teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la ... · pdf fileel estudiante:...
TRANSCRIPT
El estudiante:
• Aplicará el teorema fun-damental del cálculo, me-diante la resolución deproblemas de áreas, áreasentredosgráficasensitua-cionesdeaplicacióndelasciencias naturales y socia-les;apartirdelconocimien-todelaspropiedadesdelaintegraldefinida;mostran-dounaactitudanalítica,re-flexivaycolaborativa.
INTRODUCCIÓN
Enlapresenteunidaddeterminamoseláreabajolacurvadeunafunciónme-diantelasreglastrapecialydeSimpson,derivadodeesto,resaltamoslaimpor-tanciadelaintegraldefinidaenelcálculodedichasáreasatravésdelaaplicacióndelteoremafundamentaldelcálculo.Además,conéstecalculamoslalongituddearco,eláreadelasuperficiedeunsólidoyelvolumendelmismoymostramossusaplicacionesenlosdiferentescampos,comoson:naturales,sociales,econó-micos,administrativos,etcétera.
113TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Nombredelalumno:
Grupo: Númerodelista: Aciertos:
Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresultadocorrecto:
1. Elvalorde x dxx1 31
8+∫ =
a) 23 b) 36 c) 26 d) 13
2. Elvalorde1 sen t dt20
2π
∫ =
a) 4 b) 6 c) d) 0
3. ¿Quéexpresiónresultadeintegrar e sen x dxx2 3∫ ?
a) e sen x x cx2
63 3− +( )cos
b) e x x cx2 2 3 2 3sen − +( )cos
c) 2 3 3 3 32e x x cx sen − +( )cos
d) 1 e x x cx2
132 3 3 3sen − +( )cos
4. ¿Quéexpresiónresultadeintegrar cos3 x dx∫ ?
a)13
23
2cos xsen x sen x c+ +
b) cos2 x x sen x csen + +
c) 3 2cos x x csen +
d)23
13
2cos x x sen x csen + +
4. ¿Cuáleseláreadelafigura?
a) 48.535 b) 43.375
c) 68.75 d) 38.75
114 UNIDAD III
3.1 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES Seguramente,enalgunaocasiónsehapresentadounapersonacontigo,tehadichosunombrey,despuésdeunacharla,noteacuerdascómosellama;oquizáhassaludadoaalguienenrepe-tidasocasiones,loidentificasfácilmente,peronoteacuerdascómosellamaycuandolograssa-berlosetegrabaconfacilidad.
Puesbien,sitrasladamosesteejemploalcálculo,específicamentealtemadeintegraldefinida,puedesrecordarque,comovimos,lasuperficielimitadapor:lacurvay=f(x),elejedelasabs-cisasylasrectasx=ayx=bpuededeterminarseporellímitedesumasdeRiemannqueseexpresacomo:
A f x xx k k
k
n=
→ =( ) ⋅∑lim *
∆∆
0 1
queasuvezdefinelaintegraldefinida,teniendo:
A f x dx f x xab
x k kk
n= ∫ ( ) = ( ) ⋅
→ =∑ lim *
∆∆
0 1
Sinembargo,parafacilitarestecálculorecurristeaotraformadeevaluarlaintegraldefinida:
ab
abf x dx F x F b F a∫ = =( ) ( ) ( )( ) −
Puesbien,estaformaquehasvisto,determinado,evaluadoyaplicadosellamaTeorema funda-mental del cálculoyseenunciadelasiguienteforma:
Seaf(x)unafunciónintegrable.
SupongamosqueexistealgunafunciónF(x)continuatalqueF‘(x)=f(x)paratodox∈[a,b],entonces
ab
abf x dx F x F b F a∫ ( ) = = ( ) ( )( )[ ] −
Siutilizamosesteteoremapodemosdeterminardirectamenteeláreabajolacurvadeunafun-ción,dondelainterpretacióndesuresultadoquedasujetaalanaturalezadelasmagnitudesquerepresentanlosejescoordenados;estasaplicacionesseestudiaránmásadelante.
Ahorasemuestrandosreglas:reglatrapecialyregladeSimpson, lascualessonútilesparade-terminarunvaloraproximadodelaintegraldefinida:
ab f x dx∫ ( )
principalmentecuandolaintegraciónnopuedeefectuarsedeformainmediata.
115TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Integración aproximada: regla trapecial y regla de Simpson
Comovimos,elvalorexactodelaintegraldefinida ab f x dx∫ ( ) eslamedidadelasuperficieli-
mitadaporlacurvay=f(x),elejedelasabscisasylasrectasx=ayx=b.Unvaloraproxi-madodetaláreaseobtuvosumandorectángulos,segúnlassumasdeRiemann.Delamismaforma,tambiénpuedeencontrarseunaaproximacióndelamismaáreasumandotrapecios(re-glatrapecial)yunaaproximaciónaúnmejorsumandoáreasbajoarcosdeparábolas(regladeSimpson).
Veamos:
Valoraproximadodeláreabajolacurvasumandotrapecios.
Observalasiguientefigura.
EláreadelaregiónsombreadaApuedeaproximarsesumandolasáreasdentrapeciosmarca-dossobreelintervalo,comosemuestraacontinuación.
Apartirdeestafigura,laregladelostrapeciosparaevaluarA, seespecificadelasiguientemanera:
1. Sedivideelintervalo[a,b]ennsubintervalosiguales[xk–1,xk]dondek=1,2,3,…,nyx0=a,xn=b.Luego:
116 UNIDAD III
a x x x x x x bn n= < < < < < =−0 1 2 3 1...
dondeeslaamplituddecadasubintervalo.
2. Paracadaunadelasabscisasobtenidasdeestadivisión,selevantasucorrespondienteor-denadasegúnlacurva.Seanéstas:
y0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2),...,yn=f(xn)
3. Lostrapeciosseformanalunirlasextremidadesdeestasordenadasconsecutivasconseg-mentosderecta(cuerdas).
4. Sesumanlostrapeciosasíobtenidos,considerandoqueeláreadeuntrapeciosedeterminacomo:
AB b h
B b h=+( ) = +( )2
12
Así,lasáreasdelostrapecios(verfiguraanterior)son:
12 0 1y y x+( ) =∆ áreadelprimertrapecio.
12 1 2y y x+( ) =∆ áreadelsegundotrapecio.
.
.
.12 1y y xn n− +( ) =∆ áreadelenésimotrapecio.
Ylasumadeéstoses:
12
12
12
12
12
12
0 1 1 2 1
0 1
y y x y y x y y x
y x y x
n n+( ) + +( ) + + +( ) =
+ +
−∆ ∆ ∆
∆ ∆
...
yy x y x y x y x y x y x
y x y
n n n1 2 2 1 1
0 1
12
12
12
12
12
12
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
+ + + + + + =
+
− −...
∆∆ ∆ ∆ ∆x y x y x y xn n+ + + +−2 112
...
Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula que permite encontrar una aproximación de
ab f x dx∫ ( ) apartirdeláreabajolacurvasumandotrapecios.
Fórmuladelostrapecios:
A f x dx y y y y y xab
n n= ∫ ≈ + + + + +( )
−
12
120 1 2 1
... ∆
117TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Lossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarunaaproximacióndelaintegraldefinidaporlafórmuladelostrapecios.
Hallarunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladelostra-pecios.Mostrarlagráficaconeláreasombreada.
1. x dx2
1
12
∫ (tomandon=11)
SoluciónTenemos∆x b a
n= = =− − 12 1
111
Además,eláreaencuestiónestábajolacurvay=x2,entonceslasabscisasyordenadasaconsiderarson:
xk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12yk 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
Luego,porfórmula:
x dx2
1
12 12
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 12
1 144∫ ≈ + + + + + + + + + + +( ) ( )
11
577 5
( )
≈ .
2. 4 3
0
2+∫ x dx (tomandon=4)
SoluciónTenemos∆x b a
n= − = − = = 2 0
412
0 5.
Además,eláreaencuestiónestábajolacurva y x= +4 3 ,entonceslasabscisasyorde-nadasaconsiderarson:
xk 0 0.5 1 1.5 2yk 2 2.031 2.236 2.716 3.464
Luego,porfórmula:
4 302 1
22 2 031 2 236 2 716 1
23 4 64 0 5
4
+∫ ≈ ( ) + + + + ( )
( )
≈
x dx . . . . . .
.8858
118 UNIDAD III
Hallaunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladelostrapecios.Muestralagráficaconeláreasombreada.
1.dxx1
2
∫ (tomandon=2)
2.dxx3
10
∫ (tomandon=7)
3. x x dx25 2
0
5+∫ (tomandon=10)
4. 16 2
0
3+∫ x dx (tomandon=6)
5.x
xdx
2
22
4
103 +∫ (tomandon=4)
Valor aproximadodel área bajo la curva sumando áreas bajo arcos de parábolas (regla deSimpson).
Eláreabajolacurvay=f(x)puedeaproximarsesumandolasáreasdenfranjaslimitadasporparábolassobreunintervalo.Lasiguientefiguramuestraunadeestasfranjas.
El procedimiento que se sigue para determinar una aproximación de la integral definidaf x dx
a
b ( )∫ conlaregladeSimpsondifiererespectoalquesesigueconlaregladelostrapeciosenlaque,enlugardeunirlasextremidadesdelasordenadassucesivasy0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2),...,yn=f(xn)consegmentosderecta,éstasseunen,lograndounamayoraproximación,porarcosdeparábolascomosigue:
1. Sedivideelintervalo[a,b]enunnúmeroparndesubintervalosiguales,siendo∆x b an
= − laamplituddecadasubintervalo.
2. Paracadaunadelasabscisasobtenidasdeestadivisiónselevantasucorrespondienteorde-nadasegúnlacurva.Seanéstas:
119TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
y f x y f x y f x y f xn n0 0 1 1 2 2= = = =( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
dondesedistinguenlospuntos:
P x y P x y P x y P x yn n n0 0 0 1 1 1 2 2 2, , , , , , ..., ,( ) ( ) ( ) ( )3. PorcadatresdeestospuntossucesivosP0,P1,P2; P2, P3,P4;P4,P5,P6;etc.setrazanarcosdeparábolasconejesverticales,comoseobservaenlafiguraanterior.
4. Sesumanlasáreasdelasfranjasasíobtenidas,dadoqueeláreadecadaunadeellasseob-tienecomo:
Eláreabajounaparáboladeejeparaleloalejedelasy,quepasaporlospuntosP0,P1,P2conordenadasrespectivasy0,y1,y2ydistanciaentrelasabscisasdeP0yP2iguala2∆xcomolomuestralafigura,es:
A x y y y= + +( )13
40 1 2∆
Así,lasumadelasfranjaslimitadasporlasparábolas(verfiguraanterior)son:
13
40 1 2∆x y y y+ + =( ) áreadelaprimerafranjalimitadaporunaparábola,
13
42 3 4∆x y y y+ + =( ) áreadelasegundafranjalimitadaporunaparábola,...
13
42 1∆x y y yn n n− −+ +( ) =áreadelaenésimafranjalimitadaporunaparábola
Ylasumadeestasfranjases:
13
4 13
4 13
4
13
0 1 2 2 3 4 2 1∆ ∆ ∆x y y y x y y y x y y yn n n+ +( ) + + +( ) + + + +( ) =− −...
∆∆x y y y y y y y y yn n n0 1 2 2 3 4 2 14 4 4+ + + + + + + + +( )− −...
Por tanto, tenemos la siguiente fórmula que permite encontrar una aproximación de
ab f x dx∫ ( ) ,apartirdeláreabajolacurvasumandofranjaslimitadasporparábolas.
FórmuladeSimpson:
A f x dx x y y y y y y y yn n na
b= ( ) ≈ + + + + + + + +( )− −∫
13
4 2 4 2 2 40 1 2 3 4 2 1∆ ...
LossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarunaaproximacióndelaintegraldefinidaporlafórmuladeSimpson.
...
120 UNIDAD III
HallarunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmulaSimpson.
1. x dx3
0
10
∫ (tomandon=10)
SoluciónTenemos∆x b a
n= − = − = 10 0
101
Además,eláreaencuestiónestábajolacurvay=x3,entonceslasabscisasyordenadasacon-siderarson:
xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yk 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
Luego,porfórmula:
2.dx
x4 30
4
+∫ (tomandon=4)
SoluciónTenemos∆x b a
n= − = − = 10 0
101
Además,eláreaencuestiónestábajolacurva yx
=+1
4 3,entonceslasabscisasyordenadas
aconsiderarson:
xk 0 1 2 3 4
yk
12
1
5
1
2 3
1
31
1
2 17
Luego,porfórmula:
dxx4
13
1 12
45
13
431
12 17
133 706
1 235
3
40
+∫ ≈ ( ) + + + +
≈ ( )≈
.
.
x dx3100
13
1 0 4 1 2 8 4 27 2 64 4 125 2 216 4 343∫ ≈ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ++ ( ) + ( ) +( )
≈ ( )≈
2 512 4 729 1000
137500
2500
121TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
HallaunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladeSimpson.
1.x
xdx
4 23
6
+∫ (tomandon=6)
2.x
xdx
5 32
4
+∫ (tomandon=4)
3. x x dx25 2
0
4−∫ (tomandon=4)
4. 16 2
4
7+∫ x dx (tomandon=6)
5.x
xdx
3
32
5
1+∫ (tomandon=6)
Área y área entre dos gráficas
Yaconocesvariosprocedimientosparaevaluaraproximadamentelaintegraldefinida:
f x dxa
b ( )∫apartirdeaproximareláreaentrelacurvay=f(x),elejedelasxylasrectasx=ayx=b,és-tosson,porlímitedesumasdeRiemann,fórmuladetrapeciosyfórmuladeSimpson.Asítambién,hasaplicadoelteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarintegralesdefinidas,obteniendoconésteunresultadoexacto.Sinembargo,aúnnohasdeterminadoespecíficamentelasáreascontanimportanteteorema,aplicaciónquesehareservadoparaabordarlaenestemo-mento.
Parahallarelárealimitadaporlacurvadeunafuncióncontinuay=f(x)enunintervalo[a,b],elejedelasabscisasylasrectasx=ayx=baplicandoelteoremafundamentaldelcálculo,debeconsiderarsesilasfuncionesson:nonegativas f x( ) ≥( )0 ,nopositivas f x( )( )≤ 0 ,obien,to-manvalorestantopositivoscomonegativosycero.Además,cadavezqueseafactible,debere-presentarsegráficamenteeláreacorrespondienteantesdeaplicarelteoremafundamentaldelcálculo.Observalosejemplos:
Hallarlasáreasqueseindicanaplicandoelteoremafundamentaldelcál-culo.Hacerpreviamentelarepresentacióngráfica.
Enlosejemplosdel1al3,setienef(x)≥0,esdecir,elárealimitadaporlacurvaestáporencimadelejex.
122 UNIDAD III
1. Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuacióny=x2,elejexylasrectasx=1yx=3.
SoluciónRepresentamosestaáreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:
A x dx= ∫ 2
1
3
EncontramosunaantiderivadaF(x):(integracióninmediata)
F x x dx x( ) = =∫ 23
3Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida...listo,he-mosencontradoeláreadeseada.
A x dx x= =
= ( )
− ( )
∫ 2
1
3 3
1
3 3 3
333
13
= − = =9 13
263
8 6 2. u
2. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x4–2x3+5,elejexylasrectasx=–1yx=2.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente:
A x x dx= − +( )−∫
4 3
1
22 5
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F x x x dx x x x( ) = − +( ) = − +∫ 4 35 4
2 55 2
5
Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamen-taldelcálculo:
A x x dx x x x= − +( ) = − +
= ( ) − ( ) + ( )
−−
∫ 4 3
1
2 5 4
1
2
5 4
2 55 2
5
25
22
5 2
−−( ) −
−( ) + −( )
= + = =
15
12
5 1
425
5710
14110
14 1
5 4
2. u
123TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
3.Hallarelárealimitadaporlacurvay=ln(x+3),elejexylasrectasx=–2yx=0.
SoluciónRepresentamoseláreaporla integraldefinidacorrespondiente, lacual,paraestecasoes:
A x dx= +( )−∫ ln 32
0
EncontramosunaantiderivadaF(x),(integraciónporpartes)
F x x dx x x x( ) = +( ) = +( ) +( ) −∫ ln ln3 3 3
Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo:
A x dx x x x= +( ) = +( ) +( ) −
= ( ) +( ) ( ) +( ) −
−−∫ ln ln
ln
3 3 3
0 3 0 3 0
2
0
2
0
− −( ) +( ) −( ) +( ) = [ ]− +[ ] = − =
2 3 2 3
3 3 1 2 3 3 2 1 296 2
ln
ln ln ln . u
Evaluamosestaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo,deestamanrahemosencontradoeláreadeseada.
A x dx x= =
= ( )
− ( )
= − =
∫ 2
2
3 3
1
3 3 3
333
13
9 13
263
== 8 6 2. u
Enlosejemplos4y5setienef(x)≤0,esdecir,elárealimitadaporlacurvaestápordebajodelejex.
4. Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuacióny=–x2,elejexylasrectasx=–2yx=2.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:
A x dx= − −−∫
2
2
2
124 UNIDAD III
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F dx xx x( ) = = −−∫ 2
3
3Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida,asíhe-mosencontradoeláreadeseada.
A x dx x= − − = − − = − − − −−∫
( )
−( )
−
2 3
2
2
2
2
32 3
32 3
3
= − − − = − − = =( ) ( )83
83
163
163 5 3 2. u
5. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x4-3x3+x–3yelejex.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente:Loslímitesdeintegraciónsonlassoluciones(ceros,raíces)delaecuaciónx4–3x3+x–3=0,quesonx=–1yx=3.Así,
A x x x dx= − + −− ( )−∫ 4 33 3
1
3
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F x x x x dx x x x x( ) ( )= − + − = − + −∫ 4 35 4 2
3 35
34 2
3
Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo:
A x x x dx x x xx= − − + − = − − + −
= −
( )
( ) −
−∫ −
4 3 5 4 2
1
33 3 5
34 3
1
3
2
3 5
53 33 4
43 2
23 3
1 5
53 1 4
41 2
23 1( ) +( ) − ( )
−( ) −−( ) +
−( ) − −( )
−
= − − − = − − = =33320 20
965
965
19 251 2. u
Enlosejemplos6y7,lasfuncionestomanvalorestantopositivoscomonegativos,esdecir,elárealimitadaporlacurvatieneregionesporencimaypordebajodelejex.
Enestecaso,esnecesariocalcularlasáreasdecadaunadelasregionesyluegosumarlas.
125TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
6. Hallarelárealimitadaporlacurvay=cosx,elejexylasrectasx=0yx=2.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:
A x dx x dx x dx= − +∫ ∫ ∫cos cos cos/
/
/
/0
2
2
3 2
3 2
2π
π
π
π
π
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F dx xx x( ) = =∫ cos senComolasdosregionespositivassonigualesenvalorabsolutoalaregiónnegativa,bastaráevaluarunaregiónpositivaymultiplicarlaporcuatro,aplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.
A x dx x= = = −∫
4 4 4 20
2
02
0cos/ /π π πsen sen sen
= − ={ }4 1 0 4 2u
7. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x3–6x2+8xyelejex.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:
A dx dxx x x x x x= −− +( ) − +( )∫ ∫3 6 2 8 3 6 2 80
2
2
4
126 UNIDAD III
EncontramosunaantiderivadaF(x),(integracióninmediata)
F x x x x dx x x x( ) = − +( ) = − +∫ 3 24
3 26 84
2 4
Comolaregiónpositivaesigualenvalorabsolutoalaregiónnegativa,bastaráevaluarlaregiónpositivaymultiplicarlapordos,aplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.
A x x x dx x x x= − +( ) = − +
= ( ) − ( ) + ( )
∫2 6 8 24
2 4
224
2 2 4 2
3 2
0
2 43 2
0
2
43 22
43 2
2
04
2 0 4 0
2 4 8
− ( ) − ( ) + ( )
= ( ) = u
Representarlasregionesdelplanolimitadasporlascurvasdadasyhallardichasáreasaplicandoelteore-mafundamentaldelcálculo.
1. y=x2,elejexylasrectasx=2yx=4
2. y=x3,elejexylasrectasx=1yx=3
3. y=x3,elejexylasrectasx=1yx=3
4. y=4x,elejexylasrectasx=–2yx=0
5. y=–x2+x+2,elejexylasrectasx=–1yx=2
6. y x= +12 cos ,elejexylasrectasx=0yx = 43
π
7. y=ln(x+5),elejexylasrectasx=–4yx=5
8. y=xex,elejexylasrectasx=0yx=1
9. y=tanx,elejexylasrectasx = − π4 yx = π
4
10.y=lnx,elejexylasrectasx=0yx=e
11. y xx
= −−
3 242 ,elejexylasrectasx=–1yx =
23
12. yx
=−1
8 3,elejexylasrectasx=–2yx=0
127TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Hastaelmomentoconoceselprocedimientoparahallareláreadeunaregiónlimitadaporlacurvay=f(x)porarribaydebajodelejex.
Ahora,hallaremoseláreadelaregiónlimitadaporlacurvax=g(y),elejeyylasrectasy=cyy=ddeterminadaaladerechadelejey,aplicandonuevamenteelteoremafun-damentaldelcálculo.Dichaáreaserádeterminadadeformasimilaraloantesvisto,que-dandoexpresadalaintegraldefinidaparaestecasocomo:
A g y dyc
d= ( )∫
Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuaciónx=4–y2,elejeyylasrectasy=–1yy=2,aplicandoelTeoremaFundamentaldelCálculo.Hacerpreviamentelarepresentacióngráfica.
SoluciónRepresentamos esta áreapor la integral definida correspondiente, la cual, para estecasoes:
A dyy= −( )−∫ 4 2
1
2
EncontramosunaantiderivadaG(y)(integracióninmediata):
G dy y yy y( ) = = −−( )∫ 4 2 4 3
3
Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida.Nueva-mente,asíencontramoseláreadeseada.
A x dx y y= −( ) = −
= ( ) − ( )
− −( ) −−
−−
∫ 4 2 43
4 223
4 11
1
2 3
1
2
3 (( )
= + = =
3
2
3
163
113
273
9 u
Representarlasregionesdelplanolimitadasporlascurvasdadasyhallardichasáreasaplicandoelteore-mafundamentaldelcálculo.
1. x=8+2y–y2,elejeyylasrectasy=–1yy=3
2. x=1+y2,elejeyylasrectasy=–3yy=3
128 UNIDAD III
3. x=y3+1,elejeyylasrectasy=0yy=2
4. x=3–y2,elejey
5. x=6y2–y4,elejeyylasrectasy=–2yy=2
6. x y= +2 4,elejeyylasrectasy=–2yy=4
Áreadelcírculoporintegración.
Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesrealicenlosiguiente:
1. Grafiquen en el plano, el círculo cuya ecua-cióndesucircunferenciaesx2+y2–25=0.
2. Determinen una integral definida adecuadaqueloslleveaprecisareláreadedichocírculo(elijanhallarprimerolamitadolacuartapartedelcírculoyapartirdeellodetermineneláreatotal.
Área del círculo hallada por integración:
3. Tambiéncalculeneláreadelcírculomediantesufórmulageométrica(elijanlafórmulaapar-tirdelradioodiámetro).
Áreadelcírculo,halladaapartirdesufórmulageométrica:
4. Verifiquenqueelresultadodelpaso3y4eselmismo.
5. Comentenenplenarialoqueaprendieronconestaactividad.
Otraáreaquedeterminaremosesladeunaregiónlimitadaporlascurvasdedosfunciones,endosposiblescasos:cuandonosecortanlascurvas,endondelaregiónselimitaporlasdosgrá-ficasylasrectas,ycuandosecortanlascurvas,endondedebendeterminarsepreviamentelasinterseccionesdetalescurvas.Primerograficaremoseláreacorrespondienteydespuésaplica-remoselteoremafundamentaldelcálculo.
Laintegraldefinidacorrespondientealáreaquesevaadeterminarseobtienedelasiguientemanera:
AActividad
129TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
SiAeselárealimitadaporarribaporlagráficadelafuncióncontinuaf(x),pordebajoporlafuncióncontinuag(x),dondef(x)≥g(x)en[a,b]yporlasrectasx=ayx=b,comosemuestraenlafigura,entonces:
A=Áreabajof(x)–Áreabajog(x)
A f x g x dxa
b= −( ) ( ) ∫
SiAeseláreaencerradapordosfuncionescontinuasf(x)yg(x)quesecortanenlosextre-mosde[a,b],comosemuestraenlafigura, debendeterminarsepreviamentelasinterseccionesdetalescurvascuyas,abscisassonloslímitesdelaintegraldefinidaqueigualmentequedade-terminadapor:
A f x g x dxa
b= −( ) ( ) ∫
SiAeseláreaencerradapordosfuncionescontinuasf(x)yg(x)quesecortanen[a,b],comosemuestraenlafigura, entoncessesumanlasáreasdelossubintervalosdeterminadosporlasabscisasdelospuntosdeintersección.
A f x g x dx f x g x dxa
c
c
b= − + −( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫
130 UNIDAD III
Observalosejemplos:
Hallarlasáreasqueseindicanaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.Hacerpreviamen-telarepresentacióngráfica.
1. Hallareláreadelaregiónlimitadaporlasgráficasf(x)=2x+1yg(x)=x2–4ylasrectasx=1yx=2.
SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:
A x x dx
x x dx
= + − −
= − + +
( ) ( )
( )∫∫
2 1 4
2 5
2
2
1
2
1
2
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F x x dx x x xx( ) ( )= − + + = − + +∫ 23 22 5 3 5
Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinidatenemos:
A x x dx x x x= − + +( ) = − + +
= − ( ) + ( ) + ( )
∫ 2
1
2 32
1
2
32
2 53
5
23
2 5 2
− − ( ) + ( ) + ( )
= − = =
13
1 5 1
343
173
173
5 66
32
2. u
131TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
2. Hallareláreadelaregiónencerradaporlasgráficasf(x)=2x–1yg(x)=x2–4
SoluciónDeterminamoslasinterseccionesdelasfunciones:
Resolviendoelsistema:2 1 0
4 02
x
x
− =
− =
Tenemos:
x x
x xx x
2
2
4 2 1
2 3 0
1 3 0
− = −
− − =+( ) −( ) =
Dedondex=–1yx=3
Luego,elárearepresentadaporlaintegraldefinidaes:
A x x dx
x x dx
= − − −
= − + +
( ) ( )
( )−
−
∫∫
2 1 4
2 3
2
2
1
3
1
3
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F x x dx x x xx( ) ( )= − + + = − + +∫ 23 22 3 3 3
Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinidatenemos:
A x x dx x x x= − + + = − +
= − + +
( ) +
( ) ( ) ( )
−∫ 22
3 2
2 3
3 3
1
3 3
32 3
1
33 3
−( ) −( ) −( )
− − + +
= + = =
11 1
5
3 23 3
9 3323 10.666 2u
3. Encontrareláreadelaregiónencerradaentrelasgráficasdelasfunciones:
f(x)=x3–3x+3yg(x)=x+3
SoluciónDeterminamoslasinterseccionesdelasfunciones:
132 UNIDAD III
Resolviendoelsistema:
x xx
3 3 3 03 0
− + =+ =
Tenemos:
x x x
x x
x x
3
3
2
3 3 3
4 0
4 0
− + = +
− =
−( ) =
Dedondex=0,x=2yx=–2
Luego,elárearepresentadaporlaintegraldefinidaes:
A x x x dx x x x dx
x x
= − +( ) − +( ) + − +( ) − +( )
= −
−∫ ∫3
2
0 3
0
2
3
3 3 3 3 3 3
4(( ) + −( )−∫ ∫2
0
0
2 3 4dx x x dx
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):
F x x x dx x x( ) = −( ) = −∫ 3 44
24
2
Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinidatenemos:
A x x dx x x dx
x x x x
= − + −
= − − −
( ) −( ) ( )
−∫ ∫
−
3 3
2
2
02
4 4
2 2
2
0
0
2
4
4
4
4
( ) − ( )
−( ) − −( )
= −
0
2
0 4
42 0 2
2 4
42 2 2
( ) − ( )
( ) − ( )
− −
=
2 4
42 2 2
0 4
42 0 2
4 ++ =4 8 2u
I. Representarlasregionesdelplanosegúnseindicayhallardichasáreasaplicandoelteoremafunda-mentaldelcálculo.
1. Limitadaporf(x)=x2+2,g(x)=1–xylasrectasx=0yx=1
2. Limitadaporf(x)=–x2,g(x)=1ylasrectasx=1yx=3
3. Limitadaporf(x)=x+2,g(x)=x2–4ylasrectasx=–1yx=2
4. Limitadaporf(x)=–x2+3,g(x)=–x+3ylasrectasx=0yx=2
133TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
5. Limitadaporf(x)=x2+1, g x x( ) =13
3ylasrectasx=–1yx=2
6. Limitadaporf(x)=ex, g x x( ) = 1 ylasrectasx=1yx=2
7. Limitadaporf(x)=senx,g(x)=cosxylasrectasx=0yx =π4
8. Encerradaentref(x)=–x2+6x+5yyg(x)=x2+5
9. Encerradaentref(x)=6x–x2yg(x)=x2–2x
10.Encerradaentref(x)=x4–4x2yg(x)=x2
II. Encuentraeláreadelaregiónsombreada.
1. 2.
3. 4.
134 UNIDAD III
3.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Laaplicaciónesencialdelaintegraldefinidaesencontrareláreadeunaregiónenelplano;deésta se derivan otras aplicaciones más, comoson: la longitud de arco, el volumen del sóli-doderevoluciónyeláreadeunasuperficiederevolución,mismasqueestudiaremosaconti-nuación.
Dada una función f (x) derivable en [a, b]. LalongitudLdelacurvadef(x)consideradades-de a f a, ( )( )hastalallamadalongitud de arco, estádadaporlafórmula:
Fórmuladelalongituddearco:
L f x dxa
b= + ( )( )∫ 1 2'
Prestaatenciónalejemplo:
Hallarlalongituddearcodelacurvaf(x)=x3/2desdex=0hastax=4.Hacerlarepresentacióngráfica.
SoluciónCalculamosf'(x):
f x x x'( ) = =32
32
12
Aplicandolafórmuladelongituddearco,tenemos:
L x dx dxx= + = +
∫ ∫ 1 3
2 1 94
2
0
4
0
4
EncontramosunaantiderivadaF(x)(integraciónporsustitución):
F x x dx x
x
( ) = +
⋅ = ⋅ +
= +
∫49
1 94
94
4923
1 94
827
1 94
12
32
32
Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinida:
135TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
L x dx x= + = +
= + ( )
∫ 1 94
827
1 94
827
1 944
0
432
0
4
3
2232
32
827
1 94
0
827
10 827
1
− + ( )
= ( )
− (( )
= −( ) = ( ) =
32
827
10 10 1 827
30 62 9 073. . u
Hallalalongituddelarcoqueseindicadelassiguientescurvasytrazasugráficacorrespondiente.
1. f(x)=2x2/3desdex=0hastax=8
2. f xx
x( ) =
+4 32
desdex=1hastax=3
3. f x x( ) = −2desde(2,0)hasta(11,3)
4. f(x)=x2–lnxdesde(1,1)hasta(3,8)
5. f(x)=2cosx+xdesdex=1hastax=2
¿Hasvistocómosehaceunjarróndebarrousandoeltorno?
Puesbien,eltornoempleadoconsistedeunejeverticalcolocadoaunplatoho-rizontal,enelcualelalfareroponelamasadearcillayhaciéndologirarmoldealapiezadeseada.
Lafabricacióndeestapiezadeartesaníaejemplificaunsólidoderevolución.
Veamos:
Unsólido de revoluciónseobtienealgirarunaregiónplanaalrededordeunarectaquenosecortaconlaregión,demodoquecadapuntodeéstadescribeunacir-cunferenciaaldarunavueltacompleta(aquíenlugardeusarrectánguloscomoenáreacon-sideramosdiscosdeespesorh).La rectasobre lacualocurre la rotaciónsedenomina eje de revolución.
Loscilindros,conosyesferassonloscuerposderevoluciónmásconocidos,ylasregionesge-neradorasdeéstossonrectángulos,triángulosysemicírculosrespectivamente.
136 UNIDAD III
Elvolumende estos cuerpos sehadeterminadomedianteprocedimientospropiosde lageometríaplana.Ahoraveremosunaformageneraldecalcularéstosyotroscuerposdere-volución.
Sif(x)esunafuncióncontinuatalquef(x)≥0en[a,b]yconsideramoslaregiónbajolagráfi-cadef,porencimadelejex,yentrelasrectasx=ayx=blahacemosgirarentornodelejexseformaunsólidoderevolución,cuyovolumensedeterminaporlafórmula:
Fórmuladeldiscoparadeterminarelvolumendelsólidoderevolución:
V f x dxa
b= ( )( )∫ π 2
Sig(y)esunafuncióncontinua,seconsideralaregiónbajolagráficadeg,aladerechadelejey,yentrelasrectasy=cyy=dsehacegirarentornodelejey,formándoseunsólidoderevolucióncuyovolumensedeterminaenesteotrocasoporlafórmula:
Fórmuladeldiscoparadeterminarelvolumendelsólidoderevo-lución:
V g y dyc
d= ( )( )∫ π
2
Elcálculodelvolumendeunsólidoderevolucióngeneradoporlasregioneslimitadasdedosfuncionessedeterminarestandolossólidosderevolucióngeneradosporcadaunadedichasregiones.
137TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Fórmulasconocidasdevolumenporintegración.
Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesdeterminenelvolumensegúnsepide,aplicandolafórmu-laanterior.
1. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendeuncilindrocircularrecto.ConsiderarquesegeneraporelrectánguloOABC,comosemuestraenlafigura:
2. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendeunconorecto.SedebeconsiderarquesegeneraporuntriángulorectánguloOAB,comosemuestraenlafigura:
3. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendelaesferaderadior.Hayqueconsiderarquesege-neraporunsemicírculo,comosemuestraenlafigura:
4.Comparensussolucionesenplenaria.
AActividad
138 UNIDAD III
TambiénpuedehallarselasuperficieSderevolución;esdecir,lasuperficieexternadelsólidoderevolucióndadaslasfuncionesentérminosdex f x( )( )oentérminosde y g y( )( )me-diantelasfórmulas:
Fórmuladeunasuperficiederevolución:
S f x f x dxa
b= ( ) + ( )( )∫ 2 1
2π '
y
S g y f y dyc
d= ( ) + ( )( )∫ 2 1
2π '
Elsiguienteejemplomuestracómodeterminarvolumenyáreadeunsólidoderevolución.
Hallarelvolumenyáreadel sólidode revolucióngene-
radoporlaregiónlimitadaporlacurva y f x x= ( ) = 13
3,desdex=0hastax=3alrededordelejex.
SoluciónParaencontrarelvolumen:
Determinamos la integraldefinida, la cual apartirde lafórmulasetiene,
V f x dx x dx x dxa
b= = =( )( ) ( )∫ ∫ ∫ π π π2
2
0
3 6
0
313 9
3
Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculotenemos:
V x dx x= =
= ( )
− ( )
∫ π π π
9 9 7 937
07
6
0
3 7
0
3 7 7
=
= =π π921877
2437
109 058 3. u
Parahallareláreaexteriordelsólido:
Determinamoslaintegraldefinida,lacualconlafórmulaysabiendoquef(x)=x2setiene:
S f x f x dx x x dx
x x d
a
b= ( ) + ( )( ) = + ( )
= +
∫ ∫
∫
2 1 2 13
1
23
1
2 3 2 2
0
3
3 4
0
3
π π
π
'
xx
139TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
Integrandoporsustitución:
x x dxx3 44
32
11
6+ =
+( )∫
Yaplicandoelteoremafundamentaldelcálculotenemos:
S x x dxx
x= + =+( )
= +( )
∫23
1 23
1 4
6 913 4
0
3
32
0
3
432π π π
= + ( )( ) − + ( )( )
= −( ) =
0
3
432 4
32
91 3 1 0
982 82 1 258 846π π . u
I. Hallaporintegraciónelvolumendelsólidoderevolucióngeneradohaciendogiraralrededordelejexlaregiónlimitada,segúnseindica.Construirlagráfica.
1. y=x3,elejex,x=0yx=2
2. y=6–x,elejex,x=0yx=2
3. y=senx,elejex,x=0yx=
4. y=cos2x,elejex,x =π4yx =
34π
5. y=e–x,elejex,x=0yx=5
II. Hallaporintegraciónelvolumendelsólidoderevolucióngeneradohaciendogiraralrededordelejeylaregiónlimitada,segúnseindica.Construirlagráfica.
6. y=x3,elejex,x=0yx=2
7. y x= 8 ,elejex,x=0yx=2
8. y x= −4 ,elejex,x=0yx=4
9. x y= −3 ,elejey,y=0yx=3
10.y=ex,elejex,x=0yx=2
11.Seperforaunhoyode1cmderadioenunaesferasólidade3cmderadio,sielejedelhoyoeseldiá-metrodelaesfera,hallarelvolumenrestantedelaesfera.
140 UNIDAD III
12.Elconodelanarizdeuncoheteparaboloideobtenidomediantelarotacióndelacurvaes y x= yelejex,x=0yx=5alrededordelejex. Calculaelvolumendelanarizdelcohete.
III.Hallalalongituddearcodelacurvaqueseindica.
13. y x= −( )ln 1 3 desdex=0hastax =12
14.y=4x–x2porencimadelejex
15.y=senxdesdex=0hastax=
16.Hallaeláreadelasuperficiequesegeneracuandoelarcodelaparábolay=x2desdex=2hastax=2giraalrededordelejey.
17.Hallarelárealateraldelconotruncadoqueseobtienecuandoelsegmentodelarecta2y=x–4des-dex=0hastax=5giraalrededordelejex.
Aplicaciones de la integral definida en situaciones propias de las ciencias naturales y sociales
Conloscontenidosquesehanestudiadopuedessolucionarsituacionesprácticasycientíficasquerequieranuncálculoapartirdelaintegraldefinida.
¿Cuándoaplicolaintegraldefinida?
Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesdeterminenlasoluciónalossiguientesproblemas.
1. Unapelotadefutbolamericanotiene16pulgadasdelargoyunasecciónplanaquecontieneunacos-tura;esunaelipsecuyodiámetromenoresde8pulgadas.Hallarsuvolumenylacantidaddecueroqueforrasuexterior.
2. Hallarlacantidaddematerialqueserequiereparafabricarunafigurasólidacomosemuestraenlafigu-
ra,sabiendoque f x sen x( ) ( )= − +13
1 2.Sisepintacompletamente,¿cuántapinturasenecesitará?
AActividad
141TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
3. Silafiguradelproblemaanteriorrepresentaunjarrón,¿cuálessucapacidad?Sieljarrónestáfabri-cadodebronce,previainvestigacióndelpreciodeestemetal,calculenelcostodelacantidaddeco-breempleado.
4. LavelocidaddeunapartículaenmovimientoesV ( t ) =2 t 2– 5 t enm/s.Encuentralafunciónquedescribesudesplazamientoyladistanciarecorridaenelintervalodetiempo[1,4].
5. UnaciertapoblaciónanimalcrecearazóndeP'(t)=200+50talaño(testámedidaenaños).¿Cuán-tocrecerálapoblaciónentreelcuartoyelnovenoaños?
6. Investiguenpreviamente,deformaindividualunproblemaresueltoenelcualseapliquelaintegraldefinida,conjúntenlosporequipoyanalicensusolución.Formenconellosunproblemariogrupaldemaneraqueseentregueacadaalumno.
7. Elijanalazarunalumnoqueexpongalasolucióndealgunodeestosproblemas.
142 UNIDAD III
I. Escribeenlalínealoquesepide.
1. Elteoremafundamentaldelcálculo:
2. Lafórmulaparadeterminarlalongituddeunarcoenunacurvadada:
3. Lafórmulaparadeterminarelvolumendeunsólidoderevolución:
4. Lafórmulaparadeterminareláreadeunsólidoderevolución:
5. Lalongituddelintervalo[1,5]:
6. Lalongituddecadasubintervaloresultantededividirelintervalo[1,5]en5partesiguales:
II.Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresulta-docorrecto.Elaborasucorrespondientegráfica.
1. ¿Cuáleselárealimitadaporlahipérbola yx
= 9 ,elejedelasxylasrectasx=3yx=6?
a) ln3u2 b) ln6u2 c) 6ln3u2 d) 9ln2u2
2. ¿Cuáleslasuperficielimitadaporlascurvasy2=4xy2x–y–4=0?
a) 9u2 b) 8u2 c) 12u2 d) 16u2
143TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA
3. ¿Cuáleselvolumendelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejexlaregiónli-mitadaporlacurva2y2=x3,elejexylarecta=2?
a) 1/4u3 b) 4u3 c) 2u3 d) u3
4. ¿Cuáleselvolumendelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejeylaregiónli-mitadaporlacurvay=x3,elejexylarectax=2?
a) 65u3 b) (64/5)u3 c) (65/4)u3 d) 45u3
5. ¿Cuáleslalongituddelarcodelaparábola y x= 16
2desde(0,0)hasta(4,8/3).
a) 4.98u b) 4.89u c) 5.19u d) 3.14u
6. ¿Cuáleseláreadelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejeylaregiónlimitadaporlacurvay=x2desdey=0hastay=2?
a) 4u2 b) 3.5u2 c) (13/3)u2 d) (15/4)u2
AyresFrank,Jr.yElliotMendenlson(2001).Cálculo.Schaum.México,McGraw-HillInteramericana.
Garanville,WilliamAnthony(1981).Cálculo diferencial e integral.4ªed.México,Limusa.
Salazar Vázquez, Pedro y Jesús Lozada Hernández Jesús (1997).Matemáticas VI. México, sec.
Stewart,J.(2001).Cálculo, conceptos y contextos.México,ThomsonLearning.
Swokowski,EarlW.yYeffreyA.Cole(1997).Cálculo con geometría analítica.México,Ibe-roamericana.
Zill,DenissG.(1987).Cálculo con geometría analítica,México,Iberoamericana.
Prepárate para la prueba ENLACE y el examen de ingreso a la universidad
Contestaexclusivamentelahojaderespuestasqueseanexaalfinaldeestaprueba,seleccionan-dolaopcióncorrectadecadareactivo.
1. Eselresultadodelaoperación −
+ −
23
32
54
32es:
a) 4/5 b) –4/5 c) 7/4 d) –7/4 e) –5/4
2. Eselresultadodelaoperación −
+ −
+ −( )53
95
65
32
36 2 3 72 3
2 2 es:
a) 125/243 b) 5/9 c) 243 d) 216/5 e) 368/729
3. ¿Cuállistamuestralosnúmeros58,23y45ordenadosdemayoramenor?
a)23,45,58 b)
58,23,45 c)
45,23,58 d)
23,58,45 e)
58,45,
33
4. ¿Quéresultadoseobtienealconvertir30°30’15”aradianes?
a) 0.5324rad b) 0.5288rad c) 1736.14rad d) 0.2448rad e) 0.0543rad
5. Laraízcúbicade125es:
a) –5 b) –25 c) 62.5 d) 5 e) 12.5
6. Simplificalaexpresión 625.
a) 25 b) 252 c) 25 d) 312.5 e) 5 125
7. ¿Cuálexpresiónescorrecta,sia>b,cona,bycnúmerosreales?
a) a<b b) a>b+c c) a+c>b+c d) a>bc e) ac<b+c
8. Lasumadelostresángulosexterioresdecualquiertriánguloes:
a) 360º b) 90º c) 180º d) 45º e) 270º
9. 82/3esiguala:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32
10.Laexpresión(2xy+4x–6y)0esequivalentea:
a) 0 b) 1 c) Infinito d) Nodefinido e) xy
11.Eláreadelcírculocuyoradioes1/3mayorqueelotrocuyodiámetroes30cmes:
a) 400cm2 b) 40cm2 c) 1600cm2 d) 100cm2 e) 45cm2
12.Ladiagonaldeunrectángulodebase4cmmide5cm¿Cuálessualtura?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13.Laexpresión(–512)1/3esiguala:
a) 8 b) –8 c) 12 d) –12 e) 170.6
14.Lamediaaritméticadelascalificacionesdeunalumnoes8.4,silasumadelascalificacionesdetodassusmateriasesde67.2.¿Cuántasmateriascursóelalumno?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15.Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó$27ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41ycompróuncarameloydoschocolates¿CuántogastóHugosicompróuncara-melounapaletayunchocolate?
a) $15 b) $32 c) $34 d) $16 e) $36
16.Uncorredorclasificadodaaotrounaventajade15m.Silavelocidaddelprimeroesde8m/syladelsegundoesde7m/s.¿Aquedistanciadesulugardearranqueelsegundoco-rredorseráalcanzadoporelprimero.
a) 75m b) 120m c) 45m d) 105m e) 15m
17.Unamáquinaelaboraciertonúmerodepiezasplásticasenrelaciónlinealaltiempoquefun-cione.Sien1horaproduce4piezasyen3horas10piezas,¿cuántaspiezassefabricanen2horas?
a) 6piezas b) 7piezas c) 2piezas d) 5piezas e) 4piezas
18.Eltotaldeempleadosdebaseyeventualesenunaempresaes120,dedonde40soneven-tuales.¿Aquéporcentajedeltotalequivalenteelnúmerodeempleadosdebase?
a) 66.06% b) 66.66% c) 66% d) 33.33% e) 33%
19.Jorgetieneunterrenoenformacuadradaconunáreade289m2,quequiereemplearcomocorral.¿Cuántosmetrosdealambredepúatienequecomprarparapodercercarloscuatrolados?
a) 68m b) 72.25m c) 52m d) 76m e) 17m
20.Unatiendaderopaofreceel40%dedescuentoenlascamisas.SiRicardoaprovechalaofer-tacomprandounacamisaen$180.00,¿cuántoseahorroRicardoencomparaciónalprecioqueteníalacamisaantesdeldescuento?
a) 108 b) 120 c) 450 d) 220 e) 300
21.LaseñoraClaraledejaunanotaasuhijaPaolaparaquevayaalminisuperacomprarlone-cesarioparalacena.Enlanotasetienelasiguientetabla:
Producto Cantidadrequerida Costo
Tortilladeharina 2bolsas(10pzas.) $12.00c/uQuesodehebra $60.00kg
Jamón $50.00kgPandulce 12pzas. $4.50c/u
SiseledejaaPaola,unbilletede$200.00pararealizarlascompras.¿Cuántorecibirádecam-bioalrealizarlascompras?
a) $67.00 b) $73.50 c) $79.50 d) $91.50 e) $98.00
22.Unamáquinaelaboraembasesdeplásticopararefrescoenrelaciónlinealaltiempoquefun-cione.Sien1minproduce10embasesyen5minproduce50embases.¿Cuántosembasessefabricanen1horas?
a) 30embases b) 60embases c) 200embases d) 600embases e) 300embases
23.Gabrielaasisteauncongresopor6díasalpuertodeCancún,paralocualhacesuequipajecon3faldas,4blusasy2sacoscombinablesentresíyapropiadosalclimaquesepronosti-ca.Sideseacambiarsecadadíaigualnúmerodevecessinrepetirlacombinación,siendoestade3piezascadavez.¿Cuántasvecespodrácambiarsealdía?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12
24.Karengasta al comprar10dulces y5 chiclesdeunmismo tipo respectivamente$60.00¿Cuántocuestandeestos,2dulcesy1chicle?
a) $5.00 b) $6.00 c) $10.00 d) $12.00 e) $15.00
25.Unallavellenacompletamentedeaguauncontenedoren40minutos,otrallenaelmismoen60minutos;sinohaypérdidadelíquidoenelproceso.Otrallave,conectadaparaeldes-agüe,vacíaelaguadelcontenedorllenoen2hrs.¿Cuántotardaríaelcontenedorvacíoenllenarsesiambasllavesyeldesagüeestánabiertasalmismotiempo?
a) 10minutos b) 20minutos c) 30minutos d) 45minutos e) 60minutos
26.Unincendioocurreenunapapeleríaubicadaa2kmalestey5kmalsurdelaestacióndebomberos.Elradiodeafectacióndelaexplosiónesde1km.Laecuaciónquedescribeelperímetrodeafectacióndelaexplosiónes:
a) x y x y2 2 4 10 28 0+ − + + = b) x y x y2 2 2 5 28 0+ − − + = c) x y x y2 2 2 5 30 0+ + + + = d) x y x y2 2 4 10 28 0+ + − + = e) x y x y2 2 4 10 30 0+ + − + =
27.¿Cuáleselradiodelacircunferenciadescritaporlaecuación3x2+3y2–3=0?
a) –3 b) 3 c) 0 d) 2 e) 1
28.¿Quéelementodacontinuidadalaserie: ?
a) b) c) d) e)
29.¿Cuáleslaopciónquepresentaelconjuntodecuerposgeométricosqueconformanlafigura?
a)
b)
c)
d)
e)
30.Karimeestáarmandounrompecabezasenformahexagonal.Sillevaarmadalaparteblan-
caqueequivalea1518,¿cuáldelasfigurasrepresentalacantidadquellevaarmada
a)
b)
c)
d)
e)
31.¿Quénúmeroeselquesigueenestasucesión:1,3,6,10,15,
a) 21 b) 24 c) 40 d) 18 e) 36
32.¿Quénúmeroeselquesigueenestasucesión:2,5,10,17,28,41,…
a) 49 b) 55 c) 58 d) 56 e) 60
33.Lafactorizacióndeltrinomio21x2+8x–45es:
a) (3x+5)(7x+9) b) (3x–5)(7x–9) c) (3x+5)(7x–9) d) (3x+15)(7x–3) e) (3x–15)(7x+3)
34.¿Cómoserepresentaalgebraicamente“ladiferenciadecubos?
a) (a–b)3 b) b3–a3 c) 3(a–b) d) (a3–b3)3 e) a3–b3
35.¿Quéexpresiónresultaaldesarrollar(x+2)(x2–2x+4)?
a) x3–6 b) x3+6 c) x3–8 d) x3+8 e) x3–4x+8
36.¿Cuáleselresultadodesimplificar2 9 55
2x xx− −
−?
a) 2x+1 b) 2x–1 c) –2x+1 d) –2x–1 e) x+5
37.Almultiplicar(2x+3y)(2x–3y)seobtiene:
a) 4x2+6y2 b) 4x2–6y2 c) 4x2–12xy–9y2
d) 4x2+9y2
e) 4x2–9y2
38.Alfactorizarx3–27seobtiene:
a) (x–3)(x2–3x+9) b) (x+3)(x2–3x+9) c) (x+1)(x2+27) d) (x+1)(x2–27) e) (x–3)(x2+3x+9)
39.¿Quévaloresdexsatisfacenladesigualdad5x+3>8x–6:
a) x<3 b) x>3 c) x<–3 d) x>–3 e) x>–1