tan
.cff w
a
θ≤ + +
10 18
240 316
(2.41)
Limitando el valor del esfuerzo principal de tracción en el hormigón se cuenta
con la posibilidad de fallo del mecanismo denominado “aggregate interlock”,
responsable de la trasmisión de fuerzas a través de la grieta, y se evita la propagación de
grieta a partir de un determinado nivel de tensión cortante.
Fig. 2.28: Parámetros sx, s, cx, cv30
30 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 269.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
44
Fig. 2.29: Relación tensión-deformación a tracción del hormigón corregida a nivel de grieta 31
2.4.4 Recientes simplificaciones de diseño en la TMCC
Mediante la aplicación de un conjunto de simplificaciones es posible redefinir
las ecuaciones básicas de la TMCC a fin de que puedan ser utilizadas en un modo más
práctico y sencillo en el diseño de secciones de hormigón armado sometidas a cortante
combinado con axil y flector.
La contribución a cortante del hormigón ‘Vc’, debida al campo de tracciones
principales en el mismo, puede ser expresada como:
c c wV f b zβ= (2.42)
31 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
45
El factor β depende de la distribución media de tensiones de tracción en el
hormigón fisurado; considerando que la resistencia media a tracción del hormigón ‘fctm’
es igual a 0.33√fc (Norma ACI-318), y que según la ecuación 2.25 la contribución a
cortante del hormigón puede ser expresada como Vc = f1bwzcotθ, a partir de la ecuación
2.42 el factor β queda expresado de la siguiente manera:
. cotα α θβ
ε=
+1 2
1
0 331 500
(2.43)
Es preciso tener en cuenta que la trasmisividad de tracciones a través de la grieta
dependerá del ancho de la misma, por lo que un ancho de grieta excesivo limitaría la
tensión media en el hormigón, y el esfuerzo tangencial en la grieta τci alcanzaría un
valor crítico. A partir de las ecuaciones 2.41 y 2.42 es ahora posible determinar el valor
límite de β para el cual se produciría un colapso de la estructura por propagación de la
grieta bajo cortante, tal y como se indica a continuación:
.
. msa
θ
βε
≤+
+1
0 18240 3
16
(2.44)
Como se puede deducir de la expresión anterior, a medida que la deformación
principal a tracción ε1 aumenta, la contribución a cortante Vc del hormigón disminuye.
Para elementos sin armadura transversal, el parámetro smθ será igual a sx/senθ, en
cuyo caso la ecuación 2.44 puede ser expresada como:
... x
xx
ssen
ssa
ε
ε
βεθ
≤+
=+
1
0 180 6860 3
3516
(2.45)
El máximo valor de β, y por consiguiente, la máxima resistencia a cortante en
post-fisuración, será aquel que satisfaga simultáneamente las ecuaciones 2.43 y 2.45,
por lo que resulta la siguiente expresión:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
46
.. xssenTan
εεθθ
ε
+=
+
1
1
1 2580 568
1 500 (2.46)
En el caso de elementos sin armadura transversal, se cumple la siguiente
relación:
cotf f θ= 22 1 (2.47)
Dado que en este tipo de elementos el campo de esfuerzos de compresión es
relativamente pequeño, se puede tomar como aproximación suficiente que / cf Eε =2 2 ,
donde Ec=4950 cf (MPa); combinando las ecuaciones 2.12 y 2.47 se obtiene la
siguiente expresión:
( )cot( cot )x
θε ε θ
ε= + +
+
42
1
1
115000 1 500
(2.48)
La forma en que la anterior ecuación geométrica relaciona la deformación
principal a tracción ε1 y el ángulo de biela θ para diferentes valores de εx se muestra en
la figura 2.30. Los puntos de intersección de las curvas representadas definen los
valores de θ y ε1 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2.46 y 2.48. Se puede
comprobar que a medida que el parámetro de espaciamiento entre grietas sxε aumenta, el
valor de β disminuye. El hecho observado es que grandes vigas de hormigón armado sin
armadura transversal colapsan para esfuerzos cortantes menores que vigas
geométricamente semejantes pero más pequeñas, lo que se conoce como efecto tamaño
en cortante.
Los valores de β para elementos sin armadura transversal dependen tanto de la
deformación longitudinal εx como del parámetro de espaciamiento sxε; así pues, se
definen dos tipos de factores relacionados con efectos distintos: por un lado, el factor
correspondiente al efecto deformacional (“strain effect factor”) y por otro, el factor
correspondiente al efecto tamaño (“size effect factor”). Ambos factores no son
realmente independientes, sin embargo, en las simplificaciones de la TMCC se obvia
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
47
esta interdependencia y se asume que el término β puede ser expresado como el
producto de ambos factores descritos, tal y como se indica a continuación:
.
x xs ε
βε
= + +
0 4 13001 1500 1000
(2.49)
Fig. 2.30: Efecto tamaño en elementos sin armadura transversal32
La TMCC simplificada propone la siguiente expresión para el ángulo de
inclinación de las bielas de compresión, θ:
( )deg . degxx
s εθ ε = + + ≤
29 7000 0 88 752500
(2.50)
32 Fuente: Bentz, E.C., Vecchio, F.J., Collins, M.P. (2006): Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced Concrete Elements, ACI Structural Journal, Vol. 103, No.4, p.617
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
48
Al igual que en el caso del factor β, la ecuación 2.50 define el ángulo de biela
como el producto de los términos correspondientes al factor de tamaño y al factor
deformacional.
Fig. 2.31: Análisis comparativo de los valores simplificados de β y θ en relación a la TMCC para
elementos de hormigón armados transversalmente 33
33 Fuente: Bentz, E.C., Vecchio, F.J., Collins, M.P. (2006): Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced Concrete Elements, ACI Structural Journal, Vol. 103, No.4, p. 618
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
49
En el caso de elementos de hormigón con armadura longitudinal y transversal
sometidos a un estado de solicitación próximo al de colapso por cortante, la TMCC
estima cambios sustanciales en las contribuciones a cortante tanto del hormigón como
del acero. Generalmente, después de alcanzado el límite de cedencia de la armadura
transversal, el ángulo θ se reducirá, lo que a su vez producirá un incremento de la
contribución a cortante del acero, así como una mayor tensión de tracción en la
armadura longitudinal. La solución que la TMCC simplificada propone a este respecto
es considerar el valor de θ para el cual la TMCC predice que la contribución a cortante
del hormigón es máxima. Igualmente, y con un fin también simplificativo, se propone
utilizar las mismas expresiones de los factores de tamaño y deformacional tanto para
elementos sin armadura transversal como con ella.
La figura 2.31 compara los valores de θ asociados con la máxima contribución a
cortante del hormigón con aquellos obtenidos a partir de la ecuación 2.50; como se
puede observar, valores altos de θ conllevan un diseño bastante conservativo pues
implican valores menores de la contribución a cortante del acero. Así mismo, en
elementos con armadura longitudinal y transversal, el espaciamiento de las fisuras será
generalmente inferior a 300 mm, y por tanto, se toma un valor de sxε igual a 300 mm
tanto en la ecuación 2.49 como en la 2.50. Por otra parte, la figura 2.31 compara
también los valores del factor β estimados a partir de la TMCC con los obtenidos
mediante la ecuación 2.49, y como se puede observar los resultados menos
conservativos (i.e., mayor contribución a cortante del hormigón) están relacionados con
deformaciones longitudinales εx relativamente bajas.
2.5 Rotating Angle- Softened Truss Model
El profesor Thomas T.C. Hsu y sus colaboradores de la Universidad de Houston
(Belarbi y Hsu 1991, 1994, 1995; Pang y Hsu 1995; Hsu, 1993) desarrollaron una
metodología de análisis distinta en relación a la inclusión del campo de tracciones
principales del hormigón fisurado en la resistencia a cortante; este nuevo procedimiento
se denominó “Rotating Angle – Softened Truss Model” (RA-STM). Al igual que la
MCFT, este método asume que la inclinación de la dirección principal de tensión
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
50
coincide con la de la dirección principal de deformación. Por lo general, este ángulo
decrecerá a medida que la fuerza de cortante se incremente; de ahí el nombre de esta
teoría alternativa.
Esta nueva teoría satisface los tres principios fundamentales de la mecánica de
materiales: 1) equilibrio de esfuerzos, 2) compatibilidad de deformaciones y 3) leyes
constitutivas de los materiales. Así pues, con este modelo alternativo se puede predecir
no sólo la resistencia a cortante de un elemento sino también su función de respuesta
Carga vs. Deformación. Al igual que ocurría en la TMCC, se consideran valores medios
de las distribuciones de tensiones y deformaciones a fin de poder aplicar los principios
de la mecánica del continuo así como las relaciones de transformación de la Teoría de la
Elasticidad, plasmadas gráficamente en el círculo de Mohr.
Fig. 2.31a: Campo de tensiones y sistemas de ejes coordenados en un ensayo a cortante de un panel de
hormigón
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
51
Fig. 2.31b: “Universal Panel Tester” (Universidad de Houston) 34
En la figura 2.31a se muestra un esquema de un panel de hormigón armado
sometido a esfuerzos normales y cortantes coplanarios entre sí. Las direcciones de las
barras de armado longitudinal y transversal se han designado mediante los ejes ‘l’ y ‘t’,
respectivamente, constituyendo el sistema coordenado l-t. El conjunto de tres esfuerzos
coplanarios lσ , tσ y l tτ puede ser reemplazado por un par de esfuerzos principales {σ1,
σ2} orientados según los ejes 1 y 2 del sistema de ejes principales. El ángulo entre la
dirección principal de compresión (eje 2) y la dirección del armado longitudinal se
denota por α2. En el “Universal Panel Tester” (Fig. 2.31b), que es como se denomina el
módulo de ensayo a cortante de la Universidad de Houston, las cargas son aplicadas
biaxialmente a lo largo de las direcciones principales 1 y 2 del panel, mientras las
barras de armado longitudinales quedan orientadas según un ángulo α2 respecto a la
dirección principal de compresión; de ahí que dicho ángulo se denomine “fixed angle”.
Las direcciones principales de tensión y deformación del hormigón fisurado son
definidas mediante el sistema de ejes coordenados d-r. El eje d, que representa la
34 Adaptado de: Pang, X., Hsu, T.T.C. (1995): Behavior of Reinforced Concrete Membrane Elements in Shear, ACI Structural Journal, Vol. 92, No.5, p. 666-667
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
52
dirección principal de compresión en el hormigón, está orientado según un ángulo α
respecto a la dirección de armado longitudinal. Cuando la tensión media en las
armaduras longitudinal y transversal es idéntica, la dirección principal de compresión en
post-fisuración (eje d) coincide con la dirección de la compresión aplicada (eje 2), y en
este caso α= α2. Sin embargo, cuando los esfuerzos medios de tracción en las
armaduras longitudinal y transversal son distintos, el eje d se desvía respecto el eje 2, y
en ese caso α< α2. Ya que el ángulo α disminuye a medida que aumenta la carga
aplicada, también a este último se le denomina “rotating angle”. De acuerdo a lo
anteriormente expuesto, los esfuerzos principales en el hormigón fisurado se denotan
como σd y σr para compresión y tracción, respectivamente.
2.5.1 Ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas
Las tres ecuaciones de equilibrio (Hsu, 1993) de la RA-STM se obtienen a partir
de las ecuaciones de transformación entre el sistema coordenado d-r y el sistema
coordenado l-t, resultando las siguientes expresiones:
( )
cos
coscos
l d r l l
t d r t t
lt d r
sen f
sen fsen
σ σ α σ α ρ
σ σ α σ α ρ
τ σ σ α α
= + +
= + +
= − +
2 2
2 2
(2.51)
Donde lρ y tρ son las cuantías de acero longitudinal y transversal, y lf y tf son
los esfuerzos medios de tracción en las armaduras longitudinal y transversal,
respectivamente.
Igualmente, las tres ecuaciones de compatibilidad se obtienen a partir de las
relaciones de transformación de deformaciones entre los sistemas coordenados d-r y l-t,
tal y como se indica a continuación:
( )
cos
coscos
l d r
t d r
lt d r
sen
sensen
ε ε α ε α
ε ε α ε α
γ ε ε α α
= +
= +
= − +
2 2
2 2
(2.52)
Donde εd y εr son las deformaciones principales del hormigón medidas en el
sistema coordenado d-r.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
53
El anterior conjunto de seis ecuaciones requiere de tres relaciones constitutivas,
a saber:
a) Relación tensión-deformación del hormigón a compresión, donde se relaciona la
tensión de compresión σd con la deformación εd en el sistema coordenado d-r, y
cuya expresión ya ha sido indicada en la ecuación 2.2035.
b) Relación tensión-deformación del hormigón a tracción, donde se relaciona la
tensión de tracción σr con la deformación εr en el sistema coordenado d-r, y cuya
expresión ya ha sido indicada en la ecuación 2.31.
c) Relación tensión-deformación de la armadura longitudinal y transversal a
tracción; en este caso, la RA-STM presenta una importante novedad en relación
a la TMCC, pues evita la verificación de tensiones a nivel de grieta mediante un
ajuste de la relación tenso-deformacional del acero que tiene en cuenta la
posibilidad de superación del límite de cedencia de éste último.
La gráfica tensión-deformación del acero de armar generalmente se
considera elástica-perfectamente plástica, con un techo tensional
correspondiente al nivel de cedencia del acero. Sin embargo, cuando la armadura
se encuentra adherida en prácticamente todo su contorno a la masa de hormigón,
la relación tenso-deformacional media del acero es notablemente distinta; así
pues, en el instante en que la armadura alcanza su nivel de cedencia en grieta, en
las zonas entre grietas la tensión de dicha armadura es inferior a su límite
elástico, y esto es debido a la colaboración a tracción del hormigón adherido al
acero (Fig. 2.32). Inicialmente, la adherencia entre el hormigón y el acero
permite una transferencia casi total del esfuerzo de tracción resistido por la
armadura al hormigón adherido a la misma. En el momento en que se alcanza el
pico de resistencia a tracción del hormigón, éste se agrieta; en el punto de
fisuración, la tensión de la armadura es máxima, mientras la del hormigón es
nula. A partir de ese instante, y si la carga continúa aumentando, la armadura
continuará trasmitiendo tracción al hormigón hasta que éste vuelva a agrietarse
nuevamente. Este proceso culmina cuando la separación entre grietas 35 En el presente trabajo, y a fin de utilizar una simbología unificada y coherente con el resto de teorías de campos de compresiones, se ha sustituido los subíndices ‘d’ y ‘r’ de la RA-STM por ‘2’ y ’1’, respectivamente.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
54
consecutivas es tan pequeña que la adherencia residual entre el acero y el
hormigón no resulta suficiente para seguir trasmitiendo tracción al hormigón, o
hasta que la armadura alcanza el nivel de cedencia en grieta.
Fig. 2.32: Distribución esquemática de fuerzas, esfuerzos normales, deformaciones y esfuerzos de
adherencia entre dos grietas consecutivas de una viga de hormigón armado
La RA-STM propone dos modelos de curvas tensión-deformación para el acero:
c.1) el primero de ellos consiste en una única curva obtenida a partir de la
siguiente expresión analítica de Richard y Abbott36 (Fig. 2.33):
( )( )
/s p s
s mm
s p s
E Ef
E Ef
ε
ε
−=
− +
1
0
1
(2.54)
Donde ‘fs’ es la tensión media en la armadura, ‘Ep’ es el módulo
plástico del acero, cuyo valor suele oscilar entre el 1.8% y el 2.5% del
36 Richard, R.M., Abbott, B.J. (1975): Versatile Elastic-Plastic Stress-Strain Formula, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 101, No. EM4, pp. 511-515
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
55
valor del módulo elástico del acero Es, ‘f0’ es la tensión de intersección
entre las asíntotas correspondientes a los tramos elástico y plástico, cuyo
valor es aproximadamente del 89% del límite elástico del acero, y ‘m’ es
el parámetro de curvatura del acuerdo que une los tramos elástico y
plástico, y su valor es función de la tensión aparente de cedencia, fy*, tal
y como se indica a continuación:
*.
y
n
mff
=−
0 5
1 (2.55)
Donde fn es el punto de intersección de las curvas elástica y
plástica, cuyo valor es aproximadamente de un 91% del límite elástico
del acero, y viene dado por la siguiente ecuación:
sn
s p
Ef fE E
=−0 (2.56)
La tensión aparente de cedencia fy* es el esfuerzo de tracción que
solicita la armadura en la zona entre fisuras cuando dicha armadura
alcanza en grieta la tensión de cedencia. A efectos prácticos, los autores
de la RA-STM proponen la siguiente expresión simplificada para el
cálculo de dicha tensión:
.*y cr
y y
f ff fρ
= −
1 541
(2.57)
Donde ρ es la cuantía de armadura longitudinal o transversal,
según corresponda.
c.2) El segundo de ellos consiste en un modelo bilineal simplificado
compuesto de dos líneas rectas con distinta pendiente (Fig. 2.34); el
primer tramo corresponde a la región elástica y su pendiente es Es,
mientras que el segundo tramo corresponde al tramo plástico y su
pendiente es Ep. La formulación propuesta a este respecto por la RA-
STM se indica a continuación:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
56
( ) ( )
( ).
,
. . . ,
. y B=
s s s s n
ss y s s n
y
s ctmn
y y
f E
Ef f B Bf
siendo
E fBf f
ε ε ε
ε ε ε
ερ
= ≤
= − + + >
= −
1 5
0 91 2 0 02 0 25
10 93 2
(2.58)
Donde εn es el valor de deformación correspondiente a la
intersección entre los dos tramos rectos dados por la ecuación 2.58.
Fig. 2.33: Relación tensión-deformación del acero según el modelo de Richard-Abbott (Hsu et al.,
1994) 37
En la figura 2.35 se muestran las predicciones de resistencia a cortante de la
TCC (CFT, en inglés), la TMCC (MCFT, en inglés) y la RA-STM correspondientes a
dos series de paneles de hormigón armado. Como se puede observar, tanto la TMCC
como la RA-STM arrojan resultados similares para bajas cuantías de armado
transversal; sin embargo, los valores de resistencia obtenidos según la RA-STM son
37 Fuente: Belarbi, A., Hsu, T.T.C. (1994): Constitutive Laws of Concrete in Tension and Reinforcing Bars Stiffened by Concrete, ACI Structural Journal, Vol. 91, No.4, p. 471
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
57
generalmente más bajos que los correspondientes a la TMCC para altas cuantías de
armadura transversal.
Fig. 2.34: Relación tensión-deformación bi-lineal del acero (Hsu et al., 1994) 38
Fig. 2.35: Predicción de la resistencia a cortante para dos series de paneles de hormigón armado según
diferentes teorías de campos de compresiones 39
38 Fuente: Hsu, T.T.C. (1998): Unified Approach to Shear Analysis and Design, Cement and Concrete Composites, 20, p. 427 39 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1382
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
58
2.6 Teoría Unificada del Campo de Compresiones (TUCC)
El módulo elástico de la armadura, Es, permanece constante mientras la tensión
de cedencia del acero no se alcance en ningún punto del elemento, y en particular, en las
secciones en las que se ha fisurado el hormigón. Una vez el acero alcanza su límite
elástico, su módulo de deformación prácticamente se anula; como se ha visto, la TMCC
adopta una formulación tenso-deformacional del acero elástica-perfectamente plástica,
con un valor del módulo plástico del acero constante e igual a cero. Por su parte, la RA-
STM adopta una formulación bi-lineal en la que el módulo de deformación del acero,
después de alcanzado su nivel de cedencia, resulta positivo. En el caso de la TMCC, y
debido al modelo tensión-deformación utilizado, es preciso realizar una verificación
tensional en grieta.
Una relación constitutiva distinta a las enunciadas por las anteriores teorías de
campo de compresiones, y basada en la formulación de la rigidez a tracción del
hormigón, es la que presenta la Teoría Unificada del Campo de Compresiones
(Hernández Montes y Gil Martín, 2005).
La TUCC (RCFT, en inglés) propone que los modelos de acero y de
tensorrigidez del hormigón deben de estar relacionados sin ninguna formulación
adicional. Siempre que el acero no entre en cedencia en la grieta, el módulo de
deformación del acero será Es. Cuando en una grieta el acero alcance su límite elástico,
el módulo de deformación del acero se verá alterado. Si se establece el equilibrio entre
la sección de la grieta (donde se ha producido la cedencia del acero) y una sección que
represente el estado medio de tensiones (Fig. 2.36) se cumplirá que:
{ , , ,
grieta sección media
s y s s av c ef ct avA f A f A f= +144424443
(2.59)
Donde As es la sección transversal de la barra de acero en cuestión y fs,av y fct,av
son las tensiones medias de tracción en la armadura y en el hormigón, respectivamente,
en una sección genérica entre grietas.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
59
Fig. 2.36: Barra sometida a tracción. El acero ha alcanzado la tensión de cedencia fy 40
A partir de la ecuación 2.59 se puede deducir el valor medio de la tensión en la
armadura embebida en hormigón:
,, , max
, max
,
,
c efs av y ct av ct
s
s av s ct ct
Af f f
Af E
ε ε
ε ε ε
= − ≥
= <
(2.60)
Donde εmax es la deformación correspondiente a la primera cedencia en grieta.
Este valor, adoptando para la resistencia a tracción del hormigón el valor definido en la
ecuación 2.29, se puede calcular a partir de la ecuación 2.59, tal y como se indica a
continuación:
maxmax , , max
ctm
s y s s s c ef ct av ys s
f
E A E A A fA E
εε ε ε ε
+= + → = −
1 500 (2.61)
Tal y como se puede observar, tanto la tensión media en el acero (fs,av ) como la
tensión media en el hormigón (fct,av) son función de una única y común deformación
entre ambos, εct . Así pues, partir de la ecuación 2.60 se puede obtener una curva
tensión-deformación media del acero embebido en hormigón (Fig. 2.37)
40 Fuente: Gil Martín, L.M., Hernández Montes, E., Aschheim, M., Pantazopoulou, S. (2010): Refinements to Compression Field Theory, with Application to Wall-Type Structures, p. 14
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
60
Fig. 2.37: Gráfica tensión-deformación del acero según la TUCC 41
Como se ha mencionado previamente, la tensorrigidez no afecta a toda el área de
la sección transversal sometida tracción sino sólo a una parte situada en el entorno de la
barra de acero, Ac,ef, cuyo valor, en fenómenos de tracción, suele adoptarse igual al área
en torno a la barra a una distancia no superior a 7.5Ø. Sin embargo, una posible
41 Fuente: Gil Martín, L.M., Hernández Montes, E., Aschheim, M., Pantazopoulou, S. (2010): Refinements to Compression Field Theory, with Application to Wall-Type Structures, p. 16
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
61
hipótesis a este respecto es la de considerar dicha área como una función de la
deformación hormigón-acero, o bien, de la separación entre fisuras consecutivas,
teniendo en cuenta así la tendencia a la degradación que experimenta el hormigón por
efecto del cortante. Sin embargo, aún es precisa una investigación más profunda en este
sentido a fin de clarificar todo lo concerniente en relación a tales aspectos.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
62
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
63
3.1 Introducción
En 1986, los profesores Vecchio y Collins de la Universidad de Toronto
afirmaban, en relación a su Teoría Modificada del Campo de Compresiones, que en
elementos armados longitudinal y transversalmente las direcciones de los campos
principales de tensión y deformación se desviaban aproximadamente 10 º. La figura 3.1
muestra los resultados obtenidos por Vecchio y Collins en el año 1982 tras el ensayo
para diferentes condiciones de solicitación de 30 paneles cuadrados de hormigón de 89
cm de lado y 7 cm de espesor.
Fig. 3.1: Teoría Modificada del Campo de Compresiones (Vecchio y Collins, 1982)1
Tres años después de la publicación de la TMCC, en 1989, Bhide y Collins
realizaron un conjunto de ensayos sobre paneles de hormigón armados
unidireccionalmente y sometidos a esfuerzos de tracción, combinados con cortante,
hasta alcanzar el nivel de agotamiento de los primeros; a partir de los resultados
obtenidos observaron que la dirección principal de tracción en el hormigón difería en
más de 20 º respecto de la correspondiente dirección principal de deformación.
1 Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 224.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
64
En el año 2000, el profesor Frank J. Vecchio, en su publicación Disturbed Stress
Field Model for Reinforced Concrete: Formulation2 de la revista Journal of Structural
Engineering, señala que los ángulos de las tensiones y deformaciones principales no
tienen por qué ser necesariamente iguales en estadios avanzados de la deformación por
cortante. La figura 3.2 muestra los ángulos de los campos principales de tensión y
deformación de un panel de hormigón, con una cuantía longitudinal de armado ρx=1.8%
y una cuantía transversal de armado ρv=0.7%, sometido a cortante puro (σx;σv;τ =
0;0;1). La tendencia observada fue que el cambio de inclinación en la tensión principal
permanecía ligeramente por debajo del correspondiente a la deformación principal.
Antes de alcanzar la fisuración, ambos campos formaban 45 º respecto a la dirección de
armado; una vez producida la primera fisura, se produce un incremento brusco en la
dirección de la deformación principal de tracción, acompañado de un pequeño cambio
en la dirección de la tensión principal correspondiente. Conforme la tensión aplicada
aumenta, la tasa de variación de sendos campos comienza a igualarse paulatinamente,
conservando una diferencia de ángulo casi constante en la última etapa del ensayo.
Fig. 3.2: Panel V19 (Vecchio, 2000)3
2 La DSFM es una variante de la TMCC en la que se modifica el procedimiento de comprobación en grieta mediante la inclusión en el mismo de una condición de compatibilidad referida a la propagación de la grieta a partir de un determinado nivel de cortante. 3 Vecchio, F.J. (2000): Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Formulation, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, No. 9, p. 1071
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
65
Como se ha comentado anteriormente, la Teoría Modificada del Campo de
Compresiones predice la resistencia a cortante de un elemento de hormigón armado, y
su función de respuesta Carga vs. Deformación, mediante el planteamiento del
siguiente sistema de ecuaciones:
- 3 ecuaciones de equilibrio
( )tan cot (2.21) w
Vf fb z
θ θ= + −2 1
( )co s (2 .22 )v v wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1
( )cos (2.23 y 2.24)tansx x w w
VA f f f sen b z f b zθ θθ
= − = −2 22 1 1
- 2 ecuaciones de compatibilidad
(2.11)x
t
Tan ε εθ
ε ε−
=−
2 2
2
(2.12)x tε ε ε ε= + −1 2
- 2 relaciones tensión-deformación del acero, una para la armadura
longitudinal y otra para la armadura transversal
,
,
(2.26) ,
,
x s x x y
x y x y
v s t t y
t y t y
f Ef f
f Ef f
ε ε ε
ε ε
ε ε ε
ε ε
= ≤ = >
= ≤ = >
Siendo εy la deformación correspondiente al límite de cedencia del acero.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
66
- Comportamiento del hormigón a tracción
, (2.29)
,
c ctm
ctmctm
f E
ff
ε ε ε
α αε ε
ε
= ≤
= >+
1 1 1
1 21 1
11 500
- Comportamiento del hormigón a compresión
max
max
(2.18)
.
c c
cc
f f
ff f
ε εε ε
ε
= −
= ≤+
2
2 22 2
21
2
0 8 170
En el sistema de 9 ecuaciones no lineales anterior hay 9 incógnitas: θ, εx, εt, V,
ε2, f1, f2, fx y fv. Además, deberá efectuarse la comprobación en grieta en relación al
límite de cedencia de la armadura; las ecuaciones respectivas sólo modifican el
comportamiento a tracción del hormigón, introduciendo tantas incógnitas nuevas como
ecuaciones.
Para el desarrollo analítico del presente trabajo se van a asumir dos alteraciones
en relación a la formulación planteada por la TMCC; la primera de ellas consiste en
adoptar como ecuación de tensorrigidez del hormigón fisurado la propuesta por Bentz
(2005), que relacionaba el área efectiva de hormigón a tracción (Ac,ef) con el parámetro
de adherencia entre hormigón y acero (M), y cuya expresión recordamos a
continuación:
,
. (2.33)
ctm
c ef
b
ffM
AM
d
ε
π
=+
=∑
111 3 6
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
67
La segunda alteración consiste en adoptar como ecuación de comportamiento del
acero la propuesta por la TUCC (Hernández Montes y Gil Martín, 2005), basada en la
formulación de la tensorrigidez del hormigón, y cuya expresión recordamos a
continuación:
,, , max
, max
,
(2.60) ,
c efs av y ct av ct
s
s av s ct ct
Af f f
A
f E
ε ε
ε ε ε
= − ≥
= <
Donde εmax es la deformación correspondiente a la primera cedencia del acero en
grieta y se calcula a partir de la ecuación (2.61). En la anterior ecuación, y en relación al
procedimiento que aquí se desarrolla, el área efectiva de hormigón a tracción (Ac,ef) se
adopta igual al área rectangular en torno a la barra a una distancia no mayor de 7.5Ø -
siendo Ø el diámetro de la barra en cuestión-, área generalmente adoptada en fenómenos
de tracción.
Con carácter alternativo, y a fin de contrastar los resultados obtenidos,
utilizaremos como ecuación de comportamiento del acero la propuesta por la RASTM,
cuya expresión recordamos a continuación:
( ) ( )
( )
,
. . . ,
(2.58)
. y B=
s s s s n
ss y s s n
y
sn
y
f E
Ef f B Bf
siendo
E Bf
ε ε ε
ε ε ε
ερ
= ≤
= − + + >
= −
0 91 2 0 02 0 25
10 93 2.
ctm
y
ff
1 5
Por otra parte, y en los casos en que se utilice la relación tenso-deformacional
del acero propuesta por la RASTM, la ecuación correspondiente de tensorrigidez del
hormigón (criterio de post-fisuración) vendrá dada por (Fig. 3.3):
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
68
.. (2.31)ctmf f
ε
=
0 4
11
0 00008
Fig. 3.3: Relación tenso-deformacional a tracción del hormigón, según la RA-STM
La razón de prescindir de la comprobación en grieta propuesta por la TMCC se
debe al hecho de que las ecuaciones correspondientes a dicho procedimiento han sido
deducidas a partir de la hipótesis de Wagner, siendo ésta precisamente la hipótesis que
se pretende refrendar en el presente trabajo, por lo que en un principio obviaremos la
referida comprobación, sirviéndonos únicamente, y a efectos de los objetivos aquí
propuestos, de aquellas ecuaciones de comportamiento del acero basadas en la
tensorrigidez del hormigón (i.e., TUCC y RASTM).
En el sistema de ecuaciones correspondiente a la TMCC, se supone que el
ángulo θ es el mismo tanto para el campo de deformaciones como para el campo de
tensiones. Sin embargo, y como ya se indicó en el capítulo 1 del presente trabajo, esto
es una clara simplificación de la realidad; en este apartado se analizará con algo más de
detenimiento el contexto de dicha simplificación y las consecuencias que derivan de la
misma.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
69
3.2 Justificación del problema a analizar
Consideremos una viga de hormigón armado4 sometida a flexión simple
mediante la aplicación de una carga P. Dicha carga produce un cortante V en una
sección de la viga en la que el momento flector de cálculo es nulo (Fig. 3.4). Si
aumentamos progresivamente la carga P, llegará un momento en que se superará la
resistencia a tracción del hormigón y la viga fisurará. A partir de ese instante, y si
seguimos aumentando el valor de aplicación de la carga P, podremos medir, mediante
el uso de extensómetros, las deformaciones longitudinal (εx), transversal (εt) y principal
a tracción (ε1) de la viga en la sección de referencia. Por tanto, el problema a analizar
depende en último caso de tres variables independientes (εx , εt , ε1), las cuales varían
simultáneamente en cada nuevo escalón de carga que aplicamos a la viga. Así pues, se
presenta la necesidad de obtener unas ecuaciones de equilibrio y compatibilidad cuya
estructura formal sea coherente con el problema a analizar; en otras palabras, resulta
preciso transformar las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de la TMCC en
funciones dependientes exclusivamente de las variables deformacionales εx, εt y ε1.
Como se vio anteriormente, las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a
la TMCC se pueden expresar como:
( )tan cot (2.21)e ew
Vf fb z
θ θ= + −2 1
( )co s (2 .2 2 )v v e e wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1
( )cos (2.23)tansx x e e w w
e
VA f f f sen b z f b zθ θθ
= − = −2 22 1 1
Donde θe corresponde al ángulo de inclinación del campo principal de tensiones.
Despejando V de la ecuación (2.23) e introduciendo este valor en la ecuación
(2.21), se obtiene:
( ) ( ) ( )( )tantan cot tansx x w e
e e x x ew
A f f b zf f f f f
b zθ
θ θ ρ θ+
= + − = + + −1 22 1 1 11
4 En un primer estudio de la cuestión que aquí se plantea, se ha decidido no incluir armaduras activas en el diseño de la viga a ensayar, para evitar así posibles enmascaramientos de resultados en relación a las deformaciones longitudinales del sistema.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
70
a) Geometría de la viga
2P KN·m
P KN·m
3P/2 KN
Diagrama deflectores
Diagrama decortantes
Sección deanálisis
P/2 KNP KN
FLECTOR NULO
b) Diagrama de cortantes y flectores
c)
Fig. 3.4: Modelo estructural de análisis
Por tanto, una vez sustituidas las respectivas ecuaciones de comportamiento, la
ecuación 3.1 queda de la siguiente forma:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
71
,
,
.
.
ctmv v av
ectm
x x av
ffMTan ffM
ρθ
ρ
++=
++
2 1 3 6
1 3 6
Donde: (3.2)
{ }, max
,, , max
,
con ,
,
i av s ct ct
c efi av y ct av ct
s
f E
i x vA
f f fA
ε ε ε
ε ε
= <
=
= − ≥
Fig. 3.5: Criterio de comportamiento del hormigón adoptado
En lo que se refiere al término de la ecuación 3.2 relacionado con los esfuerzos
longitudinales, ρxfx, se deberá tener en cuenta la diferencia de rigidez correspondiente
al caso en que se trabaje con secciones que presenten armaduras distintas en las caras
traccionada y comprimida de la viga, tal y como se indica a continuación:
x x c c t tf f fρ ρ ρ= +
Donde el subíndice ‘c’ se refiere a la armadura comprimida y el subíndice ‘t’ se
refiere a la armadura traccionada.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
72
Por otra parte, combinando las dos ecuaciones de compatibilidad de la TMCC,
se obtiene:
; (3.3)x tc x t c
t x
Tan Tanε ε ε εθ ε ε ε ε θ
ε ε ε ε− −
= = + − → =− −
2 22 11 2
2 1
donde θc es el ángulo de inclinación del campo de deformaciones principales.
Luego, tenemos dos ecuaciones, una de equilibrio y otra de compatibilidad,
dependientes de las mismas variables, y por tanto, formalmente idénticas:
( ),
,
. , ,
.
ctmv v av
e e x tctm
x x av
ffMTan Tan FffM
ρθ θ ε ε ε
ρ
++= → =
++
2 21
1 3 6
1 3 6
( ), , tc c x t
x
Tan Tan Fε εθ θ ε ε ε
ε ε−
= → =−
2 211
1
Si ahora sustituimos los valores de εx , εt y ε1, correspondientes a cada escalón de
carga del experimento (definido al principio de este apartado) en cada una de las dos
ecuaciones anteriores, obtendremos un valor experimental del ángulo θe y otro valor
experimental del ángulo θc , ambos distintos, tal y como ocurría en el ensayo del panel
V19.
Vamos a definir como constantes las deformaciones {εt, ε1}, y dejamos como
variable la tercera deformación, εx. Si aplicamos la hipótesis simplificativa de Wagner e
igualamos entre sí los primeros miembros de las ecuaciones 3.2 y 3.3, obtendremos una
ecuación con 2 incógnitas {εx, θ}. Luego, en último término, la aplicación de la
hipótesis de Wagner equivale a trabajar con un sistema de un grado de libertad: un
ángulo (θ) o una deformación (εx). En otras palabras, diferentes hipótesis sobre el valor
de cálculo del ángulo θ implican necesariamente diferentes valores de la deformación
longitudinal εx.
El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad como
dependientes de la variable εx, con {ε1, εt}=constante, da lugar a funciones de la forma
siguiente:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
73
Fig. 3.6: Interacción de las funciones de equilibrio y compatibilidad
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
74
Como se puede observar, tanto la función de equilibrio como la función de
compatibilidad son hiperbólicas; en el caso de la primera, se trata de una hipérbola con
asíntota vertical de abcisa negativa5, sus ramas están en el primer y tercer cuadrante, y
su comportamiento es decreciente. En el caso de la segunda, se trata de una hipérbola
con asíntota vertical de abcisa positiva, sus ramas están en el segundo y cuarto
cuadrante, y su comportamiento es creciente. La asíntota vertical positiva de la función
de compatibilidad corresponde al punto en el que la deformación longitudinal (εx) y la
deformación principal a tracción (ε1) coinciden, lo cual incumple los postulados de la
Teoría de la Elasticidad6, y de ahí que la función de compatibilidad presente un punto de
indefinición en el dominio positivo. Ambas funciones presentan una asíntota horizontal
coincidente con el eje de abcisas. Por tanto, la zona de interacción de ambas funciones
(Fig. 3.6), y a efectos del análisis que aquí se plantea, abarca desde el origen de
coordenadas hasta la asíntota vertical de la función de compatibilidad.
Así mismo, se pueden distinguir dos regiones dentro de la zona de interacción
señalada en la figura 3.6: una antes del punto de intersección y otra después. Según los
resultados obtenidos por Vecchio (2000), para una determinada deformación el ángulo
θc es superior al ángulo θe, lo que se cumple en la región II de la figura 3.7, por lo que
será en esta región donde centraremos nuestro análisis. Como se puede observar, y tal y
como apuntaba Vecchio, el ángulo θ obtenido a partir de la TMCC quedará a medio
camino entre el ángulo experimental θe del campo principal de tensiones y el ángulo
experimental θc del campo principal de deformaciones. La deformación longitudinal
correspondiente al punto de intersección de ambas funciones se denominará
deformación del sistema (εs).
Por otra parte, la utilización del gráfico de interacción de la figura 3.6 resulta
muy interesante, pues revela una cuestión que en el gráfico presentado por Vecchio
(Fig. 3.2) no se aprecia de forma explícita, y es el hecho de que la aplicación de la
hipótesis de Wagner (TMCC) no sólo implica una variación en el ángulo de biela, sino
también una disminución de la deformación real o deformación experimental (εe) (Fig.
3.8), lo cual va en consonancia con lo indicado anteriormente: la estimación de un valor
5 Bajo determinadas hipótesis de deformación, esta asíntota vertical podría ser de abcisa positiva. 6 Esta cuestión se retomará posteriormente en el apartado 3.3 del presente capítulo.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
75
de cálculo del ángulo θ implica necesariamente una variación de la deformación de
cálculo o deformación del sistema (εs) respecto la deformación real (εe). Dado que la
adopción de un valor intermedio del ángulo θ dentro del rango (θe, θc) resulta
inevitable, debido a la naturaleza del problema aquí planteado, centraremos nuestro
análisis en la variación Δεx de la deformación de cálculo respecto la deformación real,
indicada en la figura 3.8.
3.7 Regiones de la zona de interacción y deformación del sistema (εs)
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
76
3.8 Efecto de disminución de la deformación real (εe)
A continuación vamos a definir una nueva función deducida de calcular, para
cada deformación εx , la diferencia de ángulos obtenidos a partir de las condiciones de
equilibrio y compatibilidad en la región II; esta nueva función se ha denominado
función de disparidad y se representa con el símbolo ζ, tal y como se indica a
continuación:
( ) { },
, ,
,
.; , .
.
ctmv v av
tx t t
ctm xx x av
ffMArcTan ArcTan cteffM
ρε ε
ζ ε ε ε ε εε ερ
+ −+ = − =
− + +
11 1
1
1 3 6
1 3 6
Donde: (3.4)
{ }, max
,, , max
,
con ,
,
i av s ct ct
c efi av y ct av ct
s
f E
i x vA
f f fA
ε ε ε
ε ε
= <
=
= − ≥
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
77
La representación gráfica de la función definida en la ecuación 3.4, expresada en
grados y evaluada en la región II, es la siguiente:
Fig. 3.9: Función de disparidad ζ (º) (Región II)
Tal y como se desprende de la figura 3.9, se trata de una función continua,
monótona creciente, cuyo dominio es [εs, ε1) y cuyo recorrido es [0, π/2]. Así mismo, y
como se puede observar, la función ζ presenta en la región II un punto de inflexión o
curvatura nula en el cual la función derivada de ζ, que representa la tasa de variación de
la disparidad entre ángulos en relación a la deformación longitudinal εx, alcanza un
mínimo (Fig. 3.10). La deformación longitudinal correspondiente a dicho punto de
inflexión se ha denominado deformación singular (ε0) y la diferencia entre la
deformación singular y la deformación del sistema (εs) se ha denominado distancia
singular (D), la cual, por definición, es una magnitud adimensional (Fig. 3.9).
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
78
Fig. 3.10: Tasa de disparidad x
ζε
∂∂
(Región II)
Según los datos experimentales obtenidos por Vecchio y Collins (1982), en la
mayoría de los casos la diferencia entre los ángulos correspondientes a la dirección
principal de deformación y a la dirección principal de tensión es inferior a 10º7. Por
tanto, cuando la diferencia entre ambos ángulos correspondiente a la deformación
singular sea superior a 10 º, la deformación real será inferior a la deformación singular.
En la figura 3.11 se muestran dos curvas que representan la expresión dada por la
ecuación 3.4, denominadas con los números 1 y 2. La curva2 se obtiene a partir de la 1
disminuyendo la distancia singular de la primera una cantidad ΔD tal que D1=D2+ ΔD,
tal y como se indica en la figura 3.11b, manteniendo constante la deformación principal
a tracción del sistema (ε1). Las razones que justifican esta disminución son las
siguientes:
7 Según Bhide y Collins (1989), esta diferencia entre ángulos puede llegar a ser de hasta más de 20º en el caso de elementos sin armadura transversal. No obstante, y a falta de más datos experimentales, consideraremos estos 10º de diferencia como valor de referencia.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
79
- La disminución de la distancia singular implica, en general, un acercamiento
entre el punto de deformación del sistema (εs) y un punto cualquiera de la
función de disparidad. Por otra parte, una disminución en la distancia
singular no implica necesariamente una aproximación de la deformación
real a la deformación del sistema; de hecho, no se descarta que un primer
decremento de la distancia singular provoque un alejamiento de las dos
deformaciones anteriores. Esto último es debido a que la deformación real
del sistema no representa un punto intrínseco de la función de disparidad y
su posición podría depender en último término de múltiples variables a
priori desconocidas. Dado que no disponemos de experimentación
específica al respecto, resulta preciso en primer lugar representar la función
de disparidad de nuestro sistema y, a continuación, asumir una posición
arbitraria de la deformación real εe, la cual, en cualquier caso, pertenecerá al
intervalo (εs, ε1). No obstante, y para una disminución máxima de la
distancia singular, entendiéndose por tal la máxima de diseño permitida por
la normativa actual, dicha disminución garantiza valores próximos entre sí
de la deformación del sistema (εs) y la deformación real o experimental (εe),
a fin de que la diferencia Δεx sea lo más baja posible.
- En las curvas representadas en la figura 3.11a, las deformaciones reales son
menores que las deformaciones singulares. En los experimentos llevados a
cabo por Vecchio y Collins, la diferencia entre los ángulos θe y θc nunca
superó el valor de 10º. Si se establecen estos 10º como máxima diferencia,
se puede definir un rango que se ha denotado con el símbolo δ en la figura
3.12. Como se puede observar en esta figura, a medida que disminuye la
distancia singular, el rango de δ también disminuye.
- Manteniendo constante la deformación principal a tracción ε1, se consigue
que en ningún punto la curva 2 supere a la curva 1, por lo que en el caso
final, tras la reducción de la distancia singular, el valor de la función de
disparidad correspondiente a la deformación real será igual o menor que en
el caso inicial (Fig. 3.12).
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
80
Fig. 3.11a: Deformaciones y distancias singulares del sistema
Fig. 3.11b: Reducción de la distancia singular D
D2 = D1 - ΔD
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
81
- A la vista de los hechos expuestos, y dado que no se dispone de
experimentación real específica al respecto, una forma matemática de
controlar la proximidad entre la deformación del sistema y la deformación
real, y por consiguiente el nivel de certeza sobre el valor de la deformación
de cálculo εs, es actuando sobre la distancia singular D (Fig. 3.9).
Fig. 3.12: Rango de pertenencia δ de la deformación real
Así pues, y en base a lo anteriormente expuesto, será preciso definir qué
parámetros de diseño pueden determinar una variación en la distancia singular de un
sistema a partir de la modificación de los mismos. A vista de las ecuaciones 3.2 y 3.3,
los parámetros de diseño del sistema son los siguientes: la cuantía de armadura
longitudinal (ρx), la cuantía de armadura transversal (ρv), la resistencia media a tracción
del hormigón (fctm), la cual depende directamente de la resistencia característica del
hormigón), el parámetro de adherencia (M) y por último, en el caso de régimen de
comportamiento plástico de las armaduras (εct > εmax), la relación entre el área eficaz de
hormigón a tracción y el área de armadura (Ac,ef/As). De estos cinco parámetros, sólo los
(δ)1 > (δ)2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
82
tres primeros permiten un análisis independiente de los mismos, ya que tanto el
parámetro M como la relación (Ac,ef/As) dependen del diámetro de la barra de acero, y
por consiguiente, de las cuantías de armado adoptadas. Por otra parte, la existencia de
series de diámetros comerciales de barra estandarizados hace que la utilización de estos
dos últimos parámetros resulte poco flexible. Así pues, se establecen como parámetros
de control del sistema los siguientes factores de diseño:
- Cuantía de armadura longitudinal (ρx)
- Cuantía de armadura transversal (ρv)
- Resistencia característica del hormigón (fck)
3.3 Plan de ensayo
La viga objeto de estudio ha sido diseñada para los valores mínimos8 de los tres
parámetros de control establecidos (ρx, ρv, fck), los cuales deberán ser incrementados a
fin de evaluar la influencia de los mismos en la distancia singular D. El incremento de
valores de cada uno de los parámetros de control anteriores se realizará de forma
independiente respecto de los restantes parámetros, salvo que por cuestiones específicas
de aplicación de la normativa técnica consultada, el incremento de uno de los tres
parámetros implique necesariamente la modificación de los otros. En particular, se
evaluarán los siguientes casos indicados en la tabla 3.1a. Cada unos de los casos
anteriores de diseño se evaluará para las hipótesis de deformación de la tabla 3.1b.
Tabla 3.1a
Parámetro
de control
Valor inicial
(mínimo)
Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor
máximo
ρx ρx,min 2·ρx,min 4·ρx,min 6·ρx,min ρx,max
ρv ρv,min 2·ρv,min 4·ρv,min 6·ρv,min ρv,max9
fck 25 MPa 40 MPa 60 MPa 80 MPa 100 MPa
8 Según normativas: EHE-08, EC-2 y ACI-318 9 En ninguna de las normativas técnicas consultadas (EHE-08, EC-2 y ACI-318) se ha encontrado un valor máximo para la cuantía de armadura transversal en vigas de hormigón armado sometidas a flexión simple. En consecuencia, y dado que en el caso que nos ocupa, la cuantía máxima de armadura longitudinal es aproximadamente igual a ocho veces la mínima correspondiente, se ha decidido adoptar como valor máximo de la cuantía de armadura transversal aquel igual a ocho veces la cuantía mínima correspondiente.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
83
Tabla 3.1.b
Hipótesis εt ε1
1 0.0006 0.00075
2 0.0008 0.001
3 0.001 0.002
4 0.002 0.004
5 0.005 0.006
El procedimiento experimental diseñado a tales efectos se concreta en las
siguientes etapas:
I. Datos de entrada:
a. Área bruta de hormigón en dirección longitudinal (Ac)
b. Ancho del alma de la sección (bw)
c. Resistencia característica del hormigón (fck)
d. Módulo de deformación del hormigón (Ec)
e. Límite elástico del acero (fy)
f. Módulo de deformación del acero (Es)
g. Nº de barras y diámetro en la armadura traccionada
h. Nº de barras y diámetro en la armadura comprimida
i. Diámetro de cercos y separación (s)
j. Área de hormigón a cortante en la dirección transversal (Acv)
k. Brazo mecánico (z)
l. Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura
traccionada (Ac,ef,t)
m. Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura
comprimida (Ac,ef,c)
n. Área eficaz de hormigón a tracción en la dirección transversal (Ac,ef,v)
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
84
II. Definición de las deformaciones transversal (εt) y principal a tracción (ε1). Por la
Teoría de la Elasticidad sabemos que el valor de la deformación principal de
tracción en un elemento es siempre superior al valor de las deformaciones en los
ejes cartesianos {x,t}, tal y como se indica a continuación:
,x t x t xtε ε ε ε γ
ε+ − = ± +
2 2
1 2 2 2 2
Donde γxt es la distorsión angular del elemento en cuestión asociada a los
ejes {x, t}.
Luego el valor de la deformación principal a tracción ε1 debe ser en
cualquier caso superior al de la correspondiente deformación de la armadura
transversal εt. Igualmente es preciso tener en cuenta a este respecto que un valor
de ε1 demasiado próximo al de εt puede afectar a la convergencia del proceso de
cálculo debido a la aparición de un cero en el numerador de la ecuación (3.3).
Por último, el valor de la deformación principal a tracción ε1 debe ser superior a
la deformación correspondiente a la resistencia media de tracción del hormigón,
εctm, a fin de garantizar el régimen de post-fisuración en el mismo.
III. Cálculo de las deformaciones correspondientes a la primera cedencia del acero
en grieta, según los modelos propuestos por la TUCC y por la RA-STM:
maxmax
ctm
ys s
f
A Eε
ε ε+
= −1 500
(TUCC)
( ).
. y B=s ctmn
y y
E fBf f
ερ
= −
1 51
0 93 2
(RASTM)
IV. Definición de las funciones de disparidad relativas a la región II , definidas en la
ecuación 3.4 para el caso de las ecuaciones de comportamiento de acero y
hormigón propuestas por la TUCC y la RA-STM:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
85
Teoría Unificada del Campo de Compresiones:
( ) { },
, ,
,
.; , .
.
ctmv v av
tTUCC x t t
ctm xx x av
ffMArcTan ArcTan cteffM
ρε ε
ζ ε ε ε ε εε ερ
+ −+ = − =
− + +
11 1
1
1 3 6
1 3 6
Donde: (3.6)
{ }, max
,, , max
,
con ,
,
i av s ct ct
c efi av y ct av ct
s
f E
i x vA
f f fA
ε ε ε
ε ε
= <
=
= − ≥
Rotating Angle Softened Truss Model:
( ) { }
.
,
, ,.
,
.
; , ..
v v av ctmt
RASTM x t tx
x x av ctm
f fArcTan ArcTan cte
f f
ρε ε ε
ζ ε ε ε ε εε ε
ρε
+ − = − = − +
0 4
1 11 10 4
1
1
0 0008
0 0008
Donde: (3.7)
{ }
( ) ( )
,
,
,
con ,
. . . ,
i av s ct ct n
si av y ct ct n
y
f E
i x v
Ef f B Bf
ε ε ε
ε ε ε
= <
=
= − + + >
0 91 2 0 02 0 25
V. Cálculo de la deformación del sistema (εs), la cual resulta de igualar a cero cada
una de las funciones de disparidad definidas anteriormente (Fig. 3.7).
VI. Cálculo de la derivada primera de las correspondientes funciones de disparidad,
∂ζ/∂εx, la cual denominaremos de ahora en adelante como tasa de disparidad
asociada a la deformación longitudinal εx (Fig. 3.10).
VII. Cálculo de la deformación crítica (ε0), en la cual la función de disparidad
presenta su punto de inflexión y que se obtiene de igualar a cero la ecuación de
la tasa de disparidad (Fig. 3.9 y 3.10).
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
86
VIII. Cálculo de la distancia crítica D, la cual resulta directamente de la diferencia
entre la deformación crítica y la deformación del sistema (Fig. 3.8 y 3.11).
Cada uno de los pasos anteriores se repetirá para cada una de las cuantías de
análisis consideradas y bajo las hipótesis de deformación indicadas.
Así mismo, y dado que las expresiones analíticas planteadas no son lineales,
para la resolución de las mismas será preciso recurrir a métodos numéricos, algunos de
ellos ya implementados en el software comercial utilizado a tal efecto. Por otra parte,
los valores de los parámetros εt y εs obtenidos en los apartados II y VI,
respectivamente, deberán ser comparados con los obtenidos en el apartado IV, a fin de
determinar el régimen de comportamiento –elástico o plástico- de las armaduras
longitudinal y transversal, lo que revela la naturaleza iterativa del procedimiento de
obtención de resultados anteriormente descrito.
El objetivo del presente estudio es evaluar, al menos cualitativamente, en qué
medida la variación de los parámetros de control mencionados anteriormente implica un
aumento o disminución de la distancia singular D, así como determinar la manera en
que la fisuración del hormigón, y por consiguiente, su nivel de degradación por
cortante, influye en dicho proceso.
3.4 Definición del modelo estructural de análisis
Como modelo estructural de análisis se ha considerado una viga de hormigón
armado de sección cuadrada de 300 mm de lado (Fig. 3.13).
La viga está fabricada con hormigón HA-25/B/20/IIb y armadura tipo B-400-S.
A efecto de los objetivos planteados en el presente trabajo, la anterior viga se
dotará inicialmente de la cuantía mínima de armadura longitudinal y transversal. En lo
que a la resistencia media a tracción del hormigón se refiere, ésta depende de la
resistencia característica a compresión de mismo (fck). En este se ha adoptado la mínima
exigida por la EHE-08 para hormigón armado. Según el EC-2, y a falta de datos
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
87
experimentales, la resistencia media a tracción fctm viene dada por:
/,
,
. , (3.8)
. ln ,
ct m ck ck
cmct m ck
f f f MPa
ff f MPa
= ≤
= + >
2 30 30 50
2 12 1 5010
Donde fcm es la resistencia media a compresión a 28 días y puede calcularse como
fcm=fck+8 MPa.
Fig. 3.13: Geometría de la viga (cotas en mm)
Cuantía mínima de armadura longitudinal
Como cuantía de armado longitudinal se va a adoptar la mínima que establece la
norma EHE-08 al respecto. A continuación se justifica su cálculo:
Art. 42.3.2 (EHE-08): Cuantía mínima mecánica a tracción
(3.9)s yd cdWA f fh
≥ 1
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
88
Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más
traccionada y h es el canto de la sección.
En secciones rectangulares sometidas a flexión simple, y para hormigones con
resistencia característica a compresión fck inferior a 50 MPa, se adopta la siguiente
expresión:
... . . mm
.
cds c
yd
fA Af
≥ = ⋅ ⋅ = 2
25 0 851 50 04 0 04 90000 146 63
4001 15
Art. 42.3.5 (EHE-08): Cuantía mínima geométrica a tracción:
,min. mm . mms c sA A Aφ≥ = → → =2 20 0033 297 2 14 307 88
Así pues, se adopta como cuantía mínima a tracción la correspondiente al art.
42.3.5 de la EHE-08.
Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la
cara a tracción:
,min' . . . mm ' . mms sA Aφ≥ ⋅ = → → =2 20 3 307 88 92 36 2 8 100 53
Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=14 mm y una resistencia
característica del hormigón de valor 25 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la
norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:
( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =20 10 30
Por lo que el canto útil d será igual a d=300-30-14/2=263 mm
Para una armadura longitudinal a compresión de Ø=8 mm y una resistencia
característica del hormigón de valor 25 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la
norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =20 10 30
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
89
Cuantía mínima de armadura transversal
Dado que la armadura longitudinal a compresión va a ser considerada en el
cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1
de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φφ
φ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 8 120
24
El art. 44.2.3.4.1 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en
función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más
restrictiva viene dada por:
. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 263 79
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente
relación:
. . . . .
.
y d ctm ctm
y d
A f f f b mmb A mmsen fα α
ααα
⋅≥ → ≥ = =
⋅
200
2 56 300 0 2944007 5 7 5 7 51 15
Teniendo en cuenta que:
, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα
φπ φ⋅ = → =
225 34
4
Puesto que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la
anterior ecuación de sv,max=192.24 mm.
Según el artículo 39.2.4 de la EHE-08, el recubrimiento nominal (rnom) de la
armadura transversal vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
90
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que
incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad
igual al diámetro de cerco, respetando así el recubrimiento nominal de la armadura
transversal en todo el perímetro de la sección. Por tanto, el canto útil final de la viga
será de d=300-36-14/2=258 mm, y la distancia máxima entre cercos será de
0.3·258=77.4 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos
Ø6 a 77 mm. Por otra parte, el valor de Aα debe ser recalculado a fin de que cumpla con
el diámetro comercial mínimo de acero y la separación máxima entre cercos calculada.
Para sv,max=77 mm y Ø=6mm, se obtiene:
,min . mm /mmramasA n Aα απ⋅ = → =2
2677 0 7344
300
300 c φ 6 a 77 mm
2φ14
2φ8
r=36 mm
r=30 mm
r=36 mm
Fig. 3.14: Cuantía mínima: detalle de armado
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
91
Cálculo del parámetro de adherencia
En primer lugar será necesario calcular el área eficaz de hormigón a tracción
correspondiente a cada dirección de armado (Ac,ef). Para el caso de la armadura
longitudinal, se han utilizado dos diámetros distintos, uno para la armadura de
compresión y otro para la de tracción. Según Bentz (2005), en el caso de elementos
solicitados bi-axialmente, deberá escogerse la adherencia correspondiente a la dirección
de armado con menor valor del parámetro M; de esta forma, la adherencia global del
elemento queda supeditada a la dirección de armado con mejores propiedades de
adherencia (i.e, menor M). El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal
de tracción vendrá dado por (Fig. 3.15):
( ), ,inf . . mmtrac
c ef real traclongA r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 36 7 5 14 21904
2 2
Donde Øtrac es el diámetro de la barra longitudinal traccionada.
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal superior vendrá dado
por (Fig. 3.16):
( ), ,sup . . mmcompc ef real complong
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 2287 5 36 7 5 8 10000
2 2
Donde Øcomp es el diámetro de la barra longitudinal comprimida.
En relación a la armadura transversal, el valor de Ac,ef correspondiente a la
dirección vertical será (Fig. 3.17):
( ), , . . mmcercoc ef v nom cercovA r φ
φ = + + = + + ⋅ =
2 2267 5 30 7 5 6 6084
2 2
Por tanto, los parámetros de adherencia correspondientes a cada dirección de
armado son los siguientes:
, ,infinf . mmc ef
trac
AM
πφ= = 498 02
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
92
, ,supsup
, ,
. mm
. mm
c ef
comp
c ef vv
cerco
AM
AM
πφ
πφ
= =
= =
397 89
322 77
Luego, según el criterio propuesto por Bentz, adoptaremos como parámetro
global ‘M’ un valor de 322.77 mm, que corresponde al armado transversal.
Una vez definido el elemento estructural a estudiar y los valores mínimos a
adoptar para cada uno de los parámetros de diseño que van a ser considerados en este
estudio, se procederá al incremento de cada uno de los mismos de forma independiente
y según el plan recogido en la tabla 3.1a. En la tabla 3.2 se recogen las características
principales de las cuantías de análisis 1, 2, 3 y máxima, cuyo diseño y armado se
justifican en el anexo 1 del presente trabajo.
300
300
2φ14
Ac,ef,inf
36+7+7.5·14
Fig. 3.15: Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura longitudinal inferior
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
93
300
300
2φ8
Ac,ef,sup36+4+7.5·8
Fig. 3.16: Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura longitudinal superior
cφ6 a 77 mm
Ac,ef,v
30+6+7.5·6
DETALLE
Fig. 3.17: Área eficaz de hormigón a tracción en dirección transversal
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
94
Tabla 3.2
PARÁMETRO DE
CONTROL
CASO DE
DISEÑO
ARMADURA
LONGITUDINAL
ARMADURA
TRANSVERSAL
ARMADURA
LONGITUDINAL
1 2Ø16(T)+ 2Ø16(C) C Ø 6 a 76 mm
2 4Ø16(T)+ 4Ø16(C) C Ø 6 a 76 mm
3 4Ø20(T)+ 4Ø20(C) C Ø 6 a 76 mm
Máximo 4Ø25(T)+ 5Ø20(C) C Ø 6 a 75 mm
ARMADURA
TRANSVERSAL
1 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 8 a 77 mm
2 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 12 a 77 mm
3 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 14 a 77 mm
Máximo 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 16 a 77 mm
RESISTENCIA DEL
HORMIGÓN
1 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 6 a 78 mm
2 5Ø20(T)+ 4Ø14(C) C Ø 6 a 77 mm
3 4Ø25(T)+ 4Ø14(C) C Ø 6 a 75 mm
Máximo 5Ø25(T)+ 5Ø14(C) C Ø 6 a 75 mm
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
95
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
96
Como ya se indicó en el capítulo 3, el objetivo del presente estudio es evaluar, al
menos cualitativamente, en qué medida la variación de determinados parámetros de
diseño en hormigón armado implica una aproximación de la deformación real del
elemento de hormigón a la deformación del sistema (εs), analizada sobre la base de la
disminución de la distancia singular D, así como determinar la manera en que la
fisuración del hormigón, y por consiguiente, su nivel de degradación por cortante,
influye en dicho proceso. Tal y como se indicó en el apartado 3.2 del capítulo3, en este
trabajo se van a evaluar los siguientes parámetros de diseño:
- Cuantía de armadura longitudinal (ρx)
- Cuantía de armadura transversal (ρv)
- Resistencia característica del hormigón (fck)
4.1 INFLUENCIA DE LA CUANTÍA DE ARMADURA LONGITUDINAL
4.1.1 Función de disparidad ζ para diferentes cuantías de armadura longitudinal
y diferentes hipótesis de deformación.
La cuantía de armadura longitudinal se ha variado adoptando los valores
indicados en las tablas 3.1a y 3.2. Las hipótesis de deformación consideradas se
resumieron en la Tabla 3.1.b.
En la figura 4.1 se ha representado la función de disparidad, ζ, definida en la
ecuación 3.4 y que corresponde a la diferencia entre los ángulos que definen las
direcciones principales de tensión y de deformación. Como se puede observar en la
figura 4.1, conforme aumenta el valor de la cuantía de acero la pendiente asociada al
punto de inflexión de la función ζ es cada vez menor, con el consiguiente aumento del
dominio de la misma.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
97
Fig. 4.1: Valores de ζ, definida en la ecuación 3.4, en función de εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
98
Por otra parte, y a medida que aumentan los valores deformacionales de la
hipótesis considerada (Fig. 4.1), la distribución de las deformaciones del sistema (εs),
que representan los puntos en los que la función ζ se anula, es cada vez menos
uniforme; así pues, en la figura 4.1d se observa un mayor distanciamiento de la
deformación εs asociada a la cuantía longitudinal 1 respecto de las deformaciones del
sistema asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de la figura
4.1e, existe una distribución aproximadamente uniforme de las deformaciones del
sistema hasta la cuantía 3, con un mayor distanciamiento de la última deformación del
sistema, asociada a la cuantía máxima, respecto al resto del grupo.
4.1.2 Tasa de disparidad x
ζε
∂∂
para diferentes cuantías de armadura longitudinal
y diferentes hipótesis de deformación
En la figura 4.2 se ha representado la derivada respecto εx de la función de
disparidad, ∂ζ/∂εx, que corresponde a la tasa de variación de la disparidad entre ángulos
principales de tensión y deformación en función de la deformación longitudinal
considerada. Como se puede observar, y al igual que se ha indicado en el apartado
4.1.1, conforme aumenta la cuantía de acero las ramas de las parábolas representadas
son más abiertas y su dominio es cada vez mayor. Esto último equivale a decir que, a
medida que disminuye la cuantía de acero, pequeñas variaciones en la deformación real
del elemento se traducen en variaciones cada vez mayores de la disparidad entre
ángulos.
Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.1.1, conforme
aumentan los valores deformacionales de la hipótesis considerada la distribución de
mínimos de las parábolas representadas, que indican las deformaciones singulares del
sistema (ε0) y corresponden a los puntos de inflexión de la función ζ, es cada vez
menos uniforme; así pues, en la figura 4.2d se observa un mayor distanciamiento de la
deformación ε0 asociada a la cuantía longitudinal 1 respecto de las deformaciones
singulares asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de la figura
4.2e existe una distribución aproximadamente uniforme de las deformaciones singulares
hasta la cuantía 3, con un distanciamiento mayor de la última deformación singular,
asociada a la cuantía máxima, respecto al resto del grupo.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
99
Fig. 4.2: Valores de la tasa de disparidad x
ζε
∂∂
asociada a la deformación longitudinal εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
100
4.1.3 Evolución de la influencia de la cuantía de armadura longitudinal sobre la
distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación
Como se puede observar en la figura 4.3, para valores deformacionales bajos de la
hipótesis considerada un incremento de la cuantía de armadura longitudinal implica un
aumento del parámetro D, lo que se traduce a nivel físico en un posible distanciamiento
de la deformación de cálculo o deformación del sistema (εs) respecto la deformación
real del elemento.
A partir de la hipótesis 2 (Fig. 4.3b) se observa una mayor separación entre las
curvas correspondientes a las dos teorías de cortante analizadas en este trabajo; ello es
debido a la incipiente plastificación de la armadura transversal.
En la figura 4.3c se registra una mayor separación de las curvas de evolución del
parámetro D, particularmente para cuantías bajas, debido a la plastificación, según la
TUCC, de la armadura longitudinal a tracción, la cual recupera el régimen elástico para
cuantías longitudinales superiores, con la consiguiente aproximación de las respectivas
curvas. Como se puede observar en las figuras 4.3c y 4.3 d, a medida que aumentan los
valores deformacionales de la hipótesis considerada, se acrecienta la diferencia entre las
curvas de evolución de la distancia D para cuantía mínima. Esto es debido a la
plastificación, conforme aumenta la deformación aplicada, de las armaduras
longitudinales correspondientes a dicha cuantía.
El máximo valor del parámetro D, para ambas teorías, se alcanza en la hipótesis 4
(Fig. 4.3d). Así mismo, y conforme aumenta la deformación aplicada, puede observarse
una variación en el comportamiento de las curvas representadas en la figura 4.3, que
inicialmente son monótonas crecientes, para posteriormente dar lugar a la aparición de
un máximo local (Fig. 4.3d). Dicho máximo se traduce en un previsible alejamiento de
la deformación del sistema respecto la deformación real para incrementos relativamente
bajos de la cuantía de armadura longitudinal, compensándose posteriormente para
incrementos de cuantía superiores. Finalmente las curvas de evolución del parámetro D
recuperan su perfil inicial, aunque con valores de dicho parámetro algo mayores (Fig.
4.3e).
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
101
Fig. 4.3: Evolución de la distancia singular D en función de la cuantía de armado longitudinal ρx.
En la figura 4.4 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado
a la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
102
cortante. En la tabla 4.1 se indica el coeficiente de correlación del ajuste
correspondiente a cada teoría de cortante. La bondad de dicho ajuste, correspondiente a
la última hipótesis de deformación, es sensiblemente mejor en el caso de la TUCC que
en la RA-STM.
Así pues, y según la TUCC, una reducción a la mitad de la cuantía de
armado longitudinal produce reducciones de la distancia singular de
aproximadamente un 25 %, lo que no tiene por qué traducirse necesariamente en una
mayor proximidad entre la deformación real y la de cálculo. En el presente trabajo, sólo
a partir de reducciones de la distancia singular superiores al 50 %, y a efectos de lo
establecido en el capítulo 3, se prevé un acercamiento incipiente de la deformación real
a la deformación del sistema (εs).
Fig. 4.4: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la cuantía de armado longitudinal ρx, según la TUCC y la RA-STM.
Cuantía de armadura longitudinal (Hipótesis 5: εt= 0.005; ε1= 0.006)
AJUSTE DEL PARÁMETRO D COEFICIENTE DE CORRELACIÓN TUCC 0.999351
RASTM 0.995842 Tabla 4.1
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
103
4.2 INFLUENCIA DE LA CUANTÍA DE ARMADURA TRANSVERSAL
4.2.1 Función de disparidad ζ para diferentes cuantías de armadura transversal
y diferentes hipótesis de deformación
La cuantía de armadura transversal se ha variado adoptando los valores
indicados en las tablas 3.1a y 3.2. Las hipótesis de deformación consideradas se
resumieron en la Tabla 3.1.b.
En la figura 4.5 se ha representado la función de disparidad, ζ, definida en la
ecuación 3.4 y que corresponde a la diferencia entre los ángulos que definen las
direcciones principales de tensión y de deformación. Como se puede observar en la
figura 4.5, conforme aumenta el valor de la cuantía de acero la pendiente asociada al
punto de inflexión de la función ζ es cada vez mayor, con la consiguiente disminución
del dominio de la misma.
Por otra parte, y a medida que aumentan los valores deformacionales de la
hipótesis considerada (Fig. 4.5), la distribución de las deformaciones del sistema (εs),
que representan los puntos en los que la función ζ se anula, es cada vez menos
uniforme; así pues, en la figura 4.5c se observa un mayor distanciamiento de la
deformaciones del sistema asociadas a las cuantías longitudinales 1 y 2 respecto de las
deformaciones asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de las
figuras 4.5d y 4.5e ocurre algo similar, si bien en la figura 4.5e la diferencia de dominio
entre la función de disparidad correspondiente a la cuantía mínima y la correspondiente
a la cuantía máxima es menos acusada.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
104
Fig. 4.5: Valores de ζ en función de εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
105
4.2.2 Tasa de disparidad x
ζε
∂∂
para diferentes cuantías de armadura transversal
y diferentes hipótesis de deformación
En la figura 4.6 se ha representado la derivada respecto εx de la función de
disparidad, ∂ζ/∂εx, que corresponde a la tasa de variación de la disparidad entre ángulos
de tensión y deformación principales en función de la deformación longitudinal
considerada. Como se puede observar, y al igual que se ha indicado en el apartado 4.2.1,
conforme aumenta la cuantía de acero las ramas de las parábolas representadas son más
cerradas y su dominio es cada vez menor.
Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.1.1, conforme
aumentan los valores deformacionales de la hipótesis considerada la distribución de
mínimos de las parábolas representadas, que indican las deformaciones singulares del
sistema (ε0) y corresponden a los puntos de inflexión de la función ζ, es cada vez
menos uniforme; así pues, en la figura 4.6c se observa un mayor distanciamiento de la
deformaciones singulares asociadas a las cuantías longitudinales 1 y 2 respecto de las
deformaciones asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de las
figuras 4.6d y 4.6e ocurre algo similar.
Así mismo se observa una variación en el recorrido de las funciones parabólicas
representadas en la figura 4.6 en función de la cuantía y la hipótesis de deformación
considerada; este hecho se manifiesta de forma especialmente acusada en el caso de las
figuras 4.6d y 4.6e, correspondientes a las dos hipótesis de deformación más
desfavorables, donde la diferencia de recorrido entre las funciones parabólicas
correspondientes a las cuantías mínima y máxima resulta notable. Al contrario de lo que
ocurría con la cuantía longitudinal, a medida que aumenta la cuantía de armadura
transversal, pequeñas variaciones en la deformación real del elemento se traducen en
grandes variaciones de la deformación entre ángulos.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
106
Fig. 4.6: Valores de la tasa de disparidad x
ζε
∂∂
asociada a la deformación longitudinal εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
107
4.2.3 Evolución de la influencia de la cuantía de armadura transversal sobre la
distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación
Al contrario de lo que ocurría en la cuantía de armadura longitudinal, en este caso,
y con carácter general, resulta preciso un incremento importante de la cuantía de armado
transversal para lograr valores de la distancia singular suficientemente bajos, lo que se
traduce en valores prácticamente coincidentes de la deformación del sistema y la
deformación real del elemento de hormigón.
En el caso de las figuras 4.7a y 4.7b, se observa un cambio notable en la curva de
evolución del parámetro D correspondiente a la TUCC conforme aumenta la cuantía de
armado, el cual viene motivado por la plastificación incipiente de la armadura
longitudinal de tracción a medida que aumenta la cuantía de armadura transversal.
A partir de la hipótesis 3 (Fig. 4.7c), la plastificación de la armadura longitudinal,
debida al incremento de cuantía de armadura transversal, se produce según ambas
teorías, razón por la cual a partir de dicha hipótesis el comportamiento de las curvas de
evolución del parámetro D es bastante similar.
En el caso de la hipótesis de deformación más desfavorable (Fig. 4.7e), y al
contrario de lo que ocurría en la cuantía de armado longitudinal, se produce una
disminución general de los valores de la curva de evolución respecto a las hipótesis
inmediatamente anterior (Fig. 4.7 d); no obstante el comportamiento de la función
permanece monótono decreciente para ambas teorías.
En la figura 4.8 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado a
la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de
cortante. En la tabla 4.2 se indica el coeficiente de correlación del ajuste
correspondiente a cada teoría de cortante. La bondad de dicho ajuste, correspondiente a
la última hipótesis de deformación, resulta prácticamente igual para ambas teorías.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
108
Fig. 4.7: Evolución de la distancia singular D en función de la cuantía de armado transversal ρv.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
109
Al contrario de lo que ocurría con la armadura longitudinal, una duplicación de
la cuantía de armado transversal implica reducciones de la distancia singular de
hasta un 45 %, lo que se traduce en dominios de la función de disparidad aún menores
que los obtenidos mediante la reducción de la cuantía longitudinal; no obstante, la
efectividad alcanzada sigue resultando insuficiente a efectos de proximidad entre la
deformación real y la deformación de cálculo del elemento estudiado.
Fig. 4.8: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la cuantía de armado transversal ρv, según la TUCC y la RA-STM.
Cuantía de armadura transversal (Hipótesis 5: εt= 0.005; ε1= 0.006)
AJUSTE DEL PARÁMETRO D COEFICIENTE DE CORRELACIÓN TUCC 0.999317
RASTM 0.999833 Tabla 4.2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
110
4.3 INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA CARACTERÍSTICA DEL
HORMIGÓN
4.3.1 Función de disparidad ζ para diferentes resistencias medias a tracción del
hormigón y diferentes hipótesis de deformación
La resistencia característica del hormigón se ha variado adoptando los valores
indicados en las tablas 3.1a y 3.2. Las hipótesis de deformación consideradas se
resumieron en la Tabla 3.1.b.
En la figura 4.9 se ha representado la función de disparidad, ζ, definida en la
ecuación 3.4 y que corresponde a la diferencia entre los ángulos que definen las
direcciones principales de tensión y de deformación. Como se puede observar en la
figura 4.9, y al igual que ocurría con la cuantía de armadura longitudinal, conforme
aumenta el valor de la resistencia media a tracción del hormigón la pendiente asociada
al punto de inflexión de la función ζ es cada vez menor, con el consiguiente aumento
del dominio de la misma.
En esta ocasión la desigual distribución de las deformaciones del sistema (εs), que
representan los puntos en los que la función ζ se anula, resulta extensible a todas las
hipótesis de deformación analizadas (Fig. 4.9), observándose, con carácter general, un
distanciamiento acusado en el paso de la cuantía 1 a la cuantía 2. Así mismo, en las
figuras 4.9c y 4.9d, los dominios de las funciones de disparidad correspondiente a las
cuantías mínima y máxima presentan valores similares.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
111
Fig. 4.9: Valores de ζ en función de εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
112
4.3.2 Tasa de disparidad x
ζε
∂∂
para diferentes resistencias medias a tracción del
hormigón y diferentes hipótesis de deformación
En la figura 4.2 se ha representado la derivada respecto εx de la función de
disparidad, ∂ζ/∂εx, que corresponde a la tasa de variación de la disparidad entre ángulos
de tensión y deformación principales en función de la deformación longitudinal
considerada. Como se puede observar, y al igual que ocurría con la cuantía de armadura
longitudinal, a medida que aumenta la resistencia a tracción del hormigón las ramas de
las parábolas representadas son más abiertas y su dominio es cada vez mayor. Esto
último equivale a decir que, a medida que disminuye la resistencia característica del
hormigón, pequeñas variaciones en la deformación real del elemento se traducen en
variaciones cada vez mayores de la disparidad entre ángulos.
Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.3.1, la desigual
distribución de las deformaciones singulares (ε0), que representan los puntos en los que
la función ζ se anula, resulta extensible a todas las hipótesis de deformación analizadas
(Fig. 4.10), observándose, con carácter general, un distanciamiento acusado en el paso
de la cuantía 1 a la cuantía 2.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
113
Fig. 4.10: Valores de la tasa de disparidad x
ζε
∂∂
asociada a la deformación longitudinal εx
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
114
4.3.3 Evolución de la influencia de la resistencia media a tracción del hormigón
sobre la distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación
En la figura 4.11c observamos, para valores bajos de la resistencia media a
tracción (fctm), una diferencia notable de las curvas de evolución del parámetro D
correspondientes a las dos teorías analizadas; esto es debido al retorno al campo
elástico, a partir de la resistencia a tracción 2, de la armadura longitudinal a compresión.
Así mismo, y de forma muy similar a como sucedía con la cuantía de armadura
longitudinal, en la hipótesis de deformación 4 (Fig. 4.11d) aparece otro máximo local,
cuya consecuencia es idéntica a la ya descrita anteriormente. En la hipótesis 5 (Fig.
4.11e) observamos un quiebro en torno a la resistencia 2 de la curva de evolución
correspondiente a la RA-STM, el cual es debido a la plastificación conjunta de las
armaduras longitudinal y transversal, las cuales retornarán posteriormente al campo
elástico para resistencias de hormigón superiores. Finalmente, para la hipótesis de
deformación más desfavorable, la curva de evolución recupera su perfil inicial
monótono creciente (Fig. 4.11e), y al igual que ocurría en el caso de la cuantía de
armadura longitudinal, con valores del parámetro D algo mayores respecto a la hipótesis
inmediatamente anterior (Fig. 4.11d).
En la figura 4.12 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado
a la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de
cortante. En la tabla 4.3 se indica el coeficiente de correlación del ajuste
correspondiente a cada teoría de cortante. La bondad de dicho ajuste, correspondiente a
la última hipótesis de deformación, resulta sensiblemente mejor en los valores
arrojados por la TUCC que en los correspondientes a la RA-STM.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
115
Fig. 4.11: Evolución de la distancia singular D en función de la resistencia a tracción del hormigón, fctm.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
116
Así pues, y según la TUCC, una reducción del valor de la resistencia
característica a la mitad de su valor implica una disminución de la distancia
singular de aproximadamente el 30 %, por lo que queda a medio camino entre las
efectividades de reducción sobre la distancia singular correspondientes a la cuantía de
armado transversal y la cuantía de armado longitudinal.
Fig. 4.12: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la resistencia a tracción del hormigón, fctm, según la TUCC y la RA-STM.
Resistencia media a tracción del hormigón (Hipótesis 5: εv= 0.005; ε1= 0.006)
AJUSTE DEL PARÁMETRO D COEFICIENTE DE CORRELACIÓN TUCC 0.998444
RASTM 0.983763 Tabla 4.3
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
117
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
118
Sobre la base de la metodología analítica expuesta en el capítulo 3, y a la vista
de los resultados presentados en el capítulo 4, se emiten las siguientes conclusiones al
respecto del presente estudio:
I. El análisis y evaluación de la hipótesis de H.A Wagner en el diseño a cortante
de elementos de hormigón estructural, y el consiguiente estudio de la
problemática de disparidad entre la dirección del campo de deformaciones
principales y el campo de tensiones principales en hormigón, requiere del
planteamiento de un método de análisis en el que, al contrario de lo que se aplica
en las teorías de campos de compresiones, se independicen los modelos de
compatibilidad y equilibrio, a fin de poder determinar los factores que
condicionan la disparidad entre campos.
II. Debido a la necesidad de independizar los modelos de equilibrio y
compatibilidad antes indicada, el método de análisis aquí planteado no permite
obtener la función de respuesta Carga vs. Deformación de un elemento
estructural, y por consiguiente, tampoco su nivel de agotamiento. Así mismo, la
desagregación de tales modelos debe ir acompañada de una transformación de
las ecuaciones de los mismos, dotándolas de una estructura formal idéntica y
ajustada a las variables de análisis establecidas a priori, a fin de que sendos
modelos puedan ser sometidos a un análisis comparativo. De esta forma surgen
las ecuaciones simplificadas de equilibrio y compatibilidad a cortante en
hormigón estructural.
III. La aplicación de la hipótesis de Wagner en hormigón estructural implica el
establecimiento de un sistema con un grado de libertad deformacional, el cual, y
sobre la base de los datos experimentales existentes, disminuye normalmente
respecto del valor real de la deformación del elemento estructural.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
119
IV. Un parámetro que se relaciona con la disparidad entre la dirección del campo de
deformaciones principales y el campo de tensiones principales en hormigón es la
distancia singular (D). Dado que hasta el momento no se ha podido desarrollar
experimentación real en laboratorio al respecto de la cuestión aquí planteada,
dicho parámetro no ha podido relacionarse de forma específica y a nivel físico
con el comportamiento resistente de un elemento de hormigón estructural.
V. La distancia singular se encuentra relacionada, sobre la base de las
investigaciones desarrolladas por el profesor F.J Vecchio en la Universidad de
Toronto, con un segundo parámetro denominado ámbito de pertenencia (δ), de
tal manera que en los casos analizados una disminución de la primera implica
igualmente una disminución proporcional del segundo, lo que mejora
considerablemente el nivel de certeza sobre las deformaciones reales de un
elemento estructural.
VI. El parámetro D depende tanto del diseño del elemento de hormigón armado
como de las deformaciones del mismo, y por consiguiente y en último término,
de la degradación experimentada por el hormigón como consecuencia de su
deformación a cortante.
VII. Se confirma que la distancia singular, y por consiguiente la problemática de
disparidad antes mencionada, es susceptible de ser corregida mediante la
modificación de las cuantías de armado longitudinal y transversal, así como
mediante la elección de la resistencia característica del hormigón.
VIII. Cada uno de los parámetros de control evaluados presenta una influencia distinta
sobre la distancia singular del sistema, según el valor de diseño de los primeros
y la hipótesis de deformación asumida. Los resultados aquí obtenidos arrojan
resultados interesantes desde el punto de vista del conocimiento del estado real
de deformaciones y resultan de interés en relación al diseño a cortante de
elementos de hormigón armado.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
120
IX. En el caso de la cuantía de armadura longitudinal, parámetro de diseño altamente
dependiente de la deformación del sistema, se ha comprobado que se alcanzan
valores bajos de la distancia singular para cuantías mínimas de armado. Presenta
una efectividad aproximada del 25 % sobre la reducción de la distancia singular,
si bien requiere a cambio una reducción de la cuantía longitudinal a la mitad de
su valor. Dicha reducción podría comprometer, en modo alguno, el diseño
resistente del elemento de hormigón con el único fin de conseguir un valor de la
reducción sobre la distancia singular que, por otra parte, tampoco garantiza una
similitud suficiente entre la deformación del sistema (εs) y la deformación real
del elemento.
X. En relación a la resistencia del hormigón, presenta un comportamiento similar al
de la cuantía de armado longitudinal, mostrando igualmente una dependencia
notable del nivel de deformación por cortante del elemento; no obstante, y como
se puede observar en el anexo 1 del presente trabajo, constituye el factor de
diseño menos independiente de los tres evaluados en este trabajo, por estar
profundamente “conectado” a nivel de normativa con las cuantías de armadura
longitudinal y transversal.
XI. Con carácter general, el parámetro de diseño bajo el cual la disminución de la
distancia singular resulta más efectiva y uniforme, para el caso de la hipótesis de
deformación más desfavorable, es la cuantía de armadura transversal. Presenta
una efectividad aproximada del 45 % sobre la reducción de la distancia singular,
si bien requiere a cambio un incremento de la cuantía transversal al doble de su
valor. Dicha efectividad tampoco garantiza una notable similitud entre la
deformación del sistema (εs) y la deformación real del elemento, y sin embargo
el incremento de este parámetro de diseño implica un sobrecoste económico
importante. Supongamos una viga de hormigón armado, con sección cuadrada
de 30 cm de lado, armada transversalmente con cercos Ø8 a 75 mm, lo que
equivale a un área de acero por unidad de longitud de 1.34·10-3 mm2/m ; el doble
de dicha cuantía equivaldría a una armadura transversal compuesta por cercos
Ø12 a 75 mm. En el primer caso tenemos 13 cercos de ocho mm de diámetro por
metro de longitud de viga, con una longitud cada cerco de 1200 mm (perímetro
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
121
de la sección transversal), lo que equivale a una cantidad de acero de 6.15 Kg/m
de longitud de viga, esto es, aproximadamente unos 6 Euros/m de longitud de
viga. En el segundo caso tenemos 13 cercos de doce mm de diámetro por metro
de longitud de viga, con una longitud cada cerco de 1200 mm, lo que equivale a
una cantidad de acero de 13.85 Kg/m, es decir, aproximadamente unos 8
Euros/m más que en el primer caso. Como se puede observar, bajo según qué
condiciones, una duplicación de la cuantía de armadura transversal puede
implicar un incremento superior al doble del costo unitario de diseño del
elemento. Por otra parte, una disparidad entre los ángulos de los campos
principales de tensión y deformación con un valor promedio inferior a 10º, y una
efectividad de la reducción sobre la distancia singular del 45 %, no justifican un
sobrecoste de tal magnitud en el diseño de un elemento de hormigón armado.
Así pues, se puede decir que la disparidad de direcciones entre los campos de
deformaciones principales y los campos de tensiones principales en hormigón
constituye un problema de diseño en gran medida paliable mediante la adopción de
bajas cuantías de armado longitudinal, bajas resistencias características de hormigón, y
un valor de la cuantía de armadura transversal suficientemente alto que garantice los
requisitos de resistencia y economía. En particular, y muy significativamente, la cuantía
de armado transversal constituye el parámetro de diseño más determinante de entre los
analizados; sin embargo, y a la vista del sobrecoste que implicaría la actuación sobre la
cuantía de armado transversal, se concluye que la hipótesis de Wagner en las teorías de
campos de compresiones pueda ser considerada, bajo los puntos de vista técnico y
económico, una simplificación razonable.
Líneas futuras de investigación
El presente estudio ha basado su procedimiento analítico en la utilización
exclusiva de ecuaciones de comportamiento del acero basadas en la tensorrigidez del
hormigón, debido a razones ya expuestas en el capítulo 3. Sin embargo, y pese a la
utilización de tales ecuaciones, el parámetro de adherencia hormigón – acero propuesto
por el profesor Evan C. Bentz de la Universidad de Toronto así como la relación entre el
área eficaz de tracción del hormigón y el área de armado (ésta última presente en el
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
122
modelo de comportamiento del acero propuesto por la Teoría Unificada del Campo de
Compresiones) no se han incluido como factores de diseño a analizar en este trabajo.
Como ya se apuntó en el capítulo 3, la razón de prescindir de tales factores era debida a
la dependencia de los mismos del diámetro de barra, y por consiguiente, de la cuantía de
armado, convirtiéndolos en parámetros de control redundantes. Además, la existencia de
series de diámetros de barra comerciales establecidos hacía que la utilización de estos
dos últimos parámetros resultara poco flexible desde el punto de vista práctico.
No obstante, si alguno de los factores de diseño citados, y en particular el área
eficaz de hormigón a tracción -por estar presente en la formulación de ambos- pudiera
expresarse en función de otra magnitud/es distintas del diámetro de barra, sería posible
llevar a cabo un estudio más en profundidad, incluyendo estos parámetros en el
procedimiento de análisis.
Las normativas actuales plantean la resistencia a cortante de un elemento de
hormigón armado como la suma de la contribución del hormigón más la contribución
del acero, de tal forma que ambas componentes son invariantes frente a la solicitación a
cortante. Puesto que se produce una degradación del hormigón cuando aumenta a
deformación por cortante de la pieza, es importante que las teorías de cortante expliquen
la variación de la resistencia a cortante en función de la deformación en piezas de
hormigón armado o pretensado.
En la actualidad, los profesores Gil Martín y Hernández Montes, pertenecientes
al Grupo de Ingeniería e Infraestructuras de la Universidad de Granada, investigan sobre
la formulación de un parámetro que determine el área eficaz a tracción de hormigón, la
cual hasta el momento se ha considerado constante y dependiente del diámetro de barra
empleado en el armado. Dicho parámetro se intenta plantear como dependiente, entre
otros factores, de la deformación principal a tracción del hormigón y de su nivel de
agrietamiento, transformando así el área eficaz de hormigón a tracción en un factor de
diseño variable y dependiente del nivel de degradación del hormigón por efecto del
cortante.
Así pues, la reformulación del área eficaz de hormigón a tracción junto con un
análisis de sensibilidad similar al llevado a cabo en este trabajo posibilitaría un
exhaustivo análisis de la validez de la hipótesis de Wagner y del conocimiento real de
las deformaciones en elementos de hormigón armado sometido a cortante.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
123
ANEXO 1
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
124
CARACTERÍSTICAS DE DISEÑO DEL ELEMENTO DE HORMIGÓN ARMADO ESTUDIADO
CUANTÍA LONGITUDINAL
(Obtenida para una resistencia característica del hormigón de 25 MPa y cuantía mínima permitida de armadura transversal)
Valor 1: ρx = 2·ρx,min
A partir de la cuantía mínima de armadura longitudinal, se obtiene lo siguiente:
', ,min . . . mm · . . mm
. mm
s min s
s
A A
Aφ
+ = + = → = →
→ → =
2 2
2
307 88 100 53 408 41 2 408 41 816 82
4 16 804 25
NOTA: en el cálculo anterior, hemos finalmente adoptado un valor del área longitudinal de acero inferior al correspondiente al doble del valor mínimo, por encontrarse en un entorno muy próximo al valor de referencia planteado en el plan de ensayo. La otra opción hubiera sido colocar 3Ø16 en la cara traccionada y 2 Ø16 en la cara comprimida, y en ese caso As=1005.31, cuyo valor se aleja bastante del doble del valor mínimo.
El recubrimiento nominal superior e inferior vendrá dado por:
( ) min mmnom longr r r= + ∆ = + =20 10 30
El canto útil d será igual a d=300-30-16/2=262 mm
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 16 240
44
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 262 78 6
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
125
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 78 mm.
Teniendo en cuenta que sv,max = 5.34Ø2redondo, la separación entre cercos
correspondiente a un diámetro mínimo comercial de 6 mm es de 192.24 mm. Luego la armadura transversal mínima corresponde a cercos Ø6, con un recubrimiento nominal de 30 mm y un área eficaz de hormigón a tracción igual a 6084 mm2.
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad igual al diámetro de cerco. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-16/2=256 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·256=76.8 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 76 mm.
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef long real traclong
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22167 5 36 7 5 16 26896
2 2
Valor 2: ρx = 4·ρx,min
A partir de la cuantía mínima de armadura longitudinal, se obtiene lo siguiente:
', ,min . . . mm · . . mm
. mm
s min s
s
A A
Aφ
+ = + = → = →
→ → =
2 2
2
307 88 100 53 408 41 4 408 41 1633 64
8 16 1608 5
El recubrimiento nominal superior e inferior vendrá dado por:
( ) min mmnom longr r r= + ∆ = + =20 10 30
El canto útil d será igual a d=300-30-16/2=262 mm.
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 16 240
44
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 262 78 6
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
126
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 78 mm.
Teniendo en cuenta que sv,max =5.34Ø2redondo, la separación entre cercos
correspondiente a un diámetro mínimo comercial de 6 mm es de 192.24 mm. Luego la armadura transversal mínima corresponde a cercos Ø6, con un recubrimiento nominal de 30 mm y un área eficaz de hormigón a tracción igual a 6084 mm2.
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad igual al diámetro de cerco. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-16/2=256 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·256=76.8 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 76 mm.
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef long real traclong
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22167 5 36 7 5 16 26896
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef longlong
trac
AM
πφ= = 267 54
2
Valor 3: ρx = 6·ρx,min
A partir de la cuantía mínima de armadura longitudinal, se obtiene lo siguiente:
', ,min . . . mm · . . mm
. mm
s min s
s
A A
Aφ
+ = + = → = →
→ → =
2 2
2
307 88 100 53 408 41 6 408 41 2450 46
8 20 2513 27
El recubrimiento nominal superior e inferior vendrá dado por:
( ) min mmnom longr r r= + ∆ = + =20 10 30
El canto útil d será igual a d=300-30-20/2=260 mm
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 20 300
54
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
127
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 260 78
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 78 mm.
Teniendo en cuenta que sv,max =5.34Ø2redondo, la separación entre cercos
correspondiente a un diámetro mínimo comercial de 6 mm es de 192.24 mm. Luego la armadura transversal mínima corresponde a cercos Ø6, con un recubrimiento nominal de 30 mm y un área eficaz de hormigón a tracción igual a 6084 mm2.
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad igual al diámetro de cerco. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-20/2=254 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·254=76.2 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 76 mm.
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef long real traclong
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22207 5 36 7 5 20 38416
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef longlong
trac
AM
πφ= = 203 80
3
Valor máximo: ρx = ρx,max
El EC-2 recomienda en su apartado 5.4.2.1.1 que la cuantía máxima de armadura longitudinal total (traccionada y comprimida) no sobrepase el 4% del área bruta de hormigón. Teniendo en cuenta que la separación mínima entre barras debe ser igual o superior a 1.25 el tamaño máximo de árido (art. 69.4.1.1), se obtiene lo siguiente:
,max . . mm ( ) ( )s cA A T Cφ φ= = ⋅ = → +2 20 04 0 04 300 3600 4 25 5 20
El recubrimiento nominal de la armadura traccionada vendrá dado por:
( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =25 10 35
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
128
El canto útil d será igual a d=300-35-25/2=252.5 mm
El recubrimiento nominal de la armadura comprimida vendrá dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =20 10 30
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 20 300
54
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 75 mm.
Teniendo en cuenta que sv,max =5.34Ø2redondo, la separación entre cercos
correspondiente a un diámetro mínimo comercial de 6 mm es de 192.24 mm. Luego la armadura transversal mínima corresponde a cercos Ø6, con un recubrimiento nominal de 30 mm y un área eficaz de hormigón a tracción igual a 6084 mm2.
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 36 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-25/2=251.5 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·251.5=75.45 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 75 mm.
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura traccionada vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22257 5 36 7 5 25 55696
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef tt
trac
AM
πφ= = 236 38
3
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
129
( ), , . . mmcompc ef c real compc
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 22207 5 36 7 5 20 38416
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef cc
comp
AM
πφ= = 203 80
3
CUANTÍA TRANSVERSAL
(Obtenida para una resistencia característica del hormigón de 25 MPa y cuantía mínima permitida de armadura longitudinal)
Valor 1: ρv = 2·ρv,min
A partir de la cuantía mínima de armadura transversal, se obtiene lo siguiente:
,mm mm. . . minA mm mmα = → ⋅ =
2 20 734 2 0 734 1 468
Luego, la separación máxima entre cercos vendrá determinada por:
, , .
. a 77 mm.
redondov máx ramas v máx redondos A n s
c
α
φπ φ
φ φ
⋅ = → = →
→ = = →
221 070
477
8 48 81 070
El recubrimiento nominal lateral vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 2287 5 30 7 5 8 8836
2 2
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal a tracción vendrá dado por:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
130
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 38 7 5 14 22500
2 2
Igualmente, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura comprimida una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compcA r
φφ
= + + = + + ⋅ =
2 228
7 5 38 7 5 8 104042 2
Valor 2: ρv = 4·ρv,min
A partir de la cuantía mínima de armadura transversal, se obtiene lo siguiente:
,mm mm. . . minA mm mmα = → ⋅ =
2 20 734 4 0 734 2 936
Luego, la separación máxima entre cercos vendrá determinada por:
, , .
a 77 mm.
redondov máx ramas v máx redondos A n s
c
α
φπ φ
φ φ
⋅ = → = →
→ = = →
220 535
477
12 120 535
El recubrimiento nominal lateral vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22127 5 30 7 5 12 15876
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef vv
trans
AM
πφ= = 210 56
2
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
131
cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal traccionada vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 42 7 5 14 23716
2 2
Igualmente, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura comprimida una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compcA r
φφ
= + + = + + ⋅ =
2 228
7 5 42 7 5 8 112362 2
Valor 3: ρv = 6·ρv,min
A partir de la cuantía mínima de armadura transversal, se obtiene lo siguiente:
,mm mm. . . minA mm mmα = → ⋅ =
2 20 734 6 0 734 4 404
Luego, la separación máxima entre cercos vendrá determinada por:
, , .
. a 77 mm.
redondov máx ramas v máx redondos A n s
c
α
φπ φ
φ φ
⋅ = → = →
→ = = →
220 357
477
14 7 140 357
El recubrimiento nominal lateral vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 30 7 5 14 20164
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef vv
trans
AM
πφ= = 229 23
2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
132
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal a tracción vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 44 7 5 14 24336
2 2
Igualmente, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura comprimida una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compcA r
φφ
= + + = + + ⋅ =
2 228
7 5 44 7 5 8 116642 2
Valor máximo: ρv = ρv,max
A partir de la cuantía mínima de armadura transversal, se obtiene lo siguiente:
,mm mm. . . minA mm mmα = → ⋅ =
2 20 734 8 0 734 5 872
Luego, la separación máxima entre cercos vendrá determinada por:
, , .
. a 77 mm.
redondov máx ramas v máx redondos A n s
c
α
φπ φ
φ φ
⋅ = → = →
→ = = →
220 267
477
16 98 160 267
El recubrimiento nominal lateral vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22167 5 30 7 5 16 24964
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef vv
trans
AM
πφ= = 248 32
2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
133
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal a tracción vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 46 7 5 14 24964
2 2
Igualmente, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura comprimida una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compcA r
φφ
= + + = + + ⋅ =
2 228
7 5 46 7 5 8 121002 2
RESISTENCIA MEDIA A TRACCIÓN
(Cuantía mínima permitida de armadura longitudinal y transversal)
Valor 1: fctm=3.51 MPa
Cuantía mínima de armadura longitudinal
NOTA: en este primer caso, la cuantía mínima mecánica exigida por la EHE-08 no supera a la cuantía mínima geométrica correspondiente. Por tanto, la armadura longitudinal permanece igual a la considerada como valor mínimo. Sin embargo, el recubrimiento de hormigón sí cambia, y con él, el canto útil d. Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=14 mm y fck = 40 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:
( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =16 10 26
Por lo que el canto útil d será igual a d=300-26-14/2=267 mm
Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=8 mm y fck = 40 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
134
Cuantía mínima de armadura transversal
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 8 120
24
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 267 80 1
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 80 mm.
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente relación:
. . . . .
.
y d ctm ctm
y d
A f f f b mmb A mmsen fα α
ααα
⋅≥ → ≥ = =
⋅
200
3 51 3000 404
4007 5 7 5 7 51 15
Teniendo en cuenta que:
, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα
φπ φ⋅ = → =
223 89
4
Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=140.04 mm.
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura transversal vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección vertical es:
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 2267 5 25 7 5 6 5329
2 2
Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 31 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-31-14/2=262 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·262=78.6 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 78 mm.
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
135
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura traccionada vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 31 7 5 14 20449
2 2
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compc
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 2287 5 31 7 5 8 9025
2 2
Valor 2: fctm=4.35 MPa
Cuantía mínima de armadura longitudinal
Art. 42.3.2 (EHE-08): Cuantía mínima mecánica a tracción
s yd cdWA f fh
≥ 1
Donde W1 es el módulo resistente de la sección buta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,
.. . mm . mm
.
cds s
yd
fWA Ah f
φ≥ = ⋅ = → → =
3
2 21
300 60 0 856 1 5 1466 25 5 20 1570 8
4003001 15
Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la cara a tracción:
' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 1570 8 471 24 4 14
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura traccionada vendrá dado por:
( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =20 10 30
El canto útil d será igual a d=300-30-20/2=260 mm
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura comprimida vendrá dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
136
Cuantía mínima de armadura transversal
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
. mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 14 210
3 54
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 260 78
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 78 mm.
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente relación:
. . . . .
.
y d ctm ctm
y d
A f f f b mmb A mmsen fα α
ααα
⋅≥ → ≥ = =
⋅
200
4 35 3000 500
4007 5 7 5 7 51 15
Teniendo en cuenta que:
, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα
φπ φ⋅ = → =
223 14
4
Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=113.04 mm.
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura transversal vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección vertical es:
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 2267 5 25 7 5 6 5329
2 2
Puesto que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 31 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-31-20/2=259 mm, y la distancia máxima entre cercos
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
137
será de 0.3·259=77.7 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 77 mm.
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura traccionada vendrá dado por:
( ), , . . mmtracc ef t real tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22207 5 31 7 5 20 36481
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef tt
trac
AM
πφ= = 193 54
3
El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compc
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 31 7 5 14 22500
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef cc
comp
AM
πφ= = 255 78
2
Valor 3: fctm=4.83 MPa
Cuantía mínima de armadura longitudinal
Art. 42.3.2 (EHE-08): Cuantía mínima mecánica a tracción
s yd cdWA f fh
≥ 1
Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,
.. mm . mm
.
cds s
yd
fWA Ah f
φ≥ = ⋅ = → → =
3
2 21
300 80 0 856 1 5 1955 4 25 1963 5
4003001 15
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
138
Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la cara a tracción:
' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 1963 5 589 05 4 14
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura traccionada vendrá dado por:
( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =25 10 35
El canto útil d será igual a d=300-35-25/2=252.5 mm
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura comprimida vendrá dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26
Cuantía mínima de armadura transversal
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
. mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 14 210
3 54
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 75 mm.
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente relación:
. . . . .
.
y d ctm ctm
y d
A f f f b mmb A mmsen fα α
ααα
⋅≥ → ≥ = =
⋅
200
4 83 3000 555
4007 5 7 5 7 51 15
Teniendo en cuenta que:
, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα
φπ φ⋅ = → =
222 83
4
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
139
Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=101.9 mm. Así pues, se adopta una armadura mínima transversal compuesta por cercos Ø6 a 75 mm.
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura transversal vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección vertical es:
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 2267 5 25 7 5 6 5329
2 2
En este caso no es necesario ajustar el recubrimiento de la armadura traccionada debido a su posición relativa a la armadura transversal. El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal es:
( ), , . . mmtracc ef t nom tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22257 5 35 7 5 25 55225
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef tt
trac
AM
πφ= = 234 38
3
Por su parte, y dado que la armadura transversal abraza a la armadura comprimida, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura comprimida igual a 31 mm. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:
( ), , . . mmcompc ef c real compc
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 31 7 5 14 22500
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef cc
comp
AM
πφ= = 255 78
2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
140
Valor máximo: fctm=5.23 MPa
Cuantía mínima de armadura longitudinal
Art. 42.3.2 (EHE-08): Cuantía mínima mecánica a tracción
s yd cdWA f fh
≥ 1
Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,
.. . mm . mm
.
cds s
yd
fWA Ah f
φ≥ = ⋅ = → → =
3
2 21
300 100 0 856 1 5 2443 75 5 25 2454 37
4003001 15
Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la cara a tracción:
' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 2454 37 736 31 5 14
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura longitudinal vendrá dado por:
( ) min mmnom xr r r= + ∆ = + =25 10 35
El canto útil d será igual a d=300-35-25/2=252.5 mm
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura comprimida vendrá dado por:
( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26
Cuantía mínima de armadura transversal
Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:
mm
. mm
v com
comv
s φ
φφ
≤ = ⋅ =
≥ =
15 15 14 210
3 54
El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
141
. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75
Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 75 mm.
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente relación:
. . . . .
.
y d ctm ctm
y d
A f f f b mmb A mmsen fα α
ααα
⋅≥ → ≥ = =
⋅
200
5 23 3000 601
4007 5 7 5 7 51 15
Teniendo en cuenta que:
, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα
φπ φ⋅ = → =
222 61
4
Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=94.09 mm. Así pues, se adopta una armadura mínima transversal compuesta por cercos Ø6 a 75 mm.
El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura transversal vendrá dado por:
( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25
El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección vertical es:
( ), , . . mmtransc ef v nom transv
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 2267 5 25 7 5 6 5329
2 2
En este caso no es necesario ajustar el recubrimiento de la armadura longitudinal debido a su posición relativa a la armadura transversal. El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal es:
( ), , . . mmtracc ef t nom tract
A r φφ = + + = + + ⋅ =
2 22257 5 35 7 5 25 55225
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef tt
trac
AM
πφ= = 175 79
4
Por su parte, y dado que la armadura transversal abraza a la armadura comprimida, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura comprimida igual a 31 mm. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
142
( ), , . . mmcompc ef c real compc
A rφ
φ = + + = + + ⋅ =
2 22147 5 31 7 5 14 22500
2 2
La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:
, , . mmc ef cc
comp
AM
πφ= = 255 78
2
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
143
BIBLIOGRAFÍA
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
144
• ASCE-ACI Committe 445 on Shear and Torsion (1998) Recent Approaches to
Shear Design of Structural Concrete, Journal of Structural Engineering,
pp.1375- 1417.
• Belardi, A., y Hsu, T.T.C. (1994) Constitutive laws of concrete in tension and
reinforcing bars stiffened by concrete, ACI Structural Journal., Vol. 91, No. 4,
pp. 465-474.
• Belardi, A., y Hsu, T.T.C. (1995) Constitutive laws of softened concrete in
biaxial tension - compression, ACI Structural Journal., Vol. 92, No. 5, pp. 562-
573.
• Bentz, E. (2005) Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear
Panel Experiments, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 131, No. 9,
pp. 1422-1425.
• Bentz, E., Vecchio, F.J. y Collins, M.P. (2006) Simplified modified compression
field theory for calculating shear of reinforced concrete elements, ACI
Structural Journal, Vol. 103, No. 4, pp. 614-623
• Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-05) and
Comentary (ACI 318R-02). American Concrete Institute.
• Collins, M.P., Mitchell D., (1991). Prestressed Concrete Structures. Prentice
Hall, Nueva Jersey.
• EHE 08 Instrucción de Hormigón Estructural. Ministerio de Fomento. Gobierno
de España
• Eurocódigo 2 Proyecto de Estructuras de Hormigón UNE –ENV-1992 ( Parte 1-
1: Reglas Generales y Reglas de Edificación), AENOR
• Gil Martín, L.M., Hernández Montes, E., Aschheim, M., Pantazopoulou, S.
(2010) Refinements to Compression Field Theory, with Application to Wall-Type
Structures.
• Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y
Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-
190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada.
• Hsu, T.C. (1996) Toward a unified nomenclature for reinforced concrete theory,
Journal of Structural Engineering, Vol. 122, No. 3, pp. 275-283
REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de
elementos de hormigón armado
145
• Hsu, T.C. (1998) Unified Approach to Shear Analysis and Design, Cement and
Concrete Composites, Vol. 20, pp. 419-435
• Hsu, T.C. (1998) Stresses and crack angles in concrete membrane elements,
Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, pp. 1476-1484
• Pang, X.B. y Hsu, T.C. (1995) Behavior of reinforced concrete membrane
elements in shear, ACI Structural Journal, Vol. 92, No. 6, pp. 665-679
• Vecchio, F.J., y Collins, M.P. (1986) The modified compression field theory for
reinforced concrete elements subjected to shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2,
pp. 219-231.
• Vecchio, F.J. (2000) Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete:
Formulation, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, No. 9, pp. 1070-1077