teorema homomorfisme dasar

TEOREMA HOMOMORFISME DASAR

KELAS 5 C

NUR CHOLID MAMIR ARSAD

AHMAD TRIHRYANTOTETRIKLADITRA

RIFMAWATI MAISAROHADHINDA ADYHANING D

ATIK SUKAWATISEPTIARI AYU L

1

Pengertian Homomorfisme

• Definisi 8.1Misalkan (G,) dan (G’,) masing masing adalah grup. Pemetaan : GG’ disebut homomorfisme dari G ke G’ jika dan hanya jika untuk setiap a,b G berlaku (a b) = (a) (b). Homomorfisme disebut pula pemetaan yang mempertahankan atau mengawetkan operasi, dan dapat disajikan dengan skema sebagai berikut :

2


Operasi pada G kadang kadang tidak ditulis, sehingga (ab) ditulis (ab).Ada beberapa nama khusus untuk pemetaan :a. Pemetaan onto atau surjektif jika dan hanya jika range atau himpunan bayangan

G adalah G’.b. Pemetaan injektif jika dan hanya jika…c. Pemetaan bijektif jika dan hanya jika…d. Pemetaan pada G yaitu pemetaan dari G ke dalam G itu sendiri.e. Pemetaan identitas dari G ke G dengan (x) = x.

3

(G,) (G’,) (G,) (G’,)

a a’ a (a)

b b’ atau b (b)

ab a’ b’ ab (ab) = (a) (b)


• Sehubungan dengan pemetaan tersebut, ada beberapa homomorfisme khusus pula :

• Definisi 8.21) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang

injektif disebut monomorfisme.2) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang

surjektif disebut epimorfisme.3) Suatu homomorfisme dari grup G G’ yang

bijektif disebut isomorfisme.4


• Defini 8.31) Suatu homomorfisme dari suatu grup kedalam

grup itu sendiri disebut endomorfisme.2) Suatu endomorfisme yang bijektif disebut

automorfisme.3) Apabila antar grup (G,) dan grup (G’,)

terdapat homomorfisme, maka dikatakan bahwa (G,) dan (G’,) homomorfik.

5

Sifat sifat Homomorfisme

• Teorema 8.1Misalakan (G; ) dan (G’;) adalah grup, sedangkan pemetaan : G G’ merupakan homomorfisme, maka :

i) (i) = i’, I elemen identitas dalam G dan i’ adalah elemen identitas dalam G’

ii)(x-1) = (x)-1 untuk setiap x ∊ G(x)-1 ialah ((x))-1 yaitu invers dari (x) dalam G’

6

Sifat sifat Homomorfisme• Bukti,

Akan dibuktikan (i) = i’ dengan i elemen identitas G dan i’ elemen identitas G’

i) i’ adalah elemen identitas dalam G’ maka (x) i’ = (x).Untuk x G, x G, dan i G maka x ∊ ∊ ∊ i = x, sehingga (x i) = (x).Jadi (x) i’ = (x i)

= (x) (i) karena homomorfisme i’ = (i).

ii) Akan dibuktikan bahwa (x-1) = (x)-1

i’ = (i) = (x x-1) untuk setiap x G.∊Maka i’ = (x) (x-1) karena suatu homomorfisme (x)-1 i’ = (x)-1 (x) (x-1) (x)-1 = i’ (x-1) (x)-1 = (x-1) untuk setiap x G.∊

7


• Teorema tersebut dapat dikatakan bahwa (i) peta (bayangan) elemen identitas dalam G adalah elemen identitas dalam G’ dan (ii) bayangan invers x dalam G adalah invers bayangan x dalam G’.

• Jadi apabila : GG’ merupakan homomorfisme dan G merupakan suatu grup, maka G’ adalah grup. Tetapi apabila G’ suatu grup maka G belum tentu merupakan grup.

8

Sifat sifat Homomorfisme• Teorema 8.2

Jika : GG’ homomorfisme dan G merupakan grup komutatif, maka G’ merupakan grup komutatif.

• Bukti,Ambil a,b G dan a’,b’ G’ dengan ∊ ∊ (a) = a’ dan (b) = b’, serta (G,) dan (G’,) (ab) = (a) (b) = a’ b’G grup komutatif, a,b G ; ab =ba∊ (ab) = (ba) = (b) (a) = b’ a’Jadi a’,b’ G’ memenuhi a’ ∊ b’ = b’ a’Yang berarti G’ grup komutatif

9

Sifat sifat Homomorfisme• Teorema 8.3

Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup.

Jika pemetaan : GG’ merupakan homomorfisme yang surjektif, maka -1 (i’) adalah subgrup normal dari G.

Dengan perkataan lain, himpunan semua x G yang ∊memenuhi (x) = i’ G’, merupakan subgrup normal N dari G.∊

Jadi N = x G ∊ x = -1 (i’), i’ G’∊ merupakan subgrup normal dari G.

10


• Bukti,1) akan dibuktikan bahwa N subgrup, yaitu jika ab N ∊

maka ab-1 N.∊

Ambil a,b N maka ∊ (a) = i’ dan (b) = i’. (ab) = (a) (b) (ab-1) = (a) (b-1)= (a) ((b))-1

= i’ (i’)-1 = i’’ i’ = i’Jadi ab-1 N dan N merupakan subgrup.∊

11


2) Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal, yaitu jika g G dan n N maka (g . n . g∊ ∊ -1) N∊

(g . n . g-1) = (g) (n) (g-1)= (g) i’ ((g))-1 = i’Jadi (g . n . g-1) N dan N subgrup normal.∊Himpunan N = x G∊ x = -1 (i’), i’ G∊ disebut inti (kernel) dari pemetaan tersebut dan dinyatakan dengan ker ().

12


• Teorema 8.4

Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup, sedangkan adalah homomorfisme dari G ke G’. Himpunan semua peta (bayangan) anggota dari G dalam G’ oleh homomorfisme merupakan subgrup dari G’.

13


• Teorema 8.5

Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Sedangkan G/N grup faktor.

Jika pemetaan : GG/N didefinisikan oleh (x) = Nx untuk setiap x G, maka ∊ suatu homomorfisme.

14

Contoh 1

Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Pemetaan : GG/N didefinisikan oleh (x) = Nx untuk setiap x G. Tunjukkan ∊bahwa suatu homomorfisme dari G onto G/N !

15

Penyelesaian : GG/N didefinisikan oleh (x) = Nx untuk x G. Ambil sebarang ∊

x,y G , maka ∊ (x) = Nx dan (y) = Ny. (x,y) = Nxy

= Nnxy karena N subgrup normal dari G= Nx Ny

(x,y) = (x) . (y)

Jadi suatu homomorfisme.Ambil sebarang T G/N, dan misalkan T = Nt untuk t G. Maka T ∊ ∊= Nt = (t). Ini berarti bahwa setiap elemen dari G/N merupakan peta elemen dari G oleh homomorfisme .Jadi suatu homomorfisme dari G onto G/N.

16

Contoh 2

Misalkan (G,) dan (G’,) adalah grup, sedangkan adalah homomorfisme dari G ke G’. Buktikan bahwa himpunan semua peta (bayangan) anggota dari G dalam G’ oleh homomorfisme merupakan subgrup dari G’ !

17

Penyelesaian

Misalkan : (G,)(G’,) suatu homomorfisme, sedangkan H adalah himpunan semua peta elemen-elemen dari G dalam G’ oleh homomorfisme , atau H = x G’∊ x = (a) untuk a G∊ .Maka H G’. Untuk membuktikan bahwa H subgrup dari G’, ditunjukkan bahwa (H,) suatu grup.H bukan himpunan kosong, sebab untuk i G maka ∊ (i) = i’ H.∊

18

Penyelesaiana) Ambil x,y H maka ada a,b G sedemikian hingga ∊ ∊ (a) = x

dan (b) = y.(ab) G maka ∊ (ab) H∊ Suatu homomorfisme

Maka (ab) = (a) (b)= x yKarena (ab) H maka (x ∊ y) H. Ini berarti H tertutup ∊terhadap operasi , atau operasi merupakan operasi biner dalam H.

b) G’ suatu grup, sehingga operasi dalam G’ bersifat asosiatif. Karena H G’ maka operasi dalam H bersifat asosiatif pula.

19

Penyelesaian

c) Ambil x H, maka ada a G sehingga ∊ ∊ (a) = x. Karena suatu homomorfisme, maka : (ai) = (a) (i) (i a) = (i) (a) (a) = (a) i’ dan (a) = i’ (a)

x = x i’ x = i’ x

Jadi x i’ = i’ x untuk setiap x H. Ini berarti ∊elemen identitas dalam H adalah i’ yaitu elemen identitas dalam G’

20

Penyelesaiand) Menurut teorema, jika a G maka ∊ (a-1) = (a)-1

Karena adalah homomorfisme, maka untuk a G berlaku:∊ (aa-1) = (a) (a-1) (i) = (a) (a)-1

i’ = (a) (a)-1 , dan (a-1 a) = (a-1) (a) (i) = (a)-1 (a)

i’ = (a)-1 (a)

Jadi (a) (a)-1 = (a)-1 (a) = i’Ini berarti (a)-1 adalah invers dari (a) dalam HDari (a), (b), (c), dan (d) disimpulkan bahwa H suatu grup.Karena H G’ dan G’ suatu grup maka H subgrup dari G’.

21

Contoh 3

Misalkan G adalah himpunn bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan G’ adalh himpunan bilangan bulat selain nol dengan operasi perkalian. Pemetaan : GG’ didefinisikan oleh (x) = 2x untuk setiap x G. Tunjukkan bahwa adalah homomorfisme !

22

Penyelesaian

Misalkan adalah pemetaan dari G ke G’ dengan (x) = 2x untuk setiap x G.∊Ambil sebarang a,b G maka ∊ (a) = 2a dan (b) = 2b

(a+b) = 2a+b = 2a . 2b = (a) . (b)Jadi suatu homomorfisme

23

Sekian Terima Kasih

teorema homomorfisme dasar

Engineering