Teorema de Rolle

Seauna funcin. Supongamos que se verifica:(i) es continua en(ii) es derivable en (iii) Entonces, existe al menos untal que.NotaLos valores decorresponden a los puntos de la grfica de para los cuales la tangente es horizontal.

Ejemplo 1Verificar la validez del Teorema de Rolle para la funcin

en el intervalo. Hallar elo loscorrespondientes.ResolucinVeamos que se verifican las hiptesis del teorema. (i)es evidentemente continua en(teorema de continuidad de las funciones elementales). (ii)es derivable en(teoremas de derivacin de funciones elementales) siendo su derivada. (iii)y, tenemos por tantoComo consecuencia del Teorema de Rolle existe al menos un) tal que Procedamos a hallar estos valores de

Por tantoo. El primerpertenece al intervaloy el segundo, no.Solucin:

Ejemplo 2Verificar la validez del Teorema de Rolle para la funcin en el intervalo. Hallar elo loscorrespondientes.

ResolucinVeamos que se verifican las hiptesis del teorema. (i) Para todo tenemos por tanto est definida en dicho intervalo y es continua por el teorema de continuidad de las funciones elementales. (ii)es derivable en (teoremas de derivacin de funciones elementales) siendo su derivada.(iii) y por otra parte , por tanto.Como consecuencia del Teorema de Rolle existe al menos un tal que . Procedamos a hallar estos valores de:

Este valor de pertenece al intervalo.Solucin:

Ejemplo 3Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar que para todo la ecuacin no puede tener dos soluciones reales.ResolucinSupongamos que la ecuacin dada tuviera dos soluciones reales con. Consideremos la funcin definida en el intervalo. Entonces, tendramos y es claro que cumple las otras dos hiptesis del Teorema de Rolle. En consecuencia existira un tal que, es decir existira un tal que. Pero esto es absurdo pues el primer miembro es un nmero mayor que.Es decir, si suponemos que la ecuacin dada tiene dos soluciones reales llegamos a un absurdo. Se concluye pues que la ecuacin no puede tener dos soluciones reales.

Ejemplo 4Sea una funcin continua que es derivable en y tal que y.(a) Consideremos la funcin definida por. Demostrar que existe un tal que. Deducir que.(b) Demostrar que entre todas las rectas tangentes a la grfica de, al menos una de ellas pasa por el origen de coordenadas.(c) Sea un intervalo que no contiene al. Sea una funcin continua que es derivable en y tal que. Demostrar que existe un tal que la tangente a la grfica de en el punto pasa por.

Resolucin(a) Veamos que la funcin cumple las hiptesis del Teorema de Rolle. (i) es continua en pues es cociente de continuas y el denominador no se anula en(ii) es derivable en.Efectivamente, con en. (iii), es decir. Existe pues tal queComo concluimos que tal que

(b) La ecuacin de la recta tangente a una curva en el punto de abscisa es. Si es el correspondiente al apartado anterior entonces la recta pasa por el origen de coordenadas pues para obtenemos la relacin o equivalentemente, igualdad que se cumple segn lo ya demostrado.

(c) Veamos que se verifican las hiptesis del Teorema de Rolle para la funcin en el intervalo. (i) es continua en pues es cociente de funciones continuas y el denominador no se anula (por hiptesis). (ii) es derivable en pues con en. (iii) Tenemos por hiptesis por tanto:. Existe pues untal que o bien o bien (pues).La ecuacin de la recta tangente a la grfica de en este mismoes.Pasa porpues equivale a.

Ejemplo 5Demostrar el Teorema de RolleResolucinPor el teorema de Weierstrass, la funcin tiene un mximo y un mnimo absolutos en el intervalo. Si ambos se alcanzan en los extremos del intervalo, llamemos. Entonces para todo lo cual implica que (funcin constante en) y en consecuencia para todo. Si alguno de ellos se alcanza en un entonces tenemos en un extremo relativo, con lo cual. Queda pues demostrado el teorema.