teorema de lagrange
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Demostração do Teorema de LagrangeTRANSCRIPT
Telma Cristhina
Teorema de Lagrange
Biografia
• Joseph Louis Lagrange
Biografia
Turim, 25 de janeiro de 1736.
Biografia
Aos 16 anos de idade,
Lagrange, já estava se
dedicando à matemática. A
dedicação foi grande e
começou após ter
conhecido um trabalho feito
por Edmond Halley
(Haggerston, 08/11/1656-
Greenwich, 14/01/1742, o
matemático e astrônomo
britânico, o descobridor do
cometa).
Biografia Em 1754, com 18 anos, escreveu o seu
primeiro trabalho científico.
Com 19 anos, ou seja, em 1755, começou a atuar profissionalmente como professor de matemática na Escola Real de Artilharia, na sua terra natal, Turin. Ele ficou nesta escola até 1766.
Começou lecionando Geometria, mas, posteriormente, dadas as suas intensas pesquisas matemáticas em trabalhos escritos por matemáticos conhecidos como:
Biografia Isaac Newton (Woolsthorpe-by-
Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 (no
calendário Gregoriano) —Londres, 31 de
março de 1727).
Biografia
Gottfried Wilhelm von Leipzig (Leipzig, 1 de
julho de 1646 — Hanôver, 14 de novembro de
1716)
Biografia
Daniel Bern (Groningen, 8 de fevereiro de
1700 — Basileia, 17 de março de 1782)
Biografia
Leonard Euler (Basiléia, Suíça 15 de abril
de 1707, e morreu em São Petersburgo 18 de
setembro de 1783).
Biografia O seu domínio sobre Análise
Matemática acabou o credenciando a fazer análises e avaliações de alguns desses trabalhos. Tanto que, aos 23 anos, ele pegou um trabalho de Isaac Newton e aplicou cálculos integrais à teoria das probabilidades.
Ele e outros intelectuais formaram uma produtiva sociedade científica que, inclusive, fundou a Academia de Ciências de Turin.
Castelo e Vila Medieval de Turin
Biografia Em 02 de outubro de 1759, não só foi
convidado a participar do quadro de
membros estrangeiros da Academia
Prussiana de Ciências, em Berlim, assim
como organizou o primeiro volume das
memórias concernentes à referida
academia.
Biografia
No caso, um registro interessante é o de que
sua indicação à Academia foi feita
por Euler e d'Alembert, pois eles já conheciam o
enorme potencial de Lagrange.
Biografia Em 1761, Lagrange, já era tido como um dos
maiores matemáticos da época, por isso foi indicado para substituir Euler na Academia Pussiana de Ciências (Berlim, em 1766).
Em 1762, a conceituada Academia de Ciências de Paris abriu um prêmio aos cientistas objetivando a explicação de como se poderia ver um pouco mais de cinquenta por cento da superfície da lua se esta se move desde seu eixo enquanto gira ao redor da Terra. Lagrange foi o vencedor. O resultado foi dado após dois anos de análises feitas pela comissão de estudos científicos dos trabalhos apresentados, isto é, em 1764 aos 28 anos.
Biografia
Dois anos depois, em 1766, a mesma academia
lançou um outro troféu para quem explicasse
matematicamente sobre as órbitas das luas
de Júpiter. Novamente, Lagrange venceu.
Biografia No ano de 1788, aos 52 anos, é publicada sua
grande obra Méchanique analytique (Mecânica
analítca) em Paris. Nesta obra, ele resumiu todos os
feitos sobre mecânica, desde a época de
Newton, transformando a mecânica em um ramo da
análise matemática, usando a teoria das equações
diferenciais.
Biografia Diz ele na abertura de seu livro: “Nenhum diagrama
(desenho) será visto neste trabalho”, e acrescenta que “a ciência da mecânica pode ser considerada como a geometria de um espaço com quatro dimensões – três coordenadas cartesianas e um tempo-coordenada, suficientes para localizar uma partícula móvel tanto no espaço quanto no tempo”.
Biografia
Além deste hove outros grandes trabalhos,os que
foram vencedores na Académie des Sciences de
Paris, nos anos de 1772, 1774 e 1778. No prêmio
de 72, por exemplo, ele descobriu cinco pontos
de equilíbrio especiais nas proximidades de duas
massas em órbita, são os chamados pontos de
Lagrange (correspondem a pontos especiais de
equilíbrio dentro da geometria das órbitas dos
satélites).
Biografia
Em 1794, foi indicado para a Escola Politécnica
(em francês, École Polytechnique), Lagrange, foi
o planejador do curso de matemática e primeiro
professor.
Biografia
Dessa época tem-se o trabalho intitulado
“Teoria das funções analíticas”, fruto das
anotações de suas aulas.
Biografia
Ele também contribuiu bastante com o seu
estudo sobre Cálculo das Variações, pois, graças
a esta sua teoria, vários problemas sobre
isometria foram solucionados.
Ainda dentro de suas contribuições não se
poderia deixar de citar também a dada à Teoria
dos Números, onde ele demonstra inclusive que
todo inteiro positivo é a soma de no máximo
quatro quadrados perfeitos.
Biografia
Lagrange faleceu aos 76 anos, no dia 10 de abril
de 1813. Ele está enterrado no Panthéon e seu
nome consta na relação de 72 nomes ilustres na
famosa Torre Eiffel.
Teorema de Lagrange
Teorema do Valor Médio afirma
que: se f contínua em [a, b] e
derivável em ]a, b[ então existirá pelo
menos um ponto c em ]a,b[ tal que :
Teorema de Lagrange
Demonstração
Seja f uma função definida em [a,b].
Consideremos a função S dada por:
Teorema de Lagrange
O gráfico de S é a reta que passando pelos pontos
((a, f(a)) e (b,f(b)).
g(x)
a b
f S
Teorema de Lagrange
Na demonstração do TVM iremos utilizar a função
dada por
Observe que
Teorema de Lagrange
Como g é contínua em [a,b]; derivável em ]a,b[ e
g(a) = g(b), pelo teorema de Roller que diz:
Se f for contínua em [a,b], derivável em ]a,b[ e
f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em ]a,b[
tal que f’(c)=0.
a c b
Teorema de Lagrange
Temos:
Assim
Daí,
Portanto
Teorema de Lagrange
Geometricamente, isto significa que
a tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa c é paralela à secante que passa pelos
pontos de abcissas a e b.
Aplicação do Teorema de Lagrange
O Teorema do Valor Médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média
é v, então, durante esse percurso
(intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea
também é v .