teorema de pitagoras
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1 – INTRODUÇÃO
No decorrer do período de estágio percebi que muitos conteúdos da matemática
estavam perdendo sua contextualização, notei que os alunos que tinha facilidade em decorar
os procedimentos se davam muito bem nas avaliações, porém os que não eram dotados dessas
habilidades se tornavam vítimas de um aprendizado limitado e deteriorado. Passei a observar
com uma visão crítica e construtiva todas as aulas, com a finalidade de concluir se seria mais
fácil e interessante mecanizar os processos de conhecimento ou fazer com que esses processos
sejam desenvolvidos de forma mais eficiente e criativa. Ao incentivarmos os alunos a
raciocinar sobre os tópicos matemáticos estaremos tornando os alunos mais críticos, com um
raciocínio ampliado e com uma visão mais produtiva e completa sobre os assuntos
matemáticos, construindo desta forma, os significados das idéias matemáticas.
Durante uma aula que assistia numa determinada turma cujo assunto abordado era o
teorema de Pitágoras, notei que o aluno que mais se destacava na turma, devido a suas ótimas
notas, estava repetindo a fórmula, numa seqüência de vezes, na última página do caderno.
Perguntei para ele porque estava fazendo aquele processo; a sua resposta foi bem clara: “Para
não esquecer a fórmula”. Naquele instante fiz uma comparação da mente humana com uma
grande peça de teatro, e perguntei a mim mesmo, onde seria mais interessante colocar os
nossos alunos? No palco dirigindo a peça ou na platéia sendo um espectador passivo?
Após esses acontecimentos me interrogava, será que um assunto tão nobre da
matemática e tão importante deve ser aplicado para os alunos dessa maneira? Foi então que
passei a pesquisar sobre o Teorema de Pitágoras e percebi que existem várias maneiras de
apresentar esse assunto, formas tais, que fazem com que os alunos desenvolvam um
aprendizado mais eficiente e eficaz sobre o ilustre Teorema. Foi neste instante que ocorreu a
escolha deste tema para ser dissertado, o qual a priori buscava mostrar como os processos de
ensino-aprendizagem deste tópico pode ganhar mais significado para os estudantes do Ensino
fundamental, visto que será um assunto importante para o desenvolvimento de muitos outros
assuntos a serem abordados no ensino médio.
É de extrema valia demonstrar aos alunos que o Teorema de Pitágoras não é uma
simples fórmula a memorizar, mas sim uma ferramenta utilizável na resolução de inúmeros
problemas de Geometria. Através da utilização de estratégias que estimulem uma
aprendizagem significativa do Teorema, muitos alunos podem desenvolver competências
importantes e desenvolver habilidades que serão úteis na resolução de problemas. Devido ao
fato do Teorema de Pitágoras ser muito rico e sua abrangência ser uma realidade, é
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interessante destacar que uma boa compreensão do teorema pelos alunos do ensino
fundamental1, ocasionará aos mesmos um aprendizado sobre outros assuntos no próprio
ensino fundamental e até mesmo no ensino médio, cuja fundamentação deriva do Teorema de
Pitágoras.
Esse teorema é um assunto que sempre despertou curiosidades dos grandes
matemáticos devido a sua riqueza em demonstrações. No livro de Loomis encontram-se 370
demonstrações brilhantes do mesmo. É importante comprovar que as demonstrações deste
teorema não se resumem apenas a mostrar a validade dele, mas sim em provar que o enfoque
dado às mesmas permite que a visão dos nossos alunos seja ampliada.
Como foco inicial fizemos uma análise da situação do ensino de geometria nos dias
atuais, o que nos levou a entender por que os alunos têm tanta rejeição aos tópicos
relacionados à geometria. Pesquisamos sobre os motivos que fazem com que assuntos como o
teorema de Pitágoras tenha um processo de aprendizado mecanizado.
O teorema de Pitágoras é uma ferramenta importante para se aplicar em situações
problemas de outras áreas, como por exemplo, a física. Muitos tópicos matemáticos estão
interligados ao estudo do teorema, e de acordo com os PCNs (p.22) muitos conhecimentos
matemáticos precedem outros tópicos, com isso fizemos, no capítulo 3, um pequeno estudo
histórico com a finalidade de caracterizar o teorema de Pitágoras e ressaltar a importância do
seu aprendizado.
Em seqüência estudamos no capítulo 4 demonstrações brilhantes do teorema e suas
características e peculiaridades, o que fez com que nossa pesquisa se ampliasse sugerindo, no
capítulo 5, algumas abordagens do teorema em sala de aula e demonstrando resultados das
suas aplicações. Em prosseguimento dedicamos o capítulo 6 para analisarmos a apresentação
do teorema de Pitágoras em alguns livros didáticos, fazendo uma analogia crítica sobre as
coleções e sobre as abordagens sugeridas pelos autores desses exemplares.
“A importância de se estudar tal ícone dá se pela contribuição dada por ele à
humanidade, através da matemática.” (IMENES E LELLIS, 2000, P.15).
Através dessa pesquisa tentaremos motivar o teste de novas seqüências didáticas para
construir nos alunos o conhecimento do Teorema de Pitágoras e assim, poderemos verificar
até que ponto é possível, com essas novas metodologias, fazer com que o ensino-
aprendizagem desse tópico se torne mais prazeroso.
Como futuro educador, através desta pesquisa, o principal objetivo é mostrarmos
como se faz importante o bom aprendizado do teorema de Pitágoras no ensino fundamental,
1 Uma excelente compreensão do teorema de Pitágoras pelos alunos, está ligada diretamente a uma incontestável explanação do conteúdo por parte do educador.
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devido a sua influência em diversos assuntos da matemática, analisando as distintas
abordagens aplicadas no processo de ensino-aprendizagem deste teorema.
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CAPÍTULO 2 QUADRO ATUAL DO ENSINO DE GEOMETRIA E A RELEVÂNCIA DO TEMA
Atualmente as novas tecnologias e, em particular, os computadores, tem afetado
intensamente nossa sociedade em vários aspectos. Muitas atividades tradicionais como o
desenho geométrico feito à mão, tornaram-se obsoletas, enquanto novos desafios na área do
aprendizado de geometria estão surgindo a cada dia. Existem disponíveis diversos softwares
voltados para o ensino de geometria. Esses softwares já estão integrando o planejamento de
vários professores, de escolas que dispõem de uma ótima estrutura física e tecnológica. É
interessante fazer uma fusão dos procedimentos tradicionais de ensino-aprendizagem da
geometria, que podem ser exemplificados pelas demonstrações construídas pelos alunos, com
os métodos modernos, que são as novas abordagens proporcionadas pelas metodologias
tecnológicas.
Através de pesquisas e leituras podemos enfatizar que num contexto histórico sabe-se
que a geometria sempre foi a grande paixão de alguns sábios gregos que muito contribuíram
para a formalização desse conhecimento. Dentre eles, podemos destacar Talles de Mileto,
Euclides de Alexandria, Pitágoras de Samos e outros estudiosos que viveram por volta de 400
anos a.C.
Se olharmos a estrutura do nosso apartamento ou de outras construções civis ou até
mesmo o quadro fixado na parede de nossas salas, poderemos constatar a grande e valiosa
significância da geometria e da sua aplicação. Se os alunos de ensino fundamental tivessem a
oportunidade de perceber como a geometria é determinante em muitas áreas profissionais,
talvez o seu aprendizado se tornaria mais almejado por parte dos mesmos.
É necessário que as escolas passem novamente a proporcionar aos alunos o contato
com atividades geométricas durante todo o ano letivo e não somente num determinado
intervalo de tempo no ano. Miguel de Guzman, presidente do ICMI, em sua conferência sobre
Geometria e os valores culturais destacou:
“A Geometria é considerada um instrumento para a compreensão, descrição e interação com o espaço em que se vive - é, talvez, o campo mais intuitivo e concreto da Matemática e o mais ligado à realidade. Assim o currículo de geometria, principalmente a partir da 7ª série, deve ter fortes conexões com aplicações e situações realmente reais. É recomendável atividades que façam conexões com áreas afins como Artes (por que não uma ênfase de natureza estética?), Geografia ou Física.
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O ensino de geometria deve começar pelo concreto. Isso foi verificado nesta pesquisa
no capítulo 5, quando o famoso teorema de Pitágoras foi demonstrado usando diversos
matérias concretos. Os alunos após terem manuseado os materiais afirmavam: “entendi hoje o
teorema de Pitágoras!”. Isto mostra a força do “ver com as mãos”, o que identifica a
visualização da geometria. É importante destacar que o concreto, ou seja, o uso de materiais
palpáveis aplicados as grandes demonstrações geométricas, como as demonstrações do
Teorema de Pitágoras, possibilitam o primeiro conhecimento, isto é, o concreto é importante
para disparar a construção do significado da aprendizagem matemática, não sendo assim, o
suficiente para que aconteça a abstração matemática.
Após uma revisão bibliográfica na tese de Nelson Arbach (2002), que traz um amplo
material sobre o aprendizado da geometria no ensino fundamental, passamos a ter subsídios
para afirmar que o ensino de geometria está a cada dia perdendo mais seu valor, e com isso os
alunos não estão aproveitando a oportunidade de extrair um dos pontos mais relevantes que
envolvem o aprendizado da geometria, que é proporcionar a aquisição do hábito de raciocinar.
Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Somente quando essa perspectiva é atingida, a noção de estrutura matemática faz sentido. (Fainguelernt, 1993).
Sobre a importância da Geometria, Lorenzato (1995) diz que esta tem função essencial
na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma
comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática.
As tendências do ensino de geometria nas salas de aula de turmas do ensino
fundamental não são marcadas pelas brilhantes demonstrações e construções geométricas,
mas sim na redução de cálculos algébricos entre os elementos de figuras (como por exemplo,
os métodos algébricos adotados no ensino do Teorema de Pitágoras).
O grande direcionamento dado ao ensino da álgebra desde o movimento da
matemática moderna, no nível do ensino fundamental, fez com que o ensino da geometria
fosse relegado a segundo plano. Isso fez com que os conteúdos referentes às esses campos
passassem a ser tratados de forma rápida nas salas de aulas, não sendo abordados com
presteza em função da falta de tempo.
Em muitas situações percebemos que as atividades cognitivas envolvidas na
aprendizagem da matemática requerem a utilização de sistemas de expressão e de
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representação que não se limitam a uma linguagem natural. No caso da geometria, destacam-
se as figuras geométricas, as demonstrações e as notações simbólicas.
Atualmente o ensino da geometria é estabelecido por fórmulas e com isso, por
exemplo, o teorema de Pitágoras é transmitido omitindo a importância de sua utilização,
assim um dos objetivos nosso é entender até que ponto a mecanização do ensino do teorema
de Pitágoras, interfere na compreensão do seu significado e, também, é importante notar se os
erros observados na aplicação do teorema de Pitágoras decorrem devido ao processo
mecanizado do mesmo. Tendo em vista estas questões e toda a problematização que envolve o
ensino da geometria de forma geral, foi importante realizar atividades que permitissem aos
alunos conjeturarem a existência da relação do teorema de Pitágoras, através de abordagens
concretas que demonstrem a validade do teorema, desenvolvendo nos alunos condições para o
emprego adequado do mesmo como ferramenta em diversas situações problemas.
O estudo de geometria é de fundamental importância para se desenvolver o pensamento espacial e o raciocínio ativado pela visualização, necessitando recorrer à intuição, à percepção e à representação, que são habilidades essenciais para a leitura do mundo e para que a visão da matemática não fique distorcida. (Fainguelernt, 1999).
Entender o campo da geometria, atualmente, não é mais uma tarefa trabalhosa e
cansativa, pois as riquezas de estratégias que fazem esse ramo da matemática ficar prazeroso é
uma realidade. Com os avanços computacionais, os alunos podem aprender matemática, em
especial à geometria, construindo os seus próprios conceitos. Com o surgimento dos
brilhantes softwares de animação o ensino de geometria pode ser realizado até a distância,
coisa que tempos atrás era algo desafiador e não imaginável.
Materiais que sempre auxiliaram no aprendizado de geometria como o TANGRAM,
hoje são apresentados em jogos informatizados. Como os cadernos estão perdendo seu espaço
para os computadores, a melhor estratégia é usar o computador como aliado na educação e
aumentarmos as pesquisas nessa área.
As evoluções tecnológicas e as inovações que os pesquisadores da área da educação
matemática estão proporcionando aos professores visam identificar uma forma de levar aos
alunos a vivenciarem procedimentos didáticos que destacam o desenvolvimento da
visualização geométrica. Por isso estudar essas metodologias aplicando-as em sala de aula é
um desafio de hoje. Temos que acreditar que o aluno precisa aprender geometria através do
concreto.
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A utilização de diversos modelos concretos que representam uma mesma idéia geométrica pode auxiliar o aluno a reconhecer que algumas propriedades do objeto transcendem suas propriedades materiais como tamanho, cor e textura e, portanto, pertencem ao mundo ideal da Geometria.É aconselhável que se leve o aluno a vivenciar experiências com diversos tipos de materiais concretos manipulativos, a fim de que ele possa ter a oportunidade de encontrar o meio material que seja mais apropriado à sua percepção sensorial e que mais aguce a sua curiosidade. (KALEFF, 2003).
Temos que proporcionar aos nossos alunos a oportunidade de conhecer o
verdadeiro sentido em aprender geometria e devemos fazer isso ressaltando o papel da
geometria sem minimizar o da álgebra. É necessário, portanto, restabelecer o equilíbrio2,
retomando-se o ensino da geometria.
2 Vários autores recomendam o tratamento articulado da geometria e da álgebra. Poucas têm sido as tentativas de abordá-los integradamente em sala de aula – especialmente porque os professores não estão acostumados a tratá-los dessa maneira e os livros didáticos, com honrosas exceções, continuam a apresentá-las totalmente desvinculados,
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CAPÍTULO 3 A IMPORTÂNCIA DE UMA EFICIENTE ABORDAGEM DO TEOREMA DE PITÁGORAS E SUA PROBLEMÁTICA
Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C., na ilha Egéia de Samos, na Grécia e sua figura
está envolta de muitos mitos, visto que não existem relatos originais e válidos sobre sua vida e
trabalhos. O grande mérito de Pitágoras teria sido a percepção de que os números existem
independetemente do mundo concreto. Pitágoras viajou pelo Egito e Babilônia, possivelmente
foi até a Ìndia. Observou que os egípcios e babilônicos calculavam por meio de “receitas”,
que produziam respostas corretas e eram passadas de geração a geração, sem a ocorrência de
questionamentos do porquê delas.
O Teorema de Pitágoras, que foi enunciado pela primeira vez pelo filósofo grego
Pitágoras, é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática, o qual estabelece
uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Segundo
historiadores o Teroema de Pitágoras já era conhecido pelos babilônicos há mais de um
milêncio antes, porém foram os pitagóricos os primeiros a demonstrá-los, o que justificaria a
denominação de “Teorema de Pitágoras”. Abaixo estão alguns estratos de demostrações para
o Teorema de Pitágoras ao longo do tempo:
Apesar da simplicidade, o teorema de Pitágoras é rico, pois sua metodologia se
estende a diversos assuntos matemáticos e diversas situações problemas, que só se tornam
Grego, 800 E.C. Latino, 1120 E.C. Arábico, 1250 E.C.
Francês, 1564 E.C. Inglês, 1570 E.C. Chinês, 1607 E.C.
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viáveis e de fácil compreensão a partir da sua utilização. No tocante da sua importância
destacamos algumas situações relevantes, tais como:
3.1 – A IMPORTÂNCIA DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA TRIGONOMETRIA
A aplicabilidade da trigonometria nos vários campos da atividade humana é
incontestável e uma das maiores contribuições e a mais pioneira foi dada pelo Teorema de
Pitágoras. É impossível não associar o Teorema com a Trigonometria.
Pela lei dos cossenos, dadas as medidas de dois lados de um triângulo qualquer e a
medida do ângulo compreendido entre eles, a medida do terceiro lado é rapidamente calculada
Isso significa a possibilidade de se determinar um triângulo qualquer. Observe a figura 3.1.1.
Em relação ao triângulo exposto na figura 3.1.1, podemos estabelecer:
, onde a, b e c são os lados e A é o ângulo conhecido entre os
lados dados.
Reciprocamente, a lei dos cossenos nos permite também calcular as medidas dos
ângulos de um triângulo a partir das medidas dos lados, sendo suficiente somente verificar se
os números dados estão de acordo com as condições de existência de um triângulo. Todavia,
dados dois lados de um triângulo qualquer e um ângulo não compreendido entre eles, isso não
é suficiente para determiná-lo, a menos que o ângulo seja reto. O TEOREMA DE
PITÁGORAS permite, neste caso, encontrar o terceiro lado. Observe a figura 3.1.2
Figura 3.1.1
B
CA
5 a
8
16
Em relação ao triângulo exposto na figura 3.1.2, podemos estabelecer:
, porém neste caso não poderíamos descobrir o lado
desconhecido, pois não sabemos que é o ângulo C. Este problema só se torna viável pelo
Teorema de Pitágoras, visto que o triângulo é retângulo.
Com as demonstrações acima podemos chegar a uma conclusão. Observe a figura 3.1.3.
Neste caso podemos aplicar a lei dos cossenos, pois queremos descobrir o valor de um
lado de um triângulo, conhecendo a medida dos outros dois lados do triângulo e o ângulo ente
eles.
Figura 3.1.2
B
CA
10
8
c
Figura 3.1.3
B
CA
a
24
9
Como o cos90º = 0
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Aplicando o teorema de Pitágoras:
Logo no triângulo retângulo:
3.2 – A IMPORTÂNCIA DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM PROBLEMAS DE ÁREAS.
Sabemos que área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado. Observe a
figura 3.2.1.
A área do quadrado ABCD é dada por S = 4 x 4 = 16cm2
Porém se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo ADC encontraremos o valor
da diagonal AC. Observe
Se elevamos a diagonal AC ao quadrado e dividirmos por 2, encontraremos o valor da
área. Observe.
Podemos observar que o Teorema de Pitágoras foi extremamente relevante para
descobrirmos a diagonal do quadrado.
Figura 3.2.1
4 cm
4 cm
A B
D C
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3.3 – A IMPORTÂNCIA DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO SURGIMENTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS.
Um dos assuntos mais polêmicos na matemática foi o surgimento dos números
irracionais. Conforme observamos no item 3.2, existe uma relação marcante do lado de um
quadrado e sua diagonal (que é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles). Se atribuirmos
o valor 1 ao lado do quadrado, os catetos do triângulo, também terão medida 1, assim a
diagonal e/ou a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles terá a medida .Observe a figura
3.3.1.
Observe como o teorema de Pitágoras é determinante para o surgimento de números
irracionais.
3.4 – A IMPORTÂNCIA DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA FÍSICA.
Observe a situação problema nas figuras 3.4.1, 3.4.2 e 3.4.3.
.
1
1
11
1a
bc
d
e
=20º
Já conhecemos ty e tx, só falta descobrir o
valor da tração t. Só tem uma maneira de
descobrir, usando o famoso Teorema de
Pitágoras.
Observe a Importância do Teorema de
Pitágoras na Física.
Figura 3.3.1
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Calcule a tensão no fio
Os casos acima são apenas algumas demonstrações da importância do Teorema de
Pitágoras, mas não podemos deixar de associar o teorema às relações métrica no triângulo
retângulo, este assunto, está ligado diretamente ao nobre Teorema, pois é a forma para se
chegar no teorema de Pitágoras partindo dos conceitos de semelhanças.
A maioria dos alunos não são dispertados para a importância do aprendizado do
teorema de Pitágoras e com isso surgem grandes dificuldades no aprendizado deste tópico.
=20º
tyt
tx
P
=20º
Figura 3.4.1
Figura 3.4.2
Figura 3.4.3
Dados enunciado no problema
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Muitas pesquisas sobre a aplicação do Teorema de Pitágoras já foram realizadas, e
dentre muitas uma que se destaca nesse tocante é a de Annie Berté (1995). A ilustre autora faz
um levantamento crítico sobre a utilização do Teorema. Dentre as problemáticas encontradas
a autora destacou:
1- A maioria dos alunos faz a utilização do teorema de Pitágoras com uma técnica de
calcular o terceiro lado de um triângulo qualquer;
2- Ao calcular um dos catetos, alguns alunos escrevem que o quadrado desse lado é
igual á soma dos quadrados da hipotenusa e do outro cateto.
Um erro que verificamos durante o período de estágio e que a autora não relata em sua
lista e a aplicação do teorema de Pitágoras em outros polígonos com mais de três lados. Essas
problemáticas poderiam ser eliminadas das salas de aula, seu os alunos tivessem a consciência
da extrema importância do Teorema. Tal conscientização deve ser passada pelos educadores
durante a explanação da matéria, não dando ênfase somente ao tratamento algébrico do
Teorema, mas enfatizando também, as metodologias geométricas. Trazendo diversas e
distintas demonstrações sobre o assunto o educador não apenas dará enfoque ao aprendizado
do Teorema, como também estará estimulando a criatividade do aluno, fazendo com que o
desenvolvimento do raciocínio seja uma realidade nas salas de aula.
CAPÍTULO 4 ANALISANDO ALGUMAS ABORDAGENS DO TEOREMA DE PITÁGORAS
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Iniciaremos este capítulo relatando um treço da entrevista da professora Patrícia
Sadovsky, a revista Nova Escola, na edição especial n.º 14, que diz: “o ensino da matemática,
hoje, se resume a regras mecânicas que ninguém sabe, nem o professor, para que servem”. O
Teorema Pitágoras não pode ser passado para os alunos como apenas um método utilizado
para calcular o terceiro lado de um triângulo retângulo, tendo como dados, os dois outros
lados. O professor precisa despertar nos alunos através de atividades a criatividade para
transmitir ricos conhecimentos matemáticos, como o Teorema de Pitágoras, e assim se
conscientizar que não basta abrir um livro didático em sala de aula para que as crianças e
adolescentes aprendam. É interessante lanchar propostas que motivem o aprendizado
utilizando a criatividade nas demonstrações, o que dará um enfoque todo especial ao conteúdo
que está sendo exposto. Hoje os educadores não podem aderir ao modismo e devem utilizar
estratégias que os façam desviar do mesmo.
Os escritos de Pitágoras não chegaram até os nossos dias, em virtude disso, não
sabemos de que maneira ele provou o seu teorema, mas podemos conjecturar que se enfoque
doi geometrico. Ao longo do tempo, passando-se mais de 20 séculos, o teorema foi provado
de muitas maneiras diferentes, por diversas pessoas.
Como ressaltamos anteriormente um professor de Matemática norte-americano,
chamado Elisha Scott Loomis, colecionou por muitos anos demonstrações do Teorema de
Pitágoras, e as juntou em uma obra, o qual a mais recente apresentava 370 maneiras diferentes
de demonstrar o Teorema.
“O número de demonstrações algébricas é ilimitado, o mesmo ocorrendo no campo geométrico, e existem apenas dez tipos de figuras geométricas, dos quais uma demonstração pode ser deduzida”.(LOOMIS, 1972, p. 8).
Existem demonstrações algébricas, baseadas nas relações métricas do triângulo
retângulo; demonstrações com enfoque geométrico, baseadas em comparações de áreas;
demonstrações vetoriais, baseadas em operações com vetores e empregando o conceito de
direção; e demonstrações dinâmicas, baseadas em massa e velocidade.
As distintas demonstrações do Teorema de Pitágoras que serão expostas e estudadas
neste capítulo não se resumem apenas em validá-lo, pois o enfoque dado a cada uma delas
permite que a visão da importância da matemática seja ampliada. Para a seleção das
demonstrações que serão apresentadas, foram observados alguns critérios como: a
importância histórica, a facilidade compreensão das demonstrações por alunos de 8º e 9º ano
do ensino fundamental, a possibilidade de se fazer uma associação das demonstrações com a
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utilização da arte (assunto a ser tratado no próximo capítulo) e a viabilidade do uso da
demosntração em sala de aula.
4.1 – 1º DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO HINDU.
Começaremos considerando quatro triângulos iguais.c
Nos triângulos acima, as medidas dos lados a, b e c não têm valor determinado,
podendo ser quaisquer números adequados. Por isso, podemos dizer que o triângulo retângulo
de lados medindo a, b e c representa todos os infinitos triângulos retângulos existentes.
Podemos arrumar os quatros triângulos da maneira exposta na FIGURA 4.1.1.
O contorno da figura forma um quadrado em cada lado mede b+c. No interior forma-
se um quadrilátero, como quatro lados iguais de medida a.
Considerando os mesmos quatro triângulos, vamos arrumá-los de outra maneira, conforma
figura 4.1.2
a
c
ba
c
b
a
c
ba
c
b
aa
a a
b
b
b
bc
c
c
c
Figura 4.1.1
b
b
cbc
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Os dois quadrados maiores que formam o contorno das duas figuras possuem a mesma
área, pois possuem o mesmo lado (b+c).
Se de cada quadrado retirarmos os quatro triângulos das duas figuras, restarão as
figuras abaixo, respectivamente:
As figuras que restaram em cada um dos casos, continuam tendo áreas iguais, porque
estamos retirando quantidades iguais de coisas iguais.
Concluímos que:
a área da figura 4.1.3 é igual a:
a área da figura 4.1.4 é igual a:
Como as duas figuras são iguais e possuem a mesma área, temos que:
Figura 4.1.2
a
a a
a
b
b
b b
cc
c
c
Figura 4.1.3 Figura 4.1.4
b
b
b
c
c
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Está demonstração pode se torna complexa devido às muitas modificações posicionais
que devem ser feitas nos triângulos, porém é uma ótima oportunidade para os educadores
fixarem a congruência de triângulo. Se ao invés de um tratamento geométrico darmos ênfase a
um tratamento algébrico é uma ótima oportunidade de trabalhar produtos notáveis.
4.2 – 2º DEMONSTRAÇÃO (FEITA PELO PRESIDENTE GARFIELD DOS ESTADOS UNIDOS; DO TIPO ALGÉBRICO OU GEOMÉTRICO).
Começaremos considerando um trapézio retângulo ADEC, exposto na figura 4.2.1.
Observe que trapézio é formado por três triângulos, sendo o triângulo ABC, igual ao
triângulo BDE, ou seja, o triângulo BDE é equivalente ao triângulo ABC rotacionado.
A área do trapézio retângulo cujo a base maior é e a base maior é e cujo a altura é
é igual a: .
Por outro lado, a área do trapézio pode ser considerada como a soma das áreas dos três
triângulos retângulos:
Área do triângulo ABC ;
Área do triângulo BDE ;
Área do triângulo CBE
Logo a área do trapézio ADEC
Como os dois métodos para calcular a área são equivalentes, temos:
Figura 4.2.1
A B D
E
C
b
c
a
a
b
c
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, aplicando a lei do corte temos:
Analisando este tipo de demonstração, como uma aplicação de sala de aula,
destacamos alguns pontos marcantes:
O aluno irá abstrair que tudo começou com um triângulo retângulo e uma
modificação posicional do mesmo. Logo a relação do teorema de Pitágoras com o
triângulo retângulo será mais uma vez registrada.
Depois de modificada a posição do 2 triângulo e ligado os vértices e , é fácil
perceber que se trata de um trapézio. Logo as características do contorno são
favoráveis.
A demonstração possui um baixo grau de complexidade e é muito fácil para o
educador expô-la em sala de aula. Como a demonstração é toda baseada em cálculo de áreas,
é uma excelente oportunidade para apostar neste tópico, com turma de 9º ano do ensino
fundamental.
4.3 – 3º DEMONSTRAÇÃO (BHASKARA)
Segundo artigos históricos, Bhaskara desenhou apenas a figura 4.3.1, esta
demonstração pode ser tipo algébrica ou geométrica.
Começaremos expondo a figura desenhada por Bhaskara, utilizando como figura chave
quatro triângulo Pitagóricos.
a = 5cm
b = 4cmc = 3cm
Figura 4.3.1
Analisemos somente os triângulos da cor azul
e amarela.
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OBS: Sabemos que a área do triângulo é dada pela fórmula , porém como o
triângulo é retângulo, pela relações métricas temos que , onde h é a altura, e são os
catetos e é a hipotenusa.
Logo temos que a área do triângulo retângulo pode ser dada por:
Utilizando as informações anteriores e os conceitos de áreas temos:
= +
Logo, simplificando os cálculos do lado direito da igualdade encontraremos a seguinte
expressão: .
Demonstramos assim o Teorema de Pitágoras.
Apesar do brilhantismo desta demonstração, dependendo da abordagem sugerida em
sala de aula, ela pode ser tornar muito complexa. A maior dificuldade consiste em perceber
que os lados do quadradinho são partes dos segmentos que formam os lados dos triângulos.
Esta demonstração pode ser feita dando ênfase ao enfoque geométrico, porém a sua
complexidade aumenta muito, pois teríamos que formar uma outra figura usando os elementos
da figura de Bhaskara.
Logo, o quadradinho branco, formado com os quatro triângulo, possui lado igual a: 1, que
corresponde a: .
Então a área do quadro é igual a:
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Para demonstrar dessa forma usaríamos a comparação da área da figura de Bhaskara
com a área da figura 4.3.2. O grande número de modificações posicionais, o tratamento
auxiliar efetuado, o obstáculo do desdobramento dos objetos aumentam muito a complexidade
e prejudicam a visibilidade para a demonstração com alunos de ensino fundamental.
4.4 – 4º DEMONSTRAÇÃO (ATRIBUÍDA A W.RUPERT, 1990; DO TIPO ALGÉBRICO, UTILIZANDO-SE UMA CIRCUNFERÊNCIA)
seja o triângulo AHB, retângulo em H. Com centro em B e
raio AB, traça-se a circunferência.
Pelo teorema das cordas temos:
Sendo:
É um tipo de demonstração ideal no ensino médio, quando estiver sendo abordado o
teorema das cordas. Seria ao mesmo tempo uma oportunidade em demonstrar o teorema de
Pitágoras no ponto de vista geométrico. É uma demonstração ideal para provar a riqueza do
teorema de Pitágoras, para o desenvolvimento dessa demonstração é necessário que o teorema
já seja conhecido. É preciso também uma boa visão geométrica.
Figura 4.3.2
Figura 4.4.1
A
E
D
H
C
O=B
b
h
a
A
E
D
H
C
O=B
b
h
a
28
4.5 – 5º DEMONSTRAÇÃO (DO TIPO ALGÉBRICO, POR MEIO DO USO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA)
Seja:
O triângulo AHE, retângulo em H;
AB=h;
Com centro em A, traça-se uma
circunferência com raio AH=b;
Tem-se:
pois:
e
então:
Logo:
Para a demonstração é necessário trabalhar com: ângulos da circunferência,
semelhança de triângulos, cálculo e proporções.
A demonstração é uma oportunidade de trabalhar no ensino médio com vários tópicos
matemáticos, para chegar ao teorema de Pitágoras. A demonstração não trabalha com a
rotação de figuras.
4.6 – O TEOREMA DE PITÁGORAS E O PAR DE ESQUADROS
4.6.1 – Primeira prova com o par de esquadros
Observe as figuras 4.6.1.1 e 4.6.1.2.
D
H
CO=A
B
ab
D
H
CO=A
B
ab
Figura 4.5.1
29
As figuras acima representam um par de esquadros que podem ser utilizados como
instrumento fundamental para desenvolver algumas demonstrações do teorema de Pitágoras.
Observe que a figura 4.6.1.3 é a uma composição com
par de esquadros.
1 - A área do quadrilátero ABCF é dada por dois
esquadros mais a área do retângulo DECF. Isto é,
Área(ABCF) =
2 - A área do mesmo quadrilátero ABCF também é a
soma das áreas dos triângulos retângulos ABC,
CFA. Isto é, Área(ABCF) =
Da igualdade das expressões de 1) e 2)
conclui-se que:
4.6.2 – Segunda prova com o par de esquadros
1 - A área do quadrilátero ABCD é dada por dois
esquadros, que já vimos ser um retângulo de
dimensões b e c, mais a área do triângulo retângulo
CED.
Isto é, Área(ABCD) =
2 - A área do mesmo quadrilátero ABCD também é
a soma da área triângulos ABC, retângulo em B e
com ambos os catetos de medidas a, com a do
triângulo ACD. Caso neste último, fixarmos a base
Figura 4.6.1.1
Figura 4.6.1.2
A
B
C
D
F
E
a
a
b
c
c – b
Figura 3.4.3 Figura 4.6.1.3
Figura 3.1.1.3
A
B
C
D
E
a
a
b
c
b c – b
Figura 4.6.2.1
30
AD e deslocarmos o vértice C ao longo da paralela
CE desta, obtemos que sua área é congruente a do
triângulo retângulo, ADE. Donde:
Área(ABCD) =
Promovendo-se a igualdade entre as expressões da área, temos:
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
CAPÍTULO 6 ANALISANDO AS ABORDAGENS DO TEOREMA DE PITÁGORAS NOS LIVROS DIDÁTICOS.
O livro didático é muito importante no processo de ensino-aprendizagem em
matemática. Muitos pesquisadores questionam o uso do livro didático, pois acreditam que os
alunos e professores utilizam os livros de forma incorreta.
Com um outro ponto de vista observamos que muitos autores crêem que o livro
didático é uma forma de torna a aula organizada e planejada. Nesse foco podemos destacar o
livro didático como um instrumento capaz de auxiliar o professor com as atividades a serem
propostas em sala de aula.
É muito importante utilizar bem as abordagens dos livros didáticos, pois eles são
responsáveis em:
Aumentar a capacidade de leitura dos alunos;
47
Valorizar a história da matemática como contribuinte para um esclarecimento
eficiente dos conteúdos;
Propor atividades que fazem o aluno construir seu conhecimento;
Contextualizar os conteúdos matemáticos;
Desenvolvimento do hábito de estudo independente.
Com relação ao teorema de Pitágoras os livros didáticos sofreram muitas alterações
nas últimas décadas, na década de 80, por exemplo, as tendências dos livros didáticos, eram
manter a geometria bem afastada da álgebra, geralmente ocupando a parte final dos livros.
Nesta década o Teorema de Pitágoras só aparecia nos livros destinado a antiga 8ª séria,
atualmente 9º ano do ensino fundamental, sendo apresentado juntamente com as relações
métrica do triângulo retângulo e usando semelhança de triângulos como ferramenta para a sua
demonstração. Na década de 90 os autores passam a se preocupar mais com o processo de
construção do conhecimento, com o intuito de deixar os alunos mais “ativos” e
“participativos” e começam a introduzir o Teorema de Pitágoras na 7ª série, atualmente 8º ano
do ensino fundamental e na 8ª série, atualmente 9º ano do ensino fundamental, o Teorema de
Pitágoras reaparece com demonstrações mais complexas e clássicas.
Para analisar as abordagens do Teorema de Pitágoras nos livros didáticos tivemos que
nos preocupar com alguns critérios, como:
6.1) A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA NAS ABORDAGENS.
Por que tomamos essa preocupação no momento de avaliar os livros didáticos?
Simplesmente porque ao ler os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs),
verificamos e destacamos os seguintes argumentos:
(...) Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas alguns porquês e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.Assim, a própria história dos conceitos pode sugerir caminhos de abordagem deles, bem como os objetivos que se pretendem alcançar com eles (pp. 42 – 43)
A história da matemática pode proporcionar uma enorme contribuição no aprendizado
do Teorema de Pitágoras. Fazendo alusão à utilização do teorema por povos antigos e
trazendo informações biográficas de Pitágoras, o educador cria condições para que o aluno
absorva valores favoráveis sobre o conteúdo exposto.
48
LIVRO (1)
O autor antes de enunciar o Teorema de Pitágoras, faz uma breve introdução histórica,
utilizando uma linguagem de fácil compreensão e entretida. Após ter iniciado o conteúdo
usando a história o autor comenta sobre terna (3, 4, 5) e valida o teorema por meio de áreas.
LIVRO (2)
O autor não inicia o tema trazendo conceitos históricos, dando preferência a realizar
uma atividade concreta logo com introdução do capítulo e em subseqüência faz um pequeno
relato histórico.
LIVRO (3 e 4)
O autor do livro 3 e as autoras do livro 4 iniciam o teorema de Pitágoras pela mesma
demonstração, utilizando o conceitos de áreas para prová-lo e não se preocupam em trazer a
história da matemática como apoio ao aprendizado.
O livro 1, o autor apresenta o teorema de Pitágoras no 8º ano, ao estudar os triângulos
e retoma a o assunto no 9º ano. As demais coleções apresentam o teorema apenas no 9º ano.
6.2) ANALISANDO O TIPO DE DEMONSTRAÇÃO:
É notório que a maioria dos livros didáticos apresentam o teorema de Pitágoras no
tópico “Relações métrica do triângulo retângulo”, utilizando a álgebra e a semelhança de
triângulos. De acordo com os PCNs:
Embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros e que as formas de organização sempre indicam um certo percurso, não existem, por outro lado, amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas comumente, tais como: apresentar a representação fracionária dos racionais, para introduzir posteriormente a decimal; desenvolver o conceito de semelhança, para depois explicar o teorema de Pitágoras (p.22).
LIVRO (1)
O autor em primeiro momento utiliza a demonstração sobre o enfoque de áreas,
usando a demonstração dos hindus, mas retoma o assunto na série seguinte, ao estudar a
relação métrica do triângulo retângulo.
LIVRO (2)
O autor propõe atividades que utiliza material concreto, e em seguida usa os conceitos
de semelhança e das relações métricas do triângulo retângulo para provar o teorema.
LIVRO (3 e 4)
49
Optaram em introduzir o teorema com a demonstração de Euclides, e mais a frente
repetem a demonstração do teorema por semelhança, usando as relações métricas do triângulo
retângulo.
6.3) ANALISANDO A UTILIZAÇÃO DE ATIVIDADE QUE DESENVOLVEM NO ALUNO A CRIATIVIDADE E A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO:
LIVRO (1)
O autor propõe a utilização de quebra-cabeças para desenvolver o raciocínio
geométrico e como atividade de apoio para o aprendizado do teorema. Esse autor também se
dedicou a escrever um livro para-didático sobre o teorema de Pitágoras, o que prova seu
compromisso com esse assunto da matemática.
LIVRO (2)
Antes de chegar ao teorema o autor, propõem ao invés de lápis, uma tesoura, ao invés
de caderno, papel sulfite. Isso mostra que o autor prefere que os aluno tentem entender o
mecanismo do teorema antes de expô-lo no quadro.
LIVRO (3)
O autor trabalha com muito algebrismo, mas ao final do capítulo sugere uma atividade
com o TANGRAM. Depois de mecanizar o teorema com exercícios os alunos podem ter a
possibilidade de utilizar um material concreto para sentir a riqueza do teorema.
LIVRO (4)
As autoras após apresentar o teorema com a demonstração de áreas, o exploram em
diversos exercícios e em seqüência sugerem atividade com dobraduras no papel.
6.4) ANALISANDO OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS:
A maioria dos livros didáticos apresenta o conteúdo com uma parte teórica e, em
seguida, exemplificam a teoria com exercícios resolvidos para que após este embasamento o
aluno tenha condições de entender e resolver os exercícios propostos. O teorema de Pitágoras
é um tópico que após ser apresentado, é utilizado como ferramenta para resolver exercícios de
outros conteúdos matemáticos, quando isso ocorrer é interessante que os livros coloquem essa
sugestão explicitamente. Além disso, sobre a resolução dos problemas, os PCNs destacam:
50
A resolução de problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser resumida nos seguintes princípios:
a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;
o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática;
um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular;
a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (pp. 40 -41)
LIVRO (1)
O autor não apresenta uma quantidade grande de exercícios resolvidos, ele dá mais
ênfase nas demonstrações geométrica e parte de imediato para os exercícios propostos.
Observando os exercícios propostos na coleção, notamos uma ótima distribuição no grau de
dificuldade. O autor se preocupa em colocar exercícios de distintos níveis de dificuldade e
explora bastantes conceitos geométricos e situações problemas do cotidiano.
LIVRO (2)
Após apresentar o teorema de Pitágoras e alguns exercícios sobre o assunto, o autor
faz de imediato uma relação do teorema com outros tópicos como: área do quadrodo,
triângulo eqüilátero, apótemas e os números irracionais.
LIVRO (3)
O autor propõe exercícios com alto grau de dificuldade, porém todos com a mesma
lógica de resolução, o que torna o processo muito mecanizado. O autor dá muita ênfase em
problemas, porém explora bastante os métodos algébricos para a resolução dos mesmos.
LIVRO (4)
51
As autoras exploram exercícios com bastantes figuras geométricas e, também, faz de
imediato uma relação do teorema com outros tópicos como: área do quadrado, triângulo
eqüilátero e apótema.
6.5) ANALISANDO A COMPOSIÇÃO DOS EXERCÍCIOS, OS ENUNCIADOS, A UTILIZAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS E O LAYOUT DO LIVRO.
LIVRO (1)
O livro apresenta uma variedade de figuras geométricas nos seus exercícios, não
trabalhando somente com triângulos. O livro utiliza figuras espaciais no qual o triângulo é
sub-figura, mostrando assim uma aplicação diferenciada do teorema de Pitágoras.
A única observação negativa é que no livro predominam triângulos retângulo com um
dos catetos na horizontal, o que acarreta, um obstáculo de aprendizado, pois quando o
triângulo aparecer com a hipotenusa na horizontal, o aluno pode se confundir.
LIVRO (2)
O livro trabalha com figuras geométricas em seus problemas, o autor trabalha com
triângulos retângulos rotacionados, o que permite o aluno ter uma visão ampliada sobre as
posições do triângulo retângulo.
Apesar de ser exaustivo na sua quantidade de exercícios, o autor faz uma boa
distribuição dos mesmos, com relação ao seu grau de dificuldade.
A forma interativa nos enunciados dos exercícios aumenta a credibilidade da coleção e
classifica o layout do livro como muito bom.
LIVRO (3 e 4)
As coleções apresentam triângulos em várias posições incluindo rotações com vários
ângulos. O livro 3 trabalha com muitos problemas sem explorar qualquer figura geométrica,
fazendo o aluno apenas pensar na resolução pelo método algébrico. O livro 4 dá mais ênfase a
exercícios com variáveis que são as figuras geométricas.
Não podemos deixar de destacar o brilhante desing gráfico da coleção 3, que faz o
livro ser um destaque no mercado.
Os livros didáticos são de extrema valia para o processo de transmissão do
conhecimento, porém o professor jamais poderá ser substituído pelos livros na transmissão do
conhecimento, pois é o professor que vai optar pela melhor estratégia a ser usada e como
explicar o teorema de Pitágoras na sala de aula.
52
7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho o propósito era analisar distintas abordagens do teorema de Pitágoras
na sala de aula, dando ênfase aos procedimentos que incentivassem o desenvolvimento da
criatividade do aluno, promovendo assim, uma construção do conhecimento mais eficaz pelo
mesmo. Como todo o referencial teórico utilizado para respaldar esta pesquisa, mostra o fato
de que a geometria no ensino fundamental, ainda é muito ausente e deixada como segundo
plano, um dos intuitos principais foi mostrar como o ensino de geometria pode se tornar
prazeroso e de fácil contextualização, não utilizando somente as fórmulas deduzidas pelos
grandes matemáticos, mas empregando o uso de materiais concretos no processo de
aprendizado.
O trabalho comprova que a oportunidade de mudar e responder os famosos mitos que
ouvimos nas salas de aulas como: “Matemática é chato” ou “Não entendo matemática” ou
“Para que estudar matemática?” ou “Quem inventou a geometria?”, está na responsabilidade
dos educadores, os quais devem ter uma preocupação maior ao elaborar suas aulas. Os
53
educadores devem pesquisar sobre as idéias novas e interessantes que muitos pesquisadores
da área educacional usaram com sucesso e fazer disso um hábito.
O educador tem que ser visionário, ou seja, ser um transformador, ser uma pessoa dinâmica, com iniciativa e versátil. “Para gostar de alguma coisa, é preciso conhecê-la. É preciso experimentá-la e ter a chance de sentir algum prazer neste contato.” (Luiz Márcio Imenes).
Muitos professores só utilizam o livro didático como caderno de exercícios e não dão
ênfase as atividades criativas que muitos autores propõem. Uma parte dos professores não
acredita como a junção da arte pode tornar um conteúdo, como o Teorema de Pitágoras, mais
prazeroso, outros não aceitam a idéia de como a técnica de origamis pode facilitar na
compreensão de diversos tópicos e ser a resposta para muitos “Porquês” que surgem na sala
de aula e outros mesmo achando o TANGRAM muito belo, não confiam no poder dele, em
auxiliar no processo de ensino-aprendizagem.
Com a experiência obtida nesta pesquisa, percebi que muitos alunos só estão
habituados a trabalhar com exemplos; se o professor aplicar um exercício distinto aos
exemplos que o livro propõem, os alunos se perdem e não conseguem iniciar a resolução.
Notei, também, se os números envolvidos nas atividades não forem números naturais, a
maioria dos alunos bloqueia no momento da resolução.
Percebi que alguns alunos sabem o teorema de Pitágoras decorado, mas não sabem que
esse só é válido para um triângulo retângulo, e ainda, tem uma parte que não tem noção de
quais são as características de um triângulo retângulo.
Notamos que uma prática docente o qual tenha como foco a participação dos alunos
durante o aprendizado do teorema de Pitágoras, pode favorecer no rompimento didático, onde
o professor demonstra no quadro o teorema e os alunos aceitam e o decoram. A possibilidade
do aluno argumenta o conteúdo possibilitará que eles passem a aceitar a validação do teorema
pelas distintas demonstrações, que podem ser aplicadas. Dessa forma constatamos que o uso
de demonstrações aliado à arte ou aliado a origamis ou a jogos matemáticos favorece a
aprendizagem do referido conteúdo matemático.
A elaboração de atividades, como as que foram utilizadas nas abordagens sugeridas no
capítulo 5, pode contribuir para suprir uma falta nos livros didáticos ou esconder o déficit
didático que muitos livros possuem.
Concluímos que conhecer o teorema de Pitágoras é importantíssimo, porém o mais
válido é saber empregá-lo, por isso a aula de apresentação do teorema merece uma atenção
54
especial. Os professores devem dedicar a ela o tempo quanto for necessário para que os
alunos se familiarizem com o assunto.
O objetivo de trabalhar uma abordagem diferenciada do teorema de Pitágoras é
propiciar variadas oportunidades para que os alunos apliquem o teorema, em contextos
diferenciados e eliminar os mitos que envolvem o ensino de matemática.
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