TEORI TAMBAHAN

A. Dasar Teori

Bandul matematis adalah suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap

dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut q terhadap garis vertical maka gaya

yang mengembalikan :

F = - m . g . sin q

Untuk q dalam radial yaitu q kecil maka sin q = q = s/l, dimana s = busur lintasan bola

dan l = panjang tali , sehingga :

Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan gaya adalah :

atau

Ini adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah :

Dengan bandul matematis maka percepatan gravitasi g dapat ditentukan yaitu dengan

hubungan :

Harga l dan T dapat diukur pada pelaksanaan percobaan dengan bola logam yang cukup

berat digantungkan dengan kawat yang sangat ringan,

Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut

bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun

melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka

bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m

digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ

dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.

F = - m g sin θ

F = m a

maka

m a = - m g sin θ

a = - g sin θ

Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l

, maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik

maka didapat menjadi:

atau

Dimana :

l = panjang tali (meter)

g= percepatan gravitasi (ms-2)

T= periode bandul sederhana (s)

Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada

massa dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan

percepatan gravitasi, yaitu:

Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi

tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan

sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini

dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi

setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang

vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita

ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah

ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ

terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat dan gaya

tarik dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung

lingkaran gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan

gaya berat mg atas komponen-komponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah

tangensial, yaitu mg sin θ.

Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang

diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya

pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi

gaya pembalik adalah :

Perhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding

dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana.

Akan tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur

lintasan adalah

x=lθ ,

dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita

peroleh

Gambar Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana adalah gaya tarik T dan gaya

berat mg pada massa m

Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan,

dan mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic

sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx.

Perioda ayunan jika amplitude kecil adalah:

Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita

dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar 2.

Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam

bentuk gaya gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan

dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M.

Dalam kasus sistem ayunan seperti yang disajikan dalam gambar di atas, maka gerakan

massa M terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum L, dan persamaan gerak yang

berlaku adalah :

dimana dalam hal ini kecepatan bola sepanjang lintasannya yang berupa busur lingkaran

adalah . Faktor sinθ merupakan komponen yang searah dengan gravitasi

dari gaya yang bekerja pada bola dalam arah θ. Selanjutnya dengan membuang M dari

kedua sisi persamaan di atas, diperoleh bentuk , yang merupakan

persamaan diferensial tak linear untuk θ.

Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil , maka berlaku sin θ=θ

sehingga persamaan dapat diubah menjadi bentuk linear sebagai berikut,

Gambar Pendulum, gaya pemulih yang timbul

berkaitan dengan pengaruh gravitasi pada massa M.

Dapat anda menyebutkan kondisi apa saja yang

berlaku untuk pendulum sederhana seperti di

samping.

persamaan merupakan gambaran untuk ayunan sinusuidal dengan frekuensi diberikan

oleh:

maka

Pada bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali jauh lebih besar dari

pada ukuran geometris dari bandul. Pada posisi setimbang, bandul berada pada titik A.

Sedangkan pada titik B adalah kedudukan pada sudut di simpangan maksimum (θ). Kalau

titik B adalah kedudukan dari simpangan maksimum, maka gerakan bandul dari B ke A

lalu ke B’ dan kemudian kembali ke A dan lalu ke B lagi dinamakan satu ayunan. Waktu

yang diperlukan untuk melakukan satu ayunan ini disebut periode (T). Seperti pada

gambar 3. di bawah ini

Gambar bandul matematis, berat tali

diabaikan dan panjang tali dan panjang

tali yang memiliki ukuran lebih besar.

Dengan mengambil sudut θ cukup kecil sehingga BB’= busur BAB’, maka dapat

dibuktikan bahwa

f = komponen w menurut garis singgung

pada lintasan bandul

P= gaya tegang tali

N= komponen normal dari W=mg

l= panjang tali

θ

=

sudut simpangan

Dengan mengetahui panjang tali dan periode, maka percepatan gravitasi bumi dapat

dihitung (Anonim, 2004).

Cara sederhana mengukur g adalah dengan menggunakan bandul matematis

sederhana. Bandul ini terdiri dari beban yang diikatkan pada ujung benang (tali ringan)

dan ujung lainnya dogantungkan pada penyangga tetap. Beban dapat berayun dengan

bebas. Ketika disimpangkan, bandul bergerak bolak-balik. Waktu satu kali gerak bolak-

balik disebut satu periode. Kita nyatakan periode dengan symbol T. Periode bandul

memenuhi rumus :

T= periode bandul (s)

L= panjang penggantung (m)

g= percepatan gravitasi (m/s2)

Gambar bandul yang diikat pada tali

Bandul sederhana terdiri atas benda bermassa m yang diikat dengan seutas tali

ringan yang panjangnya l (massa tali diabaikan). Jika bandul berayun, tali akan

membentuk sudut sebesar α terhadap arah vertical. Jika sudut α terlalu kecil, gerak

bandul tersebut akan memenuhi persamaan gerak harmonic sederhana seperti gerak

massa pada pegas.

Kita tinjau gaya-gaya pada massa m. dalam arah vertical, massa m dipengaruhi oleh gaya

beratnya yaitu sebesar w = mg. gaya berat tersebut memiliki komponen sumbu x

sebesar mg sin α dan komponen sumbu y sebesar mg cos α.

Gaya dalam arah sumbu x merupakan gaya pemulih, yaitu gaya yang selalu menuju titik

keseimbangan. Arah gaya tersebut berlawanan arah dengan simpangan, sehingga dapat

ditulis :

Dalam arah sumbu y, komponen gaya berat diimbangi oleh tegangan tali T sehingga

gaya dalam arah sumbu y bernilai nol,

= 0

Jika sudut α cukup kecil (α < ), maka nilai sinus tersebut mendekati dengan nilai

sudutnya, sin α ≈ α. Sehingga hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta

dinyatakan dengan persamaan :

x = L sin α atau α = x/L

(ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari

lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa

lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar

simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L)

Jika massa m menyimpang sejauh x dari titik seimbang, maka massa tersebut akan

mengalami gaya pemulih sebesar :

F = mg sin α ≈ mg α = x

Gaya pemulih tersebut sebanding dengan simpangan, seperti pada gerak harmonic

sederhana. Sekarang kita akan membandingkan gaya pemulih untuk massa pada pegas

dan gaya pemulih untuk system bandul sederhana.

Pada pegas berlaku F = kx, sedangkan pada bandul berlaku F = x. harga pada bandul

adalah tetap sehingga dapat dianalogikan dengan tetapan pegas (k).

Periode bandul dapat pula dianalogikan dengan periode gerak massa pada pegas,

T = 2 , dengan mengganti k dengan mg/L :

T = 2 = 2

Dengan eliminasi m, kita memperoleh periode ayunan bandul sebesar :

T = 2

Gambar Gerak Harmoni pada bandul

GERAK HARMONIK SEDERHANA.

Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut

gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai

gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak periodik pada

lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran. Bentuk yang

sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas.

Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak jenis gerak lain

(osilasi dawai, roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul, dan sebagainya)

yang mirip dengan jenis gerakan ini, sehingga pada kesempatan ini kita akan

membahasnya secara mendetail.

Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak

tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, senar

gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan petikan. Demikian

juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan secara berulang. Hal ini

disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan benda-

benda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran

harmonik teredam. Walaupun kita tidak dapat menghindari gesekan, kita dapat

meniadakan efek redaman dengan menambahkan energi ke dalam sistem yang

berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat gesekan, salah satu

contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai. Pada kesempatan ini

kita hanya membahas gerak harmonik sederhana secara mendetail, karena dalam

kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis gerak yang menyerupai sistem ini

Gaya Pemulih pada Gerak Harmonik Sederhana

n  Gaya Pemulih pada Pegas

k = konstanta pegas (N/m)

y = simpangan (m)

n  Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Sederhana

m = massa benda (kg)

g = percepatan gravitasi (m/s2)

Peride dan Frekuensi

n  Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali gerak bolak-

balik.

n  Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam waktu 1 detik.

n  Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena

adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah

n  Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali

adalah l, maka periodenya adalah

Simpangan, Kecepatan, Percepatan

n  Simpangan Gerak Harmonik Sederhana

y = simpangan (m)

A = amplitudo (m)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

f = frekuensi (Hz)

t = waktu tempuh (s)

Jika pada saat awal benda pada posisi θ0, maka

Besar sudut (ωt+θ0) disebut sudut fase (θ), sehingga

φ disebut fase getaran dan Δφ disebut beda fase.

Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana

Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya adalah

Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga kecepatan

maksimumnya adalah

Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah

Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya adalah

Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga percepatan

maksimumnya adalah

Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya.

Energi pada Gerak Harmonik Sederhana

Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana, misalnya pegas,

adalah

Karena k = mω2, diperoleh

Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk

setiap perpanjangan y adalah

Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran pegas

adalah

Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Gerak Harmonik

Sederhana

Terdapat dua jenis gerakan yang merupakan Gerak Harmonik Sederhana, yakni

ayunan sederhana dan getaran pegas. Jika dirimu belum paham apa itu Gerak

Harmonik Sederhana, silahkan pelajari materi Gerak Harmonik Sederhana yang

telah dimuat pada blog ini. Silahkan meluncur ke TKP…..

Sekarang mari kita tinjau Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada ayunan

sederhana.

Untuk menggerakan benda yang diikatkan pada ujung tali, benda tersebut kita

tarik ke kanan hingga mencapai titik A. Ketika benda belum dilepaskan (benda

masih diam), Energi Potensial benda bernilai maksimum, sedangkan EK = 0 (EK

= 0 karena benda diam ). Pada posisi ini, EM = EP. Ingat bahwa pada benda

bekerja gaya berat w = mg. Karena benda diikatkan pada tali, maka ketika benda

dilepaskan, gaya gravitasi sebesar w = mg cos teta menggerakan benda menuju

posisi setimbang (titik B). Ketika benda bergerak dari titik A, EP menjadi

berkurang karena h makin kecil. Sebaliknya EK benda bertambah karena benda

telah bergerak. Pada saat benda mencapai posisi B, kecepatan benda bernilai

maksimum, sehingga pada titik B Energi Kinetik menjadi bernilai maksimum

sedangkan EP bernilai minimum. Karena pada titik B kecepatan benda

maksimum, maka benda bergerak terus ke titik C. Semakin mendekati titik C,

kecepatan benda makin berkurang sedangkan h makin besar. Kecepatan berkurang

akibat adanya gaya berat benda sebesar w = mg cos teta yang menarik benda

kembali ke posisi setimbangnya di titik B. Ketika tepat berada di titik C, benda

berhenti sesaat sehingga v = 0. karena v = 0 maka EK = 0. pada posisi ini, EP

bernilai maksimum karena h bernilai maksimum. EM pada titik C = EP. Akibat

tarika gaya berat sebesar w = mg cos teta, maka benda bergerak kembali menuju

titik B. Semakin mendekati titik B, kecepatan gerak benda makin besar, karenanya

EK semakin bertambah dan bernilai maksimum pada saat benda tepat berada pada

titik B. Semikian seterusnya, selalu terjadi perubahan antara EK dan EP. Total

Energi Mekanik bernilai tetap (EM =EP + EK).