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▪Definição;▪Número de diagonais de um polígono convexo;
▪Soma das medidas dos ângulos internos e externos;▪Polígonos Regulares;
▪Relações Métricas em um polígono regular;
Professores: Elson Rodrigues
Marcelo AlmeidaGabriel Carvalho
Paulo Luiz Ramos
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AULA 01
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Existem dois tipos de linhas:
As linhas formadas por CURVAS:
As linhas formadas por segmentos de RETAS:
Linha
Poligonal
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Linhas Poligonais:Com
cruzamento
Sem
cruzamento
Abertas
Fechadas
Formam duasregiões: interna eexterna
Polígono
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Definição de Polígono
Polígono é uma linha poligonal fechada simples.
Um polígono pode ser
Convexo ou Não-convexo.
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Polígono ConvexoÉ aquele no qual QUALQUER segmento de reta formado pela união
de dois pontos do seu interior fica inteiramente contido nele.
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Polígono Não- ConvexoÉ aquele no qual é possível encontrar dois pontos internos tais que o
segmento de reta que os une não fica contido inteiramente no seu interior.
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Nomenclatura
Observe que o número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do polígono.
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Elementos de um Polígono
Ângulo interno α
Ânguloexterno β
Na figura, α + β = 180º
O ângulo externo é o suplemento do seu respectivo ângulo interno. Assim, temos
ai + ae = 180°No caso,
Vértice
Lado
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Diagonais de um Polígono Convexo
Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.
As diagonais de um polígono convexo sempre sãointernas a ele!!
A
B
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Número de Diagonais de um Polígono Convexo✓ Quantas diagonais saem de cada vértice de um triângulo? E de um quadrilátero? E de um pentágono? E de um hexágono?
✓ Então podemos dizer que de cada vértice de um polígono de n lados saem quantasdiagonais?
✓ É correto afirmar que o número de diagonais que saem de cada vértice é o mesmopara todos os vértices?
✓ As diagonais de um vértice se sobrepõem às de outro vértice? (Isto é, elas serepetem?)
Após essas análises, podemos concluir que o número de diagonais (d) de um polígonode n lados é dado pela fórmula:
2
)3.( −=
nnd
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.1. Calcule o número de diagonais de um:
a) Hexágono;
b) Eneágono;
c) Icoságono.
1.2. Quantos lados tem um polígono com 20 diagonais?
1.3. (Saresp – adaptada) Em uma representação plana, seiscidades estão localizadas no vértice de um hexágono. Há umprojeto para interligá-las, duas a duas, por meio de estradas.Algumas dessas estradas correspondem aos lados dopolígono, e as demais correspondem às diagonais. Nessascondições, quantas estradas devem ser construídas?
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Soma dos ângulos internos de um polígono
Todo polígono pode ser decomposto em triângulosquando traçamos as diagonais que partem de um únicovértice:
Responda:Qual é a relação entre o número de lados do polígono e o número de
triângulos formados pelas diagonais de um único vértice?
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Soma dos ângulos internos de um polígono
4 lados 2 triângulos2 x 180° = 360°
5 lados3 triângulos3 x 180° = 540°
6 lados4 triângulos4 x 180° = 720°
A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;E como cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a
180°, basta multiplicar a quantidade de triângulos por 180°!!Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados é dada pela fórmula:
( )2 180nS n= −
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Soma dos ângulos externos de um polígono convexo ✓Verifique quanto mede a soma dos ângulos externos deum triângulo, de um quadrado e de um hexágono.
✓A que conclusão podemos chegar?
Em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é:
º360=eS
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.4. Calcule a soma das medidasdos ângulos internos de um:
a) Pentágono;
b) Octógono;
c) Icoságono.
1.5. Quantos lados tem umpolígono cuja soma das medidasdos ângulos internos é 720°?
1.6. Calcule o número de diagonaisde um polígono cuja soma dasmedidas dos ângulos internos é3.060°.
1.7. Determine as medidas x, y e z, em graus.
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AULA 02
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Polígonos RegularesPolígonos regulares são aqueles que têm todos
os lados congruentes e todos os ângulos internos de mesma medida;
NOMENCLATURA - O nome de um polígono regular será dado de acordo com o seu número de lados. Veja alguns exemplos a seguir:
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ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR
l
ll
l
ll
Ac
ÂNGULO CENTRAL - O ângulo Ac échamado ângulo central dopolígono regular. Observe que seuvértice é o centro da circunferênciae seus lados passam por vérticesconsecutivos do Polígono.
Ac
nAc
=
360
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ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR
APÓTEMA - Chama-se apótema an de um polígonoregular a distância do centro do polígono regular a umde seus lados.
l
ll
l
ll
a6
a3
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ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULARÂNGULO INTERNO - O ânguloAi é chamado ângulo internodo polígono regular. Observeque todos os ângulos internosde um polígono regular sãocongruentes.
ÂNGULO EXTERNO - O ânguloAe é chamado ângulo externodo polígono regular. Observeque ele é o suplemento doângulo interno.
n
SA i
i =
nAe
=
360
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EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.11) Calcule a medida de um ângulo interno de um:
a) Pentágono regular;
b) Dodecágono regular;
c) Icoságono regular.
2) Quantos lados tem um polígono regular cuja medidade um ângulo interno é 120°?
3) Calcule o número de diagonais de um polígonoregular cuja medida de um ângulo externo é 40°.
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Inscrito ou circunscrito??Depende do referencial!!!Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência. Istoé, o polígono pode ser desenhado “dentro” de umacircunferência com todos os seus vértices pertencentes àcircunferência. Nesse caso, a circunferência está circunscritaao polígono.
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Inscrito ou circunscrito??Depende do referencial!!!
l
ll
l
ll
RR
RR
R
R
Note que o polígono e a circunferência possuem o mesmocentro.Observe que o raio R vai do centro da circunferência a um dosvértices do polígono.
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Inscrito ou circunscrito??
l
ll
l
ll
APÓTEMA – É a distância do centro dopolígono regular a um de seus lados.
r
POLÍGONO CIRCUNSCRITO - Quando éa circunferência que está do “lado dedentro” do polígono, tangenciando ospontos médios dos lados dele, dizemosque o polígono está circunscrito àcircunferência.
É importante notarmos que também podemos desenhar o polígono“do lado de fora” da circunferência. Nesse caso, dizemos que acircunferência está inscrita no polígono.
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Se n = 3, a = 30° Se n = 4, a = 45° Se n = 6, a = 60°
AS RELAÇÕES MÉTRICASNOS POLÍGONOS REGULARES
Note que podemos generalizaros triângulos de cada figuraacima, da seguinte maneira:
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EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.2 Determine a expressão que associa
a) a apótema de cada um dos polígonos estudados em funçãoda medida de um de seus lados.
b) a apótema de cada um dos polígonos estudados em funçãodo raio R da circunferência circunscrita ao polígono.
c) a medida de um dos lados do polígono em função do raio Rda circunferência circunscrita ao polígono.
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Polígono
Lado (L) em função
do Raio (R)
Apótema (an) em
função do Raio (R)
Apótema (an) em
função do Lado (L)
Triângulo Equilátero
Quadrado
Hexágono
RELAÇÕES MÉTRICAS - tabela