Diskretizacija kontinualnih signala.Uzorkovanjedoc.dr. Nermin SuljanoviUvod Signali na koje nailazimo u prirodi su veinom kontinualni. Obrada kontinualnih signala pomou digitalnih sistema (npr. raunari) je mogua kada se analogni signali prevedu u digitalni oblik.Uvod Ovaj postupak obuhvata dvije diskretizacije:diskretizacija po vremenu uzorkovanje (eng. sampling)diskretizacija po amplitudi kvantovanje. Kompletan proces se naziva: analogno-digitalna (A/D) konverzija. ema postupka A/D konverzijeUzorkovanjeKvantizer i koderx(t) x[n] xd[n]Analogni signalDiskretni signalDigitalni signalProces uzorkovanja/1 Kontinualni signal se prevodi u diskretan. Uzimaju se samo uzorci u jednakim vremenskim intervalima. Vrijeme izmeu dva susjedna uzorka naziva se period uzorkovanja T.Proces uzorkovanja/2Vremensku osu dijelimo na jednake vremenske intervale.TUzimamo samo vrijednosti signala u unaprijed definiranim vremenskim trenucima.*************Uzorkovani signalkT (k+1)T... ...(k-1)T( ) ( ) ( ) | | k x k x kT x t x = = =*Idealni diskretizovani signalXAnalogni signalPovorka Diracovih impulsaUzorkovani signalx*(t)=x(t)s(t)( ) = =nnT t t s o ) (Idealni diskretizovani signal Zapaamo da Diracov impuls kontinualna funkcija u vremenu, pa je i signal s(t) takoe kontinualna vremenska funkcija. U tom sluaju je i idealni diskretizovani signal kontinualna funkcija u vremenu. Dalje emo potraiti Fourierovu transformaciju ovog signala ...Spektar diskretizovanog signala( ) ( ) ( ) = = = = =n nnT t nT x nT t t x t s t x t x o o ) ( ) ( ) ( ) ( *Idealni diskretizovani signal je jednak:Povorka Diracovih impulsa je periodian signal i moe se predstaviti pomou Fourierovog reda:( ) ( ) = = = = = =n k kt jk t jkks seTe a nT t t se eo1gdje je es=2tfs uestanost uzorkovanja. Spektar uzorkovanog signala x*(t) je:dt e e t xTdt e t x j Xt jkt jk t jse e ee = ((

= =} }) (1) ( * ) ( *Spektar diskretizovanog signala( ) | | } = = + + =(((

=k kst k jk j XTdt e t xTj Xse e ee e1) (1) ( *) (Ako promijenimo redoslijed integracije:gdje je X(je) spektar kontinualnog signala x(t).Na osnovu gornje jednakosti zakljuujemo da je spektar idealnog diskretizovanog signalabeskonana suma periodino ponovljenih spektara kontinualnog signala pomnoenih sa 1/T. Spektar idealnog diskretizovanog signalaNema preklapanja spektaraPreklapanje spektaraSpektar idealnog diskretizovanog signalaCilj je savuati informaciju sadranu u izvornom kontinualnom signalu.Drugim rijeima, postupak uzorkovanja ne smije voditi ka gubljenju informacija u signalu.Izvorni signal se mora moi rekonstruisati iz uzorkovanog signala te je uslov za ouvanje informacija u procesu uzorkovanja da ne smije doi do preklapanja replika spektra u spektru uzorkovanog signala.Spektar idealnog diskretizovanog signalaUestanost eMUestanost eS-eMeM eS-eM2eM eSTeorem o uzorkovanjuNeka je x(t) signal sa ogranienim spektrom, tj. X(je)=0 za |e|>eM. Tada je kontinualni signal x(t) jedinstveno odreen svojim uzorcima x(nT), n=0, 1, 2, ... ako je eS > 2eMgdje je eS =2t/T.Rekonstrukcija signala Iz uzoraka se signal x(t) moe rekonstruirati proputanjem povorke uzoraka kroz idealni NF filter sa pojaanjem T i graninom frekvencijom veom od eMa manjom od eS -eM. Rezultat filtriranja je upravo signal x(t).Rekonstrukcija pomou NF filteraFrekvencija 2eM, koja po teoremu o uzorkovanju mora biti manja od frekvencije uzorkovanja, naziva se Nyquistova brzina, dok se eM obino naziva Nyquistova frekvencija.Uzorkovanje pomou kola sa zadrkom Uski, visoki impulsi koji aproksimiraju o-impulse se teko generiu u praksi. Zbog toga se koristi kolo sa zadrkom. U datom trenutku signal x(t) se uzorkuje i kolo zadrava ovu vrijednost na izlazu sve do trenutka uzimanja sljedeeg uzorka.Uzorkovanje pomou kola sa zadrkom Rekonstrukcija izvornog signala x(t) se takoe vri pomou NF filtera. Amplitudna karakteristika NF filtera u propusnom opsegu vie nije ravna. Analizirajmo izlaz kola sa zadrkom x0(t)...Kolo sa zadrkom (sampling&hold) Izlaz x0(t) se moe dobiti kao izlaz LTI sistema koji ima pravougaoni impulsni odziv h0(t), pri emu na ulaz sistema dovodimo uzorkovani signal xp(t).Kolo sa zadrkom (sample&hold) Rekonstrukcija signala iz x0(t) zahtijeva obradu signala x0(t) pomou LTI sistema sa nekim impulsnim odzivom hr(t), tj. frekv. odzivom Hr(je). Biramo Hr(je) tako da bude r(t)=x(t).Odreivanje frekventnog odziva kola sa zadrkomPoznato nam je:( ) ( ) { }( )((

= =eeee2 / sin 22 /0 0Te t h F j HT jpa mora biti zadovoljeno:( )( )eeee2 / sin 22 /Tej HT jr=Rekonstrukcija signala( ) e j Hre12 /se 2 /se e( ) e j Hrarg2 / t2 / t 2 /se2 /se Rekonstrukcija signala iz uzoraka pomou interpolacije Rekonstrukcija na osnovu poznatih vrijedosti funkcije za odreeni skup argumenata (uzorci). Kolo sa zadrkom je primjer interpolacije. Drugi jednostavan promjer je linearna interpolacija.Linearna interpolacija izmeu susjednih taaka U sloenijim primjerima interpolacija, pojedini uzorci se povezuju polinomima vieg reda.Rekonstrukcija pomou interpolacije Teorem o uzorkovanju govori da se signal sa ogranienim spektrom moe rekonstruirati ako je period uzorkovanja dovoljno kratak. Interpretacija rekonstrukcije signala x(t) u smislu interpolacije nalazi se u vremenskoj analizi djelovanja NF filtera.Rekonstrukcija pomou interpolacije Ako je h(t) impulsni odziv filtera, tada je izlaz filterana iji ulaz se dovodi uzorovani signal, jednak:( ) ( ) t h x t xp r* =( ) ( ) ( ) = =npnT t nT x t x o( ) ( ) ( ) = =nrnT t h nT x t xGornja jednaina opisuje kontinualnu krivu koja povezuje uzorke x(nT) i prema tome predstavlja interpolacionu formulu.Rekonstrukcija pomou interpolacije Ako je imamo idealni NF filter:( )( )tt Tt hcc cte e e sin=( ) ( )( ) ( )( ) ==n cc crnT tnT t TnT x t xeete sinimamo:Primjer rekonstrukcije za ec=es/2 Interpolacija pomou impulsnog odziva idealnog NF filtera se esto naziva i frekventno ograniena interpolacija jer osigurava tanu rekonstrukciju frekventni ogranienog signala kada frekvencija uzorkovanja zadovoljava uslove teoreme o uzorkovanju.Praktian sluaj U veini sluajeva je poeljnije koristiti manje tane ali jednostavnije filtere, ili drugim rijeima jednostavnije interpolacione funkcije u odnosu na idealni NF filter. Kolo sa zadrkom se moe posmatrati kao interpolacija izmeu uzoraka gdje je interpolaciona funkcija jednaka h0(t).Tta se deava kada teorem o uzorkovanju nije zadovoljen? Do sada smo imali pretpostavku da je frekvencija uzorkovanja dovoljno velika da je teorem o uzorkovanju zadovoljen. Za es>2em, spektar uzorkovnog signala ine skalirane replike spektra signala x(t) /X(je)/, to je osnova teorema o uzorkovanju. Kada je es